（基础数学专业论文）素数p在q6√u中的素理想分解.pdf

摘要 自从k u m m e r 给出理想的定义，d e d e k i n d 发展了理想理论，素理想的分解问题一 直是代数数论的一个重要课题，它在丢番图方程、类域论方面有很广的用途，尤其对解 决丢番图方程中一大堆未解决的问题有很强的工具作用，因此如何判断素理想在域的有 限扩张中分解状况是迫切而有意义的 设q 为有理数域，p 为q 的素理想，r 为其赋值环，x 6 - u ( u r ) 在有理数域q 上 是不可约多项式研究素理想的分解问题主要有两种方法，其一是采用扩张平移的方 法，其二是采用局部域的方法在本文中，我们将采用局部域方法，利用同余方程是否有 解，研究多项式x 6 一“在局部域上分解情况，解决了有理数域q 中素理想p 在q ( “) 中 的分解问题这里p 有三种取值：( 1 ) ( p ，6 ) = 1 ，( p ，u ) = 1 ，( 2 ) p6 ，( p ，u ) = 1 ，( 3 ) p 4i iu 并完全确定了分解所可能有的形式 关键词 素理想，全分歧的，局部域，e i s e n s t e i n 多项式 a b s t r a c t s i n c ek u m m e rg a v et h ed e f i n i t i o no fi d e a la n dd e d e k i n dd e v e l o p e dt h et h e o r yo fi d e a l ， p r i m ei d e a ld e c o m p o s i t i o ni sa l li m p o r t a n tp r o b l e mi na l g e b r a i cn u m b e rt h e o r yw h i c hh a s e x t e n s i v ef u n c t i o no ft h ed i o p h a n t i n ee q u a t i o na n dt h ec l a s sf i e l dt h e o r y e s p e c i a l l y , i ti s s t r o n gt os o l v eap i l eo fu n s o l v e dp r o b l e m si nt h ed i o p h a n t i n ee q u a t i o n h e n c ei t i su r g e n t a n ds i g n i f i c a n tt of a c t o rt h ep r i m ei d e a lo f qi ni t sf i n i t ee x t e n s i o nf i e l d q i st h ef i e l do fr a t i o n a ln u m b e r s ，pi sqp r i m ei d e a l ，a n dri st h ev a l u a t i o nr i n g z 6 一u ( u r ) i sau n i q u em o n i c ai r r e d u c i b l ep o l y n o m i a lr a t i o n a ln u m b e r sq t h e r ea r et w o w a y st of a c t o rt h ep r i m ei d e a lo f qi ni t sf i n i t ee x t e n s i o nf i e l d o n ei se x t e n s i o na n dm o v i n g ， t h eo t h e ri sl o c a l - i n t e g r a li d e a l 。b yl o c a l - i n t e g r a li d e a l ，t h i sp a p e rg e t st h a nw h e t h e ra c o n g r u e n c ee q u a t i o nh a ss o l u t i o n s ，w ei n v e s t i g a t et h ed e c o m p o s i t i o no fp o l y n o m i a l 工6 一“ i nal o c a lf i e l dt od e t e r m i n et h ed e c o m p o s i t i o no fap r i m epi nq ( 6 呖) i th a st h r e ec a s e s ： ( 1 ) ( p ，6 ) = 1 ，( p ，u ) = 1 ，( 2 ) p6 ，( p ，u ) = 1 ，( 3 ) p 4i iu a n dw e e s t a b l i s h e dt h ep o s s i b l e t y p eo fd e c o m p o s i t i o n o fp r i m ei d e a l 。 