（基础数学专业论文）非线性随机系统的稳定性与最优控制.pdf

摘要 混杂系统一般是指连续系统与离散系统耦合生成的系统，它的状态变量既包括连续 状态变量，也包括离散状态变量随机混杂系统( s t o c l l a s t i ch y b r i ds y 8 t e 培) 首先由h u ，j ， j l y g e r o s 和s s a s t r y 提出，它是具有混杂状态空间的随机系统；其连续状态服从一个由 混杂状态决定的随机微分方程，离散状态的转移( 也称系统的切换) 规律依赖于连续状态 是否达到给定区域的边界近来，随机混杂系统已逐渐成为控制理论与应用研究的热点领 域其应用范围包括：自动电力火车管理、计算机的驱动系统、机器人系统、高水平的柔 性制造系统、交通管理系统、网络系统，航天、化学反应过程、医疗、金融投资和社会管 理等 本文主要研究随机混杂系统的渐近p 稳定与均方镇定问题以及鲁棒最优切换控制问 题 对于非线性随机混杂系统的稳定与镇定问题，首先把重要的关于确定性系统的p e m t e m a n a e y e l s 定理推广到随机系统，得到了随机系统的p e m t e m a n a e y e l s 定理其结果包括渐近 稳定、一致渐近稳定和指数稳定性的结论作为定理的应用，我们讨论了随机线性系统的 切换镇定问题，并利用s 程序原理，给出了系统镇定的充分必要条件 对于随机混杂系统的最优控制问题，本文对于既存在切换费用，又存在未知扰动的随 机混杂系统，利用动态规划与偏微方程的粘性解理论，讨论系统的鲁棒最优控制问题得 出系统的值函数在粘性解意义下满足一组变分不等式同时证明在多增长函数类中( t h c c l a s 80 fm u l t i g r o w t hf u n c t i o n s ) ，变分不等式的解是唯一的 对于随机最优控制问题，利用离散动态规划原理，给出了一种新的计算方法，并讨论 了最优控制算法的有效性 关键词：随机系统，混杂系统，稳定性，粘性解，最优控制 中图分类号：0 2 3 1 a b s t r a c t t h et e r m h y b r i dd y n a m i c a ls y s t 咖”( h d s ) h a sm a n ym e a i l i n g s ，t h em o s tc o m m o no fw h i d l i sad y n a m i c “s y s t e mt h a ti n v o j 、髑t h ei n t e r a c t i o no fd i s c r e t ea n dc o n t i m l o u sd y n a m i cs u c h d y n 眦i c 出s y s t e i 璐t y p i c a u yc o n t a i nv 甜i a b l e st h a tt a l 【ev a l u e sf r o mac o n t i n u o u ss e ta n d 村s o v a r i a b l e 8t h a tt a k ev a l u e sf r o mad i s c r e t es e t h o w e v e r t h e6 e l do fs t o c i l a s t i cl i y b r i d8 y 8 t e m s ( s h s ) i sr a t h e ry o l l n g i n2 0 0 0 ，h u ，l y g e r o sa ds 髂t r yp r 叩o s e dt h ec o n c e p to fs h s t h e s y s t e l si n v o l v eah y b r i ds t a t es p a c e ，w i t hb o t hc o n t i n u o u sa dd i s c r e t es t a t e s t h ec o n t i n u o u 8 s t a t e0 b e y sa8 t o c h 8 s t i cd i 船r e n t i 出e q u a t i o n ( s d e ) t h a td e p e n d so t h eh y b r i d8 t a t e t r a n s l t i o n s o c c u rw h e nt h ec o n t i n u o l l ss t a t eh i t st h eb o u i l d a r yo ft h es t a t es p a c e s i n c et h er a n d o mf a c t o r s a r ei n t r i n s i ci nr e dw o r l d ，t h es h sh a = 、，ew i d ea p