（流体力学专业论文）Level+Set方法在多介质流体中的应用研究.pdf

硕 卜 论文 l e v e l s e 方法在多介质流体中的应用研究 ab s t r a c t ab s t r a c t : l e v e l s e t m e th o d u s in g th e l e v e l s e t fu n c t io n to k e e p t ra c k o f th e in te rf a c e m o tio n , a u to m a tic a lly h a n d le s th e in te r fa c e th a t u n d e r g o e s to p o lo g i c a l c h a n g e s , th e b r ie f me t h o d h a s a n o t h e r a d v a n t a g e o f h a n d l i n g t h e l a r g e d e f o r ma t i o n p r o b l e m e a s i l y . t h e z e r o l e v e l o f l e v e l s e t f u n c t i o n i s t h e i n t e r f a c e o f t w o fl u i d s , t h e o t h e r l e v e l v a l u e o f l e v e l s e t fu n c t io n o f p o in ts a r o u n d in te rf a c e is th e s i g n e d d is ta n c e t o in te r f a c e , a n d l e v e l s e t fu n c tio n w ith d iff e r e n t s ig n w o u l d r e p r e s e n t d if fe re n t fl u id . g h o s t f lu id m e th o d u s in g l e v e l s e t f u n c t i o n s e p a r a t e s t h e o n e fl u i d f i e l d c o n t a i n s t w o fl u i d s , e a c h f i e l d w h i c h c o n s i s t s o f r e a l f i e l d a n d g h o s t f i e l d c a n b e c a l c u l a t e d . t h e n t h e m e t h o d s u c c e s s f u l l y a v o i d s t h e p r o b l e m t h a t d i ff e r e n t fl u i d s w i t h d i ff e r e n t e q u a t i o n s o f s t a t e . t h e l e v e l s e t me t h o d o n u n s t r u c t u r e d g r i d i s u s e d t o s i m u l a t e m u l t i - m a t e r i a l f l o w p r o b le m s . e u le r e q u a t io n is s o lv e d b y fi n ite v o lu m e m e t h o d w it h h l l c ( h a r te r n , l a x , v a n l e e r , c o n t a c t ) a p p r o x i m a t e r i e ma n n m e t h o d c o m p u t i n g t h e fl u x o f c o n t r o l f a c e . l e v e l s e t e q u a t i o n i s a l s o s o l v e d b y f i n i t e v o l u me me t h o d w i t h l a x - f r i e d c h s m e t h o d c o mp u t i n g t h e fl u x . n