（基础数学专业论文）演化方程的约化及其精确解.pdf

中文摘要 本文运用双函数算法以及l i e 所提出的对称群方法对一些经典演化方程进 行约化，得到了如下结果： 第一，运用双函数算法将k d v b u r g e r s 方程行波约化为常微分方程，得 到了具有物理意义的新孤立子解 第二，运用对称群方法将f u t u r e o n i o n s 方程对称约化为常微分方程， 不仅得到了这个金融方程的李对称，而且得到了该方程的一些群不变解 第三，运用对称群方法将k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 方程对称约化为常微 分方程，获得了该方程的李对称以及精确解 本文的结构安排如下： 第一章，简述了求解演化方程的历史背景及其重要作用，介绍了有关方程 约化的基本理论方法及本文中采用的符号 第二章，利用上一章中介绍的方法对不同的演化方程进行约化，进而构造 精确解 关键词 k d v b u r g e r s 方程，f u t u r e o p t i o n s 方程，k u r a m o t o - s i v a s h i n s k y 方 程，对称约化，行波约化 a b s t r a c t ( 英文摘要) i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，d u a lf u n c t i o no ft h ep r o p o s e da l g o r i t h ma n dl i es y m - m e t r yg r o u pm e t h o da r ea p p l i e dt or e d u c es o m ec l a s s i c a le v o l u t i o ne q u a t i o n t h em a i nr e s u l t sc o n t a i n e dh e r ea r ea sf o l l o w s ： f i r s t ，d u a l - f u n c t i o na l g o r i t h mi su s e dt or e d u c ek d v - b u r g e r se q u a t i o nt o o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb yt r a v e l l i n gw a v er e d u c t i o n ，t h ep h y s i c a lm e a n i n g o ft h en e ws o l i t o ns o l u t i o n sa r eo b t a i n e d s e c o n d ，l i es y m m e t r yg r o u pm e t h o di sa p p l i e dt or e d u c ef u t u r e - o p t i o n s e q u a t i o nt oo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb ys y m m e t r yr e d u c t i o n ，n o to n l yt h e l i e s y m m e t r yo ft h ef i n a n c i a le q u a t i o na r eo b t a i n e d ，b u ta l s ot h eg r o u pi n v a r i a n t s o l u t i o n so ft h i se q u a t i o na r eo b t a i n e d t h i r d ，l i es y m m e t r yg r o u pm e t h o di sa l s oa p p l i e dt or e d u c ek u r a m o t o s i v a s h i n s k ye q u a t i o nt oo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb ys y m m e t r yr e d u c t i o n ， t h el i es y m m e t r ya n de x a c ts o l u t i o n so ft h i se q u a t i o na r eo b t a i n e d t h ep a p e ri ss t r u c t u r e da sf o l l o w s ： c h a p t e ro n e ，o u t l i n e df o rs o l v i n gt h ee v o l u t i o ne q u a t i o n sa n di t si m p o r t a n t r o l ei nt