（通信与信息系统专业论文）时频分析的hilberthuang变换及小波方法.pdf

时频分析的h i l b e 巾h 咖g 变换及小波方法 摘要 在非平稳信号的分析中，人们希望时频分析工具能在时域与频域同时具有良 好的分辨率，这样信号频率随时间的变化情况以及复合信号中的多分量特性才能 被精确地表现出来。近年来，一种由数据直接驱动的信号处理方法h i l b e m h u 孤g 变换( h h t ) 被提出，它具有自适应的频率分辨率，因而在工程领域得到广泛应 用，然而它自身存在一些缺陷，影响了其时频分析能力。 本研究给出了h h t 核心的经验模态分解( e m d ) 方法在分解多分量信号表 现上的数值分析结果，讨论了h h t 受限的频率分辨率。基于对删t 本质局限性 的认识，本研究结合了多种改进方法来减少h h t 所产生的诸如模态混叠和虚假 分量等问题，提出了一种综合的h h t 改进方法：利用最大重叠离散小波包分解 ( m o d w p t ) 进行多分量信号的二分非相交分解，然后对低频窄带信号进行进一步 的经验模式分解，并且采用一种简单有效的筛选方法去除固有模态函数( i m f ) 分量中的虚假分量，得到了优于传统删t 的实验结果。同时文章还讨论了改进算 法在不同情况下的适用性和局限性。 此外，本文还介绍了一种从小波尺度谱中提取小波脊，从而构成小波瞬时频 率谱的时频分析方法。通过与h h t 及其改进方法的实验比较和分析，研究表明这 种基于小波变换的瞬时频率分析方法能够产生关于非平稳多分量信号的更精确 更清晰的时频特征描述。 关键词：时频分析，h i l b e r t h u a n g 变换，经验模态分解，最大重叠离散小波 包分解，小波瞬时频率谱 v 时频分析的h i l b c m h 啪g 变换及小波方法 a b s t r a c t f o rn o n - s t 撕o n a 巧s i 伊a l 距a l y s i s ，i ti se x p e c t e dt h a ta 捌t i m e - 嘲u c y t 0 0 ls h o u l dh 趴，e g o o dr 髓o l u t i o ni nb o mt i i i l e 觚d 台e q u c yd 0 i n a i n m a tm e v a r i a t i o no f 台e q p e n c yc o m p o 球m t sw i m 缸ec o u l db ed e t 戗m j l l e d t h er e ：c l e n t d a 协赫v 吼t 1 0 0 l ，h i l b e n - - h 啪g s f o m ( h h d ，p r 0 啊d 髂as u i t a b i em c n l o d 矗w t i m 争丘e q u 吼c y 姐a l y s i s 谢n la d 印h v c 侬：q 啪c yr e s o l u t i o i l y 晚s i l 绦弱缸脚s o r 鹏 u n s o l v e dd e 丘c i e n c i e s 1 l l i ss 伽y 百v 骼l en u m 耐c a l 锄a l y s i so fh o we m p i r i c a lm o d e d e c 0 m p o s i t i o n m e 吐l o d - _ 、i l j c hi s 也ec o t e c h n o l o g ) ro f 圮h h tm e n l o d - - p e r f o 吼si i lm e s e p a 瑚t i o no f m u l t i - c o m p o n e n ts i 弘a l s 锄dd i s 饥垮s 懿t h e 托s o l u t i o np r o p e n i 鹪o fh h t 0 i l ln l e1 1 i l d 翎北锄d i n go ft l l el i m i t o d i l e s so f 硼t ，o u rr 锱e a r c hc o m b i n 懿s e v e f a l t e c h 0 1 0 百舒t 0 锄e l i o r a t ct l l ed e 丘c i 铋c i 嚣s u c h 勰m o d em i x i n ga 1 1 dm l d 器i r a b l e p s 即d o - c o m p o n e n tp r o b l 锄b ys e e 薹【i n gh e l p 舶mt l 圮m a ) 【i l l l a lo v 甜a pd i s c r e t e w a v e l e tp a c l ( e tt r a i l s f o n n ( m o d w p d ，廿l ed i s j o i n td y a d i cd e c o n l p o s i t i o nm e