（基础数学专业论文）一些李代数的形心.pdf

一些李代数的形心 摘要：本文的主要目的是研究单纯李代数的子代数的形心着重讨论了这些李代数 的极大幂零子代数和b o r e l 子代数形心的结构，证明了所有单李代数极大幂零子代数的 形心的维数比该李代数的秩大一；b o r e l 子代数的形心只包含数乘变换对于典型单李 代数的子代数，我们主要通过相应的矩阵代数来讨论；对例外单李代数的子代数，我们 更侧重于通过对其根系的结构的分析来研究它们的形心同时，我们还对所有抛物子代 数的形心进行了刻画利用类似的方法，我们研究了h e i s e n b e r g 代数的形心 关键词：形心；根系；典型李代数；幂零李代数；可解李代数 t h ec e n t r o i d so fs o m el i ea l g e b r a s a b s t r a c t ：t h em a i np u r p o s eo ft h i sp a p e ri st oc o n s i d e rt h ec e n t r o i d so fs u b a l g e b r a so f s i m p l el i ea l g e b r a s w ed i s c u s sc e n t r o i d so fm a x i m a ln i i p o t e n ts u b a l g e b r a sa n db o r e ls u b a l g e 。 b r a so fs i m p l el i ea l g e b r a s ，a n dp r o v et h a tt h ed i m e n s i o no ft h ec e n t r o i do fm a x i m a ln i l p o t e n t s u b a l g e b r a si so n eb i g g e rt h a nt h er a n ko ft h el i ea l g e b r aa n dt h ec e n t r o i do fe a c hb o r e ls u b - a l g e b r ac o n t a i n so n l ys c a l a rm u l t i p l i c a t i o n s f o rs u b a l g e b r a so fc l a s s i c a ls i m p l el i ea l g e b r a s ，w e d i c u s sc e n t r o i d sm a i n l yb yt h em a t r i xa l g e b r a s ；f o rs u b a l g e b r a so fe x c e p t i o n a ls i m p l el i ea l g e - b r a s ，w ei n v e s t i g a t ec e n t r o i d sm a i n l yb yt h ea n a l y s i st ot h er o o ts y s t e m m e a n w h i l e ，w ed e s c r i b e t h ec e n t r o i d so fp a r a b o l i cs u b a l g e b r a s i nt h es i m i l a rw a y , w es t u d yt h ec e n t r o i d so fh e i s s n f b e r g a l g e b r a s k e y - w o r d s ：e e n t r o i d ；r o o ts y s t e m ；c l a s s i c a ll i ea l g e b r a ；n i l p o t e n tl i ea l g e b r a ；s o v l a b l e l i ea l g e b r a f y 工 日 r s n s g ( a ) z ( a ) e n d ( a ) 记号 数域 数域f 上的向量空间 数域f 上的李代数 李代数工的c a - t a n 子代数 工关于日的根系 工关于日的素根组 一些正根集合 所有正根向量组成的子代数 与s 相应的正根向量构成的子代数 代数a 的形心 代数a 的中心 代数a 的线性变换全体 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 研究生签名：日期 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学，中国科学技术信息研究所，国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究 生院办理 研究生签名： 