（基础数学专业论文）涉及例外函数的一个正规定则.pdf

摘要 设厂为区域d 内的一族全纯函数，若对于厂中的每一个函数，的零点重 级k + 1 ，且，( 奄( z ) z ，k 1 ，则厂在区域d 内正规 关键词：全纯函数，正规，零点，重级 a b s t r a c t a b s t r a c t ：l e t b eaf a m i l yo fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n so nt h ep l a n ed o m a i nd 。a l lo fw h o s e z e r o sh a v em u l t i p l i c i t ya tl e a s tk + l ，a n ds a t i s f y i n gt h ec o n d i t i o n ，( 七) ( z ) z ，后1 ，t h e n 厂i s n o r m a li nd k e yw o r d s ：h o l o m o r p h i cf u n c t i o n ，n o r m a l i t y ，z e r op o i n t ，m u l t i p l i c i t y 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，进行的研究工作及取得的研 究成果除文中已经注明引用的内容外，本论文的研究成果不包含任何他人撰写过的己公开 发表或未公开发表的研究成果，对本文所涉及的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均己 在文中以明确的方式标明并表示谢意本学位论文原创性声明的法律责任由本人承担 学位论文作者签名：斗培易 2 口口窖年6 月彦日 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关收集、保存、使用学位论文的规定同意如下各项内 容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保留学位论文并向国家主 管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，并采用影印、缩印、扫描、数字化和其他 手段保存论文：有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制或全部内容用于学术活动并允 许论文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索：有权将学 位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名： 牛譬廖 7 - 口0 2 年月日 导师躲忿晰 ；2 o op 年 6 月 占日 第一章引言 第一章引言弗一早ji苗 十九世纪末期，数学家e p i c a r d 和e b o r e l 对于整函数和亚纯函数的根进行了研究，并 且取得了一系列突出的结果，他们的工作以及后来的一系列数学家的贡献，构成了整函 数和亚纯函数值分布论的基础在值分布论的发展中，r n e v a n l i n n a 做出了巨大的贡献他 在1 9 2 5 年引入了亚纯函数的特征函数，并且建立了n e v a n l i n n a 第一和第二基本定理，特征函 数的概念和这两个定理在很长时间内成为了值分布论的基础 在二十世纪初，p m o n t d 引入了正规族的概念，正规族本质上是一族全纯函数或者 亚纯函数的列紧性m o n t e l 将函数族的的正规性和函数族的取值联系起来，建立了著名 的m o n t e l 正规定则在函数族正规性的判断上，很长一段时间以来都是采用直接计算的方 法，通过判断函数族的球面导数是否内闭一致有界来实现的直到以色列数学家z a l c m a n 提 出了z a l c m a n 弓i 理，提出如果函数族厂不正规，那么可以在原函数族的基础上构造一列函数 内闭一致收敛到c 上的某个非常值亚纯函数，这样就可以用反证法来研究一些正规族的问 题庞学诚教授对该定理做了重要的也是实质性的推广，使之可以运用到导函数上，从而可以 用来研究涉及导数的正规族的判定问题 定义1 1 设厂为区域d 内的一族全纯函数如果从厂中任一函数序列厶( z ) 均可选出 它的一子序列厶。