k e y w o r d s p r i m ei d e a l ，f u l l yr a m i f i e d ，l o c a lf i e l d ，e i s e n s t e i np o l y n o m i a l 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许 论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构将本学位论 文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：! 至垒丝 矽夕7 年石月z 日 舯教师签名：盂造 叩f 月日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 谢意。 学位论文作者签名： 2 蔓爱尉 月日 西北大学硕二i ：学位论文 1 1 研究背景及课题意义 第一章绪论 代数数论是研究代数数域和代数整数的- - i - j 学问，至今已有2 0 0 年的历史，起始于 高斯( c fg a u s s ，1 7 7 7 1 8 5 5 ) ，他研究了二次型和分圆域，给出了同于概念，以及二次 互反律许多证明，他的著作“算术研究 是划时代的，终结了自欧几里得( e u c l i d ) 和丢 番图( d i o p h a n t u s ) 以来的古典数论，开辟了新的历史阶段代数数论的系统理论创始于库 默尔( e r n s te d u a r dk u m m e r ，1 8 1 0 1 8 9 3 ) ，他在研究费尔马( f e r m a t ，1 6 0 1 1 6 6 5 ) 猜想( 对 每个整数”3 ，方程石”+ y ”= z “无正整数解) 时，提出了“理想数”，对分圆域也进行 了深入的研究，推动了该问题的研究，促进了数论的发展d e d e k i n d ( 1 8 3 1 1 9 1 6 ) 在库 默尔研究的基础上发展了理想理论，德国大数学家希尔伯特在“数论报告 中对于各种代 数数域的性质加以系统总结和发展，经过整整1 0 0 年，代数数论由此定型 自从k u m m e r 给出理想的定义，d e d e k i n d 发展了理想理论，素理想的分解问题一 直是代数数论的一个重要课题设l k 为数域的扩张对于d 中的素理想p ，p o k 在 q 中的素理想分解式为： j p q = 研鹾2 e g s ，p ，l ，g 1 p 在o 。中的g 个素理想因子b f ( 1 f g ) 可以用en0 k = p 来表示e ，叫作是b ，分歧指 数，表示成p ，= e ( b ，p ) ，数g 叫做是分裂次数扩张次数p 。b ，：0 k 尸 叫做是b ，的剩余 类域次数，表示成f ( b i p ) 我们希望有办法求出素理想分解的三个基本参量p ，f ，g ，以及尸在0 。中的全部素理 想因子e ，b 。 素理想在m 次根扩张中的素分解时，分为两种情况：一种是基域中含有m 次本原 单位根的情况；另一种是基域中不含有m 次本原单位根的情况，1 9 6 7 年的c a s s e l sj w s 和1 9 6 8 年的e a t i n 和j t a t e 对非素数次的代数数域的根扩张进行了一般性讨论，1 9 8 0 年g e o r g eu b r a u e r 和j a yr g o l d m a n 给出了k 为代数数域，k 为k 的素数次根扩张时完 整的结果，对于第二种情况，1 9 7 5 年si y a n a g y 和1 9 7 7 年w i l l i a my s l a sv e l e s 给出了当 第一章绪论 k 为代数数域，k 为k 的m 次根扩张，k 中不含有除1 以外的任何次本原单位根的比 较好的结果 1 1 9 9 8 - 1 9 9 9 年高恩伟与张金霞研究了素理想( p ) 与( 3 ) 在q ( us ) 中的分解【1 ，2 】；同年， l 张金霞研究了素理想在q ( u5 ) 中的分解【3 1 ；2 0 0 0 年高恩伟和张金霞研究了素理想( 7 ) 1 l 再在q ( u7 ) 中的分解川；2 0 0 2 年郝- - ) l 等研究了素理想( p ) 在q ( u t ) 中的分解【5 1 ；同年， 土 高恩伟研究了素理想( p ) 在q ( u3 “) 中的分解1 6 1 ；2 0 0 