（基础数学专业论文）三维minkowski空间中具有逐点高斯映射的螺旋面.pdf

l !l!l趔llllllllllillllllllllllllllllllljl l 丫18 4 17 6 z at h e s i si nf u n d a m e n t a lm a t h e m a t i c s h e l i c o i d a ls u r f a c e sw i t hp o i n t w i s e g a u s sm a pi nm i n k o w s k i3 - s p a c e b yl i um i a o m i a o s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rl i uh u i l i n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y o c t o b e r2 0 0 7 独创性l 声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的论文中 取得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材 料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：叫为而 日 期：伽7 ，0 弓 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学 位论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的 复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人同意东北大学可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： j j 傅li 东北大学硕士学位论文 摘要 三维m i n k o w s k i 空间中具有逐点高斯映射的螺旋面 摘要 m i n k o w s k i 空间相对于我们熟悉的欧氏空间，是一个全新的领域，因此研究 m i n k o w s k i 空间中的曲线和曲面以及它们的对应关系是很有意义的但由于m i n k o w s k i 空间中度量的不定性，一些在欧氏空间中看起来很容易，很理所当然的问题，往往在 m i n k o w s k i 空间中变得很复杂 在微分几何的局部曲面论中有一类问题是曲面上的对应关系问题，这种对应一般理 解成高斯映射满足的对应例如：在三维e u c l i d e a n 和三维m i n k o w s k i 空间中，讨论过 具有有限型高斯映射和逐点高斯映射的各种曲面，本文就是在这种指导思想下开展的， 从三维m i n k o w s k i 空间中的螺旋面出发，讨论五类螺旋面引言介绍微分几何的产生、 发展以及研究内容和研究方法第一章介绍与本文相关的基础知识，例如m i n k o w s k i 空 间，五类螺旋面，曲面上的高斯映射，拉普拉斯算子的定义等等第二章给出几类具有 逐点高斯映射的正规螺旋面在第三章和第四章分别对普通的多项式型和有理型螺旋面 进行分析并给出结论及其证明最后一章对本文工作进行总结与展望 关键词：m i n k o w s k i 空间；螺旋面；高斯映射；拉普拉斯算子；逐点高斯映射 i i i 1-；一 ， i ， 0 l h e l i c o i d a ls u r f a c e sw i t hp o i n t w i s eg a u s s m a p i nm i nk o w s k i3 - s p a c e a b s t r a c t a sa ni m p o r t a n tg e o m e t r i c a ls p a c e ，m i n k o w s k is p a c ei san e wf i e l dr e l a t i n gt oe u c l i d e a n s p a c ew h i c hi s f a m i l i a rt ou s t h e r e f o r e ，i ti sm e a n i n g f u lf o ru st os t u d yt h ec o r r e s p o n d i n g c u r v e sa n ds u r f a c e si nt h i ss p a c e h o w e v e r , d u et ot h ei n s t a b i l i t yo fm e t r i c ，s o m ep r o b l e m s w h i c hs e e me a s ya n dr e a s o n a b l eb e c o m ec o m p l e xi ne u c l i d