k d a 1 1 das i m p l eb u te 侬斌i v cs c r e 锄j l l gp r o c e s s 蠡时h l t r i n s i cm o d ef u i l c t i o n ( i m f ) s e l e c t i o n ，ac o m p r e h e n s i v ei m p r o v e dh h ti sp u tf o 州a r d s e 、，e r a lc x p 萌m e i l t a ls t u d y c 嬲锚w i l lb eu s e dt 0v a l i d a t em ec a p a b i l i t i e so ft h ei m p r o v e dh h t m e a l l w h i l e ，t h e e 伍c i 锄c ya n d1 i 1 i l i t a t i o no ft l l i sa l g o r i n l i nu n d e rd i f 断e n ts i t u a t i o n si sd i s c u s s e d i i la d d i t i o n ，衄sp 印e ri n 仃o d u c e s l cw a v e l e ti n s t a l l t a j l e o u sf r c q u e i l c ys p e c t n l i l l w l l ic ：hi sc 0 n s 协j c t e dm r c i u g hi d 嘶i 聊n gm ew a v e l e tr i d g ef b mw a v e l e ts c a l o g r a m c o n l p 删i v ee x p e r i m e n t s d e m o n s 仃a _ ：t et l l a tm i sw a v e l e t - b 硒e di n s t a l l t 锄e o u s 缸q u e n c y 锄a l y s i st o o lo f f 砸m o r ep r e c i s ea n dc r i s pt i m e 一丘明u e i l c yd e s 嘶p t i o no f n o n s t a t i o n 哪m u l t i - c o m p o n e n ts i 印a l sn l a nh h t d o e s 1 1 l i s6 n d i n gm a yh e l pt 0 e l i l l l i n a t et h ed o u b to f w a v e l e t ss u i t a b i l i t yf o rt i m e e e q u 伽l c ya 1 1 a l y s i s k e ”v o r d s ：t i m e f r e q u e n c ya n a l y s i s ；h i l b e n h u a n gt r 锄s f o m ；e i n p i r i c a lm o d e d e c o m p o s i t i o n ；m a x i m a lo v e r l a pd i s c r e t ew a v e l e tp a c k e t1 r a n s f o n n ；w a v e l c t i i l s t a n t a l l e o u sf r e q u e n c ys p e 咖 v i 时频分析的h i l b e m h u 柚g 变换及小波方法 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名之社期： 学位论文使用授权声明 2 0 0 84 2 0 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 学位论文作者签名：古a 日期： 窨爵炅 导师签 i i i 时频分析的h i l b e m h u 柚g 变换及小波方法 第一章绪论 1 1 时频分析研究的意义 信号的时间描述是主要的信号分析手段，然而为了更深入地理解信号，就需 要研究它们的不同表示。除了时间以外，最重要的表示是频率。f o u r i e r 提供了 信号的频谱分析方法，它在平稳信号处理中几乎处于不可替代的地位。 但是，f o u r i e r 频谱分析存在严格的限制条件：系统必须线性；待分析信号 必须是严格周期或者平稳的。若时间序列“f ) 为广义平稳过程，它必须满足以下 条件： e x ( f ) 】= 朋 研ix ( f ) 2i 】 o ) ，对于小 的口，函数在原点是峰值，沿两个轴都是1 ，而且远离两个轴时迅速下降。因此， 这个核满足降低交叉干扰的准则。 