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非线性发展方程的势对称及线性化 摘要 本论文主要研究非线性发展方程组及单方程的势对称以及它姐 的线 性化 首先，我们研究了一类在土壤学、数学生物和不变曲线流等方面 都有广泛应用的非线性扩散方程组u 。= ( ，( u ，u ) 札z + p ( u ，u ) ) ，仇= ( 夕( “，u ) 阮+ q ( “，u ) 札z ) ，的势对称，即决定函数，( u ，u ) ，g ( 口，钌) ，p ( ，u ) 和 口( u ，秽) 使方程组允许势对称我们通过系统的分类方法得到了一大类允 许势对称的这种形式的方程组，并给出了它们的对称群结果表明，大 量的这种形式的方程组都允许势对称，而且许多方程组都允许无穷维的 势对称群于是，我们利用b 1 u m a n 线陛化理论，构造可逆映射将这些 允许势对称且其辅助方程组满足该理论条件的非线性扩散方程组的辅助 方程组线性化，又由可逆映射生成的非局部映射将原方程组线性化 其次，我们研究了含n 个非线性扩散方程的方程组札“= 翟。局沁- ， u 2 ，u n ) u j 。k ，i = 1 ，n 的线性化我们推导了其辅助方程组的等 价变换，并利用此等价变换将辅助方程组线性化，给出了可用此等价变 换线性化的辅助方程组的完全分类而且由这些等价变换生成的非局部 映射将原方程组线性化 最后，我们研究了二阶和三阶的非线性发展方程u c = f 1 ( z ，t ，u ，u 。) z + f 2 ( z ，t ，u ，u 。) 和饥= f 1 ( z ，u ，u 。，u 。) u 。+ f 2 ( z ，t ，u ，u 。z ) ，对 这两种非线性方程构造点变换将它们分别映射成线性的二阶方程u 。= g l ( z ) u 艘+ g 2p ) u 。和三阶方程u = g i ( z ) 珏。船十g 2 ( z ) 阮这些点变换 是变换后的独立变量依赖于变换前的非独立变量，变换后的非独立变量 依赖于变换前的独立变量的h o d o g r a p h 型变换，我们对方程帮辖应的变 换做了完全分类。 关键词：非线性发展方程；势对称；线性亿；线性浃射；等价 变换；h o d o g r a p h 变换。 p o t e n t i a ls y m m e t r i e sa n dl i n e a r i z a t i o no fn o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n s a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w em a i n i yd i s c u s st h ep o t e n t i a ls y m m e t r i e sa n dl i n e a r i z a t i o n o ft h en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s f i r s t l y ) 、色c o m p u t ep o t e n t i a ls y m m e t r i e st os y s t e m so fn o n l i n e a rd i f f h s i o n e q u a t i o n su = ( 厂( u ，u ) u 。+ p ( u ，u ) u 。) 。，u c = ( 9 ( u ，u ) u 。+ g ( 札，u ) u z ) z ，w h i c h h a v ep h y s i c a la p p l i c a t i o n si ns o i ls c i e n c e ，m a t h e m a t i c a lb i o l o g ya n di n v a r i a n tc u r v e 丑o w s t h a ti s jt od e t e r m i n ef u n c t i o n s ，( u ，u ) ，夕( 让，u ) ，p ( u ，u ) a n dq 心，口) f o rw h i c ht h es y s t e m sa d m i tp o t e n t i a ls y m m e t r i e s a sar e - s u l t ，aw i d ec l a s s e so fp a r t i a ld i f f e r e i l t i a le q u a t i o n s ( p d e s ) o ft h i sf b r m w h i c ha d m i tp o t e n t i a ls y m m e t r i e sa r eo b t a i n e db ys y s t e m a t i cc l a s s i f i c a - t i o ni n e t h o d s i ti