（基础数学专业论文）微分单color代数与半单color李代数.pdf

摘要 设k 为域，r 为交换乘法群如果r 带有一双特征标e ：r r 1 + + ，则称k 上的r 一阶化代数( r 一阶化向量空间) 为c o l o r 代数( c o l o r 向量空间) 对于c o l o r 代数a ， 如果a 2 0 且a 不含在d e r ( a ) 下不变的非平凡阶化理想，则称a 是微分单的 我们研究的对象主要是代数闭域k 上有限维微分单c o l o r 代数所考虑问题与 其相应结果如下： ( 一) 研究微分单c o l o r 代数的结构，证明了；若a 是微分单c o l o r 代数，则存在 单c o l o r 代数s 和c o l o r 向量空间v 使得a 竺s o s ( y ) ，其中s ( y ) 是y 上的e - 对称 代数 ( 二) 研究微分单c o l o r 代数的微分代数，证明了：设s 是单c o l o r 代数，矿是 c o l o r 向量空间若a = sos ( y ) ，则d e r ( a ) = d e r ( s ) os ( y ) + 1 sod e r ( s ( y ) ) ( 三) 用所得结果研究半单c o l o r 李代数，得到了c o l o r 李代数是半单的充分必要 条件 这些结果推广了b l o c k 关于一般非阶化代数和k a c 关于玩阶化代数的相应结 果 关键字：c o l o r 代数c o l o r 导子微分单t ( a ) 同态形心e 一对称代数半单c o l o r 李代数基座 a b s t r a c t n l l e tkb eaf i e l d ，fa da b e l i a nm u l t i p l i c a t i v eg r o u p af - g r a d e da l g e b r ai s c a l i e d ( af - g r a d e dv e c t o rs p a c e ) ac o l o ra l g e b r a ( ac o l o rv e c t o rs p a c e ) i fri se q u i p p e dw i t ha b i c h a r a c t e re ：f f 叫+ ac o l o ra l g e b r aai sc a l l e dd i f f e r e n t i a b l ys i m p l ei fa 2 兰0 a n dah a sn op r o p e rg r a d e di d e a l si n v a r i a n tu n d e rd e r ( a ) i nt h i sp a p e r ，w es t u d ym a i n l yt h es t r u c t u r eo ff i n i t e - d i m e n s i o n a ld i f f e r e n t i a b l ys i m p l e c o l o ra l g e b r a so v e ra na l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l d ( a ) t h e s t r u c t u r eo fd i f f e r e n t i a b l ys i m p l ec o l o ra l g e b r a si ss t u d i e d i ti s p r o v e dt h a t ， i fai sad i f f e r e n t i a b l ys i m p l ec o l o ra l g e b r a ，t h e nt h e r ei sas i m p l ec o l o ra l g e b r asa n da c o l o rv e c t o rs p a c evs u c ht h a ta 竺so s ( y ) w h e r es ( y ) i st h ee - s y m m e t r i ca l g e b r ao f y ( b ) t h e s t r u c t u r eo fd e r i v a t i o n sa l g e b r ao fd i f f e r e n t i a b l ys i m p l ec o l o ra l g e b r a si ss t u d - i e d i ti sp r o v e dt h a t ，i fa = so s ( y ) w h e r es i sas i m p l ec o l o ra l g e b r aa n dvi sac o l o r v e c t o rs p a c e ，t h e nd c r ( a ) = d e r ( s ) 0s 