图2 4 ( a ) ( b ) 分别显示了蝙蝠声波的w i g n e r v i l l e 分布与c h o i w i l l i 鲫分 布，可见w v 分布和短时f o u “e r 变换相比拥有很好的时频分辨率，但是它存在 十分明显的干扰交叉项，而c w 分布则以降低分辨率为代价部分地消除了交叉项。 d5115 删闾f s )时间( s ) 。f 0 3 幽24 蝙蝠声波的( a ) w 1 舯e rv 订1 e 分布与( b ) c h o i _ w i l l i 锄分布 2 3 时频分析的一般性问题 7 6 5 4 3 2 一n h ) 阱虽一h ) 阡擎 时频分析的h i l b c n - h u 锄g 变换及小波方法 除了以上介绍的传统时频方法，近年来涌现出多种多样的时频表示形式，如 白适应的平滑w d ，高阶非线性分布，进化谱分析( e v 0 1 u t i o n a r ys p e c t r u m ) ， 实验正交函数分解( e m p i r i c a lo r t h o g o n a lf u n c t i o ne x p a n s i o n ) 等等。其性 能各不相同，对于应用研究来说，弄清一些典型分布的性能特点是最重要的任务， 因为不存在一种分布对于任何应用目的都是很好的，有些分布虽然有一些严重的 缺点，但它在另一方面的长处对于解决某个特殊应用来说却有可能是最理想的。 作为非平稳信号的时频分析方法，一般应该满足下列条件： 1 完备性。它保证了信号分解的精度要求。 2 正交性。它保证了能量的非负性，并且能够避免能量的泄漏。 3 局部性。由于非平稳信号不存在周期性，所有的事件都必须通过发生时刻确 定，所以要求幅值( 能量) 和频率都应该是时间的函数。 4 自适应性。我们不能期待有一个预定义的基函数能满足所有的物理性质，一 种最方便的办法就是通过信号本身产生所需要的自适应基函数。这一点在下 一章介绍的眦l b e r t h u a n g 变换中表现的最为突出。 1 0 时频分析的h i l b e n h 啪g 变换及小波方法 第三章h i l b e r t h u a n g 变换 1 9 9 8 年，n e h u a n g 【3 j 创造性地提供了单分量信号的一种定义，即固有模态 函数( i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n ，简称i 肝) ，以此来刻画信号在每一个局部 的振荡结构和频率分量。h u a n g 在使用经验模态分解方法( e m p i r i c a lm o d e d e c o m p o s i t i o n ，简称e m d ) 将信号分解成具有单分量特性的i m f 之后，对它们 进行h i l b e r t 变换( h i l b e r tt r a n s f 0 珈，简称h t ) 从而得到实信号的解析形式， 同时获取有明确物理意义的瞬时频率( i n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c y ，简称i f ) ， 并最终将各个i m f 的时频谱叠加成为信号的时间一频率一能量分布，称为h i1 b e r t 囊噍 旧。 以上的信号分析过程被称为h i l b e r t h u a n g 变换或者e m d + h t 方法，它对非 平稳信号的处理有较强的适应性，有效地弥补了传统时频分析方法的不足。在介 绍此方法之前，需要对瞬时频率有个清晰的了解： 3 1 瞬时频率与h i l b e r t 变换 时频分析主要关心信号的频谱随时间变化的情况，此时需要引入瞬时频率的 概念。对于实信号，其能量密度频谱总是以原点对称的，由于这种对称性，信号 平均频率的计算结果将为零值，这并不符合直观的物理意义。g a b o r 建立的“解 析信号方法 提供了构建复信号的方法，这个复信号有和正频率的实信号完全相 同的频谱，而对于负频率，其频谱为零。通过计算此解析信号，可以确定其相位 并由此推演出有直观物理意义的瞬时频率。 如果实信号s ( f ) 频谱为s ( 缈) ，那么对应的复信号z ( f ) 就由s ( 国) 的反变换给 定，积分只在正频率范围进行，即： 1“ z o ) = 2 若一【s ( 缈) p 叫d 国 ( 3 1 ) 代入s ( 缈) = 去j ( f ) p 一埘出后推导可得： 砸一+ 丢牌以 上式中的虚数部分是这个信号的h i l b e r t 变换，记为： h 】= 去群 如此，就可以明确地定义复信号z ( f ) = 口( f ) p 如的幅度和相位： ( 3 2 ) ( 3 3 ) 时频分析的h i l b e n h 啪g 变换及小波方法 砸) = 瓜丽：丽瑚) 圳趾端 讯4 ) 于是可以计算出瞬时频率： 胁等= 堕氅铲 慨5 ) 这种利用解析信号得到的瞬时频率的方法具有单值性，仅在计算单分量信号 ( 即一个时间尺度上仅含有单个频率分量) 时有效，而对于多分量信号( 即瞬时 频率随时间变化的单值性不能保证) 则完全失效。