（基础数学专业论文）半群上的非交换调和分析及某些c代数的分类.pdf

摘要 本文分为两部分 第一部分我们研究半群上的非交换调和分析我们主要讨论了作用在半 群上取值于算子代数的完全单调函数我们证明了完全单调函数的几个等 价条件，并且讨论了取值予交换v o r ln e u l n a n n 代数的正定函数，半正定函数 及完全单调函数之间的关系 第二部分讨论了某些具有实秩零及平凡的l 群的可分c 4 一代数的分类， 我们先构造出c u n t z 代数通过紧算子的所有的扩张，并计算它们的k 一群我 们要分类的c * - 代数可表示为矩阵代数，c u n t z 代数上的矩阵代数，c u n t z 代 数的扩张上的矩阵代数及其可遗传的c + 一子代数的归纳极限一般来说，这 些c * - 代数不一定是单的，也不一定是纯无限的，但它包含了所有的a f 一代数， 及所有满足u c t 且有平凡的1 群的k i r c h b e r g 代数而且它关于商，归纳极 限，与a f 一代数傲张量积等运算是封闭的我们用来分类的不变量( v ) ， 1 a 】) ( 有单位元的情况) 是a 的矩阵代数中所有投影的m u r r y v o nn e u m a n n 等价类 所成的半群及单位元所在的等价类 关键词：向量值测度，正定函数，完全单调函数，c * - 代数，k 一理论扩张 a b s t r a c t t h ep a p e rc o n s i s t so ft w op a r t s w es t u d yn o n c o m m u t i t i v eh a r m o n i ca n a l y s i so ns e m i g r o u p si nf i r s tp a r t w em a i n l yc o n s i d e rc o m p l e t e l ym o n o t o n ef u n c t i o n sf r o ms e m i g r o u pt oo p e r a t o ra l g e b r a s w ep r o v et h ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n so fc o m p l e t e l ym o n o t o n e f u n c t i o n w ea l s od i s c u s st h er e l a t i o n s h i po fp o s i t i v ed e f i n i t ef u n c t i o n ，s e m i p o s i t i v ed e f i n i t ef u n c t i o na n dc o m p l e t e l ym o n o t o n ef u n c t i o nw h e nt h ef u n c t i o n t a k ev a l u e si nac o m m u t i t i v ey o nn e u m a n n a l g e b r a s ac l a s s i f i c a t i o no fc e r t a i ns e p a r a b l ec + 一a l g e b r a so fr e a lr a n kz e r ow i t ht r i v i a lk 1 一g r o u pi sg i v e ni ns e c o n dp a r t w ec o n s t r u c ta l lt h ee x t e n s i o n so fc u n t z a l g e b r a sb yt h ec o m p a c to p e r a t o r s ，a n dc o m p u t et h e i rk t h e o r y t h ec + 一 a l g e b r a sc o n s i d e r e d a r et h o s et h a tc a nb ee x p r e s s e da si n d u c t i v el i m i t so f m a t r i x a l g e b r a s ：m a t r i xa l g e b r a so v e rc u n t za l g e b r a s ，m a t r i xa l g e b r a so v e re x t e n s i o n so fc u n t za l g e b r a s ，a n dt h e i rh e r e d i t a r yc 4 s u b a l g e b r a s c * - a l g e b r a s i nt h ec l a s sa r en