（基础数学专业论文）有限群的特征标零点及非零元.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 摘要 有限群的表示理论特别是有限群的特征标理论是研究有限群的强有力工具本 文主要做了以下两个方面的工作 假设有限非交换群g 可以写成一个循环的正规子群与一个素数阶循环子群的半 直积，本文第三章给出了这类群g 的每个非线性不可约特征标在这个正规子群的外 部零点个数都恰好为4 个或奇素数个时g 的结构 有限群g 中的元素s 称作g 的非零元，如果对g 的任意不可约特征标x 都有 x ( s ) o 1 9 9 9 年，i m i s a a c s 等人证明可解群g 中的非零元几乎就在f i t t i n g 子 群f ( g ) 中本文第四章找到了有限群中的一些非零元 关键词：有限群；不可约特征标；特征标零点；非零元 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s a b s t r a c t o n eo ft h em o s tp 伽陀r f u lt o o l 8f o rs t u d yo ff i n i t eg r o u p si st h et h e o r yo fr e p r e _ s e n t a t i o n sa n dp a r t i c u l a r l yt h et h e o r yo fc h a r a c t e r s i nt h i st h e s i s ，o u rm a i n 、v o r ki s a sf b l l o w s i ft h ef i n i t en o n c o m m u t a t i v eg r o u pgi sas e m i d i r e c tp r o d u c to fac y c l i cn o r m a l s u b g r o u pa n dac y c l i cs u b g r o u po fp r i m eo r d e r ，i nc h a p t e r3 ，、v ei n v e s t i g a t et h e s t r u c t u r eo fs u c hg r o u p sg ，s u p p 0 8 i n gt h e r ea r ej u s t4o ro d dp r i m ez e r o so fe a c h n o n l i n e a ri r r e d u c i b l ec h a r a c t e ro u to ft h en o m a js u b g r o u p a ne l e m e n tso faf l n i t eg r o u pgi sc a l l e dn o n 、，a n i s h i n ge l e m e n ti fx ( s ) of o ra n y i r r e d u c i b l ec h a r a c t e rxo fg i n1 9 9 9 ，i m 1 8 a a c se t c p r o v e dt h a tt h en o n v a n i s h i n g e l e m e n t so fas o l v a b l eg r o u pg a r ea l i r m s ti i lf ( g ) ，w h e r ef ( g ) i st h ef i t t i n gs u b g r o u p o fg 1 nc h a p t e r4 ，w ，e 丘n ds o m en o i l 、r a n i s h i n ge l e m e n t si nf i n i t eg r o u p s k e y 、阳r d s ：6 n i t eg r o u p ；i r r e d u c i b l ec h a r a c t e r ；c h a r a c t e rz e r o ；n o n v a n i s h i n ge l e m e n t i i 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得的研 究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过 的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法 律结果由本人承担。 