（基础数学专业论文）具有某些断面的正则半群.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 具有某些断面的正则半群 摘要 本文研究具有正则4 一断面的正则半群及其推广共分三章 第一章是引言与预备知识 第二章分为三节第一节是预备知识第二节研究正则半群的几种特殊类 型的正则+ 一断面的性质这几种正则+ - 断面是逆断面的相应类型的推广，其 性质也类似于逆断面相应的性质例如，正则一断面是可乘的充分必要条件 是它是拟理想弱可乘的第三节研究具有q 一正则+ - 断面的正则半群的自然 偏序给出具有正则+ - 断面的正则半群的自然偏序的若干等价条件，并得到 该类半群上有关自然偏序的口优化( 裂化) ，p 优化( 裂化) 的条件 第三章对正则+ - 断面进行推广，引入弱正则+ 断面的概念，给出其若干 性质和结构定理 关键词：正则半群，正则+ 断面，弱正则+ 半群，弱正则+ 断面，自然偏序 曲阜师范大学硕士学位论文 r e g u l a rs e m i g r o u pw i t hs o m e n a n s v e r s a l s a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s w ei n v e s t i g a t er e g u l a rs e m i g r o u p sw i t hr e g u l a r + 一t r a n s v e r s a l 8a n di t sg e n e r a l i z a t i o n c h a p t e r1i si n t m d u c t i o na n dp r e l i m i n a r i e s c h a p t e r2i sd i v i d e di n t ot h r e es e c t i o n s t h ef i r s ts e c t i o ni sp r e l i m i n a r i e s t h es e c o n ds e c t i o ni sd e v o t e dt ot h ei n v e s t i g a t i o no fs o m ep r o p e r t i e so f s o m et y p e so fr e g u l a r + - t r a n s v e r s a l s i t sp r o p e r t i e sa r es i m i l a rt ot h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t so ni n v e r s et r a n s v e r s a l s f o re x 锄p l e ，a nr e g u l a r + 一t r a n s v e r s a l i sm u l t i p l i c a t i v ei fa n do n l yi fi ti s 他a k l ym u l t i p l i c a t i v ea n dq u a s i i d e a l i nt h e t h r e es e c t i o n ，t h en a t u r a l p a r t i a lo r d e ro nar e g u l a rs e m i g r o u pw i t haq - r e g u l a r - t r a n s v e r s a l i sc h 锄虻t e r i z e d ，a n dt h ec o n d i t i o so ft h ep a r t i a lo r d e ro nar e g u 一 1 a rs e m i g r o u pw i t haq - r e g u l a r + - t r a n s v e r s a lt os a t i s 如口一m a j o r i z a t i o n ( m i n o 卜 i z a t i o n ) a n dp m a j o r i z a t i o n ( m i n o r i z a t i o n ) a r ec o n c l u d e d c h a p t e r3i sd e v o t e dt ot h eg e n e r a l i z a t i o no far e g u l a r - t r a j l s v e r s a l ，i n t h i sc h a p t e ran e wc o n c e p to faw e a k l yr e g u l a r + 一t r a n s v e r s a li nar e g u l a r s e m i g r o