o tn e c e s s a r ys i m p l e t h e ya r e ，i ng e n e r a l ，n e i t h e rf i n i t en o r p u r e l yi n f i n i t e h o w e v e r ，t h ec l a s si n c l u d e sa l la f a l g e b r a s ，a n da l lk i r c h b e r g a l g e b r a sw i t hu c t a n dt r i v i a lk 1 一g r o u p i ti sc l o s e du n d e r q u o t i e n t s ，i n d u c t i r el i m i t sa n dt e n s o rp r o d u c t sw i t ha f a l g e b r a s t h ei n v a r i a n t ( y ( a ) ， 1 a ) t h a tw eu s e df o ru n i t a lc a s ei st h es e m i g r o u po fm u r r y - v o nn e u m a n n e q u i v a - l e n c ec l a s s e so f p r o j e c t i o n si nm a t r i c e so v e rc * - a l g e b r a st o g e t h e rw i t ht h ec l a s s o f t h eu n i t k e y w o r d s ：v e c t o r - v a l u e d r e c a s t ) r e ，p o s i t i v ed e f i n i t ef u n c t i o n s ，c o m p l e t e l y m o n o t o n e f u n c t i o n s ，c * - a l g e b r a s ，k t h e o r y , e x t e n s i o n i i 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发 表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名：墨l 盔堑每日期 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学 位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出 版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：剐栩每导师签名：关 赛 日期：口；军5 目气日日期：护埠# 舟1 婚 半群上的非交换调和分析 第一章引言 1 1 经典调和分析中的有美结论 在经典调和分析中，正定函数及完全单调函数是重要的研究对象，我们 回顾一下有关的结论 设，：( 0 ，+ 。) _ r 是任意阶可导函数，且( - 1 ) “，( “) 20 ，则称；0 完全 单调函数 定理1 1 1 ( b e r n s t e i n ，【6 ，p 1 1 ) 设，：( 0 ，+ 。) - r 是完全单调函数则存 在 0 ，+ 。 上唯一的b o r e l ；澳l j 度p ，使得 ， ，( 。) = e 以。咖( a ) j 0 设：r + _ 冗是一个函数，若对任意的n ， q ) cc ，及 ) cr 十， 有q 丐，( 墨+ q ) 0 ，则称，为正定函数 定理1 1 2 ( 1 1 ，p 1 3 5 ) 设，：r + 一r 是个连续函数，则下面三个条件等 价， ( 1 ) ，完全单调 ( 2 ) ，是有界正定函数 ( 3 ) ，是r + 上有限l k l d o n 测度的l a p l a c e 变换 1 2 本文的主要结果 在【8 】中，作者将定义于r + 上取值于v o nn e u m a n n 代数朋的强连续的有 界正定函数表示为取值于m 的半有界变差向量值测度的l a p l a c e 变换 在本文中，我们考虑取值于朋的完全单调函数 设，：r + 一朋是一个函数，x 0 r 十，如果存在a 朋，使得 l i m f 塑型二壁尘：n h - + 0 h 7 1 这里指弱算子拓扑下的极限，则称，在2 0 点可导，称口为在点茁；的导数 如果，在豫+ 上的任一点都可导，则称，在r + 上可导，其导数仍是r + 到m 中 的函数，称之为，的导函数如果其导函数仍在r + 上可导，则称，在r + 上 二次可导类似的，可以定义高阶导数记，的导函数为，( z ) ，n 阶导函数 为，( “( z ) ，( 0 ) = f 若，：r + 斗川在r + 上任意阶可导，且( 一1 ) ”，”i ( x ) 0 ，z r + ，n = 0 ：1 ，2 ，则称，为r + 上的完全单调函数 我们得到下面的定理： 定理3 2 4 设f ：r + _ m 是一个函数，则下面三个条件是等价的， ( 1 ) ，完全单调 ( 2 ) ，( z ) 0 ：且对r + 中的任意有限子集 zh 一，z 。) ，及任意z 醒+ ， 有 v 。