（基础数学专业论文）连续分布时滞的非线性中立型偏微分方程的振动性.pdf

摘要 对于具有时滞的偏微分方程的振动性研究，不仅具有理论意义，而且在实践应用 中也有很大的价值近年来人们关注含时滞的偏微分方程解的性态研究，对于滞量为 离散型的偏微分方程的研究较多，而对于连续分布时滞的偏微分方程关注较少本论 文研究了具有连续分布时滞的非线性中立型双曲偏微分方程的振动性，分别讨论了在 三种边界条件之下，具有连续分布时滞的二阶非线性中立型偏微分方程的振动性和具 有连续分布时滞的高阶非线性中立型偏微分方程的若干振动定理论文共分三部分 第一部分，介绍偏泛函微分方程振动理论的相关概念和该理论产生的历史以及 近年来该方向的研究状态和本人研究的内容 第二部分，具有连续分布时滞的二阶中立型双曲偏泛函微分方程的振动性讨论 了具有连续分布时滞的二阶中立型双曲偏泛函微分方程在三个不同的边界条件下的振 动性，在这一章中根据方程在三个不同的边界条件下将这一章分成三部分，分别给出 证明得到在不同边界条件下方程振动的多个充分条件在这里利用直接积分法，利用 边界条件消去调和项，g r e e n 函数，j e n s e n 不等式等方法，先将偏微分方程化成常微 分方程来讨论，再利用r i c c a t i 变换，和几个重要引理证明得到方程的多个振动定理， 第三部分，具有连续分布时滞的高阶中立型双曲偏泛函微分方程的振动性这 一部分是在第二章的基础之上将具有连续分布时滞的二阶中立型双曲偏泛函微分方程 推广到高阶的具有连续分布时滞的中立型双曲偏微分方程，在这一章同样根据三个边 界条件将它分成三部分来证明，给出具有连续分布时滞的高阶中立型双曲偏微分方程 振动的多个充分条件在这里利用直接积分法，利用边界条件消去调和项，g r e e n 函 数，j e n s e n 不等式等方法，先将偏微分方程化成常微分方程来讨论，再利用r i c c a t i 变换，和几个引理证明得到方程的多个振动定理 关键词：连续时滞；中立型；双曲型偏微分方程；二阶；高阶；振动定 理 i a b s t r a c t t h es t u d yo fo s c i l l a t o r yb e h a v i o ro fs o l u t i o n so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t h c o n t i n u o u sd i s t r i b u t e dd e l a y s ，b e s i d e si t st h e o r e t i c a li n t e r e s t ：i si m p o r t a n tf r o mt h ev i e w p o i n to fa p p l i c a t i o n s t h eo s c i l l a t i o no fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nh a sr e c e n t l yb e e ni n v e s t i g a t e db ym a n va u t h o r s t h em o s ts t u d i e sa r ea b o u tt h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n w i t hd i s c r e t ed e l a y s ，b u tt h ea t t e n t i o nt ot h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hc o n t i n u o u s d i s t r i b u t e dd e l a y si sm u c hl e s s i nt h i sp a p e r ，t h eo s c i l l a t i o no ft h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a - t i o nw i t hc o n t i n u o u sd i s t r i b u t e dd e l a y si ss t u d i e d s o m en e wo s c i l l a t i o nc r i t e r i aa r eg i v e n f o rac l a s so fn o n l i n e a rt w oo r d e rn e u t r a lp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hc o n t i n u o u sd i s - t r i b u t e dd e l