3 年高恩伟研究了素理想( p ) 在 l1 q ( u5 ”) 中的分解；2 0 0 4 年高恩伟和张金霞研究素理想( p ) 在q ( u p ) 中的分解【8 1 以上 作者采用了扩张平移的方法研究素理想的分解文 9 】- 1 5 考虑了有关素理想分解的其 他方面2 0 0 6 年，薄丽玲，岳勤采用局部域方法，利用同余方程是否有解研究了素理想( p ) li 在q ( u - 1 )q ( u - y ) 中的分解【1 6 】，其中，为奇素数 1 2 主要成果和内容组织 本文的工作是利用局部域的方法，讨论了素数p 在q 的6 次根扩张q ( u6 ) 中的分解 问题，并完全确定了分解所可能有的形式，具体如下： 定理3 1 1 ：设f = q ( u6 ) ，p 为奇素数，u z ，( p ，6 ) = 1 ，( p ，u ) = 1 - 当( 号) ：= 和( ； ，= ，时， ( 1 ) 当p 兰l ( m o d 3 ) 时，p g _ = r 日b 只只b ，( 只p ) = 1 ，i = 0 , 1 ，2 ，5 ( 2 ) 当p 三2 ( m o d 3 ) 时，p o f = p o p , 5 5 ， f ( p o p ) = 1 ，f ( p i p ) = 1 ，f ( p 2 p ) = 2 ，f ( p 3 p ) = 2 2 当( 詈 ：= 一和( 詈) ，= 一时， p o f = p ，f ( p p ) = 6 3 当( 号 ：= 和( 盖 ，= 一时，p 。f = r 鼻，厂c r ，p ，= 3 ，厂c 鼻，p ，= 3 4 当( ；) ：= 一和( 盖) ，= ，时，p 。f = 只只最， 西北大学硕：j ：学位论文 ( r p ) = 2 ，厂( 只p ) = 2 ，厂( 只p ) = 2 定理4 1 1 ：设尸= q ( 6 4 - f f ) ，p 为素数，p6 ，( p ，“) = 1 ，“z 1 当p = 3 ，( p ，“) = 1 时， ( 1 ) 当x 3 三u ( m o d 9 ) 有解， a ) 当x 2 兰u ( m o d 3 ) 有解时，3 0 , - = ( r 鼻) ( 只b ) 2 ，厂( 只p ) = 1 ，i = 0 , 1 ，2 ，3 b ) 当x 2 兰u ( m o d 3 ) 无解时，3 0 f = r ( 只) 2 ，f ( p o p ) = 厂( 只p ) = 2 ( 2 ) 当x 3 三u ( m o d 9 ) 无解， a ) 当石2 暑u ( m o d 3 ) 有解时，3 0 f = ( 异只) 3 ，厂( 只p ) = 1 ，i = 0 , 1 b ) 当x 2 兰u ( m o d 3 ) 无解时，3 0 f = p 3 ，f ( p p ) = 2 2 当p = 2 ，( p ，u ) = 1 时， ( 1 ) 当u 三l ( m o d 8 ) 时，2 0 ，= p o p , 6 9 ， 厂( p o p ) = f ( p t p ) = 1 ，厂( 最p ) = 厂( 只p ) = 2 ( 2 ) 当u 三5 ( m o d 8 ) 时，2 0 f = p o e , e 2 ，f ( e o p ) = ( 鼻p ) = 厂( p ) = 2 ( 3 ) 当“三3 , 7 ( m o d s ) 时，2 0 f = 焉鼻2 ，f ( p o p ) = 1 ，厂( 只p ) = 2 定理5 1 1 ：设f = q ( u6 ) ，p 为奇素数，u z ，p 4i | u 1 当( p ，6 ) = 1 时，p o f = 尸6 ，f ( p p ) = 1 2 当( a , 3 ) = 1 ，a = 2 ，p 2 ， ( 1 ) 当石2 三u ( m o d p ) 有解时，p o 尸= 碍只3 ，f ( p o p ) = 1 ，厂( 鼻p ) = 1 ( 2 ) 当x 2f - u ( m o d p ) 无解时，p o f = p 3 ，f ( p p ) = 2 2 当( a , 2 ) = 1 ， 口= 3 ，p 3 ， ( 1 ) 当x 3 暑u ( m o d p 2 ) 有解， a ) p 富l ( m o d 3 ) 时，p o f = 露鼻2 碍，厂( e p ) = 1 ，i = 0 , 1 ，2 3 第一章绪论 b ) p 三2 ( m o d 3 ) 时，p d f = ( r 只) 2 ，f ( p o p ) = 1 ，厂( 鼻p ) = 2 ( 2 ) 当x 3 兰u ( m o d p 2 ) 无解时，p 啡= p 2 ，f ( p i p ) = 3 3 当( 以，3 ) = 1 ，口= 2 ，p = 2 ， 0 ) 当4 u - 毫5 ( m o d 8 ) 时，p o ，= p 3 ，f ( p i p ) = 2 ( 2 ) 当百u 暑l ( m 。