，v ；。，( $ ) o ( 3 ) 对任意的n = 0 ，1 ，2 ，h 0 ，有 n ，2 ( - 1 ) ( 跏蚪独蚝r + 我们还讨论了r + 上取值于交换v o i in e u m a n n 代数的正定函数，完全单调函 数及半正定函数之闻的关系，我们用p l ，c m ，仍分别表示强连续的有界正 定函数，完全单调函数及弱连续的有界半正定函数的全体，则有下面的定理： 定理3 3 3 设m 为交换y o nn e u m a n n 代数，则p 1cc m c 伤 2 第二章预备知识 在这一章中，我们给i ：t ：i 了本文所需的基础知识，包括向量值测度和积分 算子半群等相关的定义和基本结论 2 1 向量值测度和积分 定义2 1 1 设( q ，冗，盯) 是口一有限测度空间，x 是b a n a c h 空间，设映射 冗_ 十x 满足可歹l j 可加性，即对任何一列互不相交的可浏集 e 。) ，有 o 。 p ( u 晶) = p ( 风) ， m 其中右端的级数表示 p ( 晶) 按x 中范数收敛的极限，则称p 为7 2 上的向 n = l 量值测度 设p ：冗- 9 x 是向量值测度，e 冗，规定 p i i ( e ) = s u p i f0 p i ( e ) ：f x ，i l f l is1 ) ，e 冗 称l | 是p 的半变差若i i ( q ) 0 ，有 瓦+ = 噩咒 则称 biz o ) 为一( 单参数) 算子半群 若对任意f x ，向量值函数疋是弱可测的，则称算子半群 露| x 0 ) 是弱可测的 定理2 2 2 设t ( 。) 0 ) 是h i l b e r t 空间h 上的自共轭算子的弱可测 半群，则 。1 i r a 。2 ：- 1 l o gi i t ( x ) l l = u o ，蛳 0 ， f w o r ( z ) f = e 旭d p ( a ) z ，v f 日， j 一。 其中j 是投影算子，斯是它的值域，p ( a ) 是耵上无穷小算子 r u 0 a o = a 吐p ( a ) 。， j o 。 ，u 0 d ( a o ) = ：f 而，a 2 d l l p ( a ) x n 2 + o 。) d 一 的单位分解 5 第三章完全单调函数 在这一章中，我们证明了完全单调函数的几个等价条件，并且讨论了取 值干交换v o nn e u m a n n 代数的正定函数，半正定函数及完全单调函数之间 的关系 3 1 半群上的算子代数值函数 设s 是半群，m 是作用在h i l b e r t 空间hi - 的v o l tn e u m a n n 代数 设e 是s 到m 中的所有函数的集合，我们在e 上定义拓扑如下 设，q h ，s s ，在e 上定义线性泛函 皤，。( ，) = ( ，( s ) f ，q ) ，f e 若对任意的，q h ，s s 有u ；，_ ( ，) = 0 ，则，= 0 ，即 u ；，目i ，q h ，s s ) 是e 上的分离的线性泛函族，则半范数族 | 叫 ，目( 删：r h ，s s 诱 导出e 上的一个局部凸拓扑，记为r ，则e 成为局部凸的h a u s d o r 踺间 设f o e ，则集合 ( ，0 ：u a 一，：，) = ，e ：i ( ( ，一，0 ) ( s ，) 6 ，吼) i 0 ，6 ，仇h ，8 i s ，i = 1 ，m ) 构成了，0 在拓扑r 下的一组凸的 邻域基 e 中的网 厶) 按拓扑7 收敛于哟充分必要条件是对任一s s ， 厶( s ) 在 m 中按弱算子拓扑收敛于，( s ) 定理3 1 1 设c c e 是r 一紧的凸集，7 ：s _ + s 是一个映射， q = f c ：i f ( s ) 1 2 ，( 7 ( s ) ) ，v s s ) r = f c ：，( s ) 1 2 = ，( ，y ( s ) ) ，v s s ) 其中i f ( s ) 1 2 = ，( s ) ，( s ) 则 1 1 ) c ；是r 一紧凸子集，且pc e 。( q ) ( 2 ) 若e z ( c ) cf ，则e z ( c ) = f 证明先证( 1 ) 易见c 是c 的r 一闭子集，而c 是r 一紧的，从而g 是r 一紧的 现在证明g 是凸的 设f ，g c j ，0 a o ，v n ， 句 cs ( 靠( 朋) 中) 则称，是正定的 8 我们用- p 1 表示r + 到m 中的强连续的有界正定函数的全体， 定理3 1 5 ( 8 ，定理2 2 ) 设，是从醒+ 到m 中的范数连续的有界正定函数 则，可以表示为r + 上m 值的有界半变差向量值测度p 的l a p l a c e 变换，即 ，。 ( x ) = e - x x 咖( a ) 3 2 完全单调函数 定义3 2 1 设f ：r + _ 川是一个函数，z o r + ，如果存在a m ，使得 l i m 地! 掣二丝! ! ：o ， h - - 0h 这里指弱算子拓扑下的极限，则称，在z o 点可导，称。为在点z o 的导数 如果，在r + 上的任一点都可导，则称，在r + 上可导，其导数仍是r + 到m 中的函数，称之为，的导函数如果其导函数仍在r + 上可导，卿称，在r + 上 二次可导类似的，可以定义高阶导数记，的导函数为，( o ) ，n 阶导函数 为，( “( z ) ，产) = f 命题3 2 2 设，是豫+ 上到m 中的可导函数，若f ( x ) 0 ，x ) o ( so ) ， 则弹调递增( 递减) ，即，当0 x l 0 ，有 v h v h f ( x o 一2 h ) = v h ( f ( x o 一2 h ) 一f ( x o 一 ) ) = f ( z o 一2 h ) 一2 f ( x o h ) + f ( x o ) 2 o 令h _ 0 ，可得 ( x o ) f ( x o 一0 ) 又因为 v h v h f ( x o h ) = f ( z o h ) 一2 ，( z o ) + f ( x o + h ) 0 ， 令h _ 0 ，可得 ，( z o + 0 ) + ，( z o 一0 ) 2 ，( z o ) 从而 f ( x o + 0 ) = ( z o ) = f ( x o o ) ： 即，( z ) 在。o 点弱算子连续口 推论3 2 7 设，满足定理3 2 4 中的( 2 ) ，则当o z l x 2 x 3 时，有 ! 苎1 2 二! 兰12 f 兰1 2 = ( 三1 2 f 兰1 2 二f 兰! ! x 2 一。l z 3 一茁l 一 茹3 一x 2 证明。我们只证明第一个不等号 设。3 一x l = h ，对任意n ，令y k = x l + 舞 ，k = 0 ，1 ，一，n ，则由引理3 2 6 有 0 f ( y 1 ) ( y o ) f ( y 2 ) 一，( t ) f ( v 。) 一f ( y 。一1 ) ， 则当m n 时， ! 塑上! 幽 幽二= f 幽 即 丝! 釜! 上坐12 。c 时，有 由，( 茁) 的连续性，得 ，( 。2 ) x f i x l ) x 1 ! 兰! l = 垫2 一 黝一x l 口 定理3 2 4 的证明( i ) ( 1 ) 争( 2 ) 先证明( 1 ) 净( 2 ) 我们只要证明以下结论即可： 对任意的礼n ，x l ，x 。，x r + ，及任意的完全单调函数，有 v 。，v 。，( z ) 0 用数学归纳法 当n = 0 ，1 时，结论显然成立 假设对任意的z 1 1 一，。，z r + ，及任意的完全单调函数，有 v 一v 。f ( z ) 0 则对任意的。- ，。n ，x n + l ，茁r + ，及任意的完全单调函数，有 v 。- v 。v z 。+ 。，( z ) = = v 。，v 。( ，( ) 一f ( x - t - x n + 1 ) ) 】2 设g ) = ，扛) 一，扛+ x n + 1 ) ，由于( 一1 ) ，( z ) 单调递减，则 ( 一1 ) 2 9 ( 。( z ) = ( 一1 ) ，( ( z ) 一( 一1 ) ，( z + x k + 1 ) 0 ，k = 0 ，1 ，2 即9 ( z ) 是完全单调函数，由归纳假设， v 。v 。v 。+ 。f ( x ) = v z 。v z 。9 ( z ) 0 - 从而结论成立进而( 1 ) 号( 2 ) 成立 下证( 2 ) 辛( 1 ) 设，满足( 2 ) ，先证明，( 。) 可导，且，( z ) 0 设o r + ，0 文 如，由于 丝二生! 