（基础数学专业论文）关于skein树的一些性质.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文介绍了琼斯多项式及与其相关的s k e i n 树的定义并给出了关于s k e i n 树的一些性 质，第一是互为m u t a n t 的纽结有相同的s k e i n 树，第二是给定任意自然数n ，利用a b i g a i l t h o m p s o n 的有关纽结高度的理论构造了一个高度为n 的链环。第三是给出纽结图的 s k e i n 表达式与其镜像图s k e i n 表达式的一个关系。第四是给出了纽结的s k e i n 表达式必 须满足的关于分支数的一个限制。 关键词：s k e i n 树；m ur a t i o n ；s k e i n 表达式；琼斯多项式；s k e i n 树的高度 关于s k e i n 树的一些性质 s o m ep r o p e r t i e so ts k e i nt r e e 一 a b s t r a c t t h i sp a p e rg i v e sf o u rp r o p e r t i e so fs k e i nt r e e t h ef i r s ti st h a ti ft w ok n o t sa r em u t a n t so f e a c ho t h e rt h e nt h e ye f u lh a v et h es a m es k e i nt r e e t h es e c o n d ，f o ra n yg i v e ni n t e g e rn 0 ，t h e a u t h o rc o n s t r u c t sal i n kw h o s es k e i nd e p t hi sn ，u s i n gat h e o r e mo fa b i g a lt h o m p s o n t h e t h i r di sar e l a t i o nb e t w e e nt h es k e i nf o r m u l af o ro n el i n kd i a g r a mda n dt h es k e i nf o r m u l af o r d sm i r r o ri m a g e t h el a s ti sar e s t r i c t i o no nc o m p o n e n tn u m b e r so fa n ys k e i nf o r m u l a k e yw o r d s ：s k e i nt r e e ；r o u t a ti o n ；s k e i nf o r m u l a ；j o n e sp o l y n o m i a l ；h e i g h t o fs k e i nt r e e n 一 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目：薹i 丝丛盈鱼佥= 些矬屐 作者签名：丛趣盔 日期：乒鲤z 年么一月2 竺 日 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目：薹量玉越鲐= 丝雌庭 作者签名：么如堑日期：垒缨! 年_ 一厶月2 生e t 导师签名 ：么在家盔l 扛 日期：碑年仁月呈笠日 大连理工大学硕士学位论文 1绪论 1 1 拓扑学概述 拓扑学是数学中一个重要的、基础性的分支。它最初是几何学的一个分支，主要研 究几何图形在连续变形下保持不变的性质( 所谓连续变形，形象地说就是允许伸缩和扭 曲等变形，但不许割断和粘合) ，现在已成为研究连续性现象的重要的数学分支。由于 连续性在数学中的表现方式与研究方法的多样性，拓扑学又分成研究对象与方法各异的 若干分支。在拓扑学的孕育阶段，1 9 世纪末，就已出现点集拓扑学与组合拓扑学两个方 向。现在前者已演化成一般拓扑学，后者则成为代数拓扑学。后来，又相继出现了微分 拓扑学、几何拓扑学等分支。拓扑学主要是由于分析学和几何学的需要而发展起来的， 它自3 0 年代以来的大发展，尤其是它的成果与方法对于数学的各个领域的不断渗透，是 2 0 世纪理论数学发展中的一个明显特征。 1 1 1 拓扑学的发展简史 、： 拓扑学源于分析学的严密化。