（基础数学专业论文）保不交算子的序与拓扑性质.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 保不交算子是r i e s z 空间上一类非常重要的算子，本文在阐述了相关历史 背景和预备知识后，主要讨论研究了保不交算子的值域问题、保不交算子类 的序和拓扑相关性质。 第一部分讨论了序有界保不交算子丁的值域为r i e s z 空间的刻画以及象 元描述等问题。首先，给出了保不交算子值域空间为r i e s z 空间的等价条件 是t e i t i e 或 t i e t e 。接下来在已有的结论的基础上得到，当i t i 还是 保区间算子时，保不交算子t 把主理想映成主理想；当丁还是满射及e 具有主 投影性质时，主带在保不交算子t 作用下的像也是主带。 第二部分，讨论了保不交算子类序相关性质。首先，较为系统地讨论 保不交算子之和仍为保不交算子的条件，并给出的另一种等价描述方式： 当j t iai s i o 时，t + s 为保不交算子当且仅当正+ 岛为保不交算子，其 中乃，岛分别为zs 在( i t iai s l ) d 的分解因子。其次，利用空间分解性质，得 n n 一不交算子等于佗个互不交的保不交算子之和。最后，提出了当有限个保 不交算子两两之和仍为保不交算子时，由这有限个保不交算子生成的带的所 有元素都是保不交算子。 第三部分，对保不交算子生成的主带关于算子范数为闭进行讨论，得到 当e ，f 为b a n a c h 格，f 为d e d e k i n d 完备空间，如果t ：e _ f 是序有界的保 不交算子，则丁d d 在4 ( e ，f ) 中关于算子范数是闭的，并且此时保不交算子全 体关于算子范数也为闭集。 关键词：b a n a c h 格；r i e s z 子空间：保不交算子；保区间算子：主带 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 a b s t r a c t d i s j o i n t n e s sp r e s e r v i n go p e r a t o r s ( d p o ) a r ei m p o r t a n ts p e c i a lo p e r a t o r s o nr i e s zs p a c e t h et h e s i sd i s c u s s e st h ep r o b l e m sa b o u tt h er a n g eo fd p 0a n d t h eo r d e ra n dt o p o l o g yp r o p e r t i e so fd p o i nt h ef i r s tp a r t ，i t sd e v o t e dt ot h ec h a r a c t e r i z a t i o no fr a n g es p a c eo f o r d e r e dd p oa n dt h ei m a g e sd e s c r i p t i o n f i r s t l y , i t sp r o v e nt h a tt h ee q u i v a - l e n c ec o n d i t i o n ，w h i c hi t sr a n g es p a c ei sr i e s zs u b s p a c e ，i st h a tt ei sc o n t a i n e d i ni t i eo ri t i ei sc o n t a i n e di nt e t h e nb a s e do no t h e rp e o p l e sr e s e a r c h e s ， i t sr i g h tt h a tw h e ni t ii si n t e r v a lp r e s e r v i n go p e r a t o r ，t h ei m a g eo fp r i n c i p a l i d e a le f f e c t e db yd p oti sp r i n c i p a li d e a l a n dw h e nd p oti ss u r j e c t i v e a n deh a sp r i n c i p a lp r o j e c t i o np r o p e r t y , t h ei m a g eo fp r i n c i p a lb a n de f f e c t e d 蚵t i sp r i n c i p a lb a n d i nt h es e c o n dp a r t ，t h eo r d e rp r o p e r t i e so fd p oa x ed i s c u s s e d f i r s t l y ，i s u m m a r i z et h ec o n d i t i o n st h a tt h es u mo ft w od p oa l s oi sd p o ，a n dt h e n g i v ea n o t h e rd e s c r i