（基础数学专业论文）有限群数量性质的若干问题的研究.pdf

有限群数量性质的若干问题的研究 基础数学专业 研究生：杜祥林 指导教师：施武杰教授 摘要 设g 为有限群，k ( g ) 为g 中元素共轭类的个数，”。( g ) 为群g 中元素阶的集 合，则存在非负整数k 使得k ( a ) = k ( g ) f + k 我们称该群为c o ( k ) 群 s y s k i n 在1 9 8 0 年提出著名猜想：在一有限群g 中，若任何两个同阶元素均共 轭，则g 兰1 ，彩，昆 p f i z p a t r i c ，w ，f e i t 和张继平分别在t 9 8 5 年，1 9 8 8 年独立地解决了s y s k i n 猜 想当k = o 时，上述定义的c o o ) 群，就是s y s k i n 猜想里讨论的群 又设坛( g ) = 如g io ( x ) = i ，i l r e ( g ) ) t 特别地设最高阶元所成集合m ( g ) = m k ( a ) ，其中， k = m o z 丌e ( g ) t h o m p s o n 曾经猜想，设g 1 ，g 2 为有限群，假设 j m d g l ) l = l 尬( g 2 ) i ，则如果g 1 是可解群，那么g 2 也是可解群 本文主要讨论以下问题： ( i ) 满足一定条件的有限c o ( k ) 群的性质。 ( 2 ) 有限c o ( 1 ) 群的分类。 ( 3 ) 有限可解c o ( 2 ) 群的分类 ( 4 ) 最高阶元素个数为4 p ，卸2 的有限群 本文的主要结果为下面五个定理 定理a 设g 为有限c o ( k ) 群，为g 的可解正规子群，则g n 为c o ( i ) 群， 0s isk 定理bg 为有限c o ( 1 ) 群当且仅当g 同构于以下群之一： 1 酉叫太兰攮士堂位论室 2 5 ，上2 ( 7 ) ，s 5 ，蜀，a 4 ，h o l ( 磊) ，历：五，d l o ，z 3 ，z 4 定理c 设g 为有限可解群，则g 为c o ( 2 ) 群当且仅当gf 司构于以下群之一： z 2 面，z 6 ，d 8 ，0 8 ，d i 4 ，历：玩，历：磊，z 1 5 ：z 4 ，昆玩，d 1 8 ，q 8 玩，( 历z 3 ) ： q 8 定理d 设g 为有限群，如果g 中最高阶元素个数为4 p ，p 是素数，则g 是可 解群，除非g 竺岛。 定理e 设g 为有限群，如果g 中最高阶元素个数为匈2 ，p 是素数，则g 是可 解群 关键词可解群，单群，共轭类，轭类的长度，融和姿，最高翰万 四刖盘堂堙坐位论文 s t u d yo fs e v e r a lp r o b l e m sa b o u tt h e q u a n t i t a t i v ep r o p e r t yo ff i n i t eg r o u p s s p e c i a l i t y ：m a t h e m a t i c s c a n d i d a t e ：d ux i a n g l i n s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rs h iw u j i e a b s t r a c t l e tdb ef i n i t eg r o u p s d e n o t e 女f g lt ob et h en u m b e ro fc o n j u g a c yc l a s s e so f g ，a n d7 1 e ( g ) t ob et h es e to fo r d e r so ft h ee l e m e n t so fgt h e nt h e r ee x i s t sn o n n e g t i v e n u m b e rks u c ht h a t ，女( g ) = i i r e ( g ) i + kw ec a l lt h i sg r o u p st ob ec o ( k ) g r o u p s s y s k i up u t sf o r w a r daf a m o u sc i n j e c t u r ei n19 8 0t h a t ：l e tgb ef i n i t eg r o u p s ，i fa n y s a m eo r d e re l e m e n t so fga r ec o n j u g a t e ，t h e ng 兰1 ，z 2 ，岛 p f i z p a t r i c ，w f e i ta n djp z h a n gh a v es o l v e dt h i sw e l l k n o w nc o n j e c t u r ed u r i n g 1 9 8 5 - 1 9 8 8i n d e p e n d e n t l y w h e nk = 0 ，t h eg r o u p sd i f i n e da b o v eb