导师签名：雌 日期：壁：垫2 第一章前言 1 1 问题的背景 本文的主要目的是研究单李代数的子代数的形心 对于域上任意非结合代数a ，它的形心是指集合c ( a ) = ，e n d a t f ( a b ) = a f ( b ) = f ( a ) b ，n ，b 舢显然，形心对线性变换的复合来讲是封闭的，因此，形心是e n d a 的子代 数事实上，若以m u l t ( a ) 表示由 中元素的左乘变换和右乘变换生成的子代数，那么 m u l t ( a ) 是结合代数e n d a 的子代数，而且c ( a ) 是m u l t ( a ) 在e n d a 中的中心化子由 于任意非结合代数的形心都是结合代数，而结合代数的结构是大家所熟知的，所以通过 形心来研究非结合代数是研究非结合代数的一种有效途径 事实上，在这方面已经有不少工作在【1 】中，b l o c k 研究了微分单代数( 不一定是 结合的) 的形心，并由此刻画了微分单代数的结构，得到了与环理论中w e d d e r b u r n a r t i n 定理类似的结果，由此得到的对素特征半单纯李代数的结构的刻画在对半单纯李代数的 研究中起重要作用k a c 3 】和c h e n g 2 把b l o c k 的结果推广到了历阶化的代数上，利 用形心，他们研究了李超代数的结构，由此得到的单李超代数的分类定理被认为是迄今 为止这方面最经典的结果张雪梅，周建华1 9 把他们的结果推广到了更一般的情形，他 们将b l o c k 1 】、k a c 3 】和c h e n g 2 】的工作推广到了微分单c o l o r 代数，证明了：对任意的 微分单c o l o r 代数a 及其c o l o r 导子集合d ，a 是d 单的当且仅当它的形心c ( n ) 是d 单 的，其中，形心c ( a ) 是含单位元的f 可交换的结合c o l o r 代数，d + 是由d 确定的c o l o r 导子的集合在此基础上，他们刻画了相应的微分单c o l o r 代数的结构 我们知道，对有限维单结合代数的情形，形心在对b r a u e r 群和可除代数的研究中起 重要作用据 6 】 一个单代数( 不一定是结合的) 的所有标量扩张仍然是单的当且仅当它 的形心是由基域中的标量所组成为了讨论更一般的情形，对于任意非结合代数a 以及 元素a ，b ，c a ，称( o ，b ，c ) = ( a b ) c n ( k ) n ，b ，c 的结合子a 的中心定义为满足：n = 口z 和( n ，6 z ) = ( n ，z ，b ) = ( z ，d b ) = 0 的所有的z 所构成的集合显然，a 的中心是其子代 数，而且还是可交换的，结合的子代数如果a 含单位元1 ，那么从c ( a ) 到a 的映射 ，+ i ( 1 ) 是从a 的形心到a 的中心的代数同构若记a ( 1 ) 表示所有乘积a b ( a ，b a ) 所生成的子代数，则当a = a ( 1 ) 时，称a 是完全的( p e r f e c t ) 容易证明，如果 是完全 的，则因为f g ( a b ) = f ( g ( a ) b ) = g ( a ) f ( b ) = g ( n ，( b ) ) = g s ( a b ) ，玛b a s ，g g ( a ) ，c ( a ) 是可 交换的如果形心是可交换的，那么a 可以看作是形心c ( a ) 上的代数，相应的运算定 义为，口= n ， s ( - b ) = ( f a ) 6 = n ( ，6 ) ，n ，b a ，口似) 如果4 没有非零的理想l ，满足 l 2 东南大学硕士学位论文 i j = 0 ，则称 是素( p r i m e ) 代数可以证明，素代数a 的形心一定是整环，而且a 是一 无挠g ) 模形心也出现在对导子代数的研究中如果，g ( a ) ，且0 是a 的导子，那 么弦也是a 的导子换言之，形心亦可用于构造代数的导子 1 2 研究现状 形心是研究代数结构的一种重要工具，但目前人们对一般代数的形心的结构所知甚 少众所周知，由s c h u r 引理，单代数的形一5 - 是域，所以形心经常出现在对非单代数的研 究中一般而言，不可分解李代数的形，5 - 是局部环，但这一结论的证明非常困难就我 们所知，目前为止，系统、完整地刻画某一类代数的形心的工作当推m e l l i v e 4 对于幂零 李代数的形心和g b e n k a r t 和e n e h e r 【6 】对于e x t e n d e da 珏 m e 李代数及有限根分次李代数 的形心的研究 m e u i v e a 1 研究了有限维单李代数的极大幂零子代数的形心的结构如果一个代数的 形心中只包含一些显然的元素，即如果形心由数乘变换和中心导子生成，则这样的形心 称为是小的( s m a l l ) m e l