( 名) 在该区域d 上内闭一致收敛到一个全纯函数或内闭一致趋于1 9 0 ，则 称厂在区域d 内正规 定义1 2 设f ( z ) 在区域d 上解析，则f ( z ) 在点2 ：0 d 的球面导数为 饩神气1l i m 斜 其中l ，( z ) ，f ( z o ) 1 2 了弄页2 1 f 而( z ) - 、f 伍( z o 丽) t 为，( z ) 与，( 询) 的球面距离因此 戌小三溉背= 并器 第一章引言 定义1 3 设芦为区域d 内的一族亚纯函数如果从厂中任一函数序列厶( z ) 均可 选出它的一子序列厶。( 名) 在该区域d 上按球面距离内闭一致收敛，则称厂在区域d 内正规 在讨论函数族的正规性时，开始是关于函数族中的函数或其导数不取固定常数的研 究，例如h a y m a n 关于正规定则的猜想在上世纪七八十年代全部得以证明，得到了一系 列p i c a r d 型正规定则后来拓展到关于函数族中的函数或其导数不取固定函数的研究，下面 是关于这方面内容的几个定理( 见 2 ，3 ，4 】) ： 定理1 1 设厂为区域d 内的一族亚纯函数，七是一正整数，厅( z ) ( o ) ，在区域d 内全纯且 它的零点均为重级零点，若对于厂中的每一个函数，的零点重级k + 2 ，且厂( 七) ( z ) h ( z ) ，则厂在区域d 内正规 定理1 2 设厂为区域d 内的一族亚纯函数，k 是一正整数，危( 名) ( o ) ，在区域d 内全 纯，若对于，中的每一个函数，的零点重级k + 2 ，极点均为重级极点，且，( 功( z ) h ( z ) ，则厂在区域d 内正规 定理1 3 设厂为区域d 内的一族亚纯函数，k 是一正整数， ( 名) ( 0 ) ，在区域d 内全 纯，若对于厂中的每一个函数，的零点重级k + 3 ，且，( 惫( z ) ( z ) ，则厂在区域d 内 正规 由上面三个定理我们可以知道，在涉及到例外函数的正规性判断时。对例外函数和函数 族的要求相对比较高，那么关于上述定理能否把条件减弱一下，如能否把厂中的零点重级降 低一下呢? 在对这个问题的思考下，我们得到了以下一个结论，也是本篇论文所要证明的定 理： 2 第一章引言 定理设厂为区域d 内的一族全纯函数，若对于厂中的每一个函数，的零点重 级k + 1 ，且，( 七( z ) z ，k 1 ，则厂在区域d 内正规 3 第二章有关引理 第二章有关引理 弗一早伺大亏i 璀 引理2 1 ( p a n g z a l c m a n 引理) ( 【l 】引理2 ) 设厂是单位圆盘上的亚( 全) 纯函数族，所有 零点至少k 级且存在m 1 ，使得对任意f 厂，在，的零点处都有i ，( 七) ( z ) l m ，如果 在询处不正规，则对任意0 o t k ，必存在 ( 1 ) 点列，_ 初， ( 2 ) 一列函数厶厂， ( 3 ) 一列正数p n _ 0 使得 丛譬盟：鲰( ) _ 夕( ) 一= ，l l ，i r j l 广l ，n 。4。 关于球面距离局部一致收敛，其中9 为c 上的亚( 全) 纯函数且满足夕存( ) 夕券( 0 ) = 庇m + 1 引理2 2 ( 最大模原理) ( 5 1 ) 设歹在区域d 内解析，则lf ( z ) i 在d 内任何点都不能 达到最大值，除非在d 内f ( z ) 恒等于常数 引理2 3 ( m o n t c l 定则) ( 7 】) 设厂是区域d 内一族一致有界的解析函数，则厂在区 域d 内是正规的 引理2 4 ( h u r w i t z 定理) ( 【6 】) 设 厶( z ) ) 是区域d 上的一个解析函数列， 厶( z ) ) 内闭 一致收敛于一个非常数的解析函数f ( z ) ，若方程 i ( z ) = a 在d 内有解，则当咒充分大时，方程 a ( z ) = a 在d 内也有解 4 第二章有关引理 引理2 5 ( m a r t y 定理) ( 6 1 ) 设，为区域d 上的一族解析函数，那么厂在区域d 上正 规的充要条件是：对区域d 内的任意一个闭子集e ，存在正数m ，使得 ，孝( z ) m ，z e 5 第三章定理的证明 得 第三章定理的证明 证明：不妨设区域d 