（基础数学专业论文）纵向数据混合效应模型的统计分析.pdf

摘要 在调查或试验中存在着大量的纵向数据，所谓纵向数据是指对每个个体在不同 的时间点上测得的一系列数据与横向数据相比，纵向数据的一个主要优势在于它 可以有效地估计个体内和个体间随时间变化的趋势纵向数据广泛存在于如社会科 学、医学、药物学、经济学、农业和工业等领域中，因此研究纵向数据的统计分析 有重要的意义。在纵向数据中，虽然不同个体间可视为是相互独立的，但是同一个 体的多次观察数据间存在着不可忽视的相关性，恰当地处理这种相关性是做好统计 分析的关键。而混合效应模型提供了描述这种关系的一种有效方法，本文将围绕这 个主题展开讨论，归纳起来，本论文的主要内容有： 第一章综述性地介绍了本文所涉及的概念、背景、文献中相关模型和方法关 于纵向数据的一个重要研究方向是在较合理的模型假定下给出具有一定优良性的估 计为此本章较为详细的叙述了文献中两类相关且在实际中得到广泛应用的模型： 线性混合效应模型和变系数模型。同时本章还回顾了非参数回归模型的局部光滑估 计方法：n a d a r a y a - w a t s o n 估计、g a s s e r m i l l e r 估计和局部多项式估计方法；由于 局部多项式方法相对于其它两种方法存在着种种优点，本论文将使用局部多项式方 法给出未知函数的估计 第二章讨论了如下形式的关于纵向数据的随机截距模型： 矽巧= u i + z 易p + e 巧 i = l ，2 ，m ；j = 1 ，2 ，n i ， 其中啦为个体i 的观测次数，物为个体i 的第歹次观察值，x i j 舻为给定的 协变量；卢为总体未知参数；u i 是i i d 的随机效应，其期望和方差分别为e u l = p ，v a r ( u 1 ) = 吒 。；随机误差e 巧i i d 满足e e l l = 0 ，e e 1 = 仃； 0 0 ，且与蛳独立这 个模型也称为误差分量或方差分量模型( 见h s i a o ，1 9 8 6 ) ，其主要目的是对0 ，卢，元， 作出统计推断 我们在对u i 及e 幻没有任何分布设定的情况下，建立了参数口，卢，吒，盯；的无偏 估计显式表示；并且在较一般的条件下给出了上述估计量的强相合性，方差分量估 计的强收敛阶( 达到了最优的收敛速度) 和卢，2 估计的渐近正态性 第三章讨论了一般线性混合效应模型l a i r d w a r e ( 1 9 8 2 ) 研究了如下的模 型： m = 卢4 - 磊b i + qi = 1 ，2 ，m 同济大学博士学位论文( 2 0 0 5 ) 式中k = ( ：i ) m ，x i2 ( 雯i ) n 。p ，互= ( 雯i ) n i 口，包2 (丑x ， e i 啦州 为i i d 期望为0 ，方差为仃；( o 仃； o 。) 的随机误差 我们在不设定随机效应和随机误差分布的情况下，使用l s 方法和残差平方和 分别给出了模型未知参数卢，盯；估计及随机效应b i 预测的显式表示，而且深入研究 了这些估计量的大样本性质，在设计点列及一定矩条件下证明了各估计量的强相合 性和卢估计的渐近正态性 第四章研究了一个新的模型一随机截距变系数模型。h a s t i e t i b s h i r a n i ( 1 9 9 3 ) 提出了如下一般形式的变系数模型： y = x l f l ( 月1 ) + + 岛( 岛) + e 其中y 为响应变量，x = ( x t ，) 下为解释向量， 励( ) ，1 1 p 是一些未知函 数，r 1 j 一，称为效应改变( e f f e c tm o d i f y i n g ) 变量，即通过诸未知函数角( ) ，岛( ) 来改变x 1 ，的系数，觑( 而) ( f = 1 ，p ) 暗含了r 和x l 的一种特殊的相互 联系，e 是期望为0 、方差为蠢的独立于咒，扁的随机误差。 注意到r f 可能互不相同，也可能相同，也可能是某个托当r 1 ，取不 同的协变量时，由于“维数祸根”( t h ec u r s eo fd i m e n s i o n ) 问题，上述模型在实际问 题处理中有一定难度有时，人们常常将r 1 ，取成相同的一元协变量，如时 间( w e s t ，h a r r i s o n m i g o n1 9 8 5 ，h a s t i e t i b s h i r a n i1 9 8 7 和c l e v e l a n d ，g r o o s e s h y u 1 9 9 1 ) 如将变系数模型看成是一般线性模型的一种有用的推广( 参见s h u m w a y1 9 8 8 ， p 2 4 5 ) ，就存在着与线性模型相同的缺陷，即通常假定回归函数是非随机的，因而 不能很好地反映个体之间存在的差异借鉴线性混合效应模型的处理，本章中我们 提出了带随机截距项的变系数模型，即如下形式的模型： y = 乱+ x 下卢( 伽) + e 其中仳是随机变量，反映了试验的随机效应，x r p ，切r 为设计点列，卢( w ) = ( 卢1 ( 伽) ，伟( 伽) ) 下为未知函数系数，我们称此模型为随机截距变系数模型 同济大学博士学位论文( 2 0 0 5 ) 若在此模型中，对所有的z = 1 ，p ，屈( ) = 屈( 肠为常数) ，则此模型就化为随 机截距模型( r a d o mi n t e r c e p tm o d e l s ) ；若u 兰0 ，则退化为变系数模型；显见这一模 型是更具灵活性的一个新模型 在纵向数据的随机截距变系数模型中，我们使用局部多项式方法，给出了函数 系数屈( ) ( f = 1 ，p ) 的估计。通过应用函数系数的估计建立了随机效应方差尤及 误差方差仃；的估计并探讨了这些估计量的强相合性两个实例结果表明，这种 新模型是合理的、有用的，相应的估计量是有效可行的。 第五章进一步推广了上一章中的随机截距变系数模型。