l i v e 的工作强烈地依赖于对根系结构的研究，他所得到的结果主要 以下述命题为基础： 设口是代数闭域f 上的单李代数l 的极大环面子代数，r 和分别是相应的根系 和素根组，s 是一些正根的集合，并且s 对于根的加法是封闭的，m 是相应的正根向 量张成的子代数，若旧地】m ，则m 是幂零子代数，而且s 的形心是小的 通过对各类单李代数的根系逐一验证，m e l l i v e 证明了所有单李代数的幂零子代数 肌的形心都是小的，从而极大幂零子代数的形心也是小的；同时，m e l l i v e 在他的博士论 文中通过逐一验证的办法，对四类c a f t a n 型李代数的幂零子代数的形心也进行了刻画 g b e n k a r t 和e n e h e r 在 6 】中对一些李代数的形心作了更深入的研究，他们的结果 依赖于对分次代数、具有环面子代数的李代数( k a c - m o o d y 代数和李环面) 、张量积代数 和圈代数以及被有限根系分次的李代数的形心的刻画，他们着重讨论了形心与中心导子 的联系，利用已有的结论对e x t e n d e da 伍c i n e 型李代数和根分次李代数的形心进行了具体描 述g b e n k a r t 和e n e h e r 的结果不仅表明了形心可以用于刻画e x t e n d e da 伍n e 李代数和 t o r o i d a l 李代数的结构，同时还显示了形心对于研究其它非结合代数的重要价值 我们将会看到，m e l l i v e 的结论对单李代数的b o r e l 子代数、抛物型子代数同样成立， 即这些李代数的形心也都是小的目前，大部分已知的结果中所刻画的形心均是小的 但几乎所有已知结果并没有对这些小的形心进行进一步的讨论然而，虽然小的形心里 的元素只有数乘变换和中心导子，但它们的结构仍然可以相差很大例如，单李代数和 可交换李代数的形心都是小的，但单李代数的形心是域，而可交换李代数的形心是李代 第一章前言 数上的线性变换全体所以，即使同样都是小的形心，它们的结构仍然可以千差万别 因此，要更好地理解各类李代数的形心，仍有待我们对之作更进一步的研究 1 3 本文的主要工作 本文的主要目的是研究各类单李代数的极大幂零子代数、极大可解子代数以及抛物 型子代数的形心对于前两者，利用共轭性，我们只需要讨论由各个单李代数的由一极 大环面子代数以及相应的某个素根组所确定的极大幂零子代数和极大可解子代数的形心 即可对于典型单李代数，我们主要通过相应的矩阵代数来讨论。因为，这时，他们的极 大环面子代数以及相应的根空分解可以用相应的矩阵单位明确地表示出来；对五类例外 李代数，我们更侧重于通过对其根系的结构的分析来研究它们的形心类似的方法也适 用于对抛物型子代数的形心的描述最后，我们将上述用于讨论单李代数的子代数的形 心的办法，讨论了h e i s e n b e r g 李代数的形心 1 4 一些约定 除非特别声明，本文中f 均表示数域，所有的向量空间均以f 为系数域假设y 是 数域f 上的向量空间，工是数域f 上的李代数，日为工的c a r t a n 子代数，r 是l 关于 日的根系，是固定的素根组，s 是r 中一些正根集合，s 是与s 相应的正根向量生 成的子代数，是所有正根向量生成子代数，b ( ) 为相应于的b o r e l 子代数，p ( ) 为相应于的一抛物子代数，c ( a ) 代数a 的形心，z ( a ) 代数a 的中心e n d ( a ) 代 数a 的线性变换全体假设l = h + l 。是李代数l 关于极大环面子代数日的根空 a e r 间分解显然，形如b ( a ) = h + l 。的子代数为l 的极大可解子代数类似地，形 a e r + 如n ( a ) = 厶的子代数为工的极大幂零子代数我们称能表示成上述形式的极大可 a 儿 解子代数为标准b o r e l 子代数类似地，称能表成上述形式的极大幂零子代数为标准极大 幂零子代数可以证明，在l 的自同构群下，任一极大可解子代数与一标准b o r e l 子代 数共轭，任一极大幂零子代数与一标准极大幂零子代数共轭因此，本文中只须讨论标 准b o r e l 子代数和标准极大幂零子代数即可 3 第二章极大幂零子代数的形心 本章主要介绍各类单李代数的极大幂零子代数的形心m e l l i v e 在【4 】中对这些子代 数形心做过研究，证明了这些幂零子代数的形心只包含一些显然的元素，他称这样的形 心是小的但他没有对这些小的形心做具体的刻画，本章的主要目的是要对它们的具体 构成作明确的描述我们的主要结论是 定理2 1 ：假设工是单李代数，是l 的极大幂零子代数，c ( n ) 是的形心， 则c ( n ) 是小的，而且，d i m c ( l ) = r a n k ( l ) + 1 其中，r a n k ( l ) 指李代数l 的秩，即工 的c a f t a n 