（基础数学专业论文）具转移条件奇异sturmliouville算子的weyl函数.pdf

u li ii ii ii ii ii ii i iu l y 18 8 8 919 o nw e y lf u n c t i o no fs i n g u l a r s t u r m l i o u v i l l eo p e r a t o rw i t h t r a n s m i s s l 0 nc o n d i t l 0 n s s u p e r v i s o r ：p r o f s u nj i o n g c o l l e g eo fm a t h e m a t i c s ， i n n e rm o n g o l i au n i v e r s i t y , h o h h o t ，0 1 0 0 2 1 ，p r c h i n a m a r c h2 0 1 1 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果：除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得凼墓直太堂及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同 志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：兰e 盎羞指导教师签名： 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有权将 学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和磁盘，允 许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文。 为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属于内蒙古大学。作者今后 使用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期间导师的同意；若用 于发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表。 学位论文作者签名：聋麦蔓 指导教师签名：飞兰! ! ! 墓! 兰1 日 期：塑碰：墨：2 _ 日 期：趁! ! ：主：2 一一 具转移条件奇异s t u r m l i o u v i l l e 算子的w e y l 函数 摘要 本文围绕具转移条件奇异s t u r m - l i o u v i l l e ( s - l ) 算子相关的 w e y l 函数进行研究由新内积生成的新空间中定义了极限圆、极 限点，在此情形下分别给出了w e y l 函数的定义，并讨论了w e y l 函数的性质；给出了由w e y l 函数决定的w - e y l 解的性质，在此得 出w e y l 解属于l 2 ( ，) ；最后用类似经典的方法，定义了具转移条 件奇异s l 算子的谱函数，并讨论了谱函数与w e y l 函数的关系 关键词：s t u r m l i o u v i l l e 算子，转移条件，w e y l 函数，极限圆， 极限点，谱函数 o nw e y lf u n c t i o no fs i n g u l a rs t u r m - l i o u v i l l e o p e r a t o rw i t ht r a n s m i s s i o nc o n d i t i o n s a bs t r a c t t h i sp a p e rf o c u s e so nt h ew e y lf u n c t i o no fs t u r m - l i o u v i l l e ( s - l ) o p e r a t o rw i t ho n es i n g u l a re n d p o i n ta n dt r a n s m i s s i o nc o n d i t i o n s l i m i t c i r c l e 1 i m i tp o i n ta r ed e f i n e di nt h en e ws p a c ew h i c hi sg e n e r a t e db y t h en e wi n n e rp r o d u c t w eg i v et h ed e f i n i t i o no fw e y lf u n c t i o n ，d i s c u s s t h en a t u r eo ft