d 8 ) 时，p 啡= 碍只3 ，f ( p 0 p ) = 1 ，f ( p 。p ) = 1 ( 3 ) 当署暑3 ，7 ( m o d 8 ) 时，p 啡= 尸6 ，f ( p p ) = 1 3 当( a , 2 ) = 1 ，a = 3 ，p = 3 ， ( 1 ) 当工3f - u ( m o d p 2 ) 有解时，p o f = 碍p i 2 ，f ( p o p ) = 1 ，厂( 只p ) = 2 ，或 p o t = 球鼻2 碍，( 异p ) = 1 ，i = 0 , 1 ，2 ( 2 ) 当工3 兰u ( m o d p 2 ) 无解时，p o f = p 6 ，f ( p i p ) = 1 我们将在第二章介绍一些相关的知识和方法；第三章第五章证明我们的结论；第 六章讨论这个问题的进一步研究发展的一此想法 4 西北大学硕一i ：学位论文 2 1 分圆域 第二章相关理论 定义2 1 1 ：设方程x ”- 1 = 0 ( m 2 ) 在复数域中根为1 ，孝，孝”1 称为m 次单位根， 它们形成一个乘法群，其生成元称为聊次本原单位根孝7 为本原单位根当且仅当 ( f ，m ) = 1 ，域k = q ( 4 。) 称为m 级分圆域 性质2 1 1 ：( 1 ) k = q ( x 。) 是q 的伊( 加) 次扩张 ( 2 ) g a l ( k q ) 兰( z m z ) ( 3 ) 。( x ) = 兀( x 一善“) 在q 上不可约 ( 小，一) = 1 1 s 口( 脚 ( 4 ) ( 一1 ) m 一1 m ”= 兀( 孝一善饥 证明：显然k 是x ”一1 的分裂域，故是g a l o i s 扩张，设f ( x ) 是孝在q 上的极小多 项式，自然厂( x ) l ( x “一1 ) 因( z ) 的任一根生成k ，故必为m 次本原单位根故对任一 仃g = g a l ( k q ) ，必有嘭= 孝4 ，其中c i 为正整数， 1 a m ，( m ，a ) = 1 于是盯寸a ，显然是g 到( z m z ) ( 即z m z 的单位群) 中的单射 现证明每个本原单位根善“均是( 石) 的根为此只需证明；若彩是厂( 石) 的根，则p 也是( 石) 的根，因f ( x ) z x 】，故 f ( xp ) 兰( 厂( x ) y ( r o o dp ) ， 从而pf ( c op ) ，而由 知 x m 一1 ：兀m - i 一善小 第二章相关理论 m l 兀孝= ( 一1 ) ” 由微商( x 朋一1 ) 7 = m x ”1 ，代入彳= 孝知 故 m 孝“”= 兀( 善。一善协 ， ( 一1 ) ”1m ”= 兀( 孝一善曩 j f 因缈9 = f 对某f 成立，故八扩) 是某些孝。一孝的积， 矢1 ：i f ( o j p ) i m ，与p ，m 矛盾 性质2 1 2 ：( 1 ) 分圆域k 的判别式d ( k ) 是m ”的因子 ( 2 ) 设pfm ，仃j d 是相应于p 的k 的f r o b e n i u s 自同构，则仃，= 善p ( 3 ) 设p ? m ，善4 - 孝b ( m o d p o k ) ，贝0 孝4 暑孝6 ( 口，b z ) 证明：( 1 ) d ( k ) 整除d 括七( 1 ，孝，孝妒( m ) 一1 ) ，后者又整除 ( 一1 ) ”一m ”= i - i ( 一善) ( 2 ) 按定义盯p ( 善) 三善9 ( m o dp ok ) ，而应当o p ( 孝) 为某本原单位根孝4 ，故 仃p ( 孝) = 孝4 量善p ( m o dp o k ) 再由( 3 ) 即得 ( 3 ) 由f 4 毫善6 知善“一6 三l ( m o dp o k ) ，故pi ( 1 一善4 6 ) 而由 以x = 1 代入知 用一l ( x ”一1 ) ( x 一1 ) = 兀( x 一孝饥 m i = 兀( x 一孝f ) 因pfm ，故若，即1 一善o ，则得出矛盾 性质2 1 3 ：( 1 ) 设素数p ? 聊，贝, l jp 在k = q ( 孝，) 不分歧且分解为p o k = 蜀b ：b g ， 6 西北大学硕j ：学位论文 剩余类次数厂= f ( b ，p ) 是使p ，暑l ( m o dm ) 的最小正整数( 1 i g ) ，唐= 妒( 朋) 特别， 素数p 在q ( 孝。) 完全分裂当且仅当p 暑l ( m o dm ) ( 2 ) 设m = p 5 为素数幂，则p 在k 中完全分歧，b = ( 1 一毋为p 的唯一素理想因子， p o k ：( 1 - f ) 矿( p “ ( 3 ) 若m = p5 m ，沏，p ) = 1 ，s 1 则素数p 在k 分解为 p o k = ( b 。