p u c a t i o n s u c ha st r a m cm a i l a g e i r i e n t ，c o m p u t e r i i l a n a g e i i l e n t 山i g h _ l e v e ln e ) ( i b l em a n u f 如t u r i n gs y s t e i n s ，i n t e r n e tm a n a g e m e i l t ，6 n a i l c ed e c i s i o n ，s o c i e t ym a n a g e m e n ta n d8 0o n t h e l a i nc o n t r i b u t i o n so ft h i sp a p e ra r ea sf b l l o w s ： r nd l a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h em a j nr e s u l t so ft h i sp a p e r m e a n w h i l e ，w ei n t l o d u c et h ep r e l i m i n a r i e sw h i c hi n c l u d et h eb a s i cc o n c e p t sa n dr e s u l t sw i t hs t o c h a 5 t i cs y s t e r n sa n d “l ev i s c o s i t y s o l l 】t i o nt h e o r yo fp a r t i a l l yd i f f e r e n t i a je q u a t i o n i nc h a p t e r2 ，w es t u d i e dt h es t a b i l i 妙舢l d5 t a b i l i z a t i o no fs t o c l l a s t i cs w i t c l l i n gs y s t e n l s f i r s t w ee x t e n dt h ep e u t e m a n a e y e l sa s y m p t o t i cs t a b i l i t yt h e o r e mt os t o c h a s t i cs e t t i n g s ；a sa na p p l i c a t j o n ，w es t u d yt h em e a ns q u 龇es t a b i h z a b i l i t yo fl l n e a rs t o c h a s t i cs y s t e m 8v i aa8 y n c h r o n o u s s w i t c h c dc o n t r o l l e ro rv i aa s y n c h r o n o u ss w i t c h e dc o n t r o i l e r as y n c h r o n o u ss w i t c h i n gc u i l t r o i l e r c o n s i s t so fac l a s so fb a s i cc o n t r o l l e r s t h er e a lc o n t r o l k ri sac h o i c ew i t h i nb a s i cc o n t r o l l e r s d e p e n d i n go n “m ea n ds t a t eo ft h es y s t e m t h es t a b i l i z a t i o np r o b l e mf o l - t l l es y s t c mi st od 船i 舒l as u i t a b l er u l ef o rs w i t c h i n gf r o mo n eb 船i cc o r l t r o u e rt oa n o t h e r b ys p r o c 文l u l ew eo b t a i na s i l f f i c i e l l ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h es t a b i l i z a b i l i t yv i as y n c h r o n o u ss w i t c h e dc o j l t l 0 1 l e rf o r 1 i i l e a rs t o c h a s t i c8 y 8 t e m s i nc h 即t e r3 ，ar o b u s to p t i m a lc o n t r o li