（基础数学专业论文）拟线性椭圆方程特征值问题.pdf

拟线性椭圈方程特征值问题 摘要 本文中，我们将应用极大极小方法研究一类拟线性椭圆方程特征值 问题解的存在性与多重性 考虑如下拟线性椭圆方程特征值问题 呜归v ) ，蚝哦 ( r ) 【 世2 0 ， z 穰2 这里q 是r 中的有界区域，具有光滑边界a q ，耸u = d i v ( i v u l p 以v u ) 为 p 拉普拉斯算子设函数，：qx r r 是连续函数，我们将在下面赋予 函数，所满足的条件： ( f ) ，c ( r ，固且脚器= 1 ，其中l p q 矿= 不；p ： 本文的主要结果是下面的定理： 定理当连续函数，满足条件( f ) 时，记( a ) 表示方程( 只) 解的个 数，贝0 ( a ) 一o 。，当a o o 时 关键词拟线性椭圆特征值方程、变分方法、极大极小方法、多解 拟线性椭固方程特征值问题 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r w es t u d yt h em u l t i p l i c i t yr e s u l t so fs o l u t i o n sf o ra q u a s i l i n e a r e l l i p t i ce i g e n v a l u ep r o b l e m ，b yu s i n gm i n i m a xm e t h o d sf r o mc r i t i c a lp o i n tt h e o r y c o n s i d e rt h eq u a s i h n e a re l l i p t i ce 培e n v a l n ep r o b l e m f 一p = i u = a ，( ) ， 0 ， z q z ( 只) w h e r eqcr 。i sab o u n d e dd o m a i nw i t hs m o o t hb o u n d a r ya q ，巾u = d i v ( i v u l p 一2 v u ) i st h ep - l a p l a c i a no p e r a t o r w ei m p o s et h ef u n c t i o nfo nc o n d i t i o na sf o l l o w s 邶c 啪，二渤器吐池e p 0 ，使得对任意的士q ，t n 有 0 盘，那么方程( o 1 ) 有无界的解序列 1 9 8 8 年a b a h r i 和p l l i o n s 考虑了如下方程 卜三。l u ，l , - i u - f ( x , u ) , ： 似2 ， 他们只对非线性项，附加了如下增长性条件； ，( z ， ) l g ( x ) + c l t l 8 息，对某个常数c o ，g 珥( q ) ； f ( z ，“) i a ( z ) + “x ) l t l 。a e ，对某个常数o t ，0 o t 1 ，f ( x ，t ) = 君f ( x ，s ) d s ，( z ，s ) ( n r ) ，就得到了下面解的 存在性和临界值增长估计： 命题0 1 ( 【2 】) 设1 0 ，使得当句时，问题( 0 3 ) 至少有，个不同的解，且这些解 具有正的临界值 这里去掉了对扰动项的增长性限制 最近李树杰教授和陈少伟考虑了一类半线性椭圆特征值问题 一让2 a ，( t 王) ， z q ， ( o 4 ) 【 t 2 0 ， z 斑z 设函数，满足条件，c ( n ，r ) 且 觋格= 1 ，其中2 p 1 我们赋予函数，满足条件 m c 删且脚格吐其忆叫= 雪n - - p 蓑： 当p = 2 时，一是标准的l a p l a c e 算子一，问题( 足) 是标准的半线 性椭圆方程特征值方程 r u = 地a f l ：基 ( 驯 本文主要研究p 2 的情形 众所周知，l a p l a c e 算子一是一个线性算子，在d i r i c h l e t 边值问题 中具有很完整的特征值序列0 a 1 0 把算子一岛的谱集合记为 盯( 一岛) = d ri ( d p ) 在孵护( q ) 中有非平凡解) 拟线性椭圆方程特征值问题 不同于l a p l a c e 算子，算子一锋的谱集合的结构并不是十分清楚。但是根 据l j u s t e r u i k - s c h n i r e l m a n n 理论( 或者y a n gi n d e x 理论( 【9 1 ) 知，仃( 一岛) 包含 ( b ) 的一个无界的特征值序列 0 0 和1 q p i 一1 ，其中矿= 老，使得i ，( t ) i c ( x + l t i q ) ，z q ，t r ；当p = 竹 时， | i m 蚓丛i t 业i p 堕= 0 ，对z q 一致成立时，那么泛函，是c 1 泛函，它的 i t l 0 0 - f r 6 c h e t 导数表示为 ( ，( t ) ，t ，) 2 丘i v t i p _ 2 v v u d x a 五，似) 钉出，v 锄x ( 1 1 ) 于是，求问题( 最) 的弱解等价于求泛函j 的临界点 d 拟线性椭圄方程特征值问题 由于我们对非线性函数f ( u ) 只是附加了连续条件和“= 0 附近的增 长性条件，所以我们还不知由( 1 1 ) 定义的泛函是否有意义 下面我们给出本文的结论 定理当非线性函数f ( u ) 满足条件( f ) 时，记( a ) 表示方程( r ) 解 的个数，则n ( a ) 一o o 当a 一。