他是在分析学和力学的工作中，实数的严格定义推动 g 康托尔从1 8 7 3 年起系统地展开了欧氏空间中的点集的研究，得出许多拓扑概念，如 聚点( 极限点) 、开集、闭集、稠密性、连通性等。在点集论的思想影响下，分析学中 出现了泛函数( 即函数的函数) 的观念，把函数集看成一种几何对象并讨论其中的极限。 这终于导致抽象空间的观念。这样，b 黎曼在复函数的研究中提出了黎曼面的几何概念， 到1 9 、2 0 世纪之交，已经形成了组合拓扑学与点集拓扑学这两个研究方向。这是萌芽 阶段。 随着抽象代数学的兴起，1 9 2 5 年左右a e 诺特提议把组合拓扑学建立在群论的基 础上，在她的影响下h 霍普夫1 9 2 8 年定义了同调群。从此组合拓扑学逐步演变成利用 抽象代数的方法研究拓扑问题的代数拓扑学。他们把代数拓扑学的基本精神概括为：把 拓扑问题转化为代数问题，通过计算来求解。同调群，以及在3 0 年代引进的上同调环， 都是从拓扑到代数的过渡( 见同调论) 。直到今天，三角形与圆形同胚；而直线与圆周 不同胚，同调论( 包括上同调) 所提供的不变量仍是拓扑学中最易于计算的，因而也最 常用的，不必加以区别。 从5 0 年代末在代数几何学和微分拓扑学的影响下产生了k 理论，解决了关于流形 的一系列拓扑问题开始，出现了好几种广义同调论。它们都是从拓扑到代数的过渡，就 是一个广义的几何图形。尽管几何意义各不相同，如物理学中一个系统的所有可能的状 态组成所谓状态空间，代数性质却都与同调或上同调十分相像，是代数拓扑学的有力武 关于s k e i n 树的一些性质 器。从理论上也弄清了，同调论( 普通的和广义的) 本质上是同伦论的一部分。 1 9 5 3 年r 托姆的协边理论( 见微分拓扑学) 开创了微分拓扑学与代数拓扑学并肩跃 进的局面，许多困难的微分拓扑问题被化成代数拓扑问题而得到解决，同时也刺激了代 数拓扑学的进一步发展。从动点指向其像点的向量转动的圈数。1 9 5 6 年j w 米尔诺发 现七维球面上除了通常的微分结构之外，还有不同寻常的微分结构。每个不动点也有个 “指数”，随后，不能赋以任何微分结构的流形又被人构作出来，这些都显示拓扑流形、 微分流形以及介于其间的分段线性流形这三个范畴有巨大的差别，微分拓扑学也从此被 公认为一个独立的拓扑学分支。1 9 6 0 年s 斯梅尔证明了五维以上微分流形的庞加莱猜 想。 1 1 2 拓扑学的作用 拓扑学对于分析学的现代发展起了极大的推动作用。随着科学技术的发展，需要研 究各式各样的非线性现象，分析学更多地求助于拓扑学。微分拓扑学的进步，促进了分 析学向流形上的分析学( 又称大范围分析学) 发展。在托姆的影响下，然后随意扭曲，微 分映射的结构稳定性理论和奇点理论已发展成为重要的分支学科。s 斯梅尔在6 0 年代 初开始的微分动力系统的理论，要七色才够。就是流形上的常微分方程论。m f 阿蒂亚 等人6 0 年代初创立了微分流形上的椭圆型算子理论。著名的阿蒂亚一辛格指标定理把 算子的解析指标与流形的示性类联系起来，是分析学与拓扑学结合的范例。现代泛函分 析的算子代数已与k 理论、指标理论、叶状结构密切相关。在多复变函数论方面，来自 代数拓扑的层论已经成为基本工具。 除了通过各数学分支的间接的影响外，拓扑学的概念和方法对物理学( 如液晶结构 缺陷的分类) 、化学( 如分子的拓扑构形) 、生物学( 如d n a 的环绕、拓扑异构酶) 都有直 接的应用。 1 2 纽结理论的历史与现状 1 2 1 纽结论历史 拓扑学中研究绳结、链锁等几何现象的一个分支。三维欧几里得空间中的简单闭曲 线被称为纽结。1 8 3 3 年德国数学家高斯在研究电动力学时引进闭曲线之间的环绕数，成 为纽结理论的基本工具之一。约1 8 8 0 年出现纽结表。1 9 1 0 年德国数学家德恩在刻画拓 扑结构的基本群时引进了纽结的群的概念。1 9 2 8 年美国数学家j w 亚历山大引进纽 结的多项式概念，后人称之为亚历山大多项式。1 9 3 2 年德国数学家赖德迈斯特出版纽 结理论一书，系统总结了这一理论，成为该分支的经典著作。 一2 一 大连理工大学硕士学位论文 1 9 3 4 年德国数学家赛费特在对纽结理论进行大量研究的基础上提出纽结的亏格概 念和赛费特曲面、赛费特不变量等纽结理论中的新成果，他还与特雷法尔合著拓扑学 ( 1 9 3 4 ) 一书，1 9 5 0 年又合作发表纽结的新旧结果一文，再次综述该理论的发展。 1 9 4 7 年奥地利数学家阿廷等人对研究纽结的工具“辫的理论进行了论述。1 9 5 0 年富 克斯发表纽结理论在普林斯顿的最新发展，再次总结了纽结理论。