子代数的维数 一 一 我们将对各类单李代数逐一验证定理的结果对于典型单李代数，我们是通过相应 的矩阵代数进行验证的，对于例外李代数则主要是通过其根系的构造进行验证 对风型单李代数的情形，一方面由于验证过程与b ，岛型单李代数的情形类似；另 一方面，由于将马型单李代数的全部正根列出篇幅太大，所以我们将这一情形的证明过 程略去 2 1与根系有关的一些结果 我们需要用到m e l l i v e 4 】中引入的一些概念及结果； 定义2 1 1 ；设工是李代数，妒e n d ( l ) 若妒0 ，并且i p ( 工) cz ( 工) ，l p ( 工2 ) = 0 ，则 称妒为工的中心导子如果李代数工由数乘变换和中心导子生成，则称其形心c ( l ) 为 小的( s m a l o 对于李代数l ，m ( l ) 记l 的中心导子的集合很显然中心导子都是形心里的元素 如果z ( l ) 0 ，并且l l ( 1 1 ，那么，一定有f i d c f i d o m ( l ) g ( l ) 例如对于h e i s e n b e r g 代数工，l 有一组基 a i ，b i l l i n ) up ) ，使得k ，b j 】= 6 i , j z ，k ，a j 】_ b i ，b j l - o 肛，习= 0 令l 1 = 工( 1 ) = z ( l ) 0 ，所以有c ( l ) = f i d o m ( 工) 注：由中心导子的定义易知，中心导子一定在形心中，但反过来不一定成立可以证 明，若李代数l 满足z ( l ) = 0 或l = ( ，那么，c ( l ) 中不包含中心导子例如，典型 单李代数和微分单c o l o r 李代数满足上述条件，它们的形心均不包含中心导子 定义2 1 2 ：设s 是半单李代数l 的关于某一极大环面子代数日在一素根组之下的 正根集合，如果它包含正根子集合m = o ，反o t + p ，q 口一o t ，口一所，其中a p ，o t + 卢以 则称此集合为好的国删 定义2 1 3 ：设r 是半单李代数工的根系，s 是其正根集合，对任意的o t s ，e n 是 4 第二章极大幂零子代数的形心 对应的正根向量，假设m 是由向量 e 。i n s ) 生成的子空间，若满足 小= 酣 则m 是工的幂零子代数，这时我们称_ s 为有用的 ”咖t 0 集合 定理2 1 1t 设s 为有用的正根集合，若s 不包含好的集合，那么予代数耽的形 心是小的 证明：假设不存在好的正根集合；那么对任意的 仉p ) cs ，使得n + p 是根， d i m ( i m ( a d e 。) n x m ( o a e # ) ) = 1 若【e a ，纠0 ，那么妒( e 。+ 口) = c e 叶口，其中c f 因此如果 妒g ( m ) 是幂零的，则有妒( e 叶口) = 0 但孵由 i m ( a d e 。) 0 1 m ( a d e t ，) h p s n + p 础 故妒( 牌) = 0 对所有的幂零形心映射，所以子代数的形心是小的 定理2 1 2 ：设s 为a d e 型单李代数的有用正根集合，那么子代数地的形心是小 的 证明；令j 0 是a d e 型李代数的正根集合，那么所有的根长度相等而且所有的根 链的长度至多为2 ，假设找到集合 a ，反n + p ，吼d n ，口一册，n p ，a + p 口珥由于 仃一a 和口一p 是根，所以 z 器= ，= z 器 但 z 踹= z 器+ z 器铂 据此可推出a = n + p 若s 为有用的集合，那么s 中不存在好的集合 n ，反口+ 只以口一 o t ，口一所，由定理2 1 2 可知肌的形心是小的 定理2 1 3 ：设s 是g 2 型李代数的有用正根集合，那么m 的形心是小的 证明：因为岛型李代数只有六个正根，验证表明不具有好的根集合故此定理得 证 定理2 1 4 ：若s 关于加法是封闭的，那么肌的形心是小的 此定理的证明见4 1 我们还需要用到 6 】中的一些结果 定理2 1 5 ；假设口是代数a 的任意子集，b 在4 中的零化子定义为a n n a b = 伽a i z b = b z = o 则 ( d ) a n n a b 和a 的任何完全理想在c ( a ) 作用下保持不变 ( b ) 假设且是a 的任一c ( a ) 不变理想，m ( b ) 是口的中心导子，h o m a b ( a b ，a n n a b ) 满足，( 叫) = ，( z = x f ( y ) ，z ，f a b 供中，a b a n n a b + a 定义为( n + b ) z = n z ， 5 6东南大学硕士学位论文 映射a n n b a b a 可类似定义j ，则m ( b ) 与h o m a b ( a b ，a n n a b ) 同构特别 地，如果c ( b ) = f i d ，那么c ( a ) = f