（基础数学专业论文）纯正半群上的偏序关系.pdf

西北大学博士学位论文 摘要 偏序半群的代数理论现今仍是最为活跃的代数学研究领域之一本文详细地研究 了纯正半群上的偏序关系主要结果如下： 1 研究了逆半群上的a m e n a b l e 偏序关系我们给出了“逆半群s 上的a m e n a b l e 偏序被s 上的m c a l i s t e r - 锥形所唯一确定”这一命题的简洁证明特别地，我们对 c l i 肋r d 半群上的a m e n a b l e 偏序的性质和结构进行了研究，给出了c 1 i 肋r d 半群上的 a m e n a b l e 偏序的构造方法 2 研究了具有逆断面的局部逆半群上的a n l e n a l ，1 e 偏序关系设s 是具有逆断面 s 。的局部逆半群我们表明了s 上的a m 咖a b l t ，偏序和s 。的 i c a l i s t e 卜锥形之间存 在保序双射；证明了s 上的a m e n a b l e 偏序被s 。的a m e n a b l e 偏序所唯一确定；给出 了具有c l i 舫r d 断面的局部逆半群的等价刻画特别地，若s 是具有c 1 i 胁r d 断面的 局部逆半群，我们表明了在s 的尺一锥形和a n a b l e 偏序之间存在保序双射；证明 了具有c l i 肋r d 断面的正则纯正半群一定足完全正则的 3 研究了右逆半群上的偏序关系我们由自共轭强全子半群出发，构造了右逆半 群上的偏序关系；证明了右逆半群的商逆半群( 商半群为逆半群) 上的左a m e n a b l e 偏 序被右逆半群的局部极大锥形所唯一确定；把逆半群的锥形和a m e n a b l ( ，偏序的概念 推广到正规纯正群上，证明了正规纯正群 ：的 l i m i l a b l e 偏序被锥形所唯一确定 4 。研究了半格序逆半群我们给出了自然半格序逆半群的等价刻画；对同余单的 半格序c i i 舫r d 半群做了明确的分类；表明了在所有自然半格序c l i 舫r c l 半群所形成 的类当中，自然半格序零群是仅有的次直积不可约成员；表明了上半格左a m e n a b l e 偏 序逆半群一定是a m e n a b l e 格序c 1 i m ) i ( 1 半群特别地，我们对a m e n a b l e 格序c l i 仃0 r d 半群进行了研究，得到一些有趣的结果 关键词：逆半群；m c a l i s t e r - 锥形；局部逆半群；右逆半群；半格序c 1 i 肋r d 半 西北大学博士学位论文 p a r ti a lo r d e r so no r th o d o x a b s t r a c t s e m l g r o u p s a 1 9 e b r a i et h e o r yo fp a r t i a l l yo r d e r e ds e m i g r o u p si ss t i l l o l l eo ft h em o s ta c t i v e 6 e l d so fa l g e b r a t h eg o a lo ft h i sd i s s e r t a t i o ni st os t u d yp a l t i a lo r d e r so no i t h o d o x s e m i g r o u p s i tm a i n l ya ( 妇i e v e di nt h ef o u o w i n ga s p e c t s ： 1 w bs t u d i e da m e n a b l ep a r t i a lo r d e r so ni n v e r s es e m i g r o l l p s w ep r o v e dc o n c i s e l y t h a ta na m e n a b l ep a r t i a lo r d e ro na ni 1 1 v e r s es e n l i g r o u pi su n i q l l e l yd e t e r n l i n e db ya a i c a l i s t e r c o n e i np a r t i c u l a r ，es t u d i e dt h ep r o p e r t i e sa 1 1 ds ”u c t u r eo fa m e n a b l e p a r t i a lo r d e r so nc l i 仔o r ds e n l i g r o u p sa n do b t a i n f ，das t r u c t l l l a lnl e t h o do ft j l e n l 2 1 v 娓s t u d i e da m e n a b l ep a l 。