sc o n s i d e r e df o rag e i l e r a | s t o c h a s t i cn o n l i n e a i h y b r i d s y s t e r n sw i t h 矗n i t e l ym a i l ya d m i s s i b l ec o n t r o ls e t t i n 窜a 工l dw i t hs w i t c h i i l gc o s tw i t hd y l l a m i c p r o g r a m m i n gp r i n c i p l ea n dv i s c o s i t ys o l u t i o nt h e o r y ，t w ob a 8 i cr e 8 u l t sh a v eb e e ng i v e n 0 i l e i s 恤es w i t c h i n gl o w e r _ v a l u ef u n c t i o ni sav i s c o s i t ys o l u t i o no ft h e d p p r o p r i a t e8 y s t e i no fq u a s i 一 2 v 甜i a t i o n a li n e q u a l i t i e 8 ( s q v i ) a n o t h e r 主st h a tt h es w i t c h i n gl o w e r v a l u ef u n c t i o ni st h em i n i m a l s w i t c h i n 乎s t o r a g ef u n c t i o nf o rt h eg a i i l e a n dao p t i m a ls w i t c h i n gc o n t r o li 8p r o p o s e d t om i n i m i z e c o s to fr u n n i n gt h e8 y s t e m 谢t ht h ev & 0 s i t ys o l u t b n t h e r e f o r e ，w er e d u c e dt h ec o i n p u t a t i o n o fr o b u s to p t i m a ls t a 土e _ f e e d b a 出s w i t c h i n gs t r a t e 斟t oc o m p u t i gt h ev i s c o s i t ys o l u t i o no ft h e s y s t e mo fq u a s i v a r i a t i o a li n e q u a l i t i e s i nc h 印t e r4 ，c o m p a r i s o nt h e o r e mo ft h es q i sd i s c l l s s e d w i t hv i s c o s i t ys o l u t i o nt h e o r h t h eu n i q u e n e s so ft h ev i s c o s i t ys o l u t i o ni so b t a i n e df c l rt h es q v i i nc h a p r t5 ，an e wm l m e r i c a lm e t h o di sp r o p o s e df o rt h eo p t i m a ls t o c l a s t i cc o n t r o l n o t o n i yt h ea p p r o x i m a t o i n0 ft h es t o c h a s t j cs y s t e mi sd i s c u s s e d ，b u ta l s oa ne r l o re s t i m a t ei sg i v e n f o rt h eo p t i m a 】c o n t r 0 1 i nc h a p t e r6 ，ar o b u s to p t i m a lc o n t r o li sc o i l s i d e i e df o rag e n e r 8 1s t o c l l 舢t i cn o n l j n e a l1 1 y b r i d s y s t e 1 si nai n 矗n i t ed u r a t i o n t h es a r n er e s u l ti s 西v e na si nt h e 丘n i t et i m ed u r a t i o nf o rt h e o d t i m a lc o n t r 0 1 k e y b r d s ： s t o c h a s t i cs y s t e m ，l l y b r i ds y s t e m ，8 t a b i l i t y o p t i m a lc o n t r 0 1 ，n u m e r i c a l m c t h o d 3 第一章引言 混杂系统是指连续系统与离散系统混杂生成的系统其状态空间变最既包括连续状态 变量，也包括离散状态变量自2 0 世纪5 0 年代由a n 0 8 0 v 等 1 ，2 ，3 提出以来，混杂系统 在许多领域得到广泛应用，如自动电力火车管理、计算机的驱动系统、机器人系统、高水 平的柔性制造系统，交通管理系统、网络系统、航天、化学反应过程医疗、金融投资和 社会管理等 4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 ，1 1 ，1 2 】 在实际系统中，由于各种不可避免的因素，如系统运行环境的随机噪音、测量的随机 误差、模型的近似化及建模过程中条件的取舍，使得系统的随机特性是本质的，因而随机 系统被许多研究者所关注【1 5 ，1 6 ，1 7 _ 近几年来，随机混杂系统的数学理论被逐步建立【1 6 由于现实问题的复杂性，随机 混杂系统逐渐成为许多研究的理论模型其实，许多系统是由多个子系统构成，其变化是 多个系统耦合的结果，如交通管理系统中的信号切换，网络管理中服务的选择，金融投资 中投资策略的切换，现实中政策的切换等等如果说随机系统的控制理论是确定系统控制 理论的发展，那末，随机混杂系统的控制理论是更高层次上的发展因而其研究具有重要 的理论价值和实用价值 一般来讲控制理论的核心主题有三个：一是系统的辨识；二是系统的反馈；三是系统 的优化本文探讨的问题属于后二个范畴即系统的稳定问题和系统的最优控制问题 系统的稳定与反馈镇定问题一直是控制理论的核心内容【1 8 ，1 9 ，2 0 ，2 1 】，其中，o y a p u n o v 稳定性和基于l y a p u n o v 函数的设计方法起着关键作用随着控制理论的发展，许多确定系 统的结论被推广到随机系统如。h a s i n i 丑s k i ir z 和k u s h n e rh j f 2 9 3 l 】把l y a p u n o v 稳 定性定理从确定系统推广到随机系统；f o r c l l i n g e r 3 2 ，3 3 讨论了随机a r t s t e i n 定理；d e n g h 和k r s t i cm 3 4 3 6 】研究了随机系统的b a c l 【s t e p p i n g 方法；k 0 1 m a n o v o v s l ( i iv b 【3 7 - 4 2 j 给 出了随机差分方程的渐近稳定性条件 本文把确定性系统中重要的p e u t e m a n a e ”l s 定理推广到随机系统，得到随机系统 的p e u t e m a n - a e y e l s 型稳定性定理对于确定系统，p e u t e m a n 和a 四m l s l 2 2 研究了连续 系统的渐近稳定性和其离散化系统的渐近稳定性的联系，得到如下定理 p e u t e m a n a e y e i s 渐近稳定性定理对于系统= ，( ，。) ，若存在正定函数y ( z ，f ) ，常 数丁 o ，和一个严格递增时间序列t ；，使得y ( z ( t “1 ) ，t ；+ 1 ) 一v ( z ( ) ，i ) s 一7 ( | z ( ) i ) 则 系统是一致渐稳的这里1 ( ) ：r + 一r 寸是连续严格递增且通过原点的函数，时间序列如 满足：t 幸+ 1 一茎t ，讹z ，且一o o 当一。 可以看出，此定理较一般的l y a p u n o v 定理，条件更简单尤其重要是，对于混杂系 统，此定理起着重要作用本文将把此定理推广到随机混杂系统，结果包含渐稳、一致渐 稳和指数稳定其次，利用此定理分析线性随机系统的切换镇定问题，并得出了系统可切 换镇定的充分必要条件 本文讨论的另一个问题是随机切换系统的鲁棒最优控制问题对于最优控制问题的 求解，其主要方法有变分原理、极大值原理和动态规划原理【4 8 ，4 9 ，5 0 ，5 1 ，7 8 】，且 后两种方法具有等价的作用 5 1 2 0 世纪5 0 年代，r b e l l m a n 提出的动态规戈9 原理，是最 优控制研究中一种有效的途径由动态规划原理，其性能指标的最优值函数满足一个称为 h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n ( 缩写为砌b ) 偏微方程 8 0 】对于由微分方程描写的系统，当系 统是确定系统，h j b 方程是一阶的偏微方程；若系统是随机的，h j b 方程是二阶偏微方 程对于切换系统，若考虑系统的切换费用，系统的最优切换问题会较为复杂在f 