p t i o no fo n eo ft h e m ，w h i c hi st h a tw h e nt h ei n f i m u mo fl t i a n dl s ii s n tz e r o ，t h es u mo fd p ota n dd p osi sd p oi fa n do n l yi f t h es u mo ft 2a n d 岛i sd p o ，w h e r e 乃a n d 岛a r et h ec o m p o n e n t so fta n d s0 nt h ed i s j o i n tc o m p l e m e n to ft h ei n f i m u mo fta n ds s e c o n d l y , b a s e do i l t h cf a c t o f i z a t i o np r o p e r t yo fr e g u l a ro p e r a t o r ss p a c e ，i t sp r o v e nt h a tn d i s j o i n t o p e r a t o ri st h es u mo fnd i s j o i n t n e s sp r e s e r v i n go p e r a t o r sw h i c ha r em u t u a l l y d i s j o i n t f i n a l l y , ig i v ea l lc o n c l u s i o nt h a tt h ee l e m e n t so ft h eb a n dg e n e r a t e d b yf i n i t ed p oa r ea l ld p oi ft h es l l n 帽o fa r b i t r a r yt w o o ff i n i t ed p 0a r e d p o i nt h el a s tp a r t ，o nt h eb a s eo fm ys u p e r v i s o r sr e s e a r c ho ft h ec l o s e n e s s o fp r i n c i p a lb a n d si nl a t t i c e so fo p e r a t o r s ，s o m ec o n d i t i o n sc a l lb er e d u c e d s u p p o s e de a n dfb eb a n a c hl a t t i c ew i t hfd e d e k i n dc o m p l e t e d i ft h eo p e r - 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i i 页 a t o rtf r o met ofi sd p 0 ，t h ep r i n c i p a lb a n dg e n e r a t e db yti nt h er e g u l a r o p e r a t o r ss p a c e si sc l o s e di nt h es e n s eo fo p e r a t o rn o r i n a n dt h es e to fa l l d p 0a l s oi sc l o s e d k e yw o r d s ：b a n a c hl a t t i c e ，r i e s zs u b s p a c e ，d i s j o i n t n e s sp r e s e r v i n go p e r o a t o r ，i n t e r v a lp r e s e r v i n go p e r a t o r ，p r i n c i p a lb a n d 西南交通大学曲南父逋大罕 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密“使用本授权书。 ( 请在以上方框内打”) 嚣姊豁轹代地 日期：r 等聊二， 。 沙舌。y 指导老师签名： 日期： 西南交通大学学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研究工作 所得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体， 均已在文中作了明确的说明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承 担。 本学位论文的主要创新点如下： 1 探讨保不交算子值域空间性质，得到保不交算子值域空间为r i e s z 空间 的充分必要条件为：t e i t i e 或者i t e t e 。并给出了主理想和主带在 保不交算子作用下仍为主理想、主带的条件。 2 较为全面地总结了保不交算子之和仍为保不交算子的刻画条件，并利 用算子空间分解性质得到保不交算子之和仍为保不交算子的另一种描述。在 此基础上得到在有限个保不交算子两两之和仍为保不交算子的条件下，由这 有限个保不交算子生成的带其所有元素均为保不交算子的良好结果。 