t i a lo r d e r so n1 0 c a ，u yi n v e r s es e l l l i g r o u p sw i t hi n 、r e r s e t r a n s v i j r s a l s g i v e nsi sa1 0 c a l l yi l w e r s es e m i g r o u pw i t ha ni n v e r s et r a n s v e r s a ls 。， t h e nt h e r ei sa no r ( 1 e r p r e s e r 、7 i n gb i j e c t i o nf r o mt h es e to fa 1 1a n l e n a b l ep a r t i a lo r d e r s ( ) nst ot h es p to fa l lm c a l i s t e i - ( 。o n e so fs 。；陀s l 】o 、r e f lt h a t ；1 1 la l n e n a b l ep a r t i a lo r d e r o nsi su n i q u e l yd e t e r m i n e ( 11 b ya na m e n a b l ep a r t i a lo r d e r ) ns 。a n da ne q u i v a l e n t c h a r a c t e r i z a t i o no fl o c a l l yi n v e r h es e m i g r o u pw i t hac l i f f o r ( 1t r a n s v e r s a li sg i v e n i f 5 ri sal o c a l l yi n v e r s es e m i g r o i i pw i t hac l i 行o r dt l a n s v e r s a l t h e l lt h e r ea l s oe x i s t sa n o r d e r p r e s e r v i n gb i j e c t i o nb e t w e e na l la m e n a b l ep 1 r t i 粗o r d e l so nsa n da u 尼c o n p so f s a l s o ，t h er e s u l tt h a tar e g u l a ro r t h o d o xs e n l i g r o u pw i t hac l i 肋r dt r a l l s v e r s a li s c o m p l e t e l yr e g u l a ri sp r ( ) 、他d 3 w bd i s c u s s e ( 1p a r t i a lo r d e r so nj i g h ti n v e r s es e m i g r o u p s w i t ht h eh f 、l po fs e l f c o l l ju g a t es t r o n 9 1 yf h l ls u b s e m i g r o u p ，r ec o n s t r u c t e ( 1p a r t i a l ( ) l f l e r so nr i g h ti n v e r s e s e m i g r o u p w bs h o 、v e dt h a tal e f t a n l e n a b l ep a r t i a lo r ( 1 e ro nt h l 、( 1 u o t i e n ts e n l i g r o u po f j 、i g h tj 1 1 v e r s es e 】n i g t o u p ( t h eq u o t j e n ts e n l i g r o u pi sa ni l l v e r s es e l 儿j g r u u p ) i su n i q u e l yd e t e r m i n e db yal o c a l l ym a x i m a lc o n eo fr i g h ti 1 1 v e r s es e m i g r o u p ：( 、x 七e n d e dt h ea m e n a b l e p a r t i a lo r d e r sa n dc o n e so fi n 、r e r s es e m i g r o u p st on o r n l a lo r t h 0 9 1 o u p s ，a n dp r o v e dt h a t a na m e n a b l ep a r t i a lo r d e ro nan o r m a lo r t h o g r o u pi su n i q u e l y ( 1 e t e