5 4 ， 6 3 1 中，对于确定性的切换系统，在考虑切换费用下，给出了最优控制的有关结论对于 随机切换系统，在不含未知扰动的情况下，k u s h n e r 【7 2 】等讨论了其最优控制问题 本文 对于既存在切换费用，又存在未知扰动的随机混杂系统，利用对策论的思想，讨论其鲁棒 最优控制问题 2 0 世纪8 0 年代初，c r a n d a l l ，l i o n s 6 1 ，6 2 】发现许多时候，h j b 方程的光滑性并不 存在，为此，他们引入了粘性解的概念，给出了一个不可微的甚至不连续的函数作为h j b 偏微分方程的精确解自此，利用粘性解理论分析最优控制问题成为新的范式 本文借助粘性解理论分析随机切换系统的最优控制问题得出系统的值函数是一组 拟变分不等式( h j b 方程的推广) 的粘性解同时，给出了拟变分不等式解的比较定理 最后讨论了随机系统的时间离散化问题，为最优控制的算法建立了理论基础 2 概要l 本文的结构与主要成果 本文的主要工作由以下四部分组成： 1 随机系统的渐近稳定性定理 2 随机线性系统的异步切换和同步切换控制问题 3 带有切换费用的随机系统的最优控制问题( 有限时间区间) 4 带有切换费用的随机系统的最优控制问题( 无限时间区间) 1 o 1 随机系统的渐近稳定性定理 考虑如下i t 6 过程 如( ) = ，( z ( ) ，t ) 出+ 9 ( z ( ) ，) d ( ) ( o 1 ) 假设，( o ，t ) = o 和9 ( o ，) = o 芦( t ) io 是系统( o 1 ) 的一个平衡点假设函数，( 。，) ，9 ( z ，) 是( z ，) 兄”o o + 卅上的可测函数，且 ，扛，) 【k ( 1 + i z | ) ，i g ( z ，t ) i 茎k ( 1 + l z l ) 其中是一个正常数同时假设，对任意 o ，存在正常数k _ 使得 ，( z ，) 一，( 岳，) l k l z 一2 i ， 9 ( z ，) 一9 ( i ，t ) i 兰k i z i 对川曼，蚓j v ，2 0 t t o + t 成立则系统( o 1 ) 的解z ( ) 存在且唯一【1 4 定义1 o 1 3 ( 日系统( o 1 ) 的零解z ( ；o ) = o 称为 p 稳定，是指对任意的e o ，存在6 = 6 ( e ，o o ) o ，使得 e l z o l 9 o ，存在和时间o o 无关的6 = d ( e ) o ，使得( o 2 ) 成立 渐近p 稳定，是指它是p 稳定的，且存在正数c = c ( o o ) 使得e l z ( ) l ，+ on s + 。， 对任意e l 。0 1 9 o 使得 e i z ( t ) i o ：；+ 1 一t ；st ( 女z ) ，存在正常数7 使得v z ，( i ) r n e 矿( 茁( ；+ 1 ) ，；+ 1 ) 一e y ( z ( t ) ，) e 7 l z ( ；) i p o ，a 。 o ，a o ，t ， o 和一个严格递增时间序列 ；) 满足 ( 1 ) 粤。= + 。， 空。；2 一o o ，且l ：一t ；一l l 茎t ； ( i i ) 讯z n l z ( ) 1 2 茎y 扛，t ) 茎a m n z l z ( t ) 1 2 ，e v ( 茁( + 1 ) ，；+ 1 ) e v k ( ；) ，：) 曼一州引z ( ) 1 2 对任意女z 和z r 一成立其中z ( t b 】) 是当初始条件为( z ( ) ) 时( n 1 ) 在f = f h l 的解 则系统是均方指数稳定的 1 o 2 线性随机系统的异步切换和同步切换控制问题 考虑如下形式的线性随机时不变系统 d z ( 亡) = ( a z ( ) + 口u ) d t + ( c 茁( t ) + d u ) d 叫( ) 1 u6 l z ( t o )= 茁o 4 选择如下一组状态反馈控制律 札1 ( ) = 五1 z ( t ) 钍2 ( t ) = 三2 z ( ) ( 0 7 ) “( t ) = 如z ( t ) 其中，如，i = 1 ，2 ，k 是m n 的常数阵以上的控制律也称为基本控制律 首先讨论系统的同步切换镇定问题所谓同步切换控制，是指以相同的时间间隔t 为 切换步长，在时间区间瞄t ，0 十1 ) 了1 ) 内选择( o 7 ) 中某一个控制律啦为系统的控制律， 在不同时间区间控制律的选择可能是不同的整体的控制律可表示为 “( ) = t “，( z ( t ) ) ，1 ，2 ，v t d 7 1 ，( j + 1 ) t ) ( o 8 ) 其中马= j ( z ( ) l ；t ) 可以看出同步切换策略是在特定的离散时间j 丁上，依据状态的位置 选择合适的基本控制律进行切换，在时间段口t ，( j + 1 ) 丁，) 