近几十年来高维 纽结成为研究热点，相继出现一批结果。纽结理论的发展与其他拓扑学分支的发展相辅 相成，已成为群论、数论、代数几何学、微分几何学等众多学科与拓扑学的交汇处。它 还能应用于化学中大分子空间的结构研究，引起了更多人的兴趣。 目前，已经有了能够判断纽结的等价性的算法，可以造出一台机器，输入任意两个 纽结的投影图，它都能判定它们是否等价。然而这只解决了理论上的可判定性，还不切 实可行。在实际计算方面，已发明了一些新的多项式不变量，它们比亚历山大多项式包 含更多的信息。 1 2 2 纽结论的发展现状 1 9 8 4 年，新西兰数学家琼斯( j o n e s ) 在研究算子代数时发现了一个新的纽结不变 量琼斯多项式，使纽结理论成为世界数学界注意的焦点之一引发了一连串的重要进 展开辟了与许多数学分支的联系渠道，见文献 1 2 ，1 5 由于其多项式拥有拆接关系式因 而计算也比较方便，因此有大量的数学家对多项式不变量进行研究，见文献 6 - 11 由 于s k e i n 树从根本上反映了拆接关系式，故此本文对s k e i n 树做一特别研究。 1 3 本文的主要工作 第一说明互为m u t a n t s 的纽结可以有完全相同的s k e i n 树。第二根据a b i g a l t h o m p s o n 的关于s k e i n 树的高度的理论，我们发现了一个高度可以为任意自然数n 的链 环。第三给出了互为镜像的纽结图的s k e i n 表达式之间的一个关系。第四说明s k e i n 表 达式中+ ，一运算符号两侧的链环的分支数相差1 。 大连理工大学硕士学位论文 2 预备知识 2 1基本概念 定义2 1 如果厂：x 专y 是一一对应，并且厂及其逆厂- 1 ：】，一彳都是连续的，则称 厂是一个同胚映射，或称拓扑变换，简称同胚。当存在x 到】，的同胚映射时，就称z 与 j ，同胚，记作x 兰y 。 定义2 2 如果厂：x 专】，是单的连续映射，并且厂：x 专f ( x ) 是同胚映射，就称 厂：x 专】，是嵌入映射。 纽结是三维空间中的不与自己相交的封闭曲线，或者说，三维空间中的与圆周同胚 的图形。两个纽结等价是指存在三维空间本身的一个变形，把一个变成另一个。与平面 上的圆周等价的纽结称为平凡纽结( 因为把未打结的绳子两头捻合得到的圈可以放在平 面上) 。 由有限多条互不相交的简单闭曲线组成的空间图形，称为链环。组成连环的每一条 简单闭曲线称为该连环的一个分支，它本身可以有结的。这样，纽结就成了链环的一种 了：纽结就是只有一个分支的链环。放在同一个平面内的若干个不相交的圆圈组成的链 环称为平凡链环。 作为绳圈，( 或一组绳圈) ，纽结与链环可以在空间中自由地连续变形，但是不许 剪断，不许粘合。如果一个纽结( 或链环) 可以经过这种绳圈移位变形变成另一个，我 们就说这两个纽结( 或链环) 是等价的，或同痕的，有时干脆把等价的两个纽结说成是 相同的。纽结与链环的理论( 简称纽结理论) 的基本问题是：任给一个纽结或链环，怎 么判断它是不是平凡的( 即是否等价于平凡纽结或平链凡环) ? 任给两个纽结或链环， 怎么识别它们是否相同( 即是否同痕) ? 定义2 3 每个纽结，选取适当的投影方向，总可以使它在平面上的投影的自交点都 只是二重交叉点；以线的虚实表现交叉的情况，就得到纽结的投影图，也称纽结图。 定义2 4 从一个投影图出发，经过一连串的墨，是，是初等变换以及平面变形，可 以得出另一个投影图，我们就称这两个投影图是等价的( 或者是同痕的) 。 1 9 2 7 年， j w 亚历山大】 和g b b r i g g s ，提出了如何判定两个纽结是否相同的 方法：如果由一个纽结可以通过几种基本的动作变成另一个纽结，它们便是相等的。这 些运算称为瑞德迈思特变换( r e i d e m e i s t e rm o v e s ) 。其中墨，r ：，恐是三种瑞德迈思特变 换。 关于s k e i n 树的一些性质 r 。 r ： r ， p或 净 一扎 或 一 k _ ) ( ) f 图2 1 瑞德迈斯特变换 f i 9 2 1 r e i d e m e i s t e rm o v e s 上面这三种初等变换很明显都可以用挪动绳子来实现。反过来，如果空间中的一个 链环可以经过绳圈的移动变形变成另一个链环，那么第一个链环的投影图一定可以通过 一连串的初等变换( 以及平面变形) 变成第二个链环的投影图。 如下图2 2 为平面合痕( p l a n a ri s o t o p y ) ，属于平面变形的一种。