h ew e y lf u n c t i o na n dg i v ep r o p e r t i e so fw e y ls o l u t i o n sb y w e y lf u n c t i o n a n dw ep r o v et h a tt h ew e y ls o l u t i o n sb e l o n gt ol z ( f ) f i n a l l y , s i m i l a rt ot h ec l a s s i cc a s e ，w ei n v e s t i g a t et h es p e c t r a lf u n c t i o n o fs lo p e r a t o rw i t ho n es i n g u l a re n d p o i n ta n dt r a n s m i s s i o nc o n d i t i o n s , d i s c u s st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nw e y lf u n c t i o na n ds p e c t r a lf u n c t i o n k e y w o r d s s t u r m l i o u v i l l eo p e r a t o r ，t r a n s m i s s i o nc o n d i t i o n s ， w e y lf u n c t i o n ，l i m i tc i r c l e ，l i m i tp o i n t ，s p e c t r a lf u n c t i o n - r 1 c i m z 灭 ， 口( 丁) d e tm l 1 ( j r ，r ) a a o c ( ( 口 6 ) ，r ) l 2 ( j ，c ) 符号说明 实数域 复数域 复数z 的虚部 复数入的共轭数 算子丁的定义域 矩阵m 的行列式 在区间j 上定义的l e b e s g u e 可积实值函数全体 在( a ，b ) 的所有紧子区间绝对连续的实值函数全体 在区间，上所有满足以l f ( t ) 1 2 d t 0 和 i m a 0 ，d e td = - y 0 以下给出与转移条件相关的内积和用到的公式 引理1 2 1 【3 】对任意区间如上满足条件矿，z 7 a q o c ( a ，p ) 的函数y ，z ， 我们有下述l a g a n g e 双线性型： z ( ! ，) 乏一厢= 未酬( ) ， 其中 22 队z = ( 一1 ) 圳y 一 乏) 。) = 红( t ) y 卜1 扣_ 1 对任何区间【o ，明c ，2 ，有下面的g r e e n 公式 厶蒯z z 口可一( z ) d 吲舭胁捌 ( 1 2 3 ) 在空间h = l 2 ( ，1 ) ( l 2 ( 1 1 ) 表示在j l = 0 ，c ) u ( c ，6 】上平方可积的复值可 测函数全体) 上引入了一种依赖于转移条件条件的内积： ( ，9 ) 2p j o 歹l 如+ ，y z ，2 玩如，町，夕2 ( ) ，( 1 2 4 ) 一c ，o 其中 ， ，c z ，= 2 ：三；三茎2 言jl 尼( z ) z ( c ，6 j 空间可看作一个加权的函数空间，其权函数为 ”c z ，= ：三茎是：言j 3 内蒙古大学硕士学位论文 则具有此内积的空间h 是h i l b e r t 空间 经计算可得l a g r a n g e 双线性型为： 【，洲扣p w ( f , y ；x ) 三搿 其中w ( f ，歹；x ) = 厂( z ) 9 【1 l ( x ) 一i t l 】( z ) 9 ( z ) 假设妒( z ，a ) 与o ( x ，a ) 分别是下列c a u c h y 问题的解 fl y = a y ，fl y = a 可， y ( o ) = s i n ， 耖( o ) = c o s 0 ， 【y 【1 1 ( o ) = p ( o ) 矿( o ) = 一c o s o r ，【1 ( o ) = p ( o ) 矿( o ) = s i n a ， 其中0 a o ) 组成了m 平面里 的圆套 以下给出极限点、极限圆的有关概念： 由前面知识可知，方程l y = a y 的解都可以表示成o ( x ，a ) 和妒( z ，a ) + m ( 入) p ( z ，a ) ，m c b 的线性组合我们要考虑这些解中属于日= l 2 ( ，) 的有 哪些? 