6 ( y ) + l so d e r ( s ( y ) ) ( c ) b yu s i n gt h er e s u l t so b t a i n e d ，t h es t r u c t u r eo fs e m i s i m p l e c o l o rl i ea l g e b r a si sd e - s c r i b e d an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h es e m i s i m p l i c i t yo ft h ec o l o rl i ea l g e b r a s i so b t a j n e d t h e s er e s u l t se x t e n dr e s p e c t i v e l yb l o c k l sr e s u l t so nn o n g r a d e da l g e b r a sa n dk a c s r e s u l t so nz 2 一g r a d e da l g e b r a s k e y w o r d s c e n t r o i d ， c o l o ra l g e b r a ，c o l o rd e r i v a t i o n ，d i f f e r e n t i a b l ys i m p l e ，t ( a ) h o m o m o r p h i s m s e m i s i m p l ec o l o rl i ea l g e b r a ，s o c l e 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 二、关于学位论文使用授权的说明 签名：鼬日期：2 2 2 三：! 兰 口 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论 文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查 阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授 权东南大学研究生院办理。 签名：。惶受茳盈导师签名：蛆日期：理：兰：丝 k r e v 4 l h ( y ) h o m g r ( v ) g l ( v ) d e r ( a ) a d l y t ( a ) c ( a ) s c ( y ) 符号约定 数域 交换乘法群 r 上一个双特征标 c o l o r 向量空间 c o l o r 代数 c o l o r 李代数 y 内所有非零齐次元的集合 y 上所有齐次线性映射张成的c o l o r 向量空间 赋予映射复合运算而成的结合c o l o r 代数 y 上所有齐次线性映射张成的c o l o r 向量空间 赋予方括号运算 ， 而成的c o l o r 李代数 a 的微分代数 工的内微分代数 由z a 确定的a 上左乘映射 由y a 确定的a 上右乘映射 所有他，) 在h o m g r ( v ) 中生成的c o l o r 子代数 a 的形心 y 上的e 对称代数 1 。背景 引言 李超代数成为李理论研究的热点始于2 0 世纪5 0 年代后期同时，人们也考虑 作为忍阶化代数自然推广的更一般的r 阶化代数，其中1 1 是一个带有双特征标的 交换群r e e 1 在1 9 6 0 年最早介绍一种广义李代数( r 一阶化代数) ，也就是我们所谓 的c o l o r 李代数1 9 7 7 年k a c 2 对李超代数进行分类的完成标志着李超代数的研究 进了一个新的阶段自此，c o l o r 李代数也引起愈来愈多的数学家和数学物理学家的 关注从一些文献可以看到，c o l o r 李代数在物理上也有广泛的应用例如，它可以 用于来构造y a n g b a x t e r 方程的解4 人们从各个方面广泛地研究c o l o r 李代数 例如，s c h e u n e r tf 5 】从c o l o r 李代数的定义出发，获得c o l o r 李代数的p b w 基和a d o 定理p a s s m a n 1 2 1 3 】研究了w i t t 型李代数的单性，并把结果推广到w i t t 型c o l o r 李代数上，最终得到w i t t 型单c o l o r 李代数的充分必要条件m o n t g o m e r y 6 和赵 开明f 7 等通过结合r 阶化代数获得一类单c o l o r 李代数其中较系统地研究c o l o r 李代数是m i k h a l e w ，z o l o t y k h 和b a r t h e r i n 8 1 他们从组合论的角度研究自由c o l o r 李 代数本文的目的是通过研究所谓微分单c o l o r 代数( r 