（工程力学专业论文）轴压作用下钢管混凝土矩形柱的组合刚度研究.pdf

中文摘要 钢管对核心混凝土的紧箍作用是钢管混凝土结构技术的关键力学问题之一， 这一界面力学问题的准确描述是解决问题的关键，矩形截面的钢管混凝土结构尤 其如此。本文基于连续介质力学方法，建立钢管混凝土小变形下的弹性分析理论， 重点对矩形钢管混凝土柱的弹性本构关系、组合弹性模量、组合轴压刚度以及界 面力学问题进行深入的理论研究、数值模拟。 主要工作和结论如下： 1 、 基于连续介质力学理论，结合弹性力学平面问题相关理论和结构力学位移 求解方法，建立了钢管混凝土柱小变形条件下的界面力学问题的弹性分析 理论，并借助m a t l a b 工具实现矩形钢管混凝土柱的弹性本构关系、组合弹 性模量、组合轴压刚度以及界面力学问题数值求解。 2 、 获得了钢管混凝土组合柱的界面法向力( 紧箍力) 的分布函数表达式一( x ) 和 疋( y ) 。运用函数的图像能方便地描述界面紧箍力的分布规律。图像表明： 方形截面和矩形截面的钢管混凝土界面法向力的分布很不均匀( 呈类似二 次曲线的形状) ，矩形截面比方形截面的紧箍力的分布更加的不均匀。在角 点处都有应力集中的现象，角点的紧箍力最大，在中点处的紧箍力最小， 方形截面的钢管混凝土紧箍作用比矩形截面的钢管混凝土要大。 3 、 研究了组合弹性模量的变化规律。随着含钢率的增大而明显增大；随着混 凝土的强度等级的增高仅略有增大。研究也表明在相同的含钢率p 下，截 面的边长比在a b s 2 4 范围内，矩形钢管混凝土组合弹性模量比方形钢管 混凝土组合弹性模量略小，差值在5 左右，故此范围矩形截面可以近似的 等效为正方形的截面处理。此结论与文献 1 2 一致。 4 、 研究表明：钢管混凝土的组合弹性模量、组合轴压刚度要比目前采用的没 有考虑紧箍作用的换算弹性模量、换算轴压刚度要高，在计算范围内，组 合弹性模量比换算弹性模量提高约1 3 6 - 1 5 3 ，组合轴压刚度要比换算刚 度提高约1 5 8 - 2 0 1 。且随含钢率的增大而显著增大，随混凝土强度的提 高而变化不大。 关键词：钢管混凝土，矩形截面柱，紧箍力，组合弹性模量，组合轴压刚度 a b s t r a c t o n eo ft h ek e yo fm e c h a n i c a lp r o b l e m so fc o n c r e t e - f i l l e ds t e e lt u b e ( c f ns t r u c t u r e i st h ec o n f i n i n ge f f e c tb e t w e e nt h es t e e lt u b ea n dt h ec o r ec o n c r e t e t h ek e yt os o l v et h e p r o b l e mi st oa c c u r a t e l yd e s c r i b et h ei n t e r f a c i a lm e c h a n i c sp r o b l e m s ，e s p e c i a l l yt ot h e r e c t a n g u l a rs e c t i o no fc f t t h ep a p e rb a s e do nc o n t i n u u mm e c h a n i c st h e o r y , m a d ea s m a l l - d e f o r m a t i o ne l a s t i c i t yt h e o r ya n a l y s i so nr e c t a n g u l a rc o n c r e t e - f i l l e ds t e e lt u b e c o l u m n ( c f t c ) f o c u so n t h ee l a s t i cc o n s t i t u t i v e r e l a t i o n , c o m p o u n d i n ge l a s t i c m o d u l u s 、c o m p o u n d i n ga x i sd i r e c t i o nc o m p r e s s i v es t i f f n e s sa n di n t e r f a c i a lm e c h a n i c s p r o b l e m st or e c t a n g u l a rc f r co ft h e o r e t i c a ls t u d yd e e p l ya n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n t h em a i nc o n c l u s i o n so ft h ep a p e ra sf o l l o w s ： ( 1 ) b a s e do nc o n t i n u u mm e c h a n i c st h e o r ya n