h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n d ，a n dt h e ni n t r o d u c et h er e l e v a n tr e d u c t i o no f e q u a t i o n so ft h eb a s i cm e t h o da n ds y m b o l su s e di nt h i sa r t i c l e c h a p t e rt w o ，t h em e t h o dw h i c hd e s c r i b e di nt h ep r e v i o u sc h a p t e ri su s e d t or e d u c ed i f f e r e n te v o l u t i o ne q u a t i o n ，a n dt h e nc o n s t r u c te x a c ts o l u t i o n s k e y w o r d s k d v b u r g e r se q u a t i o n ，f u t u r e s o p t i o n se q u a t i o n ，k u r a m o t o s i v a s h i n s k ye q u a t i o n ，s y m m e t r yr e d u c t i o n ，t r a v e l l i n gw a v er e d u c t i o n 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：鱼l l 指导教师签名：胆 2 。( 。年月f 2 日2 0 f 。年b 月，2 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名：胡范 o 0 年月f2 日 西北大学硕士学位论文 1 1 引言 第一章绪论 十九世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技 术、自然科学等领域发挥着重要的作用，而且以空前的广度和深度向地质、人 口、经济、金融、生物、交通等新的领域渗透，因此，数学技术已经成为当代 高新技术的重要组成部分不论是用数学方法在科技和生产领域解决实际问题， 还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要是建立研究对象的数学模型，其次 计算求解这个过程是将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用 数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从定性或定量的角度来刻画 实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导因此建立的数学 模型种类很多，它包括静态和动态模型，分布参数和集中参数模型，连续时间和 离散时间模型，参数与非参数模型，线性和非线性模型而对这些模型的分析 大部分可以归结为方程的求解，其中包括非线性或线性常微分方程、偏微分方 程、差分方程和函数方程等等，因此对演化方程的求解成为自然与工程科学工 作者的重要研究课题之一，寻找新颖而且有效可行的求解方法仍然是目前自然 科学领域的攻关项目 l i e 对称理论在微分方程( 组) 中的应用相当广泛，例如构造偏微分方 程( 组) 的精确解、构造守恒律、约化偏微分方程( 组) 、通过约化方程后得的 解考察原来的偏微分方程( 组) 解的意义等这样使得许多科研工作者去改 进已有的对称概念和约化方法，寻找和构造偏微分方程( 组) 的对称1 9 世纪 后期s o p h u s l i e 提出了微分方程的对称理论基础他是受a b e l 和g a l o i s 的 启发，在常微分方程领域引进了连续群的概念( 后来被称为l i e 群) ，进而给 出了常微分方程降阶的定理1 9 1 8 年，n o e t h e r t l 提出了广义对称1 9 6 9 年， b l u m a n 和c o l e 2 ，3 】推广了l i e 群方法，提出了条件对称 4 1 o l v e r 证明了怎 样利用递推算子获得p d e 的无穷多个对称【5 1 5 ，而且发现k d v 方程两个以 】 第一章绪论 解u 和自变量( z ，t ) 结合而成的对称【引文献【7 】中b l u m a n 和c o l e 进而提出 势对称，g a n d a r i a s 在此基础上提出非古典势对称文献【8 ，9 】中提出了弱对 称的概念，基于积分不变的概念，对称理论被推广到泛函领域形成了变分对称 理论【1 0 1 ，它是研究微分方程守恒律的重要手段此后李诩神教授，田畴教授等 人系统地研究了演化方程的对称及其l i e 代数结构 1 1 1 4 1 ，从而得到了一系列重 要成果 1 5 - 1 