阶化代数) 结构来刻划半单 c o l o r 李代数的结构 著名w e d d e r b u r m a r t i n 定理9 关于单代数的叙述如下：设a 为数域k 上一 个具有极小左理想陇右理想，的单结合代数，则a 型蜀；o 口，其中j 是上的 一个n 阶完全矩阵代数，d 是k 上的一个可除代数1 9 6 9 年b l o c kf 1 0 】考虑这一 定理的类似情形，用微分单的来代替单的，用理想来代替左理想( 或右理想) 他证 明了微分单代数的结构定理：设a 为数域k 上一个具有极小理想的微分单代数 著c h a r k = 0 ，则a 是单的；若c h a r k = p 0 ，则a 型so 巩p ( e ) ，其中s 是单代 数，e 是包含k 的数域，巩，p ( e ) = e 瞄l ，z 2 ，z 。3 ( ，迓，蠕) 是截顶多项式代 数( t r u n c a t e dp o l y n o m i a la l g e b m j 值得注意的是b l o c k 的微分单代数的结构定理中的 代数并不要求是结合的，它是任意的，可以是非结合代数，当然也可以是李代数 b l o c k 用它研究有限维特征p 半单李代数的结构1 9 7 7 年k a c 【2 给出了微分单超 代数( 邑一阶化代数) 的结构定理：设a 为特征0 代数闭域耳上有限维微分单超代 数，则a 兰s o ( n ) ，其中s 是单超代数，a ( n ) 是g r a s s m a n n 超代数而且，这结 构定理在李超代数的分类中起重要作用本文受b l o c k 和k a c 的启发，我们致力于 研究微分单c o l o r 代数( r 阶化代数) 结构，并利用它刻划半单c o l o r 李代数的结构 2 本文讨论的问题 为了叙述方便，我们在此简略提一些基本概念 设耳为基域，如果r 是一个带有双特征标e ：f f 耳4 的交换乘法群，则称 r 、阶化代数为c o l o r 代数，称r 向量空间为c o l o r 向量空间设a 是上c o l o r 代数， ；、 如果a 上的齐次k - 线性映射d 对任意齐次元。，b a 满足d ( a b ) = d ( o ) 6 + e ( d ，a ) a d ( b ) ， 则称之为a 的齐次c o l o r 导子记d e r ( a ) 为a 上所有齐次c o l o r 导子的k 。线性张成 的c o l o r 向量空间容易验证：d e r ( a ) 在方括号 ， 运算下是一个c o l o r 李代数我 们称d e r ( a ) 为a 的微分代数( 或导子代数) 定义1 2 2 我们称c o l o r 代数a 是微分单的，如果a 2 0 且a 不含在d e r e ( ) 下不变的非平凡阶化理想 定义1 3 1 1 8 设b ，c 为域k 上两个c o l o r 代数，如果向量空间的张量积b o c 赋予乘法运算 ( b l c 1 ) ( b 2oc 2 ) = e ( c l ，b 2 ) ( b i b 2oc l c 2 ) ， 则称boc 为b 与c 的c o l o r 张量积其中b 1 ，b 2 是b 的齐次元，c 1 ，c 2 是c 的齐 次元 定义2 3 1 1 1 3 j 设y 为域耳上c o l o r 向量空间，定义限v 】= 0 ，则y 为e 交换 c o l o r 李代数若c h a r k = p 0 ，我们还设y 由一个平凡p 次幂映射所限制( 即对 y 内所有齐次元z 有2 ；p = o ) 我们称下述s ( 矿) 为c o l o r 向量空间y 上的e 对称代 数 ( a ) 当v = 0 ) 时，规定s ( 矿) = k ； ( b ) 当v o 时，若c h a r k = 0 ，则s 6 ( y ) 记为c o l o r 李代数y 的普遍包络代数； 若c h a r k = p 0 ，则s ( y ) 记为限制c o l o r 李代数y 的限制普遍包络代数 本文讨论的的问题依次如下： ( 1 ) 研究带单位元e 一交换结合的微分单c o l o r 代数的结构和一般微分单c o l o r 代数 的形心的结构( 第二章) ； ( 2 ) 研究微分单c o l o r 代数的结构( 第三章) ； ( 3 ) 研究微分单c o l o r 代数的微分代数的结构( 第四章) ； ( 4 ) 研究半单c o l o r 李代数的结构( 第五章) 3 主要结果 本文的主要目的：刻划代数闭域上有限维微分单c o l o r 代数的结构及其微分代数 的结构，以及刻划代数闭域上有限维半单c o l o r 李代数的结构 关于微分单c o l o r 代数的结构，我们有： 定理3 2 2 设a 是代数闭域r 耳寺。