提出了下述更一般的模 型： y = x 下卢( 加) + z 下b + e 其中y r 为响应变量；x r p ，z r q ，叫r 为设计点列；卢( t t ，) = ( 卢1 ( 铷) ，岛( 伽) ) t 为未知函数系数；b i r q 为第i 个个体的随机效应向量，我们称此模型为变系数 混合效应模型 在纵向数据场合下，我们首先在假定随机效应期望口已知的情况下，利用局部 多项式方法得到了函数系数p ( ) 的估计，通过应用函数系数的这一估计，给出了随 机效应期望0 的l s 估计，最后依次得到了p ( ) ，盯；，仃；的估计及b i 的预测并研究 了这些估计量的强相合性及b f 预测，p 估计的渐近正态性模拟研究结果显示，这 种新模型是合理的，估计方法是较为理想的。 由于充分挖掘了纵向数据所提供的丰富信息，我们在不设定随机效应和误差分 布的条件下，成功建立了模型中未知量的显式估计，较为全面地探讨了相应估计量 的大样本性质；进一步，本论文提出了一类更具灵活性的新模型一变系数混合效 应模型，不同于变系数模型的文献，我们在固定设计情形下较为深入地研究了这种 模型；这对纵向数据的理论研究以及应用领域的拓广都是十分重要的 关键词：纵向数据，线性混合效应模型，随机截距模型，变系数模型，函数系 数，局部多项式估计，随机截距变系数模型，变系数混合效应模型，强相合性，强 收敛速度，渐近正态性 2 0 0 0 西文数学分类号：6 2 f 1 2 ，6 2 g 0 5 ，6 2 g 2 0 ，6 2 j 9 9 a b s t r a c t t h ed e f i n i n gf e a t u r eo fal o n g i t u d i n a ld a t as e t ，w h i c he x i s t so i lo c c a s i o n ss u c ha s s u r v i e so re x p e r i m e n t s ，i st h a ti n d i v i d u a l sa r em e a s u r e dr e p e a t e d l yt h r o u g ht i m e w h i l e i t i so f t e np o s s i b l et oa d d r e s st h es a 3 n es c i e n t i f i cq u e s t i o n sw i t hal o n g i t u d i n a lo rc r o s s s e c t i o n a ls t u d y , i nw h i c has i n g l eo u t c o m ei sm e a s u r e df o re a c hi n d i v i d u a l ，t h ep r i m e a d v a n t a g eo ft h ef o r m e ri si t se f f e c t i v e n e s sf o rs t u d y i n gc h a n g eb e t w e e na n dw i t h i ni n d i v i d u a l s i ti sm e a n i n g f u lt os t u d yl o n g i t u d i n a ld a t aa st h e r ea r eav a r i e t yo fd i s c i p l i n e s ， s u c ha ss o c i a ls c i e n c e ，m e d i c a ls c i e n c e ，e c o n o m i c s ，a g r i c u l t u r ea n di n d u s t r y ，w h i c hm a k e u s eo fi t l o n g i t u d i n a ld a t ar e q u i r es p e c i a ls t a t i s t i c a lm e t h o d sb e c a u s et h es e to f o b s e r v a - t i o n so nt h es a m ei n d i v i d u a lt e n d st ob ei n t e r c o r r e l a t e d t h i sc o r r e l a t i o nm u s tb et a k e n i n t oa c c o u n tt od r a wv a l i ds c i e n t i f i ci n f e r e n c e t h em i x e de f f e c t sm o d e lp r o v i d e sab e t t e r a p p r o a c ht ol o n g i t u d i n a ld a t aa n a l y s i s ，a n di nt h i sp a p e rad e e ps t u d yf o rt h em o d e lw i l l b em a d e t h ef o l l o w i n gi sa no r g a n i z a t i o no ft h i sp a p e r w es t a r ti nt h ef i r s tc h a p t e rb yas u m m a r i z a t i o no fc o n c e p t s ，b a c k g r o u n d ，m o d e l s i nl i t e r a t u r ea n da p p r o a c h e sr e l a t e dt o t h i sp a p e r a si sk n o w n ，a ni m p o r t a n tr e s e a r c h d i r e c t i o no fl o n g i t u d i n a ld a t aa n a l y s i si