（基础数学专业论文）几类差分方程和微分方程的振动性研究.pdf

摘要 本硕士论文由四章组成，主要讨论高阶非线性中立型差分方程正解的 存在性，脉冲差分方程的振动准则，奇数阶微分方程的振动性，中立型脉 冲时滞微分方程正解的存在性。 第一章讨论了高阶非线性中立型差分方程正解的存在性，利用b a n a c h 压缩映射原理，得到了正解存在的若干充分条件 第二章讨论了脉冲差分方程解的振动准则，建立了一系列解振动的充 分条件，这些结果即使没有脉冲点也是新的， 第三章讨论了奇数阶微分方程解的振动性，建立了一系列解振动的充 分条件 第四章讨论了中立型脉冲时滞微分方程正解的存在性，利用b a n a c h 压 缩映射原理，得到了正解存在的若干充分条件 关键词：差分方程，脉冲差分方程，微分方程，脉冲微分方程，b a n a c h 压缩映射原理。正解，振动性 a b s t r a c t t h i st h e s i so fm a s t e ri sc o m p o s e do ff o u rc h a p t e r s ，w h i c hm a i n l ys t u d i e de x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so fh i g h e r - o r d e rn o n l i n e a rn e u t r a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n s ， o s c i l l a t i o nc r i t e r i af o rd i f f e r e n c ee q u a t i o n sw i t h i m p u l s e s 1 i n e a r i z e do s c i l l a t i o nf o ro d d l o r d e rn e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so fn e u t r a ld i f i e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi m p u l s e s i nc h a p t e ro n e ，b yu s i n gb a n a c hc o n t r a c t i o np r i n c i p l e ，w es t u d ye x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o n so fh i g h e r - o r d e rn o n l i n e a rn e u t r a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，a n ds o m e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw i l lb eg i v e n c h a p t e rt w om a i n l yc o n s i d e r so s c i l l a t i o nc r i t e r i af o rd i f f e r e n c ee q u a t i o n sw i t h i m p u l s e s ，s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw i l lb eg i v e n o u rm a i nr e s u l t si m p r o v e sa n d g e n e r a l i z e st h es o m ek n o w nr e s u l t sw i t h o u ti m p u l s e s ，w h i c ha r en e we v e nf o rc a s e w i t h o u ti m p u l s i v ep o i n t c h a p t e rt h r e em a i n l yc o n s i d e r sl i n e a r i z e do s c i l l a t i o nf o ro d d o r d e rn e u t r a ld i f - f e r e u t i a le q u a t i o