征任意，上有限维微分单c o l o r 代数则 存在单c o l o r 代数s 和c o l o r 向量空间矿使得a 型s 0 酽( y ) ，其申酽( y ) 是 y 上的e 对称代数 r 若另外存在单c o l o r 代数s 7 和c o l o r 向量空间w 使得a 竺s o f ( ) ，则 s 望s 7 r 作为阶化代数j ，v 型w r 作为阶化向量空i 司j 东南大学硕士学位论文 关于微分单c o l o r 代数的微分代数的结构，我们有： 定理4 2 设为域，s 为k 上有限维单c o l o r 代数，y 为k 上c o l o r 向量空 间若a = s o s e ( y ) ，则d c v ( a ) = d e d ( s ) ( v ) + 1 sod e d ( 5 ( y ) ) 关于半单c o l o r 李代数的结构，我们有： 定理5 4 设k 为特征任意代数闭域，s t ，肆为k 上的有限维单c o l o r 李代 数，u ，k 为耳上有限维c o l o r 向量空间r 当c h a r k = 0 时，还要求k = ( v d + j ， m = o 暑1 岛of ( k ) 设l 为包含m 的d e ，( m ) = o 釜l ( d e c ( 岛) of ( k ) + l o d e e ( s 5 ( k ) ) ) 的c o l o r 子代数设磊以 i r ，为三在p e r ( & ) f ( k ) + l s o d e r e ( s ( v i ) ) 的分支设毋n i r j 为l i 在d e ，( 酽( m ) ) 的分支我们有： ，o ，每个半单c o l o r 李代数同构于一个由上述方法获得的c o l o r 李代数工而 且，在同构意义下，若不考虑直和项的次序，则r 与( & ，k ) 由l 唯一确定+ r b jc o l o r 李代数l 是半单的当且仅当每个酽( k ) 是k 单的 m 若c o l o r 李代数l 是半单，则映射z h a d z 是一个从d e ，f m l 仁) 到d c r ( l ) 的同构其中n d e ，f m l ( l ) = z d e r e ( m ) i 印，l 工) 在代数闭域上有限维代数情形，这些结果推广了b l o c k 1 0 和k a c 2 l 的相应结 果下面仅以定理3 2 2 为例，对于定理4 2 和定理5 4 的推广意义不再累述设a 是 代数闭域上有限维微分单c o l o r 代数当取f = 1 0 ，4 0 ，0 ) = l 时，若c h a r k = 0 ，则 s ( y ) = k ；若c h a r k = p ，则s ( y ) = b ”( k ) ( 参考2 3 ) 根据定理3 2 2 ，若c h a r k = 0 ， 则a 是单的；若c h a r k = p ，则a 型s o b 。，暇) 这就是b l o c k 1 0 】微分单代数的结构定 理在代数闭域上有限维的情形若取c h a r k = 0 ，f = 疡，e ( n ，卢) = ( - 1 ) 卵( n ，卢玩) ， 则( y ) = ( n ) ( 参考5 23 ) 根据定理3 2 2 ，a 竺so ( n ) ，这就是k a c 2 的微分单超 代数的结构定理 4 本文结构 本文的重点和难点在于证明定理3 2 2 ( 关于微分单c o l o r 代数的结构) 而定理 4 2 ( 关于微分单c o l o r 代数的微分代数的结构) 和定理5 4 ( 关于半单c o l o r 李代数的结 构) 可以看成定理3 2 2 的应用对于代数闭域上有限维微分单c o l o r 代数a 及a 的极 大阶化理想，如果存在c o l o r 子代数s 使得a = s o n ，则容易构造从a n o c ( a ) 到a 的同构映射( 作为阶化代数) ，其中a n 是一单c o l o r 代数，c ( a ) 是a 的形心 ( t h ec e n t r o i do fj 4 ) 于是本文的两个重要任务( 也是难点) 是： ( 1 ) 证明存在c o l o r 向量空间y 使得c ( a ) 垒s ( y ) ( 在第二章) ； ( 2 ) 证明a 存在单c o l o r 子代数s 满足a = s o ( 在第三章) 本文共分五章 在第一章，我们介绍c o l o r 代数，c o l o r 导子，微分单c o l o r 代数，及c o l o r 代数之 间的c o l o r 张量积等概念。 