e a ns p a c e i nl o c a lt h e o r yo ft h es u r f a c e si nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y , t h e r ei sak i n do fp r o b l e mc a l l e d c o r r e s p o n d i n gr e l a t i o n s h i pb e t w e e n t h es u r f a c e s ，w h i c hi sg e n e r a l l yc o n s i d e r e da sg a u s sm a p o nt h es u r f a c e sm e e t i n gc e r t a i nc o r r e s p o n d e n c e s o m es u r f a c e sw i t hf i n i t et y p eg a u s sm a p a n do n eb yo n eg a u s sm a ph a v eb e e nd i s c u s s e di n3 - d i m e n s i o n a le u c l i d e a na n dm i n k o w s k i s p a c e t h i sp a p e ri sc a r r i e do u tu n d e rt h ei d e aa n d d i s c u s s e d5k i n d so fh e l i c o i d a ls u r f a c e s i n t h ep r e l i m i n a r y , w ei n t r o d u c et h ec r e a t i o n ，d e v e l o p m e n t ，s t u d y i n gc o n t e n t sa n dm e t h o d so f d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y i nc h a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c es o m eb a s i ck n o w l e d g e ，s u c ha s m i n k o w s k is p a c e ，5c a s e sh e l i c o i d a ls u r f a c e ，g a u s sm a po ns u r f a c e ，t h ed e f i n i t i o no f l a p l a c i a na n ds oo n i nc h a p t e rt w o ，w ei n t r o d u c es e v e r a lk i n d so fs p e c i a lh e l i c o i d a ls u r f a c e s i nc h a p t e rt h r e ea n df o u r , w ea n a l y z en o r m a lp o l y n o m i a la n dr a t i o n a lh e l i c o i d a ls u r f a c e s r e s p e c t i v e l y t h el a s tc h a p t e ri st h es u m m a r ya n de x p e c to f t h ew h o l ep a p e r k e yw o r d s ：m i n k o w s k is p a c e ；h e l i c o i d a ls u r f a c e ；p o i n t w i s eg a u s sm a p ；l a p l a c i a no p e r a t o r v t ； j c ， i一 东北大学硕士学位论文 目录 目录 独创性声明i 摘要m a b s t r a c t 、， 引言1 第一章预备知识7 1 1n 维m i n k o w s k i 空间( 伪欧氏空间) 7 1 1 1n 维m i n k o w s k i 空间的定义7 1 1 2n 维m i n k o w s k i 空间中的向量7 1 1 3n 维m i n k o w s k i 空间中的标架8 1 2 三维m i n k o w s k i 空间中向量的运算8 1 2 1 三维m i n k o w s k i 空间中向量的内积、外积8 1 3 三维m i n k o w s k i 空间中的螺旋面1 0 1 3 1 三维m i n k o w s k i 空间中的螺旋运动l o 1 3 2 三维m i n k o w s k i 空间中的螺旋面1 3 1 3 3 三维m i n k o