r m i n e db yac o n e 4 v d e l i b e r a t e ds e m i l a t t i c e o r d e r e di n v e r s es e m i g r o u p s a ne q u i v a l e n 乞c h a r a c t e r i z a t i o no fn a t u r a l l ys e m i l a t t i c e o r d e r e di n v e r s es e m i g r o u p si sg i v e n ；ad e 矗n i t ec l a s 尸 s i f i c a t i o no fc o n g r u e n c es i n l p l es e m i l a t t i c e 卜o r d e r e dc l i h o r ds e m i g r o u p si so b t a i n e d ：i n t h ec l a s so fa 1 1n a t u r a l l ys e m i l a t t i c e - o r d e r e dc 1 i f f o r ds e m i g r 0 1 l p s n a t u r a l l ys e m i l 砒t i c e - o r d e r e dz e r og r o u p sa r et h eo n l ys u b d i r e c 乞l yi r r e d u c i b l en l e m h e r s ； w eo b t a i n e dt h e r e s u l tt h a tav s e m i l a t t i c e dl e f ta n l e n a b l ep a r t i a l l yo r d e r e di n v e r s es e n l i g r ( ) 1 l pi sa i l i i 西北大学博士学位论文 a m e n a b l el a t t i c e o r d e r e dc l i 舫r ds e m i g r o u p ；p a r t i c u l a r l y ，es t u d i e da n l e n a b l el a t t i c e o r d e r p dc 1 i f r o r ds e n l i g r 0 1 l p sa n do b t a i l l p ( 1s o n l ei n t e r e s t i l l gr ( 苇u l t s k e y w o r d s ：i n v e r s es e m i g r o u p ；m c a l i s t e r c o n e ；l o c a l l yi n v e r s es e n l i g r o u p ：r i 曲t i n v e r s es e m i g r o u p ；s e m i l a t t i c e o r d e r e dc 1 i f 玷r ds e m i g r o u p i i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：指导教师签名：垫t l 0 口8 年口石月巧汩d r 年。6 月d 多日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文储躲耽 晓年d ，月秒弓日 第一章绪论 1 1引言 半群代数理论是一门重要的代数学分支它在计算机、信息安全、自动化控制等 领域都有重要的应用【1 卜【5 j 经过一个多世纪的发展，现如今，半群代数理论已十分丰 富，特别是正则半群的理论已相对成熟我们知道，正则半群的特殊情形如逆半群、 纯正半群、完全正则半群的研究，在半群代数理论研究中占有十分重要的地位1 9 7 6 年，j m h o w i e 所著的半群引论( a ni n t r o d u c t i o nt os e m i g r o u pt h e o r y ) 一书 系统地介绍了正则半群的基本理论和结果，它是一本经典的基础教科书 1 9 8 4 年， m p e t r i c h 所编逆半群( i m + e r s es e m i g r o u p s ) 一书，几乎囊括了那个时代逆半群 研究的绝大部分成果，进一步激发了代数学者对逆半群及其相关理论进行深入研究 随着逆半群代数理论的不断丰富，研究把逆半群作为其子半群的正则半群的性质 和结构越来越多地受到代数学者的关注自1 9 8 2 年t s b 1 ) t h 和r b m c f a d d e n | i j 引入逆断面的概念以来，代数学者们在具有逆断面的正则半群的研究领域取得了丰硕 的成果【1 0 l 一【3 0 】【3 