sh o wt oo b t a i ns o m en i c ee s t i m a t i o n su n d e ram o r e r e s o n a b l em o d e la s s u m p t i o n ，s ow ei n t r o d u c et w om o d e l sc a l l e dl i n e a rm i x e de f f e c t sm o d e l a n dv a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e lw h i c hh a v ew i d ea p p l i c a t i o n si np r a c t i c e a l s o ，w em a k e ar e v i e wo nt h r e ec o m m o n l yu s e dl o c a ls m o o t h i n gm e h o d so fu n i v a r i a t en o n p a r a m e t r i c r e g r e s s i o nm o d e l s ，t h a ta r en a d a r a y a - w a t s o ne s t i m a t i o n ，g a s s e r m i l l e re s t i m a t i o na n d l o c a lp o l y n o m i a le s t i m a t i o na p p r o a c h e sr e s p e c t i v e l y i nc o m p a r i s o nw i t ht h ef i r s tt w o m e t h o d s ，t h el o c a lp o l y n o m i a lf i t t i n gi sa na t t r a c t i v em e t h o db o t hf r o mt h e o r e t i c a la n d p r a c t i c a lp o i n to fv i e w ，s ow ew i l la d o p tl o c a lp o l y n o m i a lm e t h o dt oe s t i m a t et h eu n k n o w n f u n c t i o ni nt h em o d e l c h a p t e r2d i s c u s s e dt h ef o l l o w i n gr a n d o mi n t e r c e p tm o d e lf o rl o n g i t u d i n a ld a t a ： 可巧= u i + z 易卢+ e oi = 1 ，2 ，m ；j = l ，2 ，n i ， w h e r ey i jr e p r e s e n t st h ej t ho b s e r v a t i o nf o rt h ei t hs u b j e c t ；z 巧r pi saf i x e dd e s i g n v e c t o r ；pi sap 1v e c t o ro fu n k n o w np a r a m e t e r s ；讹i si i d r a n d o me f f e c t sw i t hm e a 3 ：l pa n df i n i t ev a r i a n c e 吨t h er a n d o me r r o re 巧，i n d e p e n d e n to ft 工i ，i si i d w i t hz e r om e a n a n df i n i t ev a r i a n c e 蠢t h i sm o d e li sa l s oc a l l e de r r o rc o m p o n e n t so rv a r i a n c ec o m p o n e n t s l v 同济大学博士学位论文f 2 d 0 5 ) m o d e l ( s e eh s i a o ，1 9 8 6 ) ，a n dt h em a j o ro b j e c t i v ei st oe s t i m a t e 口，商 v h e r ew ee s t a b l i s ht h ee x p l i c i tf o r m u l a eo fu n b i a s e de s t i m a t o r so fp ，卢，盯：a n d w i t h o u ta n ya s s u m p t i o n so nt h ed i s t r i b u t i o n so fr a n d o me f f e c t s 讹a n dr a n d o me r r o re 巧 o nt h eo t h e rh a n dw es t u d yt h e i rl a r g es a m p l ep r o p e r t i e sm o r ec o m p r e h e n s i v e l y ，s u c h a ss t r o n gc o n s i s t e n c yo fa l lt h ea b o v ee s t i m a t o r s ，t h es t r o n go p t i m a lc o n v e r g e n c er a t eo f v a r i a n c ec o m p o n e n t s ，a n dt h ea s y m p t o t i cn o m a l i t yo ft h ee s t i m a t e so f 卢，u n d e rm i l d c o n d i t o n s c h a p t e r3i sd e v o t e dt ol i n e a rm i x e de f f e c t sm o d e l 。