所以由定义2 1 知，任何两个合痕的投影图都是等价的。 图2 2 平面合痕 f i 9 2 2 p l a n a ri s o t o p y 一6 一 大连理工大学硕士学位论文 定义2 5 在纽结或链环的平面投影图中的一个被圆周( 这个圆周与纽结或链环相 交四次) 所包围的区域称为一个t a n g l e 如图2 3 所示 图2 3t a n g l e f i 9 2 3t a n g l e 我们沿纽结l ( 如图2 3 ) 中与圆周相交的四个交点切开，然后对圆周内的部分做一个 翻转后与原来四个交点连接得到另一纽结l7 ( 由于我们既可以左右翻转又可以上下翻 转，故可以得到图2 4 所示a ，b ，c 三种不同纽结。 a b 图2 4 纽结图的三种不同的t a n 9 1 e f i 醇4 t h r e ed i f f e r e n tt a n g l e si nh o td i a g r a m s c 定义2 6 这三种情况中任意一种与原纽结互为m u t a n t s ，而这三种操作中的任意一 种称为一个m u t a t i o n 关于s k e i n 树的一些性质 2 2 纽结或链环的镜像 纽结理论中的一个重要问题是镜像问题，或者称为手征问题。 定义2 7 设三是一个纽结或链环。三的镜像顾名思义就是工在镜子中的像。它仍 是个纽结或链环，通常用r 表示。 当镜子在移动时三在镜子中的像也是移动的，可以不管镜子放在什么位置，镜子中 的像总是互相同痕的。所以当我们说到的镜像时，不必指明镜子的位置；要画的镜 像r 时，可以把镜子放在最方便的位置。如果给定了三的投影图，设想把镜面放在画投 影图的纸面，我们立刻就能画出r 的投影图：只须把上的投影图改改，把每个交叉点 处的上线改作下线，下线改作上线就行了。 2 3 多项式不变量 纽结理论的主要课题，是寻求既有强的分辨不同纽结的能力，又易于计算的同痕不 变量。1 9 2 8 年，美国数学家阿历山大取得重大的突破，他给每个纽结联系上一个多项式 不变量。1 9 6 9 年，英国数学家康威( c o n w a y ) 在研究这个不变量的计算方法时对他稍 作改进。改进后的阿历山大多项式，是给每个有向投影图l 对应上一个多项式( l ) 。 这里说的多项式比中学里讲的多项式概念稍广，是指有限多个形如o k t 的项的和，各项 的系数a 。都是整数，而t 的方幂k 则可以是整数也可以是半整数。( l ) 就称为l 的阿历 山大多项式。这个对应又下面三个基本性质： ( 1 ) 同痕不变性：对有向投影图l 实行三种初等变换时，( l ) 都不变，而同痕的有 向链环有相同的阿历山大多项式。 ( 2 ) 拆接关系式。 上e ：m t ，批h 南t 代表三个几乎完全一样的有向投影图，只在某一交叉点 附近有画出的不同形状。 八 ( 3 ) 标准值。平凡纽结u 所对应的多项式是j l 一) ) = l r 我们称v ( l ) 为琼斯多项式。 性质( 1 ) ，( 2 ) ， ( 3 ) 使我们能够相当方便的算出一些常见的纽结与链环的琼 斯多项式。 例l 三叶结 先计算右手三叶结把拆接关系用于 中间是平凡纽结，右面是简单套圈。所以 t 12 v ( 算出 y ( ，一l l 蕊( 疆t t 一量) ( 一一睾) 。 ) = t + 3 一 关于s k e i n 树的一些性质 以上的例子使我们熟悉了拆接关系式的用法。按照先简单后复杂的原则，我们能够 用拆接关系式把一个投影图归结为两个比他简单的投影图，所以每个投影图的琼斯多项 式在原则上可以根据那三条基本性质( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 计算出来。问题是我们总能 够利用拆接关系式把一个投影图归结为两个比他简单的投影图吗? 其实任何一个投影 图我们都可以通过交换几个交叉点处上下线的位置来得到平凡纽结。如图2 5 图2 5 交换交叉点得到平凡纽结 f i 醇5u n k n o t t i n gp r o d u c e sam i v i a ll m o t 因此当我们得到一个投影图，我们可以选择那个经过拆接关系式可以逐步变为平凡 纽结的交叉点。这样就可以保证我们可以计算出任何一个纽结投影图的多项式。通过这 样的拆接方式一步步得到的s k e i n 树称为r e s o l v i n gt r e e o ： oo =厂b = 图2 6r e s o l v i n g 树 f i 9 2 6r e s o l v i n gl y e e o 大连理工大学硕士学位论文 在这棵树的顶端是原纽结，底部是重复使用拆接关系得到的平凡链环。 