作者签名：甘辛日期：矽孕年f 月衫日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权华中师范大 学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中 国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：砰冲寻 日期：0 2 年r 月力日 孙弛拗罨 日期：跏湃广月2 ，7 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程 ，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。回童途塞堡交卮澄卮! 旦圭生；旦二生；旦三生筮查! 作者签名：巨冲寻 日期：为谚年r 月穹日 孙挑妇弓 日期：l 9 年厂月巧；臼 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一章引言 有限群的表示理论特别是有限群的的特征标理论是研究有限群的强有力工具， 利用有限群特征标表中的零点来刻划群结构是特征标理论的一个热门课题 设g 为有限群，y 为复数域c 上的一个n 维向量空间群g 在向量空间y 上的一个作用，即g 到y 的一般线性群g l ( y ) 的一个同态，称为g 在复数域c 上的一个表示。由这个表示诱导的定义在g 上的函数x ，) ( ( z ) 定义为z g 对应的 线性变换的迹，称为该表示的特征标当y 只有平凡的g 一不变子空间时这个表示 就称为不可约表示，对应的特征标x 称为不可约特征标 有限群在复数域上的表示都是完全可约的，即可分解为不可约的表示的直和； 而且任何表示由它的特征标完全决定所以g 的不可约特征标决定了g 的所有表 示本文的特征标都是说的复特征标 以下总设g 是一个有限群令，r r ( g ) 为g 的全体不可约特征标构成的集合 设g 有 个共轭类，其代表元是9 l = 1 ，9 2 ：，肌则i ，r 7 ( g ) i = 九；可设7 - 7 ( g ) = 始，1 t ，其中) ( 1 = 1 g 为g 的主特征标则 矩阵( 始( 仍) ) 称为g 的 特征标表如果在g 的特征标表中某个尬( 仍) = 0 ，就称仍所在的共轭类为不可约 特征标憋的一个零点 以下总设p 为一个素数 设g 为有限群，b u r n s i d e 定理( 见【1 ，定理3 1 5 】) 指出如果g 的不可约特征标 x 满足x ( 1 ) l ，则一定存在夕g 使得x ( 9 ) = 0 当有限群的特征标零点个数较 少时可以期望群g 的结构有较大的限制 1 9 9 9 年， d c h l l i a g 证明如果非交换群g 的每个不可约特征标至多有一个零 点，则该群是以2 阶群为补的n o b e i l i u s 群( 见【2 ，命题2 7 】) 2 0 0 2 年，钱国华( 见【3 ，定理6 3 1 】) 证明了有限群的每个不可约特征标至多有 两个零点的群只有以下四类 ( 1 ) g 竺p s l ( 2 ，口) ，q = 4 ，7 ( 2 ) g 是以2 阶或3 阶群为补，以一个交换群为核的n o b e n i u s 群 ( 3 ) g = p g 。，p 为g 的4 阶s y l o w2 一子群，导群g 是g 的正规交换2 补， i z ( g ) i = 2 ，g 胆( g ) 是以p 胆( g ) 为补的n o b e n i u s 群 ( 4 ) g 竺鼠 2 0 0 4 年，钱国华等在【4 ，定理2 2 】和 4 ，定理3 6 】中分别给出了有限群的一个 正规子群外部有两个或三个共轭类时群的结构但是随着正规子群外部的共轭类增 多，群结构的限制也变小，我们期望在一些特殊的群中利用特征标的算术性质进行 分类 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 有限群g 中的元素s 称作g 的非零元，如果对g 的任意不可约特征标x 都有 x ( s ) 0 众所周知，对于g 的中心元素s 和g 的任意不可约特征标x 均有ix ( s ) i = x ( 1 ) 0 ，故g 的中心z ( g ) 中的所有元都是g 的非零元 1 9 9 9 年，i m i s a a u c s 等人对非零元问题做了进一步讨论，得出有限群的正规的 s y l o wp 子群的中心元均为非零元( 见 5 ，定理a ) 进而得到以下结论，如果z 是 可解群g 的非零元，则z 在g f ( g ) 中的像的阶为2 的幂，特别地，如果z 是奇次 的，则有z f ( g ) 无论如何，只要g 不是幂零的，则z 一定在f i t t i n g 升链地倒 数第二项中( 见【5 ，定理d 】) 但是，一般情况下我们很难判定某个元是不是非零元 因此，我们期望在一些特殊的有限群中讨论非零元 本文主要做了以下两方面的工作： 一假设有限非交换群g 可以写成一个循环的正规子群与一个素数阶循环子群 的半直积。