l o u g h l i n 【1 4 】对双分量信号 z o ) = 4 2 研+ 4 2 卿进行瞬时频率计算后得到： 俐= 等= 华+ 丽孝眷 6 ) 从上式可见，除非i4i = 4i ，否则这个计算结果甚至和双分量的平均频率都相 差甚远。 然而，实际中的待分析信号往往是多分量的。于是就有必要将多分量信号分 解成单分量的信号，然后分别进行瞬时频率的计算。据此，n e h u a n g 提出了经 验模态分解的处理方法。 3 2 经验模态分解 对于单分量信号，并不存在严格的数学定义，n e h u a n g 则给出了既实用又 有利于理解的经验性描述：它必须关于时间轴局部对称，且其过零点与极值点个 数相同。此类函数被称为固有模态函数( i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n ，简称i m f ) ， 它必须满足以下两个条件： 1 ) 在整个信号持续的范围内，其过零点的个数与极值点个数相等或者至多相差 二个； 2 ) 在信号任意点处，由局部最大值定义的包络线与由局部最小值定义的包络线 关于时间轴对称。 第一个条件的意义是明显的，它类似于平稳高斯过程的窄带条件，即在i m f 中不能出现大于零的极小值，也不能出现小于零的极大值。第二个条件则是将传 统的全局条件修改为局部条件的结果。这对保证在瞬时频率中不出现由于波形的 不对称而引起不希望的波动是必要的。理想情况下，该条件应该是数据的局部均 值为零，但对于非平稳信号，局部均值的计算与局部时间尺度有关，但这却是无 法确定的。因此，在e m d 中使用由极大值和极小值定义的包络的局部均值来代替 实际的均值以保证每个i m f 的局部对称性。这虽然是一个近似，但是它能避免确 1 2 时频分析的h i l b 硼- h u 籼g 变换及小波方法 定局部平均时间尺度。虽然它会因信号的非线性变形而引入一些虚假频率，但是 我们将可以看到，非线性的影响比非平稳性的影响要小得多。在实际计算时，只 需要上下包络的均值小到一定的程度，我们就认为它已经满足了i l f 的条件。 每一个i m f 只包含一种振荡模式，虽然它不一定是窄带信号，但不该存在多 模态混叠的现象，对它进行瞬时频率的计算理论上可以得到正确的结果。对于任 意信号，为了能够应用以上介绍的方法获得瞬时频率，就岿须把信号分解为一系 列i m f 的组合，经验模态分解方法就能完成这一分解任务。 不同于其他的信号处理方法，e m d 是纯数据驱动的操作式运算，不需要像小 波那样预置基函数，在分解操作中，基函数是直接从数据本身得到的，因此它有 很强的自适应性。e m d 是一个筛选过程，在一次次的迭代中将筛选算法施加于被 分解信号之上，迭代直到符合某种停止准则而结束。对于待分解信号“f ) ，筛选 算法描述如下： 1 确定x ( f ) 的所有极值点； 2 用三次样条曲线对极小值点进行拟合，得到下包络曲线( f ) ，按照同 样方法对极大值点进行拟合，得到上包络曲线o ) ； 3 计算平均曲线m ( f ) ：刍尘箬坚盟； 么 4 从信号中将平均曲线去除，得到3 ( f ) = x ( f ) 一所( f ) 。 当，1 次迭代以后符合某种停止准则，则迭代结束。n e h u a n g 给出的迭代停 止准则为： k ( f ) 一( f ) 1 2 肋= 盟f 一 ( 3 7 ) s ：。( f ) ，= 0 s d 是筛选门限值，一般取值为o 2 0 3 ，若计算s d 小于这个门限值，筛选 迭代将会结束。此时刀次筛选完毕所得的z ( f ) = s 。( f ) 即第一个i m f ，而剩余信号 ( f ) = x ( f ) 一d 。( f ) 则会进入下一轮的筛选迭代，即( f ) = 吐( f ) + 吃( f ) 。k 次分解以 后，可得到( f ) ，当k ( f ) 没有足够的极值来定义平均曲线时，分解自动停止。 从而可得到x ( f ) 的表达式： x ( f ) = 喀( f ) + 幺( f ) ( 3 8 ) 七= l x ( f ) 由k 个固有模态函数畋( f ) 和1 个剩余信号珞( f ) 叠加而成，e m d 分解后形 1 3 时频分析的h i l b e n - h u 锄g 变换及小波方法 成的i 肝分量将近似满足单分量特性，这为h i l b e r t 能量谱的刻画提供了方便。 3 3m l b e r t 能量谱 对信号进行啪分解得到多个i i f 反( f ) 以后，便可利用( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 式分别求得其解析信号的能量q 2 0 ) 和瞬时频率q ( f ) ，这使每一个i m f 分量都能 够被表示成能量关于时间和瞬时频率两个分量的函数并刻画到三维谱中，称为 h i l b e r t 能量谱。