a r r o w b a n d m e t h o d i s u s e d t o r e d u c e c o mp u t a t i o n a l c o s t s . r e - i n i t i a l i z a t i o n i s c o m p l e t e d b y f a s t ma r c h i n g me t h o d . t h e me t h o d t r e a t i n g i n t e r f a c e i s g h o s t f l u i d me t h o d . t w o - s t a g e r u n g e - k u t t a t i me i n t e g r a t i o n s c h e m e c a n a c h i e v e s e c o n d o r d e r t i m e a c c u r a c y . t h e s p a c e a c c u r a c y is a ls o s e c o n d o r d e r . t h e s i n g le p h a s e fl u id sh o c k tu b e p r o b l e m , s o d s h o c k t u b e p r o b l e m, a n d g a s / w a t e r s h o c k t u b e p r o b l e m a r e c o n s i d e r e d h e r e , t h e n u me r i c a l r e s u l t s a g r e e w i t h t h e e x a c t s o l u t i o n ; a i r i n t e r a c t i n g w it h h e l i u m b u b b l e , a i r i n t e r a c t in g w i t h r 2 2 , a n d r i t c h m y e r - me s h k o v i n s t a b i l i t y p r o b l e m a r e a l s o s i m u l a t e d , t h e r e s u l t s a r e s a t i s f i e d ; t h e r e s u l t s w e r e o b t a i n e d o n m o v i n g s h o c k i n t e r a c t i n g w i t h b u b b l e s i n c l u d i n g t h e b u b b l e s e v o l u t i o n . ke y wo r d s : mu lt i- ma te r ia l , l e v e l s e t m e t h o d , u n s tr u c tu r e d g r i d , n a r r o w b a n d me th o d , f a s t ma r c h in g m e t h o d , g h o s t f lu i d m e t h o d 学位论文独创性声明 本学位论文是我个人在导师指导下进行研究工作及取得的研究 成果。 尽我所知， 除了文中 特别加以 标注和致谢的 地方外， 论文中不 包含其他人己经发表或撰写过的研究成果， 也不包含我为获 得任何其 它学位而使用过的 材料。 其他人员对本学位论文所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了 谢意。 作 者 签 名 _ 里 / 关于本学位论文使用授权的声明 南京理工大学有权保留本学位论文的复印件和电子文档， 有权送 交给有资质的 信息档案机构存档。 除在保密期内的保密论文外， 本 论 文允许被查阅和借阅， 可以 公布论文的全部或部分内容。 上述事项授 权南京理工大学研究生院办理。 作者签名 三 硕上论文l e v e l s e t 方法在多 介质流体中的应用研究 1绪论 1 . 1研究背景 近十几年来， 由于实际问题的需要， 以及现代流体力学计算方法的发展和计算机 处理超大规模数据能力的提高， 计 算流体力学( c o m p u t a t i o n a l f l u i d d y n a m i c s , c f d ) 取得了突飞猛进的发展， 并逐渐成为一门多领域交叉学科。 