i d o m ( 口) 综上可知，对所有的单李代数，它们的极大幂零子代数的形心都是小的我们的任 务就是研究这些小的形心的结构我们将对各类单李代数逐一进行验证 2 2a 型李代数的极大幂零李代数的形心 设 ，是1 + 1 维的向量空间，工是由y 上迹等于零的全体自同态所构成的李代数， 则l 是a 型的单李代数工也可以用相应的矩阵代数表示若最，表示在( ，j ) 处为1 ， 其它元素为零的矩阵，则( 1 i j j + 1 ) ，e l l 一毋+ l i + 1 ( 1 i 1 ) 构成l 的基记 日为迹等于零的对角矩阵全体所构成的l 子空间，定义岛h 4 ( 1 i z + 1 ) 为 1 1 = 啦 i a l + ll 则日是工的c a f t a n 子代数，相应的根系为r = 豫一q 1 1si j z + 1 ) 令0 1 = 1 5 2 ，0 2 = e 2 一e 3 ，a 1 = 日一l + 1 ，那么a = ( n 1 ，a 2 ，啦) 是r 的紊根组 c a f t a n 矩阵为 ( a , j ) = 2 1 o0 12 0o 0o 2 1 0o 12 经计算知，在上述假定之下，l 的根空间为 工( p e j ) = f ( 2 2 1 ) 正根为丑( a ) = 俺一e j l l i j l + 1 ) 易知，正根向量都是严格上三角矩阵所以正根向量生成的代数就是严格上三角矩 阵全体，即n = 0 1 1 + ：1 j f e o ，其中( 1 t j 2 + 1 ) 是它的一组基我们可以给出 在上述基下的乘法表； 【，易】= 置，( 1 j f + 1 ) 其它基向量之间的括积要么为0 要么可由反对称性得出 ( 2 2 2 ) 第二章极大幂零子代数的形心 由( 2 2 1 ) 知矗一“玛( a ) ，且最k 是矗一所对应的根向量故r + ( a ) 是有用的 正根集合，由定理2 1 3 知，的形心是小的 设| p c ( n ) 且妒不是数乘变换，可设妒是中心导子，即任意的z ，y n ，有 妒陋引= 【妒( z ) 掣】，妒( z ) z ( ) ，妒口r 】= 0 ， 于是，对z ，n ，有i p 陆卅= 0 故，由( 2 2 1 ) 知 妒( 置 ) = 0 ，i i j k z + 1 即只有妒( 局2 ) ，妒( 易3 ) ，妒( 马l - 1 ) ，i p ( 局1 + 1 ) 可以不为0 由( 2 2 1 ) 知蜀j ，弓k ( 1 i j k z + 1 ) 均不是n 的中心里的元素又因为是幂零李代数，所以n 的中心非零 综上所知，基向量中只有蜀i + i z ( ) 又i p ( 置i + d ( 1 i z ) z ( ) 所以 妒( 局i + 1 ) = e 1 i + 1 ( i i z ) 根据妒在基最，( 1 i ，? + 1 ) 下的矩阵，可知这些妒所构成的o ( n ) 的子空间的维 数为z ，即l 的极大环面子代数的秩 因此，的中心导子的维数与极大环面子代数的秩相等又因为数乘变换显然属于 形心，所以的形心的维数d i m ( c ( n ) ) = r a n k ( l ) + 1 2 3b z 型李代数的极大幂零李代数的形心 设d i m v = 2 l - 1 - 1 ，且v = f e l o o f e z o f e o o f e l o f e l ，皿是y 上的非退化 的对称双线性型，其矩阵是 s = 卜 00 01 o0 10 01 00 1o 0o 其中五是2xz 阶矩阵 设工是y 的满足妒( ，t ，) + 妒( ”，z ”) = o ，口，口l 的自同态的集合，则l 是b l 型的单李 代数工可以用相应的矩阵代数表示记日为迹等于零的对角矩阵全体所构成的工的子空 间，则日是工的c a r t a n 子代数，相应的根系为r = 士矗i l u 4 - e i + e j l l s j m 若正b 表示在( 巧) 处为1 ，其它元素为零的矩阵，则凰= 置i e 一t ( 1 i z ) 组成日的一 7 8 东南大学硕士学位论文 c，=亏_主三呈三 关于上述素根组的正根集合是 令 毋( b t ) = e i 1 z u q - 4 - 勺1 1 j sz x i j = 一e o i ，1 j z 场= 一易一“1 i j z ； 互f = 2 舷o + e o l ，1 i z 易知五j ，五是正根向量生成的子代数n = 竹+ ( z z ) 的一组基 经计算知，在上述假定之下，二的正根空阊为 工( q 一勺) = f x i j ，1 j 1 l ( e m ，) = f ，1 i ，z 工( 。