此时这个正规子群的外部的每一个元素z ，对于g 的次数大于1 的不可 约特征标x 都有x ( z ) = 0 即这个正规子群外部的每一个共轭类就是g 的非线性 不可约特征标在这个正规子群的外部一个零点本文第三章刻划了这类群g 的每个 非线性不可约特征标在这个正规子群的外部零点个数都恰好为4 个( 见【定理3 1 1 】) 或奇素数个( 见睫理3 1 2 】) 时g 的结构 二本文第四章基于i s a a c s 等人的工作，在一些特殊的有限群中找到了一些非 零元( 见窿理4 1 1 4 1 3 】) 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第二章预备知识 定义2 1 设a 为有限交换群a 的所有不可约特征标在函数乘法之下是一 个交换群，称为a 的对偶群，记做a + 引理2 2 6 ，引理4 4 3 】设c = ( o ) 是m 阶循环群，设“，是仇次本原单位根 ( 1 ) 对任意线性特征标矽：c _ c ，存在整数七使得妒( 口) = 而砂( 口) = u b ， 而且整数后在仃l 甜m 时是唯一的 ( 2 ) 驴= x ( 七) i 七= o ，1 ，m l 其中x ( ) ( n ) ? u ，而且z m _ 9 ，七h x ( 七) 是群同构；从而c _ 泸，o 七hx ( 七) 是群同构；特别是沪= ( x ) ，其中x = x ( 1 ) 而x ( 七) = x 七 定义2 3 设g 是群，x ，x 7 是两个集合，g 分别作用在x ，x 7 上，如果存在 双射，：x _ x 7 ，使得 ，( z 9 ) = ( ，( z ) ) 9 ， vz x 夕g 就说g 在x 上的作用与g 在x 7 上的作用等价 引理2 4 。设g 为有限群，为g 的循环的正规子群，记x 为的所有不可 约特征标构成的集合，则g 在上的共轭作用与g 在x 上的共轭作用是等价的 证明假设= ( of 矿= 1 ) ，x = 仅) ，其中x ( 口) = u 为n 次本原单位根则 有同构 l ：x _ n 妒h 口七 g 共轭的作用在x 上，对于任意矿x ，9 g 有 9 x 七( n ) = ( x 七尸( 口) = x 七( 9 0 夕一1 ) g 共轭的作用在上，对任意9 g ，有扩= 9 叼 令夕口9 1 = n ，则有( x 七) 9 ( 口) = x 七( 夕口9 1 ) = x 知( ) = x 舣( 口) 故 ，( 夕x 。) = ，( ( x 七) 9 ) = ，( x 默) = 口肼= 夕口七夕一1 = 9 ，( x 詹) 引理得证 定义2 5 如果f 是域k 的子域，则也称k 是f 的扩域，或称k 是f 的扩 张，记为k f 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 定义2 6 设k f 是域扩张，( z ) f ，k 含有厂( z ) 的所有零点称f 上 由，( z ) 的所有零点生成的k 的子域为，( z ) 在f 上的分裂域 定义2 7 设钆为正整数有理数域q 上的多项式扩一1 的分裂域称为n 次 分圆域设u 是一个确定的n 次本原单位根，则全部的n 次本原单位根的集合为 e n = u i1 i 妒0 严) + 1 即，存在某一个r 丁，使得e 7 = e 。，其中t 妒( 矿) + 1 同样的在集合s 的每一个n 轨道中都存在这样的e 满足 妒( p o ) + 1 但是集合s 的轨道个数为妒( p 。) i 丁i = p ”1 讲这样就得到了一个不等式 一 1 p 。一妒( p 。) = 矿- 1 p ”1 苇 l i 显然这是不可能的 下面设七 1 令n 1 = 硝1 ，n 2 = n 他1 同样的我们可以假设e 为n 次本原单位根，如果，? 7 = o ，同样的可以得 到每个集合s 上的每个弘轨道和均为零 假设e = e 1 e 2 其中龟为啦次本原单位根令d 。是一个由凡1 次单位根构成的 p 轨道，0 2 是一个由n z 次单位根构成的p 轨道则t 稳定乘积 ( ( 1 ) ( 已) ( 1 d 1( 2 d 2 把这个乘积展开就可以看到它是一些竹次本原单位根的构成的n 轨道和的和根 据归纳假设这个积为零则或者有( 。o 。( 1 = o ，或者有( 2 d ：已= o ，而两者均 可导出矛盾引理得证 5 硕士学位论文 h 【a s t e r st h e s i s 第三章关于正规子群外部特征标零点的一点注记 3 1 引言和结论 设g 为有限群，b u r n s i d e 定理( 见【1 ，定理3 15 】) 指出如果g 的不可约特征标 x 满足) ( ( 1 ) 1 ，则一定存在9 g 使得x ( 9 ) = 0 当有限群的特征标零点个数较 少时可以期望群g 的结构有较大的限制1 9 9 9 年， d c h l l i a g 证明如果非交换群 g 的每个不可约特征标至多有一个零点，则该群是以2 阶群为补的f r o b e n i u s 群( 见 【2 ，命题2 7 】) 2 0 0 2 年，钱国华刻划了有限群的每个不可约特征标至多有两个零点的 群的结构( 见【3 ，定理6 3 1 】) 2 0 0 4 年，钱国华等给出了有限群的一个正规子群外部 有两个( 见【4 ，定理2 2 ) 或三个共轭类( 见【4 ，定理3 6 】) 时群的结构假设有限非 交换群g 可以写成一个循环的正规子群与一个素数阶循环子群的半直积，本章刻划 了这类群g 的每个非线性不可约特征标在这个正规子群的外部零点个数都恰好为4 个或奇素数个时g 的结构 定理3 1 1 。