根据定理1 2 1 0 ， c b l b o ) 是一个圆套，半径r b 是b 严格下降函 数( = 丁上一t ) ，当b _ 0 0 时，它趋近于一个非负的极限这 2 1 i m a i 【p 后h 1 2 如+ 1 cl 如1 2 如j 样便产生了两种情形： ( i ) 极限值 0 ，圆套收缩成一个“圆”连同内部= n 6 o ( g 连同内 部) ； ( i i ) 极限值= 0 ，圆套收缩成一个点钉 定理1 2 1 11 3 1 设i m a 0 ，妒，0 是方程l y = a y 的满足初始条件 j 妒( o ，入) = s l n q ， p ( o ，a ) = c o s o - ， ( 1 2 6 ) lp ( o ) 妒7 ( o ，a ) = 一c o s o t ，ip ( o ) 0 7 ( o ，a ) = s i n n ， 、7 且同时妒( z ，a ) ，o ( x ，a ) 满足转移条件( 1 2 2 ) 的两个线性无关解，其中0 a c 由广义g r e e n 公式有 户z 。m - ( z ：a ) 矽( z ，知) 出+ 7 6 m 妒z ( z ，a ) 如( z ，知) 如一p f o e 妒1 ( z ，a ) m 矽( z ，知) 出 一，yj ：! b 妒2 ( z ，入) m 如( z ，a o ) d z = 【妒( ，入) ，p ( ，万) 】( 6 ) 一【妒( ，a ) ：口( ，石) 】( o ) ， 由上式可得 p c , b ( 入一a o ) 妒1 ( z ，；9 0 1 ( x ，, x o ) d z + ，y 妒2 ( z ，入) p 2 ( z ，, x o ) d x 】 t ，0j c = 【妒( ，a ) ，石) 【妒( ，a ) ：叱焉) 】( o ) ， 7 内蒙古大学硕士学位论文 j q r ，使得a g 时l 入一a o i b 1 ，由于0 ( x ，) l 2 ( ，) ，则 i 【妒( ，a ) ，p ( ，石) 】( 6 2 ) 一【妒( ，a ) ，p ( ，石) 】( i t ) | p c，d 2 = i ( a 一入。) pl 妒1 ( z ，入) p 1 ( z ，入o ) 如+ 7 妒2 ( z ，入) p 2 ( z ，入o ) d z 】 j 0j c p c ，扫1 一( a a o ) 妒z ( z ，a ) 6 ( x ，a o ) d x + 7 妒2 ( z ，a ) 如( z ，, x o ) d x i ，o j c = l ( a a o ) 7 妒( z ，a ) 口( z ，a o ) d x | 锄( ，y fm 炉妒( ，y 小糊俐2 0 可得 ( ，入) ，妒( ，石) 】( o 。) 陋( ，a ) ，口( ，石) 】( ) i i 矽( ，a ) ，妒( ，_ ) 】( ) 【口( ，入) ，口( ，万) 】( o 。) i 一 眙( ，a ) ，口( - ，) 】( 。o ) ( ，a o ) ，9 ( ，一) 】( o o ) = p 2 0 ， 所以分式线性变换 俞o o ( a o ) _ 俞o 。( a ) = 一 眵( ，a ) ，妒( ，万) 】( o 。) + 俞。( 入o ) f 妒( ，a ) ，p ( ，_ ) 】( 。) 【p ( ，a ) ，妒( ，a o ) ( o 。) + 俞。( 知) 【p ( ，a ) ，伊( ，石) 】( 。) 是一一的 同理可得，流o o ( a ) _ 俞o 。( 知) 也是一一的这样便给出了氏( 入o ) 到 氏( a ) 的一个一一对应，在氏( a o ) 上任取一点豌o o ( h ) 便可唯一确定一点 疣o 。( a ) ( a ) 称此为极限圆的w e y l 函数，显然w e y l 函数不唯一，它和 统( a o ) 的选择有关 定义2 1 3 设微分算式l y 在。处为极限圆的，i m a o 0 ，给定俞。o ( a o ) ( k ) 称m ( a ，俞( ) ) = 俞( 入) 为l y 的w e y l 函数 定理2 1 4 设微分算式l y 在。处为极限圆，i m a o 0 ，豌( 知) 氏( 知) 则 ( 1 ) m ( a ，谎。( 入o ) ) 是全平面上定义的半纯函数，且 9 内蒙古大学硕士学位论文 ( 2 ) 入是m ( a ，俞o o ( 知) ) 的极点的充要条件是 f c ( 入一a o ) p 0 1 ( x ，入) ( 妒1 ( z ，a o ) + 俞。( 入o ) 口l ( z ，a o ) ) d x + ，o ，o 。 ( 入一a o ) 7 0 2 ( x ，a ) ( 妒2 ( z ，a o ) + 俞。( a o ) 9 2 ( z ，a o ) ) d x = p 证明( 1 ) m ( a ，统。o ( a 。) ) = 一鬻撩黠筹渊氏( a ) a c ， 【妒( ，a ) ，妒( ，a o ) + 俞。