东南大学硕士学位论文 在第二章，我们刻划微分单c o l o r 代数的形心的结构，证明：若a 是代数闭域 上有限维微分单c o l o r 代数，则存在c o l o r 向量空间y 使得“a ) 望酽( y ) ( 定理2 3 1 1 ) 这一章共分三节，分别介绍微分单c o l o r 代数的理想链，c ( a ) 的微分单性，带单位元 的微分单e 一交换结合c o l o r 代数的结构和c ( a ) 的结构等为第三章研究微分单c o l o r 代数的结构做准备工作 在第三章，我们刻划微分单c o l o r 代数的结构( 定理3 2 2 ) 设a 是代数闭域上 有限维微分单c o l o r 代数首先，我们寻找a 的一个单c o l o r 子代数s 使得a = s n 接着，我们构造了从a noc ( a ) 到a 约同构映射既然a n 是一个单c o l o r 代数 ( 参考定理2 1 ，1 0 ) ，c ( a ) 兰s 6 ( y ) ( 参考定理2 , 3 1 1 ) ，从而证明a 同构于一单c o l o r 代数 和一e 对称代数的张量积 在第四章，我们刻划代数闭域k 上有限维微分单c o l o r 代数a 的微分代数d e r ( a ) 的结构( 定理4 2 ) 在第五章，我们研究代数闭域k 上有限维半单c o l o r 李代数的结构代数闭域 上有限维半单c o l o r 李代数l 的极小阶化理想m 是a d m l 一单的，也就是说，m 是 代数闭域上有限维微分单c o l o r 李代数定义l 的基座s o c l c ( l ) 为l 的所有极小 阶化理想的直和我们将看到，其实工本身就是d e r ( s o c l e ( l ) ) 的一个子代数，而 d e r e ( s o c l e ( l ) ) 为所有极小阶化理想的微分代数的直和由定理3 , 2 2 和定理4 2 ，我 们对s o c l e ( l ) 和d e r e ( s o c l e ( l ) ) 的结构是非常清楚的而我们研究的工为一个包含 s o c l e ( l ) 的d e r ( s o c l e ( l ) ) 的子代数最终，我们获得代数闭域上有限维c o l o r 李代数 是半单的充分必要条件( 定理5 4 ) 第一章基本概念 本章介绍c o l o r 代数，c o l o r 导子，微分单c o l o r 代数，及c o l o r 代数之间的c o l o r 张量积等概念 1 1c o l o r 代数 本文约定：k 表示一个特征任意的域；表示k 的所有非零元素所组成的 乘法群；1 1 表示一个交换乘法群若无特别指明，所有向量空间和代数的基域假定 南k 如果向量空闻y 的子空间簇( ) ，r 使得v = 0 1 r ，则称y 为r 一阶化向量 空间称k 为y 的t 阶子空间或7 阶分支，称o u 是y 的，y 阶齐次元因为 v = o ，r u ，所以任意。v 可以唯一地写成形如n = ，r a 7 ( a 1 ) 为了方便 叙述，称a = ，；r a ，为n 的阶分解，称a ，为a 的7 一阶分支 设v = 0 1 r 与w = o ，r m ，为两个r - 阶化向量空间线性映射g ：v _ w 称为t 阶齐次的，如果g ( ) w ( r ) 记h o r n ，( v 阿) 为所有从y 到 的7 齐次线性映射所组成的向量空间；记h o m g r ( v , w ) = o ，r h o m ，( k ) 显然， h o m g r ( v , w ) 是一个r 一阶化向量空问如果w = v ，用t t o m g r ( v ) 表示h o m g r ( v , y ) 代数4 为r 阶化的是指其基向量空间是r 一阶化的，即a = o ，e r a 7 ，而且a 。山 a 。口( v n ，卢r ) 定义1 1 1 1 5 称映射e ：r f _ k 。为1 1 上一个双特征标指其对任意a ，卢，1 r 满足下列条件： ( b 1 ) e ( o ，卢) e ( 卢，a ) = 1 ； ( b 2 ) e ( o ，卢，y ) = e ( d ，卢) e ( o ，y ) ； ( b 3 ) e ( d 卢，7 ) = e ( o ，y ) e ( 声，y ) 定义1 1 2 若r 是一个带有双特征标e ：f f _ + k + 的交换乘法群，则称r 阶 化代数为e c o l o r 代数，称r 1 向量空间为t c o l o r 向量空间简称c o l o r 代数，c o l o r 向 量空l 词 注意：本文下面出现的c o l o r 向量空间，c o l o r 代数都是相对于固定的带有双特 征标e 的交换乘法群r 而言的 注( 1 ) 若c o l o i 代数的乘法运算满足结合律，称之为结合c o l o r 代数 ( 2 ) 若c o l o r 代数的方括号运算满足e 斜对称性和e j o c o b i 等式，称之为c o l o r 李 代数 东南大学硕士学位论文 第一章基本概念 2 ( 3 ) 设y 为c o l o r 向量空问若h o m g l ( v ) 赋予通常的线性映射乘法( 即复合运 算) ，则h o m g r ( v ) 为一个结合c o l o r 代数 1 2c o l o r 导子与微分单c o l o r 代数 用h ( y ) 表示c o l o r 向量空间y 内所有非零齐次元素的集合，则每个元素a h ( v ) 确定唯一元素o # f 使得a k * 所以，不妨去掉符号静，用圪表示k * 几乎不 发生混淆特别，设a 为c o l o r 代数，若a h ( a ) ，我们有口ea 。