e c o m ec o ( o ) g r o u p s ， t h e ya r ej u s tt h eg r o u p si ns y s k i nc o n j c c t u r e a l s ol e t 毛( g ) = z go ( x ) = i ，i 7 r e ( g ) ) ，p a r t i c u l 钉l y ，l e tm ( g ) = 靠( g ) ， w h e r e 七= m n z 丌e ( g ) t h o m p s o no n c eg a v eac o n j e c t u r et h a t ：l e tg 1 ，g 2b ef i n i t eg r o u p s ， i fl 磁( a 1 ) 1 = l m i ( g 2 ) l ( i 7 r e ( g ) ) ，t h e ni fg 1i ss o l v a b l e ，t h e ng 2i ss o l v a b l et o o t h i sp a p e ri n v e s t i g a t e st h ef o l l o w i n gp r o b l e m s ： ( 1 ) f i n i t ec o ( k ) g r o u p ss a t i s f y i n gs o m ec o n d i t i o n s ( 2 ) c l a s s i f ya l lf i n i t ec o o ) g r o u p s ( 3 ) c l a s s i f ya l lf i n i t es o l v a b l ec o ( 2 ) g r o u p s ( 4 ) f i n i t eg r o u p sw i t he x a c t l y4 po r4 p 2m a x i m a lo r d e re l e m e n t s t h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e ra r ef o l l o w i n gf i v et h e o r e m s ： t h e o r e mal e tgb ef i n i t ec o ( k ) g r o u p s ，nb es o l v a b l en o r m a l ls u b g r o u po fg ， t h e ng ni sc o ( i ) g r o u p ，0 i k t h e o r e mbgi sc o ( 1 ) g r o u pi fa n do n l yi fgi s o m o r p h i ct oo n eo ft h ef o l l o w i n g g r o u p s ： a s ，l 2 ( 7 ) ，s 5 ，s 4 ，a 4 ，h o f ( z s ) ，z s ：z 4 ，d l o ，z 3 ，z 4 四刖太堂蝗坐位论文 4 t h e o r e mcl e tgh ef i n i t es o l v a b l eg r o u p ，t h e ngi sc o ( 2 ) g r o u pi fa n do n l yi fg i s o m o r p h i ct oo n eo ft h ef o l l o w i n gg r o u p s ： 局扔，磊，d 8 ，q 8 ，d 1 4 ，历：毛，z 7 ：磊，z 1 5z 4 ，s 3 z 2 ，d 1 8 ，哦：z 3 ，( 历z 3 ) ： q 8 t h e o r e md w h e r ep i sap r i m e t h e o r e me w h e r e pi sap r i m e l e tgb eaf i n i t eg r o u p ，i fgh a se x a c t l y 卸m a x i m a lo r d e re l e m e n t s ， t h e ngi ss o l v a b l e ，u n l e s sg 兰岛 l e tgb eaf i n i t eg r o u p ，i fgh a se x a c t l y4 p 2m a x i m a lo r d e re l e m e n t s ， t h e ngi ss o l v a b l e k e y w o r d s ：s o l v a b l eg r o u p ，s i m p l eg r o u p ，c o n j u g a c yc l a s s e s ，t h el e n g t ho fc o n j u g a e y c l a s s e s ，f u s i o nc l a s s e s ，m a x i m a lo r d e re l e m e n t 四刖太坐撞堂位i 佥文 第一节绪论 5 从过去几十年到现在，人们对利用有限群的数量性质去刻画有限群这方面的工 作的兴趣越来越大，其中的主要原因是，有限群里涉及的数量，比如元素的阶，共 轭类的个数，共轭类的长度，最高阶元素个数，等等这些看似简单的数量，却能本 质地反映群的性质。 