涉及到流体力学、 计算机 科学、 偏微分方程的数学理论、 计算几何、 数值分析等学科。 计算流体力学的发展促 进了这些学科的深化和发展， 并最终表现为在流体流动的研究和工程实际应用中发挥 着日益重要的作用。 多介质流体运动界面的数值模拟是当 今计算流体力学领域重要的研究课题之一。 1 8 8 9 年s t e f a n 提出 了 冰 水问 题( 该 类f i 题被 冠 名为s t e f a n 问 题 i t .z .n l ) , 由 此 揭开t 多介质流体计算领域的序幕。与我们的生活密切相关的这类运动边界问 题还有许多。 人们最为关注的是运动界面和界面的位置、 物理量的分布等特征。 因而， 模拟它们的 轨迹 和发展就成了 解决这 类问 题的关 键， 如: 液体流动的自 由面 (3 ,4 ( ， 气泡的 变形与 塌陷、 超高 速发射、 水下爆炸、 氖氖气体的升温点火、 惯性约束核聚变、 火焰的闪烁 等问 题， 水波在岸边的爬升和破碎: 爆炸、 燃烧的气体界面; 冰融化、 水结冰的运动 界面;以及石油开采中的地下油水两相流界面， 化学和生物工程的晶体生长界面。 材 料加工工业中的浇注成型中的固化界面等等. 这里所谓的运动界面是一个广义的概 念， 对不同的具体实际问题而言， 可以是运动边界、 自由面、 介质界面和各类间断面。 由于运动边界在日 常生活、 生产实践及科学计算中十分常见， 对这些现象的模拟也就 十分必要。 开展多介质可压缩流动的数值模拟方法的研究具有重要的理论意义和应用 价值， 越来越受到人们的重视。 它涉及到很多重要的工程技术领域和学科， 在流体力 学、 航天航空、 材料力学、 核科学、 天体力学、 核物理、 水 利水电、 化学、 材料加工 以及生物工程等研究领域有着重要的作用。 对 含多 介 质运动 界面流场 进 行数 值模拟的 方 法主 要分为 两大 类， 界面 追 踪方法 ( 5 ( f r o n t t r a c k i n g m e t h o d ) 和界面捕捉方法 ( f r o n t c a p t u r i n g m e t h o d ) ， 两类方法 各有其特点。 f r o n t - t r a c k i n g方法用界面质点表征界面，并随流体运动从而跟踪界 面运动， 对界面 模拟有着极高的 精度， 能准确跟踪交界面的 演化. 间断处理 无数值耗 散， 但难于处理界面的拓扑结构的变化( 如界面融合和破碎) ， 且拓展到高 维 情况时 算 法非常复杂。 f r o n t c a p t u r i n g 方法计算简单， 格式统一，易于处理界面 拓扑变化， 但间断处理有数值耗散， 不能精确定位多 介质交界面。 不太 适合于对界 面位置要求很 高的 数 值 模 拟。 l e v e l s e t 方 法 (6 - 10 1 以 及g h o s t f l u i d m e t h o d ( 简 称g f m , q ) 利 用l e v e l s e t 函数随流体质点运动的特点跟踪界面计算，简捷且易处理大变形问题。 硕 l 论文 l e v e l s e t 方法在多 介质流体中的应用研究 目 前 对l e v e l s e t 方 法的 研 究， 大 部 分 基 于 结 构网 格 12 ,3 5 -3 9 ,7 3 ,7 4 1 ， 采 用 有 限 差 分 方 法。基于非结构网格的l e v e l s e t 方法的研究还不是很充分。非结构网格有着灵活、 易于处理复杂计算区域、 易于自 适应等优点， 近年来得到广泛的关注。因此， 对基于 非结构网格的l e v e l s e t 方法进行研究是很有必要的 【 1 3 1 1 . 2 主要的研究方法 可 压缩多 介 质流 体数 值方 法按其 采用的 坐标 系可以 分为e u l e r 方 法、 l a g r a n g e 方 法和a l e ( a r b i t r a ry l a gr a n g i a n - e u le r i a n ) 方法。 l a gr a n g e 方法的 坐标系随介质一起运动， 由于在一维流体力学运动中流体介质前 后按 顺序不能 相互超 越， 因 而 采用l a g r a n g e 方 法十 分有效， 在二 维方法 研究 初期也 希 望 用l a g r a n g e 方法 来 解决 二 维 流 体力 学问 题， 如k o ls k y 构 造 的 第 一 个 二 维 格式就 是 采 用了 跟 踪 质团 的l a gr a n g e 方 法 【 14 1 。 