3 给出了当e ，f 为b a n a c h 格，f 为d e d e k i n d 完备空间时，由保不交算子 生成的带在正则算子空间中关于算子范数仍为闭的结论，并得出保不交算子 全体关于算子范数为闭的结果。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 1 1 选题背景 第l 章绪论 在上世纪二三十年代，f r i e s z 将格序结构引入到线性空间，提出向量格 概念( 后人以他的名字命名为r i e s z 空间) 后，引起众多的数学名家的关注， 如l k a n t o r o v i t c h ，h f r e u d e n t h a l 等人，其后数十年得到蓬勃迅速发展。若 将r i e s z 空间赋予某范数，满足相容性，成为赋范r i e s z 空间。这样经典赋范 空间( b a n a c h 空间) 中的众多结论与r i e s z 空间本身所具有的性质的结合，得 到了非常优美的结果，极大丰富了r i e s z 空间理论。 在r i e s z 空间理论中，研究r i e s z 空间e 与r i e s z 空间f 的关系时，类似代 数同态、拓扑同胚、嵌入映射等，我们需用到一类特殊的算子，即格 ( r i e s z ) 同态t ：线性算子t ：e _ f ，若xay = 0 令t x t y = 0 。 容易验证t 是一个正算子( z e + 号t x f + ) 。将格同态算子进行扩 展，可得到保不交算子( i y i = 0 号i t x l i t y i = o ) ，即将不交元 映成不交元。显而易见，正的保不交算子即为格同态。对于保不交算子 的研究可以追溯到上世纪六七十年代，m e y e r ，y a a b r a m o v i c h ，b e n d e p a g t e r ，w i c k s t e a d ，d r h a r t ，a k i t o v e r ，c b h u i j s m a n s ，e l a r e n s o n ， x i a o d o n gz h a n g 等人分别对保不交算子的有界性、乘法刻画、可逆性、分 解性、谱等方面进行了较系统深入地研究，得到了很多漂亮的结论。时 至今日，在p o s i t i v i t y 等著名数学杂志期刊上均仍有关于这些方面的论文发 表，2 0 0 5 年宋荣荣曾做了篇关于保不交算子可逆性的硕士毕业论文。 在研究保不交算子时，有两类问题引起较多的关注： 第一类问题是考察保不交算子的映像，如值域性质，理想、带在保不交 算子作用后是否仍为理想、带等，这类问题得到较为广泛的关注，牵涉到保 不交算子的本质性问题，并与一些新的算子类产生诸多联系，具体参考文 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 献【9 ，1 9 ，3 6 ，3 7 】。 第二类问题是考察正则算子空间中保不交算子类，只是近十几年的事 情，而且相关结论并不是很多。首当其冲的困难是，保不交算子的全体按 通常的线性运算规则不构成线性空间。也就是说保不交算子之和并不一定 为保不交算子，在某种程度上阻碍了这方面的研究进展。尽管如此，在文 献【1 ，2 ，1 5 ，1 8 ，3 3 】中就保不交算子之和仍为保不交算子的条件作了多方面的探 讨。另外，可以从如下两个方面来探讨保不交算子类的相关性质： ( 1 ) 由保不交算子生成的理想、带加以考烈3 , 3 3 ，3 4 , 3 8 , 3 9 , 4 1 l ： ( 2 ) 选取一类保不交算子使得其成为理想、带加以讨论【4 】o 本文在这两类问题的基础上出发，进行保不交算子序与拓扑性质的研究 探讨，得到一些新颖的结论。 1 2 文献综述 首先，考察保不交算子的映像问题。对于保不交算子的特殊类- 格同态， 它的值域是r i e s z 子空间，但是保不交算子的值域空间不一定为r i e s z 空间。 关于它的值域空间问题，目前仅有部分结果： 定理1 2 1【1 9 ，删设t ：e _ f 是序有界保不交算子，其中e 为r i e s z 空 间，f 为d e d e k i n d 完备空间，那么如下结论成立： ( 1 ) i t i e r ( t e ) ，其中冗( t e ) 表示由丁e 生成的r i e s z 空间； ( 2 ) i ( i t i e ) = i ( t e ) ，其中，( t e ) 表示由t e 生成的理想。 d r h a r t 进一步提出t e 为理想的等价条件： 一 定理1 2 2f 3 6 】设t ：e f 是序有界保不交算子，其中e 为r i e s z 空 间，f 为d e d e k i n d 完备空间，那么如下条件等价： ( 1 ) i 丁i 是保区间算子； ( 2 ) i t i e 是f 中的理想； ( 3 ) t e 是理想。 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 定理1 2 3【3 6 】设e 是d e d e k i n d 完备的r i e s z 空间，且其序共轭驴分 离e ，假定t l b ( e ) 是序连续的保不交算子，那么如下结论等价： ( 1 ) t 是统一保不交算子； ( 2 ) t e 是e 中的理想； ( 3 ) t + 是保不交算子。 