i t o 有多篇文章研究群元素共轭类的长度对群的影响( 参看文 献 1 4 】) ，施武杰仅利用元素的阶的集合，或利用元素的阶的集合和群的阶对有限 单群的刻画( 参看文献 5 1 9 】) ，文献f 2 0 一2 3 1 讨论了群的共轭类个数对群的影响上 述工作都是这方面的很好的例证 s y s k i n 2 4 在1 9 8 0 年提出著名猜想：在一有限群g 中，若任何两个同阶元素均 共轭，则g 竺1 ，历，岛 直到5 年以后，s y s k i n 猜想才被解决p f i z p a t r i c 在1 9 8 5 年，以及w f e i t 2 5 和张继平【2 6 】在1 9 8 8 年分别独立地解决了s y s k i n 猜想从那以后，很多作者研究了 与此类似的问题例如，张继平 2 7 研究了有限群的同阶元在自同构下构成一个融 和类的有限群的分类；李才恒【2 8 】研究了同阶元在自同构下最多有两个融和类的有 限单群的分类，以及群元索和它的逆元素共轭的有限群的结构【2 9 受s y s k i n 问题和上述问题的启发，本文从另一个角度考虑问题我们知道，群 元素中，共轭一定同阶，而同阶则不一定共轭。在有限群中定义关系如下：两元素 若同阶，则它们有关系显然该关系为等价关系我们称此等价类为同阶类明显 的事实是，有限群g 的同阶类的个数等于该群中元素阶的集合的基数，且它小于或 等于群g 中共轭类的个数，于是存在非负整数k 使碍： k ( a ) = i d ( a ) l = 1 7 r 。( g ) i + k 我们称满足此条件的有限群g 为c o ( k ) 群其中d ( a ) 表示g 中共轭类的集合， ”。( g j 表示群中元素阶的集合一个十分自然的问题是，在何等程度上，我们能对 c o ( k ) 群进行亥0 画? 当k = 0 时，上述群即为c o ( o ) 群，就是s y s k i n 猜想里讨论的群 因此，c o ( k ) 群是s y s k i n 猜想的延伸和拓广由此可见，研究c o ( k ) 群十分有意义 本文将要讨论的另一个问题是有限群中最高阶元素个数对该群的限制从历史上 看，人口 对最低阶元素( 即对合) 的个数对群的影响作了很多工作，但对最高阶元素 四刖太堂堙堂垃论文 6 个数对群的影响的研究还很不够，杨成，姜友谊等的工作( 参见文献f 3 0 - 3 5 ) 可以认 为是这方面的一点尝试且这方面的工作与t h o m p s o n 的一个猜想有关t h o m p s o n 曾经猜想，设g l ，g 2 为有限群，假设i m i ( c 1 ) l = i 尬( g 2 ) l ，则若g l 是可解群，那 么g 2 也是可解群可以认为，对最高阶元素个数的研究有助于“t h o m p s o n 猜想” 的解决 本文主要讨论以下问题： ( 1 ) 满足一定条件的有限c o ( k ) 群的性质 ( 2 ) 有限c o ( 1 ) 群的分类 ( 3 ) 有限可解c o ( 2 ) 群的分类 ( 4 ) 最高阶元素个数为和，4 p 2 的有限群 本文的主要结果为下面五个定理 定理a 设g 为有限c o ( k ) 群，为g 的可解正规子群，则g n 为c o ( i ) 群， 0 i k 定理bg 为有限c o ( 1 ) 群当且仅当g 同构于以下群之一： a 0 ，l 2 ( 7 ) ，s 0 ，s 4 ，a 4 ，h o t ( z s ) ，磊：z 4 ，d l o ，z 3 ，z 4 定理c 设g 是有限可解群，则g 为c o ( 2 ) 群当且仅当g 同构于以下群之一： z 2 z 2 ，磊，d s ，q 8 ，d 1 4 ，z 7 ：z s ，z 7 ：z 6 ，z 1 5 ：z 4 ，s 3 z 2 ，d i s ，鼠：z 3 ，( 历z 3 ) ： 口8 定理d 设g 为有限群，如果g 中最高阶元素个数为4 p ，p 是素数，则g 是可 解群，除非g 兰岛 定理e 设g 为有限群，如果g 中最高阶元素个数为4 p 2 ，p 是素数，则g 是可 解群 为了后面证明方便，我们引入一些符号设g 为有限群，d ( g ) 表示g 中元素共 轭类的集合，k ( g ) 为g 中元素共轭类的个数，”。( g ) 为群g 中元素阶的集合定义 g + = g 一1 设g ，定义。( z ) 为元素z 的阶，。g 表示包含z 的g 共轭类，l z g l 表示其长度一般地，设s 为一集合，定义蚓为集合s 的基数对g 中元素。，y ， 若存在口a u t ( g ) ，使得y = z 4 ，则称。