9 1 1 9 9 3 年，楼森岳教授【2 0 】提出了求对称的形式级数展开法，这种方 法已用于寻求很多方程的对称2 0 0 6 年，楼森岳教授改进了求取对称群的传统 方法，提出了求l a x 可积系统的对称变换群的直接法【2 1 1 2 1 同年，屈长征教授，张 顺利教授【2 2 1 等提出了逼近的条件对称、位势对称和广义条件对称的概念和方 法 同一时期，专家学者在这个领域也提出了不同的约化理论与方法 1 9 8 9 年，c l a r k s o n 和k r u s k a l 2 3 提出了微分方程相似约化的直接法，与古 典l i e 群方法相比较，得到了新的相似约化1 9 9 0 年，楼森岳教授【2 4 】完善了 这种方法，而且推广到( 2 + 1 ) 一维k 尸方程，获得了一些新相似解，但是此方 法计算量大，分析性强1 9 9 2 年，n u c c i 和c l a r k s o n 2 5 用非经典l i e 群法构 造f i t z h u g h n a g u m o 方程的相似解，是直接法不能得到的，从而说明直接 法并非一般的方法1 9 9 6 年，王明亮教授提出了齐次平衡法，该方法使得非线 性微分方程的求解转化为纯代数的机械运算，而且为寻求方程解的机械化算 法【2 6 拓展了道路由此出现了一些新的约化算法，例如双曲函数法、3 a c o b i 函 数展开法、双函数法等1 9 9 8 年，范恩贵教授【2 7 1 对齐次平衡法作了进一步的改 进，提出了一种新的约化方法，该方法等价于直接法2 0 0 0 年，楼森岳教授【2 8 】提 出了条件约化的思想，利用该方法构造了( 2 + 1 ) 维k d v 方程六种新的条件相 似约化该方法已经运用于一些方程的约化【2 9 ，此后又建立了条件相似约化的 直接法以及一般经典、非经典条件l i e 群法，推广了传统的c k 直接法和经 典、非经典l i e 群法 3 0 j 本文利用双函数算法和l i e 对称群方法对演化方程进行约化，不仅得到了 各演化方程的对称而且获得了些精确解 2 西北大学硕士学位论文 本文的结构安排如下： 首先，简述了求解演化方程的历史背景及其重要作用，介绍了有关方程约 化的基本理论方法及本文中采用的符号 其次，利用上一章中介绍的方法对不同的演化方程进行约化，进而构造精 确解 最后，给出了结论及需进一步研究的问题 1 2 约化方法简介 1 2 1 齐次平衡法 齐次平衡法【3 1 ，3 2 1 是由王明亮教授提出来的一种求解非线性偏微分方程的 重要方法，它是将非线性发展方程的求解转化为纯代数的机械运算依据该方 法可以预先判断某一类非线性偏微分方程是否存在一定形式的精确解，若有， 则可按一定的步骤求解因此，该方法直接，简明而且容易操作到目前为止，该 方法在非线性数学物理中己得到了广泛的应用，而且其应用范围还在不断扩展， 己经成为处理非线性相关问题非常有效的工具之一，也是求非线性孤子方程孤 波解的有效方法之一对齐次平衡法的一些核心步骤进行创新，就可获得非线 性孤子方程一批具有丰富形式的新精确解 下面简单的介绍一下该方法的基本步骤： 对于给定的一个非线性偏微分方程 g ( z ，让，t 正茁，u t ，t 工霉z ，让撕u x t ) = 0 ，( 1 1 ) 其中g 是时间变元和空间变元的函数多项式，且含有非线性项以及线性的最 高阶导数项是函数u ( z ，t ) 对空间变元z 的偏导数，u t 是函数u ( x ，t ) 对时 间变元t 的偏导数，u z z 是函数u ( x ，t ) 对空间变元z 的二阶偏导数，孔托是函 数u ( x ，t ) 对时间变元t 的二阶偏导数，u 疵是函数u ( x ，t ) 关于空间变元z ，时 间变元t 的二阶偏导数 3 第一章绪论 若函数妒= v ( x ，t ) 称为是方程( 1 1 ) 的拟解，则存在一元函数，= ，( 妒) ， 使得，( 妒) 是关于z ，t 偏导数的适当线性组合，即 u 牡篆磐州州) ， ( 1 2 ) 其中v ( x ，t ) 是y ( v ) 关于z 和t 的低于m + 礼阶偏导数的恰当线性组合而满 足( 1 1 ) 和( 1 2 ) 中的非负整数仇和礼，一元函数，( 妒) 以及函数妒= 妒( z ，t ) 都 是待定的可以通过以下步骤确定： 首先，将( 1 2 ) 代入( 1 1 ) 中，使得高阶偏导项中包含妒( z ，t ) 的偏导数的最 高次幂和非线性项中包含的关于q o ( x ，t ) 的偏导数的最高次幂相等，来决定非负 整数m ，佗的存在如果m ，n 有是负数或分数的情形，可通过试探函数的变换， 将原方程化为新未知函数方程，使相应的m ，n 非负 其次，对于系统中q a ( x ，t ) 的偏导数的最高次幂的全部项，使其系数等于零， 进而得到，( 妒) 所满足的常微分方程，解得f = ，( 妒) ，大部分情况下解得的是对 数函数 然后，将f = 厂( 妒) 的各阶导数的非线性项，用f = f ( v ) 的较高阶的导数 项来代替再将f = ，( 妒) 的各阶导数项分别合并，并令其系数为零，从而得 到w ( x ，t ) 的各阶齐次型偏微分方程组可通过选择( 1 。