内控制律一直保持为在时刻j 丁 选择的控制律，在时刻j 丁选择的控制律既与j 有关，也与状态z 有关有关同步切换理 论参见 定义l ，o 3 如果存在形式( o 7 ) ，( o 8 ) 的状态反馈控制器使得由( o 6 ) 和( ( ) 8 ) 构成的闭 环系统全局均方指数稳定，则称系统( o 6 ) 在基本控制律( o 7 ) 和同步切换律下是可全局均 方指数镇定的 定义1 o 4 对于系统( o 6 ) 、基本控制律( o 7 ) 以及状态反馈控制器( ( 】8 ) ，若存在矩阵 p = p 7 o 和 o ，使得二次l y 印u n o v 函数睁( z ) = z 7 p z 沿闭环系统( o 6 ) 、( o 8 ) 的轨 线成立 e 睁( z u + 1 ) t ) 一e v p ( z 0 7 ) ) s e e l o 丁) 1 2 ，j = l ，2 ，- 一， ( o 9 ) 则称系统( o 6 ) 在基本控制律( o 7 ) 和同步控制器切换( o 8 ) 下是可二次指数镇定的 注1 ，o 3 由定理1 o2 ，系统在基本控制律f o 6 ) 和同步控制器切换( o 8 ) 下二次可指数 镇定蕴涵闭环系统全局均方指数稳定 定义1 0 5 设而= 互，z 22 乏，况是一组给定的方阵，若l 嘿z 7 五zs 【】对任意的 z 舻成立，则称矩阵集合 z ，磊，反) 为完全的；若以上不等式是严格的，则称之为 严格完全的 5 定理1 0 4 考虑随机系统( o 6 ) 和基本线性控制器( o 7 ) ，记矩阵垂i 垒e 印( ( 以+ b 工。) 丁) ，g ： e 十d 厶， = 1 ，2 ，则下面的叙述是等价的 ( i ) 系统( o 6 ) 在基本控制律( o 7 ) 和同步切换控制器( o 8 ) 下可二次指数镇定 ( i i ) 存在一个方阵p = p 7 o 使得矩阵集 慨 垒 一p + 垂i p 垂1 + g i 母i p 垂1 仍丁+ 刍g ；壬i p 垂l 讲r 2 + 盎q 3 垂i p 西1 钾丁3 + w t 垒 一p + 圣7 2 p 西2 + q 垂7 2 p 圣2 岛丁+ 刍呸2 垂，2 p 垂2 c 筘r 2 + 刍呸3 西，2 p 中2 暖丁3 十 讳t 竺 一p 十圣：尸垂女+ 嚷垂：p 垂 伉t + 击q 2 母：p 圣嚷丁2 + 壶嚷3 西7 七p 垂k 嚷t 3 + f 0 1 0 1 是严格完备的进一步，若条件( _ i j ) 成立，且定义符号函数，p ) 叁如= n 叼。墨嘎z 7 暇z 足 使m i n 湖加，kz 7 啦z 达到最小值的指标，则由j ( z 0 t ) ) 定义切换律在基本控制律( o 7 ) 和 同步切换下使系统( o 6 ) 二次指数镇定 对于系统( o 6 ) 和基本控制器集( o 7 ) ，考虑异步控制镇定问题 令，( z ) ：舻一 1 ，2 ，是由系统的状态空间舻到指标集 1 ，2 ， 的映射 定义如下的异步反馈器( 4 i ，p 1 3 ) u ( t ) = 巩。( z ( ) ) ，v 【o ，。) ，其中i 。垒j ( z ( t ) ) ( o1 1 ) 可以看出异步控制器是这样一个规则，它依据系统的某个指标从一个基本控制器切换 到另一个基本控制器 定义1 o 6 假设存在由( o 7 ) ，( o 1 1 ) 定义状态反馈控制器，正定矩阵p 和常数e o 使 得二次李亚普诺夫函数的无穷小算子满足 l ，p ( z ( t ) ) s e 1 七( ) i 2 ，( o1 2 ) 对一切z r ”成立则称系统( o6 ) 在异步控制下，由基本控制器( o 7 ) 可渐近二次镇定 定理1 o 5 考虑随机线性系统( o 6 ) 和基本线性控制器( o 7 ) 则如下结论等价 ( i ) 系统( o 6 ) 通过异步切换由基本控制器( o 7 ) 是可镇定的 ( i ”存在正定矩阵p 使得如下矩阵集 z 1 二( a + b l l ) p + p ( a + 口工1 ) f o1 3 1 + ( c + d 工1 ) 7 p ( c + d l l ) 6 邑= ( a + b l 2 ) 7 p + p ( a + b 三2 ) + ( e + d 三2 ) p ( g + d l 2 ) ；( 0 1 4 ) 缸= ( a + b l k ) p + p ( a + 口k ) + ( g + d l k ) 7 p ( e + d 七) 是严格完全的 并且，假如条件( i i ) 成立，并定义符号函数( z ) 竺砝，它是使得最小值；瞪鼍女。7 磊z 得 以实现的下标i 则由基本控制器( o 7 ) 并通过，( z d t ) ) 定义的( o 1 1 ) 二次镇定系统( o 6 ) 1 o 3 带有切换费用的随机混杂系统的最优控制( 有限时间区间) 考虑非线性随机系统。 