与y 融和，且称集合 矿，l 口a u t ( g ) ) 为 四刖太堂堙士堂位论空 7 g 的一个融和类( 引自文献 2 8 1 ) ，显然，当a i n n ( g ) 时，g 的融和类就是g 的共 轭类我们称g 的正规子群为全正规，如果n = 1u o g ( 引自文献 3 6 ) i r r ( g ) 表 示g 的所有不可约特征标的集合定义m d c ) = z g io ( 。) = i ，i 7 r e ( g ) ) ，特别 定义最高阶元所成集合m ( g ) = m k ( a ) ，其中，k = l ? 2 a x t r 。( g ) 咖( 。) 为欧拉函数，其 它符号为标准的 4 0 】本文出现的群均为有限群 全文共分为6 节第一节为绪论，第二节讨论一般c o ( k ) 群的几个性质第三节 讨论可解的c o ( 1 ) 群的结构，第四节讨论不可解的c o ( 1 ) 群的结构，第五节讨论可解 的c o ( 2 ) 群的结构，第六节讨论最高阶元素个数为4 p ，4 p 。的有限群 四刖太茔壤土生位论文 8 第二节关于c o ( k ) 群的一个定理 我们首先讨论关于一般c o ( k ) 群的一个定理，此定理不仅本身十分有意义，而且 是后面定理证明的基础 引理2 1 设g 为c o ( k ) 群，为g 的正规初等a b e l p - 群，则a n 为c o ( i ) 群 i = 0 ，1 ，2 ， 证明：设百= c n ，取定n 7 ( e ( 百) ，则在召= g n 元素的形如n p i ，i 0 的 阶中，有一个最高阶，我们称它为对n 而言百的最高阶，记为n p m ( w ，m ( n ) 0 显然它与n 有关我们知道，在自然同态g c n 下，a n 中印阶元素的原 像由g 中n p 或n p h l 阶元组成，而g 中耐+ 1 阶元在自然同态的像组成g 中印t 或n p 川阶元素 记互( n ) 为g 中一切n p 2 阶元素共轭类的代表的集合，记壶( n ) 为召中一切坤z 阶元素共轭类的代表的集合又记 丑l ( n ) = 口t d n ) id ( 丘) = n p i ) ，正2 ( n ) = a 冗( n ) f o ( a ) = n p 1 ) ， 霞l ( 扎) = 云霞( 札) l o ( n ) = 靛) ，窒k ( n ) = 五妻( 钍) i o ( 8 ) = 札矿+ 1 ， l i ( n ) = i 霉( n ) i ，l i l ( n ) = l 置1 ( n ) l ，i i 2 ( n ) = 置2 ( n ) 1 ， t ( n ) = 1 毫( n ) i ，矗，( n ) = i 霉( n ) 1 ，瓦z ( n ) = i 露z ( n ) 容易看出： 丑( n ) = 正l ( n ) u 置2 ( n ) ，置1 ( n ) n 五2 ( n ) = 妒，元m ) = 盂1 ( n ) u 露2 ( n ) 由此可得： f ；( n ) = i n ( 礼) + ：i 2 ( n ) ，k ( 扎) “l ( n ) 十z i 2 ( n ) 在上面的记号中，t o ( 1 ) = t 0 1 ( 1 ) = 1 ) ，t 0 2 ( 1 ) = 庐，磊( 1 ) = 亩o l ( 1 ) = 磊2 ( 1 ) = i 因此，1 0 ( 1 ) = f 0 1 ( 1 ) = 1 ，z 0 2 ( 1 ) = 0a n dl o ( 1 ) = f o l ( 1 ) = l o s ( i ) = 1 下面我们证明： ( 1 )f 。l ( n ) l i l ( 礼) ，z 佃( n ) f t + 1 ，2 ( n ) ( 2 )若g 中有n p m ( n ) + 1 阶元素，且召中元素的最高阶是n 矿( ，则 玷( n ) 菇i ( n ) + 矗2 ( 礼) 一1 ， 证明( 1 ) ：由定义，( n ) 是g n 中那些t 砂阶元共轭类的个数，那些印阶元 素共轭类的代表的原像在g 中的阶也是卵，而“- ( n ) 刚好是g 中在自然同态下的 像的阶为n 矿的那些共轭类的个数，故矗l ( n ) = k - ( n ) 四心太堂撞士堂位论文 9 证明( 2 ) ：因为对一固定的n ，g 有n p m ( n ) + 1 阶元素，且百中元素的最高阶为 n p m ( w ，因此百中有n 阶元素5 ，它在自然同态g a l v 下的一个原象b 的阶为 n p 。 因( n ，p ) = 1 ，故6 可以分解为n 元素与p 阶元素的乘积设b = 6 l b 2 ，其中 b i b 2 = b 2 b l ，o ( b a ) = n ，o ( b 2 ) = p 因此b n = 6 2 n 因是初等a b e lp 群，所以 b 2 n 因此有5 = b i b 2 = h 又因o ( b ) = n p ，o ( b ) = n ，从而5 岛2 ( n ) ，且 1 1 磊1 ( n ) 由磊( n ) = 于0 1 ( n ) u 磊2 ( n ) 和5 = 5 l 磊l ( n ) n 磊2 ( n ) ，我们有 0 ( 礼) = i 磊( n ) l 磊( n ) i + i 磊l ( n ) i 一1 = 菇1 ( n ) + 矗2 ( 他) 一1 引入记号6 ( $ ) ，当g 中没有n p 州“) + 1 阶元素时，d ( n ) = 0 当g 有n p ”( n ) 十1 阶元素时，6 f n ) = 1 容易看出，若g 中没有印”( “) + 1 阶元素，则k 2 ( n ) = 0 因 此我们有； l o ( n ) + f l ( n ) 十+ l m ( n 1 ( n ) s 毛1 ( 竹) + 0 2 ( 礼) 十矗1 ( n ) + 五2 ( 礼) + + k 】1 ( 礼) + j ( 礼) ( - m ( 。) 