2 ) 中线性组合的适当系 数，使该偏微分方程组有解 最后，将上一步的结果带入( 1 1 ) 中，经过m a p l e 数学软件的计算就可以得 到( 1 1 ) 的精确解 上述方法对于许多非线性数学物理方程( 组) 的求解都是适用的，所以齐次 平衡原则具有广泛的应用性和一定的实用性 1 2 2 t a n h 函数法 t a n h 函数法【3 3 1 是李志斌等建立在多数的孤立波解都具有双曲函数形式的 基础之上提出的，它的本质在于对所求发展方程的解做了先验的假设，即孤立 波解是一种局部化解，它可以表示作双曲函数的某种迭加和组合 4 西北大学硕士学位论文 设p d e 是非线性发展方程，它描述孤立波的动态演化过程双曲正切步 骤如下： 首先，孤立波是一种特殊的行波，行波解要求单变量= k ( x 一以) ，这 样u ( z ，t ) = ( ) ，通过导数代换 a d 0 d o t 一一眈面瓦一七面 可将p d e 化作关于变量的常微分方程，记作( 1 ) ，其中k 是波数，c 是波速， 都为待定常数计算中通常取k ，u = k x 作为独立参数，这样= k x w t 其次，孤立波的局部性可以引进变量y = t a i l h ( ) 来刻画，这样( ) = 伽( 可) ，利用双曲函数导数的性质，由导数代换 蘸d 一( t - u 2 ) d y ，虿d 2 一( 1 一扔( 一2 秒品+ ( 1 - - y 2 ) 易) ，一 可将方程常微分方程( 1 ) 化作关于y 的常微分方程，记作( 2 ) 然后，所求的孤立波解由w ( y ) 表示，其具体形式没有一般的方法通常 取w ( u ) 为y 的m 阶多项式，即 加( 可) = 圹， 其中系数n n ( n = 1 ，2 ，m ) 为待定参数将叫( 秒) 代入常微分方程( 2 ) ，通过 平衡常微分方程( 2 ) 的线性最高阶导数项与非线性项的阶数，可以确定m 最后，将确定了阶数的w ( u ) 代入常微分方程( 2 ) ，合并可的同类项，取同次 幂系数为零，得到关于k 和c ，以及o n ( n = 1 ，2 ，m ) 的代数方程组，利用吴 消元法求解代数方程组，最终给出p d e 的孤立波解 1 2 3 双函数算法 基于齐次平衡法和李志斌的t a n h 函数法，大连理工大学的关伟，张鸿庆得 到了简单有效的求解非线性发展方程的双函数法删这种方法利用非线性发 展方程孤立波的局部性特点，把非线性方程的孤波解表示为函数，和g 的多项 式，从而获得非线性发展方程的广泛的孤波解 5 第一章绪论 下面简单的介绍一下该方法的基本思想和步骤： 同样对于给定的一个非线性偏微分方程 g ( z ，u ，u x ，牡t ，z ，u u ，让耐) = 0 ， 其中g 是时间变元和空间变元的函数多项式，且含有非线性项以及线性的最 高阶导数项是函数让( z ，t ) 对空间变元z 的偏导数，u t 是函数u ( x ，t ) 对时 间变元t 的偏导数，是函数让( z ，t ) 对空间变元z 的二阶偏导数，m t 是函 数t ( z ，t ) 对时间变元t 的二阶偏导数，让耐是函数牡( z ，t ) 关于空间变元z ，时 间变元t 的二阶偏导数 首先，对非线性发展方程( 1 1 ) 作行波约化变换，令该非线性发展方程的解 u ( x ，t ) = u ( ( ) ，e = z 一忌t ， k 为常数将这一变换代入原方程( 1 1 ) 后得到一常微分方程 v ( u ，u t ，u ，) = 0 其次，设g ( 让，钍，) = 0 有如下形式的解 n 让( e ) = 啦，( 妒) 矿_ ( ) ， i = l 其中，7 = f ( f ，9 ) ，9 ，= g ( ，夕) ，= h ( f ，夕) ，n 可以通过齐次平衡方 程g ( 让，钍，) = 0 中的线性的最高阶导数项和非线性项的次数确定 例如k d v 方程地+ u 钆z + a u 霉霉霉= 0 中n + 3 = 2 n + 1 ，所以n = 2 ( 这里 取，( ) = s i n h 妒，夕( 多) = c o s h 咖) 然后，将已确定次数的u ( ( ) 代入e ( u ，u 7 ，乱，) = 0 中，可得到一个 关于，和g 的多项式，令其各次项的系数为零，由此得到一个关于a i ( i = 0 ，n ) 的代数方程组，求解方程组 最后，将求解方程组的结果代入 n u ( ) = 毗，( 咖) 9 州( 毋) i = l 中，即可得到原方程的孤波解 6 西北大学硕士学位论文 1 2 4 对称群方法 1 9 世纪7 0 年代，s o p h u s l i e 引入了l i e 群理论l i e 群是群这个代数概 念与流形这一几何概念相结合的产物，这两个数学概念的相互渗透，产生 了l i e 群理论，其核心的无穷小分析方法已被广泛地应用非线性科学研究之中 l i e 群理论统一和扩充了微分方程的求解方法，在研究常微分方程中，证明了使 