l a i r d w a r e ( 1 9 8 2 ) c o n s i d e r e d t h ef o l l o w i n gm o d e l ： m = 匕 m = 五p + 磊b i + ti = 1 ，2 ，m b e t w e e n s u b j e c tk n o w nd e s i g nm a t r i c e sr e s p e c t i v e l y ；口i sap lv e c t o ro fp o p u l a t i o n p a r a m e t e r s ；b i r q ，t h er a n d o me f f e c t sf o rt h ei t hs u b j e c t ，i si i d 。s e q u e n c e ；r a n d o m e r r o r e i j ，i n d e p e n d e n to f 兢，i si i d w i t hz e r om e a na n df i n i t ev a r i a n c e 蠢 i nt h i sc h a p t e rw eo b t a i nt h ee s t i m a t e so fp a r a m e t e r 芦，盯；a n dt h ep r e d i c t o ro f r a n d o me f f e c t s 玩r e s p e c t i v e l yb yl sm e t h o da n ds u mo fs q u a r e so fr e s i d u a l sw i t h o u ta n y a s s u m p t i o n s o nd i s t r i b u t i o n so fr a n d o me f f e c t sa n dr a n d o me r r o r s a l s o ，w em a k ead e e p e r s t u d yo fs t a t i s t i c a lp r o p e r t i e so ft h ee s t i m a t e s ，f o ri n s t a n c e ，t h es t r o n gc o n s i s t e n c yo fa l l t h e s ee s t i m a t e sa n dt h ea p p r o x i m a t en o m a l i t yo ft h ee s t i m a t o ro f 口u n d e rt h ec o n d i t o n s o fd e s i g np o i n t sa n dm o m e n t s c h a p t e r4p r e s e n t san e wm o d e l r a n d o mi n t e r c e p tv a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e l h a s t i e t i b s h i r a n i ( 1 9 9 3 ) p r o p o s e dt h ev a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e l ： y = x 1 尻( r 1 ) + + 姊岛( 岛) + e w h e r eyi sar e s p o n s ev a r i a b l e ；x = ( x 1 ，砗) 下i sac o v a r i a t ev e c t o r ； 屈( ) ，1 l p ) a r eu n k n o w nf u n c t i o n s ；r l ，w h i c hc h a n g et h ec o e f f i c i e n to fx 1 ，耳 t h r o u g ht h eu n s p e c i f i e df u n c t i o n so f 尻( ) ，纬( ) ，a r ec a l l e de f f e c tm o d i f y i n gv a r i a b l e s ； t h ed e p e n d e n c eo f 屈( r ) ( ；= 1 ，p ) i m p l i e sas p e c i a lk i n do fi n t e r a c t i o nb e t w e e ne a c h m 缸 一烨 毗如、，咽1，11 吼； 蛐 ， 、姒 = 陀 产 缸 。 么 g dn m a ，磁 rn； r m q巧；磊咄厂，m = 乳 磊 妇p bt】一岛 下n； ，眦协；蜴哦 v i i 溉 墨 嗽 ， 驰蚶曲毗e、，出 同济大学博士学位论文( 2 0 0 5 ) v 1 r ta n d 五；e ，i n d e p e n d e n to fx z ，p q ，i sr a n d o me r r o rw i t hz e r om e a na n df i n i t ev a r i a n c e 盯至 n o t i c et h a tr lc a l lb ed i f f e r e n t ，s a m eo rm a yb es o m ev a r i a b l e 五w h e nr 1 ，马 a r ed i f f e r e n tc o v a r i a t e s ，t h em o d e lh a v ed i f f i c u l t i e si np r a c t i c a lu s eb e c a u s eo ft h ec u r s eo f d i