u pi si n t m d u c e d s o m ep r o p e r t i e sa t eg i v e na n dac o n s t r u c t i o i lo fa r e g i l l a rs e m i g r o u pw i t naq u a s i - i d e a lw e a k l yr e g l l l a r + - t r a n s v e r s a l i sd e s c r i b e d k e y w o r d s ： r e g i l l a r + - s e m i g r o u p ，r e g t l l a r + 一t r a n s v e r s a l ，w e a k l yr e g u l a r + 一s e m i g r o u p ，w e a k l yr e g u l a r + 一t r a n s v e r s a l ，n a t u r a lp a r t i a lo r d e r 第一章引言与预备知识 1 1 引言 自1 9 8 2 年b i y t h 和m c 蹦d e n 1 】引入逆断面的概念以来，对半群的各 种断面的研究，如逆断面，纯正断面，正则+ 一断面等的研究，已成为半群代 数理论研究领域的一个较为活跃的课题由予半群的断面是该半群的一个子半 群，因此这一课题的思路就是通过半群的某一性质比较好的子半群去把握整个 半群，从而达到由局部把握整体的目的 设s 为正则半群，s 。为s 的子半群称s 。为s 的逆断面 1 】 如果p 含 有s 的每个元的唯一逆元，即对于任意的z s ，i y ( o ) n 铲i = 1 ，o 在伊中的 唯一逆元记作矿，其中y ( z ) 表示。的逆元的集合具有逆断面的正则半群类 比较广泛，它包括逆半群，逆半群的基本矩形带，可分纯正半群等二十多年 来具有逆断面的正则半群理论已得到充分发展 m c a l i s t e r 和m c f a d d e n 【1 6 】 给出了具有拟理想逆断面的正则半群的结构定理1 9 8 9 年，s a j t o 【2 4 l 在一 般情况下给出了这类半群的构造b 1 y t h 和s a i t o 【4 】研究了正则半群的几类 特殊类型的逆断面本文第二章第二节引入正则半群的几类特殊类型的正则+ 。 断面的概念，并绘出它们相应的性质，这是逆断面相应结果的推广汪立民和 唐西林 2 3 ，2 4 ，25 研究了具有逆断面的正则半群的同余闫志来等 3 0 刻画了 具有逆断面的正则半群的自然偏序本文第二章第三节将其推广到具有q 一正 则+ 一断面的正则半群上，并得到一些新的结果1 9 9 2 年，l o g a n a t h a n f l 5 研究了正则半群的可裂断面，将正则半群的逆断面做了极大推广 1 9 9 9 年， 陈建飞 9 】提出了纯正断面的概念，刻画了具有拟理想纯正断面的正则半群的 结构之后，李勇华【1 3 ，1 4 】提出了正则+ 一断面的概念，刻画了具有拟理想正 则+ - 断面的正则半群的结构及一同余格汪立民【2 9 综述了若干类具有特殊 断面的半群的研究结果 2 0 0 2 年，李勇华【1 2 】提出了强正则+ 。断面的概念 并给出其结构定理本文第三章引入弱正则+ - 断面的概念，并给出其若干性 第一章引言与预备知识 质和结构定理 1 2 预备知识 设s 为正则半群，s 。为s 的子半群对于任意的。s ，我们把集合 s on y ( z ) 记为b 。( z ) 。( z ) 中的元素记为矿，并且记 ，= o o 。i o s o 。( ) ) ，a = o 。o i n s ，o 。蟾。( o ) s 。称为s 的逆断面【”，如果对于任意z s ，l 硌e ( 。) i = 1 具有逆断面的正则 半群的理论二十多年来已取得充分发展这里列出一些结果 设s 为具有逆断面s 。的正则半群则我们有 ( 1 ) 【5 】对于任意的卫，s ( z 可。) 。= p 。z 。，( 。) 。= 。； ( 2 ) 【1 7 】对于任j 薛的z ，s ，( z g ) 。= ( z 。g ) 。z 。= 可。( z y 。) 。= 。( 茁。z 。) 。 ( 3 ) 【2 5 】，= 。s ：z = z z 。) 和a = z s ：。= 茁。z 是s 的子带 在【1 3 】中，李勇华引入了正则+ - 断面的概念 设s 为正则半群，为s 的子半群若存在s 上的一元运算+ 使得 ( 1 ) 对于任意z s ，z + ny ( z ) ； ( 2 ) 对于任意z ，( ) + = ：o ； ( 3 ) 对于任意z ，s ，( 矿g ) + = 矿。”且( 。