对于主理想或主带在保不交算子作用下的像的性质，有如下结论： 定理1 2 4【9 3 7 】设t ：e _ f 是序有界保不交算子，其中e 为r i e s z 空 间，f 为d e d e k i n d 完备空间，那么对于任意的z e 如下结论成立： ( 1 ) t ( l ) t x( 2 ) t ( x d d ) ( t z ) 础。 其次，考查保不交算子之和的问题。1 9 9 2 年h u i j s m a n s 较早地提出关于两 个格同态之和仍为格同态的等价刻画( 这里记从e 至i j f 上所有格同态的全体 为h o m ( e ，f ) ) ： 定理1 2 5【3 3 1 设e 为a r c h i m e d e a n $ 量格，f 为d e d e k i n d 完备空间，则 如下结论成立： ( 1 ) s ，t h o m ( e ，f ) ，那么s + t h o m ( e ，f ) 当且仅当对于所有满 足乱a u = o $ j u ，仃e + 有s u a t v = 0 。 ( 2 ) 若马，岛l r ( e ，f ) + ，毋+ 岛h o m ( e ，f ) ，则下列条件等价： ( o ) & a 岛= 0 ； ( 6 ) 对所有的 i t e + ，s l ua 岛让= 0 ； ( c ) 蜀( e ) 上岛( e ) 。 一 随后b e n d ep a g t e r 和a r s c h e p $ 1 j 用值域带投影( 而：f _ 丁e ) d d ) 性 质得到两个保不交算子之和仍为保不交算子的刻画： 定理1 2 6【1 8 】设e 为a r c h i m e d e a n量格，f 为d e d e k i n d 完备空 间，st ：e f 为序有界的保不交算子。那么如下结论成立： ( 1 ) r s r t = 0 当且仅当s 上t 且s + t 为保不交算子； 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 ( 2 ) 丁在s d d 的分解因子为蜀s i i t i t ； ( 3 ) ( i r i s i i t i ) t 上s ，( i r l s l a i t i ) s 上t ，( ，r l s l i r l ) t 上( ，一 r i s l a i t i ) s ； ( 4 ) 下面三个条件等价： ( 口) s + t 是保不交算子； ( 6 ) ( i r l s l 例) ( s + t ) 是保不交算子； ( c ) ( ，一r l s l m ) r r r s = 0 。 并且得到在e 的理想上两个保不交算子之和仍为保不交算子的条件。 定理1 2 7【1 8 j 设e 为a r c h i m e d e a n 向量格，f 为d e d e k i n d 完备空 间，st ：e f 为序有界的保不交算子，且两者都是序连续的m a h a r a m 算 子( 即保不交算子的模是保区间算子) ，那么存在互不交的带曰1 ，岛，b 3 满 足b lv 岛vb 3 = e 且有t + s 在最上( i = l ，2 ，3 ) 是保不交算子。 最后考察正则算子空间中保不交算子类的相关研究成果。其一，关于保 不交算子主带元素的刻画。 定理1 2 ，8 p 3 设e ，f 是d e d e k i n d 完备空间，s ，t l ，( e ，f ) + ，t 为格 同态，则下列条件等价： ( 1 ) s 俨： ( 2 ) 对于任意的z e 有s x ( 乳) d d ； ( 3 ) 对于任意的z e 有s ( z ) c ( t ( x d d ) ) d d ； ( 4 ) 对q = e q 丁任意带口有s ( b ) c ( t ( 8 ) ) d d 。 d ep a g t e r 和s c h e p 在文献 1 8 】中对上结论作了进一步探讨，得出： 定理1 2 9【1 8 】设e 是a r c h i m e d e a n 空间，f 为d e d e k i n d 完备空间，s 丁 l ，( e ，f ) ，只t 为保不交算子，则下列条件等价： ( 1 ) s 掣： 一 ( 2 ) 对于任意的z e 有s z ( 亿) 砌； 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 ( 3 ) 对于任意的z e 有( s ( z 以) ) d dc ( t ( x d d ) ) d d ； ( 4 ) 对于e 中任意带b 有( s ( b ) ) 础c ( t ( b ) ) 削。 其二，考察正则算子空间中一类理想，其所有元素都是保不交算 子。f e t h ib e n a m o r 和k a r i mb o u l a b i a r 于2 0 0 6 年提出如下结论： 性质1 2 1 0 4 1 设e 为a r c h i m e d e a n 量格，f 为d e d e k i n d 完备空间， 则极大的j 一理想( 即其构成元素均为保不交算子且为理想) 是带。 