a y sa n dac l a s so fn o n l i n e a rh i g h e ro r d e rn e u t r a lp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n w i t hc o n t i n u o u sd i s t r i b u t e dd e l a y s t h et w oc l a s s e so fe q u a t i o n sa r eb o t hw i t ht h es a m e t h r e ek i n d so fb o u n d a r yc o n d i t i o n s t h ew h o l ep a p e ri sd i v i d e di n t ot h r e es e c i o n s i ns e c t i o no n e ，c o r r e l a t i v ec o n c e p t sa b o u tt h e t h e o r yo ft h eo s c i l l a t i o no ft h ep a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，t h eh i s t o r yo ft h et h e o r ya n dt h er e s c e n ta d v a n c ei nt b es t u d ya r e i n t r o d u c e d ，a 8w e l la st h ew o r kw ed oo nt h ep r o b l e m s i ns e ( t i o nt r o w ed i s c u s st h eo s c i l l a t i o no fn o n l i n e a rt w oo r d e rn e u t r a lp a r t i a ld i f - f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hc o n t i n u o u sd i s t r i b u t e dd e l a y su n d e rt h et h r e ek i n d so fb o u n d a r y c o d i t i o n s b a s i n go nt h i s ，w ed i v i d et h es e c t i o ni n t ot h r e ep a r t s ，a n dp r o v er e s p e c t i v e l y s e v e r a lo s c i l l a t i o n so ft h ee q u a t i o nw i t hd i f f e r e n ti n i t i a lv a l u e s t h em a i nm e t h o d sh e r e u s e da r ed i r e c ti n t e 密a t i n g ，g r e e n sf o r m u l a j e n s e n si n e q u a l i t y w et r a n s f o r mt h ep a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o ni n t od i f f e r e n t i a le q u t i o nf i r s t l y ，t h e nu s et h er i c c a t it r a n s f o r ma n d s o m ei e m m a st og e tt h eo s c i l l a t i o n so ft h ee q u a t i o n s i ns e c t i o nt h r e ej w ed i s c u s st h eo s c i l l a t i o no fn o n l i n e a rh i g h e ro r d e rn e u t r a lp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hc o n t i n u o u sd i s t r i b u t e dd e l a y s h e r ew eg e n e r a l i z et h et w oo r d e r e q u a t i o ni ns e c t i o nt w ot oh i g h e ro r d e re q u a t i o n 。