m e n s i o n a sac o n s e q u e n c e ，w eu s u a l l ya s s u m et h a tr 1 ，嘞a r et h es a m eu n i v a r i a t e s ， f o re x a m p l et ob eas p e c i a lv a r i a b l es u c ha st i m e ( w e s t ，h a r r i s o n m i g o n1 9 8 5 ，h a s t i e t i b s h i r a n i1 9 8 7 和c l e v e l a n d s h y u1 9 9 1 ) i fw et a k et h ev a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e la sau s e f u le x t e n s i o no fc l a s s i c a ll i n e a rm o d e l ( s h u m m w a y ，1 9 8 8 ，p 2 4 5 ) ，t h e r ee x i s t st h es a m ed e f e c t sa sl i n e a rm o d e l ，t h a ti s ，t h er 争 g r e s s i o nf u n c t i o n 卢( 叫) i su s u a l l ys u p p o s e dt ob en o n r a n d o m ，s ot h ed i f f e r e n c e sb e t w e e n i n d i v i d u a l sc a nn o tb ew e l le m b o d i e d ab e t t e ra s s u m p i o ni st h a tt h ep a r a m e t e r s ，e g i n t e r c e p e ta n d o rc o v a r i a t ee f f e c t s ，m a yv a r ya c r o s si n d i v i d u a l s 。h e n c ew ee x t e n d st h e v a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e lt ot h ef o l l o w i n g ： 耖= u + x 下卢( 叫) + w h e r eui sar a n d o mv a r i a b l e ，w h i c hr e f l e c t st h er a n d o me f f e c t so ft h eu n i t s ；x r p ，w r a r ef i x e dd e s i g np o i n t s ；p ( 伽) = ( p l ) ，纬( t u ) ) 下a r eu n k n o w nf u n c t i o nc o e f f i c i e n t s t h i sm o d e li sc a l l e dr a n d o mi n t e r c e p tv a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e l w h e nf o ra l l ：= 1 ，一，p ，屈( ) = 屈，w h e r e 屈a r ec o n s t a n t s ，t h i sm o d e lb e c o m e st h e r a n d o mi n t e r c e p tm o d e l ；w h e nu 兰0 i tb e c o m e st h ev a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e l o b v i o u s l y t h en e wm o d e li sm o r ef l e x i b l e i nt h i sc h a p t e rw ed i s c u s st h en e wm o d e lf o rt h el o n g i t u d i n a ld a t a w eg i v eo u tt h e e s t i m a t o r so ft h ef u n c t i o nc o e f f i c i e n t so f 屈( ) ( f = 1 ，p ) b yl o c a lp o l y n o m i a la p p r o a c h u s i n gt h ee s t i m a t o ro ft h ef u n c t i o nc o e f f i c i e n t s ，w ed e r i v et h ee s t i m a t e so fr a n d o me f f e c t s v a r i a n c e 吒a n dr a n d o me r r o rv a r i a n c e 盯；，a n de s t a b l i s ht h es t r o n gc o n s i s t e n c yo ft h e s e e s t i m a t o r s t w or e a le x a m p l e so ft h eg r o w t ho fs t i k as p r u c ea n db o d y - w e i g h t so fc o w s s h o wt h a tt h em o d e li sr e s o n a b l ea n dt h ec o r r e s p o n d i n ge s t i m a t i o np r o c e d u r e sa r ee