ss h o w nt h a tc e r t a i np d e so ft h i sf o r ma d m i tp o 乞e n 七i a l s y m m e t r i e s f u r t h e r m o r e ，s o m eo ft h e ma d m i ti n f i n i t e d i m e n s i o n a lp o t e n t i a ls y m m e t r i e s w et h e nc o n s t r u c ti n v e r t i b l em a p p i n g st o1 i n e a r i z et h e a u x i l i a r ys y s t e m so ft h eo r i g i n a ls y s t e m sw h i c ha d m i tp o t e n t i a ls y m m e t r i e s a n dt h ec o r r e s p o n d i n ga u x i l i a r ys y s t e m ss a t i s f yt h eb l u m a n sl i n e a r i z a t i o n t h e o i y i 七t u r n s 。u tt h a tt h e s ei n v e r t i b l em a p p i n g sl e a dt ot h en o n l o c a l m a p p i n g sw h i c hc a nl i n e a r i z et h eo r i g i n a ls y s t e m so fd i f f h s i o ne q u a t i o n s 1 v v bt h e nc o r l s i d e rs y s t e m so fn c o m p o n e i l tn o n l i n e a rd i f f u s i o l le q u a t i o n s t = 1 局( u l ，乱2 ，u 。) 让，；k ，i = 1 ，佗t h ee q u i v a l e n c et r a n s f o r m a t i o n so ft b e i ra u x i l i a r ys y s t e m sa r ed e r i v e d ，a n dt h ea u x i l i a r ys y s t e m s l v w h i c hc a nb el i n e a r i z e db yt h e s ee q u j v a l e n c et r a n s f 。r m a t 沁i l s 甜ec o _ p l e t e l yc l a s s 讯e d i ti sf u r t h e rs h o w nt h e s ee q u i v a l e n c et r a 以s f o r m a t i o n s l e a dt ot h en o n i o c a lt r a 璐f o r m a t i o n sw h i c hc o n n e c t 恤eo r 培i n 乱n o n l i n e a r s y s t e m so ft h ed i f r u s i o ne q u a t i o sa n dt h el i n e 8 rs y s t e m so fd j 矗诎i o ne q u 舢 t i o n s f i n a y ，w ei n v e s 毛i g a 主en o n h n e a rs e c 。n d o f c l e r a n dt h i r d o r d e re v d h 菇i o n e q u a t i o n so ft h ef o r m “t = 日( z ，t ，u ，u z ) 札z # + 卮( z ，# ，u ，t ) 扎n du 一 五( 。，“，钍；，珏；薄) 乱；+ 羁( 嚣，t ，缸，) f o re a j c ho 墙e s ee 啡l a t i 。丑s 艚 c o n s t r u c td o i n tt r a n s f 。r m a t i o n sw h i c hc o n n e c t 抽e mw i 乇hs e c o n d w o r d e ra n d t h r d o r ( k rl i n a re q u a t 沁n s 豇= g l 和) 乜z 卫+ g 2 ( 。) z k 甜l d 缸= g l ( 茹) 乳z z z + g 2 ( z ) 乱# ，r e s p e c t i v e l y t h e s ep o i n tt r a n s f o r m a t i o n sa r eh o d o 猷a p h t y p e r a n s 南r m a t i o n 8w h i 矗b a v et h ep r o p e r 每t h a tt h en e wi a d e p e n d e 珏tv a r i a b i e 8d e p e n do nt h eo l dd e p e n d e n tv a r i a b i e sa n dt h en e wd e p e n d e n tv a r i _ a b l e s 如p e n do n 七h eo l di 辩( 1 e p e n d e mv a r i 如l e s t h eh o d 。