w s k i 空间中螺旋面的平均曲率和高斯曲率1 4 1 4 三维m i n k o w s k i 空间中的高斯映射和拉普拉斯算子1 7 1 4 1 三维m i n k o w s k i 空间中的高斯映射1 7 1 4 2 三维m i n k o w s k i 空间中的拉普拉斯算子1 7 1 4 3 三维m i n k o w s k i 空间中具有逐点高斯映射的子流形1 7 1 4 4 三维m i n k o w s k i 空间中具有逐点高斯映射的曲面1 7 第二章逐点高斯映射的正规螺旋面1 9 2 1 逐点高斯映射的螺旋面1 9 2 1 1 第一类正规螺旋面1 9 2 1 2 第二类正规螺旋面1 9 2 1 3 第三类正规螺旋面2 0 2 1 4 第五类正规螺旋面2 0 2 2 正规螺旋面的主要结论2 0 第三章逐点高斯映射的多项式型螺旋面2 9 3 1 逐点高斯映射的多项式型螺旋面( 以非类光向量为旋转轴) 2 9 3 2 逐点高斯映射的多项式型螺旋面( 以类光向量为旋转轴) 3 0 目录 东北大学硕士学位论文 第四章逐点高斯映射的有理型螺旋面3 3 4 1 逐点高斯映射的有理型螺旋面( 以非类光向量为旋转轴) 3 3 4 2 逐点高斯映射的有理型螺旋面( 以类光向量为旋转轴) ，3 5 第五章总结3 9 参考文献4 l 致谢4 3 东北大学硕士学位论文 引言 芦i 古 jii 数学是历史非常悠久的一门学科从远古屈指计数到现代高速电子计算机的发明； 从量地测天到抽象严密的公理化体系，在五千余年的数学历史长河中，重大数学思想的 诞生与发展，构成了科学史上最富有魅力的题材 数学虽有众多的分支，却是有机的统一几何的，代数的，分析的方法相辅相成， 使现代数学成为人类认识世界，改造世界的锐利武器其中几何学的对象比较直观，比 较接近人们的生活经验，所以更能激发开创性思维数学历史上许多划时代的新思想， 如无理数的发现，公理化方法的建立，坐标方法的提出，非欧几何的诞生，空间观念的 演变，对整体性质和行为的关注，非线性数学的兴起等等，都首先发生在几何学的沃土 上 今天，数学科学发展的大趋势是走向综合几何学的观点，方法，语言正在大规模 地向其他数学分支渗透，而在高新技术的发展过程中，几何学的原理又得到了空前的应 用无论是在计算机图形学，c t 扫描或核磁共振成像，视觉信息处理，还是在机器人， 虚拟现实，数字仿真技术，都广泛采用了传统的和现代的几何学理论 几何学是数学中最古老的一门分科如果从欧几里得的几何原本算起，至今已 有两千三百多年的历史，而且该学科长盛不衰，其内涵一直在不断地延展之中，以至于 现在人们很难确切地回答“什么是几何学? ”的问题 在数学的发展史上，有相当长的一段时间，“几何”曾等同于数学公元前七世纪 之后，希腊几何学迅猛发展，积累了丰富的材料希腊学者们开始对当时的数学知识作 有计划的整理，并试图将其组成一个严密的知识系统首先做出这方面尝试的是公元前 五世纪的希波克拉底( h i p p o c r a t e s ) ，其后经过了众多数学家的修改和补充到了公元 前四世纪，希腊学者们已经为建构数学的理论大厦打下了坚实的基础 欧几里得在前人工作的基础之上，对希腊丰富的数学成果进行了收集，整理，用命 题的形式重新表述，对一些结论作了严格的证明他最大的贡献就是选择了一系列具有 重大意义的、最原始的定义和公理，并将它们严格地按逻辑的顺序进行排列，然后在此 基础上进行演绎和证明，形成了具有公理化结构和严密逻辑体系的几何原本几何 原本可以说是数学史上的一座理论丰碑它主要阐述的是关于平面几何，立体几何及 算术理论的系统化知识，建立了一个完整的关于几何学的演绎知识体系几何原本 引言 东北大学硕士学位论文 是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，是当时整个希腊数学成果、方法、思想和精 神的结晶，其内容和形式对几何学本身和数学逻辑的发展有着巨大的影响自它问世之 日起，在长达二千多年的时间里一直盛行不衰它历经多次翻译和修订，自1 4 8 2 年第 一个印刷本出版后，至今已有一千多种不同的版本除了圣经之外，没有任何其他 著作，其研究、使用和传播之广泛，能够与几何原本相比但几何原本超越民 族、种族、宗教信仰、文化意识方面的影响，却是圣经所无法比拟的它对数学发 展的影响超过了任何别的书，以至于人们把“欧几里得”与“几何学”看成了同义词 到了十六世纪，对运动与变化的研究已经变成自然科学的中心问题，这就迫切地需 要一种新的数学工具，从而导致了变量数学即近代数学的诞生。