得方程不变的对称群可对方程进行降阶在偏微分方程的研究过程中，可通过 特征方法等价于常微分方程组的一阶方程组 下面介绍l i e 群的几个基本概念和定理： 定义1 群g 是满足组合律的元素的集合，并且元素之间满足如下的公理： ( 1 ) 封闭性，对g 的任意元素a ，b ，d p ( a ，b ) 是g 的元素 ( 2 ) 结合性，g 的任意元素a ，b ，c 满足 ( n ，( 6 ，c ) ) = ( ( 口，6 ) ，c ) ) ( 3 ) 单位元，存在g 的唯一的单位元e ，使得对g 的任意元素a ，有 砂( n ，e ) = ( e ，a ) = a ( 4 ) 逆元，对g 的任意元素a ，g 中存在唯一的逆元a 一，有 多( n ，a 一1 ) = 驴( o 一1 ，a ) = e 定义2 令z = ( 2 7 1 ，x 2 ，x 竹) 位于区域dc 舻中，对于d 中的每个元 素z 和集合scr 中的参数e ，( e ，6 ) 定义了s 中参数e 和6 之间的组合律， 则变换集合 矿= x ( z ；e ) 构成d 上的单参数变换群，如果下面条件成立： ( 1 ) 对s 中的每个e ，变换在d 上是一对一的，因此x + d ( 2 ) 具有组合律矽的s 组成一个群g 7 ( 1 3 ) 第一章绪论 ( 3 ) 对d 中每个z ，z + = 。，当e = e o 对应于单位元e ，即x ( z ；c o ) = z ( 4 ) 如果矿= x ( z ；e ) ，矿+ = x ( x + ；6 ) ，那么矿。= x ( z ；( e ，6 ) ) 定义3 若单参数变换群除满足定义2 的条件外，还满足以下条件： ( 5 ) e 为连续参数，即s 为r 上的闭集，不失一般性，e = 0 对应于单位元e ( 6 ) x 为d 上关于z 是无穷次可微的，并且是s 中e 的解析函数 ( 7 ) 砂( e ，6 ) 是e ，6 的解析函数，e ，6 s 则单参数变换群称为单参数l i e 变换群 定义4 如果单参数( e ) l i e 变换群矿= x ( z ；e ) ，单位元为e = 0 ，组合律为妒 在e = 0 附近展开( 1 3 ) 式，得 拈( 掣| e = o ) + 妄( 笔笋l c ：0 ) + 令 = m ( 掣l c = 0 ) 十d ( c 2 ) 舡) = 1 0 x ( x ；i c _ 。 ( 1 4 ) ( 1 5 ) 变换z + e ( z ) 称为l i e 变换群( 1 3 ) 的无穷小变换相应地，( z ) 叫做( 1 3 ) 的 无穷小 定义5 ( l i e 第一基本定理) 存在参数化7 - ( ) ，使得l i e 变换群( 1 3 ) 等价于一 阶常微分方程初值问题 石d x * = ) ， ( 1 6 ) 且 z 车= z 当7 - = 0 时的解，特别地， r ( e ) = 伽e ，) d e 其中 r ( e ) = 百0 0 ( a , b ) | ( o 6 ) ；( 。，。) 西北大学硕士学位论文 r ( o ) = 1 ， e 一1 表示e 的逆元 l i e 第一基本定理表明，无穷小变换包含确定单参数l i e 变换群的基本 信息由于一阶常微分方程组( 1 6 ) 在关于7 - 的平移变换下不变，因此，总 可以根据参数r 来重新参数化给定的群，结果对于参数n 和仡，结合律变 为( n ，t 2 ) = n + r 2 l i e 第一基本定理也表明，单参数l i e 变换群( 1 3 ) 定义 了由( 1 6 ) 确定的定态流，并且任意定态流( 1 6 ) 定义一个单参数l i e 变换群 定义6 无穷次可微函数f ( x ) 是l i e 变换群( 1 3 ) 的不变函数，当且仅当对于任 意变换群( 1 3 ) f ( x + ) 三f ( z ) 如果f 扛) 为( 1 3 ) 的不变函数，那么f ( z ) 称为( 1 3 ) 的不变量，且称f ( z ) 在( 1 3 ) 作用下是不变的 定理1f ( x ) 是l i e 变换群( 1 3 ) 作用下的不变量，当且仅当 x f ( x ) 三0 定理2 对于l i e 变换群( 1 3 ) ，恒等式 成立，当且仅当f ( z ) 满足 f ( x ) = f ( x ) + e x f ( x ) 兰1 定义7 曲面f ( x ) = 0 是单参数l i e 变换群( 1 3 ) 的不变曲面当且仅当f ( x ) = 0 时，f ( x + ) = 0 定义8 曲面f ( z ) = 0 是单参数l i e 变换群( 1 3 ) 的不变曲面当且仅当 x f ( x ) 三0 ，f ( z ) = 0 ， 其中x 是( 1 3 ) 的无穷小生成子 9 第一章绪论 定理3 考虑一个k ( 七为正整数) 阶偏微分方程： f ( x ，牡，让( 1 ) ，钍( 2 ) ，缸( 3 ) ，u ( 知) ) = 0 ， ( 1 7 ) 其中z = ( x l ，x 2 ，x 3 ，z n ) 表示n 个独立变量，u 是因变量，u o ) 表 示u 关于祝( i = 1 ，2 ，3 ，佗) 的j 阶偏导数的坐标集合，u ( j ) 的分 量瓦磊可用u i l i 2 i ，来标记，其中巧= 1 ，2 ，住，歹= 1 ，2 ，厄 容许李对称 当且仅当 其中 y 刊舭) 差州删) 彘， y ( 七) ( ) i ：o = 0 ， = f ( x ，乱，乱( 1 ) ，让( 七) ) ， 戎1 = d t 叼一( 现白) ，i = 1 ，2 ，n ， 爰2 缸= d “仉r 。