a st h es a m et h r e ek i n d so fb o u n d a r y i i c o d i t i o n s jw ed i v i d et h es e c t i o ni n t ot h r e ep a r t s ，a n dp r o v er e s p e c t i v e l ys e v e r a lo s c i l l a t i o n s o ft h ee q u a t i o nw i t hd i f f e r e n ti n i t i a lv a l u e s t h em a i nm e t h o d sh e r eu s e da r ed i r e c t i n t e g r a t i n g ，g r e e n 5f o r m u l a ，j e n s e n si n e q u a l i t y w et r a n s f o r mt h ep a r t i a td i f f e r e n t i a l e q u a t i o ni n t od i f f e r e n t i me q u t i o nf i r s t l y t h e nu s et h er i c c a t it r a n s f o r ma n ds o m el e m m a s t og e tt h eo s c i l l a t i o n so ft h ee q u a t i o n s k e yw o r d s ：c o n t i n u o u sd i s t r i b u t e dd e l a y ；n e u t r a l ；p a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ：t w oo r d e r ；h i g h e ro r d e r ；o s c i l l a t i o n i i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。除文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得海南师范大学或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中 作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：互延叁 日期：力了参，tf 8 学位论文著作权声明 本论文作者声明： 口本论文全部成果均为本人和指导教师合作研究取得，本人和指导教师都有权使用本 成果学术内容( 有第三方约定者除外) 。 巴本论文为指导教师指导下，本人独自完成。本人独自享有 学位论文作者签名：量悠叁 日期：趁童：! ：! 圣 指导教师签名： 学位论文版权使用授权书 作权。 本学位论文作者完全了解海南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：海南师 范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子文本，允许论文被查 阅和借阅。本人授权海南师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：至- 一兰垒兰垒 日 期：怂墨：搜 指导教师签名： 一前言 d l 一日i j昌 ( 一) 背景 随着现代科学技术的不断发展，人们发现在动力学、生物遗传工程、控制论和人 口动力学中都存在着滞后的现象，而这些现象所对应的数学模型中也含有时滞项，即 模型是带有泛函变元的偏微分方程，而振动理论作为偏泛函微分方程定性理论的重要 分支之一，对其进行研究具有极大的理论意义目前对于偏泛函微分方程的振动性研 究是在最近的3 0 年中发展起来的，对于带有连续分布偏差变元的双曲偏泛函微分方 程的振动性的研究，到目前为止还很少近年来对带有时滞的偏微分方程的振动性的 研究受到广泛的关注和重视 由于近代科学技术的发展，在许多科学领域的研究中，许多的自然现象都用偏微 分方程作为它们的数学模型，所以研究的这一类偏微分方程的振动性在现实的研究领 域有一定的意义 ( 二) 国内外研究现状分析 偏泛函微分方程的振动性和其它定性概念一样，是系统运动的又一特征，对它的 研究在最近3 0 年中有了迅速的发展含有时滞偏差变元的偏微分方程的振动性理论 自1 9 8 3 年才从实际问题中提出的新学科偏泛函微分方程振动理论是泛函微分方程 和偏微分方程振动理论的进一步发展，它极大地丰富了微分方程理论，更能精确地揭 示事情的本质，引起人们的广泛关注b y k o v 和k u l t a e v ，t r a m o v ，g e o r g i o u 和k r e i t