( a o ) 6 i ( ，入o ) 】( o 。) = 。l i m 【妒( ，a ) ，妒( ，a o ) + 俞( a o ) 口( ，a o ) 】( 6 ) = 睁( ，a ) ，q o ( - , 石) + 流( 石) p ( ，石) 】( o ) ，c + p ( q o l ( x ，a o ) + 俞( a o ) o l ( z ，a o ) ) m 妒i ( x ，a ) j 0 一m ( 妒l ( z ，知) + 俞。( 知) 0 1 ( x ，入o ) ) 妒1 ( z ，a ) ) 如 r 6 十j i m y ( 妒2 ( z ，a o ) + 俞o o ( a o ) 如( z ，h ) ) i j r 妒2 ( z ，a ) o 。o o ，c m ( 妒2 ( z ，a o ) + 俞( 知) 如( z ，入o ) ) 妒2 0 ，a ) ) d x ，c = p 俞o 。( 入o ) + ( a a o ) p 妒1 ( z ，入) ( 妒1 ( z ，a o ) + 俞o o ( 知) 6 1 ( z ，a o ) ) d x j 0 ，6 + ( a 一入o ) ，l i m7 妒2 0 ，a ) ( 妒2 ( z ，a o ) + 俞( 入o ) 如( z ，a o ) ) d x ”。” j c ，c = 廊o 。( a o ) + ( a a o ) p 妒1 ( z ，a ) ( 妒1 ( z ，知) + 俞( a o ) o i ( z ，a o ) ) d x j 0 ，i o 。 + ( a a o ) 7 妒2 ( z ，a ) ( 妒2 ( z ，a o ) + 肃o 。( 入o ) 口2 ( z ，a o ) ) 如， j c 同理可计算 【p ( ，入) ，妒( ，a o ) + 俞。( a o ) p ( ，a o ) 】( o o ) = ，l i m 【p ( ，a ) ，( ，a o ) + 俞。( a o ) 9 ( ，a o ) 】( 6 ) ，c = 一j d + ( a 一入o ) p 口l ( z ，a ) ( 妒1 ( z ，a o ) + 豌o o ( a o ) 护1 ( z ，a o ) ) d x t ，0 厂o o + ( a a o ) 7 0 2 ( x ，a ) ( 妒2 ( z ，a o ) + 俞o 。( a o ) p 2 ( z ，a o ) ) d x ， 于是，m ( a ，巯( a o ) ) 的分子分母都是a 的整函数 如果分子分母都是0 ，则方程组 j 眇( ，a ) ，妒( ，石) 】( ) + 俞。( k ) 【妒( ，a ) ，p ( ，石) 】( o 。) = 0 l 口( ，a ) ，妒( ，万) 】( o 。) + 俞( 知) 【口( ，a ) ，p ( ，石) 】( o 。) = 0 ， 1 0 内蒙古大学硕士学位论文 有非零解故 慨蹴未裂高龄碧畿裂高i - 。，旧( ，a ) ，妒( ，焉) 】( o 。) p ( ，a ) ，p ( ，石) 】( 。) i 1 矛盾所以，分子分母不能同时为零因而m ( a ，豌o 。( a o ) ) 是入的半纯函数， 且有 ，( a ，俞。( a o ) ) = m ( a ：俞o 。( 入o ) ) ( 2 ) m ( a 谎o 。( 入o ) ) 的极点是咿( ：入) ，妒( ，石) + 谎。( w o o ) e ( ：石) 】( ) 的零点；反 之，后者的零点必是分子不为零的点，而是m ( a ，碗( a o ) ) 的极点，从而有 入是i j ( a ，俞( 知) ) 极点的充要条件为 ，c ( a a o ) p 0 1 ( x ，a ) ( 妒1 ( z ，a o ) + 疏( 入o ) 口1 ( z ，入o ) ) d z ，0 ，- o o + ( 入一入o ) 7 0 2 ( x ，a ) ( 妒2 ( z ，a o ) + 俞o o ( 入o ) 如( z ，a o ) ) d z = p 由于 记 定理2 1 5 m ( a ：俞o 。( 入o ) ) 的零点和极点在实轴上 证明下证： i m m 1 ( a 五, 5 页0 。( 一a o ) ) = p o 。| 妒1 ( z ，a ) 十m ( a ，俞。o ( a 。) ) 口，。，a ) 1 2 如+ 7 i 妒2x ，a ) + m ( a ，俞。( ) ) 如( z ，入) 1 2 d x ( i m a o ) ， 百i m m n ( a ) = j 9 o 。眦z ，入) + m 舢) 口- ( z ，坩如 + 7 k i 妒。( z ，入) + m n ( a ) 6 2 ( z ，a ) 1 2 ( f z ( b n c ) ， f 砂( z ，a ) ：妒( z ，a ) + m ( a ：赢。