二型丝尘；二塑o ， -b2ol 从而正( z ) 存在 又因为 丛掣o l 墨塑掣0 1 丛掣0 2 一 从而n ( z ) 存在，且正( z ) 鼻( z ) 曼0 若z y ，取o 6 一 、j z ，【，“ v o v 3 3 取值干交换v o i in e u m a n n 代数的完全单调函数 在本节中，我们假设m 是交换的y o nn e u m a n n 代数 下面的引理刻划了k 的端点 5 l 理3 3 1e x ( k ) = ，kiy ( x + g ) = ，( 。) ，( y ) ，z ，y + ) 证明：设j = ，ki ，( z + y ) = ，( z ) ，( ) ，z ，y t + ) 设f e x k ，y 0 ，定义u ) = f ( x + y ) 一，( z ) ，( ) ，z 0 ，则f 土u k 事实上，我们有， ( 一1 ) “( ，+ t 正) “ ) = ( 一1 ) “，( “( z ) + ( 一1 ) “，( “ + y ) 一( 一1 ) “，( ) ，“( z ) = ( i 一，( y ) ) ( 一1 ) 8 ，( n ( z ) + ( 一1 ) ”，加( z + y ) 0 ( ，+ u ) ( 0 ) = f ( o ) + f ( y ) 一，( o ) ，( ) = ( i 一，( 9 ) ) ，( 0 ) + f ( y ) 1 ( 一1 ) “( ，一u ) ( “扛) = ( 一1 ) ”，( ”扛) 一( 一1 ) “，( “( z + y ) + ( 一1 ) “，( ) ，( “江) 0 ( f u ) ( o ) = f ( o ) 一f ( y ) + f ( o ) f ( y ) = f ( o ) 一，( ) ( j 一，( 0 ) ) 1 从而，+ 让，一ue k ，有，= 上笋+ 上尹，但，是k 的端点，于是u = 0 即 ，( z + y ) = ，( z ) ，( ) ，x ( y 0 ， 则e z ( k ) c j 1 6 定义 7 ：r +_ r + zh2 x f = ，kii ，( z ) 1 2 = ，( 7 ( z ) ) = f ( 2 x ) ，z r + ) j 则e x ( k ) cj cf ，而k 是e 的f 一紧的凸子集，由定理3 1 1 知，e x ( k ) = f = j 口 引理3 3 2 设a 是交换的c * - 代数，n n ，a = ( a i j ) 靠( a ) ，则a 0 的 充分必要条件是对ai - 的任一个纯态p ，( p ( n 。，) ) 0 证明设a = e ( x ) 其中x 是紧h a u s d o f f 空间，则m 。( a ) = ( c ( x ) ) = c ( x ， 靠) ，从而 a 0 = v z x ，n ( z ) = ( o j ( o ) ) 0 n 营v x x ，v c dc c ，q 丐口玎( z ) 0 l ，j = l n 爷v c i c c ，h c ( x ) z j f f ：一纯态p ，c i 丐p ( a i j ) 0 i ，j = 1 铮对c ( x ) 的任一纯态p ( p ( a i j ) ) 0 u 定理3 3 3 设m 为交换的v o r ln e u m a n n 代数，则rcc mc 岛 证明：设f r ，由定理3 1 5 ，存在r + 上朋值的有界半变差向量值测 度p 使得 ，( 石) = e 一1 2 d 卢( a ) 则对任意的咒， 孔) cr + ，及z r + ，有 v v 。，( z ) = v 一v 。e h d u ( a o o ) ， j 0 = z 。v 一v 舻咖蝴) 0 1 7 则，c m ，从而p lc c m 下面证明c mc 伤 由于岛是r 一闭的，凸的，因此我们只需证明e x ( k ) c 伤设，e x ( k ) ， 由引理3 3 1 ， ，( z ) ：z o ) 是h i l b e r t 空间h 上的自共轭算子的弱可测半群， 且l i f ( x ) l i 1 ，则 m ) ： 0 e z 劫( a ) 。：，”。砘d ( i p ( 一a ) ) 。j 0 设e ( a ) = i p ( - a ) ，则有 f ( x ) = e 。d e ( a ) 其中e ( a ) 是取值于朋上的有界半变差向量值测度 对任意的n ， x i cr + ，我们要证明( y ( x i + ) ) 在m ( m ) e o 是正元，由 引理3 3 2 ，只需证明对m 上的任一纯态p ，( p o ，( z ；+ ) ) 0 由定理1 1 2 p o ，( z ) = e - a s ：d p 。p ( a ) ， 是r + 上的正定的实值函数，从而( p 。，( 鼢+ x a ) 0 ，进而( ，( + 码) ) 0 即，半正定，则c mc 伤口 1 8 参考文献 1 】b e r g ，c ，a n dc h r i s t e n s e n ，j p r a n dr e s s e l ，p ，h a r m o n i ca n a l y s i so n s e m i g r o u p s ，s p r i n g e r v e r l a g ，1 9 8 4 2 d i e s t e l ，j a n dv h l ，j r ，j j ，v e c t o rm e a s u r e ，a m sm a t h e m a t i c a ls u r v e