h 分别提出并研究了特殊类型的偏泛函微分方程的振动性问题1 9 8 4 年，m i s h e v 和 b a i n o v 首先对一类带有时滞的中立型双曲方程的振动性进行了研究1 9 8 9 年，j t u r o 首先提出并研究了双曲泛函微分方程的边值问题1 9 9 0 年，y o s h i d a 推广了m i s h e v 和b a i n o v 的工作，考虑了中立型双曲系统的振动性，讨论了几种不同边值条件下解 振动的充分条件1 9 9 5 年，崔宝同，b s l a l l i ，俞元洪老师研究了双曲方程解在 海南师范大学硕士学位论文 三个边值条件下的被迫振动性 1 ，他们得到如果方程： 簧u c 州，= ，u c 叫，+ 喜。舡，u c z 册，一妾岛c 州m z ，乃c 圳+ 他 在满足一些条件下，又满足如下条件：存在函数f ( ) ，使得 ，= z m 缸l i m 即) = 。， 七 若可”( t ) + k p j ( t ) y ( a j ( t ) ) 0 无最终正解， j = l 1 9 9 6 年，崔宝同，俞元洪，林诗仲老师， 那么方程就振动 研究了具有时滞的双曲型方程 2 】 嘉“i 州) = m ) 让( 刈) + 妻口彤) u ( x , t - p ；) 一p ( 如m 叫) 一壹胁( 州) 出? 乃) z = 上 = 1 解的振动性，他们得到了方程在满足一些条件之后，若有 觊i i l f ( a 。神毗o ( s ) ( s 咱0 ( s ) ) 奶吾1e x p 一恕i n f ( 班。“螂( s ) ( s 刊s ) ) 】s d s 】 则方程是振动的1 9 9 8 年，王培光，傅希林，俞元洪老师，给出了具有连续分布滞量 的中立型双曲微分方程 3 嘉卅妻u ( x , t - t i ) 】刮必札( 删叫删出 一q ( x ) 乱kg ( t ，f ) ( f ) 在三类边值条件下解的振动性质，他们得到了如下定理：若 杀m 引) + 塾以卜训仆1 0 ( 卅础肌) + 小溉钏州) 型) 厶够跏 这两个不等式没有最终正解，则原方程是振动的 2 0 0 1 年，王培光老师给出了具有连续偏差变元的非线性双曲方程 4 ： 一前言 荔卅川心卜训叫必出- c ( 叫 f b 一q ( z ，) 札 z ，g ( t ，) 】d 盯( 荨) 当在满足一些条件的前提之下，若下面的不等式 知卅塾岫刊q 1 0 ( 础黼) + z 6 嗽删斌舭玳) 0 ( 凰) 矿( f ) ( r a 6 1 r ) 非减，方程( 蜀) 中的积分为s t i e l t j e s 积分 对于具有时滞的偏微分方程的振动性研究，不仅具有理论意义，而且在实践应用中 也有很大的价值近年来人们关注含时滞的偏微分方程解的性态研究，对于滞量为离 散型的偏微分方程的研究较多，而对于连续分布时滞的偏微分方程关注较少最近文 2 3 6 1 0 】研究了时滞双曲线微分方程解的振动性我们注意到s a k e r 在文( 6 中， 建立了一类时滞双曲线方程解的振动定理- 本章目的是推广文 6 的结果到具有连续 5 海南师范大学硕士学位论文 分布时滞的非线形中立型双曲方程，同时我们的结果也推广和改进了文【2 ，3 ，7 一l o 中的相关结果 定义2 1 ：方程( e i ) 满足某边界条件的解u ( z ，) ，如果对每一个正数p ，存在 点( , t o ，t o ) q 阻，+ 。) 使得u ( x o ，t o ) = 0 ：则方程的解u ( x ，t ) 称为在q r + = g 内 是振动的，否则称解u ( z ，t ) 在g 内是非振动的 定义2 2 ：令d o = ( ( 亡，s ) ，t s t o d = ( t ，s ) ，t s t o ) ，函数日c ( d ，r ) 称为属于础类，如果： ( ，) h ( t ，t ) = 0 t t o ；h ( t ，s ) 0 ，( t ，s ) d o ( ，) 日在风上关于第二个变量具有连续非正偏导数丝骂o ，且存在函数 他s ) 使一1 0 h ( f t ；s ) = ms ) 归丽 引理2 1 ：设一个函数乱( t ) c 2 冗，捌，若缸( 芒) 0 ，钆”( 亡) 0 ，t t o ，则缸乜) 0 ，t t o 见文献 6 ( 二) 在号+ r ( z ，t ) u ( z t ) = 0 边界条件下，方程的振动定理 本节考虑如下的边界条件： 望螋o n + r ( z ，芒) 乱( z t ) = o ，( z ，亡) a q 兄+ 其中n 是a q 上的单位外法向量，_ r ( z t ) ( a q r + ，r + ) 定理2 1 ：设( h 1 ) 一( 飓) 成立，若存在p c 1 ( i t o + 。