2 ( n ) 一1 ) 注意到前面已经证明：l ( n ) = k 1 ( n ) ，2 ( n ) 1 i + 1 , 2 ( n ) ，a n di f 且若g 中有n p m ( n ) + 1 阶元素，则l o ( r 。) s 矗1 ( n ) + _ 0 2 ( n ) 一1 因此 ( 2 2 1 ) l o ( n ) + l l ( n ) + + l m ( n 1 ( n ) s 毛1 ( n j + 毛2 ( n ) + 五1 ( n ) + t 2 ( n ) + + k ( 。) 1 ( n ) + 巧( n ) ( k ( 。) 2 ( 忆) 一1 ) 茎 i o l ( n ) + h 2 ( n ) + t l t ( n ) 十t 2 2 ( n ) + t 2 1 ( n ) + + f m m ) 2 m ) + l m ( n ) 1 ( n ) + 占( n ) ( 2 m ( n ) + l ，2 ( 礼) 一1 ) sl o ( n ) + 1 1 ( 佗) + 1 2 ( n ) + + l m ( 。) ( 礼) + j ( n ) ( f m ( 。) + 1 ( 几) 一1 ) 上式即为： 乏二瓦( n ) s k ( n ) + 6 ( n ) ( f 。( 。) 十l ( n ) 一1 ) i = 0t = 0 对同中所有与p 互素的因子n 取和式，( 注意n 可取1 ) 得： ( p ，n ) = 1m ( n )( p ，n ) = 1m ( n ) p ，n ) = l ( 2 2 2 )i ( n ) s k ( n ) + 6 ( n ) ( 1 。( 。) + l ( n ) 一1 ) - 。( 否) 1 0n 口c ( - ) 仁on e ( 百) 因 。( 百) 。( g ) ，且d ( n ) = 1 ，如果n p ”( “) + 1 几( g ) ( n p ”( ”) + 1g ”。( 召) ) 令 ( p ，n ) = 1 d = d ( n ) 四山太堂簋士堂位i 佥文 1 0 则( 2 2 2 ) 式左边恰为百中元素共轭类个数| c i ! ( 百) 】而( 2 2 2 ) 的右过为g 中元素共轭 类个数减去d ，即ic f ( g ) l d ，因为g 是c o ( k ) 群，故( 2 2 2 ) 的右边等于l i c e ( g ) f + 女一d 显然 d = 6 ( n ) = i i c 。( g ) | - 召) j n 口t ( - ) 于是有： | c f ( 百) j i i c e ( g ) i + k 一( j ”。( g ) i j i c e ( - 0 ) t ) = i i c e ( 召) + k 至此，我们终于证明了：0 = g n 为c o ( i ) 群，0 i k 定理a 设g 为有限c o ( k ) 群，_ v 为g 的可解正规子群，则g i n 为c o ( i ) 群。 i = 0 ，l ，t 证明：因为可解群，故设1 为包含在里的g 的极小正规子群，则且】 为初等a b e l 子群。由引理2 1 ，g n 1 为c o ( i ) ，o i 兰群又设2 _ v 1 为包含在 n n 1 里的g n 的极小正规子群，同样由引理2 1 ，g n 1 2 1 兰a 奶为c o ( i ) 群，0s i k 用同样的方法一直继续下去，最终有g n 是c o ( i ) 群，0 i ! 女 推论2 2设g 为有限c o ( k ) 群，为g 的正规初等a b e lp 群，若存在非 单位元素。1 ，。2 ，x t n ，使得z l ，。2 ，敬两两不共轭，则g n 是c o ( i ) 群， 0 s i 兰一t + 1 证明：因是g 的正规初等a b e l p - 群，因此对任意n n ，有o ( a ) = 1 又 因o ( x 。) = p ，i = 1 ，2 ，t ，所以2 ：1 ，。2 ，现丑2 ( 1 ) 因此1 1 2 ( 1 ) t 因z 0 2 ( 1 ) = 1 ， - 0 2 ( 1 ) 1 1 2 ( 1 ) 一( t 一1 ) 在引理2 2 里的不等式( 2 2 1 ) 中，当n = 1 时，有 i o ( 1 ) 十j 1 ( 1 ) + 十f m “) ( 1 ) 而1 ( 1 ) + 毛2 ( 1 ) 十- l l ( 1 ) + f 1 2 ( 1 ) + + k ( 1 ) l ( 1 ) + 巧( 1 ) ( k ( 1 ) 2 ( 1 ) 一1 ) 1 0 l ( 1 ) + ( z l d l ) - ( t 一1 ) ) + f l l ( 1 ) + f 2 2 ( 1 ) + f 2 l ( 1 ) 十+ f m ( 1 1 2 ( 1 ) + 1 m ( 1 ) 1 ( 1 ) + j ( 1 ) ( f m ( 1 ) 十1 ，2 ( 1 ) 一1 ) 1 0 ( 1 ) + ( 1 l ( 1 ) 一( t 一1 ) ) + 1 2 ( 1 ) + 1 3 ( 1 ) 十+ f 。