由( ) = ，( ”( ) ，n ，b ) 以+ 9 ( p ( t ) ，6 ) d ( t ) ( 0 )= 。o ( 01 5 ) ( )= ( 可( ) ，n ，b ) 其中( ) r ”是状态变量，n ( ) a 是控制输入，6 ( t ) bc r ”是未知的随机干扰( 详 细参考5 3 2 ) ，f 。( ) r 是费用积分因子，w ( t ) 是r 维的标准b r o w n i a n 运动，其定义在完 备的概率空间( q ，p ) 上，并伴随一个自然滤子，( t ) o ( i b ，f ( t ) = 口( 钍1 ( s ) ：oss 曼) ) 这里假设控制集。取值于有限集a = 。1 ，0 2 ，n 7 ) ，控制信号n ( ) 是取值于a 的分段常 值函数，而且d ( ) 是右连续的，从而对于时刻而言它是新的控制信号，而n ( t ) 是旧的 控制信号另外，如果在处，系统的控制信号由旧信号。( 百) = 酽切换为新的控制信 号n h ) 一，则系统的切换费用为女( 矿，驴) o ，其中是关于滤子，( t ) 唧的停时 记乳( o ，o ，6 ) 为系统( o 1 5 ) 在时刻t 、初始值为y ( t o ) = z 的解若系统的初值为 z ( o ) = z ，系统的初始控制信号为n ( o 一) = 、干扰为6 ，则系统从时刻o = o 运行到时刻 t 0 的费用为 曲一( z ，一，n ，6 ) = ( o ，s ，n ，6 ) ，n ( s ) ，6 ( s ) ) d s + ( 。( r 一) ，n ( r ) ) ( o1 6 ) o n t ：i 三一 o 成立 ( a 3 ) k + ：a a _ + r 满足 ( 口j ，o ) 0 ， f n ，) = 0 ， 对所有n ，扩，n 4 a 成立，其中i ，j ，d 三者互不相同 定义1 o 7 设s = ( s 1 ，s 2 ，) 是r + 舻上的向量函数 8 f 0 1 9 ) 其被称为系统( 0 1 5 ) 关 于策略a 的储能函数是指：对任意f ( o ) = z 舻，6 和o l t 2 ，有以下不等式成立： e ( p ( ：( t 2 ，啦( t 2 ，以阮6 ) ) 一( - ( 1 ，如( t 1 ，以嘲，b ) ) ) 茎e 【j 奢【- ( 砒 6 ，6 ( s ) ) j d s 一。，曼。：。( 商 6 盯1 以陋 ( 一j 、 、( o 2 0 ) ( 其中j ( ) 由以p 】( 一) = ( 。) 而定义) 对系统( o 1 5 ) ，令妒g 1 ，2 ( r 十舻) ，定义h a 血l t o i l i a n 函数日为： 日( ，d 妒，d 2 妒) = 嘧卜筹- m ，一，b ) 一抄( 9 r ( 剐j ，b ) 象9 ( 叩，6 ) ) 一h ( 9 ，6 ) ) 注意：h a m i l t o n i a i l 函数伊( ，d 帆_ d 2 妒) o ，定义拟变分不等式( s q v i ) 为： m a x 叫( c ) 卅酬邶，。2 以钟，矿孥，卅咐，) - 0 ( 0 2 1 ) 定义1 o 8 设c ( r + r n ) ，称向量函数u = ( 1 ，u 2 ，”) ，是s q v i ( o2 1 ) 的粘性 下解，若对任意p ( ，z ) a 1 ，2 ( r + r “) ，z 舻，t o ，有 m “ 一癌( c z ) + 日( z ，。伊，。2 ) ，( t ，z ) 一曾 讲( ，z ) + k ( ，叫 ) n( 。2 2 ) i “j ( t ，。) = o ，j = l ，一 在t ，一矿j = l ，r 的局部极大值点( f ，z ) r + 形成立同样，称“是s q v i ( o 2 1 ) 的 粘性上解，若对任意伊( t 1 ，z 1 ) 伊，2 ( r + 形) ，( t 1 ，z 1 ) r + r “，有 jm “ 硎姐) + 川钆配。2 蚺邮们1 ) - 孥t ，州咖m ) 0 ( 0 t 2 3 ) i ( r ，z ) = o ，j = 1 ，r 在“，一的局部极小值点( 圯。1 ) r + 彬成立若，t 既是s q v i ( o 2 1 ) 的粘j 陛上解，也 是粘性下解，则称其为粘性解 定理1 o 6 假设( a 1 ) 一( a 3 ) 成立则系统( o 1 5 ) 的下值函数y 是如下拟变分不等式的 粘性解 ”“卜叩+ 印( z ，d ，d 2 p ) ，p 一孥 + ( 矾) ) = 0 ( 0 2 4 ) i 矿( l 。) = o ，t r + ，z r ”，j = l ，2 ，r 定理1 o 7 假设( a 1 ) 一( a 3 ) 成立，同时假设s = ( s l ，) 是系统的关于非预期切换 控制律n r 的储能函数，则s 是s q ( o 2 1 ) 的粘性上解 如下利用一个s q v i ( o 2 1 ) 的给定的粘性上解u = ( u 1 ，u r ) 建立耗散不等式，并构 造切换控制策略 设一个定义在r + 船上、连续的向量函数u = ( u 1 ，扩) ，且满足 驴( ，z ) m ；n ( 驴( t ，z ) + 女( 矿，扩) ) 对所有z r “，j = 1 ， 由此定义一个与矿= ( u 1 ，矿) 关联的切换控制策略a u ：( t ，( t ) ，一) + ( ( ) ) 如下： ii 一，当u ( t ，掣( ) ) l 伯= o ，知= 一。 