变量数学的第一个里程 碑是解析几何的发明，解析几何的基本思想是在平面上引进所谓“坐标”的概念，并借 助这种坐标在平面上的点和有序实数对f x ，y ) 之间建立一一对应的关系，并以这种方式 将一个代数方程s ( x ，y 1 = 0 与平面上一条曲线对应起来，于是几何i - j 题便可归结为代数 问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果解析几何最重要的前驱是法国 数学家奥雷斯姆，但其真正发明还要归功于法国另外两位数学家笛卡儿和费马 十七至十八世纪，由牛顿和莱布尼兹所创立的微积分及由此引起的分析运动，对数 学和整个科学带来了极大的刺激分析方法的应用，开拓了一个新的数学分支一微分几 何1 7 3 1 年法国数学家克莱洛发表关于双重曲率曲线的研究开创了空间曲线理论， 是建立微分几何的重要一步欧拉是微分几何的重要奠基人他早在1 7 3 6 年就引进了 平面曲线的内在坐标概念，即以曲线的弧长作为曲线上点的坐标他还正确的建立了曲 面的曲率概念，引进了法曲率，主曲率，并得到了法曲率的欧拉公式 直到十八世纪末，几何领域仍然是欧几里得占主导地位解析几何改变了几何研究 的方法，但没有从实质上改变欧氏几何本身的内容解析方法的运用虽然在相当长的时 间内冲淡了人们对综合几何的兴趣，但欧几里得几何作为数学严格性的典范始终保持着 神圣的地位然而这个近乎科学“圣经”的欧几里得几何并非无懈可击，数学家们虽然 坚信欧氏几何的完美与正确，但有一件事却始终让他们耿耿于怀，这就是欧几里得第五 公理( 在平面上经过直线外一点可作，并且只能作一条直线与已知直线平行，也称平行 公理) 平行公理叙述上的复杂，不自然和使用此公理的迟缓引起了人们对它的怀疑许 多数学家想用别的叙述取代它，或者想从其他公理推导它这种努力在两千年的时间中 耗费了很多大数学家的精力，人们开始认识到公理的实质在于符合经验，而不是它的不 2 东北大学硕士学位论文 引言 证自明性非欧几何的历史就开始于努力消除对平行公理的怀疑 在非欧几何正式建立之前，它的技术性内容已经被大量地推导出来最先认识到非 欧几何是一种逻辑上相容并且可以描述物质空间，像欧氏几何一样正确的新几何学的是 高斯从高斯的遗稿中可以了解到，他从1 7 9 9 年开始意识到平行公理不能从其他的欧 几里得公理推导出来，并从1 8 1 3 年起发展了这种平行公理在其中不成立的新几何他 起先称之为“反欧几里得几何”，最后改称为“非欧几里得几何”，所以“非欧几何” 这个名称正是来自高斯但他除了在给朋友的一些信件中对其非欧几何的思想有所透露 外，高斯生前并没有发表过任何关于非欧几何的论著俄国的罗巴切夫斯基最早，最系 统地发表了有关此课题的研究成果，并在1 9 2 9 年正式发表了关于非欧几何的第一篇论 文几何学原理，因此他发展的几何现今常称作罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何 非欧几何从发现到获得普遍接受，经历了曲折的道路1 8 2 6 年2 月2 3 日，罗巴切 夫斯基于喀山大学物理数学系学术会议上宣读了他的第一篇关于非欧几何的论文几何 学原理及平行线定理严格证明的摘要这篇首创性论文的问世，标志着非欧几何的诞 生然而，这一重大成果刚一公诸于世，就遭到正统数学家的冷漠和反对参加2 月2 3 日学术公议的全是数学造诣较深的专家，其中有著名的数学家、天文学家西蒙诺夫，有 后来成为科学院院士的古普费尔以及后来在数学界颇有声望的博拉斯曼在这些人的心 目中，罗巴切夫斯基是一位很有才华的青年数学家可是，出乎他们的意料，这位年轻 的教授在简短的开场白之后，接着说的全是一些令人莫名其妙的话，诸如三角形的内角 和小于两直角，而且随着边长增大而无限变小，直至趋于零；锐角一边的垂线可以和另 一边不相交，等等这些命题不仅离奇古怪，与欧几里得几何相冲突，而且还与人们的 日常经验相背离然而，报告者却认真地、充满信心地指出，它们属于一种逻辑严谨的 新几何，和欧几里得几何有着同等的存在权利 要达到这一目标，需要确实地建立起非欧几何自身的无矛盾性和现实性罗巴切夫 斯基终其一生努力也没有实现这个目标然而在他之后，非欧几何的发展正是朝着这样 的方向前进的首先是德国数学家黎曼在1 8 5 4 年发展了罗巴切夫斯基等人的思想而建 立了一种更广泛的几何，即现在所称的黎曼几何罗巴切夫斯基几何及欧氏几何都只不 过是这种几何的特例黎曼可以说是最先理解非欧几何全部意义的数学家他创立的黎 曼几何不仅是对已经出现的非欧几何的承认，而且显示了创造其他非欧几何的可能性 十九世纪7 0 年代以后，意大利数学家贝尔特拉米，德国数学家克莱因和法国数学 引言 东北大学硕士学位论文 家庞加莱等人先后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模型这样一来，就使非欧 几何具有了至少与欧氏几何同等的真实性因为我们可以设想，如果罗氏几何中存在任 何矛盾的话，那么这种矛盾必然会在欧氏几何中表现出来，也就是说，只要欧氏几何没 有矛盾，那么罗氏几何也不会有矛盾至此，非欧几何才真正获得了广泛的理解，非欧 几何作为一种几何的合法地位可以说充分建立起来了 非欧几何的创立不只是解决了两千年来一直悬而未决的平行公理问题，更重要的是 它引起了关于几何观念和空间观念的最深刻的革命首先，非欧几何对于人们的空间观 念产生了极其深远的影响在十九世纪占统治地位的是欧几里得的绝对空间观念，非欧 