dt h em e t h o do fe l a s t i c i t yt h e o r ya n d s t r u c t u r a lm e c h a n i c s r e l a t e dd i s p l a c e m e n ts o l u t i o n b ef u l la d v a n t a g eo ft h i s e f f e c t i v em a t h e m a t i c a lt o o l - m a t i a b ，i tc a no b t a i nt h ec o m p o u n d i n ge l a s t i c c o n s t i t u t i v er e l a t i o n 、c o m p o u n d i n ge l a s t i cm o d u l u s 、c o m p o u n d i n ga x i s d i r e c t i o nc o m p r e s s i v es t i f f n e s sa n dt h en u m e r i c a ls o l u t i o no fi n t e r f a c i a l m e c h a n i c sp r o b l e m st ot h ec f t c ( 2 ) i tc a no b t a i nt h ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o ne x p r e s s i o n 石( x ) a n d 厶( j ，) o ft h ec f t c o ft h ei n t e r r a c i a ln o r m a lf o r c e t h ei m a g e sc a nc o n v e n i e n t l yd e s c r i b et h e d i s t r i b u t i o no ft h ec o n f i n i n gf o r c e t h ei m a g e ss h o wt h a tt h ed i s t r i b u t i o no ft h e r e c t a n g u l a rs e c t i o na n ds q u a r es e c t i o nc f t co ft h ei n t e r r a c i a ln o r m a lf o r c ei s u n e v e n ( i ts h o w sas h a p eo fc o n i cs i m i l a r l y ) ，t h ed i s t r i b u t i o no fr e c t a n g u l a r s e c t i o ni sm o r eu n e v e nt h a nt h es q u a r es e c t i o n t h e r ei sap h e n o m e n o no fs t r e s s c o n c e n t r a t i o ni nt h ec o i n e ro f f i c e t h ec o n f i n i n gf o r c ei sm a x i m u mi nt h e c o m e ra n dl e a s ti nt h em i d p o i n t t h ec o n f i n i n ge f f e c to fs q u a r es e c t i o nc f t ci s m o r et h a nt h er e c t a n g u l a rs e c t i o n s ( 3 ) t h ep a p e rs t u d y t h ev a r i a t i o no fc o m p o u n d i n ge l a s t i cm o d u l u s ，w h i c h i n c r e a s e do b v i o u s l yw i t ht h ei n c r e a s eo fs t e e lr a t i o ，i n c r e a s e ds l i 曲t l yw i t ht h e i n c r e a s eo fs t r e n g t hg r a d eo fc o n c r e t e t h es t u d ya l s os h o w st h a tt h e c o m p o u n d i n ge l a s t i cm o d u l u so fr e c t a n g u l a rs e c t i o nc f t ci ss l i g h t l ys m a l l e r t h a nt h es q u a r es e c t i o n si nt h es a m es t e e lr a t i o p w h e nw h e na b v c ， 使得混凝土的横向变形受到外围钢管的约束，由此产生了紧箍力【1 2 l 。