( 入。) ) p ( z ，a ) ， i 帆( z ，入) = 妒( z ，入) + m n ( a ) p ( z ，入) 内蒙古大学硕士学位论文 则 i i m m ( a 面, t z 广o 。( a o ) ) - p o 。z ，a ) + m ( a ，俞。( 训护。( z ，郴d x 一7 f 妒2 ( 奎，a ) + m ( a ，俞o 。( ) ) 如 ，a ) 1 2 d x f 0 ，当扎 1 时，使得 l m n ( 入) i l m ( a ，俞( a o ) ) l + 1 ，且3 c ，使得怖( z ，a ) l i c 所以 l i 妒l ( x ，a ) + m n ( a ) 臼1 ( z ，a ) 1 2 d x + 7 i 妒2 0 ，入) + m n ( a ) 如p ，a ) 1 2 d z ) 一( p l 妒1 ( z ，a ) + m ( a ，俞。( 入o ) ) 9 1 ( z ，a ) 1 2 d x f b ” + ，y l 妒2 ( z ，入) + m ( a ，肃。( 入o ) ) p 2 ( z ，入) 1 2 如) i i i i 砂n ( z ，入) 一妒( z ，入) l i n | i i i 砂。( z ，a ) 0 n + i i 矽( z ，入) i | l 2 c 2 a ，( a ，豌。( a o ) ) 一m n ( a ) i 对上述e ，再取2 ，使得当n 2 时，有l m ( a 俞o o ( a o ) ) 一m 。( a ) l 赤，再 取3 ，当n2 3 时，有1 7 臂1 妒2 ( x ，a ) + m ( a ，豌o o ( k ) ) 9 2 ( z ，a ) 1 2 d x i n 时，有 i p j 妒1 ( z ，a ) + m n ( a ) p 1 ( z ，a ) 1 2 d x p j 妒1 ( z ，a ) + m ( a ，俞。( a o ) ) 口1x ，入) 1 2 d x + 一y i 妒2 ( z ，a ) + m n ( 入) 如( z ，a ) 1 2 d x 一7 i 妒2 ( z ，a ) + m ( a ，谎o 。( a o ) ) 口2 ( z ，a ) 1 2 d z l ， 所以 里竺尘竺掣= j d o 。l 妒( z ，a ) + m ( 入，统( 入。) ) 0 1 ( z ，a ) 1 2 d z + 7 i 妒2 ( z ，入) + ，( a ，谎o 。( a o ) ) p 2 ( z ，：q 1 2 d x 内蒙古大学硕士学位论文 这表明当i m 入0 时，i m m ( a ，俞o 。( a o ) ) 0 令a = a o + 碱有i i m m ( a o + i 6 ，肃o o ( 入o ) ) i c 2 ；当6 _ 0 即i m a = 0 ，有 i m m ( a ，豌o o ( 知) ) = 0 综上m ( a ，俞o o ( 知) ) 的零点在实轴上 当i m a 0 时，m ( a ，流o 。( a o ) ) 氏( a ) ，故入不是m ( a ，俞o o ( 知) ) 的极点， 这表明极点也在实轴上 2 2 极限点型 本节主要讨论z 可在处为极限点的情况，首先我们给出具有转移条 件奇异$ l 问题的w e y l 函数的定义 在论文( 【3 】) 中给出了极限点的定义，并给出了m 函数的定义，知极限 点情形下g 收缩成一个点m 。于是给出如下定义 定义2 2 1 设微分算式2 剪在o 。为极限点， 叫胪一熙渊， 将m 。( 入) 记作m ( a ) ，称m ( a ) 为z y 的w e y l 函数 因为l i mc b ( a ) = m ( a ) ，所以对vk ，0 k o ；当i m a c 时，c 1 ( 入) 的圆心m x o ( a ) 和r 1 ( 入) 分别为： 呻) _ - 踹一面丽器丽， ，、 1 71a221imalpjoordx+7f：1022dx。 所以，m l o ( 入) ，r l ( a ) 都是上半平面的连续函数 这样当a 在b ，( a o ) 中变时，m l o ( a ) 和7 1 ( 入) 都是有界的，因此u a 研( 沁) ( q ( a ) 连同内部) 是m 平面上的有界集 1 3 内蒙古大学硕士学位论文 当b 1 时，对a 研( a o ) m 6 ( a ) 【j ( g ( a ) 连同内部) ， a e b , ( 抽) 所以，当b 1 时，m b ( a ) 对入b r ( a o ) 一致有界 而m b ( ) t ) 是a 的半纯函数，由于它在研( a o ) 上一致有界，因而不会有 极点，所以m b ( a ) ，b 1 都在研( 入o ) 上解析 取0 r l r ，考虑闭圆域研( ) ，弘研( 知) ，m 6 ( 入) 在i 入一p i r r l l 上解析由c a u c h y 型积分的求导公式，m ： ) = 丽1 圻a p i ：，川i 嚣尝枞， 从而 1 i m ；( p ) l f 三i s u p 入研( 知) i m 6 ( 入) i ( 6 l ，p 研( 入o ) ) ， 所以，由微分中值定理可知，m b ( a ) 在辟( a o ) 等度连续 进一步，由a r z e l a - a s c o l i 定理，3 b j ，j z + ，且_ 。