由 于l a g r a n g e 方 法 跟 踪 固 定 的 质 团 ， 因 此 流 体动力学方程组中不会出现输运项， 物质界面可取为坐标曲面， 可避免了混合网格的 出 现。 l a gr a n g e 方法的这些优点可以 使流体力学方程的形式比 较简单， 容易建立精度 较高的计算格式， 界面处理也比较容易。 它可以比较方便的用来计算包含多种介质的 流场， 而且不同介质界面也能够清晰表示出来。 但是，由于多维流体运动可能出现网 格严重的扭曲 ， 因而 会造成 l a gr a n g e网格交 错，以 至于计算不能 进行下去。克 服 l a g r a n g e 方 法 网 格 交 错的 有 效 措 施 是 网 格 重 分 11 5 1 ， 即 经 过 一 个 或 若 干 个 时 间 步 长 ， 将l a g r a n g e 网 格重新 划分， 把由 于 扭曲 而显得 畸形的网 格换 成 尽可能 规 则的新网 格 来重新计算。 l a gr a n g e 方法正是沿着这样的思 想不断 地向前 发展。 e u l e r 方法使用的坐标系固定在空间不改变，网格不会变形，介质通过网格边界 流进流出， 介质变形不会影响网格的尺寸和形状，因此e u l e r 方法能够处理大变形问 题. 有 些问 题， 由 于 变 形 太 严 重， 几乎 无 法 用l a g r an g e 方 法 做 流 场计 算 如 涡 流、 界 面不稳定、 射流等现象， 因此e u l e r 方法就成为不可避免的选择。 本文将主要采用e u l e r 方法进行介质界面的跟踪。 a l e 16 , 17 1法 采 用自 适 应 动 网 格 技 术， 在 界 面 处 用l a gr an g 。 方 法 求 解， 而 在 远 离 界面的 流场用动网 格技 术和e u l e r 方 法 进行计 算。由 于l a gr an g e 网 格是 贴 体网 格， 介质界面在计算过程中随着网格运动， 因而能够保证界面具有很高的分辨率。 但是流 场速度的剧烈变化会引起网格严重扭曲， 给数值计算带来很大的困难， 近年来发展起 来的守 恒型重映技术和a m r ( a d a p t i v e m e s h r e f i n e m e n t ) 技术使得这一问 题的解决 成为可能， a m r算法是通过多 层网 格级细化时间 和空间步长， 并将细化网 格嵌套在 粗网 格区域中祸合计算， 直到解的 计算精度满足要求为止。 网 格重映技术也是一个非 常具有挑战性的课题，但是发展还不是很成熟. 硕士论文l e v e l s e t 方法在多 介质流体中的应用研究 1 . 3 运动界面问题的研究现状 国外最早处理自由面问题的有效方法，是 h a r l o w和 w e lc h等人提出的格子 ( c e ll - t y p e ) 类 方 法 1 9 . 在 格 子 类 方 法 中 ， 最 有 名 的 有p i c ( p a rt ic le in c e l l) . m a c ( m a r k e r a n d c e l l) 和f l i c ( fl u i d i n c e l l) 等。 e v a n s 和h a r lo w于1 9 5 7 年 提出 t p i c 方 法 ( 19 1 ， 标记 点是有质量、 动量、 能量的质点。 2 0 世纪6 0 年代， 凭借l o s a l a m o s 的得天独厚的硬 件条件大出 风头， 展现了非凡的效果。 今天这种标志点的思想仍在应用和发展。 而后 g e n t ry等人 对p i c 方 法进行 简化和 创新， 提出了f l i c 方法 2 0 1 , 1 9 6 5 年h a r l o w 和w e l c h 提出的m a c方法采用物质量、 动量、 能量， 只有坐标位置的点， 来表示流体的特征 面， 存储量大大减小。 这种方法能给出自 由面的粗糙近似， 但不能给出更加细致的描 述， 如自由面的斜率， 曲率等更主要的是计算仍需要较大的存储量， 对于三维情况更 为突出。 当前， 多 介质流体数值模拟方法主要有间断追踪和间断捕捉方法。 间断追踪方法 能够保持间断的准确和锐利， 该方法把间断作为移动的内边界来处理， 因而必然会用 到非正规网格， 当网格变得很小时不可避免地引起c f l 条件难以满足“ 小网格” 问题， 给数值计算造成不稳定， 而且由于该方法要处理界面拓扑结构的变化， 推广到多维问 题时， 交界面的重构变得非常复杂。 