o 时 注1 1 从下文的证明可以看到，我们并没有求由( 1 1 ) 定义的泛函f 的临界点，而是通过截断的方法将问题( r ) 转化为另一个问题( q 。) ，如 本文2 中的定义，而问题( q ) 对应的能量泛函是e z 的 注1 2 本文中我们把文献【3 】中的结果推广到p 2 的情形，得到了 类似的多重性结果现在的问题是若条件( f ) 改为l i r a 在阵一，v o 冗， 其中1 p q 0 ， 存在a ，b ( c e ，c + ) 且a b ，使得拓扑对( ，6 ，j 4 ) 是不平凡的 定义2 4 设x 是b a n a c h 空间，泛函j c 1 ( x ，r ) 若任何满足i ( u 。) 有界，( ) 一o 一o o ) 的序列 ) 都有收敛子列，则称j 满足( p s ) 条 件 定义2 5 ( 1 0 1 ) 设x 是b a n a c h 空间，记 ； ace o ) la 毋，a = 五，a = - a ， 拟线性椭圆方程特征值问题 即a 是x 中的非空闭对称子集，定义函数，y ：一n u 0 ，。o ，( n 是自然数集) i r a i n 奄ijh c ( a ，舻- 1 ) ，对任意的z a ，有 ( 一z ) = 一 ( z ) ) ， 7 ( a ) = + 。o ，如果不存在上述的k 和h ， l0 ，如果a = o ， 定义一个新的函数互( ) = ，( t ) 一 - 2 t ，由条件( f ) 知! 鳃鹣一0 ，则 存在0 a o 使得c , o = ，：u p 耥满足0 c 厶 赫，故对v 0 n a o ，存 i c i - a o 在唯一的g ( 定义如上方式) 有 0 g 0 ，使得任意一个满足s u p i j ( u ) 一j ( 札) l | u x q 卿- _ _ _ _ e pl 珏卜a ， 其中丘= 2 2 1 笋a 产阱 因此 乱t ) 有界，不妨设锹一u 在w 孑p ( q ) 由于埘，( q ) 在l q ( d ) 中嵌入是 紧的，故存在子列仍记为 * ) 使“t 一诳p ( n ) 故 i i u t 一让1 1 9 = ( e ( u t ) 一e ( 让) ，u k - - ) + 上l u k - - u 1 9 + 上吼( 毗一乱) ( u k - - u ) 显然 ( 疋( “k ) 一e ( 缸) ，“ 一“) 一0 ，且l “一“l 口一0 ，当后一o o ， i f z o ( u k - - u ) ( u k u ) i f c a l u t - u 1 4 g l 牡t u 曙一o ，当后一o o 因此锹一 在耐p ( q ) 故厶满足( p s ) c 条件，对v c r 下面的引理一先验估计是本文的关键，其证明思想源自于文献( 3 1 ， 6 】【定 理8 1 5 】) 引理3 6 假设n p 1 ，q ( t ) g ( 兄) ，且i g ( t ) i t l t l 一， r ，l 是正常数；如果乱是一w ：q ( u ) q 的解，则有i 乱i p c i l 磐哥 其中c 是正常数 证明：令3 2 p ，k 是一个正常数。 定义h ( r ) = r ； ；一1 r + ( 1 一；) k ； 一( 叶) ； 一：k ；一1 一( 1 一! p ) k ；p 、7 显然h l r ( r ) c 1 ( r ，兄) 当0 r s 七时， 当r k 时， 当一k r o 时， 当r 一k 时 1 0 拟线性椭圆方程特征值问题 令g k ( u ) = 厝l 坛( r ) i ，d r ，故g k ( 仙) = j 吆( u ) l p 且g ( 钍) 附p ( q ) 易证 v u r ，g k ( u ) j 牡j g k ( ) ； ( 3 1 ) 由于一，= q ( u ) ，故将g k ( u ) 作为试验函数得 五酬9 2 v 乱v ( a ( 钍) ) = i v “1 9 i h k ( u ) l = i v ( h k ( 仳) ) 1 9 s ( i h k ( 乱) 1 7 ) 争= s l k ( “) i ；， 其中s = 0 - - u e m 群， 崂。( n ) ”矿 另一方面，由( 3 1 ) 和h o l d e r 不等式得 上i v 1 9 2 v 乱v ( a k ( 让) ) l 上i 训4 9 g k ( 让) i j 9 = 三二川9 9 a k ( 乱) i u i ， = 己上l 1 4 f 毳之( 锃扣r = l i 训；i h k ( 锃) f 钍謦 综合上面两个不等式得 i k ( ) l 多s 妻l “i ；一，i h 么- ( 钍) “i ； ( 3 2 ) 易证当k o 。