f f i c i e n t i nc h a p t e r5 ，t h ev a r y i n gc o e f f i e n tm i x e de f f e c t sm o d e la r ec o v e r e dw h e nt h eo b s e r - v a t i o nd a t ai sl o n g i t u d i n a ld a t a w ee x t e n d st h em o d e lo fc h a p t e r4t oam o r eg e n e r a l f o r m ： y = x 下p ( 伽) + z 下b + e 同济大学博士学位论文( 2 0 0 5 ) w h e r ey ri sr e s p o n s ev a r i a b l e ；x j 汐，z r q ，t 上，r p ( 叫) = ( 卢l ( ) ，绋( 伽) ) 下a r e e f f e c t sv e c t o ro ft h ei t hs u b j e c t m o d e l u n k n o w nf u n c t i o nc o e 伍c i e n t s ； w ec a l lt h i sm o d e la sv a r y i n g a r ef i x e dd e s i g np o i n t s ； 玩r qi st h er a n d o m c o e 伍c i e n tm i x e de f f e c t s f i r s tw ea s s u i n et h a tt h em e a nv e c t o rpo ft h er a n d o me f f e c t sa r ek n o w n t h e nw eg a i n t h ee s t i m a t o ro ft h ef u n c t i o nc o e f f i c i e n to fp ( ) b yl o c a lp o l y n o m i a lf i t b yt h i se s t i m a t e o ft h ef u n c t i o nc o e f f i c i e n t w ee s t a b l i s ht h el s eo fp a tl a s tw eo b t a i nt h ep r e d i c o ro f t h er a n d o me f f e c ti t s e l f , t h ee s t i m a t e so ft h ev a r i a n c ec o m p o n e n t sa n dt h ef i n a le s t i a m t e s o fp ( ) t h es t r o n gc o n s i s t e n c yo fa l lt h e s ee s t i m a t e sa n dt h ea s y m p t o y i cn o m a l i t yo ft h e p r e d i c t o ro fr a n d o me f f e c ta n dt h ee s t i m a t o ro f 日a r ed i s c u s s e d t h en u m e r i c a le x a m p l e s h o w st h a tt h em o d e li sr a t i o n a la n dt h ec o r r e s p o n d i n ge s t i m a t e sa r ee f f e c t i v e a sw em a k et h eb e s tu s eo ft h ea b u n d a n ti n f o r m a t i o ni n c l u d e di nl o n g i t u d i n a ld a t a ， w en o to n l yo b t a i nt h ee x p l i c i tf o r m u l a eo ft h ee s t i m a t e so fu n k n o w nm o d e lp a r a m e t e r s w i t h o u ta n ya s s u m p t i o n so nd i s t r i b u t i o n so fr a n d o me f f e c t sa n dr a n d o me r r o r s ，b u ta l s o s t u d yt h el a r g es a m p l ep r o p e r t i e so ft h ec o r r e s p o n d i n ge s t i m a t e sm o r eg e n e r a l l y m o r e o v e r ， i nt h i sp a p e rw ep r o p o s ean e wk i n do ff l e x i b l em o d e l v a r y i n gc o e f f i c i e n tm i x e de f f e c t s m o d e l i nc o n t r a s tw i t ha r t i c l e sa b o u tv a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e l s ，w em a k ead e e p e r s t a t i s t i c a la n a l y s i so ft h en e wm o d e lu n d e rf i x e dd e s i g np o i n t s i ti si m p o r t a n tb o t ht o t h et