b 2 b g ) 妒g 一， 厂= f ( b ，p ) 是使p 耋l ( m o d 川) 成立的最小正整数，店= 矽( m ) ，b ，为k 的互异素理想 ( 1 i g ) 证明：( 1 ) 1 - 1 4 性质( 2 ) 知pfd ( k ) ，故p 不分歧，是f r o b e n i u s 自同构仃p 的阶 而仃二= 1 相当于盯彳g ) = f ，即孝尸7 = 孝，即p ，- = l ( m o dm ) ( 2 ) p 艄) = 仉l n - i ：( n n = 高。) + + “ ( ，) = l 一1 以x = 1 代入知 p = 1 3 ( 1 一善。) i j p 户1 每个1 一孝7 与1 一善只差单位倍，这是因为 而 ( 1 一孝) ( 1 一善) = 孝卜1 + + 1 o k ， ( 1 一孝) ( 1 一孝) = ( 1 一( f7 ) 7 ) 0 一孝。) 0 膏 ( 3 ) 由g ( 厶) = q ( q ( 孝p ，) 即得 性质2 1 4 ：设素数q p ，则 ( 1 ) q 在f 分裂铮q 在k = q ( 孝。) 有偶数g 个素理想因子 ( 2 ) g 在f 分裂( q p ) = 1 证明：( 1 ) j ：g 在，分裂jq of = b b ，b 一为b 的共轭，再在k 中分解b ，万即 7 第二章相关理论 乍：k 为循环域，g 的分裂域k d 为偶数g 次，故d f ( 2 ) q 分裂g 为偶数( 詹= p - 1 ) 厂i ( p - 1 ) 2 q 川m 三l ( m o d p ) 性质2 1 5 ：设k = q ( 0 ，善= 厶为朋次本原单位根，则 ( 1 ) d k = z x 即1 ，f ，善伊肌一是k q 的整基 ( 2 ) k 的绝对判别式为 妒( 州) d ( k ) = ( 一1 ) t 历m 兀p m m 川 特别当m = p 5 时； d ( i o = 却4 ，a = p , - i 一s 一1 ) ， 当p = 4 或p 三3 ( m o d4 ) 时，取负号，否则为正号 证明：设p 为素数，b 为其在k 的任意素理想因子，k 矿为局部域，o p 为其整数环 若q ：z 4 gd p = d s c ( k ，q p ) 为其定理中d ( k ) 的b 一分量，则称定理在b 成立若 在所有b l p 成立则也称在p 成立只需证明定理在所有p 成立 ( 1 ) 先设pf 聆，孝的极小多项式厂( x ) = 。( z ) 设x ”一1 = ( x ) g ( ) ， 微商并以x = 善代入得 聊f “= f ( 孝) g ( 孝) ， 故厂( 善) 在p 为单位，由局部域中差分知 z p 孝 c qc o ；c z 玎= z ， 4 f 嘲= z 孝 ， 即知在p 成立 再设聊：p ，为素数幂，于是局部扩张k 占q ，完全分歧，b = ( 1 - 善) 由局部域的完 全分歧扩张理论知缸，1 一孝，( 1 一善) 伊如卜1 ) 是k 口q ，的整基，再有z p 1 一善】- z 4 1 一孝】， 即知( 1 ) 在p 正确，x lm = p 5 正确 西北大学硕1 j 学位论文 对一般情形，设所= p 3 聊，( 垅，p ) = 1 ，设b 为p 在k = q ( 乞) 的唯一素因子，则 o 。，= z p 孝p ， ，0 8 = 0 8 ， 善。，】= z p 孝p ，f 。- = z p 孝】 ( 2 ) 先设优= ，记刀= 伊( p5 ) ，可知 g ，一1 ) 厂( 孝) ：p3 一， 即得厂7 ( 工) ，注意 d ( k ) = ( 一1 ) m 叫他n 删( 厂( f ) ) ， n g ) = 兀f = ( 一1 ) 4 ( ，p i y c o = 孝p ”。是p 次本原单位根故 n ( 1 一国) ：嘶阳( 1 一) 【咧训：一( 1 - - 0 3 ip - o ：p 州川) 即得定理 再看一般情形，对m 进行归纳设m = 9 5 聊7 ，q 为奇素数， ( m 7 ，q ) = 1 ，耐 2 设k = q ( 4 。