，) = fz ；f ，1 s i z 我们可以给出在上述基下的乘法表： 【置，玛d = 置k ，1 i j k z l 砀，巧k 】_ 玩，1 j k l ，玛i 】= 一y , j ，1 i j k f 隅，】- ，1 j k z ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) 第二章极大幂零子代数的形心 【翰，乃】= 磊，1 i j s f ( 2 3 8 ) 陬，乃】_ 2 场，1 i j f ； ( 2 3 9 ) 其它基向量之间的括积要么为0 要么可由反对称性得出 由( 2 3 1 ) ，( 2 3 2 ) ，( 2 3 3 ) 知墨k ，m k ，场，五分别是e - e k ( 1 i ks1 ) ，旬+ ( 1 i 女 1 ) ，e i + e j ( 1 s t j 1 ) ，岛( 1 i 七z 一1 ) 所对应的正根向量，且岛一，e i + “，矗+ 勺，旬 目) ，故知目( 马) 是有用的正根集合由定理2 1 3 知的形心是小的 假设妒c ( n ) 是的中心导子由( 2 3 4 ) 知，除蜀l 外，当1 t j f 时， j g z ( ) ，并且当j i 2 时，妒( j ) = 0 由( 2 3 5 ) 知，当j 2 时，巧k 岩z ( n ) 并且当j i 2 时，妒( ) = 0 由( 2 3 6 ) 知，除m 一1j 外，当1 i j z 时，妒( ) = 0 因为当j 2 时， 阢l ，k l 】= 一蚝j ，所以x ugz ( ) ，x 汀gz ( ) ，且当1 j z 时，妒( h j ) = 0 因为当 1 i j z 时， ，k 小= ，所以当j 2 时，隅女，m 女】- ，因此当3 时， m g z ( ) 由( 2 4 5 ) 知，当j 2 时，乃gz ( ) ，且当1sjs l - 1 时妒( 五) = 0 又当1 i j i 时，陇，乃】= 2 ，可知历g z ( ) ，因此五售z 1 i z 又因为是幂零李代数，所以 z ( n ) 非空 综上所知，基向量中只有m 2 z ( ) 又l p ( m - 1 1 ) z ( ) ，妒( 件1 ) z ( ) 所以 妒( m 一1 1 ) = a y l 2 ，妒( 磁i + 1 ) = 啦m 2 ，( 1 i f 一1 ) 根据妒在基五，( 1 i jsf ) ，( 1s i jsi ) ，磊( 1s sz ) 下的矩阵可知这些妒所构成 的g ( ) 的子空间的维数为j ，即三的极大环面子代数的秩 因此，的中心导子的维数与极大环面子代数的秩相等又因为数乘变换显然属于 形心，所以的形心的维数a m ( c ( n ) ) = r a n k ( l ) + 1 2 4q 型李代数的极大幂零李代数的形心 设出m y = 2 l ，且v = f e l o of e l o f e 一1 o f e - l 霍是y 上的非退化的对称双 线性型，其矩阵是 s = fo 丑1 五= 一五0 o 0 0 1 ： 1 - 0 0 0 9 1 0 东南大学硕士学位论文 其中五是l f 阶矩阵 设l 是y 的满足，( z ( 口) ，w ) = ，( 口，z 似) ) = 0 ， ，v 的自同态的集合，则l 是a 型的单李代数工可以用相应矩阵代数来表示记日为迹等于零的对角矩阵全 体所构成的l 的子空间，则日是三的c a r t a n 子代数，相应的根系为r = 仕2 e ij ls i 1 ) u 士矗4 - 6 i l l i z ) 若e u 表示在( j ) 处为1 ，其它元素为零的矩阵，则 届= 噩一卫一i ( 1 i f ) 组成日的一组基现设( 岛) ( 1 i z ) 是日的一组基，且与 凰对偶令n 1 = e l e 2 ，o t 2 = 2 一e 3 ，：，n 1 = 旬，那么( a l ，o t 2 ，啦) 是r 的素根组 c a f t a n 矩阵是 c，=(亏三呈芝。 r + ( ( ) = 2 矗；1 s i z ) u 岛士勺1 1 i j 吁 令 x 讨= e 岈一e 一 一t ，1 s i j s l ； = 置- i 一马一i ，1 j z ； 五= 2 置而1 i z 易知x i j ( 1 i j z ) ，( 1si j 1 ) ，历( 1 z ) 是正根向量生成的子代数 n = ”+ ( c 舀) 的一组基 经计算知，在上述假定之下，工的正根空间为 工( 目一勺) = f x o ，1 i j 厶 ( 2 4 1 ) 工( e 。