为明确反应局部时间某个频率成分对信号能量的贡献程度，根 据n e h u a n g 的定义，信号x ( f ) 的h i l b e r t 能量谱由其分解而得的i m f 分量的能 量时频分布在时间一频率一能量三维谱上的叠加而得，其表达式为： r 日( 彩，) = q 2 p ) 研缈一q ( f ) 】 ( 3 9 ) | | = l 3 4h i l b e n - h u a n g 变换实例 学者p f l a n d r i n 开放了其研究小组关于e m d 的m a t l a b 与c 语言实现算法 【1 5 】，由于代码具备良好的完备性和健壮性，其应用十分广泛，本研究的经验模态 分解的程序模块就直接使用了其中的e m d 函数。 g r i l l i n g 描述了此e m d 算法实现中的关键问题【1 6 】：虽然三次样条插值的 曲线拟合方法只有二阶光滑性，会产生过冲与欠冲，但是其他的拟合手段如线性 和多项式拟合皆会造成e m d 筛选迭代过多的后果。因此，在出现更合理的处理手 段前，三次样条插值仍是首选的拟合方法；此文同时提到，由于e m d 算法仅适用 于离散信号的分解，而信号的每个极值都必须被正确地表示和检测出来，因此对 模拟信号的过采样( o v e r s a m p l i n g ) 是进行有效e m d 分解的前提【1 8 】【1 9 1 ；另外， 考虑到边界条件( b o u n d a r yc o n d i t i o n s ) ，为了尽量减小因有限采样而引起的 误差传递( e r r o rp r o p a g a t i o n ) ，g r i l l i n g 采用了近边缘极值镜像的方法， 得到了理想的结果。 e m d m 【1 5 】中最值得注意的一点是其独特的筛选迭代终止条件，它引入了评估 函数： 仃( f ) ：k 趣生鱼刨 ( 3 1 0 ) “i ( f ) 一气m ( f ) i 其中。( f ) 与e 。；。( f ) 分别为极大值包络曲线和极小值包络曲线。设定三个门 限值日( 默认值为o 0 5 ) 、幺( 默认值为o 5 ) 与口( 默认值为0 9 5 ) ，规定 当盯( f ) 小于q 的比例达到口，且不存在大于幺的值时，筛选迭代中止。 为了更好地说明e m d 的筛选分解能力，现举一简单的复合信号为例。图3 1 中最下方的波形是由三个等幅的单分量信号叠加而成，其中信号1 是振荡频率为 1 4 时频分析的h i l b 薛h i m g 变换及小波方法 5 h z 的低频正弦波，信号2 是振荡频率从2 5 h z 缓慢递增到6 0 h z 的单调线性啁啾 信号，信号3 是振荡频率为1 5 0 h z 的高频余弦波。复合信号的持续时间为1 秒， 为满足e m d 的过采样要求，采样频率被设定为1 酬z 。此复合信号由于每个时间 点都含有不同的频率分量，必定是一个多分量信号，因此在直接对其进行使用解 析函数的方法求得瞬时频率之前必须对它进行预分解。 图3 1 由两个等幅正余弦与单调线性啁啾信号叠加而成的多分量复合振荡波形 依照筛选方法的运算，e m d 将先通过识别出上下极值点的包络均值( 其变化 最缓慢的低频趋势) 给层层滤除，最终得到的第一个i m f 必定是信号中振荡最快 的分量，对余量信号依次套用e m d 运算，得到的i m f 振荡速度将逐渐变慢。 根据图3 2 所显示的复合信号的分解过程，e m d 一共分解出了4 个i m f 和一 个变化趋势缓慢的余量信号，其中前3 个i m f 如预期的那样，频率从高到低排列， 且集中了原始信号序列中最显著的信息，形象地说明了i m f 的尺度变化特点。从 图3 3 所最终得到的h i l b e r t 能量谱中可知，e m d 的分解比较有效，能将混杂在 复合信号中的单分量信号一一成功地提取出来，对于每一个i m f 分量，瞬时频率 函数都能保证单值性，对于一个复合信号，在任意时刻，可以得到多个瞬时频率 值，从而得到信号的瞬时频率谱。撇开边界问题，振荡频率为5 h z 、1 5 0 h z 的正 余弦分量以及啁啾信号分量的出现时间和能量分布被准确地反应在h i l b e r t 时 频能量谱中。 时频分析的h i 胁m h l i a n g 变换及小波方法 图3 2 啪方法对复合振荡信号的分解，共产生4 个i m f 和一个剩余趋势信号 n 工 t ( s ) 图3 3 复合信号经h il b e r t h u a n g 变换后得到的时频能量谱图 1 6 l e c 量 一l 至一 n l 至一 n l 三一 寸k 芝一 时频分析的h i l b e m h u 锄g 变换及小波方法 第四章h i l b e r t h u a n g 变换的综合改进 经验模态分解是h i l b e r t h u a n g 变换的关键算法，它分解信号的能力直接影 响到删t 的实用性和应用价值。