g f a p h i t y p et r 锄争 f b r m a t i o n s m i d hr e l a t et h en o n l i n e a rp d e 8a n d 七h e i rc o r r e s p o n d i n g1 i n e a r p d e s 解ec o m p l e t e l yc 1 8 s s i 靠e d k e y 、 ，o r d s ： n o n l i n e a re v 0 1 u t i 。ne q u a t i 。n s ； p o t e n t i a ls y m m e t r i e s ； 1 i n 。 e a r i z a 毛i 。n ；l 王n e a r i z i n gh 1 a p p i n g ；e ( m i v a l e n c e 七r a n s f 。r m 8 t i o h ； h 。d o g r a p h t r a n s f b r m a 七i o n 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：饵指导教师签名： 20 0 8 年6 月1 日20 0 8 年6 月1 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行躲研究工作及取褥的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包禽其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一目工作的同志对本磷究所傲麓任何贡献均已在论文串作了明确 的说盟共表示谢意。 学位论文作者签名： 绛磅 2 0 e 8 年6 月王曰 第一章绪论 1 1 基于非线性发展方程对称性的若干问题 非线性现象广泛地呈现在物理、化学、生物、社会和经济等领域 而这些非线性现象大部分可以用微分方程( 包括常微分方程和偏微分方 程) 来描述，很多微分方程都是非线性现象的数学模型因此，对非线 性科学的研究无可避免地需要对各种各样的非线性方程的研究而对于 这些方程的研究，有许多重要的理论研究和应用研究方向，精确解的研 究是其中最重要的研究方向之一，它包含了相关系统的精确信息，对各 种非线性现象的分析起至关重要的作用。通过众多科学家的努力，人们 已经建立和发展了不少求解非线性系统的方法，其中对可积的非线性系 统，常用的方法有反散射变换方法、d a r b o u x 变换方法、b 苔c k l u n d 变换 方法、双线性方法和多线性方法、经典和非经典李群法、c k 直接法、 形变映射法、截断p a i n l e v e 方法、混合指数法、函数展开法、几何方法 和穿衣服法等 李群方法是研究方程精确解，刻画方程内在性质的非常有用的方法 1 - 5 】，除此之外，它还可以用于通过n o e t h e r 定理构造守恒律 1 ，3 ，而 守恒律对方程的先验估计起很重要的作用微分方程的李群( 对称群) 理论最早是由挪威数学家s o p h u sl i e 在1 9 世纪末提出的，最初它的引 入是为了统一和扩充各种看似没有联系的求解微分方程的方法所谓对 称群是指能够将微分方程的一个解映射成另一个解的变换群l i e 首先 考虑了作用在方程独立变量和非独立变量空间的点变换群文f 1 ，2 ，6 1 给出了确定微分方程所允许的点变换群的算法，这样的变换群可以完全 由只依赖于方程的独立和非独立变量的无穷小生成子来表示后来，l i e 将李点变换群推广到切变换群，它不仅依赖于独立和非独立变量，还依 赖于非独立变量的一阶导数 n o e t h e r 将切变换群继续推广，考虑了不 第一章绻论 2 仅依赖于独立和非独立变量，还依赖于非独立变量对独立变量直到有限 阶导数的无穷小量，这种推广的对称群通常被称为l i eb 苞c k l u n d 对称群 7 1 本世纪6 0 年代以来，李群理论得到进一步发展，到目前已是一个 非常热门的研究领域人们将经典的李群理论加以推广，提出了诸多有 效的方法，其中包括1 9 6 9 年b l u m a n 和c 0 1 e 8 提出的非经典对称( 条 件对称) 方法， 1 9 8 9 年c 1 a r k s o n 和k r u s l 【a l 9 