定义2 7r e s o l v i n gt r e e 的层数( 不包括最高层) ，称为r e s o l v i n gt r e e 的高 矗 d 【o 定义2 8 链环l 的所有的投影图的r e s o l v i n gt r e e 的高度的最小值称为链环l 的高 度。记为h ( l ) 。 2 4 本章小节 本章不要是介绍一些纽结相关的基本知识，其中介绍了纽结的同胚、合痕的概念， 和纽结的阿历山大多项式以及琼斯多项式的定义及计算。重点是介绍了一下纽结或链环 的s k e i n 树的相关知识，包括s k e i n 树的定义，以及链环l 的高度的定义。为下一章讨 论s k e i n 树的性质做了铺垫。 大连理工大学硕士学位论文 3 关于s k e in 树的一些性质 3 1 两个互为m u t a n t s 的纽结可以具有相同的s k ein 树 已知：l 为l 经过一个m u t a t i o n 之后得到的纽结。 求证：l 与l 可以有相同的s k e i n 分解。 证明：不失一般性，参看如下示意图3 1 ： ( 图l ) ( 图l ) 图3 1 两个互为m u t a n t 的纽结 f i 够，lm u t a n tk n o t s 由于l 与l 在区域f 以外的部分完全相同，所以我们可以先分解f 以外的部分， 它们可分解成至多有一个交叉点的两段弧，与一些不相交的平凡纽结的并。这时他们可 以有相同的s k e i n 分解。如下图所示： 衄 圃 图3 2 纽结图的s k e i n 分解 f i g 3 2t h es k e i nt r e eo f k n o t 关于s k e i n 树的一些性质 要说明l 与l 的s k e i n 树可以相同，只需说明以上s k e i n 树的划线部分完全相同即 可。( 这里的划线部分指区域f 以外的交叉点无法再次通过c o n w a ym o v e 来减少) 由 以上示意图发现最后一行出现的图只有四种类型，( 因为它们可分解成至多只有一个交 叉点的两段弧，与一些不相交的平凡纽结的并) 所以只有图3 3 所示四种类型 i il il i _ jl 图3 3 最后四种情况 f i 9 3 3t h el a s tf o u rp o s s i b i l i t y 我们把这四幅图做一个翻转，如图3 4 所示： i i i i ：f ：| 一l o ： ： 0 i _ il i ：f ：| 一l 0 图3 4 翻转后的情况 f i 9 3 4t h ee a s e sa f t e rf l i p p i n go v e r 仔细观察翻转后的图，它就是图l 的s k e i n 树的划线部分的图! 这说明l 与l 的s k e i n 树的划线部分完全相同，故l 与l 的s k e i n 树可以相同。 n ：0 0 ：、， 厨闭 p0一o：。 大连理工大学硕士学位论文 3 2 存在一个高度可以为任意自然数n 的链环。 命题3 1 ：图3 5 所示链环k “的高度为n 一1 。 n 个 图3 5 高度为n 的链环 f i 9 3 5ad e p t h nl i n k 要证明本问题，需以下基础知识( 参阅文献 1 】) ： 定义3 1s 表示链环l 的一个s e i f e r t 曲面，a 为真嵌入s 的弧，有以下两种操作：( 1 ) l 沿着a 做一个扭转得到l ( 如图3 6 a 中所示) ，( 2 ) l 沿着a 增加一个扭转带子得 到l7 ( 如图3 6 b 中所示) 。 请注意沿着弧增加扭转带子的操作( 2 ) 与沿着口给s 粘贴一个垂直h o p f 带子 ( p l u m b i n g ) 的效果相同( 参看文献 4 1 ) 。同样的请注意以上两种操作产生的一显然的 三的s e i f e r t 曲面s 。 a ) 仪 ll l b 二塞一点。，点 关于s k e i n 树的一些性质 定理3 1( 参n 1 】) ：设l 为s 3 中的一个不可分离链环，则存在一个三元组序列 仁o ，s o ，a o ) 哼0 l ，s ，a 1 ) 斗一0 m - is m - ia m 一1 ) 一乜朋，瓯，a 卅) 专l 加= 上 满足以下几条： ( 1 ) l 。是一个平凡纽结。 ( 2 ) 所讹)( 办0 ) 指链环l 的高度) ( 3 ) s i 是厶的一个t a u ts e i f e r t 曲面 i = 0 ，1 ，肌一1 ( 4 ) a ，是一个真嵌入s 的弧。 ( 5 ) l 通过厶沿着弧口做一个扭转得到，或者通过沿着弧a 增加一个扭转带子得 到。 我们分两步来证明，第一步证明蹦三) n 一1 ， 由上述定理知存在链环序列厶，并且上m 至多比三，多一个链环分支，而k ”有n 个 链环分支，有上述定理第( 2 ) 条可知h ( k ”l 刀一l 第二步说明其存在一种高度为刀一1 的s k e i n 分解。 为此我们按照特定的顺序来做s k e i n 分解( 每次解开最左边的链环分支) ，如图3 7 所示： o 啪 o 。 0 0 0 00 0 00 0n 0 o 0 0o00 图3 7 彭”的s k e i n 分解 f i g 2 7t h es k e i nt r e eo fk ” 0 0 o 大连理工大学硕士学位论文 我们用数学归纳法证明，对链环分支数n 进行归纳。 当n = l 时平凡结高度为零，可知结论成立。 假设当挖k 时结论成立。 则当n = k + l 时由于k “1 分解后左边为平凡结与足。的拼，右边为足2 ，由于k 。的高 度为k - 1 故k “1 的高度为k 综合上述知k ”有一种高度为刀一l 的s k e i n 分解。 综合上述两个步骤可知链环k ”的高度为刀一l 3 3 互为镜像的纽结图的s k ein 表达式之间的关系 已知一个纽结图的一个s k e i n 表达式，则可以写出其镜像图的一个相应s k e i n 表达 式。 证明：给定图d 的一个s k e i n 分解，将该分解的每一个图作相应的镜像。由于两图 互为镜像，故如果在任一交叉点p 处其拆解为t 和厶则其镜像在交叉点p 处必拆解为t 和厶，因此其运算符号互逆，故我们只需把s k e i n 表达式中的运算符号全部改变一下即 可。此外，平凡链环的图的镜像仍是它自己。证毕。 例如右手三叶结的s k e i n 表达式为a l + a 2 + 口1 ) 则其镜像左手三叶结的s k e i n 表达式 为a l a 2 一a 1 ) 3 4s k ein 表达式中运算符号两侧的链环的分支数相差1 证明：由于s k e i n 表达式中运算符号的一侧为厶而另一侧为t 或者三+ ( 假设它们 是在交叉点p 处分解) 如果在t 或者三+ 中点p 处的上下线在同一个链环分支上，则厶相 应的两条线属于不同的链环分支，如果在t 或者上。中点p 处的上下线在不同的链环分 支上，则厶中相应的两条线属于同一个链环分支( 因为重接关系) 。综上可知运算符号 两侧的链环分支数总是相差1 。 大连理工大学硕士学位论文 4 结论 ( 1 ) 两个互为m u t a n t 的纽结可以具有相同的s k e i n 树 ( 2 ) 对于任意的正整数n ，存在一个s k e i n 高度为n 的链环。 ( 3 ) 已知一个纽结图的一个s k e i n 表达式，则可以写出其镜像的一个相应s k e i n 表 达式。 ( 4 ) s k e i n 表达式中+ ，一运算符号两侧的链环的分支数相差l 。 大连理工大学硕士学位论文 参考文献 1 a t h o m p s o n ，t h u r s t o nn o r mm i n i m i z i n gs u r f a c e sa n ds k e i nt r e e si ns 3 ，p r o c e e d i n g so f t h ea m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y ，v 0 1 1 0 6 ，n o 4 ( a u g ，1 9 8 9 ) ，p p 1 0 8 5 1 0 9 0 2 m s c h a r l e m a n n ，s m o o t hs p h e r e si nr 4w i t hf o u rc r i t i c a lp o i n t sa r es t a n d a r d ， i n v e n t m a t h ，7 9 ( 1 9 8 5 ) ，1 2 5 1 4 1 3 m s c h a r l e m a n na n da t h o m p s o n ，l i n kg e n u sa n dt h ec o n w a ym o v e s ，t oa p p e a ri nc o i i 皿 m a t h h e l v 4 