假设有限非交换群g 可以写成一个循环的n 阶正规子群j 7 v 与一个 素数阶循环子群的半直积，则g 的每个非线性不可约特征标在的外部都恰有 4 个零点当且仅当g 是以下5 种群之一： ( 1 ) 1 日i = 5 ，= g 7 为g 的换位子群，其中i l = 口：1 谚2 簖，且5 | 吼一l ，l i f ( 2 ) 1 日i = 3 ，= g q 其中i g ，j = g ：1 谚2 莳，3l 吼一1 ，1 i f ，岛 是二阶循环群 ( 3 ) g = ( z ，可iz 8 = 1 = y 2 ，可一1 z 掣= z 5 ) = ( z ) ( 4 ) g = ( z ，妙iz ”= 1 = y 2 ，y 一1 z 可= z ) = ( z ) ，其中n = 4 m ，这 里m 为奇数，且m 1 ，7 - 兰( m p + 4 q ( m 一1 ) ) ( m d dn ) ，其中q ，p 满足8 q + m p = 1 ( 5 ) g = ( z ，可iz n = 1 = 3 ，2 ，y 一1 z y = z 7 ) = ( z ) ，其中礼= 8 m ，这 里m 为奇数，r 三( m p + 8 q ( m 一1 ) ) ( 仇甜n ) ，其中q ，满足4 q + 仇p = 1 定理3 1 2 假设有限非交换群g 可以写成一个循环的n 阶正规子群与一个 素数阶循环子群日的半直积，s 为奇素数。则g 的每个非线性不可约特征标在 的外部都恰有s 个零点当且仅当g 有如下定义与生成关系： g = ( z ，暑，lz n = 1 = y 2 ，暑，一1 z 暑，= z 7 ) = ( z ) ，7 三( m p + s q ( m 一1 ) ) ( m d dn ) ，其中n = s m ，这里m 为不等于l 的奇 数，且s 十m ，口，p 满足s a + m p = 1 3 2 主要引理 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 如果有限群g 是正规子群和素数阶子群h 的半直积。设i i = 竹，l h i = p ， 则h 如下作用在上，芗z 可一1 = ，其中矿兰1 ( m d dn ) ，z ，y 日如果 r 三1 ( m d dn ) ，则称之为平凡作用；如果r 1 ( m d dn ) ，则称之为非平凡作用 引理3 2 1 假设有限非交换群g 可以写成一个交换的正规子群与一个素 数阶循环子群h 的半直积， l l = p ，如果h 在中的中心化子c ( h ) 的阶为， 则g 的每个非线性不可约特征标在v 外部的零点个数都恰为( p 一1 ) t 证明若g 可以写成一个交换的正规子群与一个素数阶循环子群日的半直 积，文献【7 命题2 5 】给出了计算此类群的特征标的一种算法： 因为是交换的所以它的不可约特征标都是一阶的，记x 为的所有线性不 可约特征标构成的群群日如下的作用在x 上：对于可日，x x ，z ， ( x 掣) ( z ) = x ( 可z y 一1 ) 令( 始) x 日是在x 中的轨道的一个代表系对于每一个i 驯日，令凰 是日中使得x ? = 施的元素秒所成的子群又令g i = j i 、r 凰是g 中相应的子群， 对于z ，夕风，令 x t ( z 可) = x t ( z ) 这样就将始开拓到了g t 上对于一切可凰，都有可骼= 骼再令p 是凰的一个 不可约表示作p 与典范射影g 一鼠的合成映射，就得到g 的一个不可约表示多 最后作您与卢的张量积，我们就得到g t 的一个不可约表示憋。芦然后将其诱导 到g 上就得到g 的不可约表示，通过这样的方法可以得到g 的所有不可约表示 设i i = n ，l h l = p h 作用在上的轨道代表元设为：z l ，z 2 ，z 七由引 理2 2 ，知道x 竺，再由引理2 4 ，可以把日在x 上的作用与日在上的作用等 同起来由于日的阶为素数，故vz ，z 在中的中心化子c k ( z ) = 1 或日 根据上述计算此类群的特征标的算法知道t 对于日在上作用的轨道代表元戤，如 果c ( 忍) = 1 ，则毛对应于g 的个p 阶表示；如果g ( ) = 日，则毛对应 g 的p 个一阶表示设l g r ( 日) i = ，则g 有p 个一阶表示和譬个p 阶表示 而内部共有t + 譬个g 的共轭类，根据有限群的不可约特征标的个数与它的共 轭类个数相同可得在外部的g 的共轭类个数恰为p 一1 ) 根据上述特征标算 法，对g 的每个非线性不可约特征标x ，任意夕g j v ，有x ( 夕) = 0 ，故g 的 每个非线性不可约特征标在外部的g 的零点个数都恰为( p 一1 ) t 引理得证 因此，要讨论g 的非线性不可约特征标在外部的零点个数就只需要讨论 瓯( 日) i 就可以了 引理3 2 2 假设g 可以写成一个循环的正规子群与一个素数阶循环子群 7 硕士学位论文 m a 8 t e r st h e s l s 日的半直积，其中i i = 9 4 ，1 日i = p ，这里p ，g 为不同的素数，则( h ) = 或 【l 证明h 作用在上，由于p 与g 。