并得到在一些特殊条件下正则算子空间中6 一理想和极大6 一理想的刻 画【4 ，t h e a r v m 3 1 ，3 3 】。 其三，考察保不交算子类的拓扑相关性质，最新主要结论如下： 定理1 2 1 1 3 9 1 设e ，f 都是d e d e k i n d 完备的b a n a c h 格，如果算子t ： e _ f 是格同态，则掣在厶( e ，f ) 中关于算子范数是闭的。 1 3 主要内容 本文主要内容关于如下几个方面： 第二章，介绍r i e s z 空间和r i e s z 空间上的线性算子方面的准备知识，并 较为精炼地总结了保不交算子的一些性质。 第三章，对保不交算子值域何时为r i e s z 空间作了相应的探讨，得到新颖 结果，并讨论了保不交算子将主理想和主带映为主理想和主带的条件。 第四章，首先系统地总结并深入地讨论了保不交算子之和仍为保不交算 子，利用算子空间分解性质得到另外一种描述方式；其次，对n 一不交算子 性质进行进一步地讨论；再次，讨论了有限个保不交算子生成的带的组成情 况；最后得出保不交算子全体是序闭集的结论。 第五章，讨论正则算子空间中保不交算子类关于算子范数的闭性，并总 结了从正则算子空间到保不交算子生成带的带投影的连续性和收缩性。 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 第2 章预备知识 本章主要介绍r i e s z 空间及其上的算子的相关概念及性质，并简要说明保 不交算子的一些基本性质，对于其它未解释术语或符号请参阅文献【2 l - 2 6 】。 2 1r i e s z 空间的基本介绍 首先给出r i e s z 空间的定义及其一些性质。 定义2 1 1【2 0 】设e 为一个实向量空间，并在e 上定义一个偏序关系 5 ( 满足自反性、传递性、反对称性) ，如果下列两个条件同时成立， ( 1 ) 对于任意的i ，9 ，h e ，如果i5g ，那么，+ h5g + ； ( 2 ) 对于任意的i e ，q r ，如果01i ，0 q ，那么01a ，； 那么称e 是偏序向量空间。如果此时e 关于偏序! 成为格( 即任意两 个元素都有上下确界) ，那么称e 是向量格或r i e s z 空间。其中上下确界分 别表示为 zv y = s u p x ，y ) ，xay = i n f x ，】 若x ，y e 且z - a _ y ，则称集合 z ：z5 z5 可】为e 的序区间，记为【z ，y 】。若 e 中的集合a 包含在一个序区问内，则称a 是序有界集。 例如凡维欧式空间舻，按一般定义的加法和数乘运算，是一个实向 量空间，定义逐点偏序关系：即对于x = ( z l ，x n ) 和y = ( y l ，蜘) ， 若x k 弧( 惫= 1 ，礼) ，则称x5y ，此时舻关于偏序5 是一个r i e s z 空 间。更多的例子如序列空间、函数空间、可积函数空间等参看文献 2 0 】。 现设e 是r i e s z 空间，集合e + = ，：05 ，e ) 称为e 的正锥，e + 中 的元素称为e 的正元。e 中元素的正部、负部和模分别表示如下： ，+ = ，v0 ，厂= ( - i ) v0 ，i f l = ，v ( 一，) 结合正、负部及模的概念，r i e s z 空间满足如下一些运算性质。 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 性质2 1 2【2 0 】设e 是r i e s z 空间，对于任意的，g ，h e ，下面结论成 立： ( 1 ) ，+ ，一e + ，( - f ) + = ，一，( 一，) 一= ，+ ，i s i = i ，i ； t 2 、l = l 七一l 一，l 七ar = q ， = | + | 一； ( 3 ) 0 ，+ 5i ，f ，0 ，一墨i s i ，- s 一! ，5 ，+ ； ( 4 ) ，兰9 当且仅当，+ ! g + ，g 一5 ，一； ( 5 ) ，vg4 - ，ag = ，+ g ，vg 一，ag = i ，一夕i ； ( 6 ) i ，ivl g i = | i ，+ 夕i l ，一夕| i ； ( 7 ) ( ，+ 夕) + 5 ，+ 4 - 夕+ ，( ，+ 9 ) 一5 ，一4 - 夕一； ( 8 ) l i ，l i g | 1 5i ，4 - 夕i ! f ，i4 - 1 9 i ； ( 9 ) 钍，u ，w e + ，( u + t ，) 5u a w 4 - v a w ，( 1 + g ) v w ! f v w + g v w 。 其次，给出r i e s z 空间中常涉及的的几个概念及其相应的一些性质。 定义2 1 3 2 0 1 e 是r i e s z 空间，假定e 中的任意子集继承了e 的序 关系： ( 1 ) v 为e 的线性子空间，如果对于y 中的任意两个元素，夕满 足，vg ，ag v ，则称y 为e 的r i e s z 子空间； ( 2 ) a 为e 的线性子空间，如果对于任意的，a ，满足i g i ! l ，i 能推 出夕a ，则称a 为e 的( 序) 理想； ( 3 ) b 为e 的理想，对于任意的集合d b ，如果厂= s u p ( d ) ，能推 出，b ，则称b 为e 的带。 