及。也 ( h ( a ) 或y r ) 设a 为结合c o l o r 代数若a 上双线性映射 ， 定义为h6 = a b e ( n ，b ) b a ( v a ，b h ( a ) ) ，则方括号【，】可看成a 上的二元运算，而且，a 在方括号运算 ， 下为一个c o l o r 李代数我们称结合c o l o r 代数a 是e 交换的是指：v a ，b h ( a ) s t a b = e b ) b a 我们称c o l o r 李代数a 是e 一交换的是指：v a ，b h ( a ) s t ， a ，6 = 0 显 然，这两个e 交换的定义足相容的如通常，我们已经去掉符号带事实上e ( n ，b ) 表 示e ( n 带，6 社) 注对于c o l o r 向量空间v ，h o m g r ( v ) 赋予方括号运算 ， 为一个c o l o r 李代 数为了区别于结合c o l o r 代数h o m g r ( v ) ，我们用g l ( v ) 表示这个c o l o r 李代数 定义1 2 1 1 1 3 1 设a 为c o l o r 代数，线性映射d ：a _ a 被称为a 的d 徉阶齐次 c o l o r 导子( 毋r ) 指其满足： ( d 1 ) d ( a 。) a d 。( v x r ) ( d 2 ) d ( a b ) = d ( a ) b + e ( d ，。) n d ( b ) ( v a ，b h ( a ) ) 如通常，在上面公式里，我们已经去掉符号社事实上，a 出表示a d # 。，e ( d ，n ) 表示e ( 扩，。榉) 记d e r ( a ) 为a 上所有齐次导子张成的向量空间也就是，d e r ( ) = o 。e r d e r ：( a ) 其中d c r ；( a ) 由z 一阶齐次导子和线性映射0 的所张成的并称d e r ( a ) 的元素为a 上的c o l o r 导子本文中，我们将以导子简称另外，d e r ) 关于方括号运算 ， 封闭，所以它是g l ( a ) 的一个c o l o r 李子代数因此，我们称d e r ( a ) 为a 的微分 代数( 或导子代数) 定义1 2 2 设a 为c o l o r 代数，d 是d e r ( a ) 的子集 ( 1 ) 1 我们称在。下不变的阶化理想为阶化d 一理想； ( 2 ) 我们称阶化d c r ( a ) 理想为微分阶化理想； ( 3 ) 我们称a 是_ d 单的( d _ 单的，如果d 只包含一个导子d ) ，如果a 2 0 且a 不含非平凡阶化d 一理想( 阶化d 一理想) ； ( 4 ) 我们称a 是微分单的，如果它是d c r ( a ) - 单的，换句话说，存在d e r ( a ) 的 子集d 使得a 是d 单的 至里查堂堡圭堂堡垒塞塞三塞萋奎堡垒 3 命题1 2 3 设4 为微分单c o l o r 代数，则 z ( a ) = a a l i a ，a = a ，8 】o ) = 0 ，a 2 = a 证明：命题显然成立，既然a 2 0 和z ( a ) 为阶化微分理想口 定义1 2 4 设v = 0 1 r 为r 一阶化向量空间，且s 为y 的子集 ( 1 ) 如果任意元素a s 的每个阶分支a ，s ，则称s 为y 的阶化子集； ( 2 ) 对于一般的非阶化集s v ，我们称所有包含s 的y 的阶化子集的交集 称为s 的阶化，并记为伊显然，s 。是包含s 的y 的极小阶化子集事实上 p = s u ( u 。s ( u 1 e p a 7 ) ) ，其中a 7 是口的7 阶分支 命题1 2 5 设a 是c o l o r 代数，d 是d e ，( a ) 的子集 俐若d 是阶化的，则t 是一个阶化d r 理想当且仅当i 是阶化u 。r d 。一理想， 其中d 。= d n d e 吃( a ) 特别地，a 是d 一单的当且仅当a 是u 。r d 。单的 俐若d 9 为d 的阶化，则i 是阶化d ，理想当且仅当，是阶化d 9 理想特别 地，a 是d 单的当且仅当a 是d g 一单的 证明：命题显然成立，既然命题里出现的理想都是阶化的 口 1 3c o l o r 张量积 定义1 3 1 1 8 】设b ，c 是两个c o l o r 代数，如果向量空间的张量积boc 赋予乘 法运算 ( b t 固c 1 ) ( b a oc 2 ) = e ( c 1 ，b 2 ) ( 6 l b 2 0c l c 2 ) ( v b l 6 2 h ( b ) ，c h c 2 h ( c ) ) ， 则称b o e 为b 与g 的c o l o r 张量积 例1 3 2 ( 1 ) 若b ，g 是两个结合c o l o r 代数，则b