本章将引用g r i l l i n g 与p f l a n d r i n 对e m d 方法的数值分析成果【l 刀来重点讨论它在分解信号上的局限性，并针对其模态混叠 和易产生虚假分量的缺陷引入了o l h e d es 【6 】【7 】【2 0 】的最大重叠离散小波包分解方 法对信号进行自适应的窄带预分解，同时参考了z k p e n g 等人1 4 】【5 】的归一化相 关性甄别方法对低频窄带信号分解出的i m f 进行筛选，形成了基于最大重叠离散 小波包预分解的综合改进方法。通过对实验结果的观察，验证了其改进效果，根 据实验分析，本章的结尾还讨论了此改进方法的适用性与局限性。 4 1 经验模态分解的数值分析 为了更好地改进h i l b e r t h u a n g 变换的，首先需要对传统e m d 的分解能力有 个量化的认识。g r i l l i n g 与p f 1 a n d r i n 【1 7 1 对e m d 算法进行了数值实验观察， 并且从理论上支持了其实验结果。 4 1 1 双分量信号模型 研究建立了简化的双分量信号模型： x o ；口，厂) = c o s 2 万f + 口c o s ( 2 万夕+ 矽) ，f 之 ( 4 1 ) 其中，厂代表两个分量的频率比( 厂【o ，1 】) ，口代表两个分量的幅值比，矽代 表两个分量的相位差，c o s 2 删可被引用为高频分量，类似的，口c o s ( 2 万夕+ 妒) 则 为低频分量。 e m d 对以上双分量信号的分离效果可由以下判据得到： 枷咖全嘴器鬻 ( 4 2 ) 其中研“( f ；口，厂) 是原信号x ( f ；口，) 经刀次e m d 迭代筛选而提取出的第一个i m f 分 量，i 产( r ) 是定义在区间内的欧式距离。若两个频率分量被准确地分开，第一 个i m f 一定与c o s 2 万f 部分即高频分量十分接近，而分离后的余量则一定趋同于 低频分量口c o s ( 2 万+ 伊) 的部分。因此，根据( 4 2 ) 式，c 帕( 口，缈) 值小于o 5 表示复合信号被分离开，相反，当两个频率信号无法被精确分离时，c f 哪( 口，厂，伊) 值则会大于o 5 并趋近于1 。截止频率种被定义为c f ”( 口，厂，伊) 等于o 5 时的对 应频率厂。 1 7 堕塑苎堑墅! ! ! 苎：! ! 竺! 至苎垦! ：垫查垫 2- 15- 1- o5 o0 51152 l o g l 0 b 图4l 对于般分量信号分离的肿性能测试m j 1 0 次肿选代筛选后的4 4 ( 毋， 二维判据图，其中理论推导的分界线也被标出：破折虚线代表矿= 1 点破折虚线代表 矿2 = 1 点虚线代表矿$ i n ( 3 口，2 ) = l ，黑实粗线代表( 0 ”( 4 ，计h = o 5 的围线。 图4 1 显示了( 聋”( 雹，计h 的实验结果( 4 ”( 4 ，妒) h 是经过l o 次筛选 迭代操作以后对于p 的平均值。仔细观察图中明显的两块黑白区域后可知，其 分隔界限取决于两个频率分量的振幅之比a 。当a 确定以后，只有当频率比，小 于某个截断值时e 帅才能有效地将高低频分量分离开来，而频率截断值又以一 种不对称的方式地依赖于分量的振幅比这种依赖仅在高频分量的振幅小于低 频分量时才有效- 另外，无论口为多少，若太于截断频率比正( 此处= o 6 7 ) ， 这两个频率分量是不可能被分解开的。 4 1 2 矿 1 的情况下， e 姗很难重新恢复出高频分量，因为复合信号的极值点仅与低频分量相关，从 另方面来说，口， 1 的情况下，e m d 无法将双分量信号石o ；口，厂) 分解 开，以下需要讨论的是e m d 算法在这块区域究竟是如何表现的，这仍可以通过 定义距离判据来分析： 帕咖垒盟喘高等业 5 ， 若双分量信号被错误识别为单分量信号，第一个i m f 一定与信号本身十分接近， 此判据的值将趋近于0 ；若低频分量被成功提取出来，则此判据的值将趋近于1 。 根据( 4 5 ) 式，蠢帕( 口，厂，矽) 值小于o 5 表示双分量信号的高低频分量被直接保 留在i m f 中，当低频分量被分离到第一个i m f 中时，4 町( 厂，矽) 值则会大于o 5 并趋近于1 。截止频率足帕被定义为西帕( 口，厂，咖为o 5 时的对应频率厂。 图4 2 显示了 伊在矿2 1 情况下的实验结果，可以发现e m d 的 分解效率在矿2 1 的区域中完全依赖于频率比厂。更准确地说， 。 的值究竟是更接近o 还是1 取决于厂是更接近( 2 j | ) 叫还是( 2 尼+ 1 ) 一，后n ，这 意味着，当厂更接近于( 2 后+ 1 ) _ 时e m d 倾向于将其解释为单分量信号，而在厂接 近( 2 后) 一时则做出相反的解释。 1 9 ! ! 塑坌堑塑! ! ! ! 壁! ! 竺! 茎墨墨! ：堕查些 l n g l o 圈42 矿1 1 情况下积频率分量信号的肿分离性能测试【7 l 1 0 玖b 迭代操作后的 畦”( d ， 计一维判据圈。虫线是 d ”扣，伊) h = o5 的胃线。 