旷) 4 = 可”矿，其中z ”= ( 矿) + ，则称p 为s 的正则4 - 断面显然9 为s 的正则+ 子半群 s 的子半群扩称为拟理想，若s 9 9 下面列出本文常用的 1 3 ，1 4 中的部分结果 设s 为具有拟理想正则+ 一断面的正则半群规定集合 = o 血+ 1 0 s ) ，a = ( 。o i o s 2 曲阜师范大学硕士学位论文 一般情况下，a 不是s 的子半群 引理1 2 1 ，= e e ( s ) j e 红+ ，a = ，e ( s ) 1 ，脸，+ ) 目l 理1 22 若e ，e 1 ，1 a ，z ，s ，贝4 ( 1 ) z ，e 可s + ； ( 2 ) ( ，e ) ”= 厂e ，( ， ) + = 片，( e e l ) + = e i e ，厂+ e = ，e + = 广e + ； ( 3 ) ( z ，e ) + = + ( ，e ) + 。+ ，且( 。，e g ) + + = z ，e g 引理1 2 3 令为正则半群s 的拟理想正则断面则对于任意的 z ，掣s + ，( o ! ，) = 可( z 4 z 可可) + z + 引理1 2 4 若驴为正则半群s 的正则+ 一断面，则为拟理想当且仅当 对于任意的z ，可s + ，s s z s = o s ” 引理1 2 5 令s 为有q - 正则4 - 断面的正则半群对于任意的， 砖，a a 礼以= e ，：矿= ，) ，a ，= e a ：e + = ， ，则s 的每个元素s 都 可唯一的表为s = e 。，其中e ，a ，z s ，e + 冗z c ，+ 芦= 矿z ，+ 文中未列出的概念和符号参见【1 1 i 【1 3 】，【17 】， 2 1 】 3 第二章具有正则4 一断面的正则半群 2 1 预备知识 定义2 l l f l 9 1 正则半群s 称为正则+ 一半群，如果存在s 上的一元运算 满足条件：对于任意z ，s ，z 矿。= m ，( 矿r = t ，( 聊) + = 旷矿 引理211 1 8 ，2 1 正则半群s 上，如下定义的偏序称为自然偏序 d s6 铮风见，o = e 6 ( j e e ( 盈) ) 对于s 中任意元素n 和6 ，以下条件等价： ( 1 ) 。冬6 ； ( 2 ) 孔，e ( s ) ，o = e 6 = 6 ，； ( 3 ) j ，n ”y ( n ) ，= 6 = 6 矿； ( 4 ) j 矿y ( 口) ，。= o 。6 = 6 矿d ， ( 5 ) 3 一y 国) ，口o = 一6 且n 。= 6 一； ( 6 ) 扩y ( 6 ) ，= n 扩6 = 蚰+ n ，n = 曲+ o ； ( 7 ) 五s ，= 6 = 妇o ，o = o ，6 = 妇6 ； ( 8 ) 了e e ( 。) ，= e 6 ，o s 6 s ； ( 9 ) v ，f ( ) ，j e 日( 风) ，e ，且n = 幻； ( 1 0 ) 刍6 ，y ( 砷，o = 口口，口s 姆，s 8 s 珥 ( 1 1 ) 刍z ，s ，d = z 6 = 6 ，z = ； ( 1 2 ) | e e ( 司，z s ，= e 6 = 妇 定义2 1 2 【2 1 l 令日为正刑半群s 上的等价关系称s 满足以优化，若 6 n ，c sn ，6 目c = 6 = c ；称s 满足以劣化，若n 6 ，“c ，阳c 辛6 = c 定义2 1 3 【1 4 令p 为正则半群s 的正则+ 一断面，p c o n ( s ) ，著对于 任意的z ，y 只z 阿斗矿删+ ，则称p 为s 上的+ 同余 任意的z ，y 只z 倒号矿删+ ，则称p 为s 上的+ 同余 4 曲阜师范大学硕士学位论文 定义2 1 4 【1 4 】令扩为正则半群s 的正则4 一断面，7 r 为上的同余， n 和n 分别为，和a 上的等价关系若满足下列条件： ( 1 ) ( v e ，e ( s + ) )e 7 r ，= = e + 7 r ，+ ； ( 2 ) ( v e ，j ，g ， a )e 丁，且9 7 _ a ：孛9 e 7 r ，e + 丁，+ ，9 + 丁a 4 ； ( 3 ) ( v e ，9 + ， + b + ) e 订，9 + ” 且e 9 4 ， + ，：事e 9 + 订， + ； ( 4 ) ( v 口， a ，e + ，+ b + )g 下 ，e + 7 r ，+ 且e + 口，+ a = e + 9 7 a ，+ ； ( 5 ) 7 r i r + = 订i 几+ = 吼i 如。， 则称h ，7 r ，卧) 为s 上的+ - 同余三元组定义所订，7 r ，n ) 为： z p ，7 r ，丁 ) y = 石7 r ! ，+ ，z z + n 可可+ ，z + z 7 - a 4 ， 引理2 1 2 【14 】对于任意+ 一同余三元组h ，7 r ，n ) ，关系所丁7 ，7 r ，n ) 是s 上唯一的限制在9 上为7 r ，限制在，上为订，限制在a 上为n 的+ 同余 2 2 几种特殊类型的正则+ 断面 本节引入几种特殊类型的正则4 一断面的概念，给出它们相应的性质，并 得到正则- 断面可乘的充分必要条件是它为拟理想弱可乘的，这是逆断面相 应结果【4 】的推广 引理2 2 1 设为正则半群s 的正则+ 一断面，则对于任意的茁， s ，z + ( z ) ，+ b ( ”) ，有可+ 垤( z z 9 ) 击+ b 。