几何的创始人无一例外地都对这种传统观念提出了挑战，从罗巴切夫斯基到黎曼，他们 都相信天文测量将能判断他们的新几何的真实性，认为欧氏公理可能只是物理空间的近 似写照他们的预言在二十世纪被爱因斯坦的相对论所证实正是黎曼几何为爱因斯坦 的广义相对论提供了最恰当的数学表述，而根据广义相对论所进行的一系列天文观测、 实验，也证实了宇宙流形的非欧几里得性其次，非欧几何的出现打破了长期以来只有 一种几何学即欧几里得几何学的局面，引进了全新的空间观念，在现代物理学中获得了 广泛的应用，对于二十世纪初关于空间和时间的物理观念的变革起到了重要的作用最 后，非欧几何的诞生，是自希腊时代以来数学中一个重大的变革它迫使数学家们从根 本上改变对数学的本质的理解，改变对数学与物质世界的关系的理解，为以后发展的公 理化运动打下了基础 很长一段时间，几何学家对极小曲面产生了浓厚的兴趣在1 9 8 3 年，k o b a y a s h i 对 三维m i n k o w s k i 空间中极小类空型直纹曲面进行了分类；在上个世纪7 0 年代晚期， b y c h e n 给出了三维e u c l i d e a n 空间中有限型的定义有了完整的有限型理论后，c h e n 和p i c c i n n i 研究了在三维e u c l i d e a n 空间中具有有限型高斯映射的子流形和具有逐点高斯 映射的曲面例如，b a i l o u s s i s 和b l a i r 研究了三维e u c l i d e a n 空间中满足 a g = a g ，a m a t ( 3 ，尺) 的直纹面，其中g 是直纹面的高斯映射，是拉普拉斯算子 另一方面，许多几何学家开始对m i n k o w s k i 空间中具有有限型的子流形进行研究， 例如，c h o i 和k i m 对m 维e u c l i d e a n 空间和m 维m i n k o w s k i 空间中满足a g = 廊( 厂是 个函数) 的子流形进行了分类并给出定义：若m 维e u c l i d e a n 空间中或m 维m i n k o w s k i 空间中的子流形的高斯映射满足a g = 船( f 是一个函数) ，则称这个子流形具有逐点 4 东北大学硕士学位论文 引言 一型高斯映射c h o i 和k i m 这两位几何学家已经对三维e u c l i d e a n 和三维m i n k o w s k i 空 间中具有逐点一型高斯映射的直纹面和旋转曲面进行了研究 本文主要讨论三维m i n k o w s k i 空间中具有逐点高斯映射的多项式型和有理型的螺旋 面 一 东北大学硕士学位论文第一章预备知识 第一章预备知识 本章主要介绍m i n k o w s k i 空间中的一些基本概念，包括五类螺旋面的定义以及高斯 映射和拉普拉斯算子的定义 1 1n 维m i n k o w s k i 空间( 伪欧氏空间) 1 1 1n 维m i n k o w s k i 空间的定义 定义1 1 假设v 是刀维向量空间，且在y 上具有一个对称的双线性函数 , ：v xv r 选取一组标准正交基底 e ) ( f = 1 ，2 ，d ，满足 “m = 再，霉：j ：二 称( ，) 为向量空间y 上的内积 设岛的值为1 的数目为 1 ，为1 的数目为p ，则m + p = ，z 若所和p 中任意一个 为零，则此时的空间为刀维欧氏空间，记为e ”；若朋和p 均不为零，则此时的空间为n 维伪欧氏空间( 或称l o r e n t z 空间) ，记为群；特别地，当p = 1 时，称向量空间y 为甩维 m i n k o w s k i 空间，记为研；当刀= 3 ，p = 1 时，称向量空间y 为三维m i n k o w s k i 空间，记 为磷 1 1 2n 维m i n k o w s k i 空间中的向量 若 定义1 2 设矿是刀维m i n k o w s k i 空间，任取向量口y ，口0 ， 扛，口) 0 ，则称口为类空向量； 7 第一章预备知识 东北大学硕士学位论文 ( 6 t , o f ) = 0 ，则称口为类光向量； 缸，口) 0 ) ， 儿( “) - - ( 0 ，甜，厂( “) ) ，( “ 0 ) ， 分别是坐标平面o e 。