】的直接方法以及1 9 9 0 年楼森岳f l o 的改进的直接方法， 1 9 9 4 年f o k a s 和l i u 1 1 ，1 2 】，1 9 9 5 年z h d a n o vf 1 3 以及1 9 9 7 年屈长征【1 4 ，1 5 提出的广义条件对称( 条件 l i eb 苞c k l u n d 对称) 在内的很多方法这些方法已被成功地应用于构造 大量非线性方程的对称约化和精确解为了得到方程更多的解，1 9 8 8 年 b l u m a n ，k u m e i 和r e i d 1 6 提出了势对称的概念，与局部对称相比，势 对称的无穷小生成子不仅依赖于非独立变量、独立变量、非独立变量的 导数，而且还依赖于非独立变量的积分，因此它是一种非局部对称方 程的势对称有其显著的特点，由它可以构造方程非平凡的精确解，这些 解是由局部对称不能得到的，而且往往都有好的物理解释；它可以求解 边值问题；还可以生成线性映射【3 】文【1 6 ，3 ，1 7 ，1 8 】中对势对称理论 及其应用都有详细的讨论 非线性扩散方程是一类非常重要的非线性发展方程，它可以描述很 多物理现象，例如多孔介质的气体渗滤问题【1 9 、多孔介质中的饱和薄区 域问题 2 0 】、固体表面生长问题和重力作用下的液体薄膜扩张问题【2 1 】 等非线性扩散方程的典型例子是多孔介质方程 2 2 】 u t = 【饥n 】工工， n r 该方程除了可以表征上述的物理现象外，还可以刻画高粘性流体的辅助 对称流问题、湍流扩散问题、局部保持吸附一逸散平衡的可逸散固体问 题、以及硬超导体和软超导体中的非线性扩散问题广义的带有热源项 的反应扩散方程记为 u t = p ( z ，u ) ( 札。) n k + q ( z ，t ，u ) u 工+ r ( z ，t ，u ) 第一章绻论 3 其中p ( z ，t ，u ) ，q ( z ，) ，r ( z ，t ，u ) 分别表示扩散系数、反应系数和热源 项 本论文的写作的灵感主要来源于著名的非线性扩散方程 u t = ，( u ) u 。 。 ( 1 1 ) 国内外学者对方程( 1 1 ) 从群分析角度已作了大量的研究文 2 3 已对 这些成果做了详细地总结其中对方程( 1 1 ) 的势对称及线性化方面的 研究都对本论文有很大的启发，下面我们就基于这两方面就国内外发展 现状作以简单回顾，并引出本论文主要研究的问题 1 1 1 非线性发展方程的势对称 对于非线性扩散方程( 1 1 ) ，b l u m a n ，k u m e i 和r a d 1 6 】证明了它 允许相应于辅助方程组 u z = u ， u t = ，( u ) u ? 的势对称的充要条件是，( u ) 的形式为 m ，= 志唧 r 弄】， ( 1 2 ) 其中p ，q ，r 为任意常数与o v s j a n n i k o v 【2 4 】给出的该方程的李点对称相 比较，由势对称可以得到方程的一些新解 除方程( 1 1 ) 外，对包括扩散方程和双曲方程在内的各种偏微分方程 的势对称的研究，国内外学者已做了大量的工作，他们一方面找到了许 多允许势对称的方程，另一方面也提出了很多求势对称的方法对非线 性扩散方程的势对称的研究s o p h o c l e o u s 和w i l t s h i r e 做了很多工作，其 中他们分别在 2 5 】和 2 6 】中讨论了r i c h a r d 方程u t = 厂( u ) u 。k 一 尼( u ) k 的势对称；s o p h o c l e o u s 在 2 7 和 2 8 】中分别讨论了非齐次非线性扩散方 程u 。= z ( 1 7 ”) k ( p 1 ) 厂( u ) u z z 和变系数非齐次非线性扩散方程，( z ) u 。= 第一章绻论 4 夕( z ) u 竹u 尘】。的势对称；在 2 9 和 3 0 中分别讨论了变系数b u r g e r 方程 u 。= 6 ( ) u u 。+ o ( t ) u 。和变系数非齐次非线性扩散方程护u = z q u n u 正】。 的势对称其他学者这方面也有很多成果，其中g a n d a r i a s 在 3 1 】中 研究了多孔介质方程u t = 【( 扩) 。+ m - 1 ，( z ) 札m k 的势对称p u c c i 和 s a c c o m a n d i 在 3 2 3 4 】中研究了f o k k e r p 1 a n c k 方程u t = u 。z + 【，( z ) k 的势对称在此基础上， k h a t e r ，m o n s s a 和a b d u l a z i z 在 3 5 3 7 】中分 别研究了变系数非齐次非线性扩散方程，( z ) 钆t = b ( z ) “n k 和两类推 广的f o k k e r p l a n c k 方程u t = 囟( z ) u 。+ q ( z ) u k 和u t = u 。+ 【入( t ) z u 】卫 的势对称在方程( 1 1 ) 的基础上曹启升和屈长征 3 8 】考虑了更一般的 扩散方程u 。