钢管混凝 土中，钢管对其内部核心混凝土的约束作用使得混凝土处于三向受压状态，从 而使核心混凝土具有更高的抗压强度和轴压刚度：且钢管内部的核心混凝土的 存在，又能有效地防止外围钢管发生局部屈曲【1 3 1 。两者协同作用，大大地提高 了其承载能力。研究表明，钢管混凝土柱的承载力高于相应的钢管柱承载力和 混凝土柱承载力之和。钢管和混凝土之间的相互作用使钢管内部混凝土的破坏 由脆性破坏转变为塑性破坏，构件的延性性能明显改善l l 引。 7 武汉理工大学硕士学位论文 1 5 钢管混凝土国内外研究现状 2 0 世纪6 0 年代，英国n e o g ip k 【1 5 】等人研究了钢管内的核心混凝土三向受 压的强度问题，导出了考虑钢管对核心混凝土约束作用下的钢管混凝土承载力 的计算方法，这是钢管混凝土理论研究的一大突破。这一时期，美国的k n o w l e s r b p a r kr 等人【1 6 j 通过大量试验，研究了钢管混凝土柱的受力性能，取得了很多 重要成果。 印度学者e i c g u p t a ，s m s a r d a 1 7 l 等人于2 0 0 7 年在对8 1 个圆形钢管混凝土试 样进行轴心受压的实验的基础上，得出了钢管对核心混凝土的紧箍力随着轴向 力的增大而增大，径厚( d t ) 比越小，紧箍力越大这一结论。埃及学者e h a b e l l o b o d y 1 8 】通过有限元软件研究了在较高轴压力作用下的钢管混凝土带肋方形， 矩形截面钢管混凝土的非线性行为，通过有限元对比分析带肋的钢管混凝土较 不带肋的钢管混凝土的承载能力大大的提高。台湾大学陈志削”j 等对不同截面 形式的钢管混凝土进行了有限元的模拟分析，得到在轴向力很大的时候紧箍作 用越明显，且圆形截面比方形截面的钢管混凝土的紧箍作用明显，当轴向力不 大的时候，圆形截面和方形截面的钢管混凝土的紧箍作用相差无几。在试验与 理论研究的基础上，一些国家先后编制了钢管混凝土结构设计规范或者设计规 程，主要有：欧洲标准化委员会编制的e c 4 规程1 2 0 i ，美国的灿s c l r f d ( 1 9 9 4 ) 2 1 】 规程，日本的a i j ( 1 9 9 7 ) 规程等等【2 2 j 。 国内研究钢管混凝土主要分为三个理论体系，分别在蔡绍怀编写的钢管 混凝土结构的计算与应用【矧、汤关柞和蒋家奋编写的 ) 计算方法。 1 ) 哈尔滨建筑大学钟善桐教授基于“钢管混凝土统一理论”，即把钢管混凝 土视为统一的组合材料，由构件的整体几何特性和钢管混凝土的组合性能指标， 来计算构件在各种受力状态下的承载力。由于统一理论从确定适合各种受力状 态的钢材和混凝土的本构关系出发，借助有限元方法计算得到各种受力状态下 钢管混凝土构件的荷载一变形的全过程曲线，由此得出各种受力状态下承载力 的计算公式，这些公式己被g d l t5 0 8 5 - 1 9 9 9 ) ) 采用汹1 。在确定钢管混凝土短 柱轴压承载力时以对应于轴向应变一3 0 0 0 j u e 时的荷载作为其极限承载力，由 此得出计算公式为： 0 2 厶以 ( 2 6 ) 式中： 如 钢管混凝土组合柱的截面面积； 厶 钢管混凝土组合轴压强度设计值，按( 2 7 ) 式计算： 厶= ( 1 2 1 2 + b 亭+ c 芋2 ) z ( 2 7 ) b = o 1 7 5 9 f j2 3 5 + 0 9 7 4 ( 2 - 8 ) c = - 0 1 0 3 8 厶2 0 + 0 0 3 0 9 ( 2 - 9 ) 式中：b 和c 为计算系数，厶为混凝土抗压强度标准值；亭为套箍系数，芋= 参妻。 2 ) 规程d 5 0 8 5 1 9 9 9 ) ) 给出的钢管混凝土受压杆件的轴压刚度为： 刨一瓦( 4 + 4 ) ( 2 一1 0 ) 武汉理工大学硕士学位论文 钢管混凝土组合弹性模量玫为： e 。| 呻| 呻 厶2 ( o 1 9 2 f y 2 3 5 + 0 4 8 8 ) f 。y ( 2 - 1 1 ) ( 2 1 2 ) 式中，如为圆钢管混凝土组合比例极限；印为钢管混凝土组合比例应变 s c p ；0 6 7 f y e ；厶为钢管混凝土组合强度标准值。 4 矩形钢管混凝土结构技术规程( c e c s l 5 9 ：2 0 0 4 ) 1 3 9 l ( 后简称( c e c s1 5 9 ：2 0 0 4 ) ) 计算方法。 1 ) 规程( c e c s1 5 9 ：2 0 0 4 ) ) 给出的钢管混凝土轴压截面承载力的计算公式为： 0 2 正4 + 4 ( 2 一1 3 ) 从式( 2 - 1 3 ) 可见，规程c e c s1 5 9 ：2 0 0 4 采用了钢管强度和核心混凝土强度简 单叠加的方式来计算矩形钢管混凝土的轴压强度承载力。 2 ) 规程c e c s l 5 9 ：2 0 0 4 ) ) 给出的钢管混凝土受压杆件的轴压刚度为： e a 一丘4 + 巨4 ( 2 一1 4 ) 该规程的组合轴压刚度为混凝土和钢管两部分相应刚度的简单叠加。 