1 m 4 卜f 8 2 】其中，宋光天、汪立民、唐西林、陈建飞等中国学者在该研 究领域均做出了非常出色的工作经过二十多年的发展，逆断面的思想也得到了很大 程度上的扩展一些代数学者在具体的科学研究中提出了纯正断面、q 一逆断面等其它 断面的概念这些断面的出现扩宽了半群的研究领域，丰富了半群的研究方法【2 1 】一【2 3 】 随着半群理论的不断发展，半群的序结构理论也得到了较快发展2 0 世纪4 0 年 代，著名数学家g b i r k o f r 在他的著作格论一书中，对格序群进行了充分研究， 得到了很多有意义的结论该著作也对格序半群( 含幺半群) 进行了探讨，从而，扩宽 了半群研究的新领域之后，序代数理论得到了很大的发展，特别是格序群( 有序群) 理论由于有很强的群论理论基础作依托，从6 0 年代开始一枝独秀，很快从代数理论中 分离出来，在l f u c h s ，p c c ) n r a d 及w h 0 1 l a n d 等著名数学家的推动下发展成一个 完整的研究体系6 0 年代初，l f u c h s 【2 5 】写出了第一本序代数理论的专著在近4 0 多年中，序半群理论取得了很大的进展6 0 年代，t s a i 训2 6 】【2 7 】在全序半群的研究中 取得了显著的成果1 9 7 9 年，m s a t a y a n a r a y a n a 撰有专著( 正序半群( p o s i t i v e l y o r d e r e ds e m i g r o u p s ) ，收集了7 0 年代之前全序半群的研究成果 7 0 年代初， t s b 1 y t h 和m f j a n o w i t z l 2 8 1 合著了一本专著剩余理论( r e s i d u a t e dt h e o r y ) 之 后，t s b l y t h 和他的学生们对可剩余的偏序半群( 剩余格) 进行了深入研究【3 4 卜 3 9 i 8 0 年代以后，n k e h a y 印u l u 【4 0 】一【5 1 】对正则偏序半群、次匿不可约偏序半群以及偏序 西北大学博士学位论文 半群上的g r e e n 关系等问题进行了深入研究，得到了一些有意义的结果 9 0 年代， 中国学者谢祥云等f 5 2 】一【5 5 】1 8 3 】- 【8 羽对偏序半群的理想、同余和偏序扩张等问题进行了研 究，所得结果受到国内外学者的关注中国学者曹永林1 5 6 l 【57 】研究了偏序半群的半格 分解和链式分解，得到了很好的结论知名法国代数学者j e p i n 和p w e i l 【5 8 】【5 9 】对 偏序半群的圈积( w r e a t hp r o d u c t ) 和半直积等相关结构问题进行了研究，给出了若干 好的结果 在格序群和偏序半群所取得的丰富理论成果推动之下，半格序( 格序) 半群相关理 论也得到了进一步的发展j l e e c h 【6 0 】对自然半格序( 自然偏序是半格序) 含幺逆半 群进行了讨论m s g o i ，e s 【6 1 】等学者对格序逆半群进行了深入研究，得到了优美 的结论m k u f i l 和p p o l 西k 6 2 】对半格序半群的簇问题进行了讨论，给出了若干簇 的刻画2 0 0 5 年，著名代数学家t s b l y t h 撰写的格与有序代数结构( l a t t i c e s a n d0 r d e r e da 1 9 e b r a i cs t r u c t u r e s ) 一书，系统地总结了格序群和偏序半群研究所取得 的理论成果可见，偏序半群的代数理论现今仍是最为活跃的代数学研究领域之一 1 2 背景及主要结果 设s 为半群如果s 上存在偏序关系使得 ( v n ，6 s 比s 1 ) os6 毒n zsk ，z n z 6 ， 那么称( s ，? ) 为偏序半群 例如：设s 为正则半群，e ( s ) 为s 的幂等元之集定义s 上的二元关系! 如 下： ( v o 6 s ) “16 甘( 了e ，e ( s ) ) n = 以= 厂6 由文献 2 9 】引理i i 4 1 知5 是s 上的自然偏序由文献i 2 9 】推论i i 4 1 2 可知， ( s ，5 ) 是偏序正则半群当且仅当s 是局部逆半群，特别地，若s 为逆半群，则显然 有( s ，! ) 是偏序半群 在逆半群和偏序半群所取得的理论成果之上，著名的代数学者d b m c a l i s t e r 3 0 】 把二者进行了巧妙结合他把逆半群上的自然偏序进行了推广，给出了逆半群上的( 左 、右) a m e n a b l e 偏序的定义：设( s ，s ) 是偏序逆半群如果给定偏序是自然偏序 的扩张，即! ，并且对任意的o ，6 s ，n 6 爿n 1 056 _ 1 6 ( 口o _ 156 6 _ 1 ) ，那么 称为s 上的左( 右) a m e n a b l e 