= ，( u ) ( u 。) “】。的势对称p o p o v y c h 和i v a n o v a 分别在 3 9 ， 4 0 1 中研究了r i c h a r d 方程和变系数扩散方程，( z ) u t = 9 ( z ) a ( u ) u 。 王+ ( z ) b ( u ) 的势对称除此之外，用势对称构造方程的守恒律，这方面 i v a n o v a ，p o p o v y c h ，a n c o 和b 1 u m a n 等人都做了大量工作 1 7 ，4 1 - 4 6 除 了非线性扩散方程外，对双曲型方程的势对称也有一定的研究，例如， b 1 u m a n ，k u m e i 和r e i d 在 1 6 】中也讨论了波方程u t t = c 2 ( z ) 。的势 对称b u r d e 【4 7 】研究了非线性波方程u 。t = ( u ) 上的势对称在此 基础上，b l u m a n ，t e m u e r c h a o l u 和s a h a d e r a n 4 8 】对非线性电报方程 札t c = 旷( u ) u 王k + 【g ( u ) k 的势对称做了完全分类，并与 4 9 】和 5 0 】中分 别给出的该方程及其势方程叫比= f ( 叫z ) 叫z 。+ g ( 仙z ) 的李点对称进行比 较 最近，对于势对称还有一个研究热点，它来源于c l a r k s o n 【5 1 研究 b o u s s i n e s q 方程的非经典对称时提出的一个开问题， b o u s s i n e s q 方程的 辅助方程组允许的非经典对称是否包括b o u s s i n e s q 方程本身允许的非经 典对称之后，g a n d a r i a s 考虑了用辅助方程组的非经典对称来生成方 程的势对称，即所谓的非经典势对称这方面他做了大量的工作，首先， 他在1 9 9 7 年讨论了多孔介质方程u 。= ( u n ) 。+ m - 1 厂( z ) u m k 的非经典势 对称【5 2 】，并与( 3 1 和【5 3 】中得到的该方程的经典势对称和非经典对称 加以比较；随后又研究了b u r g e r 方程 5 4 ，5 5 1 ，一种来源于多孔介质中 第一章绪论 5 双向流模型的非线性扩散方程【5 6 和k d v 方程 5 7 】的非经典势对称；在 5 8 中讨论了f 0 k k e 卜p 1 a n c k 方程的非经典势对称，并与分别在 5 9 和 3 2 得到的非经典对称及经典势对称加以比较；在 6 0 】中推导了三阶发 展方程u 。= u n u 。 z 的非经典对称，经典势对称和非经典势对称最近， g a n d a r i a s 6 1 1 还讨论了非齐次非线性扩散方程，( z ) u t = b ( z ) u 1 ；的 非经典对称及非经典势对称以上研究都表明，由非经典势对称可以得到 非经典对称和经典势对称所不能得到的新解g a n d a r i a s 在 6 2 】中讨论 了非线性扩散方程u 。= u n u z 】z 的非经典势对称，并证明当几= 一1 时， 快速扩散方程u 。= u _ 1 ，“。】。允许非经典势对称却不允许经典势对称在 此基础上，p o p o v y c h ，、h n e e r a 和i v a n o v a 6 3 】讨论了快速扩散方程的势 方程u 。= u ；1 u 。的非经典对称，由此得到快速扩散方程的新的一大类 非经典势对称除此之外， b 1 u m a n 和、h n 6 4 ，w i l t s h i r e 和k a f r i 6 5 ， j o h n p i l l a i 和k a r a 6 6 还分别讨论了一类非线性热传导方程、r i c h a r d 方程和1 + 1 维线性波动方程u 优= c 2 ( z ) u 。的非经典势对称，同样证 明了由辅助方程组的非经典对称可得到原方程的经典对称和势对称所不 能得到的不变解 2 0 0 4 年，m o i t s h e k i 和b r o a d b r i d g e 6 7 】引入了隐藏势对称的概念， 它是通过积分变量来寻找传统的势对称方法所不能得到的势对称g a n d a r i a u s 6 8 】推广了他们的方法，分别对非齐次变系数扩散方程厂( z ) u t = 【夕( z ) 让n u 。k ，多孔介质方程u = ( u n ) 。z + 9 ( z ) u “+ ，( z ) u 5 u 。以及f o k k e r p l a n c k 方程讨论这种新的势对称 与单方程相比，对非线性扩散方程组的势对称的研究相对较少，主 要的研究有：s e n t h i l e v e l a n 和t o r r i s i 6 9 】研究了一类双元素单分子反应 混合物的数学模型u 。+ ( 等一q q ) 。一p u 。