是单位圆盘，若厂在点询不正规， 情形1 ：若z o 0 ， 由p a n g z a l c m a n 引理知，存在函数列厶厂，点列叫z o ，一列正数p 疗一0 ，使 圳：掣 按照球面距离内闭一致收敛于一个非常值的全纯函数9 ( ) ，并且9 参( 专) 矿( o ) = k + 1 ，( m = 1 ) 由于厂中的函数零点重级k + 1 ，所以9 ( f ) 的零点重级k + 1 毋( ) = f n ( k ) ( + 脚) z a + 肌一z o ， 由h u r w i t z 定理知，9 ( 七) ( 善) z o ，或者9 ( ( ) 三z o 若9 ( 知) ( f ) 徇，则9 ( 七) ( f ) = z a + a e 县 ，( a 0 ) 因为夕( ) 的零点重级七+ 1 ，所以b = 0 则夕( 惫) ( 毒) = z o + a ， k j 、_ k 夕( ) ：厂9 ( 七( ) 翻：矗( 幻+ a ) 驴+ 尸( 专) ，多项式p ( 莓) 的次数晃一1 ，因 为9 ( ) 的零点重级k + 1 ，所以多项式尸( ) 的次数= 0 ，故 9 ( ) = ) i 1 ：、z o + a ) 知，与9 ( ) 的零点重级k + l 矛盾 若夕( 七) ( ) 兰z o ，则夕( f ) = 两1 动七十q ) ，多项式q ) 的次数七一1 ，同样因为9 ( 荨) 的 零点重级k + 1 ，所以多项式q ( ) 的次数= 0 ，故 9 ( ) = j 5 1 ：z o p ，同9 ( 专) 的零点重级忌+ l 矛盾 所以厂在a 7 = _ 【o ) 上正规， 情形2 ：若z o = 0 。 6 第三章定理的证明 令 = 冬i ，厂) 假设 在z = 0 处不正规，由p a n g z a l c m a n 引理知，存在r 兀，一0 ，肪叫 0 + ，使得 枨，= 半= 嬲 按照球面距离内闭一致收敛于一个非常值的全纯函数夕( f ) ，并且9 孝( ) 夕孝( o ) = k i a + 1 1 + 1 ，且夕( ) 的零点重级k + 1 考虑以下两种情况： c a s e1 ：薏一。o 时， 舭) = 帮+ o ( 1 ) l ， 由h u r w i t z 定理知夕( 七) ( ) 1 或者夕( 知) ( ) 三1 ， 若夕伪) ( ) 1 ，贝0 夕( 七) ( ) = 1 + o e k ，( a 0 ) 因为夕( ) 的零点重级k - t - 1 ，所以b = 0 。 所以夕( 七) ( ) = 1 + a ， 则9 ( ) = 击( 1 + n ) 驴+ 只( ) ，多项式p 1 ( ) 的次数七一1 ，因为9 ( f ) 的零点重 级忌+ 1 ，所以多项式p 1 ( 专) 的次数= 0 ，与9 ( 乏) 的零点重级耙+ 1 矛盾 若夕( 南( ) 三l ，则夕( ) = 蠢知+ q l ( ) ，多项式q l ( ) 的次数k 一1 。因为9 ( ) 的零点重 级k + 1 ，所以多项式q 1 ( ) 的次数= 0 ，也同9 ( ) 的零点重级七+ 1 矛盾 c a s e2 ：舞叫口o o 时， 令 g 旅) = 铲= 羰一熊刊刊n g ( ) 是整函数，且零点重级尼+ 1 1 第三章定理的证明 因为 由h u r w i t z 定理知，g ( 七) ( f ) a ：若g ( 七) ( ) g ：掣扎 或者g ( 忌) ( f ) 兰 则g ( 忌( ) = 4 - c e d ( g o ) 因为g ( ) 的零点重级k + 1 ，所以d = 0 ， g ( 知( ) = + c ，因此 g ( f ) = 两1 可( + c ) m ， 由h u r w i t z 定理知，j 靠叫一c ，使得 g 熊) = 掣扎 则厶( 妒牡竹) = 0 。 1 ) 如果| 6 0 ，使得厶( 佗充分大后) 在a ( o ，6 ) 内只有一个零点z n = p r , 厶， 记 & ( 名) = 厶( z ) ( z 一) 七+ 1 因为厶是全纯的，且厶在= 0 上正规，在z = 0 点不正规， 所以在7 = a o ) 上厶内闭一致趋于o 。，。 所以 ) = 害蜘一o o ，z “， 所以晶( 2 触靠) 一o o 。