偏序若既是左锄e n a b l e 偏序又是右a n l e n a b l e 偏序，则称为s 上的a n l e n a b l e 偏序由文献f 7 1 命题5 2 1 知自然偏序就是逆 半群s 上的a m e n a b l e 偏序d b m c a l i s t e r 对逆半群上的左a m e n a b l e 偏序进行 2 西北大学博士学位论文 了深入研究，得到了非常好的结果，其中，逆半群的锥形( c o n e ) 在左a m e n a b l e 偏序 研究中起到了很重要的作用下面将介绍逆半群的锥形的定义 设s 为逆半群 s 的子集r ( e ( s ) ) 定义如下： 冗( e ( s ) ) = z s i ( v e e ( s ) ) e z e = z e ) 。 由e ( s ) 是半格易得r ( e ( s ) ) 非空并且是s 的子半群设q 是逆半群s 的非空子 集，如果q 满足： ( i ) q 是r ( e ( s ) ) 的子半群； ( i i ) qnq = e ( s ) 其中q 。= o 一1 i o q ) ； ( i i i ) ( v r s ) z q z 一1 q 那么称q 为s 的锥形( ( 伽l p ) 【3 0 】d b 、i ( a 1 砒e r 对逆半群上的左a n l e l l a b l e 偏序进 行了刻画，证明了逆半群上的左a m e n a b l e 偏序被逆半群的锥形所唯一确定之后， t s b 1 y t h 和m h a l n l e i r l as a n t o s 把逆半群上的a m p n a b l e 偏序的概念加以推广， 给出了具有逆断面的正则半群的a m e n a b l t 、偏序的定义，并把锥形的概念也进行了推 广，给出了逆半群的m c a l i s t e r 一锥形和具有逆断面的局部逆半群的皿锥形( l 一锥形) 的概念【3 1 】，由此出发，他们对具有逆断面的局部逆半群进行了研究，得到了一些很有 意义的结果 在d b m c a l i s t e r 工作的启发之下，本文对逆半群上的a m e n a b l e 偏序进行了研 究，得到了逆半群上的a n l e n a b l e 偏序被 i c a l i s t e r 一锥形所唯一确定；证明了逆半群 的幂等元的中心是含于逆半群的最大的c l i 骱r d 半群；由于逆半群的幂等元的中心是 c l i 肋r d 半群，从而，我们考虑c 1 i 胁r d 半群上的a m e n a b l e 偏序关系，讨论了c l i 助r d 半群上的a n l e n a b l e 偏序的生成问题和结构问题，得到了有趣的结果 设s 是具有逆断面酽的局部逆半群我们对s 上的a m e n a b l e 偏序进行了新 的刻画，简化了t s b l 叶h 和m h a 1 l 】l e i d as a n t o s 的相关工作，证明了s 上的 a m e n a b l e 偏序被s 。上的a n l e n a b l e 偏序所唯一确定，从而，研究s 上的a n l 朗a b l e 偏序的问题就转化为研究s 。上的a m e n a b l e 偏序的问题由于s 。是逆半群，即就是 研究逆半群上的a m e n a b l e 偏序的问题我们还研究了当铲为c l i 肋r d 半群( 称s 。为 c l i 肋r d 断面) 时，s 上的锄l e n a ) l e 偏序与s 的尼锥形之间的关系；证明了若s 是 具有c 1 i 舫r d 断面的正则纯正半群，则s 一定是完全正则的 在文献 3 2 中，t s b 1 y t h 和i h a 1 n l e i d as a n t o s 对具有逆断面的右逆半群 进行了研究设s 是具有逆断面伊的右逆半群，他们给出了铲一局部极大锥形的概 念，证明了当s 是具有逆断面s 。的右正规纯止半群时，s 上的a i n e n a b l e 偏序被s 。一 局部极大锥形所唯一确定 3 西北大学博士学位论文 设s 为纯正半群，对任意的口s ，l 厂( n ) 表示口的逆元的全体定义s 上的二元 关系y 如下： ( v n ，6 s ) n y b 仁净1 7 ( n ) = y ( 6 ) t e h a l l l 3 3 j 证明了y 是s 的最小逆半群同余，即s y 是逆半群本文为了构造右 逆半群( 不考虑是否有逆断面) 上新的偏序关系，引入了右逆半群的自共轭强全子半群 和局部极大锥形的概念我们从右逆半群的自共轭强全子半群出发，构造了右逆半群 上的偏序关系，并由此得到右逆半群的自然偏序的新刻画；揭示了右逆半群s 的局部 极大锥形与商半群s y 上的左a m e n a b l e 偏序之间存在的紧密关系 设( s ，+ ，) 是一( 2 ，2 ) 型代数若 ( 1 ) ( s + ) 是半格，( s ，) 是半群； ( 2 ) s 满足如下的分配律： ( v o ，6 ，c s ) n ( 6 + c ) = 0 6 + o c 和( c f 十6 ) c = o c + 6 c ， 则称( s ，+ ，) 为半格序半群【6 2 】显然，分配格就是典型的半格序半群 半环( s ，+ ，) 是指非空集合s 上装有两个二元运算加法“+ ”和乘法“”的代 数，其中( s ，+ ) 和( s ，) 均是半群，且满足乘法对加法的分配律，即 ( vo ，6 ，c s )( n + 扫) c = 似。