= o ，吼= r ( ，( u ) 的势对称屈 长征 7 0 将方程( 1 1 ) 推广到含两个方程的方程组 饥= ，( u ，u ) u 。 z ， u = 9 ( u ，u ) u 霉】。， 对允许势对称的方程组( 1 3 ) 做了完全分类， ( 1 3 ) 并给出相应的相似约化和 第一章绪论6 不变解方程组( 1 3 ) 实际上是含两个方程的非线性扩散方程组 u 2 u ) 让z 忡删“ ( 1 4 ) t 屯= 【9 ( 札，u ) + 口( ，上，u ) 札。】。， 当p ( 札，t ，) = q ( u ，u ) = o 时的特殊形式，s o p h o c l e o u s 7 1 讨论了方程组 ( 1 4 ) 的势对称，给出了引入一个势变量时其势对称的完全分类，以及引 入两个势变量时允许势对称的方程组( 1 4 ) 的几个特例方程组( 1 4 ) 可 以看作是非线性扩散方程( 1 1 ) 的推广，它在生物、物理和土壤学等方面 有很多应用【7 2 】，因此继续研究其势对称，得到更多形式的允许势对称 的方程组( 1 4 ) 是一项非常有意义的工作 1 1 2 非线性发展方程的线性化 文 1 6 j 中对方程( 1 1 ) 的势对称的讨论我们发现一个有趣的情况， 当厂( u ) = u _ 2 时，方程 允许以下势对称 让= ( u 2 ) 茁( 1 5 ) k = 一z u 岳+ 2 t 嘉+ ( 让u + 。妇未， k = 一z ( u 2 + 2 幻岳+ 4 t 2 击+ 4 u t 品+ ( 4 u t + u u 2 + 2 u z + 2 u 2 u z ) 彘， 叫锄) 未。掣晏， ( 1 6 ) 其中 ( ，移) 是线性热方程= 愚。v 的任意解在【3 中，b l u m a n 和 k u m e i 提出了一个线性化理论，当非线性方程组允许无穷维的李点变换 群且满足一定条件时，就可构造可逆映射将其线性化方程( 1 5 ) 的辅助 方程组 2u ， 一o 仇2u u z ， ( 1 7 ) 第一章绻论 7 所允许的无穷维李点变换群( 1 6 ) 满足该理论条件，因此利用 3 给出的 由无穷维李点变换群构造可逆映射的步骤，可推出映射 亡7 = t ，z ，= t ，t ，= z ， ，= 三 ( 1 8 ) 将非线性方程组( 1 7 ) 映射成线性方程组 u ：，= u 7 ，u ：，= u ：， 由变换( 1 8 ) 又可得到非局部变换 d z ，：u d z + u 一2 u z d t ，d 7 ：d t ，u ，：三， 能够将非线性方程( 1 5 ) 映射成线性方程u ：，= ： 7 3 这一种线性化的 方法已广泛地应用于各种方程的线性化中，文 2 5 ，2 7 ，2 8 ，3 0 ，3 1 ，6 9 ，7 1 ，7 4 】 都采用了此方法对允许势对称且其辅助方程组满足线性化理论条件的各 种单方程和方程组线性化因此我们自然考虑一个问题，如果允许势对 称的方程组( 1 4 ) 其相应的辅助方程组也允许无穷维李点变换群且满足 线性化理论条件，我们同样可以用相同的办法推导可逆映射将辅助方程 组线性化，继而用非局部变换将方程组( 1 4 ) 线性化 实际上变换( 1 8 ) 还属于方程( 1 1 ) 的辅助方程组 u z = u ， ( 1 ，9 ) 仇= ，( 札) ， 的等价变换 u = o u + b z z 7 = 例+ d z ( 1 1 0 ) t 7 = t ，：凳，础一6 c o = _ ，8 d c f c u 饥+ d 。 f 7 5 ，7 6 既然方程组( 1 1 ) 的辅助方程组的等价变换可将辅助方程组线 性化，一个自然的问题，作为方程( 1 1 ) 的推广，方程组( 1 4 ) 的辅助方 第一章绻论 8 程组的等价变换足否同样可以线性化其辅助方程组s o p h o c l e o u s 正是 按此思路对方程组( 1 4 ) 的辅助方程组进行线性化 7 7 】，他推导了方程 组( 1 4 ) 的辅助方程组可用其等价变换线性化的所有形式 7 7 】是将单 方程推广到了含两个方程的方程组，一个自然的问题，是否能继续推广 到含礼个方程的方程组 ，u n ) 】2 ， i = 1 ，n ，( 1 1 1 ) 这样我们就可以为这一类方程组找到一种线性化方法，也可以相应地 确定能用等价变换线性化的所有这一类方程组等价变换是一种能将 方程映射成同一类的另一方程的变换，它主要用于构造守恒律、做群 分类和简化变换等价变换最早是应用于求解c a r t o n 等价问题 7 8 随后，o v s i a n n i k o v 在 2 中给出了它的定义、计算方法以及一些基本 理论和基本性质，并作为实例推导了方程( 1 1 ) 的等价变换a k h a t o v ， g a z i z o v 和i b r a g i m o v 在【7 5 ，7 6 】中推导了其辅助方程组( 1 9 ) 的等价 变换( 1 1 0 ) i b r a 舀m o v ，t o r r i s i 和v a l e n t i 7 9 】讨论了非线性双曲方程 u 优= ，( z ，) 。