y s ，1 5 ，1 9 7 7 3 】h i l l e ，e a n dp h i l l i p s ，r s ，f u n c t i o n a la n a l y s i sa n ds e m i g r o u p s ，a m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y ，1 9 5 7 4 】k a d i s o n ，r v a n dr i g r o s e ，j r ，f u n d a m e n t a l so ft h et h e o r yo fo p e r - a t o ra l g e b r a s ，i ，i i ，a c a d e m i cp r e s s ，1 9 8 6 5 p e d e r s e n ，g k ，c * - a l g e b r a sa n d t h e i ra u t o m o r p h i s m g r o u p s ，a c a d e m i c p r e s s ，n e wy o r k 1 9 7 9 6 】r o b e r t ，r p h e l p s ，l e c t u r e so nc h o q u e t t 8t h e o r e m ，d v a nn o s t r a n d c o m p a n y , i n c ，1 9 6 6 7 】吴良森，算子代数上的厂。义正定函数，数学年刊，1 8 a ：2 ( 1 9 9 7 ) ，1 8 7 1 9 2 8 吴良森，半群上的非交换调和分析，数学年刊，1 9 a ；5 ( 1 9 9 8 ) ，5 8 3 5 8 8 1 9 某些c 冰- 代数的分类 第一章引言 1 1c + 一代数的分类 近二十年来，c + 一代数的分类问题一直是算子代数的中心问题之一而倍受 关注1 9 7 6 年，g a e l l i o t t 1 0 用维数群对a f 代数进行了分类，上世纪9 0 年 代初，g a e l l i o t t 【1 1 用k 一理论对单a t 代数进行了分类，之后，关于c + 一代 数分类的论文大量涌现( 1 0 】，【1 1 ，【1 2 ，【1 3 ，【1 4 ，【1 5 】， 1 6 ，【1 8 】， 2 0 ，【2 6 ， 3 2 】， 【3 5 】，【4 0 ， 4 l 】， 4 2 ， 4 3 ，【4 5 】 【5 2 】，【5 3 】，【5 4 ，【5 5 ，【5 6 】，等等) 到日前为止，在c + 代数的分类中，一般只考虑单c + 一代数对于纯无限的 单c * - 代数，k i r c h b e r g ( 2 6 ) p h i l l i p s ( j 5 2 ) 对k i r c h b e r g 代数进行了分类在 有限的单c + 一代数方面，e l l i o t t 和g o n g 等关于a h 代数的分类的结果较为深 刻我们在第二章的第三节中对这些重要的结果做了简要的回顾 在c + 一代数的分类中，两个c + 一代数的同构是通过一个不变量来实现的， 其证明过程基本上是按照g a e l l i o t t 在【1 1 中的模型来进行的，一般包括 以下几个部分首先要证明两个c + 代数的不变量之间的态射必定是由这 两个c + - 代数之间的个+ 同态所诱导的，这就是存在性定理；第二部分是 唯一性定理，我们必须证明，若c + 一代数间的两个 一同态诱导了不变量之间 相同的态射( 可能会有其它附加条件) ，则这两个+ 一同态是近似酉等价的；最 后证明结论，即，两个c + 一代数同构的充分必要条件是它们对应的不变量是 同构的 k 一理论在c + 一代数的分类中有重要作用，从已有的结果来看，用到的不变 量大都与k 一理论密不可分 1 2 本文的主要结果 设h 是可分无限维的h i l b e r t 空间，t 1 ，t 2 t 。是竹个具有正交值域的等 距，并且t i t ： 1 设e = l 一t 。曩 设e 。更由t 一，t 。生成的泛c * - 代数，( b ) 是由e 生成的b 的( 唯一的闭 双侧) 理想，则，( e ；) 同构于庀，并且j k 是0 。的通过咒的保单位的本质扩张( 见 6 1 ，【3 2 ) 在【3 2 】中，作者考虑了一族称之为q 的c * - 代数的分类q 中的c * - 代数是e 一 代数的有限直和的归纳极限，其中e 一代数是指形如p 靠( f k ) p 或g m 女( 0 n ) 口的 c + 一代数，其中p ，q 分别是m 女( 昂) ，帆( o 。) 中的投影用a ) 表示m * ( a ) 中 投影等价类全体所成的半群有下面的分类定理： 定理1 1 1 ( 3 2 】，定理5 2 ) 设a 和b 是n 中的有单位元的c + 一代数，若o ： ( y ( a ) ，【1 】) 斗( y ( b ) ， 1 日 ) 是同构，则存在同构妒：a b ，它诱导了血， i e 妒。