+ 6 c 和c ( o + 6 ) = c o + c 6 从代数的角度来看，半环可以看成是由分配律联系的同一非空集合上的两个半群这 样一来，半格序半群就是加法半群为半格的半环若一个半环的加法半群是半格，则由 上可知该半环一定是半格序半群这样一来，半群代数理论的一些研究方法和结论， 有助于我们来研究半格序半群一些代数学者从半群角度出发，对加法半群是半格的 幂等元半环，也就是半格序带进行了研究，得到了非常漂亮的结果 设( s + ，) 为半格序半群定义s 上的二元关系s + 如下： ( v n ，6 s ) os + 6 铺o + 6 = 6 + o = “， 由文献f 2 9 引理i i 4 1 知+ 是半格( s ，+ ) 上的自然偏序并且( s ，5 + ) 是偏序半 群 设( s ，+ ，) 为半格序半群若( s ) 为正则半群( 逆半群、c l i 肺r d 半群) ，则称 ( s ，+ ，) 为半格序正则半群( 逆半群、c l i 舫r d 半群) 特别地，若( s ，) 是半格，则称 ( s ，+ ，) 为半格序半格设( s ，+ ，) 为半格序正则半群定义s 上的二元关系如 下： ( v n ，6 s ) n 6 = 今( 弓e ? e ( s ) ) 口= 6 e = ，6 ， 其中e ( s ) 表示正则半群( s ，) 的幂等元之集由文献f 2 9 】引理n 4 。l 知是( s ，) 上的自然偏序( 前文用墨表示正则半群上的自然偏序，此处用表示( s ? ) 上的自 4 西北大学博士学位论文 然偏序，是为了和( s + ) 上的自然偏序+ 相对应) ，并且，若( s ) 为逆半群，则显 然有( s s ) 是偏序半群 设( s ，+ ，) 为半格序逆半群( c 1 i 舫r d 半群) 若( s ，+ ) 上的自然偏序+ 与( s ，) 上的自然偏序一致，即s + = ，则称s 为自然半格序逆半群( c 1 i 鼢r d 半群) 本 文给出了自然半格序逆半群的等价刻画设( s ，+ ，) 为半格序c l i 胁r d 半群我们证 明了s 可以嵌入到( s ，+ ) 的自同态半格序半群；证明了s 能够表示成其一族半格序 c l i 骱r d 子半群的次直积；对同余单的半格序c l i 肋r d 半群进行了明确的分类我们也 给出了所有自然半格序c l i 舫r d 半群所形成的类中的次直积不可约成员的一个刻画 在文献 3 0 中， d b m c a l i s t e r 也给出了上半格左a n l e n a b l e 偏序逆半群的概 念，并对上半格左a m e n a b l e 偏序逆半群进行了研究本文则证明了文献 3 0 所研究 的上半格左a m e n a b l e 偏序逆半群实际上是a m e n a b l e 格序c 1 i 筋r d 半群，即给定的左 a m e n a b l e 偏序实际上是a m e n a b l e 偏序，而且逆半群就是c l i 怕i d 半群，进一步，由 此出发对a m e n a b l e 格序c l i 勖r d 半群进行了研究，得到了一些有趣的结果 5 第二章a m e n a b l e 偏序逆半群 本章得到了逆半群上的a n l e n a b l e 偏序的一种构造方法；表明了逆半群上的a m e n a b l e 偏序和其幂等元的中心上的a m e n a b l e 偏序之间存在着紧密联系；对c l i 仃0 r d 半群 上的a m e n a b l e 偏序进行了研究，得到了一些新结果 2 1 构造偏序关系 设( s ：) 为半群对o s ，若存在丁s 使得n z n = 口则称n 为s 的正则元若 半群s 的每一个元素均是正则的，则称s 为正则半群设。为正则半群s 中的任一 元素，若存在z s 使得o z o = o 和z o z = z ，则称z 为a 的逆元若对任意的n s ， 在s 中有且仅有。