通过时极值点均匀分布的e 模型的理论分析，可知，在 2 1 1 ， 2 + 1 ，_ n + 情况下，e 虽然没错误地把双分量信号证l 别为 单分量，却在分离出低频分茸的同时在余量中产生了频率为2 k ，一1 的虚假分 量，且其幅值大小在，接近( 2 ) n 时与高频分晕的幅值相当，这会给之 后的h 儿b e r t 谱映射带来具有误导性的频率分量。 4 1 4e m d 分解局限性分析及实倒 通过以上的实验与理论分析，e 帅的分解结果可以分为以下3 类： i f 确分离高低频分量。其条件是矿 i 时，更接近( 2 t + 1 ) ， n i 。 c 分解出低频分量却同时产生虚假频率分量。它发生的情况是当o ，2 l 时， 更接近( 2 柚，女n 。 在一个多分量的复合信号巾，当低频分量幅值小于高频分量时，若频率分 隔较远，e 能正确有效地将两个分量分离：忻当低频分量幅值人r 高频分量 时，高频分量的能量越小，即其幅值比d 越丈，e m d 越难进行有效分解，f 【在某 种情况r 牛成低频虚假分量。虽然这项研究使剧的足简单而理想化的烈分量l r 时频分析的h i l b e m h 啪g 变换及小波方法 弦信号模型，但它的数值分析还是给出了e m d 分解能力局限性的基本参考。现 以一复合信号来验证e 肋的三种分解结果，考虑信号： 五o ) = s i l l ( 2 刀石f ) + s i n ( 2 万五f ) 毛1 ) + 2s i l l ( 2 万石f ) 乞i t ) + o 9s i n ( 2 万厶f ) k i ) ( 4 6 ) 其中，z = 4 0 0 ，六= 3 2 0 ，石= 2 0 0 ，六= 1 5 0 ，o 1 与厂更靠近( 2 后) ，七n 的条件，所以e m d 对这两个高低频分量的分解将产生虚假分量，这在h i l b e r t 谱中的表现是在0 3 0 6 的时间段内不单存在正确的2 0 0 h z 的低频分量，更出 现了4 个以上的虚假分量，分别大约是5 0 h z ，1 2 5 h z ，2 5 0 h z 和2 7 0 h z ，其中两 个高频虚假分量的幅值甚至大于2 0 0 h z 的低频分量：由于无石= o 3 7 5 且第四 个低频分量的幅值较第一个高频分量略弱，所以它们被e m d 成功的分离开，然 而它们的瞬时频率在h i l b e r t 谱中的o 8 1 o 秒内表现出意外的振荡特性。 图4 3 复合信号( f ) 的h i l b e r t 谱图 2 l 时频分析的h 订b e m h 啪g 变换及小波方法 从以上的简单示例可见，虽然h i l b e r t h u a n g 变换不受h e i s e n b e r g 不确定 原理的限制，不存在时间和频率分辨率相互制约的问题，但它对信号频率的分 辨能力严重受制于e 如，仍是有限的，甚至是引起误导的。 4 2 小波包窄带分解 对于频率成分较多的复合信号，e 佃分解以后产生的i m f 覆盖的频谱较宽， 难以保证其单分量特性，这会给h i l b e r t 解析函数求解瞬时频率带来很多麻烦。 为了保证e m d 分解以后得到的每一个i m f 都符合单分量特性，一个可行的方法 是首先将原始信号分解成几个窄带信号，然后分别对其进行e m d 分解，这可使 接着生成的i m f 都能被计算出更符合物理意义的瞬时频率。 由于小波包变换( w a v e l e tp a c k e tt r a n s f o 姗简称w p t ) 具有优秀的正交 性、完备性和局部性，可以用来对信号进行二分法的窄带分解，这个过程被称 为小波包分解预处理。在小波包分解的过程中，原始信号缸f ) 将被低高频滤波 器分解为趋势分量即低频分量a 1 和细节分量即高频分量d 1 。而一级 趋势分量a 1 又可被分解为二级趋势分量从2 和二级细节分量d a 2 。同理，一级 细节分量d 1 也可被分解为二级趋势分量a d 2 和二级细节分量d d 2 。在符合停止 准则之前，这个分解过程将一级级地持续下去，对于一个以级分解过程，信号 将被分解为2 “个窄带分量。值得注意的是，由于w p t 的分解依据与能量大小无 关，故每一个原信号中的频率成分无论其能量大小都将被各个窄带信号保留下 来，而不至于使某些能量贡献小的频率分量与其他能量较大的频率分量混杂在 一起而被e m d 忽略。 4 2 1 离散小波变换 根据p e r c i v a l 与w a l d e n 【2 0 1 ，凡满足以下容许性条件： 勺：广毗国 ( 4 7 ) 或相应等价条件： 甲( f ) 以= o ( 4 8 ) 的函数甲( f ) 称为母小波函数。其中峰( 国) 是甲( f ) 的f o u r i e r 变换。上式说明函 数甲( f ) 具有一定的振荡性，即含有某种频率成分。对甲( f ) 进行伸缩和平移可得： 甲。( f ) = 2 刊2 甲( 2 一”f 一玎) ( 4 9 ) 其中所z = o ，l ，2 ，) 称为尺度系数，l z 为平移系数，甲 ( f ) 则称为小波 函数。