n s a n ds o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw i l lb ee s t a b l i s h e d i nt h el a s tc h a p t e r ，b yu s i n gb a n a c hc o n t r a c t i o np r i n c i p l e ，w ei n v e s t i g a t ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so fn e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi m p u l s e s k e yw o r d s ：d i f f e r e n c ee q u a t i o n ，i m p u s i v ed i f f e r e n c ee q u a t i o n ，d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ，i m p u s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，b a n a c hc o n t r a c t i o np r i n c i p l e ，p o s i t i v e s o l u t i o n 0 s c i l l a t i o n i i 绪论 1 问题产生的历史背景 微分方程定性理论在几何学、力学、天文学、电子技术、核物理、现代 生物学、人工神经网络动力学以及经济学等技术领域中有着广泛的应用， 受到人们的高度重视，许多研究工作者做了大量的研究，推出了许多优秀 的文献( 如文【2 , 9 ，1 0 ，1 8 ，1 9 1 ， 4 4 - 4 8 ) ，差分方程是微分方程的离散形式，它 自然成了计算机、工程控制、传染病、人口理论、网络动力学、生物数学、 计量经济学等科学技术研究中数学模型，表现出广泛的应用价值和理论意 义，微分方程和差分方程的振动性的研究已成为现代数学的重要分支，其 思想和技巧已渗透到其他应用数学分支，并推动了这些领域的发展。( 如 文【1 , 3 7 ，1 4 1 7 ， 4 9 - 5 1 ) 。 随着现代科学技术的发展，在许多科学领域的研究中，例如生态学、 光学控制、物理学、通讯理论等等，脉冲微分和差分方程较之相应的不带 脉冲的微分和差分方程更能准确地描述某些现象因此脉冲微分方程的研 究已引起了大量学者的兴趣【3 5 - 3 8 】，而振动性的研究问题一直是脉冲微分 和差分方程理论的一个重要分支，是目前比较活跃的研究领域，吸引了众 多的学者，取得了许多较好的结果，因此对于脉冲微分和差方程振动性问 题的研究，在理论上和实际应用中都是非常有意义的工作 本文研究了几类差分方程和微分方程的振动性，得到了一系列解是振 动的充分条件这些结果有的是新的，有的推广或改进了已有结果 下面就本文研究的问题产生的历史背景作一简要概述 一高阶非线性中立型差分方程正解的存在性 在一些模型中，由于实际意义的需要，往往要求探讨一类差分和微分 方程正解的存在性在这方面已发表了许多有代表性的论文【6 ，7 ，9 ，1 0 ，其 中文【7 】作者研究了一类高阶线性中立型差分方程 m ( z 。+ c 茁。一& ) + p x 。一，= 0 ，n 芝n o 0 ，1 ，2 ， 正解的存在性，得到了方程( 1 1 ) 正解存在的充分条件 如果方程( 1 1 ) 加上非线性部分，则方程应修正为 a m ( z ”+ p x 。一k ) + ，( 咒，。一七。，z 。一t 。，t ，z 。一，) = 0 ，咒2n o( 】2 ) 其中p r ，m 兰1 是奇数，k 1 ，k i 00 = 1 ，2 ，j ) 是整数，( 礼，“1 ，2 ，u j ) c ( 礼o ，o o ) xrx r ，冗) 这时我们自然会有下面的问题 问题1方程( 1 2 ) 正解存在的充分条件是什么? 二脉冲差分方程解的振动准则 事实上，研究差分方程解的振动准则，已有许多文献，如文献f t 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，2 0 中，建立了许多解的振动性准则 现考虑脉冲差分方程 j x n + l z n + p n z n 一七= 0 ，礼0 ，礼礼j ，。