c ) r + ) 使得 觊s 印肛洲s ) 一描糯一 ( b 1 ) ( 2 1 ) 其中圣，( t ) ：p ( 亡) 1 一e m , x i ( ) + r 后q ( t ，) 1 一量入e ( 9 ( ：) ) 出( ) ，则问题( e ，) ( b 1 ) 的 i = ii = 1 每一个解在g 内振动 证明：设u ( z ，t ) 是问题( e 1 ) ( b 1 ) 的非振动解不失一般性，可设u ( x ，t ) 0 ，( z ? t ) q t o ，+ ) ，t o 0 ， 6 三垦查垄堡坌变堕滞的二阶中立型双曲偏泛函微分方程的振动性 _ = 一二：二= 二：二：= ：= 由( 日3 ) 可知： j t l t o ，使得l ( t ) t o ，g ( t ，) t o ，( t t 1 ) 则得到：当( z ，o ) q t l ，+ 。c ) 时， 牡( z ，( ) ) 0 ，u ( z ，9 ( ，f ) ) 0 。 对于方程( e 1 ) ，关于z 在q 上积分，我们得到 萨4 2 u ( z ) + 入( ) u ( z ，a i ( t ) ) d x = a ( t ) fa u ( x ，t ) d z + 曼口。( 亡) ，u ( z ，凡( t ) ) d z q i = 1 q函一矗 、 “ 一p ( z ，t ) u ( z ，) d z 一，e g ( z ：t ，) ，( u ( 。g ( t ) ) ) 】d 盯( f ) 出 ( 2 2 ) 利用g r e e n 公式得： 舢州z = 掣d s = - f 巾讹挑。 ( 2 - 3 ) q a q a q ：让( z ? 乃( ) ) d z = 掣d s = - r ( z ? n ( t ) ) u ( z ，( t ) ) d s 。( 2 4 ) n a q a q 利用j e n s e n 不等式，及( 凰) ，可以得： z 6 c g c z ，t ，c 让c 童，9 c 芒? ， d 盯c ，d z z 6 ，u ( z ：g ( t j 荨) ) d z 她) 阿( l 可广 q f p ( x , t ) u ( x , t ) d x p ( t ) 卜咖z 其中删= f d x u ( z 、t ) a z 令u ( t ) = l 面广因此从( 2 2 ) 一( 2 6 ) ，我们有： ) d ( ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 篆陬卅e r r u ( 础) ) + 即) ) + 厂6 吲“) 陬必删州) 。p 7 ) 令z ( ) = ( ) + 九( 古) u ( 吼( t ) ) ，可知z ( t ) 2 扩( z ) 0 ，从而有 z ”( 亡) + p ( 亡) u ( ) 十 k q ( t ，f ) u o ( 亡，f ) ) d 口( 亭) o( 2 8 ) 7 海南师范大学硕士学位论文 显然有z t l ( t ) s0 ，而= ( t ) 0 ：所以由引理2 1 可得：z 币) 0 ，那么可以得到： mm = ( ) 一冲) 矿( 吼( 亡) ) 1 一冲) 】z i t ) ( 2 9 ) i = li = 1 代入( 2 - 8 ) 有t m r b m 2 ”( t ) + p ( t ) 1 一入删：( 亡) + k q ( t ，帅一九( 夕( t 刚打( 洲9 ( t ，凸) ) o z - - 1 。a i = 1 可得： z “( t ) + 圣1 ( 亡) z ( 夕( t ，n ) ) s0 ：( 2 1 0 ) 其中垂1 ( ) = p ( t ) 1 一入i ( t ) 】+ ck q ( t ，) 1 一( 9 ( t ) ) 打( ) 令叫( ) = p ( ) 焘，则有 叫币币) 耦俐耦刊坐群( 2 - 1 1 ) 利用：”( 亡) 0 g ( t ，o ) t ，有z i ( 亡) s ：7 ( 夕( t ，o ) ) ，所以 因此 w 7 ( ) 一 从而 叫。) s 错嘶h 州一智州( 2 - 1 2 ) 山( 亡) 一揣 2 一p ( t ) 圣- ( 亡) 一五万肇笔等岛】( 2 - 1 3 ) 叫7 ( ) 一p ( t ) 西。( t ) 一黠 ( 2 - 1 4 ) 对于( 2 1 4 ) ，从t l 到t 积分，得到： 叫( t ) 叫( 亡，) - j i p ( s ) 西，( s ) 一躺 d s ( 2 - 1 5 ) 当t 一+ 时，有已知( 2 - 1 5 ) 右边极限为一。o ，而2 生叫( t ) 0 这显然矛盾 假设不成立因此问题( e - ) ( b z ) 的每一个解都振动 8 二 具有连续分布时滞的二阶中立型双曲偏泛函微分方程的振动性 定理2 2 ：设( 日1 ) 一( 日5 ) 成立，若存在p c 1 ( i t o ，+ 。) ，r + ) ，使得 恕s u p 击石( m 眦) - 描 d s 喵 ( 2 - 1 6 ) 恕s u p 壶厶( 卜s ) 礼【p ( s ) 圣- ( s ) 一裂崭 d s = ， 1 6 ) 其中1 ( t ) 与定理2 1 中定义相同，则问题( 历) ( b 。) 