互素有直积分解= c - ( 日) 【，h 1 ， 而是循环矿群，故( 日) = 或 g 7 = g ， 此时必有( 1 ) 成立 情况( 6 ) 若p = 3 ，= 2 ，由( 奉) 式，必有某一个i 使得i ( 何) i = 2 ，而 i ( h ) l = 1 ，歹z ，根据引理3 2 2 一引理3 2 3 可知3 与n 互素，由互素作用可 得： = 国( 圩) i ，h 】= 伤g 其中岛是二阶循环群，此时必有( 2 ) 成立 情况( c ) 若p = 2 ，= 4 ，由( 木) 式，必有i ( 何) l = 4 ，而i ( 日) i = 1 ，1 i f ，如果日在o 上平凡作用，则n = 4 m ，m 为奇数，且m l ，由于4 与m 互 素，故存在整数q ，使得4 q + m p = 1 而z = z 1 = z 邮z 4 0 所以 y l z ! ，= z r = 暑，一l z m 卢秒y l z 4 q 可= z m p z 4 。( m 1 ) = z m 卢+ 4 口( m 一1 ) 这就要求 r 三( m p + 4 q ( m 一1 ) ) ( m d dn ) 故此时必有( 4 ) 成立 如果在0 非平凡作用，则根据引理3 2 3 可知i 0 = 8 ，即礼= 8 m ，m 为 奇数，由于8 与m 互素，故存在整数a ，使得8 q + m = 1 而z = z 1 = z m p z 8 口 所以 可一l z 3 = z 7 = 3 ，一1 z m 卢3 ，可一1 2 8 口可= z 5 ”p z 8 口( m 1 ) = z 5 m 卢+ 鼬( ”一1 ) 这就要求 r 三( 5 m p + 8 乜( m 一1 ) ) ( m d dn ) 故此时必有( 5 ) 成立特别地，当仇= 1 时( 3 ) 成立 反之，根据引理3 2 1 ，容易验证上述5 种群的每个非线性不可约特征标在的 外部都恰有四个零点定理得证 定理3 1 2 证明假设的阶n = 矿g ：- 谚2 毋一，日的阶为p ，其中p ，依( 1 i z ) 为互不相等的素数，设f c r ( h ) i = ，如果g 的每个非线性不可约特征标在的外 部都恰有s 个零点，则p 一1 ) = s ，因为s 是奇素数，故只能是p = 2 ，t = s ，根 据( 木) 式，此时必有某一个i 使得i ( h ) i = s ，而i ( 何) l = 1 ，歹 ，根据引 理3 2 2 - 引理3 2 3 ，此时只能有n = s m ，sfm ，其中m 为不等于1 奇数，且日 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 平凡地作用在s 阶子群腿上，由于s ，仇互素。存在整数q ，p 满足s q + m p = 1 ， 贝4z = z 1 = z 椰z 矗口 剪一1 z y = z 7 = 秒一l z m p 可y l z 8 q 暑，= z m 口z 5 口( m 一1 ) ：z m 口+ 8 口( m 1 ) 这就要求 r 三( m p + s q ( m 一1 ) ) ( m d dn ) 故结论成立 反之，根据引理3 2 1 ，容易验证如果群g 有定理所给的定义与生成关系，则它 的每个非线性不可约特征标在的外部都恰有s 个零点定理得证 1 0 硕士学位论文 m a s t e r st h b s i s 4 1 引言和结论 第四章有限群的非零元 始终设g 为有限群，s g 记d ( s ) 为s 的阶 记( s ) 为s 在g 中的中心化子 设s g ，记( s ) g 为由5 生成的g 的正规子群 有限群g 中的元素5 称作素元，如果s 的阶o ( s ) 是一个素数的幂 有限群g 中的元素s 称作g 的非零元，如果对g 的任意不可约特征标x 都有 x ( s ) 0 众所周知，对于g 的中心元素s 和g 的任意不可约特征标x ，均有ix ( s ) | _ x ( 1 ) 0 ，故g 的中心z ( g ) 中的所有元都是g 的非零元1 9 9 9 年，i m i s a a u c s 等 人对非零元问题做了进一步讨论，得出有限群的正规的s y l a w 矿子群的中心元均为 非零元( 见【5 ，定理a 】) 进而得到以下结论，如果z 是可解群g 的非零元，则z 在 g f ( g ) 中的像的阶为2 的幂，特别地，如果z 是奇次的，则有z f ( g ) 无论如 何，只要g 不是幂零的，则z 一定在f i t t i n g 升链的倒数第二项中( 见 5 ，定理d 