2 2 钢管混凝土柱轴心受压国外各规程计算方法 5 美国钢结构协会规程a i s c l r f d ( 1 9 9 9 ) 1 2 1 j 计算方法 1 ) a i s c l r f d ( 1 9 9 9 ) 规程为美国钢结构协会制定。规程中主要考虑构件的整 体稳定性，将混凝土的强度折算到钢材中，得到钢材名义抗压强度c ，再由巴 计算方钢管混凝土轴压构件的承载力： o = o 8 5 4 ( 2 一1 5 ) 书( 0 8 6 7 5 7 8 w a c 2 ) ，f , , , y 等- ：1 塔5 式中： - + o 8 5 z ( 41 4 ) ，z 为混凝土圆柱体抗压强度； 比【2 1 i ，该规程无钢管混凝土受压构件的轴压刚度的介绍。 1 3 ( 2 - 1 6 ) 丸为换算长细 武汉理工大学硕士学位论文 6 日本a u ( 1 9 9 7 ) 1 2 2 】规程计算方法 a i j ( 1 9 9 7 ) 规程采用简单的叠加钢管和混凝土二者承载力的方法进行钢管 混凝土轴压构件承载力的计算，计算分不同长径比l d ( 其中，l 为构件有效计 算长度，d 为圆钢管外径或方，矩形钢管混凝土构件截面长边边长) 将柱分为长 柱和短柱，比值大于1 2 的为长柱，小于1 2 的为短柱。 轴压短柱承载力的计算公式为： n o = o 8 5 z 4 + z 4 ( 2 1 7 ) 长柱承载力的计算也采用了叠加法进行，初始偏心取截面尺寸的5 ，钢管 截面按换算长细比，分别计算出各自承载力后进行叠加，从而得到轴压长柱的 稳定承载力。 2 ) 规程a i j ( 1 9 9 7 ) 给出的钢管混凝土受压构件的轴压刚度为： e a = 乞4 + e 4 ( 2 1 8 ) 该规程的组合轴压刚度为混凝土和钢管两部分相应刚度的简单叠加。 7 欧洲e c 4 ( 1 9 9 6 ) 1 2 0 j 规程计算方法 e c 4 ( 1 9 9 6 ) 规程考虑了钢管对混凝土的套箍作用使得钢管混凝土轴压承载 力得以提高这一因素。规程中圆形钢管混凝土轴压构件承载力的计算公式为： 02 妒( 厶4 + z 4 ) ( 2 1 9 ) 式中，厶为混凝土轴心抗压强度标准值，妒为轴压稳定系数。 此公式的特点为：钢管混凝土短柱轴心受压承载力采用全截面达到塑性时 的抗压承载力设计公式。即在轴心压力的作用下达到极限承载力时，钢材达到 屈服强度工，同时钢管中的混凝土达到极限抗压承载力厶。该规程无钢管混凝 土受压构件的轴压刚度的介绍。 2 3 各规程计算方法的比较和总结 苏州混凝土和水泥制品研究院、中国建筑科学研究院和哈尔滨建筑大学所 研究的成果已分别被规程：国家建筑材料工业局标准 j c j0 1 8 9 嘲1 ，中国 工程建设标准化协会标准( c e c s2 8 ：9 0 1 和中华人民共和国电力行业标准 d l t 5 0 8 5 1 9 9 9 所采用。规程( d l t5 0 8 5 1 9 9 9 ) ) 的基本理论依据见文献 1 4 武汉理工大学硕士学位论文 h 1 1 ，该规程以建立在试验基础上的理论公式为主，在公式推导方面较多地借鉴 了钢结构的设计理论，得出的计算公式相对复杂。 我国现行的三个设计规程均考虑了圆形钢管对混凝土的约束作用，钢管混 凝土柱轴心受压承载力计算公式仍采用欧洲统一设计规范e c 4 中，一纠的表 达形式，在确定驴和0 时，三个设计规程基于不同的理论，提出了不同的计算 方法。 上述所有国内外规程中，仅有国内的j a0 1 8 9 ， c e c s2 8 ：9 0 ，d 5 0 8 5 1 9 9 9 ) ) 规程和日本的a i j ( 1 9 9 7 ) 规程有组合刚度的计算公式，而( c e c s2 8 ： 9 0 和h l j 采用了换算刚度，即：( 剧) 。一e 。a + e c a ，其中符号s ，c 分别指 代钢管，混凝土；此公式只是简单地把钢管相应刚度和混凝土相应刚度叠加， 并没有考虑钢管对核心混凝土的紧箍力效应。对钢管混凝土的组合刚度的研究 国内外学者主要针对圆形钢管混凝土结构开展了一些研究，也取得了一定的成 果。如日本建筑协会h l j 规程陴3 中采用了组合抗弯刚度计算公式，由于规程中 并没有定义组合截面的弹性模量与惯性矩，因此，只能得到组合截面抗弯刚度 的整体概念，轴压刚度还是采用的简单叠加换算刚度。2 0 0 4 年由中国工程建设 标准化协会颁布了矩形钢管混凝土技术规程( c e c s l 5 9 ：2 0 0 4 ) ，对促进矩形 钢管混凝土在工程中的应用起到了积极作用。由于我国对矩形钢管混凝土柱理 论研究和试验研究不多，积累的数据少，在推导矩形钢管混凝土柱的计算公式 时，忽略了钢管对混凝土的紧箍作用。事实上，钢管对混凝土的紧箍作用是钢 管混凝土结构技术的关键力学问题，矩形钢管混凝土柱的真实力学行为有待进 一步的开展理论研究、试验研究和数值模拟分析。 武汉理工大学硕士学位论文 第3 章钢管混凝土矩形柱组合刚度理论 3 1 问题的提出 对于图3 一l ( a ) 所示矩形钢管混凝土柱的加载方式，可建立图3 1 ( b ) 所示的 组合柱体计算模型。 n 。 