1 、 【x n j + l x n j = b j x q ， j = 1 ，2 ， 、 其中 ( 1 ) n j 1 ，2 ，) 是脉冲点，0 n l n 2 砷 n 1 + l 1 ( 2 2 ) 则方程( 2 1 ) 的解是振动的 问题2当条件( 2 2 ) 不满足方程( 2 1 ) 时，则方程( 2 1 ) 的解振动的条 件是什么? 三奇数阶微分方程解的振动性 对于以下微分方程 景石p ( ) 一p ( t ) g ( x ( t r ) ) + q ( t ) h ( z ( t d ) ) = 0 ，t t o ， ( 3 1 ) 已有好些文章进行了讨论，如【2 6 ，2 8 1 ，但这些文章只讨论了0 p ( t ) 1 ，一。 p ( t ) 一1 ，以及1 p ( t ) o 。的情形，得到了方程( 3 1 ) 的懈的振动性但对 一ls p ( t ) 0 的情形还没有讨论在文献f 2 6 】中，作者考虑了方程 0 n 翥磊陋( t ) 一p ( t ) g ( x ( t r ) ) 】+ q ( t ) h ( x ( t 一盯) ) = 0 ，t 2t o ， ( 3 2 ) 其中，n 是奇数，1 p ( t ) 0 ，盯0 ， 因此我们自然会有下面的一个问题 问题3 当一1 p ( t ) 0 时，方程( 3 2 ) 的解振动的充分条件是什么? 四中立型脉冲时滞微分方程正解的存在性 对于中立型时滞微分方程 j 杀陋( t ) + p x ( t 一_ r ) 】+ q ( t ) x ( t 6 ) = o ，t t o ( 4 1 ) 在文献 3 3 中，利用压缩映射原理，讨论了方程( 4 1 ) 正解的存在性但方 程( 4 1 ) 在有脉冲扰动的情形下，应修正为 盖b o ) + p z ( 一r ) 】+ q ( t ) x ( t 一6 ) = o ，t t 。t t kf 4 2 1 ix ( t t ) = z ( 如) 一b k x ( t k ) 一b k p x ( t k 一下) ，t = t k ，k = 1 ，2 ，3 ， 、 其中，p r ，r f 0 ，+ o 。) ，6 0 ，+ o 。) ，q c ( t o ，+ 。) ， 0 ，+ o 。) ) ，靠0 ，t o t l t 2 0 ；若存在正整数m 使得当n m 时，有z 。 0 成立，则称 ) 为最终负解。差分方程的一个解 ) 振动 是指 ) 既不是最终正的，也不是最终负的；否则，称 。) 是非振动的。 如果本文中的差分不等式没有特别指明成立范围，均指对充分大的自 然数成立。微分不等式成立没有特别指明成立范围，均指对充分大的t 成 立。 4 第一章高阶非线性中立型差分方程正解的存在性 1 1 引言 本章讨论高阶非线性中立型时滞差分方程 m ( 岱”十p x n k ) + f ( n ，x n - e ，x n - 七2 ，x n - ，) = 0 ，扎n o( 11 1 ) 正解的存在性 其中满足条件( h ) ( h ) p r ，? 7 2 1 是奇数，k 1 ，k i o ( i = 1 ，2 ，j ) 是整数，竹。 是非负整数，( 扎，钍一，u j ) c ( n o ，0 0 ) r r ，r ) ，u d ( ? 2 ，牡1 ) 一一，) 0 ，对所有的7 2 三7 。o ，地0 ，i = 1 ，2 ，j f ( n ，钍一，u j ) 0 当0 ，i = 1 ，2 ，j ，n 蛳f 对于“，是非减的 记作向前差分算子：。= x 。+ 。一x 。 设盯= m a x 七，k s ) 且n o n o 是一个定的非负整数方程( 1 1 1 ) 的解 是指存在一个实数序列 。 ，对于所有的n n o 一仃和n n o ，a k i 满足 ( 1 1 1 ) 。 方程( 1 1 1 ) 的一个非平凡解 z 。 是振动的，即对于每一个n 。， 存在礼n t ，使得z 。+ 。0 否则，称为非振动的 中立型时滞差分方程在实际生活中有着广泛的应用，例如，在人口理 论、“c o b w e b ”经济模型，和工程控制等领域有着理论意义和应用价值 近年来，中立型差分方程的振动性的研究进展很快，如 1 - 3 ，5 7 】然而， 高阶非线性中立型差分方程正解的存在性的研究相对较少我们得到了方 程( 1 _ 1 1 ) 存在一个非振动解的充分条件这个结果推广了已有结论 5 1 2 主要结果 对于方程( 1 1 1 ) ，我们有 定理1 2 】假设( h ) 成立，且p 一1 ，若存在o l 1 ，使得 o o i f m - 1 巾，口，o l ) 。 ( 1 2 1 ) i = n o 对于0 ，冠t 曼o l ，i = l ，2 ，一，j 和礼n o | f ( n ，u 1 ，一，嘶) 一，( 佗，面1 ，一，吗) | ，( n ，o l ，一，a ) j s u p l u i 一砒i ， 则方程( 1 1 1 ) 有一个正解 证明定理的证明将分为以下五种情况： 设c 篙是有界实数集，序列z = 石。) 茫。的范数叫卜s 、u pl 。i o 。则 c 篙是一个b a n a c h 空间 情况1 对于一1 n o ，使得n i - - 仃n o 和 南妻( i + m 一) ( m _ 1 ) ”，s 可l + p 我们定义c 需上的一个紧的，有界闭凸区间a 如下： a = 忙) 嚷：学鲺鲺竹独 再定义一个算子t ：a _ + c 篙如下， t x n = f 字。叩础+ 南曼m ( + m _ 1 ) 叫，( 一 刊，佗独： lt x n l ，n o 冬礼n l 显然，t 是连续的对于每一个。a 和扎有 丁“半n 叫+ 而1 面至o o ( + 仇一1 ) 叫。，) _ - 半a - p a + 百l + p - 。， 6 丁啦半。一半= 半a 因此，地4 如t x 。o l ，对于礼佗o ，有t ac a 下面，我们将证明t 是a 上的一个压缩映射。事实上，对于任意的 z ，口ea 和佗我们有 t x , t - t l 一p x n _ k - - 蚍i + 赢南萎( 一扎+ m 一1 ) 。1 卜 l f ( i ，x i k 。，x i b ) 一f ( i ，y i 一 。，y i 一畸) i 一p i i x - y l l + 赢与。戛( + m 1 ) 1 ”一，。) 州。一j i 茎( 一p + 丁l + p ) i x - 引i ：半1 1 卫一” 慨一t y l l 竿| | x - y 1 1 因为0 ( 1 3 p ) 4 1 ，所以t 是a 上的一个压缩映射因此，由b a n a c h 压 缩映射原理，t 有一个不动点z a ，即，t x = 茁很容易看出卫= 。 是 方程( 1 1 1 ) 的一个正解 情况2 对于p 礼0 使得n 1 + 觑 礼o ，i = 1 ，2 ，j ，和 研1 ；= 曼n l - 。( i + m - 1 ) ，( 吼叫掣 我们定义嚷上的一个紧的，有界闭凸区间a 如下： a = 卜) 啜：警姐他狐) 再定义一个算子t ：a _ 罐如下： f 赘。一；1 x n + m + ；1 南毒。( i - n - k + m - 1 ) 一1 ，雄b ) t x n 3 n n 1 1 【t z 。，n 。n n 1 显然，丁是连续的对每一个o a ，礼n 1 ，我们有 乳。寄。一嚣 字n 一暑电 同时 寄。+ ；1 掣口= 罐 因此，皆t x 。d ，对于札2 伽，有t a a 类似情况1 的证明，对于每一个z ，y a 和n 我们有 。一t y , ds 喾i i x - y 因此 f f n 一驯p l - 6 口1 5 i z 一卅 因为o ( p 一1 5 ) 1 6 p 1 ，所以t 是a 上的压缩映射因此，根据b a n a c h 压 缩映射原理，t 有一个不动点z a ，即t x = z 很容易看出z = 。) 是方 程( 1 1 1 ) 的一个正解 情况3 对于0 p 礼。使得m 一一伽，和 而1 面点o o ( i + m 一1 ) 州”一，。) 百1 - p 我们定义嚷上的一个紧的，有界闭凸区间a 如下： a = z = z 。) 谨：署岔。口，礼伽) 再定义一个算子t ：a 斗镪如下； 丁轳j 学邛m 十翮1 蓦o o ( i n + m 叫胁叫州，m a 扎独， 【t x , 1 ， n o 冬礼兰7 2 1 显然，t 是连续的对于每一个茹a ，n 7 1 ，我们有 竿口叩鼍+ 等。 2 + 3 p a - p 4里4 + 生4 ：半口s n ， 矗 一 8 和 丁砬学一一t 1 - p n = 署 因此，詈茎t x 。冬d ，对扎r b o 有t a ca 类似情况1 的证明，事实上，对任意的。，y a 和n 礼l i 我们有 l i 丁。仉i i 半i i x - y i | 因为0 n 1 【t x 1 ， n osn 礼l 类似情况i - 3 的证明，我们很容易得出t 映a 到a ，且对任意的z ，y a 和礼n l ， 1 l t z t 掣i 专i l z 一可h 因此，根据b a n a c h 压缩映射原理，t 有一个不动点。