】) 本章基于i s a a c s 等人的工作，得到了以下结论 定理4 1 1 为g 的循环正规子群，使得g j 、，循环设a 是的日口f f 子 群，满足9 c d ( 1 a l ，l g i ) = l ，则a 中的任意元素都是g 的非零元 定理4 1 2 如果有限群g 的素元s 与它的任意自共轭s 以可交换，且对任 意z ( s ) g 有i g ：c r g ( z ) l 与d ( s ) 互素，则s 为g 的非零元 定理4 1 3 g 为有限群，g 中的元素s 在g 中的中心化子( s ) 满足 i g ：c ，g ( s ) i 与d ( s ) 互素，而且，对于任意9 g ，换位子f s ，引( s ) ，则s 为g 的非 零元 4 2 主要引理 引理4 2 1 ( 舒尔定理) 设aqg ，且夕c d ( i a l ，i g ：a i ) = 1 则a 在g 内有补子 群 引理4 2 2 ( c l i 舫r d ) 令hqg ，x 为g 的不可约特征标，口是x 日的个不可 约组成部分，假设口= 口1 ，如，巩是在g 作用下所有与口共轭的日的不可约特 征标，则有 柚= e 色 1 1 其中e = 恢日，卅 引理4 2 3 设a 旦g ，且a 是交换群g 共轭的作用在a 上则g 也作用在 其对偶群a + 设x 1 ，x 2 ，x f 是g 在a + 上的一个轨道；设口l ，0 2 ，是g 在 a 上的一个轨道，那么作为集合有 x - ( 口z ) ，x z ( 。，) ) = ) ( ，( n - ) ，x ( 口。) ) ， 而且每个值) ( 1 ( 啦) 在序列) ( t ( n ) ，x 1 ( o 。) 中出现的重数相同；每个值船( o ) 在 序列x l ( 0 1 ) ，( 口) 中出现的重数相同 证明由于a 为g 的交换的正规子群，则g 共轭的作用在a ，即对任意 夕g ，n a 有 o g29 口9 1 而对于a 的任意不可约特征标) ( 及任意9 g ，o a 定义 x 9 ( n ) = x ( 夕0 9 1 ) ，( 1 ) 则对于任意9 l ，9 2 g ，x a + 有( 妒- ) 啦= x 9 啪，即g 作用在a 上 设n 。，0 2 ，n m 是g 在a 上的一个轨道，由( 1 ) 式，可知作为集合有 x ，( n ，) ，x z ( 。- ) ) = x ，( n - ) ，x - ( 口m ) ) ， 下证每个值x l ( 啦) 在序列x l ( 0 1 ) ，x 1 ( 口m ) 中出现的重数相同 x l ( 口1 ) = x 1 ( 啦) = x l ( n ) 兮x 1 ( o f l 口i ) = 1 兮口f l o k e r ( x 1 ) 争n n 1 k e r ( x 1 ) 令 阢6 g ( x - ( n - ) ) = 5 g ix ( 。i ) = x ( 。- ) ) 显然g 作用在商群a k e r 仅1 ) 上，记 舭眙( n t e r ( x - ) ) = 则 s 口6 g ( x l ( 口1 ) ) = s n 6 g ( n l k e r ( x 1 ) ) 是g 的一个子群，而且显然 s 口6 g ( x 1 ( n 1 ) ) 2s t 0 6 g ( n 1 ) 12 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 所以x l ( n 1 ) 在序列) ( 1 ( 0 1 ) ，x l ( ) 中出现的重数等于指数 is n 6 g ( x l ( n 1 ) ) ：s 0 6 g ( n 1 ) i 同理可得，x l ( 吼) 在序列) ( 1 ( 。1 ) ，x l ( n 。) 中出现的重数等于指数 i 0 6 g ( x 1 ( 啦) ) ：s n 6 g ( 吼) i 由于i 鼬0 6 g ( n k e r ( ) ( 1 ) ) 卜is 0 6 g ( 0 1 k e r ( x 1 ) ) i ，且i 0 6 g ( 吼) l = n 6 g ( 口1 ) l ，故 每个值x l ( 毗) 在序列x l ( 0 1 ) ，x l ( 口，n ) 中出现的重数相同 下证每个值始( n 1 ) 在序列x l ( 口1 ) ，柏( 口1 ) 中出现的重数相同 记坫( x 1 ) 为x l 在g 中的惯性子群，同上可得 s z 8 6 g ( x l ( n 1 ) ) 2 尼( x 1 ) 所以x ，( n - ) 在序列x - ( o t ) ，x l ( 0 1 ) 中出现的重数等于指数 ls 口6 g ( x l ( n 1 ) ) ：尼( x 1 ) i 同理可得， 妊( n t ) 在序列x 1 ( n 1 ) ，如( 0 1 ) 中出现的重数等于指数 is 口6 g ( x i ( 0 1 ) ) ：坛( x ) i 由于 s z 口6 g ( x t ( n 1 ) ) = i 吼n 6 8 ( x 