由于该方法在间断处对流体状态变量进行单侧光 滑外推， 采用不同的数值通量进行计算， 因而不可避免的引入守恒型误差。 为了克服 上 述的 不 足， 网 格 合井 和细 化、 重 分 等 处 理 方 法 被 提出 来 212g. g li m m 和 他 领 导的 研 究群体自 二十 世纪八十年代以 来对该类方法不断的 进行完善和发展， 许多有价值的方 法 被提出 来 并 发 表了 很多 有 指 导 意 义 文 章 2 2 .2 6 1 并 形 成比 较实 用 的f r o n t i e : 软 件， 解决 了 许多实际间 题， 如 r ic h t m y e r - m e s h k o v , r i c h t m y e r - t a y l o r , k e l v i n - h e l m h o l t z不稳 定 性等问 题。 t ry g g v a s o n 等人也 提出了 新颖的间 断 跟踪方 法 2 7 2 9 1 间断 捕捉方法的 研究工作在近二十年中也取得了 很大的发展， 己 经发 展出 许多重 要的 运 动界 面 捕 捉 技 术如v o f 方 法 【2 9 -3 11 , l e v e l s e t 方 法 等 等。 刘 儒 勋 等 人 在 求 解 流 体 体积函 数 方 程时 提出了 一种 有效的 捕 捉方 法， 即 特征型 积分 有限 体 积方 法 3 2 1 , v o f 方法的 特点是在计算区域内将运动界面定义为流体体积函数的发展方程， 通过求解流 体输运方程确定目 标流体 位置和形状的改变达到 跟踪界面的目 的。 由 该方 法发展和形 成的实用软件( 如v o f - 3 b , n a s a - v o f . s o l a - v o f 等) 已 成功应用到半导体工业、 喷墨技术等近代高新技术产业中。 l e v e l s e t 方法是一种描述物质界面或者相界面运动 的有效方法， 能描述结晶面、 燃烧阵面、 非理想爆轰波阵面和不同 流体界面等多种具 有拓扑 性 质变 化的 界面运动 2 7 ,3 3 ,3 4 1 . 基于e u l e r 坐标系的 计 算方 法， 需要 构 造l e v e l s e t 函数跟踪界面， 运动界面用，一 个特殊的l e v e l s e t 面表示， 该l e v e l s e t 面与整 个区 域 上的l e v e l s e t 函 数像物理量一样随流体质点运动，因而在任何时 候都可以 重 新构造 3 硕 i : 论文l e v e l s e t 方法在多介质流体中的应用研究 界面， l e v e l s e t 函 数不是实际的 物理量， 只需要满足一 个额外的方 程。 这种方法简捷 且易于处理界面的拓扑结构的变化。 一般情况下界面沿着法向 速度是变化的， 初始时 刻l e v e l s e t 为距离函数的 情况下经过有限的时间 步 后， 其梯度可能变得剧烈或者平 缓， 等值线出现聚合和拉伸的情况， 将不再保持距离函数的性质， 在计算过程中保持 l e v e l s e t 函 数为 距离函 数的 性质是很 有必 要的， o s h e r .4 z p 3 ) 和 s e t h i a n 8 9 _ i 3 ， 等人对 l e v e l s e t 重 新 初 始 化 方 法 进 行了 研 究。 s e th i a n 7 6 .7 9 提 出 t f a s t m a r c h i n g m e th o d ( f m m ) 对l e v e l s e t 函 数 进行 重 新 初 始 化， 提出 了 窄 带 方 法 s o 使l e v e l s e t 方 法 更 加 快 速有 效。 s u s s m a n 等人通过约束重新初始化技术，使质量守恒性得到很大的改善;近年来，在 一些简单的 物理现象的 研究中， 对l e v e l s e t 函 数采用非传统的 重新初始化方法， 可 使l e v e l s e t 方 法更加 适合 有效; 另 外， s u s s m a n 6 还 采用l e v e l s e t 和v o f 相结合的 方法来进一步改善质量守 恒性。 在复杂的物理现象中， 与l e v e l s e t 方程藕合的 控制 方程的模型及数值方法的改进往往会使物理问 题的求解易收敛， 或者提高物理求解的 精度。 