、， ii 二嬲 ； 乒 ； 二 ； ； 二 ； 二 ； 豸 ； 一一 一 二 二 ； 二壬 l i n ( a ) 加载方式 嬲 壬 二 ； ； 二 二 ； 二 ； ( b ) 计算模型 e c a c c ) 组合柱截面 图孓1 组合柱 1 ) 在轴压力n 作用下，混凝土和钢管周边互不接触，这是一种最简单的情况， 可不必考虑两者的相互作用，即交界面有空隙，没有待定的约束作用力。 1 6 武汉理工大学硕士学位论文 设混凝土和钢管所受的压力分别为c ，m 。若要求出札，m 的大小，需 根据纵向压缩变形( 或纵向应变占) 相等的附加条件来确定。 平衡条件： 变形协调条件： n c + n s | n 旦；旦 e c a ce s a s ( 3 1 ) ( 3 2 ) 式( 3 2 ) 中：e 4 ，e 4 分别表示混凝土和钢管的抗压刚度，于是，由( 3 1 ) 和( 3 2 ) 可得； 以= 孝旨州，m = 老n ， e c a c + e 3 a s s e c a c + e s a s 、。 式( 3 3 ) 0 0 ，( e 4 + e 4 ) 称为组合刚度，对界面有空隙的情况，可直接将 两者的刚度相加作为组合刚度，然后按照各自刚度所占的百分比进行内力分配。 但是实际情况并不是这样，由于两者材料的泊松比不同，在界面处常常有接触， 而产生相互作用力，这就是问题变成了二向( 三向) 应力状态。且相互作用力 ( 分布和大小) 均不能事先知道。 2 ) 在交界面仅考虑法向作用力 由于组合柱的界面是矩形，有两个对称轴，所以只需要研究其1 4 的部分。 问题的关键是如何确定界面处的相互作用法向力a ( x ) ，a ( y ) ，这必须根据两 者在交界面周边处法向位移相等( 横向) 的变形连续条件来确定。 因此，第一，要用弹性力学方法h 2 1 求解图3 - 2 ( a ) 所示的平面问题；第二， 要用结构力学求解图图3 2 ( b ) 所示的超静定矩形闭合刚架问题。 、y 、：肌砷硎r = 7 ， 蔫 露鬟群 r 疋 挎 茂 么 j 、 o王脚王 ) 二石( x ) 似y ) 石( x ) ( a )( b ) 图3 - 2 混凝土和外包钢管的相互作用 1 7 武汉理t 大学硕士学位论文 3 2 核心混凝土区域的位移 1 ) 首先用弹性力学万法求解图3 2 ( a ) 所不的半向i 列题。 由于界面力石( 力，a ( y ) 未知，且不一定连续，所以采用三角级数求解， 应力函数妒( x ，y ) 和法向力z ( x ) 和a ( y ) 均以三角级数的形式表示，借助相关边 界条件确定有关待定系数。 v 4 咖，= 軎+ 2 啬+ 軎 。q a 缈a t pa 2 t p v r q 2 蒂；q2 亨；y 一丽 ( 3 。5 ) 用逆解法，首先假设应力函数妒( x ，y ) 取如下形式： 驴( x ，y ) ；s i n 里f ( y ) ( 3 - 6 ) 其中刀为正整数，a 为常数，而f ( y ) 是y 的函数，r ；旦将其代入方程 ( 3 4 ) ，可知f ( ) ，) 满足： s i n ( 咧窘_ 2 窘即。 删去因子s i n ( 缄) ，方程( 3 7 ) 的一般解可以写成： f 心心= c l e r y + c 2 e 。一y + c x y e y + c 4 y e _ y 将指数函数用双曲线函数表示，于是式( 3 8 a ) 可以写成： f ( y ) = a c h ( x y ) + b s h ( x y ) + c y c h ( x y ) + d y s h ( t c y ) 其中爿。历c 9 是积分常数。 1 8 ( 3 7 ) ( 3 8 a ) ( 3 8 b ) 武汉理工大学硕士学位论文 由此，方程( 3 4 ) 的通解为： 驴( x ，y ) ；罗s i n 鼍4 幽( r y ) + 色幽( k y ) + 箭 a e 弘办( k y ) + 见声办( k 少) 】+ 善0 0c 。s 艺j 4 c 办( k y ) + 色j 办( 彭力+ c 一y c h q c y ) + d 打y s h ( t c y ) 】 蜀者 ( 3 9 a ) 吣= 薹s i n _ w 6 r x 。_ - 才砌( 矽) 厄似矽) + 虿一愆办( 矽) + 瓦淞办( 矽) 】+ 善0 0c 。s 等同名办( 矽) + 百n s 向( 矽) + 石一也( 矽) + 一d 一淞办( 矽) 】，( 矛；_ l q a - g ) d ( 3 9 b ) 为了便于求解，现在图3 2 ( a ) 混凝土柱的侧面受力拆分为两部分进行叠加， 见图3 - 3 ( a ) 和( b ) 。 、， = 厂 j篱襞甏 执 ) $ 一 ( a ) 图3 - 3 混凝土的受力拆分 对于图3 - 3 ( a ) 的单向受压，边界条件有： 圳吒一守= 。 1 9 ( b ) ( 3 - 1 0 ) 武汉理工大学硕士学位论文 所以，这时的应力函数应该选掸： 驴( x ，y ) ；e 。