的一个逆元，记n 的逆元为n ，则称s 为逆半群我们知道： 正则半群s 足逆半群当且仅当s 的幂等元集合e ( s ) 是s 的子半格，亦即，当且仅 当对任意的e ? ，e ( s ) 有e ，= ，e e ( s ) 设( s ，) 为逆半群若对任意的n s 都有o o _ 1 = n _ 1 0 成立，则称s 为c l i 肋r d 半群 设s 为半群如果s 上存在偏序关系使得 ( v n ，6 s b ，c s 1 ) q 冬6 = = 争c n c 6 ，n c 6 c ， 那么称( s ：，s ) 为偏序半群 设s 为正则半群定义s 上的二元关系如下： ( v n 6 s ) “6 错( | e ，e ( s ) ) o = 6 e = 厂6 ， 由文献 2 9 引理i i 4 1 知冬是s 上的自然偏序，并且，若s 为逆半群，则显然有( s ，! ) 是偏序半群 设1 和s 2 是非空集合a 上的两个偏序关系对任意的口，6 a ，若由ns 16 可得o 26 ，即有l 2 ，则称s 2 是1 的扩张d b m c a l i s t e r 把逆半群上的自 然偏序的概念加以推广，给出了逆半群上的( 左、右) a m e n a b l e 偏序的定义，该类偏序 的定义如下； 定义2 1 【3 0 】设( s ，冬) 是偏序逆半群如果5 并且对任意的o ，6 s ，n 6 = 令n _ 1 056 _ 1 6 ( n 。156 6 _ 1 ) ，那么称为s 上的左( 右) a m e n a b l e 偏序若5 既 是左a m e n a b l e 偏序又是右a i l l e n a b l e 偏序，则称s 为s 上的a m e n a b l e 偏序由文献 7 】命题5 2 1 知自然偏序冬就足逆半群上的最小的a m e n a b l c 偏序 引理2 2 设( s ，) 是偏序逆半群则下列命题等价： 6 ( i ) 是自然偏序的扩张( ! ) ； ( ( v e ，e ( s ) ) e ，错e ! ， 证明 ( i ) 弓( i i ) 设e ，厂e ( s ) 且e 厂给e ，两边左乘e ，可得e e 厂 又显然e ，! e ，于是，由得到e t 厂e ，从而，e ，= e ，这样就有e ! ，若e ! ， 则由墨可得e 厂 ( i i ) 号( i ) 设n ，6 s 且o56 则由文献【7 】命题5 2 1 可得6 1 0 = n 一1 0 ，口。一1 冬6 6 ，o 一1 n56 1 6 于是就有o o 一1 6 6 ，给上式右乘。有n 6 6 1 0 ， 进一步有o 6 口一1 0 ，由口一1 口6 1 6 可得口6 ( n 一1 8 ) 6 ( 6 1 6 ) = 6 ，即n 6 这表明 是自然偏序的扩张，即5 上述引理表明偏序逆半群上的偏序关系要是自然偏序的扩张当且仅当给定偏序和 自然偏序在幂等元集合上的限制是一致的从而，得到了逆半群上a m e n a b l e 偏序的 等价定义： 定义2 3 设( s ，) 是偏序逆半群如果自然偏序! 和给定偏序在幂等元集合 e ( s ) 上的限制是一致的，且对任意的o ，6 s ，ns6 暑n 一1 n16 1 6 ( o n 一1 6 6 1 ) ， 那么称为s 上的左( 右) a m e n a b l e 偏序若既是左a m e n a b l e 偏序又是右a m e n a b l e 偏序，则称为s 上的a m e n a b l e 偏序，称( s ，s ) 是a n l e l a b l e 偏序逆半群 设s 是逆半群考虑s 的如下子集合： e ( s ) ( = 伽f ( v e e ( s ) ) 既然e ( s ) 冬e ( s ) ( ，从而，e ( s ) ( 非空由文献 e ( s ) ( 为e ( s ) 的中心这样就有 e z = z e ) ， 【7 知e ( s ) 为s 的子半群，并称 引理2 4 设( s ，冬) 是a m e n a b l e 偏序逆半群则 证明 z 一1 z z ( v z s ) z 1 z z ：z z 一1 z 号( v e e ( s ) ) e z = z e 设z s 且z 一1 z z ，z z 一1 z 给z 一1 z z 两边左乘z 一1 z 可得z 一1 z 由是a m e n a b l e 偏序有z 一1 z 冬( z 一1 z z ) 一1 z 一1 丁z = z 一1 z 一1 z z5z 一1 z 这样得到z - 1 丁= z 丁。z z ，给上式两边左乘z 可得 z = z z 一1 z 一1 z z = z l z z z 一1 z2z l z z ( 2 1 ) 对任：意的e e ( s ) ，由z 一1 z z 可得z 一1 z e z e 由( z e ) 一1 z e = e z 一1 z e = z 一1 z e 可得( z e ) 。z e z e 在( 2 1 ) 中令z = z e ，则有z e = ( z e ) 一1 z e z e = e ( z 一1 z z ) e = e z e 类似地，由z z 一1 z 可得z = zq z 一对任意的e e ( s ) 由z z 一1 z 有 e z z 。e z ，进一步可得e z z 一1 = e z ( e z ) 一1 = ! 