母小波和小波函数具有如下三条性质： 时频分析的h i l b e 小h u 锄g 变换及小波方法 1 ) 巾( 0 ) = o 等价于r 甲( f ) 出= o ，这意味着母小波均值为o ； 2 ) 母小波及其形成的小波函数均为带通信号； 3 ) 母小波及其形成的小波函数随f 的延伸而快速衰减。 关于性质2 ) ，小波母函数作为一个理想的高通小波，其频响为： 如) = 代旧i 鬈 ( 4 1 0 ) 由于 孛所月( 国) = 2 一_ 7 2 矿矿删阜( 2 ”功 ( 4 1 1 ) 伸缩后的小波函数作为理想的高通小波，其频响为： 味咖k 旧喀但二切 他 平移后的小波函数其f o u r i e r 变换包含一个复指数g 一2 。删，所以 阜舢( 彩) 嘻枷( 国) ，但二者的频带相同。 小波函数 甲 ) 。z 是平方可积函数集合口似) 的完全正交基2 2 1 ，对于任意 x ( f ) p ( r ) 可表示为： x ( f ) = ，。甲。，。( t ) ( 4 1 3 ) 其中 。= i x o 尸 ( f ) 以 ( 4 1 4 ) 为小波系数。设工( f ) 为一均方收敛的随机过程，则x ( f ) 的小波变换 吸广卜。尸m ( f ) 出聊，l z ) ( 4 1 5 ) 一定存在，且为有限二阶矩的随机过程。 根据( 4 1 2 ) 式的高通小波频响特征，( 4 1 3 ) 式中的z ( f ) 的小波表达式表 明文f ) 被分割到不同阶的二进频带( 2 1 万，2 叫+ 1 万】中，对于每一个尺度系数，l ， 它所对应的频带比尺度m 一1 所对应的频带降低一阶，且小尺度班对应较大的带 宽。 从数学上看，小波系数既。等于石( f ) 与甲彻( f ) 的卷积，但由于实际中x ( f ) 是 离散的，所以呢。是通过离散小波变换( d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r m ，简称 d w t ) 由滤波系数得到而无需计算甲( f ) 。 设x 是一个维向量，其元素为实数的时间序列 薯，仁o ，一1 ) ，其中 = c 2 辨0 ，其中c 是常数，删。为正整数。x 的聊。级部分d w t ( p a r t i a ld w t ) 时频分析的h i l b e m h 啪g 变换及小波方法 是由矽= 似给出的正交变换，其中矽是一个由d w t 系数构成的维向量，w 是 一个定义了d 耵的维实数矩阵。d w t 系数向量形和矩阵w 可按以下方式 分割： 嘭 矽= 1 一 m 哆 ( 4 1 6 ) 其中呢= w 朋x ，= 、x ，朋= 1 ，这里既是一个虬= 2 “维的与尺 度= 2 ”1 上的变化相关的小波系数向量；w 脚是一个胛维矩阵；是一 个虬。维与尺度k = 2 嘞上的平均相关的尺度系数向量；是一个虬维矩 阵。向量x 也可由d w t 系数向量形合成： z = ，形= 既+ 屹= 或+ ( 4 1 7 ) m 暑im = i 上式定义了x 的多分辨率分析( m u l t i r e s 0 1 u s t i o na n a l y s i s ，简称m r a ) ，意 即将x 分解为+ 1 个维向量圾= 既( m = 1 ，朋。) 和= 嚷，称d 辨 为对应于尺度辨的聊级细节分量( d e t a i lp o r t i o n ) ，对应于k 的级趋 势分量( s m o o t hp o r t i o n ) 。 在实际应用中，并不明确形成d w t 矩阵w ，d w t 系数向量形的计算是应用 小波滤波器( w a v e l e tf i l t e r ) 和尺度滤波器( s c a l ef i l t e r ) 通过金字塔算 法( p y r 锄i da l g o r i th l i i ) 实现的。一个具有偶数位非o ，长度的的滤波器 红，z = o ，一1 如果满足 呜= o 和 融：。= 骺蒜 则称为小波滤波器。上式表明小波滤波器具有正交性。 岛，= o ，三一1 ) 则可直接由小波滤波器计算所得： 岛暑( 一1 ) “1 吃一l 一 尺度滤波器满足 ( 4 1 8 ) ( 4 1 9 ) 尺度滤波器 ( 4 2 0 ) 时频分析的h i l b m - h u 瓠g 变换及小波方法 和 善= 器 g ，= 二 j = o t v 一i 蜀岛砌= o ，l o 以= 0 懑情 设日( ) 为 鸟 的传输函数，即 工一1 日( 力= 岛e q 2 枷= 岛p 叫2 枷 ，l ，宰o ( 4 2 1 ) ( 4 2 2 ) ( 4 2 3 ) 定义 疗( 力= 日( 力1 2 ( 4 2 4 ) 为 岛 的平方增益函数，则其正交性等价于 日( 力+ 日( 厂+ 寺) = 2 ( 4 2 5 ) 设g ( 厂) 和0 ( 厂) 分别为尺度函数 岛) 的传输函数和平方增益函数，有 o ( 厂) = 疗( 去一厂) ( 4 2 6 ) 由此可得 g ( ) + g