在l e v e l s e t 方法应用的新研究领域 ( 例如空化泡的溃灭， 需要综合考虑相变， 传热、 传质和动量的 交换) ，可以 探讨过程的 机理， 开发新的l e v e l s e t 控制方程。 f e d k i w 川 在多 介质流体 的数值模拟中 提出 了 虚 拟流体的 概念， 虚拟流体 的 压强 和 法向 速度用网 格点上真实流体的 压强和法向 速度， 密 度由 等压装配技术单侧 嫡插值求 得，引入l e v e l s e t 方程捕捉运动界面的位置， 并根据网格点上的l e v e l s e t 值选择正 确的状态方程进行计算，这种方法容易 推广到多维问题。 国内目 前对多介质流体的研究还处于初始阶段，大多都集中在科研院所和院校。 其中中国工程物理研究院 流体物理研究所的柏 劲松、 陈森华等人在二维可压缩多介质 流体界面运动方面进行了大量的研究， 对高速铜飞片作用于铀和环氧树脂的 情况等用 l e v e l s e t 方法进行了计算， 此外， 中国科学技术大学， 南京航空航天大学、 中科院计 算技术研究所、 北京应用物理与计算数学研究 所、 天津大学等单 位在这方面 也进行了 一些研究， 但是他们几乎都是采用结构网 格来进行计算， 目 前在国内外有关在非结构 网格下处理多介质流体数值模拟的著作比较少。 1 . 4本文的主要工作 本文得到了国家自 然科学基金“ 动边界 下计算方 法与网格生成” 项目 的支持， 重 点进行了基于非结构网格下的l e v e l s e t 方法追踪多介质流体运动界面的研究。主要 工作如下: 在第二章中， 详细介绍了 本文采用的有限 体积方 法， 在非结构网 格上 采用有限 体 积格式求解e u l e r 方程，控制体通量的计算采用h l l c方法. 在第三章中， 采用基于非结构网格的l e v e l s e t 方法对多 介质流动问 题进 行数值 硕士论文l e v e l s e t 方法在多介质流体中的 r用研究 模拟。通量计算采用l a x - f r ie d r i c h s 方法。初始时刻l e v e l s e t 函数定义为距离函数， 由于计算过程中速度场的剧烈变化会引起 l e v e l s e t函数梯度分布不均匀。为了使 l e v e l s e t 函数在计算过程中始终保持距离函数的特点并且避免由 于重新初始化过程 引 起界面位置的移动， 使用f a s t m a r c h i n g m e t h o d ( f m m) 方法进行重新初始化。 利 用窄带方法将方程的求解区域限定在界面周围的窄带内，从而减小计算量。 在第四章中， 采用虚拟流动方法 ( g h o s t f l u i d m e t h o d , g f m) ， 利用已经求得的 l e v e l s e t 函数将含有两种流体的流场分成各含有一种流体的两个流场， 每个流场由真 实 流体和虚拟流体组成， 每个流体单独计算。 将求解多介质问 题转化为求解单介质问 题。 在第五章中，对单介质激波管、 s o d 激波管和水气激波管问 题进行了数值模拟， 并将计算结果与其精确解进行了比较。 对空气与氦气泡相互作用、 空气与r 2 2 相互作 用、 r - m 不稳定性问题和运动激波和系列气泡相互作用问题进行了数值模拟， 并进行 结果分析。 硕 士论文l e v e l s e t 方法在多介质流体中的应用研究 2数值计算处理方法 2 . 1引言 目前计算流体力学中常用的数值方法主要有: 有限差分法、 有限体积法、 有限元 法等。 在多介质流体的计算中绝大多数是采用基于结构网格的有限差分法。 其中采用 基 于 结 构网 格的 有 限 差 分 法 来 求 解 的 有j e a n - p i e r r e , k e h - m in g s h y u e 3 6 ,3 7 .3 8 1 、 马 东 军 3 9 1等. 基 于 非 结 构网 格 的 有 限 体 积 法 求 解 的 有o g lo t h l4 o l , r a b g r a ll 4 ll 。 本文 所 采 用的数值方法是基于非结构网格的有限体积法。 这种方法己 被成功的运用到了多介质 流 体的 计算当 中， 如c h iu y e n k a o , s t e n l e y o s h e r , m ic h a e l g 4 2 ,4 3 ,4 4 1 。 