s i n 鼍以c h ( t c y ) + 吃s h q c y ) + - i - “ c , , y c h ( r y ) + d y s h ( x y ) 】 其中四个待定系数4 ，色，e ，q 可由下列边界条件确定： 少- 0 ；q = 軎一臌一熹= o y 而；q ；軎一胁) ，一熹_ o 将( 3 - 11 ) 式代入( 3 - 1 2 ) 式，可得： 萝( 旦) z 以s i n 竺；石( x ) 薹e ，c 等吃 + q ) c o s 竺。0 口 ( 3 - 1 1 ) ( 3 - 1 2 ) 窆( 里) z 【4 c h ( m r b ) + 色s h ( m r b ) + 镯“ 口 一 口 ( 3 1 3 ) c b c h ( n s r b ) + 见6 s h ( n s r b ) s i n 巧x ；石( x ) 多( 竺) 4 里s + 百= i “ 1 7 h ( n ：“z b )b , , n “ wc h ( m “r b ) t , l e p h ( n w b ) + 型s h ( m r b ) + 见【s h ( m r b ) + 婴c 办( 丝) 】) c o s 竺；0 同理：对于图3 - 3 ( b ) 的单向受压，边界条件有： y 扎峨= 軎= 。 2 0 ( 3 1 4 ) 武汉理工大学硕士学位论文 所以，这时的应力函数应该选择： 咖螺咖孚碱矽) - g 办( 矽) + c ，t x c h ( 矛y ) + d ，x s h ( 矛y ) 】 其中四个待定系数彳刀，b n ，c 打，d 刀可由下列边界条件确定： 刎；吒一守一五驴一啬= 。 x 叫吒；鲁一胁) ，扣口；吒2 蒂一2 【y ) ， 将( 3 1 5 ) 式代入( 3 1 6 ) 式，可得： 薹( 争2 石咖了m r y 咧y ) ：一黑：o ( 3 - 1 6 ) 缸a 1 ， 薹( 等) ( 等瓦+ _ ) c 。s 孚= 。 薹( 詈) 2 瓦办( 等) + 瓦办( 坷厂c ) + 甬如( 竿) + 酗办( 竿) ) s i nt n , r t y ：f 2 ( y ) bdd 茎( 石争t 一t j t q + 瓦和( 辛+ i h 百r u r a ) + 等s 办了 d t t 2 ) 】+0dd 虿【幽( _ i 万g ) + _ n d t ac 办( 竿) 肿in z _ z ；0 ddb b ( 3 1 7 ) 武汉理工大学硕士学位论文 2 ) 界面力函数石 ) 和厶) 的确定 为了便于求解，现分别将待定的界面力函数石 ) 和石 ) 展开成下列余弦 级数： 胁) 。羹岛c o s m a t x a2 岛+ 黔z _ d c o s 竺a _ ；靠= 6 册。2 加) = 薹跏s 孚= + ，卵= 2 ，4 ，6 ，8 掣 、1 8 ) c o s ( 3 - 1 8 ) o d 为了分析方便，可以依次先求出展开式( 3 1 8 ) 中的各单项力c o s m s r x a c 。s 孚单独作用引起的钢管混凝土柱周边的各点的法向位移攀，等；由 方程( 3 1 3 ) ，令石( x ) 。c o s 竖，再利用三角函数的正交性，可得到 口 4 ，或，e ，见表示的四个代数方程： 兰( 争2 4 = c o s 了m j g x s i n 等出- 一m ) z x c o s 。_ ：! _ 。_ 。- 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。_ - _ _ _ _ _ _ _ _ 一 2 ( n m ) 翌 口 i a 【一n z g ) ( 一色+ e ) ；0 zaa + c 。s 【堕堕堕】 口 2 ( n + m ) z 口 昙( 里) 2 以c h ( n z b ) + 或s h ( n z b ) + c b c 办( 丝) + d b s h ( n z b ) ： zaaaaa ( 以一朋) x x c o s - - ：! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 一 2 ( ，2 一朋) 至 口 + s 【堕竺坦】 口 莨 ) 瞄 疗 。础 万一口 - 、 m+聆 敌 趁 武汉理工大学硕士学位论文 昙( 里) 以里妫( 型) + 或一m r 肋【w r b ) + g 【c h ( n w b ) + 丝堕s h ( m r b ) + z口口aaaaaa 见p h ( m r b ) + 型c h ( m r b ) ；0 其中n = l ，2 ，3 ，4 ，5 ( 3 1 9 ) 由方程( 3 一1 9 ) 对于每一个求和序列r l ，都可以解出待定系数以，色，e ，色， 因此可以得到钢管混凝土柱在单项力c o s 坚作用下的应力函数： 口 驴( x ，y ) ；2s i n ! 兰三【4 如( k y ) + 色s 办( k y ) + c y c h ( k 少) + d y s h ( k y ) 】的求 i 可 a 解，再依次更换m ，再次求出各以，或，巴，q ，这样就确定所有不同的单项力 c o s 竖作用下的全部应力函数 ，y ) 。 