h e o r e t i c a ls t u d yo fl o n g i t u d i n a ld a t aa n dt oe x t e n di t sa p p l i c a t i o n k e y w o r d s ：l o n g i t u d i n a ld a t a ，l i n e a rm i x e de f f e c t sm o d e l ，r a n d o mi n t e r c e p tm o d e l ， v a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e l ，f u n c t i o nc o e f f i c i e n t ，l o c a lp o l y n o m i a le s t i m a t i o n ，r a n d o mi n t e r - c e p tv a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e l ，v a r y i n gc o e f f i c i e n tm i x e de f f e c t sm o d e l ，s t r o n gc o n s i s t e n c y , s t r o n gc o n v e r g e n c er a t e ，a s y m p t o t i cn o m a l i t y 2 0 0 0m rs u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ：6 2 f 1 2 ，6 2 g 0 5 ，6 2 g 2 0 ，6 2 j 9 9 声明尸明 本人郑重声明：本论文是在导师的指导下，独立进行研究工作所取 得的成果，撰写成博士学位论文! 继囱数握暹佥夔廛檬型的统让坌 盘二。除论文中已经注明引用的内容外，对论文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本论文中不包含任何未 加明确注明的其他个人或集体己经公开发表或未公开发表的成果。 本声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：湘) 晚 世 z 驴口坤年12 月心e l 第一立- w -引言帚一jl 昌 统计学研究的对象是大量社会经济和自然现象的一定总体的数量特征和数量关 系，因而其研究的出发点是数据。而纵向数据( 有些文献中也称为重复测量数据) 广泛存在于如社会科学、医学、药物学、经济学、农业和工业等领域中所谓纵向数 据( 1 0 n g i t u d i n a ld a t a ) 通常指研究对象在不同时间点上进行多次观测得到的数据。如 l a i r d 等( 1 9 8 4 ) 关于空气污染和健康研究的调查中对o h i o 的5 3 7 个被调查孩子从7 岁到l o 岁每年检查其是否感染呼吸系统疾病( 1 是、0 否) 得到的一系列数据。本 文将围绕纵向数据展开我们的讨论 1 1 纵向数据 纵向数据，在社会、经济中也称为p a n e ld a t a 。与通常的截面数据( c r o s s s e c t i o n a l d a t a ) 不同，纵向数据可以区分个体间的差异( c o h o r te f f e c t s ) 和时间方向上的效应( a g e e f f e c t s ) 为了便于更好的理解其意义，我们考虑不带截距项的简单线性回归模型， 设奶为第i 个个体的第j 次观测时间，在奶上分别测得其因变量物和p 维自变 量x i j ( i = 1 ，m ；歹= 1 ，他) ， 在横向研究中，n i = 1 ，则模型可表为： y i l = 阮戤l 十e i li = 1 ，m( 1 1 1 ) 其中艮代表两个子总体的x 相差一个单位时，y 差异的平均值，即y 在个体间的 变异 而在纵向场合下，线性模型可推广为： y i j = 阢t , i l + 尻( x i j x i l ) + e i ji = 1 ，m ；歹= 1 ，n i ( 1 1 2 ) 显然当j = 1 时，( 1 。l 。2 ) 就化为( 1 1 1 ) ，因而( 1 ，1 。1 ) ( 1 。l 。2 ) 中的如具有相同的意 义又由( 1 1 2 ) 一( 1 1 1 ) 得 可巧一y i l = 凡( z 巧一x i l ) + e i j q 1 i = l ，m ；歹= l ，礼t( 1 1 3 ) 可见尻表示对某个给定的观察对象，随着时间的变化当x 改变一个单位时，该时 间段内y 改变量的平均值，即时间方向上的效应 在横向研究中，若要估计个体随时间的变化趋势时，我们必须假定肠= 阮 而在纵向研究中并不需要这一较强的假设条件，并且即使昆= 玩，纵向研究也比 同济大学博士学位论文f 2 0 d 5 ) 2 横向研究更有效因为横向研究中关于勉的推断是基于具有不同x 值的观察对象 间的比较，由于某些不可测因素的影响，如环境、个人习惯等等，观察对象间有相 当大的差异，忽略这些差异得到的触估计有较大的误差，而在纵向研究中阮的估 计是在假定x 随时间变化条件下，通过比较同一个体在不同时间点上的观察值得到 的，是以自身为对照的，因而这些不可测因素的影响保持不变，所以在耽的估计 中这些不可测因素的影响被抵消了，故尻的估计更准确可靠。 在纵向研究中，自变量( 也称协变量) 可分为如下两类：个体内协变量( w i t h i n s u b j e c tc o v a r i a t e ) 和个体间协变量( b e t w e e n s u b j e c tc o v a x i a t e ) 个体内协变量也称为 个体内因素或时间相关因素，表示个体随时间变化的变量。当我们对因变量( 也称 响应变量) 随时间产生的变化感兴趣时，时间本身就是一个非常重要的自变量。