由上述定义可知，每个带是理想，每个理想是r i e s z 子空间。任意个带 ( 理想、r i e s z 子空间) 的交仍是一个带( 理想、r i e s z 子空间) 。而且两个 理想之和仍是理想，但两个带( r i e s z 子空间) 之和不一定是带( r i e s z 子空 间) 。 对于r i e s z 空间e 的某非空子集d ，称所有包含d 的r i e s z 子空间的交为 由d 生成的r i e s z 子空间，记为r ( d ) ，类似地可以定义由d 生成的理想，d ， 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 而且有 i d = 91 1 9 i5l q l i + + ，i q n i ，| ，厶d ，a l ，o l n r ，礼n 十) 若是由单个元素。厂生成的理想，称为主理想，记为，表达式是： b = 夕l i g l5i q ，i ， a r ) 由d 生成的带记为b d ，当d 只有一个元素，时，由，生成的带称为主带。 当a 是理想时，由a 生成的带可记为刎，表示为： ， 【a 1 = ，i l ，i = s u p ( u ：缸a ，05u5i ，1 ) 而且由d 生成的带b d 与由d 生成的理想生成的带相同，即 而】= b d 。 设f ，夕为r i e s z 空间的e 中的两个元素，如果i f lai g l = 0 ，则称，与夕是不 交的( d i s j o i n t ) ，记，上9 。对于集合d 冬e ，称与d 中所有元不交的元素的 全体为d 的不交补，即 d d = ，el ，上夕，v g d 此时d d 为e 中的带，d d 的不交补d d d 称为二次不交补。 生成的理想、生成的带及不交补具有如下一些基本性质： 性质2 1 4 【2 0 】设e 是r i e s z 空间，g e + ，d ，d l ，d 2 为e 的非空子 集，a ，a k 为e 的理想，那么如下结论成立 ( 1 1i f 9 = i fa1 9 1 i f v g = i f + g = i | + 1 9 1 i d l u d 2 = i d l - fi d 2 ： ( 2 ) 【n 冬la k 】= n 冬1 a 七】， a 1 】+ + a k 】= 【a 1 + + a k 】； ( 3 ) ( n 冬la k ) 削= n 冬l ( a ) 烈，( d 1ud 2 ) d = d dnd ； ( 4 ) d d = ( 如) d = ( ) d 。 在r i e s z 空间中还常涉及序收敛的概念：设 z n ) 为e 中的网，如果在e 中 存在网阢lo ，使得对于每一个。满足i z q z l p q ，则称( 。口) 序收敛于x ， 记一z ( d ) 。最后给出几类常见且重要的r i e s z 空间的定义及其一些性质。 l 定义2 1 5【2 0 】设e 是r i e s z 空间， ( 1 ) 若对每一个钍e + ，满足 i n f n 一1 链：珏= 1 72 ， = 0 ， 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 则称e 是a r c h i m e d e a nr i e s z 空间，而且e 是a r c h i m e d e a n 的当且仅当对于e 中 的每一个带b 满足b = b d d 。 ( 2 ) 若对e 中的每一个有上界的非空子集d 都有上确界，则称e 是d e - d e k i n d 完备空间。此时对于e 中的每一个带b ，满足b + b d = e ，称之为投 影性质。即每个带都是投影带，那么此时任意两个带的和仍是带。 ( 3 ) 若对e 中的每一个有上界的非空可数子集d 都有上确界，则称e 是a - d e d e k i n d 完备空间。此时对于e 中的每一个主带z d d ，满足z d d + 一= e ， 称之为主投影性质。 ( 4 ) 若在e 上装备一个范数”i j 使得对任意的，9 e ，当j ，l ! 引能 推出0 川i i g l i ，则称e 为赋范r i e s z 空间，此时的范数称为r i e s z 范数， 且对于任意的，e ，有i i f l i = i i i f l l i 。若在此范数下e 还是完备的，则 称e 为b a n a c h 格。如果对于e 中的每一个网 z a 】- 满足01z 口tz 令i l z 口i it 忪i l 则称这个范数为f a t o u 范数；如果存在常数m l ，使得0 z dtz 兮 i i x l i m s u p l l x 口| l ，则称这个范数为弱f a t o u 范数。 根据定义及相应的一些性质可以知道d e d e k i n d 完备空间、仃一d e d e k i n d 完备空间、赋范r i e s z 空间都是a r c h i m e d e a n 的。在a r c h i m e d e a nr i e s z 空 间e 中，由e 中的非空子集d 生成的带为d 削。 