k 珏- 1 ! 。一。一( d “白) 蚴。珏4 。一。j ， i z = 1 ，2 ，n ，z = 1 ，2 ，k ，k 2 ， y ( 七) = y + 采1 ( x , u , u ( 1 ) ) o - - a i + + 棍“掣，u ，牡，u 去 定义9 全导数定义为 。= 瓦0 + y 南+ 抛面0 + + 鲰+ ，瓦0 + ， d t 是关于觑，i = 1 ，2 ，3 ，佗全导数算予，那么 耽= 瓦0 + 讹瓦0 + 瓦0 + + 让嘞曲瓦i 0i + ， i ，j ，i t = 1 ，2 ，n ，z = 1 ，2 ， ( 1 8 ) ( 1 9 ) 西北大学硕士学位论文 定义1 0 函数妒( z ) 关于( 1 8 ) 是不变量当且仅当妒( z ) 满足 v ( u 妒 ) ) = 0 ， 即妒( z ) 满足特征方程 鲁= 百d x 2 一- = i d x n = 一d u r ( 1 1 。) 一= 一= = 一= 一 l l 1 已矗 r 7 定义1 1 函数妒( z ) 是方程( 1 7 ) 关于生成子( 1 8 ) 的不变解当且仅当 ( 1 ) 妒( z ) 是关于( 1 8 ) 的不变量； ( 2 ) 妒0 ) 满足方程( 1 7 ) 如果妒l ( z ，缸) ，p 2 ( z ，让) ，妒竹一1 ( z ，t ) ，( z ，u ) ，且笔= o ，是求解特征方 程( 1 1 0 ) 所得的n 个独立不变量，则方程( 1 7 ) 关于李对称( 1 8 ) 的群不变 解也= 妒( z ) 可以隐式表示为 ( z ，t 正) = 日( 1 p 1 ( z ，乱) ，妒2 ( z ，u ) ，妒n l ( x ，u ) ) ， 其中h 是任意函数 定义1 2 若 x j i 玛= 岛t ( z ，u ) o x i - ! - 仍( z ，u ) o u ，歹= 1 ，2 ，k ，为k 参数李变 换群的无穷小生成子，那么无穷小生成子k ，x 矗的换位子 但，x 8 1 = x 口x b x 8 x 盘 2 叠陷如掳0 ；励( z ) 刍) 一强( z ) 去) ( 白( z ) 刍) 2 善嘶) 南， ( 1 1 1 ) 其中 啦) = 砉脚) 掣嘞掣1 下面介绍对称群方法的原理和本质： 该方法是l i e s 5 j 运用微分方程的群理论构造方程的精确解，它是研究对称 的古典方法，或者称为李点对称方法【1 0 ，3 6 ，3 7 1 l i e 计算了一维热方程的最大不 第一章绪论 变群并运用对称群构造精确解，即对热方程对称约化因此对称约化称为求解 非线性偏微分方程最广泛的工具 该方法的本质是利用 y ( 七) ( ) l ：o = 0 ， 以及 f ( x ，u ，u ( 1 ) ，札( 2 ) ，t ( 3 ) ，t 正( 砖) ) = 0 ， u u ( 1 ) ，札( 2 ) ，t ( 3 ) t 正( 砖) j = ， 得到关于已( z ，t ) ，o ( x ，u ) ，i = 1 ，2 ，n 的一个超定方程组，一般称为决定方 程组，求出这个决定方程组的通解，就可以得到偏微分方程 f ( z ，让，u ( 1 ) ，让( 2 ) ，钍( 3 ) ，u ( 七) ) = 0 所容许的李点对称群，进而可以求出群不变解 1 2 西北大学硕士学位论文 第二章演化方程的约化及其精确解 2 1k d v b u r g e r s 方程的行波约化 2 1 1 前言 非线性现象的研究既是各个自然科学领域，也是社会科学领域十分关心 的问题物理、化学、生物、工程技术等都存在大量的、重要的非线性问 题，这些问题的研究最终可用非线性波动方程这个数学模型来描述因此如 何求解非线性波动方程及其相应的求解方法的研究，已引起人们的极大兴趣 文献【3 4 】基于齐次平衡法f 3 8 】和李志斌t a n h 函数法【3 3 】，建立了简单有效的求 解非线性发展方程的双函数法，并用该方法求出了k d v 方程的的多组孤波 解本文借助计算机代数系统m a p l e ，采用双函数法和吴消元法【3 9 1 ，进一步求 解k d v b u r g e r s 方程【4 0 l 毗+ u 一十。