( 。g ) 证明任取( 茁+ z y y + ) + v j + ( z + z y y + ) ，有z y 剪+ ( z 4 z y y + ) + 。+ 。可= 。 。+ 。耖掣+ ( z z 暑，剪+ ) + 。z 掣扩可= z 。+ 。可s ，+ 可= 。可，且+ ( z z ”) + z + 口可暑，+ ( 。+ $ 可可+ ) + 。 = 可+ ( 上+ o 可可+ ) o 定义2 2 1 设p 为正则半群s 的正则+ 一断面若口+ 0 6 扩e ( ) ，则称 9 是可乘的，其中e ( s ) 为9 的幂等元集 定理2 2 1 若9 为正则半群s 的可乘正则+ 一断面，则s + 为s 的拟理 想 证明任取n ，扩p ，c s ，则有n + c 扩= 矿o + + 矿c c + c ”矿c 6 ，其中 5 第二章具有正则+ 一断面的正则半群 n ”( n + ) ，矿+ ( c ) ，c ”+ ( 矿) ，6 ”+ ( 扩) 由于是可乘的，故 n ”n + c c + ，c c 扩扩+ e ( s + ) 从而矿c 矿扩，即s + 为s 的拟理想 定理2 2 2 设为正则半群s 的可乘正则+ 一断面则 ( 妇，s ) k + ( 9 ) 垤( z ) z f b ( g ) ( z ) ( 。可) ： 证明对于任意z + k + ( 。) ，圹b ( g ) ，有矿z g 矿e ( 9 ) 从而 z 耵= o o z 剪掣+ 掣= o z + o 掣可+ tz + z 可”+ 可= z 可可+ o + z 材 对于任意的石“k 。( z ) ，f “硌( s ，) ，有 z g 可+ z + z 掣+ 7 z + 茁芎= z 掣可+ z + o 可= 茁掣， ”+ z z ”+ 7 z 榭z 掣可+ z + z 暑，可4 z w = ：v z + z g 可+ z + z 耵可+ o = 可4 z + o 可可+ o 由定理2 2 1 知伊是拟理想，从而结论成立 定义2 2 2 设酽为正则半群s 的正则+ 一断面如果 ( 比，f s ，+ 垤( z ) ，+ 坛，( ) ) ( 。+ z 旷) 占( 矿) ， 那么称9 为弱可乘的， 引理2 2 2 设9 为正则半群s 的正则+ - 断面。若f 为可乘的正则+ 一 断面，则9 为弱可乘的 证明令e = o + 的+ e ( 酽) ，则对于任意的矿y ( e ) n ，e + e + = ( e e ) = e + ，即e + e ( s ) 因此硌( 0 4 。6 扩) e ( s 4 ) 引理2 2 3 令为正则半群s 的正则+ - 断面，e ，a 若s + 是 弱可乘的，则k ( ，e ) e ( 9 ) 从而对于任意的( ，e ) + 嵋( ，e ) ，蟾。( ，e ) + e 【扩j 证明由e j _ ，a ，则对于任意矿k ( e ) ，+ 嵋。( ，) ，有( ，e ) + = ( ，+ ，e e + ) + 垤( ，e ) 由p 是弱可乘的，则( 广，e 矿) + e ( ) ，( ，e ) + e ( 9 ) ， 所以( ，c ) e ( 伊) 若对于任意的( ，e ) + 蚝。( ，e ) ，则( ，e ) ”硌。( ，e ) + 又有( ，e ) ”( ，e ) “= ( ( ，e ) + - ( ，e ) + ) + = ( ，e ) ”因此( 厂e ) “f ( s ) ，+ ( ，e ) e ( ) 定理2 2 3 设为正则半群s 的正则+ 断面则扩是可乘的充分必要 条件是s + 为弱可乘的且为拟理想， 6 曲阜师范大学硕士学位论文 证明( 辛) 由定理2 2 1 和引理2 22 可知 ( 鲁) 由9 为拟理想，则由引理1 2 2 知对于任意，a ，e j ，( ，e ) ”= ，e 又s + 是弱可乘，由引理2 2 3 知( ，e ) ”e ( s + ) ，故厂e e ( s + ) 对于任意的 z ，s ，z + ( z ) ，y + + ( ) ，有z z a ，口+ ，从而。+ 。f + e ( s + ) 故为可乘的 推论2 2 1 4 ；定理3 】设p 为正则半群s 的逆断面则酽是可乘的充分 必要条件是p 为弱可乘的且为拟理想 定义2 2 3 令矿为正则半群s 的正则4 一断面若对于任意的z ，g s ，矿垤( z ) ，圹v j 。