+ 勺) = f ，1 i j z l ( 2 e 。) = f z j ，1 墨z ； 我们可以给出在上述基下的乘法表： 】，1 _ 2 蜀幽1 s z ； 阢，x j k 】= 五七，1 i j k f ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) 第二章极大幂零子代数的形心 粕，匕女】= k 知，1 i j 七f 阮 ，巧k 】_ 【玛k ，k 】= 场，1 j k z ； ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) 【j ，乃】，1 i j l ； ( 2 4 8 ) 其它基向量之间的括积要么为0 要么可由反对称性得出 由( 2 4 1 ) ，( 2 4 2 ) ，( 2 4 3 ) 知砥j ，场，磊分另叱黾e i - - k ，( 1 i k z ) ，矗+ 勺，( 1 i j 墨z ) ， 旬，( 1 i z 一1 ) 所对应的正根向量，且矗一“，e i + 白，e i 日( a ) ，故知皿) 是有 用的正根集合，由定理2 1 3 知n = n + ( 劬) 的形心是小的 假设p c ( n ) 是n 的中心导子，由( 2 4 4 ) 知，置j ，gz ( ) ，且当1 i z 一1 时，妒( 五) = o ； 由( 2 4 5 ) 知，当一i22 时，妒( 置) = o ； 由( 2 4 6 ) 知，当k i 2 时，p ( m ) = o ； 由( 2 4 7 ) 知，当1 i ，z 时，p ( ) = o ；又当1 i j f 时，阢，乃】= 场， 所以当j 22 时z jg z ( ) 又因为是幂零李代数，所以其中心非空 综上所知基向量中只有而z ( ) 又妒) z ( ) ，妒( 置件1 ) z ( ) ，所以 妒( 咒i + 1 ) = 啦件1 历，i p ( 历) = n z l 根据p 在基x , j ( 1 i j z ) ，玢( 1 i js1 ) ，磊( 1 i z ) 下的矩阵，可知这些妒所构 成的c ( n ) 的子空间的维数为z ，即工的极大环面子代数的秩 因此，的中心导子的维数与极大环面子代数的秩相等又因为数乘变换显然属于 形心，所以的形心的维数击m ( g ( ) ) = r a n k ( l ) + 1 2 5d l 型李代数的极大幂零李代数的形心 设d i m v = 2 1 ，且v = f e l o o f e l o f e 一1 o f e - l ，皿是y 上的非退化的对称双 线性型，其矩阵是 其中j 2 l 是2 l 2 l 阶矩阵 1 2 l = 0o 01 00 1o o1 oo 10 o0 1 1 1 2 东南大学硕士学位论文 设工是y 的满足，( z ( ) ，1 l ，) = 一，( q z ( t l ，) ) = o ，q v 的自同态的集合，则l 是d l 型的单李代数l 可以用相应矩阵代数来表示记日为迹等于零的对角矩阵全体所构 成的工的子空间，则日是工的c a r t o n 子代数，相应的根系为r = 士岛4 - 旬，1 i j z 若最，表示在) 处为1 ，其它元素为零的矩阵，则甄= 厩l e t f ( 1 i z ) 组成 日的一组基现设( e i ) ( 1 sj ) 是伊的一组基，且与日i 对偶令n 1 = e 1 一e 2 ，o 2 = e 2 一岛，o l = = e l 一1 + 旬，那么( n 1 q 2 ，n i ) 是r 的素根组 c a r t a n 矩阵是 ( d o ) = 2 一l oo00 12 00 00 ： 00 2 100 00 一12 1 1 00 - 0 12o o 0 0 一l0 2 关于上述素根组的正根生成的子代数是 令 凰( 0 0 ) = e l4 - e j ；1 i 2 x 矗= 一e j 一幻1 j s l = 最一j e j 一 ，1 s i j l 易知墨j ，场是正根向量集合n = n + ( d 玎) 的一组基 经计算知，在上述假定之下，工的正根空间为 l ( e 一q ) = f x o ，1 j s f l ( 白+ 勺) = f ，1 t j z ； 我们可以给出在上述基下的乘法表； 阢，而女】= ，1 s i j k z 【，y j 七 = k 七，1 i j k 2 五，巧】= 一【玛，k k 】= ，1 i j k s l ( 2 5 1 ) ( 2 5 2 ) ( 2 5 3 ) ( 2 5 4 ) ( 2 5 5 ) ( 2 5 6 ) ( 2 5 7 ) 第二章极大幂零子代数的形心 其它基向量之间的括积要么为0 要么可由反对称性得出 由( 2 5 3 ) ，( 2 5 4 ) 知，场，分别是矗一“( 1 t z ) ，矗+ 勺( 1 i j z ) 所对应 的正根向量，且矗一“，旬+ 白玛( d f ) ，故知玛( d 1 ) 是有用的正根集合，由定理2 1 3 知 的形心是小的 任意的i p g ( ) ，且妒不是数乘变换，不妨设妒是中心导子由( 2 5 5 ) ，知i p ( 咒k ) ； 0 ，佧一 2 ) gz ( ) ，( 除x u 夕卜) ；由( 2 5 6 ) ，知妒( m 女) = 0 ，伪一i 2 ) 巧kgz ( ) ，o 2 ) ； 由( 2 5 7 ) ，知妒( ) = 0 ，( 1 i j 2 ) j ( 除m _ 1 f 夕卜) ；因为【x , z ，巧l 】= 一，u 