的每一个解在g 内振动 证明：设u ( x ，t ) 是问题( e 1 ) ( b 1 ) 的非振动解，不失一般性，可设u ( x ，t ) 0 ，( z ，t ) q f t o ，+ 。) ，t o 0 ， 。 由( h 3 ) 可知： 3 t l t o ，使得丁s ( t ) t o ，g ( t ，) t o ，( t t 1 ) 则可得到；当( z ，t ) q t t ，+ ) 时， 让( 。，乃( ) ) 0 ，u ( z j9 ( ? ) ) 0 通过定理2 1 ，我们有： 叫( ) 一c d ( t ) 西- ( 亡) 一躺 ， 不等式两边同时乘以( t s ) n ，然后从从t l 到t 积分得： ( 一s ) n p ( s ) 西- ( 5 ) 一端】d ss 一上。( 亡一s ) n 叫( s ) d s = 一( t s ) n 伽( s ) 暇一n ( t s ) n 一1 w ( s ) d s ( 2 1 7 ) 则 熙唧击r ( h h p ( s m ) 一茹洲 ( 2 1 8 ) 由( 2 1 8 ) 与( 2 1 6 ) 矛盾，定理2 2 证毕 一 定理2 3 ：设( 日1 ) 一( 风) 成立，若存在p c 1 ( i t o ，+ ) ，风) ，使得 熙呻去肛他咖( s ) 叫一等冲一( 2 - 1 9 ) 其中中1 ( t ) 与定理2 1 中定义相同，l ( t ，s ) = ( s ) 一 丽镏，则问题( e 。) ( b 1 ) 的每一个解在g 内振动 证明：设u ( x ，t ) 是问题( 丘) ( b 1 ) 的非振动解，不失一般性，可设u ( x ，t ) o ，( z ，t ) q i t o ，+ 。) ，t o 0 9 海南师范大学硕士学位论文 由( 日3 ) 可知： 3 t l t o ，使得凡( 亡) t o ，g ( t ，) t o ( t t 1 ) 则得到：当( z ，t ) q t l ，+ 。) 时，u ( z ，( 亡) ) 0 u ( x ，g ( t ，) ) 0 在定理2 1 的证明过程中，我们已经得到： 叫币) 错坤h 喇一帮 由此可得： r 础s ) 小) 州州s 即，s ) q ( s ) 吣) 扯r 即j s ) 以洲s z 。即，s ) 叫，( s ) d s = 上。啪m s 川d s - r 日缈( s ，蝴s ) d s + h 圳+ z 。掣州s = n ( t ，s ) q ( s ) 叫( s ) 一日( z ，s ) p ( s ，a ) w 2 ( s ) 一h ( t s ) 、而f ，( s ) 】d s + 日( 芒? t 1 ) 叫( 亡1 ) 其中a ( 亡) = 错，9 ( t 口) = 鼍铲那么有： h ( t ，s ) p ( s ) 西l ( s ) d s sh ( t ，1 ) 叫( t 1 ) 一( 、互i 虿i 瓦丽叫( s ) + 筠) 2 d s + r 黜缸( 2 - 2 0 ， 其中l ( t ：s ) = ( t ，s ) 一、日( ，s ) 错，由此得到： rm m 洲州s r 黜妪聃z m ) ( 2 - 2 1 ) 令k ( t ) = h ( t s ) j d ( s ) 西l ( s ) 一面l 2 丽c t , s ) ，则有： 熙呻志k ( s ) 蜒熙唧粼州纠( 2 - 2 2 ) 那么 志k ( s ) 拈丽l 渤 4 t lk ( s ) 蚺t ) k ( s ) 删冬志c r l k ( s ) d s + w m ) j ( 2 2 3 ) 1 0 二具有连续分布时滞的二阶中立型双曲偏泛函微分方程的振动性 这样我们就得剑： 拽s u p 志石k ( s ) 蜒熙s u p h ( t 1 , t o ) e 1 k 蚺州】，( 2 - 2 4 ) 这与已知矛盾，即定理得证 定理2 4 可由定理2 3 直接得到 定理2 4 ：设( 日1 ) 一( 日5 ) 成立，若存在p c 1 ( i t o ，+ 。) ，r + ) ，使得 熙s u p 赢南厶日( 如) p ( s ) 圣1 ( s ) d s = 。o ， ( 2 2 5 ) 怒跚赢f 喘半酞。c ，。( 2 - 2 6 ， 其中西。( t ) 与定理2 1 中定义相同，l ( t s ) = h ( t ，s ) 一 丽德，则问题( e 1 ) ( b 。) 