o c 也是结合c o l o r 代数 ( 2 ) 2 若b 为c o l o r 李代数，g 是e 交换c o o r 代数，则b oc 是一个c o l o r 李代 数 ( 3 ) 若b 为单c o l o r 代数，c 为微分单c o l o r 代数，则b oc 也是微分单的 说明：( 1 ) 可以直接验证结合性 ( 2 ) 可以直接验证e - 斜对称性和e j o c o b i 等式 ( 3 ) 设d h ( d e r ( g ) ) ，则1 bod h ( d c r ( b 固g ) ) 事实上，对于任意b l ，b 2 h ( b ) ，c 1 ，c 2 h ( c ) ，我们有 ( 1 b 圆d ) ( ( h ioc 1 ) ( b 20c 2 ) ) ：e ( c t ，6 2 ) ( 1 口od ) ( b l b 2oc l c 2 ) = e ( c l ，6 2 ) e ( d ，b l b a ) b l b 2 d ( c l c 2 ) 奎：堕查兰：坠：圭兰堡篁塞 叁= 塞董奎堡垒 4 = e ( c l ，6 2 ) e ( d ，b l b 2 ) b l b 2o ( d ( c 1 ) c 2 + e ( d ，。1 ) c j d ( c 2 ) ) = e ( 。l ，b 2 ) e ( d ，b l b 2 ) ( b l b 2 0 d ( c 1 ) c 2 + e ( d ，c 1 ) 6 1 b 2 c 1 d ( c 2 ) ) = e ( c 1 ，6 2 ) e ( d ，b l b 2 ) ( e ( b 2 ，d c o ( b t o d ( c 1 ) ) ( 厶2 c 2 ) 十e ( d ，c 1 ) e ( 幻，c 1 ) ( 6 loc 1 ) ( 6 2 0 d ( c 2 ) ) ) = ( ( 1 b od ) ( b l o c 1 ) ) ( 6 2 e 2 ) + e ( d ，b l c l ) ( b l c 1 ) ( ( 1 8 0 d ) ( 6 2 0c 2 ) ) 显然，口o c 是1 b o d e r 5 ( g ) 一单的，因此b o c 是微分单c o l o r 代数 第二章形心 在这章，我们刻划微分单c o l o r 代数的形心( c e n t r o i d ) 的结构我们将证明：若a 为 代数闭域上有限维微分单c o l o r 代数，则存在一个c o l o r 向量空间y 使得c ( a ) 竺s ( 矿) ， 其中c ( a ) 是a 的形心，s ( y ) 是y 上的e 一对称代数本章共分三节，分别介绍微分 单c o l o r 代数的理想链，c ( a ) 的微分单性，带单位元的微分单e 交换结合c o l o r 代数 的结构和c ( a ) 的结构等为下一章研究微分单c o l o r 代数的结构做准备工作 2 1 阶化理想链 在本节中，我们给出c o l o r 代数a 的形心c ( ) 的定义，并且证明：若a 是微分 单的，则c ( a ) 是一个带单位元的。交换结合c o l o r 代数( 命题2 1 6 ) 另外，我们还证 明：具有极小阶化理想的微分单c o l o r 代数存在复合阶化理想链( 定理21 1 0 ) 2 1 1t 一模与t 一同态 设t 为结合c o l o r 代数，我们说c o l o r 向量空间矿是一个t 模，指存在从? 到 h o m g r v 的一个c o l o r 子代数同态映射( 作为阶化代数) ，且t 中元素在y 上的作用是 通过其在h o m g r v 对应元素而起作用的若y 的c o l o r 子空间m 在t 下不变，则称 m 为y 的t 子模 定义2 1 1 设t 为结合c o l o r 代数，m ，为两个r 模我们称一线性映射 f ：m 为从m 到的t 一同态指其满足： ( t 1 ) ，是齐次线性映射； ( t 2 ) 【f ，t 】= 0 ( v t h ( t ) ) 如果两个t 模m ，n 之间存在t 一同态映射，则称这两个t 一模是t 同态的，记m 毛； 如果这个t 同态映射既满又单，则称这两个卫模是p 同构的，记m 刍 类似于一般的同态基本定理，关于t 一同态有下述性质： 命题2 1 _ 2 设t 为结合c o l o r 代数 r 副若m 为t 一模，b 为m 的t 子模，则典范映射 ：m + m b 向x + b j 是一个t 一同态 ( 2 ) 差m ，n 为两个t 狭。 ：m n 为t 一日怒砒k e r f i m 务蹦肉m n 的t _ 子模，且m i k e r ，圭h ， 俐若m 为t 一模，b ，c 是m 的t 一子模满足口c 则c b 是m b 的t 一子 模，且( m b ) ( c b ) 自然地t - 同构于m c “，若m 为t 一模，b ，c 是m 的t 子模则( b + c ) c 与b ( b n c ) 之间存 在自然的t 同构映射 5 东南大学硕士学位论文 第二章形心6 2 + 1 2t ( a ) 一模与t ( a ) 一同态 设a 是一个c o i o r 代数对于z h ( a ) 分别定义左乘映射k 和右乘映射如 下：v y h ( a ) ，l 。