2 ) ；所 以x i lgz ( n ) 且妒( ) = 0 ，y j , ，0 2 ) 彰z ( ) 因为瞵，k ，m k 】= y b ，u 2 ) 所以 m kgz ( ) 3 ) 又因为是幂零李代数，所以其中心非空，综上所知基向量中只有 y 1 2 z ( ) 又p ( m l f ) z ( ) ，妒( 阮+ 1 ) z ( ) 所以 妒( j 抖1 ) = a ii + i y , 2 ，妒( m l f ) = a y , 2 根据妒在基墨j ( 1 i j sz ) ，( 1 i j z ) 下的矩阵，可知这些l p 所构成的c ( n ) 的 子空间的维数为z ，即正的极大环面子代数的秩 因此，的中心导子的维数与极大环面子代数的秩相等又因为数乘变换显然属于 形心，所以的形心的维数d i m ( c ( n ) ) = r a n k ( l ) + l 综上可知a ，局，q ，d l 型李代数的由所有正根向量组成的极大幂零子代数的形一l - 的 维数均比相应的李代数的秩大一 对于玩，励，b ，f 4 ，g 。型李代数，我们将主要利用它们的根系讨论它们的极大幂零子 代数的形心结构 2 6g z 型李代数的极大幂零子代数的形心 若( 0 1 ，n 2 ) 组成0 2 型李代数的的素根组，c a f t a n 矩阵是 ( 二：) 由c a f t a n 矩阵知 2 ( a i ，0 2 ) ( 0 1 ，n 1 ) = 一1 ，2 ( 0 1 ，n 2 ) ( 0 2 ，d 2 ) = - 3 因为n 一( 1 2 不是根，故由这些关系可知，含n 。的a t 的根链及含( 1 1 的a 2 的根链各为 n 2 ，n 2 + 口1 ；n 1 ，n 1 + n 2 ，a 1 + 2 a 2 ，口l + 3 a 2 高为2 的根只有n 1 + a 2 因为a 2 + 2 a 1 不是根，所以高为3 的根只有o i + 2 “2 ；因为 2 a a + 0 2 不是根，所以高为4 的根只有n 1 + 3 0 2 我们有2 ( d 1 + 3 0 2 ，口1 ) ( n 1 ，n 1 ) = - i ，推出 1 4 东南大学硕士学位论文 ( a 1 + 3 a 2 ) + n 1 = 2 a 1 + 3 a 2 是一根因为口1 + 铀2 不是根，故高为5 的根只有2 q 1 + 3 n 2 因为( 2 a 1 + 3 a 2 ) + o t l = 3 ( a 1 + a 2 ) 及( 2 n 1 + 3 a 2 ) + a 2 = 2 ( a l + 2 a 2 ) 都不是根，所以没有 高为6 的根所以全部根为 + a l ，+ a 2 ，士( 口1 + a 2 ) ，士( n 1 + 2 a 2 ) ，士( n 1 + 3 n 2 ) ，士( 2 n 1 + 3 a 2 ) 其中正根为 口1 ，n 2 ，口1 + a 2 ，口1 + 2 a 2 ，a 1 + 3 n 2 ，2 a l + 3 a 2 因为这是一单李代数，所以其根空间工a 1 i 厶。，三( 。，+ 。) ，工( a x + 2 。) ，l ( 。，+ 轴。) ， 工，+ 轴：) 均是一维的设如，1 i s6 是上面对应正根空间的基，则所有的正根向量毛，1 6 生成的子代数为极大幂零子代数，因此z ( n ) 0 且【工口”工a 。】，【工工( 。+ 锄) 】，【l 一 工( 。，+ 2 n 。) 】， l a 2 ，工( 。+ 。) 】，陋( 。+ 。2 ) ，工( 。+ 2 。) 】0 l ( 2 m + 3 a 2 ) 中的任何向量与任何根空间向 量做括积均为零，所以任意的z l ( 2 a l + 3 a ：) ，z z ( ) 设妒c ( n ) 是n 的中心导子，则妒( 工( 。，+ 。) ) = o ，妒( l ( c t x + 缸。) ) = 0 ，妒( l ( 铀。+ 3 a 2 ) ) = o ，妒( 工( 。1 + 轴。) ) = 0 ，只有p ( l 。) ，p ( l 。) 0 可以不为零 根据妒在基下的矩阵，可知这些中心导子所构成的c ( n ) 的子空间的维数为2 ，即l 的极大环面子代数的秩 因此，的中心导子的维数与极大环面子代数的秩相等又因为数乘变换显然属于 形心，所以的形心的维数d i m ( c ( n ) ) = r a n k ( l ) + 1 2 7丹型李代数的极大幂零子代数的形心 巨习 第二章极大幂零子代数的形心 高为6 的正根为2 m + 2 n 2 + n 3 + o t 4 ，q 1 + 2 a 2 + 2 a 3 + o r 4 ； 高为7 的正根为2 a z + 2 a 2 + 2 n 3 + o t 4 ，n 1 + 3 a 2 + 2 0 r 3 + o r 4 ； 高为8 的正根为2 n 1 + 配2 + 2 0 t 3 + o r 4 ； 高为9 的正根