a ，即 f 詈+ 志曼卅攀- 1 、( i 一似+ m 一1 ) ( m 叫，( i , x i - k ；, , x i - k j ) ，礼狐， 轳 詈+ 南吾咖菘- 1 ) 。( 卜叶俨1 ) 忡。八 ) ，吃m 【z n l ， 亿o 礼冬札1 - 因此 札一一十声南至。哪+ m 。) ( 一”，( t 孔也，翰吨) 吃n l 显然，= 。 是方程( 1 ) 的一个正解 情况5 对于p 1 ，选择一个充分大的n 1 n o 使得礼1 + k k 。乱o ，i 1 ，2 ，j ，和 南；嘉。( i + m - 1 p ) ，( 妇，雩- 我们定义g 篙上的一个紧的，有界闭凸区间a 如下： a = 卜) 嚷：学鲰n 狐) 再定义一个算子t ：a 。嚷如下： f 害o ：；1 x 卅十；1 研1 毒。( i - n - k - m 一1 ) 1 弧耻，m b ) 了1 2 1t 。呦：毫之： 类似情况2 的证明，我们很容易得出t 映a 到a ，对于任意的z ，y a 和n 礼1 ， 9l 。 i i t x 一丁引i = 未# i l 。一引1 v 因为0 ( 3 + p ) 4 p 1 ，我们得出t 是a 上的压缩映射因此，根据b a n a c h 压缩映射原理，t 有一个不动点z a ，即t x = z 容易得出z = x 。) 是方 程( 1 1 1 ) 的一个正解综合情况1 - 5 ，定理的证明完毕 1 0 第二章脉冲差分方程解的振动准则 2 1引言 本章，我们主要讨论脉冲差分方程 - - 喝x n ，4 - ：p a x n - 。k b j x 刨j = 1 譬n ， 【z n j + l z n j =n ， = ，2 ，。_ 、4 的振动性 其中 ( h 1 ) 码i f ： 1 ，2 ，) 是脉冲点，且0 n 1 m m + l 1 ( 2 1 2 ) t = n - b l $ - - t e r t j t 则方程( 2 1 1 ) 的解是振动的 当条件( 2 1 2 ) 不满足方程( 2 1 1 ) 时，我们建立了方程( 2 1 1 ) 振动的新 准则这些结果即使没有脉冲点，我们的结论也是新的 为方便起见，以下我们假设差分不等式均指对充分大的自然数成立 2 2 主要结果 在这一节，我们建立方程( 2 1 1 ) 所有解振动的新的充分条件 定理2 2 1假定存在正整数l ，使得 。1 + i m 。s t l p 鼬 t = u f 一1km + 1 + i i 牛非 t r y ：0z = 1q ：0 其中 1 1( 1 + 幻) n k - i 1 n i 一( q + 1 ) k _ n j ”一i q k f p 。礼0 ，凡n j 2 i o 礼：q ，j ：1 ，2 n( 1 + 如) 一 n i + q 一女s q n - i + q ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 则方程( 2 1 1 ) 的所有解振动 证明根据文献【2 0 1 中的定理2 ，方程( 2 1 1 ) 的振动性等价于如下方程： + 1 一+ 蕊i i( 1 + b j ) 一1 y n 一 = 0 ，札= 0 ，1 ，2 ，- - -( 2 2 3 ) h 一! 唧 ” 假设方程( 2 2 3 ) 有一个最终正解 由( 2 2 3 ) ，我们有 y n 一 = y n 一州+ a 一( 1 + b j ) 一一= 0 ，i = 1 ，2 n k - i n t n i 对上面的方程两边从忙1 到i = k 求和。则有 。一k = 鼽。+ 多。一ii i( 1 + b ) 一1 y 。一k 一( 2 2 4 ) “一 一i n j n 一 由( 2 2 3 ) ，对任意正整数j ，我们有 g 。一 一j = y n k j + l + 庐。一 一，i i( 1 + b j ) 一1 y n 一2 女一j ( 2 2 5 ) 竹一2 k j s u ( n 一靶j 当j = i 时，将( 2 2 5 ) 代入( 2 2 4 ) ，我们有 一一y n + 一 i i( 1 + b j ) _ 1 一+ 1 i = l n - k 一s q n i n 一一i n i ( n - i ( 1 + b ) 一1 西。一k 一i i( 1 十屯) 一1 一强一 n 一2 女一l ! n 一 一t 陬 。 + 当j = + 时，将( 2 2 5 ) 代入上面的等式，我们有 k 蜘k = + 氐一f( 1 + 幻) - 1 一一i + i i = i n 一女一i n y n i k + 融一ii i( 1 + ) _ 1 蠡一一。( 1 + b j ) 。蜘一2 k 一川 i = 1 n k - i 唧 n 一n 一2 一 q n k - i ( 1 + 如) “一k ( 1 + 幻) 1 磊埘一t n - 3 k i n ， n - 2 k i n - 2 k - i n n - k - 1 ( 1 + 6 j ) _ 1 一3 女_ i 接下来，重复这种迭代过程，由归纳法，我们得到下面的式子 女 y n - k = + 】。一，1 7( 1 + b j ) _ 1 小州 一l n 一i _ n j n i 缸 + 西。一ii i ( 1 + ) 一1 蕊一一 ( 1 + 6 j ) 一1 。2 一件l t = 1 n 一* 一i _ n j 一in 一2 一i n j n 一女一t 女 + j j 。一ti i( 1 + 吩) 一1 艮一女一i i ( 1 + 6 j ) 一1 l = 1 n k - i _ n j n in - 2 k - i n j n - k 一 ；) n - 2 ( i + b ) 。1 鲰砘一 n 一3 k - i _ n ) n - 2 k t 七 + + p 。一； 1 i( 1 + b ) 一1 一t 一 i = 1 n 一女一i _ n j n in 一2 k i n i n 一一i f i n - l k - ( 1 + 6 j ) y n 一( m ) h + l n 一( 1 + u 一i n j n - l k - 女 十碥一l l = 1 1 i( 1 + 幻) 1 风一女一i1 1( 1 + 6 j ) 一 n k - i n ， n l 一( f + 1 ) “ n 一( 1 + 2 ) k - i n $ n 一( f + 1 ) 一i 去掉上式的最后一项，我们有 n - 2 女一i n j n 一缸一i ( 1 + b j ) 一1 鲰一( 1 + 2 ) 一 ( 2 2 6 ) 铷一y n + 氟一1 7( 1 + 幻) 1 y n 一一i + l 8 1 ”卜哇+ n - l - 1k1 ( 2 2 7 )m + 、。， 十f 。一( 。+ 2 ) k 一件ii i 芦。一曲一ii i( 1 + b j ) 一1 m = 0 = 1口2 0 n - ( q + 1 ) k - i n j n q k i 一“ h 嘶 n铲 一鲰 。试 + 由( 2 2 3 ) ，我们有 骱+ 叶l 一+ 目+ 声n + g( 1 十b ) 一1 + 口一= 0 ，q = 0 ，1 ，2 ，k l n + q k _ n j n 十q 对上式两边从q = 0 到q = k 一1 求和，我们有 y n 。饥t + 十 ( 1 + 幻) 一蜘忏 ( 2 2 8 ) n + 口一k n j 庐。+ gi i( 1 + b j ) y n + g k q = o n + q k _ n i n + q 一1 【氐+ q( 1 + h i ) _ 1 l 一1 q = o n + q k 芦。+ 口( 1 + b j ) 。】岳 i = 0q = l n + q i k _ n l n + 口一t + 由( 2 2 3 ) ，我们有 y 。= y n + l + ai i ( 1 + b j ) 一1 鼽一 n k n j ” 将( 2 2 1 1 ) 代入( 2 2 7 ) ，利用( 2 2 1 0 ) ，且 ) 是递减的，我们有 f 2 2 1 1 ) 。一k f 芦。+ 。一i i( 1 + b j ) 一1 】。一女+ a( 1 + b j ) y , 一k i = 0q = l n + q i k n j n + q lf l - k n j n -i - 1 + 声。一。i i( 1 + 妨) 一1 可。一k + y n 一( 。+ 2 ) k 哥 ”扣9 j n 一 ”_ 1 ”i + l - 哪一。( 1 + b ) _ 1 q = o n 一( q + 1 ) k l 叶 n - q k - i k七k = j ；。一；i i( 1 + 幻) 一1 。一女+ 西。+ 。一ti i( 1 + b ) 。 i = 0 n t t n j n t i = oq = l u + q 一 一k n j n t q l 1 - lim + 1 y n - 女+ y n 一( 。+ 2 协j ；。一。女一ii i( 1 + 幻) m = oi = 1q = o n ( 什1 ) 一i n j n - q k 一。 