下 面 对 有限 体 积法做一下概述。 早在2 0 世纪6 0 年代， l o s a l m o s 的h a r l o w等人所提出的m a c 4 5 1 , f l i c , p i c , 和a l e 3 5 ,4 6 方法就是 有限 体 积法的 雏形。 7 0 年 代， m c - d o n a l d , m a c c o r m a c k , p a u l l a y 和 p a t a n k a r 等人可以说是有限体积法的先驱者和开拓者。8 0 年代以来，由 于自 适应 网格、 结构网格和非结构网格技术的发展， 有限体积法得到了长足的进步， 对该方法 的研究和应用也取得了 很大的成功。 也就是说， 不仅在方法的设计和构造上， 在处理 大变形、 激波和各种复杂流体力学问题， 以及在方法的精度和收敛性的理论研究方面 都有了实质性的进展。最早的有限体积法有效而实际的应用，当推 p a t a n k a r和 s p a ld in g 14 7 1 e 一 般的 有限 体 积 法 不同 于 有限 差分 法， 主 要 是 它 一 般从 积分守 恒形式出 发， 采用 单元剖分， 选择控制元离散。 本文采用三角形网格单元作为控制元。 有限体积法不同 于有限元法， 避免了单元上插值函数的构造。 这样既具有有限元方法的网格剖分的灵 活性， 能逼近复杂的 几何区域; 又具有有限差分方法在格式构造方面的多样性， 从而 可以利用几乎所有差分方法的设计思路， 以及相关的理论结果。 这样既保证了对复杂 几何解域的适应性， 又能直接和充分地利用有限差分法的许多格式和概念， 尤其适应 间断解的计算和模拟。 2 . 2控制方程 流动控制方程为e u l e r 方程，采用积分形式表示，如式( 2 . 1 ) 所示: a 。 _ _ ， _ . r- _ 二 i u d v+i f d a 次 i b y 式( 2 . 1 ) 中，v 是控制体体积 定义如式( 2 . 2 ) 所示: =0 ( 2 . 1 ) ，a 犷是它的边界，守恒型变量 u和无粘矢通量f 硕 卜 论文l e v e l s e t 方法在多介质流体中的 应用研究 黔 p n, v +p n + p )u ( 2 . 2 ) 风风恤 了节.卫.胜r、 - f 山甘 、!尹 p尸pvpe 2了.rleseses、 -l u 式( 2 , 2 ) 中，p 、 p , e 分别 表 示 流体密 度、 矢量的两个分量， n表示单元单位外法线方向 如式( 2 . 3 所示: 压强、比总内能， u , v 分别表示速度 ， n . , 凡 是n 的 两 个 分 量 。 u ， 的 定 义 u =u n , + v n ,( 2 . 3 ) 比内能e 和比总内能e的关系如式( 2 . 4 ) 所示: e=p e + p u z + v 2 2 ( 2 .4 ) 气体状态方程为: ， 一 p tp e)= 。 一 1 pe 一 2 ,o(.z+ v2)- p , 一 。 ( 2 . 5 ) 式中 :p . 为 刚 性 参 数， 当 p = 0 时 ， 为 理 想 气 体 状 态 方 程。 嫡、 和声速c 的关系如下: _ : d p ( p , s ) _ a p p. a p = 一= 一-一犷 甲 d o a e p o p _ _ p 十 p = r一 ( 2 . 6 ) 式( 20以来流参数无量纲化，即: 二 : p= v .p mu 二 二， = t u m f ( 2 . 7 ) - 二叽 - 式( 2 . 7 ) 中，l c 是特征长度， 上 标“ ， ” 表示有量纲量。 2 . 3空间离散 2 . 3 . 1 有限体积方法 采用基于格心的 有限体积方法离散控制方程式( 2 . 1 ) ， 守恒型 变量存储在单元的 质心。 在本文中，控制体由三角形构成，控制方程在某个单元上离散的形式如下: 硕士论文 l e v e l s e t 方法在多介质流体中的应用研究 f 丝d v + (f,4 = 0 截 8 t -o v , ( 2 名 ) 式( 2 . 8 ) 中 通量的 积分， 可以 通过对单 元i 和其相邻单元l 之间的 控制面进行积分 得到，式( 2 . 8 ) 可以被写成: (。 v v ,1 v, 3 l d v= r ,( 2 . 9 ) r是 残差， 其定 义如 下: r ， 二- y f n d a ( 2 . 1 0 ) 其中n为 与 单元i 相连的 单元j 的 个 数。 控 制 面a 。 