口 3 ) 单项力c o s 竺作用下矩形混凝土周边的法向位移的求解 口 物理方程： = 去( q 哪) = 瓦1 ( 0 矿2 p h 旷玄c q 一，一去磐一h 争 驴掣岛一掣c 岛 黼置一与，h ；击 武汉理t 大学硕士学位论文 巳= 丝o x ，y = - 枷g y ，= 罢+ 等 ( 3 现) g j2 一，y2 ，儿y2 磊+ 面 ( 3 。2 1 ) 联立( 3 2 0 ) y 阳( 3 2 1 ) 可得： 小= f 舶1 ( 0 芦2 9 一v l 軎述+ g l ( y ) v ( 训) = j f 荦i _ l 丽0 2 1 p h 窘陟( x ) ( 3 - 2 2 ) 籼一z z 概，半岛一半c 啬乓a v + 茜确： 瓣c 軎一h 丽a 2 q ) 肛喝c y ，+ 罐磐一h 軎陟b ，= 一半( 鱼o x o y ， e 、7 由此可以确定函数g l ) 和9 2 ( 戈) 的形式，其中含有若干积分常数。这些常 数可以根据问题给出的边界条件( 位移条件) 确定。由于混凝土柱截面是矩形， 有两个对称轴，故有： x = 兰；“= o ：j ，= 兰；1 ，一o ( 3 2 3 ) 由( 3 - 2 3 ) 可确定上述运算中出现的积分常数。 同理，x ：0 ：x ：a 边上有单项力c o s m = - - - - z yf r 犀l 。由方程( 3 1 7 ) ，同样令 d 五( y ) - - c o sm t ：r y ，可得类似方程( 3 1 9 ) 的四个代数方程，可以确定另一组待 定系数a 一，b 行，c 疗，d 玎，接下来同样可以求出单项力c o s = 作用下的混凝土 一 m 仃1 ， 武汉理t 大学硕士学位论文 法向力石o ) 和厶) 作用下周边法向位移可表示为级数形式： ，= 岛2 a ( c 2 ) 。囊。诣 篇 ： 岛” ( 3 2 4 ) 其中，? ，孑分别为法向力石 ) 和五( y ) 作用下的混凝土柱周边法向 位移：岛，卢脚为级数展开系数；2 ，a 。t 2 分别为级数展开式中单项力作用下 的混凝土柱周边法向位移。 3 3 钢管区域的位移 用结构力学方法求解图3 - 2 ( b ) 所示的超静定矩形闭合刚架问题 图3 - 4 等效刚架图( 取1 4 ) ( b ) 由对称关系，图3 - 2 ( b ) 所示的闭合刚架相当于图3 - 4 的刚架。两端支座均为 滑动固定支座，其特点是有转动约束，吼= o b = 0 ，且无剪力，q ；绋= 0 ， 同样将周边的作用力拆分为两个部分( 图3 4 ) ，各自的作用力分别为( 级数展开 式( 3 - 1 8 ) 中的单项力) ： 石( x ) ；c o s 竺； 口 由平衡条件，可求出： f e ( y ) ；c o s m a - r y ； d ( y ) 武汉理工大学硕士学位论文 心= 丑c 。s 争；一丑c o s 争p 2 5 ， 因此它们的力学分析简图可分别由图3 - 5 的左右侧模型代替。 1 图3 5 力学分析模型 图3 - 5 要分别解出一个多余约束弯矩( 对于图3 - 5 ( a ) 为墨；对于图3 - 5 ( b ) 为k ) ，这是一个一次超静定刚架问题，静定基分别如图3 - 6 ： c 么 、 b | 2 、 图3 6 力学分析模型静定基 武汉理工大学硕士学位论文 由结构力学中力法解图3 4 中一次超静定刚架问题，变形协调为吼= 如= 0 ； 图3 - 7 单个力引起的转角图 由图3 7 ，单个力c o s 竺引起的转角如下： = q + 如州，- o ，毗一半 ( 3 2 6 ) 而变形量( 转角) 巳( 脚砌s 警引起) ；( 支座反力引起) 和哦( 单 位力矩引起) 可分别由结构力学中的莫尔积分求得： 巳= 膏坐学+ 叠坐学前华+ 膏华 ( 3 - 2 7 a ) 9 r = j f 手! ! ! 墨羔挚+ j 宁b ! ! ! 墨羔社+ j ： ! ! 墨! 挚+ 膏地学 ( 3 2 7 b ) 6 ，= 叠丝出挚+ 膏丝挚+ 膏盟毫丛数+ 2 7 武汉理t 大学硕士学位论文 i塑立塑蜴，3o e a 。 0 2 7 c ) 式中，鸠( x ) ， ) 和( x ) 分别表示外荷载石，支座反力靠和单位力矩 ( 五= 1 ) 作用下在刚架长边a c 段产生的弯矩表达式，而必( 少) ，m 尺( y ) 和 ( y ) 分别表示外荷载石，支座反力欧和单位力矩( 墨- - 1 ) 作用在钢架短边 边c b 段产生的弯矩表达式；m ( 砷，虬( x ) ，0 ( x ) 分别是相应的长边a c 段 轴力表达式，虬( y ) ，月( y ) ，n o ( y ) 分别是相应的短边b c 段轴力表达式； e ，翻分别为抗弯刚度和抗压刚度。 开酾 咿 i 口 一 图3 - 8 力学分析偷图 由图3 - 8 ，可得： ( x ) 。c 石( 五) ( x 一五) 如；m q ( y ) = o ；心( z ) = o ；n q ( y ) = 0 ； a 靠( x ) = j x ；m r ( y ) = 0 ；人kx ) 一0 ； k ( y ) ；月0 ； m o ( x ) = 1 ； 毛( y ) = 1 ：n o ( x ) = 0 ；n o ( y ) = 0 同理：可由图3 - 5 ( b ) 变形协调条件吼一o 求出多余约束弯矩t 吼= + + 五6 1 4 = 0 ， 账五。