( y ) ，有z + z 旷e ( s ) ，则称酽为s 的e - 正则+ - 断 面 定理2 2 4 若为正则半群s 的b 正则+ 一断面，则 ( 1 ) 对于任意e e ( s ) ，有k ( e ) 层( 9 ) ； ( 2 ) s + 为弱可乘的 证明( 1 ) 对于任意e f ( s ) ，e + k ( e ) 有8 = e e e + = e + e e 矿e ( s ) 又e + 9 故e + e ( p ) ( 2 ) 对于任意。，y s ，矿k ( z ) ，9 + ( ) ，由定义2 2 3 知矿z 矿 e ( s ) ，由( 1 ) ，硌( 矿z 可旷) e ( ) ，故是弱可乘的 推论2 2 2 3 1 ；定理1 】若酽是正则半群s 的e - 逆断面，则 ( 1 ) 对于任意e e 饵) ，有e o e ( 酽) ； ( 2 ) s 。为弱可乘的 2 3 具有q 正则+ 一断面的正则半群的自然偏序 经过二十多年的发展，半群学者们对逆断面的性质、结构及同余的刻画已 得到很大程度的拓展闰志来等【3 0 】刻画了具有逆断面的正则半群的自然偏 序本文将其推广到具有q 一正则+ 一断面的正则半群上，并得到一些新的结 第二章具有正则4 一断面的正则半群 果 下面的定理明确地运用s 中的+ 元来刻画自然偏序 定理2 3 1 设s 为具有q 一正则+ 一断面的正则半群，对于s 中的任意元 素n ，6 ，以下条件等价： ( 1 ) 茎6 ； ( 2 ) + n s 扩6 ，o a 4 茎6 6 丰，o = o 扩o ； ( 3 ) o 矿总且。矿墨6 扩，n 矿6 = o = 咿n ； ( 4 ) 矿o 厶且矿a 墨矿6 ，o 扩6 = n = 6 6 n ； ( 5 ) o = 5 厶+ 0 6 + n 6 + 6 证明( 1 ) 号( 2 ) 由引理2 1 1 知，存在e ，e ( s ) 使o = e 6 = 6 ，所以 吼= 岛，s 忍，三。= 工曲厶，且= e n ，= e v = e 6 矿6 ，= o 矿o ，而 见s 风铮冬抄，厶厶甘+ o 扩6 事实上，若鼠昆，则o s 孵于是存在t s 使= 6 f 从而 o 。+ 6 矿= o ( 6 ) + 舻= o 矿( 矿6 扩) + 坩= o r ( 扩6 托+ ) + 扩= ( 6 矿= o n + ， 且6 矿n o + = 6 矿6 亡矿= 6 t 矿= n o 所以n 矿6 6 反之，若n n + s 扩6 ，则 。矿凇= 6 6 n n + = n o + ，见= 心。= 风b 。蜀 同理l 。三6 n + 血扩6 ( 2 ) 辛( 3 ) ，( 4 ) 由n = n 矿o 可知。扩 6 + e ( s ) ，n + os 扩6 辛+ n 矿6 = 扩6 + = o + ，从而。扩6 = o ，故r 。= r 口护6sr 出s 见，因此见= r 。 又。矿舻寺。矿的+ = 6 扩n o “= n 矿得6 幸6 = o ，故l 。= 咿n l 扩。，三。= l 扩口因此n = o 矿6 = 的+ n = 6 6 n 扩6 故0 6 幸6 6 l = o 扩= 6 矿血扩6 扩= 6 6 + o 扩，即n 扩6 扩又矿。矿6 = 扩n = 扩的。o ，即扩n 扩6 ( 3 ) 等( 5 ) 由( 3 ) 知0 6 牛6 6 + ，6 扩e ( s ) ，故曲+ e ( s ) 因此n = 6 6 + o = 6 6 + 口6 + 6 = 6 6 4 ( n 6 + 6 + ) 6 ( 4 ) 净( 5 ) 略 ( 5 ) = ( 1 ) 由于扩0 6 幸。扩6 扩n 扩n 6 + 6 = 扩( 6 扩。扩扩6 ) 扩。扩。扩6 = 扩0 6 阜n 扩o 矿6 = 扩( 6 矿口扩n 矿扩n 扩6 = 6 十矿n 扩6 ，故扩曲+ n 扩6 f ( s ) 同理6 矿n 扩。扩 8 曲阜师范大学硕士学位论文 e ( s ) 由此n = 她= 咖，其中a = 扩0 6 丰。矿6 ，9 = 6 6 。扩。旷故n 6 由上述定理我们可以得到下面两个结果 推论2 3 1o 6 号o + s 铲 证明由定理2 3 1 知n 6jn = n 扩o 从而 0 4 = 0 4 0 + n + = o + ( g 4 0 0 + ) 4 。+ = o + ( n + n 6 + n 6 + ) n + = o + ( o + 口6 + 6 6 + o o + ) + o = o + ( 8 + n 矿6 “扩。矿) + n + = 。+ ( 扩n + ) + + ( n + o 扩) o = 凸+ 0 4 4 n 6 + + 6 6 + + o + + n + = 0 4 6 + + n + 又n n + 6 6 + = 8 0 + = 血矿的+ ，因而n 幸= o + 铀+ = 凸+ 6 + ”o 口+ = o + + n t + ( 口+ ) + = ( 。+ 6 + 6 ) = ：6 + + 6 o + + ，。