j s t a l l i n t s ，c o n s t r u c t i o n so ff i b e r e dk n o t sa n dl i n k s ，a m s p r o c s y m p p u r em a t h ， 3 2 ( 1 9 7 8 ) ，5 5 6 0 5 m s c h a r l e m a n na n da t h o m p s o n ，u n k n o t t i n gn u m b e r ，g e n u sa n dc o m p a i o nt o r i ，m a t h a n n 2 8 0 ( 1 9 8 8 ) 1 9 1 2 0 5 6 l n k a u f f m a n ，s t a t em o d e l sf o rk n o tp o l y n o m i a l s t o p o l o g y ，2 6 ( 1 9 8 7 ) ，3 9 5 4 0 7 7 w b r l i c k o r i s h ，a n dm b t h i s t l e t h w a i t e ，s o m el i n k sw i t hn o n t r i v a lp o l y n o m i a l sa n d t h e i rc r o s si n gn u m b e r s c o m m e n t m a t h h e l v 6 3 ( 1 9 8 8 ) 。5 2 7 5 3 9 8 p m m a n c h o n ，e x t r e m ec o e f f i c i e n t so fj o n e sp o l y n o m i a l sa n dg r a p ht h e o r y p r e p r i n t l i v e r p o o lu n i v e r s i t y ，m a r c h2 0 0 1 9 m b t h i s t l e t h w a i t e ，a nu p p e rb o u n df o rt h eb r e a d t ho ft h ej o n e sp o l y n o m i a l m a t h p r o c c a m b p h i l s o c 1 0 3 ( 1 9 8 8 ) ，4 5 l 一4 5 6 1 0 v g t u r a e v ，as i m p l ep r o o fo ft h em u r a s u g ia n dk a u f f m a nt h e o r e m so na l t e r n a t i n gl i n k s e n s e i g n m a t h ( 2 ) 3 3 ( 1 9 8 7 ) ，2 0 3 2 2 5 1 1 c e r n s t ，d w s u m n e r s ，s o l v i n gt a n g l ee q u a t i o n sa r i s i n gi nad n ar e c o m b i n a t i o nm o d e l 姚t h p r o c c a m b p h il s o c ，1 2 6 ，n o 1 ( 1 9 9 9 ) ，2 3 3 6 1 2 j r g o l d m a n ，l h k a u f f m a n ， r a t i o n a l t a n g l e s ， a d v a n c e si na p p l i e dm a t h 1 8 ( 1 9 9 7 ) ，3 0 0 3 2 2 1 3 r e b e d i e n t ，d o u b l eb r a n c h e dc o v e r sa n dp r e t z e lk n o t s ，p a c i f i cj m a t h 1 1 2 ( 1 9 8 4 ) ， 2 6 5 2 7 2 1 4 j s b i r m a n ，o nt h ej o n e sp o l y n o m i a lo fc l o s e d3 - b r a i d s ，i n v e n t m a t h 8 1 ( 1 9 8 5 ) ， 2 8 7 2 9 4 1 5 3c a g i l l e r ，af a m i l yo fl i n k sa n dt h ec o n w a yc a