假如，已定义，则 6 定义为大于h l 且满足如下条件的最小时间f u ”1 ( 的( 。) ( h “t ，沙，b ( t ) ) ) = 。嚣塑。( 矿2 ( 地一- ) ( h 一1 ，加，6 ( t ) ) ) + 七( n ，n 。) ，t r 或丁，若以上的时间集为空集；且。= 咖= 任意啦n - 满足 。善艇， u 2 ( 粕( h t ) ( h 一1 ，驴“，b ( ) ) ) + 七( n 靠，n 。) = u 2 ( 巩一。) ( h l ，h ，o “，b ( ) ) ) 十( n ，) 当h 曼t 或h t 无定义注意，如果n = 勺= o ，则在时刻o ，立即产生一个从n o 到 n 1 的切换，此时( o 2 6 ) 中的n = l 项是空集 定理1 o 8 假设如下条件成立( i ) ( a 1 ) 一( a 3 ) 1 n ( i i ) 矿= ( ，1 ，矿) 是定义在兄+ x 舻上如下拟变分不等式( o 2 4 ) 的连续粘性上解。 ( i i i ) 伊( t ，z ) 毋；n 扩( ，2 ) + ，一) ) ，z 舻，j = l ，2 ，r 令q 是由( o 2 5 ) 定义的 切换策略，或等价地，由( o 2 6 ) 定义的非预期扰动反馈策略a u 则u = ( u 1 ，u ) 是在反馈策略a u 下的闭环系统的切换储能函数特别成立 泸( 啦翟em 丁) ( 如) 一，而删( s ) ，6 ( 勘 沙伽) lri 对所有( ，z ) r + r n 和a 因此如果y 连续，其将是s q v i ( 31 7 ) 的满足条件( i i i ) 的、最小的、连续的粘性上解，也是足条件饰) 的、最小的、连续的切换储能函数f 其对 应策略为a v ) 由定理( 1 o 8 ) ，若u 是( o 2 4 ) 的粘性解，记o u 是由( o 2 5 ) 或( o 2 6 ) 并依据u 构造的 切换策略，则n u 是系统的最优切换策略敞系统的鲁棒最优切换问题就转化为拟变分不 等式( o 2 4 ) 的求解问题为此，需讨论拟变分不等式( o ，2 4 ) 的粘性解的唯一性和最优控制 的算法 为了给出拟变分不等式粘性解的唯一性，定义如下多增长函数类： 帅孙叫= 卜挑哪孙叫：亿司茹m 。削 o 使得 1 9 ( z ，) isg ( 1 + p i ) ，l 盯( z ，o ) f c ( 1 十l z l ) ， 1 9 ( z ，n ) 9 ( 岳，血) l c ( 1 z 一孟i ) ， l 盯( z ，o ) 一盯( 面，o ) i 茎e 引z 一叠1 ) ， l ，( z ，n ) i 曼g ( 1 + i z i 七) ， | ，扛，) 一，忙，o ) i g ( 1 + i 。i h + i 于l h ) l z 一牙1 对系统( o 2 8 ) ，令 u z ) = e 骢 ，t m ( s ) ，n ) d s ) ，比职c 。 ( 0 2 9 ) 此函数是如下方程的满足多增长条件的唯一粘性解 “( z ，) = m a 摹 l 让( z ，) + ( 。) ) ，“( z ，t ) = o ，z 兄”，o ，( o 3 0 ) n 且 其中“。表示“关于的偏导数，l 是微分算子 嘶加咖) 掣+ 打a t 掣一) ( 0 3 - ) 对于系统( o 2 8 ) ，定义离散的h j b 方程 v “h ( 。 2 ) 2 哮“ ( 。，。) + 。) ) 1v 。r 。 o m 2 1 t 地( 0 ，z ) = o 其中l 是如下差分算子 伽z ) ：；妻卜( z 刊啦 + 。白以) 叫) ( 0 ，1 】， ( 。3 3 ) 且 v h ( t ，。) = ： 妒。+ h ) 一妒( ) 】，v ( o ，1 ， ( o3 4 ) 记“ ( 弧z ) 表示离散h j b 方程( o 3 2 ) 的解，并定义“h ( t ，z ) = ( i ，z ) ，i s o 使得 1 1 h 0 ，z ) 一u ( 亡，z ) i 茎c p 2 ，v z r “，h ( o ，1 j ( o3 5 ) 1 2 成立 定理1 o 1 2 假设( i ) 和( i i ) 成立令o h 表示差分方程( o 3 2 ) ，它也是离散h j b 方程下 关于。的解则存