= q 由于e x t ”( 0 。) 皇z 。“我们可以构造出0 。通过尼的所有的扩张，再按 照3 2 1 中的方法构造出一族c + 一代数，我们仍称之为q 从而q 中的c + 一代数 是e 代数的有限直和的归纳极限，其中e 代数是指c u n t z 代数，c u n t z 代数 上的矩阵代数，c u n t z 代数的( 所有) 扩张上的矩阵代数及其可遗传的c + 一子 代数本文就是要讨论这些c + 一代数的分类 q 中的c + 代数一般不是单的，它们是实秩零的，但一般来说，它们不具有 有限的稳定秩，也不是纯无限的但是，它包含了所有的a f 一代数，也包含了 所有满足u c t 的可分的核的纯无限单的，且具有平凡的k 1 群的k i r c h b e r g 代 数而且它关于商，归纳极限，与a f 一代数做张量积等运算是封闭的 本文是这样安排的 第二章中我们介绍了一些基础知识，包括c + 一代数k 一理论，c + 一代数的扩 张等，同时我们列举了近年来在c + 一代数的分类方面的重要结果 第三章讨论了c u n t z 代数的扩张我们构造出了c u n t z 代数通过紧算予代 数的所有扩张，并计算出它们的k 群得到下面的定理 定理3 2 3j 6 ( 磁) = z 由z ( 。_ 1 t ) ，k t ( 磁) = 0 ，其中m 一1 ，) 是n 一1 和的 最大公因子 第四章中证明了存在性与唯一性定理我们先对e 代数进行证明，再证 明我们最终的结果在证明唯一性定理时，我们分两种情况进行了讨论具 体结果如下 定理4 1 5 设a 和d 是b 代数的有限直和， n ：( y ( a ) ，【1 a ) 斗( v ( d ) ，【1 d ) 是一个同态，则存在同态妒：a _ d ，它诱导了o ，i e = o ，并且p ( 1 a ) = 1 d 定理4 2 1 2 ( 唯一性定理) 设a 和b 是q 中的两个c + 一代数，妒，妒是a 到b 的两个同态，满足： ( i ) 若a 是有单位元的，妒( 1 ) 酉等价于妒( 1 ) ，或者 ( i i ) 若a 没有单位元，则日也没有单位元，且印( e ，。) _ 1 】f ，( e 。) 】，其中 e i ， t = l nn 妒( e 。) ) 及 妒( e ：) ) 是a 和b 的由投影组成的近似单位 则妒和妒是近似酉等价的当且仅当它们诱导了v ( a ) - - - + y ( b ) 的相同的 同态 定理4 2 1 3 ( 存在性定理) 设a 和b 是q 中的两个c + 一代数， o ：( a ) v ( b ) 是一个同态若a 是有单位元的，且a ( 1 a ) = 嘲，其中p d 是投影，则存在 一个保单位的同态妒：a b ，它诱导了血，i e 似= o ，使得妒( 1 ) = p 我们在第五章中证明了分类定理即， 定理5 1 2 ( 分类定理) 设a 和日是n 中的有单位元的c + - 代数，若血：( v ( a ) ， 1 a 】) 一( y ) ，【l b 】) 是同构，则存在同构妒：a b ，它诱导了q ，i e 妒= 口 第二章预备知识 在这一章中，我们将给出整篇论文所需的基本概念和结论主要包括c + 一 代数k 一理论，c * - 代数的扩张及k i r c h b e r g 代数同时我们回颐了c * - 代数分 类f f o - - 些f f 要的结果关于c + 一代数的基本概念可参考 2 3 】，【2 7 等 2 1c + 代数k 一理论 定义2 1 1 设a 是c + 一代数，p ，q 是m o o ( 4 ) 中的投影，如果存在部分等距 ， 使得v * v = p ，v v + = q ，则称p 和q 是( m u r k , 一y o nn e u m a n n ) 等价的，记为p q 若存在矿sq ，使得p 一一，我们记为p ! 口 引理2 1 2 设a 是c + 代数，p ，g 及p ，g 是a 中的投影， ( 1 ) 如果p p l 且q 一“则p 0q p ，o q ( 2 ) p 0q 一q o p ( 3 ) 若p q = 0 ，则p oq p + q 易见“一”是p r o j ( m 矗( a ) ) 中的等价关系，用v ( 4 ) 表示p r 研( a ( a ) ) 中 投影等价类的全体，设p p r o j ( ) ) ，用纠表示p 所在的等价类，则v ( a ) 是交换半群 定义2 1 3 设a 为有单位元的c + 一代数，我们定义g o ( 4 ) 为v ( a ) 的g r o t h e n d i e c k 群 k o ( a ) 是交换群 设a 和b 是有单位元的c + 代数，h ：a _ + b 是+ 同态，我们