+ 9 ( z ，) 的等价变换群，并对其子群作了预分类l i s l e 【8 0 ，8 1 在o v s i a n n i k o v 的理论基础上，更系统地总结了等价变换的算 法，作为实例分别推导了r i c h a r d 方程、线性波方程u 托= c 2 ( o ) u 王工及 h a m i l t o n 方程组 d a a 日d 口a h 云2 帝( q ，p ，2 ) t素2 一面( g ，p ，。) 的等价变换 p o p o v y c h 和i v a n o v a 在【3 9 】推导了r i c h a r d 方程的辅助 方程组的等价变换，并用它得到方程的守恒律【8 2 、讨论势对称 4 0 以 及进行群分类构造精确解【8 3 】；他们也推导了变系数扩散方程，( z ) u t = 夕( z ) a ( u ) u z 】。+ 危( z ) b ( 乜) 札z 的等价变换，并得到相应的守恒律 4 0 ，8 2 】 另外， b a s a r a b h o r w a t h ，l a h n o 和z h a d n o v 8 4 也给出了非线性方程 u 。= f l ( z ，t ，u ，u 工) u 。+ r ( z ，t ，u ，u 。) 的等价变换和群分类 h e m a t u l i n 和m e l e s h k o 8 5 讨论了半线性波方程u 托一u 茁霉= ( u ) 的等价变换，并 由此得到新的不变解 uu 五 。芦 l i h u 第一章绻论 9 注意到变换( 1 8 ) 还有一个特点，变换前后交换了独立变量和非独 立变量，它实际上是纯h o d o g r a p h 变换所谓h o d o g r a p h 变换就是变 换前后非独立变量和独立变量互换的变换，通过h o d o g r a p h 变换可将 方程映射成可积方程、线性方程、或某个已有完善理论或已知其精确 解的方程国内外学者对这种变换也有大量的研究，1 9 8 9 年c l a r k s o n 8 6 给出了纯h o d o g r a p h 变换的定义，并证明纯h o d o 铲a p h 变换z 7 = u ，t 7 = t ，u 7 = z 可将非线性方程u t = 让j 2 u z 。+ f ( u 。) 映射成半线性方 程u ：，= u ：v u ：，f ( 击) ；又将其推广到非局部h o d o g r a p h 变换z 7 = ，。矽( u ( ，) ) 武，= 7 ，这一类变换可将拟线性偏微分方程u 。= g ( 钆) u n 。+ 厂( u ，u 。，u ( n 一- ) 。) ，饥，。= 器映射成半线性偏微分方程( 9 ( u ) 三1 ) ， 再通过p a i n l e v e 测试验证其是否可以线性化e u l e r 8 7 讨论了一种形 式为 ，z d x ( z ，t ) = u d z + ( u c ( ，) d ) 出，d t ( z ，t ) = 此 u ( z ，t ) = z ( 1 1 2 ) ， 的非局部h o d o g r a p h 变换，用它将一系列二阶发展方程线性化；又将变 换( 1 1 2 ) 推广为所谓的x 一广义h o d o 鲈印h 变换【8 8 d x ( z ，) = ( z ，乱) d z + ，2 ( z ，t 上，u 工，u 。z ，u ( 。一1 ) 。) d ， d 丁( z ，t )= d ， v ( z ，t ) = 夕( z ) ， 利用此类非局部h o d o 弘a p h 变换将高阶拟线性发展方程线性化 8 9 】 和 9 0 】分别讨论了能将推广到2 + 1 维的一类g a m a s s a - h o l m 方程映 射成g a l o g e r o b o g o y a v l e n s k 诳s c h i f r 方程和将p e a k o n 方程映射成能通过 p a i n l e v e 测试的方程的非局部h o d o g r a p h 变换s o p h o c l e o u s 提出了一 种广义的h o d o g r a p h 变换，这种变换是形式为 z 7 = 尸( z ，t ，u ) ， t 7 = q ( z ，u ) ，u 7 = r ( z ，u ) ( 1 1 3 ) 的点变换，而且变换后独立变量依赖于变换前非独立变量，变换后非独 立变量依赖于变换前独立变量，即( 1 1 3 ) 中r 0 且忍o ，称之为 第一章绪论 1 0 h o d o g r a p h 型变换他在 9 1 】中将这种变换应用于二阶非线性扩散方程 u t = f 1 ( u ，u 。) u 。+ 足( u ，u 。) ( 1 1 4 ) 和三阶非线性殳展方程 砚= r ( 让，) 札船z + 足( ，u 工，u z 。) ， ( 1 1 5 ) 讨论了用变换( 1 1 3 ) 的一种特殊形式将二阶和三阶方程映射成同样形式 的另一方程以及将二阶方程线性化；在 3 0 】中用这种变换将变系数扩散 方程扩u 。