1 ( n ) ) = s 口6 g ( n 以k 8 r ( ) ( 1 ) ) 故l 鼬a 6 g ( ) ( t ( n - ) ) | _ i 鼬n 6 g 仅- ( o - ) ) l ，且i 尼( 妊) i ：i 尼( x 1 ) i ，所以每个值x - ( 0 1 ) 在序列x 1 ( 0 1 ) ，( d 1 ) 中出现的重数相同引理得证 4 3 定理证明 定理4 1 1 证明由舒尔定理知存在b g ，使得g = a b 因为a 是交换的所以它的不可约特征标都是一阶的，记x 为a 的所有线性不 可约特征标构成的群群b 如下的作用在x 上：对于秒b ，x x ，z a ， ( x ，) ( z ) = x ( y z 可一1 ) 令( 您) 坨州b 是b 在x 中的轨道的一个代表系对于每一个t 州b ，令鼠是 b 中使得群= 骼的元素y 所成的子群又令g = a 鼠是g 中相应的子群，对 于z a ，秒晟，令 x ( z y ) = x t ( z ) 1 3 硕士学位论文 m a 8 丁e r st h e s i s 这样就将始开拓到了g t 上对于一切y 鼠，都有秒始= 始再令p 是最的一个 不可约表示作p 与典范射影g 一鼠的合成映射，就得到g f 的个不可约表示芦 最后作骼与声的张量积，我们就得到g i 的一个不可约表示骼 芦然后将其诱导 到g 上就得到g 的不可约表示，通过这样的方法可以得到g 的所有不可约表示 故对g 的任意不可约特征标p ，都存在妊x ，和g 的不可约表示万所提供的特 征标他j ，使得 秽= ，n 蟛。( x o 妒巧)u o 一v ， 由于是循环子群，则一定有g t ，故笪g t 并且g 旦g 由子群对应定理可知 g t l n 垒g l n 且根据同构定理可得 g 垒器 故g g 为循环群，令其陪集代表系为r = 6 l = 1 ，6 2 ，仇，其中= l g ：g “令 a = ( oio ”= 1 ) ，b 共轭地作用在4 上，玩。酊1 = o “，其中9 c d ( n ，n ) = 1 ，1 i 对任意。奄a ，设x ( o 七) = e 其中e 是n 次单位根 当。七= 1 时，口( 口知) = 秽( 1 ) 0 ； 当。七1 时， 口( 扩) = ( ，n 龌骼) ( n 七1 ) = 憋( 扩1 ) ( 口1 ) + 憋( 6 2 口坛1 ) ( 6 2 n 七啄1 1 ) + + 施慨口七6 1 ) 砂巧( 6 n 坛1 1 ) = ( 1 ) ( 始( 扩) + x i ( 6 2 n i 1 ) + + 妊( 6 t n 七蚜1 ) ) = ( 1 ) ( e + e 仡+ + e ) 即口( 扩) 0 当且仅当e + e r 2 + + c r t o 记t = r 1 = 1 ，r 2 ，r t ) ，设u 为扎次本原单位根由于9 c d ( n ，n ) = 1 ，1 i t ，故可以把n 看作分圆域q ) 的g a l o i s 群r 中的元，下证丁r 对于任意1 i ，歹，有o r 巧= ( 驴) r j = 吩瓯n 町1 町1 = 玩n ( 6 j 阢) ，而g 倪 为循环群，故存在某个k r 使得驴r j = k n 螃1 ，即n 吩丁，所以t r 而 i g ：i = i g ：g t | i g i ：l ，且夕甜( 1 a i ，f g i ) = 1 ，所以9 c d ( n ，t ) = 1 ，根据引理2 9 可知p ( 扩) 0 定理得证 定理4 1 2 证明记s = 5 ，由于对于任意，s ( s ) g ，有 s 。s r = ( s s r 。一1 ) = ( s ，。一1 s ) 。= s r s ， 1 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 故( s ) g 为g 的交换的正规子群，即( s ) g 的不可约特征标均为一阶的 设p 为g 的任意一个不可约特征标， x 为p ( 。) g 的一个不可约组成部分， x = x l ，) ( 1 为g 在( s ) g 的对偶群上作用的一个轨道，由引理4 2 2 可得 口( s ) = e ( ) ( ，( 5 ) + + ( s ) ) 令s = s 1 ，s ：，s 。为g 作用在( s ) g 上的一个包含s 的轨道其中m = i g ： ( s ) 1 再由引理4 2 3 知道作为集合 x - ( s z ) ，x t ( s - ) ) = x t ( s - ) ，x - ( s 。) ) ， 且每个值x z ( s 1 ) 在序列x l ( s 1 ) ，x 1 ( s m ) 中出现的重数相同，设这个重数为七；每 个值骼( s 1 ) 在序列x - ( s 1 ) ，( s 1 ) 中出现的重数相同，设这个重数为 则有 p ( s ) = 等( ) ( ( s - ) + 帆( s 。) ) 因为5 为素元，设s 矿= l ，则有x 1 ( 5 ) 的值为矿次单位根，设为e 故 口( s ) = 等( e l + ) 即p ( s ) o 兮1 + + e 。