，) ，k 9 = q ( 4 q ，) ，于是由下式即得性质： 2 2p - a d i c 数 d ( k ) i ：i d ( k ) p i d ( k 。) r 定义2 2 1 ：设f 为域，函数伊：f r ：o 叫做是域f 的一个赋值，是指满足如下3 个条件：对于a ，b f ， ( 1 ) 妒( 以) = 0 当且仅当a = 0 ， ( 2 ) 妒( a b ) = 妒( a ) c , o ( b ) ， ( 3 ) 存在常数c 0 ，使得：若妒 ) c p ( b ) ，可得 缈( 口) c p ( a + b ) ， 于是 c p ( a ) = c p ( a + 6 ) _ 0 ，缈4 也是f 的非 阿赋值 证明：c p ( n ) = c , o ( 1 + n - 1 ) _ m a x ( ( p ( n - 1 ) ，妒( 1 ) ) 0 ，使得 驴( 口+ 6 ) c ( 口) + 缈( 6 ) ) ， 由此可归纳出：对f 中任意27 个元素ai ，a2 ，a2 ， q g ( a l + + 口2 ，) e i ( p ( 口1 ) + ( 口2 ，) 对每个正整数n 2 ，存在正整数，使得2 卜1 n 2 。，令 则 a 肿l2a 疗+ 22 = a 2 ，= 0 ， 妒g l + + 口。) = 缈b 。+ a ：+ + 口2 ，) c7 ( 口。) + + 9 ( 口。) ) 对任意a ，b f ，以及任意j 下整数m ， 于是 妒c 口+ 6 ，“= 缈( ( 口+ 6 ，”) = 伊 善( 了) 口6 “。 c 7 善9 ( ( ： 口6 ”一) c 其中2 卜i r 捌n a 鲫x o ( a , ) ) 妒( 口z + 。口。) = 妒( 一口) = 够( 口) ， 这就导致矛盾 性质2 2 6 ：设仍和q o ：是域，的两个赋值则下面3 个论断彼此等价： ( 1 ) 仍和伊2 等价， ( 2 ) 对每个a f ，伊2 ( a ) 1 ，而当，尼时妒，( 口) 1 证明：不妨设k = 1 ，我们对疗归纳当，? = 2 时，由于仍和伊2 不等价，根据性质6 ， 可知存在6 ，c ，使得仍( 6 ) 1 ，伊2 ( 6 ) 1 ，妒l ( c ) 1 ，缈2 ( c ) l ，妒2 ( 口) 1 ，缈2 ( 6 ) 1 ，伊。一i ( 6 ) 1 ，伊l ( c ) 1 ，矿。( c ) 1 ，缈2 ( a ) o ，均存在a f ，使得 矽i ( 日一a ，) 1 ， 伊，( b 。) 1 p 在o l 中的g 个素理想因子b ，( 1 i g ) - q 以mb ino k = p 来刻画e ，叫作是b ， 分歧指数，表示成q - - e ( e e ) 如果e i 2 ，称b ，是分歧素理想否则便称b ，是不分歧 的如果q ，e 2 ，咯中至少有一个大于2 ，便称p 是分歧的否则，如果b ib 2 ，b g 均 是不分歧的，称p 是不分歧的数g 叫做是分裂次数扩张次数【眈e ：吼p 】叫做是 b i 的剩余类域次数，表示成f ( b ，p ) 定义2 3 4 ：设，为域，妒。，缈：是其的任意两个阶为1 的非平凡、非阿赋值，眉，8 分别是仍，缈：相对应的素理想，若坷最在f 的有限扩张k 中具有分解： 鼻= b 矗b 占b 0 ，只= b ；i b 塞鹾；， 且厂( e j p ) = f ( b ：，p ) ，i = 1 , 2 ，g ，则称鼻，只在的有限扩域k 中具有相同的分解形 式 性质2 3 4 ：( 传递公式) 设三m 和m k 均为数域的扩张，p ，b ，p 分别是的素理想 第二章相关理论 o k ，o l ，并且pbp ，则 e ( ep ) = p ( p b ) e ( b i p ) ， ( 尸ip ) = ( p b ) f ( b i p ) 证明：见文 2 0 1 4 9 页的证明 性质2 3 5 ：设l k 为数域的扩张， 工= k ) ，口0 ，z = 【上：k 】 厂( 工) = x ”+ c l x ”一1 + + c 。o k i x 】 是整数口在k 上的最小多项式，则 ( a ) 0 “口】在0 的子环，并且加法商群q g 明是有限群； ( b ) 设p 是素数，p 为0 k 的素理想，pp ，则0 k p 是特征p 的有限域： ( c ) 如果尸，i o o “口 i ，令厂( x ) 在主理想整环仇p x 中分解成 厂( z ) = p i ( 工) qp 2 ( 石) 钆一p 暑( 工) 。( m o dp ) ， 其中p l ( x ) ，p ：( x ) ，p 。( 石) 均为0 x i x 中的首1 多项式，并且看作是o l 尸b 】中的多项式 时为两两不同的不可约多项式，则p 在0 中的分解式为 p o l = b ；b b ：， 其中b ，= ( p ，p ，( 口) ) ，p ，= p p ，p ) ，s ( b ，尸) = d e gp ，( x ) ( 1 i g ) 证明：见文 2 0 5 0 5 2 页的证明 定义2 3 5 ：设厂( x ) = z “+ c l x ”1 + + c 。