( ) = x y ，r x ( y ) = e ( z ，y ) y x 记t ( a ) 为所有他，q ) ( 比，y h ( a ) ) 在 h o m g r a 内生成的c o l o r 代数如上面2 ，1 1 所定义的，我们可以视a 为一个t ( a ) 一模， 并定义从a 到其自身的t ( 4 ) 一同态 定义2 1 3 设a 是一个c o l o r 代数称集合 c ( a ) = c h o m g r ( a ) i c ，q = o ，v t t ( a ) ) 为a 的形心显然1 a c ( a ) ，所以c ( a ) 是一个带单位元的结合c o l o r 代数 关于a ，t ( a ) 及c ( a ) 的性质和它们之间的关系，我们有下述命题， 命题2 1 4 设a 是一个c o l o r 代数，并把它视为t ( a ) 模则 门，且的t ( a ) 一子模 = 争a 的阶化理想 俐若，是a 的阶化理想，我们可以自然地诱导一个q a ) 商模a z 俐c ( a ) = c h o m g r ( a ) l c ， _ o ，y t t ( a ) ) = c h o m g r ( a ) f c ，f z 】= c ，r _ 】= 0 ，v z h ( ) = o e r c e h o m g r y ( a ) lc ( o 。) = e ( c ，o ) o c ( 。) ，c ( x a ) = c ( x ) a ，v a ，z h ( a ) = 所有a 上t 阻，一自同态生成f 或张成j 的h o m g r 似j 的c o l o r 子代数 “，h 是c ( a ) 的齐次元甘h 是a 上一个t ( a ) 自同态 阳，若h h ( “ ) ) ，则 砒，k e r h 是a 的阶化理想 命题2 1 5 设a 为c o l o r 代数，则 d ，f 。 _ l 如，【d ， _ r d 。( v d d e ，( a ) ，z a j 即【d e ，( a ) ，t ( 4 ) 双 ) 证明：对任意的z ，yeh ( a ) ，d h ( d e r ( a ) ) ，有 d ，l 。 ( ) = d l 。( y ) 一e ( d ，) f 。d ( v ) = d ( x y ) 一e ( d ，z ) 。d ( ) = d ( x ) v = l d 。( ) ； 及 d ，7 。 ( y ) = d r 。( g ) 一e ( d ，z ) r 。d ( v ) = e ( z ，g ) d ( z ) 一e ( d ，z ) e ( z ，d y ) d ( 9 ) z = e ( 。，) d ( z ) 一d ( ) 。) = e ( z ，) e ( d ，) v d ( z ) = e ( d z ，v ) y d ( x ) = ”出( g ) 口 命题2 1 6 若a 为c o l o r 代数使得a = a 2 ，则c ( a ) 是一个带单位元的e 交换结 合c o l o r 代数特别地，若a 为微分单c o l o r 代数，则c ( a ) 是一个带单位元的e 一交换 结合c o l o r 代数 证明；只需证明c ( a ) 是e 。交换的即可事实上，对任意的z ，yeh ( a ) ，g h ( c ( a ) ) 有 一塞重查堂堡圭堂堡篁塞 塞三塞翼窒 7 f g ( z y ) = e ( 9 ，z ) ，( 。磐( f ) ) = e ( 9 ，z ) ，( 。) 口( f ) ， 及 g f ( x y ) = g ( f ( x ) y ) = e ( p ，( z ) ) ，( z ) g ( ) = e ( 9 ，) e ( 9 ，。) ，( 。) g ( f ) 因此 f g ( x y ) = f ( ，g ) g f ( z y ) 既然a = a 2 ，故得，9 = e ( f ，g ) g f 口 2 1 3 复合阶化理想链 引理2 1 7 设t 为结合c o l o r 代数，y 为t 模且具有极小t 一子摸蝎，d 为 h o m g r ( v ) 的阶化子集并且满足 d ，t t 如果存在y 的t 一子模链0 = m ocm 1c 尬c c 嵋向1 j 和d h ( d ) 使得m + l 尬圭尬0 i q 1 ，且d 坞g 屿， 则存在t - 子模坞+ l 和序号j ( 1 j q j 使得嵋cm q + l ，d 屿一l 屿，d m j + 1 j 且映射6 ：m + 屿i 卜d m + 坞( m 屿) 是从屿屿一1 到坞+ l 坞的t 垌构特 飘迦m q “? m q 2 t m