( 1 ) ( 1 ) + 6 ( 1 ) ( f m ( 1 ) + 1 ( 1 ) 一1 ) 即n = 1 时右边多了一项( ( t - 1 ) ) ，故当对f 司的所有与p 互素的因子取和式时，最 后的结果为： l c ! ( 百) 【 7 l - e ( g ) i + k 一( t 一1 ) 一( i 丌。( g ) 一l 丌。( 虿) ) = 7 r 。( 召) + 七一t 一1 ) 四刖太堂攮土堂位论文 因此：g n 为c o ( i ) 群，0s isk t + l 四刖太堂堙土掌位论文 第三节可解c o ( 1 ) 群的分类 1 2 这一节的主要内窑是对可解的c o ( 1 ) 群进行分类，我们的主要结论是： 定理3 7设g 为有限可解群，则g 为c o ( 1 ) 群的充分必要条件是g 同构于下 列群之一： 鼠，a 4 ，h o l ( z 5 ) ，z 3 ：z 4 ，d l o ，z 3 ，z 4 首先从几个引理开始， 引理3 1 若g 是c o ( o ) 群，则g 兰1 ，z 2 ，禺 证明：由文献f 2 6 定理1 可得结论。 对于c 0 ( 1 ) 群，我们有比定理a 更为精细的结论。 引理3 2 设g 为c o ( i ) 群，z ，9 g ，。( z ) = o ( 目) = m ，。与y 不共轭，为 g 的初等a b e l 正规p 一子群，则g n 为c o ( o ) 群，或c o ( 1 ) 群。进一步还有： ( 1 ) 若z ，y n ，则g n 为c o ( 0 ) 群 ( 2 ) 若g n 为c o ( 1 ) 群，o ( i ) = o ( 5 ) = n 1 ，a 与5 不共轭，则n = o ( 面) 或 n = o ( 雪) 证明：g n 为c o ( 0 ) 群或c o ( 1 ) 群是弓；理21 的直接结果，( 1 ) 是推论2 2 的 结果故只需要证明( 2 ) 由g 为c o ( 1 ) 群的定义，g 中有且仅有一个同阶类分 属两个不同的共轭类因此，在下面的证明中，我们多次用到g 中非m 阶的同阶 元素在g 中共轭这一事实为简单起见，记n b 表示a 与b 在g 中共轭。又设 o ( a ) = m i n o ( g ) j 9 a n ，o ( b ) = m i n o ( g ) i 9 b n ) 因o ( i ) = o ( b ) = n ，& 女。( n ) = n 或n p ，同理o ( b ) = n 或n p ( i ) 设o ( n ) = o ( b ) = n ，若n = m ，则因n ，z ，均为n 阶元，且g 为c o ( 1 ) 群，故 。一。或a y ，从而i 雪或a y ，于是n = o ( a ) = o ( i ) ，或n = o ( a ) = d ( 口) 若n m ，则o b ，从而a 一5 ，与假设矛盾 ( i i ) 设o ( a ) = o ( b ) = n p ，同( i ) 可证n = o ( i ) ( i i i ) 设d ( n ) = n ，o ( b ) = n p ，若n = m ， o ( i ) ，或n = o ( a ) = 。( ) 则同( i ) 有n = o ( a ) = o ( 萤) ，或 四刖太堂堙士堂位i 全文1 3 n = o ( a ) = o ( i ) 若n m ，则a ，护同为n 阶元，故。铲，于是i b a r b p ，从 而o ( a ) = o ( 驴) = o ( 5 ) ，由此可得( n ，p ) = 1 设b = 6 1 幻，o ( b 1 ) = 1 2 ，0 ( 5 2 ) = p 因 b “= 叼n ，故b 2 n ，因而5 = 5 1 但o ( b 1 ) = n 1 因为 6 l = l g ：g g ( a ) i = p a 一1 l2 ，所以p = 2 ，口= 1 ， 或p = 3 ，a = 1 前者意味着f n g i = 1 ，矛盾后者可递出g = s s ，或g = z 6 但 g = ，或g = 磊都不是c o ( 1 ) 群，矛盾 ( i i ) 设n = 1ua gu6 g 。因是极小正规子群，所以l a g i 1 ，i b g i 1 因若 i ( 2 g l = 1 ，或1 6 g l = 1 ，则d z ( a ) 或b z ( a ) ，从而可得出不是极小正规子群 的矛盾又因l ( 2 g i = i g ：c a ( a ) l i2 ，i b g | = i g ：c v ( b ) i2 ，因此l 护l = l b g = 2 不 难推出n 垒z 5 ，且g 兰d 1 0 ，同样与g 是极小反铡矛盾 ( 3 ) 如果g g 垡s a ( i ) 设= lun g 因为i n gj = p 。