+ + 口= 6 ”6 + + 口+ 口i 此a + + o + 6 4 6 + 同理矿os 扩6j 口+ n ”扩扩+ 故o + 铲 推论2 3 2 3 0 ；定理1 】设s 为具有逆断面p 的正则半群，对于s 中的任 意元素n ，6 ，以下条件等价： ( 1 ) o 6 ； ( 2 ) o 。o 6 。6 ，n n o 6 6 。，o = 0 6 0 0 ； ( 3 ) n = 口6 0 0 ，n 6 s 6 ； ( 4 ) 0 6 。岛且0 6 。6 6 0 1 n 6 0 6 = o = 6 6 0 n ； ( 5 ) 6 0 0 l 6 且6 0 口茎6 。6 ，0 6 0 6 = o = 6 6 。o ； ( 6 ) o = 6 6 。6 。n 6 。6 定理2 3 2 设扩为正则半群s 的q 一正则一断面，具有q 一正则断面 的正则半群w = ( e ，z ，) a ：e ，a 。) ，其乘法运算和 一元运算+ 分别为： ( e ，z ，) ( 9 ， ) = ( 8 z ，驴鲈( z 如) 4 ，z ，夕箩，( z ，妒) + z 乃 ) ， ( e ，z ，) + = ( ，+ ，矿，e + ) 则半群上关系6 ： ( e ，z ，) 6 ( 9 ，g ， ) t 等- e 兰9 ，。= 。，+ e z ，s 为自然偏序 证明对任意的( e ，z ，) ，( 9 ， ) ，( ，z ，2 ) w ，因为ese ，z = z z z + z 矿z 9 第二章具有正则+ 一断面的正则半群 = 。，z + z z + z z + e z = _ ，z 4 e z ，厂，所以( e ，z ，) 6 ( e ，z ，) 故6 满足自反性 若( e ，z ，) 6 ( 9 ， ) 且( g ， ) 6 ( e ，z ，) ，贝0es9 ，z = z ，”+ e z ，允，口se ， 可= 掣，z + e 可，e 因此e = 9 ，= h 又茁+ = z + z z + = z + z ，可+ e z z + = ，+ ，圹e e 4 = ，+ + e + = ( e + ”，+ ) + = 圹，。= ( 茁+ ) + = ( 圹) = ，故6 满足反对称 性若( e ，茁，) 6 ( 9 ，9 ， ) 6 ( ，z ，f ) ，贝0e 9 茎 ，sh z ，z = 。，可+ e z ，= 可九z + 9 可，可4 = 掣4 可可+ = 可+ 掣 z + 夕可可+ = h z + g ，o = z ， z + 9 e z = z ，z + e z 因此 ( e ，z ，) 6 ( ，z ，f ) 从而6 满足传递性因此6 是偏序关系 若( e ，z ，) 6 ( g ，玑 ) ，贝存在w 中的幂等元( e ，z 圹，可矿) 和( z 旷，矿，) 使得 ( e ，z ，) = ( e ，z 可，封z + ) ( 夕，9 ， ) = ( g ，可， ) ( z 可+ ，掣z + ，) 反之，若存在“，m j 和 ，佗a 使得 ( e ，z ，) = ( g ，g ， ) ( m ( n m ) + ( n m ) ，( n m ) + ，( 扎m ) ( 礼m ) 4 n ) = ( 札( 钉u ) 4 ( u ) ，( u ) + ，钉缸( u ) + ) ( g ， ) 营( e ，e + ，e + ) ( 9 ，g + ，9 + ) = ( g ，9 + ，g + ) ( e ，e + ，e + ) = ( e ，e + ，e + ) ， ( ，+ ，4 ，) ( + ，危+ ， ) = ( + ， + ， ) ( ，4 ，) = ( ，4 ，4 ，) 又( e ，z ，) = ( e ，z ，) ( ，可+ ，9 + ) ( e ，z ，) 故es9 ，? = 。，可e z ，茎 ，所以 ( e ，z ，) 6 ( 9 ，耖， ) 推论2 3 3 【3 0 ；定理3 】设s 。为正则半群s 的逆断面，具有逆断面的正则 半群= ( e ，z ，) ，s 。a ：e l 。- l ，r 一，。) ，其乘法运算为： ( e ，z ，) ( 9 ，可， ) = ( e z ，9 可( z ，9 可) 。，。( ，9 ) 。可，( z ，g 可) 。z ，9 可 ) 则半群w 上关系6 ： ( e ，。，) 6 ( 9 ，可， ) = e 9 ，o = z ，可一1 e z ， 为自然偏序 具有拟理想逆断面的正则半群满足( 虢) 优化( 劣化) 事实上，正则半 群s 为局部逆的当且仅当其自然偏序是相容的；s 的逆断面为拟理想当且仅 当s 为局部逆的当且仅当满足( 驼) 优化( 劣化) 下面定理说明具有q 一正则+ 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 断面的正则半群满足口一优化( 劣化) 定理2 3 3 设s 为具有q 一正则+ 一断面p 的正则半群若，a 为s 的 子带，则下列条件等价： ( 1 ) s 满足z 优化( 劣化) ； ( 2 ) ，s + ，a 分别满足口一优化( 劣化) 证明只证优化条件，可类似证劣化 ( 1 ) 辛( 2 ) ，由于，9 ，a 分别为s 的正则子半群，故，9 ，a 分别满足d 一 优化 ( 2 ) j ( 1 ) 若j ，9 ，a 分别满足口一优化，设6 d ，。