0 下证l + + e m 0 在代数整数环中选取一个包含p 的极大理想，由于p ，m 互素，则m 隹，对于 任意矿次单位根e 有o = e 矿一l 兰( e 一1 ) 矿( m d d ，) ，即e 三1 ( m d dj ) 故 e 1 + + e 。三m o ( m d dj ，) 定理得证 定理4 1 3 证明由于对于任意夕g 有【s ，翊= s 夕s 一1 9 1 ( s ) 即对于任意9 g 有夕s 9 1 ( s ) 故( s ) 塑g 对任意的 ( s ) ，9 g ，有 9 9 1 s 夕 一1 夕一1 = 9 s 9 1 一1 9 1 = 夕s 9 1 9 1 = s 9 1 9 = s 故夕 9 1 i ：冶( s ) ，即c b ( s ) 里g 设口为g 的任意一个不可约特征标， x 为9 ( 。) 的一个不可约组成部分， x= x 1 ，柏为g 在( s ) 的对偶群上作用的一个轨道，由引理4 2 2 可得 p ( s ) = e ( x - ( s ) + + ( s ) ) 1 5 硕士学位论文 m a s 丁e r st h e s i s 对于序列x l ，中的任意两项骼，勋，只要f 歹，就有始( s ) 勋( s ) ，否则有 躲= 肋，矛盾 令s = s 1 ，s 2 ，s ，n 为g 作用在( s ) 上的一个包含s 的轨道，其中仇= i g ： ( s ) j 设d ( s ) = n ，则有n ，m 互素再由引理4 2 3 知道知道作为集合 ，x z ( 5 - ) ) = x ( 5 ) ，x ，( s m ) ) ， 且每个值x l ( s ) 在序列x 1 ( 5 1 ) ，x l ( s 。) 中出现的重数相同设这个重数为七 设( s ) 在群g 中的陪集代表系为r = 6 = 1 ，6 2 ，6 m 6 凸酊1 = 口r t ，其中 9 甜( n ，礼) = 1 ，1 i t 再设x l ( s ) = e 为n 次单位根则有 p ( s ) 2 丢( x - ( 5 1 ) + + x 1 ( s m ) ) 2 丢( ) ( 1 ( s ) + ) ( ，( 5 r 2 ) + + x l ( s ) ) 2 丢( 卧e 化+ + ) 即p ( o 七) 0 当且仅当e + e r 2 + + ( n 0 记丁= r l = 1 ，7 2 ，r t ) ，设u 为n 次本原单位根由于9 甜( r t ，n ) = 1 ，1 i ，故可以把n 看作分圆域q ) 的g a l o i s 群r 中的元，下证丁sr 对于任意1 i ，j ，有口n 巧= ( o n ) q = 幻玩n 酊1 6 7 1 = 如以n ( 幻玩) ，而 g ，g ( s ) 璺g ，故存在某个以r 使得n r t q = k o 坛1 ，即n 巧t ，所以t r 而 m ，n 互素，故根据引理2 9 ，可知p ( s ) 0 定理得证 1 6 参考文献 【l 】i m i s 拍c s ，c h a r a u c t e rt h e o r yo ff i n i t eg r o u p s 【m l ，n e wy o r k ：a c a d e m i cp r e s s ，1 9 7 6 【2 】d c h i l l a g ，o nz e r o so fc h 盯a c t e r so ff i i l i t e 黟o u p s 【j 】，p r o c a m e r m a t h s o c ，1 9 9 9 ， 1 2 7 ：9 7 弘9 8 3 f 3 】钱国华，特征标的算术条件与有限群的结构 d 】，武汉大学数学系，2 0 0 2 【4 】q i a i lg u o h u a ，s h iw u j i ea n dy o ux i n g z h o n g ，c o n j u g a c yc l a s s e so u t s i d ean o r m a l s u b g r o u p j 】，c o m m a l g e b r a ，3 2 ( 2 0 0 4 ) ，4 8 0 9 - 4 8 2 0 【5 】i m i s a a c s ，g n 舢oa n dt r w b l f f i n i t eg r o u pe l e m e n t sw h e r en oi r r e d u c i b l e c 1 1 a r a c t e rv a n i s h e s j 】j a 昏e b r a ，1 9 9 9 ，2 2 2 ：4 1 孓4 2 3 【6 】樊恽，刘宏伟，群与组合编码( m 】，武汉：武汉大学出版社，2 0 0 2 7 】j p s e r r e ， l i n e a r r e p r e s e n t a t i o n s o f