三e t 在z = z z z 一1 中令t = e z 就有 e 丁= e z e z ( e z ) 一1 = e z e z z 一1 e = e ( z 丁z 一1 ) e = e z e 由上证明得至z e = p z 7 西北大学博士学位论文 t s b 1 y t h 【3 1 1 给出了逆半群的m c a l i s t e r 锥形的概念，下面回顾一下这一概念 设s 是逆半群，c 是s 的子半群若 ( 1 ) c 是e ( s ) 的子半群； ( 2 ) cnc _ 1 = e ( s ) ； ( 3 ) ( v z s ) z c z 一1 c ， 则称c 为s 的m c a l i s t e r i 锥形由此可知e ( s ) 是s 的最小的m c a l i s t e r - 锥形 由文献 3 0 定理2 2 和定理4 1 。有如下的结果 定理2 5 设s 是逆半群，c 是s 的m c a l i s t e r - 锥形定义s 上的二元关系s c 如下： z c z z 一11 秒一1 ：z 一1 z ! 剪一1 ：z 一1 可，芗。一1 c ， ( 1 ) 则c 足s 上的a i l l e n a b l e 偏序 定理2 5 表明由逆半群的m c a l i s t e r 锥形出发，可以构造逆半群上的a m e n a b l e 偏序关系下面将证明由a n l e l l a b l e 偏序出发也可以得到m c a l i s t e r - 锥形 定理2 6 设s 是逆半群如果是s 的a 1 1 1 e 1 1 a b l e 偏序，那么存在s 的一个 m c a l i s t e r - 锥形c ，使得c = s ，其中，s c 是由( 1 ) 所确定的a m e l l a b l e 偏序关系 证明设是s 上的a i l l 锄a b l e 偏序令 c = z iz s ，z 一1 z z ，z z 一1s 。) ， 显然e ( s ) 冬c 由引理2 4 可得c 是e ( s ) ( 的子集设z ，分c 则有 一1 z 一1 删 ( j y 一1 ) 可一1 丁1 j 。_ f ， 可可一1 z 一1 z 秒 z 一1 z 可一1 可 ( z 一1 z ) 秒 z 可 同理可得z y ( z ! ，) 。z y 因此，z c 这表明c 是e ( s ) ( 的子半群 设z ，z 一1 c 则有z 一1 z z ，z z 一1 z 给z z 一1 墨z 一1 两边右乘z ，可得 zsz _ 1 z ，于是， z = z 一1 z e ( s ) ，从而， c nc 一1 e ( s ) 另一方面，容易看到 e ( s ) c n c 这样得到e ( s ) = c n c 8 对任意z s ? n c 有 ( z 。z 一1 ) 一1 ( 。o z 一1 ) = z n 一1 ( z 1 z 。) z 一1 2 z 口一1 n z 一1 z z 一1 z n t 1 ( o cse ( s ) ) ( o q o o ) 对偶地，可以得到( z n z _ 1 ) ( z o z 一1 ) 一1sz 鲫这样就有z 口z 一1 c ，因而，z c z 1cc 由定义可知c 是s 的m c a l i s t e r - 锥形 考虑如下定义的二元关系 zs c 箩 暑z z 一15 爹9 1 ，丁一1 z 芗一1 分，z 一1 箩，箩。一1 c 由定理2 5 知c 足s 的a n l e n a b l e 偏序关系 下面将证睨s c = 设c 贝i j 有a z 一15y 可一1 和z 1 7 ， z z 一1 由z 一1 可c ，可得( z 一1 ) 一1 ( z 一1 可) c 由z z 11 秒矽一1 可得z z 一1 y 一1 = z 一1 因此， z z 一1= z z 一1 可一1 =秒一1 r z 一1 可可一1 = ( 一1 z ) ( 2 一1 ) 夕一1 = 秒( z 一1 可) 1 ( z 一1 妙) y 一1 可( z 一1 ) y 一1 = 3 ，z 一1 ( z z 一1 一1 ) = 黟2 从而， z = z z 一1 z 秒z 一1 z 可3 ，一1 y = 于是得到c 设日，6 s 且n 6 由口6 可得n n 一11 的一1 和仃1 ns6 1 6 因 此， ( n 1 6 ) 一1 ( n 一1 6 ) = 6 1 0 0 一1 6 6 1 6 n 一1 6 = ( 6 1 6 n 一1 n ) n 一1 6 ：“一1 6 类似地，有 ( 。1 6 ) ( a 1 6 ) 一1 冬口一1 6 这样得到。一1 6 c 同理可得魄一1 c 由s ( ，的定义有 o c6 ，从而， 冬冬冬c 由上可得c = s 设s 是逆半群容易看到e ( s ) 是最小的m e a l i s t e r - 锥形由定理2 6 和文献 7 命题5 2 1