2 2r i e s z 空间上算子及算子空间的基本性质 定义2 2 1 2 1 】设e ，f 为r i e s z 空间，t ：e _ f 是线性算子， ( 1 ) 如果对所有的05z e ，有05 死，那么称t 为正算子。从e 到f 上 的所有线性算子的全体记为l ( e ，f ) ，在l ( e ，f ) 上定义偏序s t 当且仅 当t s 为正算子，, 贝i j l ( e ，f ) 成为偏序向量空间。如果tv ( 一t ) 存在，则 称丁的模i t i 存在，并定义i t i = tv ( 一t ) 。 ( 2 ) 如果t 把e 中所有的序有界集a ，映成f 中的序有界集，则称丁为序有 界算子，所有序有界算子全体记为l b ( e ，f ) ； 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 ( 3 ) 如果t 能写成两个正算子之差，则称丁为正则算子，所有正则算子的 全体记为厶( e ，f ) 。 容易验证，正算子是正则算子，正则算子是序有界算子，但是序 有界算子不一定为正则算子，而且并非每一个正则算子都有模。 但当f 为d e d e k i n d 完备空间时，每个序有界算子的模存在，且l b ( e ，f ) 也 是d e d e k i n d 完备空间，此时序有界算子是正则算子，满足： l b ( e ，f ) = l r ( e ，f ) cl ( e ，f ) 算子空间中有如下两种常见的算子的范数： 定义2 2 2【2 1 】设e ，f 为赋范r i e s z 空间，t ：e f 为线性算子，其算 子范数定义为： i i t l l = s u pl i t x l l = s u p l l t x l i ：i 1 ) l l z l = l 正则算子范数定义为： i t t l l ，= t 川= 册pi ii t i x l l = s u p l ll t l x l z | l 1 ) 在厶( e ，f ) 上算子范数与正则算子范数不一定等价，如果e ，f 为b a 广 n a c h 格，f ：为d e d e k i n d 完备空间，那么0 ( e ，f ) 在正则算子范数意义下 是d e d e k i n d 完备的b a n a c h 槲2 1 1 。最后给出如下一个算子： 定义2 2 3 2 1 1 设t ：e _ f 为正算子，如果对于所有的e e + ，t 0 ，e 】= 【0 ，t e l 都成立，则称丁为保区间算子( i n t e r v a lp r e s e r v i n g ) 。 保区间算子与格同态具有所谓的“共轭”性质，具体参看文献 2 l 】，而 且保区间的算子的值域为理想。 性质2 2 4 2 1 】设t ：e _ f 为正算子，则t 是保区间算子的充分必要 条件是丁e 为f 的理想。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 1 页 2 3 保不交算子的基本性质 首先，给出保不交算子的定义和基本性质，本节无特殊说明，均假 定e ，f 为a r c h i m e d e a nr i e s z 空间。 、 定义2 3 1 【2 1 ，2 6 】如果算子t ：e _ 尸对于所有满足ai y i = o 的z ，y e 都能推出i t x iai t y l = 0 ，则称t 为保不交算子。正的保不交算子称为格同 态，即zay = 0 兮t x at y = 0 ，并记格同态的全体为h o m ( e ，f ) 。 换言之，保不交算子将e 中的不交元映成f 中的不交元，且保不交算子 的定义可作如下简化。 性质2 3 2 4 1 设算子t ：e _ e z ，y e ，丁为保不交算子的充要条件 是对于所有满足z a y = o 都能推出l 死iai t y i = 0 。 证明充分性，条件是zay = 0 兮i t x iai t y i = 0 。现假定口，b e ，i a ia1 6 l b = 0 ，$ l j a + ab + = 0 ，由条件矢, h i t ( a + ) ial t ( b + ) i = 0 。同理， i t ( a 一) iai t ( b 一) i = 0 ，i t ( a + ) iai t ( b 一) i = 0 ，i t ( a 一) iai t ( b + ) i = 0 那么( i t c a + ) l + i t ( a 一) i ) a ( i t ( b + ) i + i t ( b 一) 1 ) = 0 。又因为 i t a i5i r ( a + ) i + i t ( a 一) i ，i t b i5i t ( b + ) l + i t ( b 一) i 贝j j l t a ai t b i = 0 ，t 为保不交算子。必要性：显然成立。 本文所讨论的保不交算子均是序有界的，有时称序有界的保不交算子 为l a m p e r t i 算子，它有如下一个重要的性质。 性质2 3 3 2 1 】设t ：e f 为保不交算子，如果丁是序有界的，那么 对任意的z ，y e + 有( 儿) + a ( t y ) 一= 0 。 由定义知道保不交算子是格同态的拓广。然而，格同态所具有的一些性 质，保不交算子并不满足。