时， k c 缸，一 竺一u ，；：三：托k c u ，一 i 乏三；一，：三： ( 3 2 ) 式两端令k o 。，并结合l e b e s g u e 控制收敛定理，得 设f ：竺，故。：望 p q 故上式变为 缸f 等否l h l 列8e 牡p t 暂 等， 让i 孚( 刍) 毒( 扣缸i 乒刊扣m i ， 拟线性椭田方程特征值问题 令k 5 p ( 等) ”1 ，n = 1 ，2 ，在上式中令f = k ，得 l u l 。+ ，( ) ；击( 鲁) 景l 札l 。( q - ，p ) q n l a _ i 训。 ( ) 黠+ 击( 鲁) 芒( 字) 吉i 札i q 垃笋者+ 石1 i 一。 ( 3 3 ) ( 考产知的札i 了誊岫。 定义：溉矿矽的专， 又 l 【血l t i 。sc l u l q 矿1l u l p ，( 3 4 ) l u i 矿( 扣五i v “i 一) ；= ( 扣上q ( 仳) 就) ； ( 扣上 i ) ；1 = ( 扣i ；， 故( 3 4 ) 式变为 i ( 扣训芦也卿l 嬲， ( 3 5 ) 其中c = ( 喜) ； 引理3 7 假设n 0 满足i “i p ( n ) c l u l ： 取咄- p ( q ) 中的一串线性无关的函数e - e 2 ， 记凰= s p a ne ，e z ，e k ) 由于口 p 及有限维空间范数的等价性t 知存在正数序列 风 满足蚝m 川a x i m 0 令b k 。“拖川l i r k 记 a 玩是最在冠中的边界 定义映射集合序列 瓯= 危c ( b k ，埘p ( f 1 ) i 彤是奇映射，h a 风= i 田 1 2 拟线性椭两方程特征值问题 r = _ l ( b j y ) lh q ，j k ，y ，y ( y ) j 一七) ， 吼2 碰搿嘶) ， 其中为嘲p ( q ) 中的非空对称闭集的全体，7 ( y ) 为y 的亏格由c k 的 定义知c sc 2 定义 圣l = 伽e ( b 1 ，埘p ( q ) lh 是奇映射，h 岫= i d ) 对于k = 1 ，2 ， 吼= c ( 风，叼9 ( q ) i 是奇映射，h o b 。= i d 且h i 巩一。c 西k 一1 ) 定义 b k2 蕊。m 。a 。x i ( h ( u ) ) ，膏= 1 川2 一 由于+ 1c 峨，所以h b 2 墨 由吼和瓯的定义知，叽cg k ，所以vh 饥，取y = q ，j = k ，则 h ( b k ) cn ，故b j , 之c k ，v k n 由文献【1 0 】中命题9 3 3 知，仇= o o ，所以。l 妇 = o 。 月, r i m o ob k 令a = c rjc 为i 的本性值 下面我们证明a 口且s u p a = + o 。如果不成立，则存在k n ，使得 0 b k b k + l ，【6 k ，+ o o ) n a = 毋 选取实数，a ，使得 b k 口 n ” h + 1 ( 3 6 ) 由“的定义知，存在h 吼使得 m 。地a x l ( h ( u ) ) d 对詹n ，定义 b 鲁1 = 牡it = + t e k + 1 ，可e k ，t20 ，i i 札0 r k + 1 ， 1 3 拟线性椭圆方程特征值问题 记a 磷l 为磷。在取+ 中的边界如下作h 的连续延拓h ，c ( 粕鲁。，x ) 州班：麓。、玩l 珏，缸秽壤+ l 巩 显然h 有定义且连续，由 吼 知取法， h i ( a b 嚣1 ) cj “ 再将h i 连续延拓为c ( 跣。，x ) 令 卢= m a x ，( 2 ( ) ) it b 玉1 ) 由引理2 知拓扑对( j 。，j 。) 是平凡的，所以存在x 的闭子集a 和b ，使得 l dcacl 。1 0cb t 并且存在由b 到a 的强形变收缩，7 ：【o 1 j b b 定义 h s c ( b z + 1 ，x ) ：h s ( u ) = r ( 1 ，( 缸) ) 则b 满足以下性质： 玩( 碹1 ) c j 一；( 3 7 ) _ 1 1 3 限制在豫。ne k 上是奇映射；( 3 8 ) 在a 磙1 n o b k 十1 上，h a = i d ，( 3 9 ) h 3 l d k = h ( 3 i 0 ) 定义映射h 4 c ( 鼠+ l x ) 为 坼) = 篇- h s ( l - 毗u u 呱eb 未+ 牌i , 。， 则由( 3 8 ) 知h 是奇映射，由( 3 9 ) 知h 4 1 0 b + ，一i d ，由( 3 1 0 ) 知h 4 l b 。吼 于是由圣州的定义知，h 4 圣+ 1 那么由( 3 6 ) ( 3 7 ) 得出 b k + 1 s 。m 。a 。x + ，i ( 4 ( ) ) = 。m 。b a + + x 。i ( 3 ( 让) ) n 掣入郭 故当n 了2 q c a a q a 产i q l ，1 i j ( 3 1 1 ) 任取o s 型竽a 孛l q i ，取6 = 盟q ! 