弘 h 舢 将一f 。+ 2 ) t y 。mf 弋k 上面的不等式，我们有 挑一t 西。一t1 1( 1 + b j ) 一1 + 1 i + 。一； i = 0 n i k _ n j n i i = oq = 1 n 斗q - i 一s n ， n + q l 一1km + l + p n - q h( 1 + 如) 。】岳 n 仁0i = 1q = o o , - - ( q 斗l ) k 一4 _ n j n - q k - _ c 上面不等式两边同除以y 。一。，当n _ 0 ( 3 时，取上极限，导致矛盾证 毕 定理2 2 2假定存在正整数f ，使得 tkk 。l 。i r a 。s u p 岔州 1 - 1 ( 1 + 盯1 。1 - 血m a 1 i( 1 + 盯1 l = l n - k - i _ n j n - i i = 1 口= 1 n t + 口一七”j 1 ( 2 2 1 2 ) m = gt = 1q = o n t 一( 叶l 曼n j f i i 庐。+ q _ i( 1 + 6 ) - 1 】一女( 2 2 1 3 ) i = 1q = l n + q i k n i n + 口一i 将( 2 , 2 1 3 ) 代入( 2 2 7 ) ，且 是递减的，我们得到 y 。一m 【如一t( 1 + b ) 一1 + i i - i - q - ti i( 1 + b j ) 一1 i = 1 n i k n j n t i = 1 口5 l n + q i k n j n t q i f 一1 七m + 1 十i i # - q k ti i( 1 + 幻) 一1 】。一k m = oi = 1q = o n 一( q + 1 ) k - i 1 - - a k + i - - 尚， 皿z 。1 5 ) 1 5 其中 r ( 1 。概1 n 薹p n - i 州出1 i 。州( 1 + ， = ln l k n i l 。一篙， ( 2 2 1 6 ) i = l n - i - k n i k k + l ( k + 1 ) ，根据l a d a s ，p h i l o s s a d s f i c a s 的文献【1 4 ，如果 撬i 加- i 。h i = 1- k - - i , ( 南) 1 n 0 ，则由条件( 2 2 1 5 ) 简化为 。l i m s u p 蕊t1 1( 1 + b j ) 以 1 一口川 ( 2 2 1 7 ) 1 = 0 n - k - i d e i = t n k - i n $ 1 一( a e ) + 1 -( 2 2 1 8 ) t = o n r l n i 0 的情况，由定理i ，我们充分证明条件f 2 ，2 1 5 ) 蕴 涵( 2 2 1 ) ，由( 2 2 1 5 ) ，对于充分小的c ( o ，卢) ，我们有 。骢s u p 萎k 轧i 。一k - i 骢 1 小叫m 一端( 2 2 1 9 ) 仁0 n 一， n t1 一l p 一， 根据上面的不等式，当m _ o o 时，一e ) m 0 ，意味着对于充分大的正整 数f ，我们有 舰sup塞觚n-i-k1卟_e)川一坠掣掣n，n-i i = o i 一、p o j = 1 一( o e ) + 1 一七( 卢一e ) 2 1 + ( 卢一e ) + ( p e ) 2 + + ( 口f ) l - 1 由此可得( 2 1 2 ) ，因为 b* l 1m + 1 】；n + 。一tr l ( 1 + 如) 一1 + 1 i 庐。一非一ti i( 1 + b ) 一- 1 2 0q 2 1 n + q i k n j n w q i m = oi = 1q = o n 一( q + i ) 一i n ， n - q 女一i 兰( a e ) + 1 + 七( 卢一e ) 2 + 七( 卢一e ) 3 + + k ( z e ) 1 证毕 例2 3 1 考虑以下方程 2 3例子 x n + p n x n 一2 20 ， x n2 i o n ， ：e n ( 2 。，) 其中陬= ；c o s n + ；，扎= 2 k 一1 ，n 容易得到 归l i r a1 n i = 1 蟊一tn - 2 - i n j ( 1 + 圹2 而1 一 b + 0 p卅 一 胁一p 一 旧 鼽 。卿 。 因为 卢= 是恐i n f 芦n i i ( 1 斗b ) 一1 = 0 n 2 n j “ 2 l i r a s u p 蚤虹t 。