z x ，p 为素数并且pc ，( 1 i n ) ， p 2fc n ，由e i n s e n s t e i n 判别法可知s ( x ) 是9 x 中不可约多项式，令缈是厂( x ) 的一个 根，则r 1 次数域k = q ( c o ) 叫做是对于p 的e i n s e n s t e i n 型数域，简称 ，p ) 作型数域 性质2 3 6 ：设k = q ( c o ) 为上述的( e ，尸) 型数域，则p 在k 中完全分歧，并且 pl1 0 k z 国小 推论：对于每个素数p 和n 2 ，k = q ( 拓) 为( e ，p ) 型数域，因为打的极 小多项式为x ”一p ，从而p 在k 中完全分歧并且pli d k z t 拓1 西北大学硕一f j 学位论文 证明：见文 2 0 1 6 1 - 6 2 页的证明 定义2 3 6 ：设( ，p ) 是赋值域，矽p ，f 中序列扫。) 叫做柯西序列，是指对每 个占 0 ，都存在自然数n ，使得肌，_ ，l n 时，伊( 口。一a n ) 0 ，都存在自然数n ，使得m n 时妒( 口。一口。) 占，这表成l i r aa 。= a 如果f 中每个柯西序列均收敛于f 中某个元素，则( f ，p ) 叫作完备赋值域( 户，声) 叫做是( f ，p ) 的完备化，是指 ( 1 ) ( 户，户) 2 ( f ，p ) ， ( 2 ) ( 户，声) 完备， ( 3 ) k 在户中稠密 性质2 3 7 ：设( ，尸) 是赋值域，则 ( 1 ) 存( f ，p ) 在的完备化赋值域 ( 2 ) 若赋值域( 户，芦) 和( 户，户) 都是的完备化，则存在唯一的同构c o ：户一户，使得 o - ( p ) = p 证明：( 1 ) ( 存在性) 以r 表示k 的全部柯西序列所构成的集合，在j r 中定义 酗。) 6 。) = 妇。6 。) ，函。 6 。) = 函。b 。) 不难验证，r 对于上述运算形成交换环固定p 中一个赋值缈，并且设p 满足三角 不等式由忉( 口) 一缈( 6 ) l c p ( a 一6 ) ，可知若 口。) 是k 中柯西序列，则1 i mc p ( a 。) 存在定 义映射 矿：r 专r ， 口。 hl i mc p ( a 。) ， 不难验证： ( i ) ( k ) ) 0 ， ( i i ) ( 0 。) 。) ) = 谚( 口。) ) 庐( 侈。) ) ， 第二章相关理论 ( i i i ) ( 叠。 + 移。) ) = 痧( 口。扮+ ( 。扮 由性质( i i ) n - - i l l l 映射步是环的同态，因此 k = k e r = 翻。) rl i m 缈( 口。) = 0 ) = 妇。) rh 专o ) 是r 中的理想，并且是r 中的唯一极大理想从而户= r k 是域，并且多诱导出映射 ：户专r 由上述性质( i ) ，( i i ) 和( i i i ) 可知矿是域户的赋值，记矿所在的素除子为户于是( 户，卢) 是赋值将f 中元素a 等同于户中常数序列( 口) ，则f 可看成是户的子域，并且户是f 的拓扑空间完备化，而且i f = 伊，所以赋值域( 户，卢) 是( f ，尸) 的完备化 ( 2 ) ( 唯一性) 设( 户，芦) 是( f ，p ) 的另一个完备化赋值域对于a 户，存在a 。f ， 使得在户中l i ma 。= 露所以函。) 为f 中柯西序列，从而在户中有极限l i m 口。= i f , ， 作映射 仃：f f ，盯( 露) = 孑， 易知这个映射是可定义的，并且仃为域的f 一同构取户，矽声，则对于a 户， 取a 。f ，使得l i ma 。= 盘，则 o - ( d ) 1 l i ma ：= 0 营万( 岔) = 万p ( 西) ) 1 这就表明仃( 户) = 声 性质2 3 8 ：设( f ，p ) 是非阿赋值域，是p 中一个指数赋值0 和曰为其赋值环 和素理想正则映射 d f = 0 b ，ai 一万 诱导出多项式环的同态 d 【x 】一f 【引，厂( 戈) = a n x ”l _ 夕( 工) = 瓦x ” 如果夕( x ) 0 ，称厂( 石) 为0 4 中的本原多项式对于， x 】中赋值 西北大学硕卜学位论文 ( 1 ) 若厂( x ) = a o + a l x + + a n x ”为f x 】中，2 次不可约多项式， 则 矿( x ) = r a i n v ( 口o ) ，v c a 。) ) ( 2 ) 若厂( 石) = 工“+ b l x ”1 + + b 。为f x 中不可约多项式， 则 f ( x ) o x b 。0 ( 3 ) 若厂( x ) 为d 【x 】中首一不可约多项式，则夕( x ) 为f i x 中某个不可约多项式的 方幂 ( 4 ) 设厂( 石) 叫x 】，口f 一为夕( z ) 的单根，则存在元素口，使得万= 口并且 f ( a ) = 0 证明：见文 2 0 1 2 7 6 页 性质2 3 9 ：设( f ，v ) 是完备非阿赋值域，f ( x ) o x 如果存在口0 ，使得 2 v ( f7 ( 以) ) 0 如果占= + ，则厂( x ) = g 。