一1 l 岛i ，所阱p o 一1 = 1 ，2 ，3 ，6 进而可得 p = 2 ，3 ，7 ( a ) 若p = 2 ，o = 1 ，则n z ( a ) 因而扎( g ) = 1 ，2 ，3 ，6 或7 r 。( g ) = l ，2 ，3 ，4 ，6 ) 由此可知g 的共轭类数k ( a ) = 5 或k ( a ) = 6 又因k ( a n ) = 3 ， 所以若k ( a ) = 5 ，则由引理3 6 ，存在g 的不两个可约特征标) ( 1 ，x 2 i r r ( g ) ，使 得6 = x ( 1 ) + x ；( 1 ) ，一个显然的矛盾因此，7 r 。( g ) = 1 ，2 ，3 ，4 ，6 ) 从而可推出 g 笔z a ：五，矛盾于g 是一个极小反例 ( b ) 若p = 2 ，口= 2 ，则丌( g ) = l ，2 ，3 ) 或 1 ，2 ，3 ，4 ) 由文献【4 1 ( t h e o r e mc a s e i ia n di i i ) ，g 兰( z 2 z 2 ) ：s a 曼& ，与g 为极小反例矛盾 ( e ) 若p = 3 ，则a = 1 ，因而，若设p s y l s ( g ) ，则l p = 9 由a l v 兰s a ， 四山太堂壤土坐位论文 1 6 可推出p 为g 的正规a b l e 子群因对任意1 。p ，有i n g f = i o l l l c o ( a ) f = 2 ， 故不论p 是初等a b l e 子群，还是循环子群，p 中至少包含g 中三个同阶元素的共 轭类，因此g 不是c o o ) 群，矛盾 ( d ) 若p = 7 ，则口= 1 ，n 为7 阶循环正规子群由1 2 一c 定理，岛竺a l n = o c o ( n ) 墨a u t ( n ) = z 6 ，矛盾 ( i i ) 设n = 1u a gu b g 因为是极小正规子群，所以i d gj 1 ，i b g i 1 因而 i o g l ，f b g l = 2 ，3 ，6 由1 n ；= p o 可导出f o g l = b g l = 2 ，3 ，6 ( a ) 若l i = 1 6 g l = 2 ，则n 掣z 5 因此g 有一个1 5 阶的循环正规子群，进而 g 竺z 1 5 ：z 2 显然，g 中有( 1 5 ) = 8 个1 5 阶元素，且每个8 阶元素的共轭类长 度为2 ，故这8 个1 5 阶元素必须属于g 中4 个共轭类，这说明g 不是c o ( 1 ) 群 ( b ) 若i n g ! = l b g l = 3 ；则t h e pn 兰z 7 ，旦”。( 以j = 1 ，2 ，3 ，7 ，1 4 ) 因此g 的共轭 类数k ( a ) = 6 我们已知g n 兰岛的共轭数k ( g 。n ) = 3 ，故由引理3 6 ，存在g 的 三个不可约特征标x l ，i = 1 ，2 ，3 ，使得3 6 = i g n i ( i g 一1 ) = x ( 1 ) + x ；( 1 ) + x a 2 ( 1 ) 由引理3 5 知，x i ( 1 ) j6 ，i = 1 ，2 ，3 ，6 i r r ( g ) ，故上式不可能成立。 ( c ) 若l a g f = j b g f = 6 ，则n 皇z 1 3 ，且c g ( n ) = n 由n - c 定理，s a 皇a n a u t ( n ) = z 1 3 ，矛盾 ( i i ) 设a n 是c o o ) 群因g 是极小反例 一且由推论2 2 ，n = 1u o g 情形1p = 2 设p 2 s y l 2 ( g ) ， ( i ) 如果n z ( g ) ，因是极小正规子群， ( a ) 若g ng 受，则凡( g ) = 1 ，2 ，3 ，4 ，6 ) 7 ， f f g n ) 一5 由引理3 6 ，存在她6 i r r ( g ) ) ( i ( 1 ) + x l ( 1 ) ) ，易见，该式无解 故a n 同构于定理3 7 中所列群之 故n 兰z 2 或( 1 ，2 ，3 ，4 ，6 ，8 ) 因此k ( a ) = 6 或 使得2 4 = f g n i ( i n l 1 ) = x ( 1 ) ( 或 ( b ) 若g n ga 4 ，用( a ) 中一样的方法可以证明不可能成立 ( c ) 若g f l y 警z 3 ：z 4 ，用( a ) 中一样的方法可以证明不可能成立 ( d ) 若g n 型h o l ( z 5 ) 如果8 w 。( g ) ，则g 中所有8 阶元素属于两个具有相 同的长度的共轭类之中现设g 中有n 个8 阶循环子群，设o ( z ) = 8 ，则比较g 中所 有8 阶元素个数的两种不同的计算方法，我们有n ( 8 ) = 4 n = 2 1 g i i c g ( 。) f ：1 0 ， 一个显然的矛盾因此，。