o _ o 。) ，使 得， m b ( a ) 】- 在b r ( a o ) 上一致收敛到m ( 入) ，再由w i e r s t r a s s 定理知，m ( a ) 在b ( a o ) 上解析，特别地，m ( a ) 在a = 知处解析 ( 2 ) n 为挑( 天) = m b ( a ) ，系数及解均为实函数，所以m ( x ) = 丽 ( 3 ) 由于m ( a ) 在g ( 入) 内部， 所以， 当c 1 时，0 片i 妒x ( z ，入) + m ( a ) p 1 ( z ，a ) 1 2 d x 百i m m ( a ) ； 当c 1 时，0 片i 妒，( z ，a ) 1 2 如+ jr1 妒2 ( z ? ；0 1 2 d x 掣 事实上，如果妒1 ( z ，) q + m ( a ) o i ( x ，a ) = 0 ，z 【0 ，1 】知妒l ( z ，入) + j f ( a ) p 1x ，入) 三0 与妒1 ，p l 线性无关矛盾 如果石l 矽1 ( z ，入) 1 2 d x + 丢ri 砂2 ( z ，入) 1 2 d x ，z 【0 ，c ) u ( c ，1 】知矽1 三0 ，移2 兰0 与妒1 和0 1 ，妒2 和如，线性无关矛盾 于是，i m m ( a ) 与i m a 同号 ( 4 ) 由( 1 ) ，( 3 ) 知 ，( 入) 的零点和极点均在实轴上 1 4 i 第三章具转移条件奇异s l 算子w e y l 解的性质 前一章给出了极限圆，极限点情形的w e y l 函数，本章将对由w e y l 函 数决定的w e y l 解的性质进行研究 3 1 极限圆型w e y l 解的性质 在极限圆情形下，慨o o ( a o ) 氏( k ) ，w e y l 解为砂( z ) = 妒( z ，a ) + m ( a ，俞( a o ) ) o ( z ，入) 此w e y l 解依赖与俞o 。( 知) 的选取 定理3 1 1 极限圆情形下w e y l 解的性质，设i m a 0 ，i m a ，0 ， ( 1 ) 妒( z ，a ) = 妒( z ，a ) ； ( 2 ) ，l i r a 眇( ，a ) ，矽( ，a ，) 】( 6 ) = o ； ( 3 ) pf o 矽( z ，a ) 妒( z ，a 7 ) d x + 7f 妒( z ，入) 矽( 叠，a 7 ) 如= 丝她业芒笋坚逊业； ( 4 ) p 后i 矽( z ，a ) 1 2 d x + ，yr i 砂( z ，入) 1 2 d x = p i m m ( i x 。, t t a t 。c ( x o ) ) 证明( 1 ) 妒( z ，- ) = 妒扛，_ ) + m ( x ，矾( k ) ) p 0 ，- ) _ _ - _ _ 。_ _ _ _ 一，。、- _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 一 = 妒( z ，a ) + m ( a ， ，c 。( a o ) ) 1 9 ( z ，a ) = 矽( z ，a ) ( 2 ) 由定理2 1 ，2 我们有 渺( ，a ) 北石) 叭，a ) ，6 i ( ，石) i 愀，万) ，北面) 】( 6 ) 【北万) ：亿石) 】( 6 ) l = 矽( ，入) ：矽( ，a ，) ( 6 ) 【妒( ，入o ) ，口( ，石) 】( 6 ) ， 计算可知 眇( ，a o ) ，口( ，a o ) 】( 6 ) = 【妒( ，k ) + 豌o 。( 知) 9 ( ，a o ) ，叱砷】( 6 ) = p ( ，a o ) ，口( ，一a o ) 】( 6 ) + 俞。( 入o ) p ( ，x o ) ，口( ：石) 】( 6 ) = 7 ( 妒( ，入o ) ，口( ，入o ) ；b ) + 俞。( a o ) 7 w ( 口( ，a o ) ，p ( ，a o ) ) ( 6 ) = ，y ( ( ，a o ) ，6 i ( ，a o ) ；b ) 5 p 1 5 内蒙古大学硕士学位论文 所以 由 眇( ，a ) ，妒( ，石) 】( 6 ) = 【妒( ，a ) + m ( a ，俞。