但是 踯碥) = 裂一黼o o ， 矛盾 2 ) 若对vd 0 ，厶( 扎充分大后) 在a ( o ，d ) 内至少有两个零点， 不妨设另一个零点为厶= 砌一0 ，( 厶) = 0 ，且 8 第三章定理的证明 厶在( ，l 厶一磊i ) 内没有其它零点， 显然 生叫。，_ z n 叫0 ， 即 一。，一q n 叫0 ， 记 嘶) = 糌， 则巩( 名) 在( 0 ，i 1 ) 内只有一个零点若笔 因为凰( z ) 的零点重级k + 1 且( z ) ( z 由情形l 和1 ) 知，风z ) 在c 上是正规的 所以存在一个子列风( z ) ( 为避免麻烦仍记为巩( z ) ) 巩( z ) 一h ( z ) ，石c ， 因为 爵z i n o ，壶一1 ， 砖( 士) = 0 ，砖( z ) z ， 、，n作 所以日( z ) ( 七) 三z 所以 脚) = 南少+ 1 因为 玩( 丢) = 0 ， 、n ，n 所以h ( 1 ) = 0 ，矛盾 b ：若g ( 七) ( ) 三，由g ( ) 的零点重级k + 1 得 g ( ) 2 南f 1 9 第三章定理的证明 所以 计算得 夕( 一a ) = 丢可六 k c r k - 1 矿( o ) = 蒜蔫 1 以 ! 瓦， 与9 弁( o ) = k 1 a + 1 】+ 1 矛盾所以五在0 点正规 下面证明，在0 点正规 因为五在z 等。处正规，所以存在子列 譬) 在名= 0 处一致收敛，而，n ( o ) 0 ，否 则( o ) = o 与f n ( k ) ( z ) z 矛盾 所以譬1 名：o = c x ) ，因此存在6 1 0 ，a 6 。= z ：iz | 6 1 ) ，当z 6 。时，i 誓l 1 于 是l 譬i 0 ，z a 6 。 设尸在6 ，上不正规，则必存在子列厶歹在：，的任意紧子集上一致收敛，但 没 有任何子列在0 的小领域上一致收敛由球面距离的不变性，全纯函数族万1 同样满足上述 性质，根据最大模原理和m a n t e l 定则可知，瓦1 在0 的一个紧子集上一致收敛到o 。，因 此厶在：的一个紧子集上一致收敛到0 ，从而矗= 厶z ) ，同样在：。一个紧子集上一 致收敛到0 ，而这与当z 6 。时，ir ( z ) l 1 矛盾因此厂在6 。上正规，从而在整个圆 蒲e 正规 1 0 参考文献 【l 】p a n gx u e c h e n g z a l c m a n ，l ，n o r m a l f a m i l i e sa n ds h a r e dv a l u e s 【j 】，b u l l l o n d o n m a t h s o c ， 3 2 ( 2 0 0 0 ) ，3 2 5 - 3 31 2 1p a n gx c ，y a n g dg ，z a l c m a nl n o r m a lf a m i l i e so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s i n d i a n a u n i v m a t h j ，2 0 0 5 ，5 4 ( 1 ) ：2 2 3 2 3 5 【3 】p a n gx c ，z a l c m a nl n o r m a lf a m i l i e so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sw i t hm u l t i p l ez e r o sa n dp o l e s i s r a e l j ，2 0 0 3 ，1 3 6 ：1 - 9 【4 】x uy n o r m a l i t ya n de x c e p t i o n a lf u n c t i o n so fd e r i v a t i v e s j a u s t s o c ，2 0 0 4 ，7 6 ：4 0 3 - 4 1 3 【5 】钟玉泉复变函数论北京：高等教育出版社，1 9 7 9 ，1 6 9 - 1 7 0 【6 】庞学诚，梁金荣，柴俊复变函数北京：科学出版社，2 0 0 3 ，7 7 7 8 【7 】p a u lm o n t e l n o r m a lf a m i l i e s s p r i n g e r - v e r l a g 1