庐- - 有： s u 啦( u ) 叫u ) l 竿炉= 正 故由引理3 2 知厶在( 屯一e ，九+ g ) 也有本性值氙，由引理3 3 及引理3 5 知叱是j 的临界值，氙是厶的临界值( 1 is 歹) ， 设氙对应的临界点为毗且厶) = 五。，( 1 i j ) ， 即 氙= ；上刚一：胁卜g ( u 3 上l v 钍t i = 1 u , 1 9 一上踟( 毗) 地 故由于0 g p 4 - p 口) 和引理3 6 知 h 邪f 蒜禹屯 赢( 如+ ) 赢“ 由于 悻 4 - 2 t + ( t ) i ( 1 + g ) 旷1 ( 1 + 揣) 旷i ， 拟线性椭圆方程特征值问题 且以m 与。无关，故由引理3 6 知存在充分小的n 2 ，g ：，a 。：满足( 2 1 ) ，( 2 3 ) ll 式，且i 让，i l 。a 2 a 矛= c 一2 2 q ，1 l j 故当a m i n a o ，a l ，眈) 时，有a k 。，且 一上一上 上 l 蛳i l c 如翱sc k 幻= a a g 一2 ， 故由引理3 4 知去啦是( r ) 的解( 1 歹) ，则a i 绛撕是( r ) 的解 故当。一0 时，有k o 。，即a o 。且n a 产一o o ，则l u mn ( a ) = 。 4 证毕! 拟线性椭圆方程特征值问题 参考文献 【1 】a b a h r ia n dh b e r e s t y c k i ，ap e r t u r b a t i o nm e t h o di nc r i t i c a lp o i n tt h e o r ya n da p - p l i c a t i o n s ，t r a n s a m e r m a t h s o c ，2 6 7 ( 1 9 8 1 ) ，1 - 3 2 f 2 ja b a h r ia n dp l l i o n s ，m o r s ei n d e xo fs o m em i n - m a xc r i t i c a lp o i n t s ，c o m m p u r e a p p l m a t h ，v 0 1 x l i ，( 1 9 8 8 ) ，1 0 2 7 0 1 0 3 7 【3 】s w c h e na n ds j l i ，o nan o n l i n e a re l l i p t i ce i g e n v a l u ep r o b l e m ，j m a t h a n a l a p p l ，3 0 7 ( 2 0 0 5 ) ，6 9 1 6 9 8 【4 】m d e g i o v a n n ia n ds l a n c e l o t t i ，p e r t u r b a t i o n so fe v e nn o n s m o o t hf u n c t i o n a l s ，d i f - f e r e n t i a li n t e g r a le q u a t i o n s ，8 ( 1 9 9 5 ) ，9 8 1 9 9 2 【5 】g c d o n ga n ds j l i ，o nt h ee x i s t e n c eo fi n f i n i t e l ym a n ys o l u t i o n so ft h ed i r i c h l e t p r o b l e mf o rf l o m en o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ，s c i s i n i c as e r ，a 2 5 ( 1 9 8 2 ) ，4 6 8 - 4 7 5 【6 】d g i l b a r ga n dn s t r u d i n g e r ，e l l i p t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fs e c o n do r d e r ， s p r i n g e r ，1 9 9 7 mp l i n d q v i s t ，o nt h ee q u a t i o nv ( i v u l p 一2v u ) + a u n 一2 n = 0 ，p r o c a m e r m a t h s o c ，1 0 9 ( 1 9 9 0 ) ，1 5 7 - 1 8 4 【8 】s j l ia n dz l l i u ，p e r t u r b a t i o n sf r o ms y m m e t r i ce l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ， j d i f f e q u a ，1 8 5 ( 2 0 0 2 ) ，2 7 1 - 2 8 0 【9 】k p e r e r a ，n o n t r i v i a lc r i t i c a lg r o u p si np - l a p l a c i a np r o b l e m