仳嚣z = 0 的孤子解，其中c ，a 0 ，分别为耗散和色散系数 2 1 2k d v b u r g e r s 方程的新孤波解 k d v b u r g e r s 方程为 毗+ u u z c a z z + o u z z z = 0 ， 对其作行波约化 u ( x ，t ) = u ( ( ) ，e = x 一七t ， ( 2 1 ) ( 2 2 ) 其中k 是波速，为待定常数将u ( z ，t ) = 乱( ( ) 代入( 2 1 ) 式则得到( 2 2 ) 对应的 常微分方程，积分一次，令积分常数为零，得 一七u + 互1 u 2 一眦+ 凸u ，= o ( 2 3 ) 1 3 第二章演化方程的约化及其精确解 设方程( 2 3 ) 有如下形式的行波解 f l 牡( ( ) = 。t ，i ( 砂) 矿一( ) ( 2 4 ) i = 1 在此，我们取，( ) = s i n 4 ) ，夕( 钟= c o s ，则f 7 = f ( f ，g ) = 夕，矿= g ( f ，g ) = 一，并且夕2 = l 一，2 ，从而可以消去( 2 1 ) 中所有次数高于2 的项，因此( 2 4 ) 式 可重写为 n u ( ( ) = s i n i - 1 西( b i s i n 砂+ 吣o s ) + a o ， i = 1 并且由齐次平衡原理易知竹= 2 ，所以 t ( ) = a 0 + a lc o s 咖+ b ls i n + a 2s i n c o s 妒+ b 2s i n 2 ， ( 2 5 ) 其中a o ，a l ，b l ，a 2 ，6 2 为待定常数，而= h ( f ，g ) 可以有多种选法 情况( i ) 令 万d e ：s i n 4 ) , ( 2 6 ) 面2 ( 2 6 ) 将( 2 5 ) ，( 2 6 ) 代入( 2 3 ) 式中，并令其中的常数项以及各次项的系数为零， 得到如下线性代数方程组 a o a l a l k = 0 ， - - 6 a a 2 + a 2 5 2 = 0 口3 + o i 一2 a o k = 0 ， 一o l 一1 2 a b 2 + b ；= 0 ， 一2 a a l + a 2 b 1 + a 1 5 2 2 c 6 2 = 0 ，( 2 7 ) - 2 a a l + a 2 b l + a 1 6 2 2 c 5 2 = 0 ， a l a 2 一c a 2 + a b l + a o b l b l k = 0 ， a a 2 + a o a 2 + a l b l c b l a 2 k = 0 ， 一a ；+ c a l + o ；十磅+ 8 a b 2 + 2 a o b 2 2 b 2 k = 0 利用吴消元法解上述关于a o ，a l ，a 2 ，b l ，b 2 ，k 的超定代数方程组( 2 7 ) 得 1 4 西北大学硕士学位论文 ( i ) 若c = 士学口，则 印咱：七：士学n ，a 2 = b l - - o ，幻蛐。 若c = 0 ，a 0 ，方程( 2 1 ) 为k d v 方程，则 a o = 0 ，a l = 0 ，a 2 = 0 ，b l = 0 ，b 2 = 1 2 a ，k = 4 a ； a o = 0 ，a l = 0 ，a 2 = 士6 a i ，b l = 0 ，b 2 = 6 a ，k = 口； a o = - 8 a ，a l = 0 ，a 2 = 0 ，5 1 = 0 ，5 2 = 1 2 a ，k = - 4 a ； a o = - 2 a ，a l = 0 ，a 2 = = l = 6 a i ，b l = 0 ，5 2 = 6 a ，k = - - a 此时求得的是k d v 方程的解，这里不作讨论 ( 玩) 若o = 士案c ，则 如：詈叫，：_ c 1 2 a 2 = o rb l - - o r6 2 ：土学啪= 铲1 2 。：一萼c ，o ，：- c ，1 2a 2 - - - - o , b l = o , 6 2 = 土挈啪= - _ c 1 2 若a = 0 ，c 0 ，方程( 2 1 ) 为b u r g e r s 方程，则 a o = c ，a l = c ，a 2 = 0 ，b l = 0 ，b 2 = 0 ，k = c ； a o = - - c ，a l = c ，a 2 = 0 ，b l = 0 ，5 2 = 0 ，k = - c ； a o = 一c ，a 1 = c ，a 2 = 0 ，b l = 士、盈，b 2 = 0 ，k = 一c ； a o = c ，a 1 = c ，a 2 = 0 ，b 1 = 士、孔，b 2 = 0 ，k = c 此时求得的是b u r g e r s 方程的解，这里不作讨论 对( 2 6 ) 式进行分离变量并且两边积分，积分常数取为零得 s i n = s e c h ( ，c o s 多= 士t & n h ( ( 2 8 ) 于是方程( 2 1 ) 有如下新解 心：土竽0 ( 1 伽岣+ 1 2 a s e c h 2 “= z 士学以( 2 9 ) 第二章演化方程的约化及其精确解 u ( z = 詈c 士詈c t a n he 土丁3 v 伍c 5 e c n 2 ( ，= z - 警矗 ( 2 1 0 ) 炯) = 一詈c 士詈c t a n h ( 士丁3 v f i - 五雠叭- 2 “= z + 