e 3 ，o e ：e 3 中的两条生成曲线乃( “) 和如 ) 经过以e s 为旋转轴，符 距h 0 的螺旋运动分别生成曲面： s l ：，( 甜，v ) = ( u s i n h v ，u c o s h v ，厂( “) + 伽) ，( “ o ，v r ) 最：r ( u ，) = ( u c o s h v ，u s i n h v ，厂( 材) + 伽) ，( “ o ， rer ) s 和是分别称为日中的第一类和第二类螺旋面 设 乃( 甜) = ( 厂( “) ，甜，o ) ，( “ 0 ) ， 是坐标平面d q 乞中的生成曲线乃( “) 经过以e l 为旋转轴，符距向0 的螺旋运动生成曲 面： 第一章预备知识东北大学硕士学位论文 s ：， ，v ) = ( 厂( z f ) + 枷，u c o s v ，u s i n v ) ，( “ 0 ，v ( e r ) 是称为日中的第三类螺旋面 若取伪正交标架 虿，乏，写) ( 类光，类空，类光) ， 设 r 4 ( u ) = ( 甜，0 ，厂( “) ) ，( 材 0 ) ， 乃( “) - - ( o ，“，厂( “) ) ，( u 0 ) ， 分别是坐标平面呃亏，呃巧中的两条生成曲线，儿 ) 和以 ) 经过以亏为旋转轴，符 距h 0 的螺旋运动分别生成曲面： 4 ：r ( u ，v ，= 卜帆圳+ 等，m ，一萼一等) ，c “ o ，v 尺， s s r ( u , v ，= ( 加一譬朋炉删一斜 o ，v 叫 & 和s 分别称为辟中的第四类和第五类螺旋面 定义1 1 0 若螺旋面的生成曲线，中的f ( u ) 是常数，我们就称这个螺旋面是正规螺 旋面，如果f ( u ) 是多项式，我们就称它是多项式型的螺旋面，如果f ( u ) 是有理函数， 我们就称它是有理型螺旋面 1 3 3 三维m i n k o w s k i 空间中螺旋面的平均曲率和高斯曲率 1 3 3 1 第一类螺旋面s 的平均曲率与高斯曲率 其中 第一类螺旋面s 的第一基本形式，第二基本形式分别为 i = ( 1 + 厂比) a u 2 + 2 h f d u d v + ( h 2 一材2 ) 西2 ， n = 1d i _ 一矿仇2 + 2 h d u d v + u 2 f d v 2 ， d = e g f 2 = h 2 1 1 2 ( 1 + 厂吨) 1 4 东北大学硕士学位论文 第一章预备知识 则其平均曲率与高斯曲率分别为 ：u f f ( u 2 _ h 2 ) _ 2 h 2 f , t + u 2 f , ( 1 + 一f , 2 ) ， 2 dd 1 2 k ：二垡丛：二垒 dd 1 3 3 2 第二类螺旋面的平均曲率与高斯曲率 其中 第二类螺旋面是的第一基本形式，第二基本形式分别为 i = ( f “一1 ) 也2 + 2 h f d u d v + ( h 2 + “2 ) a v 2 ， l i i = 1di i 矿饥2 - 2 h d u d v - u 2 f a v 2 ， d = e g f 2 = u 2 ( 厂“一1 ) 一h 2 则其平均曲率与高斯曲率分别为 h ：u f ( u 2 + h 2 ) + 2 h 2 f - u 2 f ( f a 一- 1 ) ， 2 d ld1 2二l l k ：_ u s f y - h 2 d d 1 3 3 3 第三类螺旋面& 的平均曲率与高斯曲率 第三类螺旋面& 的第一基本形式，第二基本形式分别为 其中 i = ( 1 一厂吨) a u 2 2 矿 d u d v + ( u 2 - h 2 ) 咖2 ， l i i - | d1 _ 矿饥2 2 h d u d v + u 2 f a v 2 ， d = e g f 2 = “2 ( 1 一f 吐) 一h 2 则其平均曲率与高斯曲率分别为 日：u f ( u 2 - h 2 ) - 2 h 2 f 下- u 2 f ( f 一2 - i ) ， 2 dd 1 2 第一章预备知识 东北大学硕士学位论文 k ：u s f f - h 2 d ldi 1 3 3 4 第四类螺旋面墨的平均曲率与高斯曲率 其中 第四类螺旋面蜀的第一基本形式，第二基本形式分别为 i = 2 f d u 2 + 2 h f d u d v + u 2 d v 2 。 1 i i = id i _ u f a u 2 + 2 h f d u d v + ( u f 一材2 ) 西2 ， d = e g f 2 = 2 u 2 f 一h 2 f “ 则其平均曲率与高斯曲率分别为 日：u x f - 2 丁u 2 f ， 2 dd 1 2 k ：- u 3 f + h 2 u f f - h 2 f 2 dd 1 3 3 5 第五类螺旋面& 的平均曲率与高斯曲率 第五类螺旋面& 的第一基本形式，第二基本形式分别为 i = d u 2 + 2 h e 纨咖一2 h u d v 2 ， i i = ld 1 1 ( - h f d u 2 + 2 h d u d v + h 2 f c h , 2 ) ， 其中 d = e g f 2 = 一2 砌一h 2 厂“ 则其平均曲率与高斯曲率分别为 h ：h 2 ( 2 u f - f ) ， 2 d i d l 2 k ：- h 2 ( h f f + 1 ) d ld 综上可知，五类螺旋面的平均曲率与高斯曲率都是关于u 的单参数形式，与旋转参 数v 无关 1 6 东北大学硕士学位论文第一章预备知识 1 4 三维m i n k o w s k i 空间中的高斯映射和拉普拉斯算子 1 4 1 三维m i n k o w s k i 空间中的高斯映射 定义1 1 l 设盯是曲面s ：，= r ( u ，1 ，) 上的一块区域，另外再作一个伪球面现在我们 建立盯中的点和伪球面上的点的对应关系如下：仃中任取一点p ( u ，) ，作曲面在尸点处 的单位法向量n = n ( u ，) ，然后把n 的始端平移到单位球的中心，则n 的另一端点就在伪 球面上设该点为p ，这样对于曲面的小区域盯中的每一点r ( u ，1 ，) ，( “，v ) 仃与球面上 向径为n ( u ，v ) 的点对应因此，曲面上所给出的小区域仃表示到伪球面的对应区域盯 上这就是说，建立了曲面的小区域仃到伪球面上区域盯的对应我们把曲面上的点与 球面上的点的这种对应称为曲面的球面表示，也称为高斯映射 1 4 2 三维m i n k o w s k i 空间中的拉普拉斯算子 定义1 1 2 设m 是三维m i n k o w s k i 空间中的子流形， 哆 是m 的一组标架，则m 的 拉普拉斯算子a 为 一高等昙( 厕驴专) ， 其中d = d e t ( d u ) ，= ( ) - 1 和d ”是m 关于 q ) 的度量 1 4 3 三维m i n k o w s k i 空间中具有逐点高斯映射的子流形 定义1 1 4 设肘是三维m i n k o w s k i 空间中的子流形，g 是肘的高斯映射，如果它 的高斯映射满足：a g = f g ( f 是光滑函数) ，则称m 是具有逐点高斯映射的子流形 1 4 4 三维m i n k o w s k i 空间中具有逐点高斯映射的曲面 定义1 1 5 设肘是三维m i n k o w s k i 空间中的子流形，g 是m 的高斯映射，当m 是 曲面时，如果它的高斯映射满足：a g = f g ( f 是光滑函数) ，那么称肘是具有逐点高 1 7 第一章预备知识 东北大学硕士学位论丈 斯映射的曲面 1 8 东北大学硕士学位论文 第二章逐点高斯映射的正规螺旋面 第二章逐点高斯映射的正规螺旋面 本章根据逐点高斯映射的定义，介绍几类具有逐点高斯映射的正规螺旋面 2 1 逐点高斯映射的螺旋面 2 1 1 第一类正规螺旋面 r ( u ，1 ，) = ( u s i n h v ，u c o s h v ，c + 加) ，( u t er ，h o ，1 ，r ) 这里c 是常数，它的高斯映射为 g = ( - h c o s h1 ，- h s i n hv ，- - u ) 用对高斯映射作用，得 妊一尚g 故第一类正规螺旋面是具有逐点高斯映射的曲面 2 1 2 第二类正规螺旋面 r ( u ，1 ，) = ( u c o s h v ，u s i n h v ，c + h v ) ，( u e 尺，h 0 ，v r ) 这里c 是常数，它的高斯映射为 g = ( - h s i n hv ，- h c o s hv ，- u ) 用对高斯映射作用，得 娅器u g ( 2 + 2 ) 2 故第二类正规螺旋面是具有逐点高斯映射的曲面 1 9 第二章逐点高斯映射的正规螺旋面 东北大学硕士学位论文 2 1 3 第三类正规螺旋面 ，( 甜，v ) = ( c + ，u c o s v ， u s i n v ) ，( 甜r ，h o ，v r ) 这里c 是常数，它的高斯映射为 门 ( 一材， l ，= 一 h s i nv ，h c o s v ) q - - u 2 _ h 2 用a 对高斯映射作用，得 妊高g 故第三类正规螺旋面是具有逐点高斯映射的曲面 2 1 4 第五类正规螺旋面 咖= “+ 等一圳一爿吣叭地v 叫 这里c 是常数，它的高斯映射为 一 g 上二! 二墨 4 1 2 h u i 用对高斯映射作用，得 a g ：上g 2 u 2 故第五类正规螺旋面是具有逐点高斯映射的曲面 注：第四类正规螺旋面是退化的，本文不作考虑 2 2 正规螺旋面的主要结论 定理2 1 正规螺旋面都是调和曲面，并满足g = 2 k g ( 其中g 是高斯映射，k 是 高斯曲率) 证明根据旋转轴的类型分两种情况加以证明 ( 1 ) 以非类光向量为旋转轴的螺旋面耳为例 东北大学硕士学位论文 第二章逐点高斯映射的正规螺旋面 由第一类正规螺旋面矸的方程 r ( u ，v ) = ( u s i n h v ，u c o s hv ，c + 伽) ，( u e r ， o ，v r ) ， 对函数分别关于材和y 求偏导，得 吒= ( s i n h v ，c o s h v ，0 ) ， = ( u c o s h v ，u s i n h v ，h ) ， 则第一基本量分量及法向量n 为 e = ( ，：i ) = l ， 故 f = 纯，：t ) = h c 7 = 0 ， g = ( ，：，) = 办2 一“2 ， n = ，：l = ( - h c o s h v ，- h s i n h v ，一“) ， d = e g - f 2 = h 2 一“2 ( 1 + c 2 ) = h 2 一材2 ， k ：二竺：丛：二垡： 二竺 ：二垒： w lo l h 2 一“2 ( 1 + 厂：) 2 ( 厅2 