= 陋q u “u 。】。分别映射成方程( 1 1 4 ) 和方程u 。= 甓。文 【9 2 ，9 3 ，9 4 】分别给出了三类n 维波方程 几n n u 比= 冗( u ) u z 。ku “= 以( u 。) u 础。，毗= r ( u 。) ， k = l七= 1七= l 多孔介质方程u t = ( u ”) 。+ ( ! ) u “u 。和b u r g e r 方程的点变换( 1 1 3 ) 的完全分类，其中包括了h o d o g r 印h 型变换k i n g s t o n 和s o p h o c l e o u s 【9 5 】证明了将方程唧。= 日( 刀，t ，u ， u 巧 ) 映射成同一形式方程u 知= h 7 ( t 7 ，t 7 ，u 7 ， u ：，) ) 的h o d o g r a p h 型变换( 1 1 3 ) 存在的必要条件，其中 让巧= 裂鸶，位0 = 裁并同时考虑了三类偏微分方程 饥= 日( z ，t ，u ，u z ，u 胁) ， u 科 = h ( z ，t ，u ，u z ，u z z ，) ， u 比= j 丁( z ，t ，u ，u 霉，u z z ，) ， 证明了点变换( 1 1 3 ) 将他们映射成同一类型方程时，只有 u = 日( z ，t ，u ，u z ，u ) 这一类方程h o d o g r 印h 型变换存在，而且要求日不是关于u 对z 的各 阶导数的多项式k i n g s t o n 【9 6 】证明了对于u t = 日( 工，u ，u 。，u 册) 这一类方程，点变换( 1 1 3 ) 存在则t 7 = q ( t ) h o d o g r a p h 变换除了可 以对方程做变换外，大量文献都讨论了用h o d o 口a p h 变换对方程求精确 第一章绪论 解 3 0 ，7 1 ，7 7 ，8 5 ，9 7 1 0 4 】其中，e u l e r 在【9 7 】中提出了自动h o d o g r a p h 变换，它是通过非局部h o d o 酽a p h 变换的复合得到，可将方程映射成其 本身，从而构造方程一系列的精确解 3 0 ，7 1 ，7 7 】都用自动h o d o 铲a p h 换求得了相应方程的精确解l e i 研究了方程组的h o d o g r a p h 变换，在 1 0 5 ，1 0 6 】中分别讨论了h o d o g r a p h 变换对一阶非齐次含两个独立变量和 两个非独立变量的非线性方程组及源于土木工程的一类方程组线性化 g o a r d 【1 0 7 】证明了纯h o d o g r a p h 变换可将非线性方程u t = ，( ) 似；1 k 映 射成线性方程u ：，= 一 ，( z 7 ) u ：如，s o p h o c l e o u s 9 1 】将其推广，讨论了用 h o d o 铲a p h 型变换( 1 1 3 ) 的一种特殊形式将二阶非线性发展方程( 1 1 4 ) 映射成线性方程 ，= g 1 ( z ，) u 鼻+ g 2 ( z ，) u ：“ ( 1 1 6 ) 注意到方程( 1 1 4 ) 和( 1 1 5 ) 中函数日，r 不含独立变量z ，t ，一个自然的 想法，考虑用h o d o g r a p h 型变换( 1 1 3 ) 将更一般形式的二阶非线性发展 方程 钍t = r ( z ，t ，t 上，u 。) u z 霉+ f 2 ( z ，钆，u z ) ( 1 1 7 ) 线性化，当然也可以考虑用此变换将三阶非线性发展方程 _ u = f 1 ( z ，t ，u ，u 。，u z 七) t 上。七+ r ( z ，u ，u 。，u 。) ( 1 1 8 ) 线性化 1 2 研究工作的特色与创新 基于1 1 节讨论的几点问题，本论文主要研究非线性发展方程的势 对称以及它们的线性化本论文的创新点和特色在于： ( 1 ) 研究了非线性扩散方程组( 1 4 ) 的势对称，与已有的研究 7 1 】 相比，我们得到更多允许势对称的形式为( 1 4 ) 的方程组，使允许势对称 的这一类方程组进一步扩充； 第一章绪论1 2 ( 2 ) 利用方程组( 1 4 ) 允许的无穷维势对称，构造非局部映射将允 许势对称且其辅助方程组满足b l u m a n 线性化理论的方程组( 1 4 ) 线性 化； ( 3 ) ，将f 7 r 7 中研究的方程组( 1 4 ) 推广为含仃个非线性扩散方程的 方程组( 1 1 1 ) ，推导其相应的辅助方程组的等价变换以及可用此类变换 线性化的方程组的所有形式，并利用此等价变换生成的非局部映射将方 程组( 1 1 1 ) 线性化； ( 4 ) ，将f 9 1 中二阶非线性扩散方程( 1 1 4 ) 推广为更一般的二阶非线 性发展方程( 1 1 7 ) 以及三阶非线性发展方程( 1 1 8 ) ，构造h o d o 耵a p h 型 变换 z 7 = 尸( t ，u ) ，t