争( 2 1 1 ) 情况( i i ) 令 d e ： 万2 c o s9 ， 吠 ( 2 1 2 ) 将( 2 5 ) ，( 2 1 2 ) 代入( 2 3 ) 式中，并令其中的常数项以及各次项的系数为 零，得到如下线性代数方程组 6 a a 2 + a 2 5 2 = 0 ， 一口4 - 1 2 a b 2 + 磋= 0 ， a o a l a a l c a 2 一a l k = 0 2 a a l - 4 - a 2 b l - 4 - 2 c a 24 - a 1 5 , 2 = 0 ， 2 a b l a l a 24 - 2 c b 24 - b 1 5 2 = 0 0 34 - a ；一西14 - 4 a b 2 2 a o k = 0 ， a l a 2 2 a b l + a o b l 一2 c b 2 一b l k = 0 ， - 5 a a 2 + a o a 24 - c a l4 - a l b l a 2 k = 0 ， 一o ；4 - a ；- 4 - 堵4 - c b l 一1 6 a b 2 - 4 - 2 a o b 2 2 b 2 k 亍0 ( 2 1 3 ) 利用吴消元法解上述关于a o ，a 1 ，a 2 ，b 1 ，b 2 ，k 的超定代数方程组( 2 1 3 ) 得 ( i ) 若c = 士学o ，则 n 。翊( 1 士学ha l = o , a 2 = o , 6 1 - 士竿q ，幻一2 小= 士竿n ( i i ) 若c = 0 ，a 0 ，方程( 2 1 ) 为k d v 方程，则 a o = 4 a ，a l = 0 ，a 2 = 0 ，b l = 0 ，5 2 = - 1 2 a ，k = - 4 a ； a o = 1 2 a ，a l = 0 ，a 2 = 0 ，b l = 0 ，6 2 = - 1 2 a ，k = 4 a ； a o = 6 a ，a l = 0 ，a 2 = = l = 6 a i ，b l = 0 ，b 2 = - 6 a ，南= o ； a o = 4 a ，a l = 0 ，a 2 = ：l ：6 a i ，b l = 0 ，5 2 = - 6 a ，毛= - a 西北大学硕士学位论文 此时求得的是k d v 方程的解，这里不作讨论 ( 洌) 若a = 0 ，c 0 ，方程( 2 1 ) 为b u r g e r s 方程，则 a o = c ，a l20 ，a 2 = 0 ，b l = - - c ，b 2 = 0 ，k = c ； a o = - - c ，a l = 0 ，a 2 = 0 ，b l = - c ，5 2 = 0 ，k = - c ； a o5c ，a l2 ：l ：i c ，a 220 ，b l = 一c ，b 2 = 0 ，k = c ； a o2 - - c ，a l2 ：l = i c ，a 2 = 0 ，b l = - c ，b 220 ，k = 一c 此时求得的是b u r g e r s 方程的解，这里不作讨论 对( 2 1 2 ) 式进行分离变量并且两边积分，积分常数取为零，得 s i n 咖= t a n h ( ，c o s = s e c h ( 于是方程( 2 1 ) 有如下新解 心_ 1 2 ( 1 土学肚竿舳h ( - - 1 2 a t a n h 2 ( ， ( 2 1 4 ) 士竿以 2 1 3 结论 文献【3 4 】以k d v 方程为例建立双函数法时，对，和g 分别取双曲正弦， 双曲余弦函数以及取修正的双曲函数进行了讨论，并求得k d v 方程的相应 的多组孤波解本节采用双函数法对k d v b u r g e r s 方程求解时对，和g 分 别取正弦，余弦函数的情况进行了讨论，并获得多组新的孤波解，丰富 了k d v b u r g e r s 方程解的结果同时，也进一步补充和完善了双函数法，使 之更富有生命力，适于推广至其他非线性方程的求解 1 7 第二章演化方程的约化及其精确解 2 2f u t u r e s o p t i o n s 方程的对称约化 2 2 1 方程背景 关于股票期权定价的数学模型，b l a c k 和s c h o l e s 4 1 】提出了偏微分方程 酉o v 坷12 s z 髻朋筹训扎 ( 2 1 5 ) 其中v ( s ，t ) 表示某股票期权的价格，s 表示股票价格，t 表示时间，口和r 都是 常数，口表示股价波动率，r 表示无风险利率，它的导出被认为是金融理论的一 次重大突破通过求解b l a c k s c h o l e s 方程得到期权的价格，这一方法不仅适 合于标的资本，也适合于相应的期货合约 定义期货价格f ，且f 与s 存在如下关系 e = & e r ( t - t ) ， 其中r 表示t 时刻的期货价格，s 表示t 时刻的股票价格，现在假设关于期货 的期权价格可以表达为 g ( r ，亡) ， 且函数g ( f t ) 存在偏导数我们将通过假想的股票期权的方法来推导g 的表 达公式 将价格公式 g ( s e r ( t