o ，6 口c ，则 由定理2 3 1 和推论2 3 ，l 知6 扩0 4 ，扩6sn + n ，扩o + ，c + 曼矿，c c 。 n + ，c + c n + n ，又6 矿虢6 口c 乳c c + ；扩醚b d 甜c + c ，故6 扩口c c + ，矿口c ，扩b d c + c ，由 ( 2 ) ，6 扩= c c + ，扩= 矿6 咱= c + c 故c = c c + c = c 矿6 = c c 4 6 = 的+ 6 = 6 因此s 满足口一优化 推论2 3 4 3 0 ；定理4 】设s 是具有q _ 逆断面s 。的正则半群则下列条 件等价： ( 1 ) s 满足口一优化( 劣化) ； ( 2 ) j ，s 。，a 分别满足d 一优化( 劣化) 定理2 3 4 设s 是具有q 一正则+ 一断面s + 的正则半群若p 为s 上的 任意t 同余，则下列条件等价： ( 1 ) s 满足p 优化( 劣化) ； ( 2 ) f ，p ，a 分别满足p f ，矿，p 一优化( 劣化) 证明只证明优化的情况由引理2 1 1 ，在具有q 一正则+ 一断面的正则半 群上p ，= 7 7 ，p + = 7 r ，p a = 7 a ( 1 ) 辛( 2 ) 易证 ( 2 ) = ( 1 ) 对于s 中的任意元素o ，6 ，c ，有6 n ，c 曼n ，6 膨，则6 扩s n n ，c c + o 矿，扩p c + 因此6 6 + 胛c 由，满足p 优化知拍+ = c c + 同理 扩= r ，6 均= c c ，c = c 矿c = 6 扩c = c = 6 矿6 = 6 故s 满足p - 优化 第二章具有正则4 一断面的正则半群 推论2 3 5 【3 0 ；定理5 】设s 为具有q 一逆断面s 。的正则半群对于s 上 的任意同余“则以下条件等价： ( 1 ) s 满足户优化( 劣化) ； ( 2 ) ，s 。，a 分别满足肌，p 。，肌一优化( 劣化) 1 2 第三章具有拟理想弱正则4 一断面的正则半群 3 1 预备知识 定义31 t 1 8 1 半群s 称为弱正则+ - 半群，若存在s 上的一元运算+ 满足 下列三条： ( 1 ) 对任意的o s ，o z + z = z ， ( 2 ) 对任意的。s ，( ) + = z ， ( 3 ) 对任意的。，g s ，( z 。+ y 4 ) + = 口+ z 。+ 定义3 1 2 8 若对任意的。s ，。2 = z ，= z ，则称z 为s 的射影元 记b 为s 的所有射影元的集合 定义3 1 3 【8 】令s 为正则半群，e ( s ) 为s 的幂等元集称e ( s ) 的子集 f 为s 的弱p 一系，若f 满足： ( 1 ) 对任意的n s ，口存在唯一的逆元矿使得o n + ，n + o f ； ( 2 ) 对任意的，只，f ，f ； ( 3 ) f 2 e ( s ) 引理3 1 1 8 正则半群s 为弱正则+ 一半群的充分必要条件是s 至少有一 个弱p 一系 引理3 1 2 满足定义3 1 1 ( 1 ) 、( 2 ) 和( 3 ) ( 矿z 圹可) + = 矿剪z 的正则半 群s 为弱正则乞半群；反之亦然 证明令f ： z s ：z 2 = z ，z + = z ) 下证f 为弱p - 系对于任意的 z s ，由( 1 ) ( 2 ) 知矿为。的逆元 又 ( z z + ) = ( ( z + ) + z + ( z + ) + z + ) 4 = ( z + ) + 。+ ( z + ) + z = ( z + ) + z = z z + ， ( z + z ) + = ( z + 茁z + 茁) + = z + z 。+ z = z 4 0 ， 1 3 第三章具有拟理想弱正则+ 一断面的正则半群 因此z z + ，z + 茁f 若z + 为z 的逆元使z z + ，z + z f ，贝4 ( z o + ) + = z z + ，( z + z ) + = o + 。由( 3 ) ，知z + z = ( z + z ) + = ( z + z z + z ) + = ( ( 。+ o ) + z + 。