尽管如此，二者间仍存在着非常强的联系。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 2 页 性质2 3 41 2 1 1 设t ：e _ f 为保不交算子，如果t 是序有界的，那 么t 的模i 丁i 存在，而且满足对任意的z e ，有 i t ( z ) i = i t ( i x l ) i = i t l ( i x l ) 进一步地，l 丁i ，t + ，t 一是格同态并满足对任意的z e + ，有 t + z = ( t x ) + ，t z = ( t x ) 一 性质2 3 5 【4 j 如果线性算子t ：e f 的模i t l 存在，则t 为保不交算 子当且仅当l t l 是格同态。 因此序有界的保不交算子为两格同态之差( t = t + 一t 一) ，那么对于 保不交算子而言，序有界性与正则性是等价的。同时并非所有的保不交算子 都是序有界的 2 1 2 7 1 。事实上如果e 上所有的保不交算子都是序有界的，那么 对e 的要求是非常苛刻的【5 ，2 6 ，3 l 】。而且保不交算子为序有界的刻画是： 定理2 3 6【2 8 】设t ：e f 为保不交算子，t 是序有界的充要条件 是，对每个z ，y e 若! 则有i t x i5l t y i 。 最后给出保不交算子的范数的性质，在前面曾提到算子范数与正则算子 范数是不相同的，然而对于保不交算子而言，两者等价。 性质2 3 7【2 6 l 设e ，f 是赋范r i e s z 空间，t ：e _ f 为序有界的保不交 算子，那么 l i t i i r = i i t i l 证明由于t 为序有界的保不交算子，那么 i 丁( z ) i = i t ( i x l ) i = i t l ( i x l ) 注意到，在赋范r i e s z 空间中，有i i t x l i = i i i t x l l i ，因此t 的算子范数为： i i t l l 2 s ：p 1 i i t x l l = s u pi l l t x i i = l = z 川 忙0 = 1 t 的正则算子范数为： i i t i i r = l i l t i l l = 忙s u 忙p 。i l r l z l | = i 器叫i l = 忙s u 忙p 。i i i t i i z i i | = i i s 圳u ：p 。i i f t x l l l 因此，l i t l l ，= i i t i l 。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 3 页 第3 章保不交算子的值域性质 在r i e s z 空间上的算子理论研究中，较少涉及算子的值域为r i e s z 空间的 问题： 一个算子的值域空间是否为r i e s z 空间? 在各类文献中，一般均假定其值域空间为r i e s z 空间，或者考虑由值域空间生 成的r i e s z 空间。本章就此问题讨论保不交算子的情形，得出一些条件。同时 探讨了主理想和主带在保不交算子作用下其像元等问题。如无特殊说明，均 假定e ，f 为a r c h i m e d e a nr i e s z 空间，t ：e _ f 为序有界的线性算子。 3 1 保不交算子的值域空间 由文献 2 4 】知道，格同态的值域空间仍为r i e s z 空间，但是对于保不交算 子而言，其值域空间则不一定为r i e s z 空间【3 5 】。尽管如此，由保不交算子和格 同态的联系，可以找到某种刻画条件。 当丁为序有界的保不交算子，那么丁的模f t i 存在而且i t i 为格同态， 此时i t e 为f 的r i e s z 子空间。而且i t i ecr ( t e ) ，其中r ( t e ) 为丁e 生成 的r i e s z 子空间。事实上，对于任意的0 z e ，i t i x = l t x i r ( t e ) ，因 此 t i e r ( t e ) ，且这种包含关系可以是真包含f 1 9 , 3 6 】。 首先引入算子的零空间和核的概念。 定义3 1 1 2 1 】设t ：e f 是序有界线性算子，t 的模存在， ( 1 ) t 的核( k e r n e l ) 定义：为k e r ( t ) = - f z ：t x = 0 ，z e 】； ( 2 ) t 的零空间( n u l ls p a c e ) 定义为* = z ：i t l ( i x l ) = 0 ，z e ，。 容易验证，坼是e 的理想；当丁是保不交算子时，k e r ( t ) 是理想，而 且t 的零空间与它的核相同，同时有如下性质： 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 性质3 1 2设t ：e _ f 为序有界的保不交算子，则 k e r ( t ) = n r = k e r ( i t i ) 证明( 1 ) 若x k e r ( t ) ，n o = i t x i = i t i ( i x i ) ，从而z y r ；反 之，若x n r ，那么o = i t l ( x 1 ) = i 死i ，所以几= 0 ，即z