一粤鱼( 3 - 2 8 ) q 爿 其中，和岛爿的求法类似巳，o r 和6 。的求解。它们的力学分析模型 武汉理工大学硕士学位论文 取图3 5 ( b ) ，静定基取图3 - 6 ( b ) 。五和五求得后，原闭合刚架在c o s 竺 口 c o s m ；6 r y ( 单项力) 作用下的内力( 轴力( x ) ，( y ) 和弯矩m ( x ) ，m ( y ) ) 就可以完全确定。进而计算刚架周边任意点( ，y o ) 的法向位移- - n 用( 1 ，凸- - 历( 2 就十 分容易。 由结构力学位移计算一般公式可求出刚架周边法向位移： g = j 芋! ! ! d 学+ - j 季! ! 二j 糕+ j 学! ! 生学+ 膏毕 ( 3 - 2 9 a ) r 髫燮学蛾前绁学蛳+ f 堂学呶+ 。= j 于! ! ! 堡( 挚+ j 季! ! 【堕垒挚+ j 手! ! 学+ 叠业学 图3 - 9 石( j ) 。c o s 竺竺作用下的单位力图 口 武汉理工大学硕士学位论文 图f 2 ( y ) 堋孚作用下的单位力图 图3 - 9 ( a ) 和3 - 1 0 ( a ) 对匝求a c 段法同位移的单位力图；图3 - 9 ( b ) 和3 1 0 ( b ) 对应求c b 段的法向位移的单位力图。 在石( 力：c o s 竺作用下： “ 心( x ) 2 石( _ ) ( x 一五) 如；鸠( y ) = 0 ；( x ) = 0 ；n q ( y ) = 0 ； 幺( x ) = r 口x ； 靠( y ) = 0 ； k ( x ) = 0 ；n r ( y ) = r 8 ； m o ( z ) = 鼍；m o ( y ) 一鼍；n o ( x ) = 0 ；n o ( y ) = 0 ； 在厶( y ) = c o s 竺子作用下： 鸭( x ) = 0 ；心( y ) 2 厶( 乃) 一乃) 嘲；g ( x ) = 0 ；n q c y ) = 0 ： 靠( x ) = 0 ；m 尺( y ) = r a y ；kx ) 一r a ；n r ( y ) = o ； m o ( x ) 一屯；m o ( y ) = x 2 ；n o ( x ) = 0 ；n o ( y ) = 0 ； 图3 - 9 左图法向位移参数： m o ( x ) = 一( x x o ) ；m o ( y ) = 0 ；n o ( x ) = 0 ；n o ( y ) = 0 ； 图3 - 9 右图法向位移参数： 死( z ) = - y o ；m o ( y ) = 一( 一y ) ；n o ( x ) = 1 ；n o ( y ) = 0 ； 武汉理工大学硕士学位论文 j 司理司得： 图3 - 1 0 左图法向位移参数： m o ( x ) 一- ( x x o ) ；m o ( y ) 一- x o ； 乞( x ) = 0 ： 0 ) = 1 ； 图3 - 1 0 右图法向位移参数： m o ( x ) = 0 ； 毛( y ) 一- ( y y o ) ；人1 0 x ) = 0 ； 名( y ) = 0 ； 确定了矩形闭合刚架在级数展开式中单项力作用下的周边法向位移砰， 砩，矩形闭合刚架在力l ( x ) 和厶( y ) 作用下周边法向位移可表示为级数形式： = y 亭，砑：鸳一罗。( m 2 ( 3 3 0 ) 舶籀 其中，馨，擘分别为法向力a ( x ) 和厶( y ) 作用下的钢管周边法向位移： 岛，卢。为级数展开系数；砑，磷分别为级数展开式中单项力作用下的钢管周 边法向位移。 3 4 核心混凝土与钢管相互作用系数的确定 根据钢管和混凝土界面法向位移协调条件： ( o + 鲜) + ( 簦+ 群) - ( 3 3 1 ) 其中，为解除混凝土和钢管相互约束，混凝土柱和钢管分别在轴向力n c ， m 作用下，单向应力状态下侧向位移的差值。 不 | 6 f 业 图3 - 1 1 单向应力状态混凝土侧向位移图 3 1 武汉理工大学硕士学位论文 。k 等张逊籼。= 匕等悔沙； 2 匕等( 长边) 弘”一匕酉n s a c 短龇 ( 3 - 3 2 ) 其中。并4 1a c 分别为轴向力m 作用下，单向应力状态下侧向位移；，和 。”分别为轴向力m 作用下，单向应力状态下侧向位移。 因此侧向的位移协调条件为： 二镒 p 3 3 ， l c 。一，。( 短边) 、7 由式( 3 3 0 ) ，( 3 31 ) ，( 3 - 3 2 ) 5 f 茸1 ( 3 - 3 3 ) 得到： 扣础趟) ) + 脚趟) ) 】= = 落镒 ( 3 - 3 4 ) 锅 i ，一。( 短边) 另外，以下关系式存在： ：2 c25 j t 纵l 口j 胜，义寸日哥， 其中混凝土为三向应力状态， 占。t 1 o 。- k ( + ) ) ， 占c 一。 k 【+ ) ， 其中：吼一冬( 4 为混凝土的面积) ；，由式( 3