z + 茁) + = ( 茁+ o ) ( z + z ) + z + z = 石+ z z + z = z 4 z 同理z z + = z z +因此z + = o 十z z + = z + z z + = 矿z 矿= 矿故f 满足定义3 1 3 的( 1 ) 对于任意e ，厂f ，有 e ，正1 s ，e + = e ，+ = ，因此e ，e ，= e ，+ ，e + e e + ，= e ，( e + e ，) + e ，= e ，( e ，) + e ，= e ，即e ，冶故f 2 j ，即f 满足定义3 1 3 的( 3 ) 令 口，p f 由f 2 正珞，知( 印口) 2 = 印g p g = g p 口，即卯q 正冶又由q p = q + q p + p = ( p + p q g ) = ( j 叼) + 知( 归g ) + = ( 卿姐印口) = ( ( p q ) + p q ( p q ) + p q ) + = p w 强册= g 册因此对于任意p f ，g f 口f 故f 为弱p 一系由引理 31 1 知s 为弱正则- 半群反之显然 引理3 1 3 【2 0 】若s 为正则半群，则s 为一个以f 为射影元集的弱正则 + 一半群的充分必要条件是s 为一个以f 为弱p - 系的弱p - 正则半群，且s 的每个c - 类( 每个7 珏类) 恰好包含一个p 一中的元素 引理3 1 4 2 0 】若e ，p s 使得e ，p s ，则e ，= ，e 引理3 1 5 【2 0 】若s 为弱正则4 一半群，则对任意的。，只圹z + y ( z ) 引理3 1 6 f 1 6 】若9 为正则半群s 的逆断面，则 ( 1 ) s 的每个元素都可写成e z ，的形式，其中e = e e o ，= ，。，z s 。，o = e 。z ，。； ( 2 ) 令e ，z ，如( 1 ) 中的规定，且9 = 9 9 。， = 。h ，9 s 。，可= g 。 。贝0 e z ，= 9 可 当且仅当z = g ，e z = g ，o ，= 下面引入弱正则- 断面的概念 定义3 1 4 令s 为正则半群，为s 的子半群若存在s 上的一元运 算+ 使得 ( 1 ) 对任意的z s ，矿9ny ( z ) ， ( 2 ) 对任意的z ，( ) + = z ， ( 3 ) 对任意的。，可s ，( 。z + y + ) + = 9 4 + + z + + z + ，( z 4 z 4 可) + = + + z + z + + ， 则称p 为s 的弱正则+ 一断面 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 由于弱正则+ 一半群可以当作自身的弱正则+ - 断面，因此具有弱正则+ 一断 面的正则半群类包含弱正则+ 一半群易验证，由正则+ 一断面的定义( 3 ) 可以 推出定义3 1 4 ( 3 ) 因此具有弱正则+ - 断面的正则半群类包含具有正则+ 一断 面的正则半群下面的例子表明存在具有弱正则+ 一断面的正则半群，它不是 弱正则+ 一半群而且其弱正则+ 一断面不是正则+ 一断面 例3 1 1 令s = 1 ，o ，6 ，c ，d ，9 ) 为半群【8 】，其c a y l e y 表如下； 1n6cd 9 a6 o 6 b 6o6o6n ccdcd d dcdcdc g o6cd1 由【8 】知s 为弱正则4 - 半群，但不是正则+ 一半群令s 上的一元运算+ 为1 + = 1 ，矿= g ，o + = o ，扩= c ，c + = 6 ，矿= d 令t = s u o ) 规定o = o 则t 为弱正则一半群令工= r = 托j ，) ， ，1 1 1 q = i 1oo f 1 o o 规定r e e s 矩阵半群m = m t ；，r ，q ) = l t r ，其夹心矩阵为q 一元运算+ 规定为： 令m + = ( 2 ，z ，i ) m ：z 丁卜则m + 显然为m 的弱正则+ 一子半群，且对 1 5 第三章具有拟理想弱正则+ 一断面的正则半群 任意的( i ，z ，i ) f + ，( i ，。，i ) + + = ( i ，。，z ) 0 ，z ，札) ( ，z ，“) 4 0 ，z ，) = = = 由于对任意的( t ，z ，“) m ( t ，z ，u ) ( z ，z 4 ，i ) ( t ，z ，u ) ( t ，z z + ，z ) ( f ，z ，z 正) ( t ，z ，u ) ， 故( t ，。，) 4 y o ，u ) 对于任意( t ，z ，u ) ，( r ，9 ，s ) m ， ( ( 亡，z ，牡) ( t ，z ，u ) 4 ( r ，可，s ) ( r ，可，s ) + ) + = ( 0 ，。，札) 0 ，。+ ，i ) ( r ，可，s ) ( i ，掣+ ，i ) ) = ( ( t ，z 。+ ，i ) ( r ，可可+ ，i ) ) + = 0 ，z z + 掣+ ，o ) + = 0 ，可可+ z z + ，i ) = 0 ，可+ ，i ) ( i ，z z ，i ) = ( i ，g “，i ) ( i ，f + ，i ) ( i ，。”，i ) ( i ，i ) = ( r ，掣，s ) + 4 ( r 1 可s ) 4 0 ，z ，札) + + ( t ，z ，? ) + ， 同理，( (