一u 2 ) 2 ：u f ( h 2 _ u 2 ) _ 2 h 2 f , _ + u 2 f , ( 1 + 一f a ) ：o ， 2 d i d 产 所以，高斯映射g 为 g ：堡：， 4 0 , h 2 一“2 用对高斯映射作用，得 g = 一i 五兰兰二百f g = 2 k g h u 2 ， ( 2 一) 2 所以对于第一类正规螺旋面定理成立 ( 2 ) 以类光向量为旋转轴的螺旋面s 为例 由第五类正规螺旋面贸的方程 2 l 第二章逐点高斯映射的正规螺旋面 东北大学硕士学位论文 咖= 甜+ 等，一爿吣吮地v 叫， 对函数分别关于u 和v 求偏导，得 名= ( o ，1 ，- v ) ， = 卜地一爿 则第一基本量分量及法向量n 为 e = ( ，：f ，= r ) = 1 ， f = ( 屹，咒) = 0 ， g = ( ，：，：，) = - 2 h u ， 恤即卜也爿 故 d ：e g f 2 ：一2 h 越。 k = 嘉- 4 h = 去4 u ，2 “z 2 h = 0 ， 所以，高斯映射g 为 锯高肌 用对高斯映射作用，得 g = 2 k g 所以对于第五类正规螺旋面定理也成立 定理2 2 对于三维m i n k o w s k i 空间中的任意一个螺旋面，都有 五r = 2 6 h ( u ) g ( w 0 ) 证毕 东北大学硕士学位论文第二章逐点高斯映射的正规螺旋面 这里日是平均曲率，g 是高斯映射，ie g f 2i - s ( 脚一f 2 ) = w 2 证明根据旋转轴的类型分两种情况加以证明 ( 1 ) 以非类光向量为旋转轴的螺旋面s l 为例 由第一类正规螺旋面矸的方程 r ( u ，v ) = ( us i n h v ，u e o s h v ，厂( 材) + 枷) ，( “r ，h o ，v r ) ， 对函数关于甜和v 求偏导，得 ，：i = ( s i n h v ，c o s h v ，厂) ， = ( u c o s h v ，u s i n h v ，h ) ， 则第一基本量分量及法向量为 e = ( 屹，乞) = l + f “， f = ( 屹，r ) = 矿， g = ( ，) = h 2 一雄2 ， n = ，：| = ( u f s i n h v - h c o s h v ，u f c o s h v - h s i n h v ，一甜) ， d = e g - f 2 = 占( h 2 - u 2 ( 1 + 广”- 兰。要， h ( 材) ：u f ( u 2 _ h 2 ) _ 2 h 2 f , + 广u 2 f , ( 1 一+ f l u ) 2 d i d l 2 所以，高斯映射g 为 如业些酱u 2 筹f 掣= ( g i ，g 2 g 3 ) u = 1 2 = = = = = = = = - o2iu ，u j ，u ，- 办2 一( 1 + 佗) 一 由 珏南 ( 耥h 耥 v ， 得 盈= ( a ( u s i n h v ) ，厶( 材c o s h v ) ，五( 厂( “) + 伽) ) ， 第二章逐点高斯映射的正规螺旋面 东北大学硕士学位论文 a ( u s i n h v ) = 这里 因此 同理 故 ：蔓兰丝 办2 一材2 ( 1 + 厂吃) x ( u s i n h v ) = 2 h ( 甜) g 1 五( “c o s h v ) = 2 ( “) g 2 ， a ( s ( u ) + h v ) = 2 h ( 甜) g 3 ，= 2 9 h ( u ) g ( 2 ) 以类光向量为旋转轴的螺旋面s 为例 由第五类螺旋面西的方程 他= ”+ 譬川矿枷一爿吣 o v o ) ， 对函数关于对甜和v 求偏导，得 ，：f = ( o ，1 ，f 一1 ，) ， 斗地一爿 则第一基本量分量及法向量n 为 e = ( ，：| ，= f ) = l ， f = ( ，= ，) = ， g = ( ，) = - 2 h u ， n = r x 纠也乃也譬一， 2 4 一 r 一 东北大学硕士学位论文 第二章逐点高斯映射的正规螺旋面 d i = ie g - f 2i - 占( e g f 2 ) = 厂吨h 2 + 2 h u ， ( 占= 一1 ) ， 2 dd 1 2 所以，高斯映射g 为 根据 得 其中 故 良击肚 = ( g l ，g 2 ，g 3 ) ， 扛南 ( 耥h 耥1 l 盈= 卜吐五卜爿五一铆 = 4 u f 、t z 3 - 厂2 h 一2 f = h 3 ( 2 丁u r - y ) = 一2 ( “) g 1 = 一= 一= 一z 几m ， ww 五一驯一爿q 呻) g ，= 2 c h ( u ) g 定理2 3 对于三维m i n k o w s k i 空间中的任意一个正规螺旋面，都有 证毕 q h 2 一 笙2 得小 嘶 五 理同 第二章逐点高斯映射的正规螺旋面 东北大学硕士学位论文 这里g 是高斯映射，k 高斯曲率 g = 2 k g ， 证明以类光