( a o ) ) 护( ，入) ，矽( ，) 】( 6 ) = 【妒( ，a ) ，妒( ，石) 】( 6 ) 4 - m ( a ，俞( 入o ) ) 咿( ，入) ，砂( ，万) 】( 6 ) 一【妒( ，a ) ，砂( ，石) 】( ) 4 - m ( 入，俞o 。( 知) ) 【6 ( ：入) ，砂( ，丽) 】( o 。) ， u 比州_ 昙f 龄瓮毵哥曷盼煞繁哥曷 m ( a ，豌( 入o ) ) 妇( ，a ) ，妒( ，砑】( 。o ) 4 - 庆。( 入o ) 陟( ，入) ，口( ，石) 】( o 。) 2 一丽两而焉丽可i 瓦瓦顽五丽雨言丽 【妒( ，a ) ，妒( ，入o ) 】( 。0 ) 【p ( ，入) ，妒( ，入o ) 1 ( o o ) 可得 渺( ，a ) ，砂( ，a o ) 】( 6 ) _ o ( 6 _ o 。) ； 同理可得 【妒( ，入，) 妒( ，a o ) 】( 6 ) _ o ( b o 。) 进一步有 ( ，a ) ，口( ，a o ) 】( 6 ) = 【妒( ，a ) ，p ( ，a o ) 】( 6 ) 4 - m ( a ，俞。( a o ) ) f p ( ，入) ，1 9 ( ，a o ) 】( 6 ) _ p ( ，a ) ，口( ，焉) 】( 。) + m ( 入，俞o 。( a o ) ) 咿( ：入) ，口( ，_ ) 】( ) ， 故 1 i m 眇( ，a ) ，口( ，a o ) 】( 6 ) 存在 同理 1 i m 眇( ：入，) 咿( ，凡) 】( 6 ) 存在 所以 。l i m 眇( ，入) ，砂( ，入，) 】( 6 ) = 0 ( 3 ) 由广义g r e e n 公式 p 。矽( z ，入7 ) m 妒( z ，a ) 如+ 7 6 矽( z ，a 7 ) m 矽( x , a ) d x 一，) z 。妒( z ，a ) m 砂( z ，a 7 ) d x - - p 6 砂( z ，a ) m 砂( z ，a 7 ) d x 3 1 1 = 【妒( z ，a ) ，妒( z ，剪) 】( 6 ) 一【砂( z ，a ) ，妒( z ，剪) 】( o ) ， 1 6 内蒙古大学硕士学位论文 我们有 眇( z ，入) ，矽( z ，i 7 ) 】( o ) = 【妒( z ，a ) + m ( a ，俞o 。( a o ) ) p ( z ，a ) ，妒( z ，a ) + m ( a 7 ，俞。( a o ) ) p ( z ，a 7 ) 】( o ) = f 妒( z ，入) ，妒( z ，a 7 ) 】( o ) + m ( a ，俞。( a o ) ) 【( z ：入) ，o ( x ，入7 ) 】( o ) + m ( a ，觅o 。( a o ) ) 【p ( z ，a ) ：( z ，可) 】( o ) + ，( a ，俞o o ( 知) ) m ( 入7 ，俞o 。( a o ) ) p ( z ：a ) ，o ( x ，可) 】( o ) = m ( a ，疵o o ( h ) ) 6 i ( z ，a ) ，妒( z ，万) ( o ) + m ( a 7 ，俞。( 知) ) 【妒( 上，a ) ，o ( x ，万) ( o ) = p m ( a ，俞o o ( 入o ) ) 彬( 1 9 ( z ，a ) ，妒( z ? a 7 ) ) ( o ) + p m ( a 7 ，俞o o ( 入o ) ) 彤( 妒( z ，入) ，o ( x ，a 7 ) ) ( 0 ) = p ( a z ( a 7 ，俞( 入o ) ) 一a ，( a ，俞o o ( 入o ) ) ) ， 所以由式子( 3 1 1 ) 有 p ci , b ( 入一a ，) 【矽( z ，a ) 砂0 ，a ) d x + 7 妒( z ，入) 矽( z ，a ) d x 】 = 眇( z ，a ) ，妒( z ，又) 】( 6 ) 一p ( m ( a 7 ，俞( 知) ) 一m ( a ，俞( 知) ) ) ， 令b 叶o o zc矽(z，a)妒(z，入7)dz+7砂(z，a)砂(z，入7)dz=旦垒!三叁-星堡型q生；=三s竺!垒幽 ( 4 ) 取a 7 = 灭，由( 3 ) 便可得 pz。i砂(z，a)12dz+7i妒(z，入)12如=可pimm(a,礼(ao) 定理3 1 2 极限圆情形下，w e y l 解砂( z ) = 妒( z ，入) + m ( a ，肃。( k ) ) o ( x ：a ) 是平方可积的，即属于空间l 2 ( ，) 证明由定理3 1 1 e e ( 4 ) 等号右边知矽( z ) l 2 ( ，) 3 2 极限点型w e y l 解的性