( g ) = ( 1 ，2 ，4 ，5 ，1 0 ) ，进丽可彳导k ( g ) = 6 ，k ( g n ) = 5 由引理3 , 6 ，存在) ( e i r r ( o ) ，使得2 0 = x 2 ( 1 ) ，矛盾 四山太堂堙士堂位论文1 7 ( e ) 若g i v 掣d a o ，由引理3 2 ，g 中所有5 阶元素属于两个不同的共轭类， 但n z ( a ) ，从而可推出g 中所有1 0 阶元素也属于两个不同的共轭类，这与g 是c o ( 1 ) 群矛盾 ( f ) 若a u 皇历，则g 型磊，显然不是c o ( 1 ) 群。 ( g ) 若a u 竺蜀，则g 是8 阶a b l e 子群，也不是c o ( 1 ) 群 ( i i ) 如果n z ( g ) ( a ) 若a u 型函，因为l n g i = l e l l e a ( a ) i ，所以i 口g l = 3 ，i n l = 4 ，同时 3 t l c g ( a ) 1 区l 此7 r e ( g ) = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，或7 r 。( g ) = 1 ，2 ，3 ，4 ，8 ) 若7 r 。( g ) = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，贝0 ( g ) = k ( a n ) = 5 ，这是不可能的若仉( g ) = l ，2 ，3 ，4 ，8 ，则k ( a ) = 6 ，k ( a n ) ： 5 由引理3 6 ，存在不可约特征标) ( i r r ( g ) ，使得7 2 = l a u l ( i x | 1 ) = x 2 ( 1 ) ， 矛盾 ( b ) 若c n 型历：z 4 ，同样因为i o g l = i a l i c c ( a ) i ，所以l o g f = 3 ，i n i = 4 ， 同时3 十j c b ( n ) i 又因g n 中有6 阶元素，故g 中有6 阶元素或1 2 阶元素设。为 g 中6 或1 2 阶元素，把。分解为2 一元素与3 - 元素的乘积，得z = 。2 a 3 = n 3 0 2 如果 d ( z ) = 1 2 ，则o ( a 2 ) = 4 ，o ( a 3 ) = 3 因为g u 中没有1 2 阶元素，所以。；= 驴n ， 由此可得3 f f c a ( a ) f ，3 十f ( n ) f 矛盾如果o ( x ) = 6 ，则o ( a 2 ) = 2 ，( 2 2 甓n ，因而 可推出g 中所有2 阶元素分别属于g 的两个不同的共轭类但我们已经知道a l v 中4 阶元素分别属于c n 的两个不同的共轭类，这与引理3 2 矛盾 ( c ) 若g i v 皇a 4 ，则显然g 的s y l o w2 一子群p 2 日g 因i o g l = 2 。一1l a 4 i ， 故 n l = 4 ，n z ( p 2 ) ，且n z ( p 2 ) 因为g 与c n 竺a 4 都是c o ( 1 ) 群，所 以仃e ( g ) = 1 ，2 ，3 ，4 ) 我们知道，c n 型a 4 中3 阶元素分属于a u 兰a 4 中 两个不同的共轭类，所以，由引理3 2 ，g 中3 阶元素必然分属于g 的两个不同的 共轭类设b ，c 分别为g 中的一个3 阶元素和4 阶元素，由群的类方程，我们有 4 8 = i g i = i + i g i + 2 i 护i + l c g l51 + 3 + 2 1 6 + 6 = 4 2 ，矛盾 ( d ) 若g 竺i - i o l ( 磊) ，d l o ，或a j v 型邑，则因为i t i o l ( z 5 ) = 2 0 ，i d x o = 1 0 ，i 五l = 4 ，因而不可能有 。g l = 2 0 一1 ii a uj ，矛盾 ( e ) 若a u 望z 3 ，则不难推知，g 竺a 4 ，矛盾于g 是一个极小反例 情形2 p = 3 ( a ) 若a n 兰& ，则因l l 一1 = i o g i = 3 。一1 | | & i ，故nj = 3 ，9 因为 中2 阶元素分别属于两个不同的共轭类，所以，由引理3 2 ，g 中2 阶元素或4 阶元 素分别属于g 的两个不同的共轭类，因而g 中3 ，9 阶元素一定属于g 中一个共轭 类 四刖太堂厘土堂位i 金文 1 8 ( a ) 如果j n i = 3 ，设p 3 勖f 3 ( g ) ，则尸3 只能是9 阶循环子群设尸3 = ( z ) ，。( z ) = 9 设g 中有n 个9 阶循环子群，下面用两种方法计算g 中所有9 阶元素个数由引 理3 3 ，g 中所有9 阶元素个数为n ( 9 ) = 6 n 但另一方面，因所有9 阶元素一定属于 g 中一个共轭类，从而g 中所有9 阶元素个数为l 。g f = i a l c a ( x ) i = 3 2 4 9 = 8 ， 矛盾。( 注：在以后的证明中，我们经常使用这种算法，到时就不再说明了) ( b )