，i 。i 。，。一；( 1 + b ) 一l = ； 黜；骅n + 2 神必，+ b ) = 罾而1 1 一a 2 i n - 2 - i n 1 0 ，口0 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 近十几年来，g l a d a s 等建立了方程( 3 1 1 ) 线性振动的准则，如 1 3 ，2 3 以及【2 1 ，2 2 ，2 4 - 2 7 我们在文献【1 3 ，2 3 】中发现条件 t 1 i r a 。s u p 尸( t ) = p o ( o ，1 ) ，t l 。i m 。i n f p ( ) = p o ( o ，1 ) 或者 t 1 + i m 。s u pp 0 ) 2 一p o ( o 。，一1 ) ，2 擘臻i n fp ( ) = 一p o ( o o ，一1 ) 总是假定成立的然而，当一1 p ( t ) 0 ， 1 9 ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 且 l i m 业：1 u - - - 0 札 除此之外，我们还需要借助下面的线性方程 嘉+ p o l y ( t 叫卵刊= o ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) 如果方程( 3 2 6 ) 的任意有界解振动，则方程( 3 , 1 ，1 ) 的任意有界解也振动 设p = i i i a x t ，a ) ，我们所定义的方程( 3 1 1 ) 的解，当z 。时，x a ( z 一m ，。) ，咒) ，使得在区间o 。) 上，z ( t ) 一p ( t ) g ( z ( t r ) ) 是礼次连续可 导，同时方程( 3 。1 1 ) 在z t l 上有意义 定义3 2 1 方程( 3 1 1 ) 的解称为振动的，如果方程有任意大的零点， 方程( 3 1 1 ) 的解称为非振动的，如果这个解最终为正或最终为负 引理3 2 1 设7 7 , 是奇数，且假设 p o 卜1 ，o ) ，7 _ ，q ( 0 ，o 。) ，口f 0 ，o o ) ( 3 2 7 ) 对于线性方程 尘d t n 陋o ) + p o l x 0 一r ) 】+ 口z ( t 一盯) = o ( 3 2 8 ) 的解振动则存在e ( o ，q ) 使得方程 杀+ ( p o l + e ) 一丁) 】+ ( g 一咖( t a ) = 。 ( 3 | 2 9 ) 的解振动 证明易知方程( 3 2 8 ) 的解振动，即它的特征方程 ，( a ) = “+ p i l a ”e 一1 7 + q e 一1 。= 0 当) 、( 一。o ，o 】时，特征方程没有实根 事实上f ( o ) = q 0 意味着f ( o o ) = ，( 一o 。) = 0 ( 3 ，一定存在一个常数 m 0 ，使得 ，( a ) 0 ，a ( o o ，0 1 同时存在r o ，a ( 一0 。，o 】 2 n f 面，我们设 d = ；口，目( a ) = d ( a n e - ) w + e - a o ) 容易得出 f ( a ) 一g ( a ) = ( 1 + 佃i 1 + d ) e 一1 7 ) + 0 6 ) e 一1 4 _ + o o ，a 一一o 。， 则一定存在知 o ，a 茎a o 设 芦工 i n f 、( a “e 一 7 一e 一 4 ) a e a o ，o 】、 且设 e2 r a i n 6 ，一 由文献【2 3 中的引理4 易知特征方程 a 8 + ( p i l + s ) a “e 一1 7 + ( q e ) e 一1 。= 0( 3 2 1 0 ) 在区间( 一o o ，0 】上没有实根事实上，因为n 是奇数，a ) t o 我们有 且a o a 0 a “+ ( 町1 + e ) a “e 一打+ 一) e 一1 9 = ，( a ) + ( a ”e 一1 7 一e 一1 9 ) m + 肛m 一互1 m = i l m o 证毕 2 1 蛔 舸 n e e 一 一 m 打 h 1 2 ee 苎 一 = 打一 e 0 0 + ro ， 0 ，z ( t 一盯) 0t t 1 设 g ( t ) = 。( t ) 一p ( t ) g ( x ( t 一_ r ) ) 则有 z ( n “) = 一q ( t ) h ( t 一7 - ) ) o ，t t l 因此，z (