是 两 个 相 邻 单 元i , j 之 间 的 公 共 面 ， a 。 上 的 通 量 可 以 用 控 制 面中 心的 通量来近似代替，所以，控制面上的通量可以采用式( 2 . 1 1 ) 来计算: l f -n “ 一 f a j ( 2 . 1 1 ) 采用有限体积迎风离散: 、 u 了 + ， 二 u 了 一a t 节 a i,h ( u a r e a j ; = t , u 丁 n , ) ,1 二1 , 2 , 3 ( 2 . 1 2 ) 显式时间步长: u = u ( t , + n a t ) ( 2 . 1 3 ) 式( 2 . 1 3 ) 中h ( u 广 ， u 万 ;n ， ) 为 第i 边的 数 值通量， 是 两 个状 态u + 和u 一 的l -t , -a. u * 和u 一 是给定边的两 侧的状态值。 下面是应用广泛的r o e 通量函数(4 8 格式: h( u ，u ; ;，) 一 告 (f (u ;n ;)+ f (u a (u , , u , ; n ,)i( u 一 u 一 )(2 .1 4 ) 112 - 、声 、.产 口. n ; 其 中 冈 是 通 量 雅 克 比 8f / u正 定 矩 终 _ _ 本又对 h l l c万法在非结构网格上的应用进仃i 研究， 下面对这种方法进行简要 的叙述， 可参考文献 3 2 , 3 8 1 . 2 . 3 . 2 h l l c 方法 g o d u n o v首次将 r i e m a n n问 题及其相关解引入到计算流体力学领域，提出了 g o d u n o v 方法。 为了 计算g o d u n o v 型通量， h a rt e n , l a x 和v a n l e e r 提出了 一种求近 9 硕十论文l e v e l s e t 方法在多介质流体中的应用研究 似 黎 曼 解的 方 法， 这 种 方 法 被 称 为h l l ( h a rt e n , l a x , v a n l e e r ) 方 法 4 9 1 , d a is ls o 和 e i n f e l d t 5 1 分别提出了 不同的波速估计的 方法。 这样， 采用h l l 方法， 就可以 直接求 得近似通量。 然而这种方法容易将接触间断抹平， 这一缺点令人难以接受。 为了克服 h l l方法的缺点， t o r o , s p r u c e和 s p e a r e s等人提出了一种改进的方法，称为 h l l c ( h a rt e n , l a x , v a n l e e r , c o n ta c t) 方 法， h l l c 近 似黎 曼 解方 法是 能 够精确 地 模拟接触间断和剪力波的最简单的平均状态方法， 从采用这种方法的结果来看， 它是 一个具有实际应用价值的近似黎曼解方法， 采用h l l c近似黎曼解方法得到的结果和 采用精确黎曼 解方法得到的结果相比， 基本上没有区别15 2 1 匀/ 。八 弘 、 凡 图2 .3 .2 . 1 h l l c 的近似 r i e m a n n解 t o r o 等人提出的h l l c方法是基于图2 . 3 . 2 . 1 r i e m a n n问题。当知道了“ 左” 边 状态u ; . “ 右” 边状态u , 和接触间 断 面的 速度s m ，则“ 。 ” 区中 状态 的 确定及通量 的计算如下所示: 犷 s ; 0 了s , 0 0 !，.l o ( x , t ) = ki l t ) = 0( 3 . 1 ) 沪 ( x , t ) 设x ( t ) 是自 由 界 面r ( t ) 上一 点 1 5 硕士论文 l e v e l s e t 方法在多 介质流体中的应用研究 以 速度u 运动的轨 迹。定义0 ( x ( t ) , t ) 二 。 ， 对时间t 进行求导得到: 0 , + u - v o 二 0 将速度ii 投影到界面的法线方向上，上式将变为: ( 3 . 3 ) 臀 十 。 (x ,o m ,k jo o l一 “ ( 3 .4 ) 式( 3 . 4 ) 中 的 速 度凡是空 间 变 量x 、 距离 函 数 梯 度v o 和 界 面的 平 均曲 率k 的函 数。 l e v e l s e t 函 数提 距离函数，函 数零值表示界面所在的位置， 其正、负 值分别代 表某种流体， 每一种流体都满足e u l e r 方程。式( 3 . 4 ) 被称为l e v e l s e t 方程。 式( 3 . 4 )