( 石) ( z ) 就证明完毕 以下设0 占 + 0 0 ，取刀0 ，使得v ( x ) = 占于是 f ( x ) = g l ( x ) h l ( x ) ( m o d 万) ，磊( x ) = g ( x ) h 。( 工) = h ( x ) ， d e gg l ( x ) = d e gg ( x ) = ，d e gh l ( z ) ，一s 现在对i = 1 , 2 ，递归地构作g l ( x ) ，h i ( x ) o x ，使得 ( i ) f ( x ) 三g ，( 石) 厅f ( x ) ( m o d 万) ， ( i i ) g ；( 石) 兰& - t ( x ) ( m o d7 - 1 ) ，h f ( 石) 暑h f l ( x ) ( m o d7 r 一) ( f 2 ) ， ( i i i ) d e gg l ( 彳) = d e gg ( x ) = ，d e g 五i ( 工) ，一s 前面已构作出这样的g 。( x ) 和 1 ( 工) ，现在设g 川( 工) ， l 川( x ) ( h 2 ) 满足次条件， 构作g 。( x ) 和h 。( x ) ，由( 2 ) 知应当有 g 。( z ) = g 。一l ( z ) + 刀”一1 “( z ) ， h 。( 工) = h - i ( x ) + 万”1 v ( x ) ， ( a ) 其中u ( x ) ，v ( x ) 为o x 中待定的多项式，由于2 疗一2 n ，所以 由于 可知 f ( x ) = g 。( 石) 五。( x ) ( m o d7 ”) 铮厂( x ) 暑g 。一l ( x ) j i 2 。，( x ) + 万”一 。一。( x ) v ( 石) + h 。一l ( x ) “( 工) ) ( m o d 万”) ，w ( 石) 暑g 。一i ( z ) 1 ，( 石) + 五。一1 ( x ) “( x ) ( m o d 万) w ( x ) ：丛尘墨譬必d ， 万 a ( x ) g i ( 工) + b ( x ) h i ( x ) 暑l ( m o d 万) ， 西北大学硕l j 学位论文 w ( x ) a ( x ) g l ( 石) + w ( x ) b ( x ) h i ( x ) 毫w ( x ) ( r o o d 万) ， 禾0 用w ( z ) 6 ( 石) = q ( x ) g i ( x ) + “( 石) ，d e g “( z ) 厂( 石) 三g 。一l ( z ) j l l 。一，( z ) + 万”一1q 。一l ( 工) v ( x ) + h 。一。( x ) u ( x ) x m o d 万”) e ，w ( z ) 三g 。一1 ( x ) v ( x ) + 乃。一l ( x ) “( z ) ( m o d 万) ， 知f ( x ) = g 。( x ) h 。( x ) ( m o d 刀) ，即( a ) 式对i = ，? 成立而由( 1 ) 可知( i i ) 对i = ，? 成立 由d e g “( x ) 1 时，由于( 日，6 ) = 1 ，那么存在j ，t e z 使础+ 6 t = 1 ，“= us p 6 则p 4 怕，即 上述结论也成立 2 ：当( 口，3 ) = 1 ，口= 2 ，p 2 ，由于p 4l ju ，( 以，3 ) = 1 ，由引理4 1 1 ，p o = p “， j p 是上的素理想，f ( p p ) = 1 令“2 7 u ，( - ) = ( i ) ，我们只须考虑当 ( p ，) = 1 时三上不可约多项式，g ( x ) = z 2 一甜 ( 1 ) 若x 2 三u ( m o d p ) 有解，即x 2 董u p 2 ( r o o d p ) 有解，设口2 ：“，由 3 1 1 ，口o ，, - - q 尸( 拓) ，设y = 言，于是在三，= q ? ( 3 - q t - u u ) i ， g ( 工) = x 2 一u = u ( y 一1 ) ( y + 1 ) ， 3 7 第五章素数p 在q ( 盯) 中的素理想分解( p 4 | i “) 至g z , e ；o f = p o p , ，从而得出 p o ，= 露只3 ，f ( p o p ) = 1 ，f ( p t p ) = 1 ( 2 ) 当x 2 暑u ( m o d p ) 无解，即工2 暑u p 2 ( m o d p ) 无解，设尸。是e 上的素理想，且p 。 整除p ，那么由引理4 1 2 ，f ( p 。p )