的每一个解在g 内振动 定理2 5 ：设( 且) 一( 风) 成立，若存在函数p ( t ) c 1 ( 【t o ，+ ) ，r + ) ，使得： 啦i n f l i r ai n f 黜】鲰( 2 - 2 7 ) 恶s u p 志r 矧如 0 ，( z ，t ) q t o ，+ ) ，t o t o 0 由( 凰) 可知：j i t o ，使得乃( ) t o ，夕( ) 2t o ( t 1 ) ， 海南师范大学硕士学位论文 则得到：当( z ，t ) q t l ，+ 。) 时，u ( x ，n ( ) ) 0 ，u ( x ，g ( t ，) ) 0 由定理2 3 的( 2 2 0 ) 我们可得到：对于t t ，有 h ( t ，t )肛s 溉洲s ) - 黜蚓t ) 由( 2 3 0 ) 可知： 从而有 a ( t ) s ms u p c 一 a ( t ) w ( t ) 一l i r ai n f r 一 由上得到： h ( t ，t ) h ( t t ) 在这里我们令 y ( t ) =日博死) 由( i i ) 可得： 1 i mi n f f t 一 h ( t ，t o ) h ( t ，t ) ，c 一 上( 侮丽郇) + 墼1 2 d s 2 、卢( s ，a ) 。 r 陬s m s 胁灿一 2 ( ，s ) 4 3 ( s ? a ) 】d s ( 2 3 1 ) f ( 隔) + 揣心s 。( 2 - 。3 2 ) z t ( 丽吣) + 揣2x a 心s 。 ( 以雨厕彬( s ) + 兰凳) 2 如 。 ， s ) 即s ) 即以s ) d s ) = 即啪( s 咖2 ( s ) 蚺 即j i mi n f y ( t ) 十2 j ( 纠 。， 1 2 ( 2 3 3 ) 二具有连续分布时滞的二阶中立型双曲偏泛函微分方程的振动性 l 为一常数 故j 乃，当t 冗时， ，m 为任意实数 秒( t ) = h ( t t o ) ( 州蛇孚而 ( 眯，口腓燃】 一坐s ) 丘骶a ) w 2 ( 荨) 蜓p 。 一i 玎i i 丽一i 如十 m 一 一f h ( t ，t o )肛掣，如 h ( t ，蜀) ：罕里坠朵罕f：m(nto)h(t t = 一，一f = m l ，1， z，o ) 一z 。 ：。r1 。 c o h ( t , s ) lz ip ( ，口) 伽2 ( f ) 蜓幽 考虑 ) 是1c t o ，。) ，些恐2 。，使得甚恐b ( ) + u ( ) 】= 怒i n f y ( t ) + 口( t ) j n 乱一。 一 t 一 。 。o 而l i r a 可( ) = + 。，所以l i r au ( ) = 一o c 凡一n 一 则有 因而 u 2 ( h ) = 日2 ( 矗，蜀) 1 日( ，蜀) = 秒( ) 撕丽l ( r n ，s ) 叫( s ) d s 2 i f h ( ，s ) p ( s ，口) 伽z ( s ) d s j t o 日( ：而)旺糕抵 v 2 0 - 几) 0 ，则 移2 ( 丁n ) 夕( ) 日( ，而) 11 = 一一 c 日( ，t o ) 堕型幽 a ( s ，a ) i 黼d s 1 3 日( ，瓦) 巴鬻a s i 黼a s ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 1 一e 埘| 躲 t ，0 厂，旧埘一 h 一 日一日 海南师范大学硕士学位论文 当n _ 时，由( 2 2 8 ) 可得( 2 3 5 ) 右边的极限小于无穷大，而左边l i m 鲁碧= n my 、，n ， 这显然矛盾，所以定理得证 再设岳w 2 ( s ) p ( s ，a ) d s 0 z q 定理2 1 1 设( 日1 ) 一( 风) 成立，夕( 芒，) 凡( 亡) t ，s = 1 ，2 ，矾若存在p c 1 ( t o ，+ 。) ，r + ) ，使得 怒唧伽恻s ) 熬一( 2 - 3 6 ) 其中西2 ( ) = ( 1 一入i ( ) ) 【q l o ( t ) + o t i a s ( 亡) + p ( 亡) + ek q ( t ，专) 打( ) 】， 则问题( e 1 ) ( b 3 ) 的每一个解在g 内振动 证明：设设u ( z ，) 是问题( e 1 ) ( 岛) 的非振动解不失一般性，可设u ( x ，亡) 0 ，( z t ) q t o ，+ 。) ，t o2 o ， 由( 凰) 可知： 3 t i t , o ，使得几( 亡) t o ，g ( t ? ) t o ，( t t 1 ) ， 则得到：当( z ，t ) q 碡1 ，+ 。) 时，u ( x ，( 亡) ) 0 ，u ( x ，g ( t ，) ) 0 对于方程( 马) ，两边同乘以妒( z ) ，然后关于z 在q 上积分，我们得到 ( z ，芒) 妒( z ) 利用g r e e n 公式得： 入i ( t ) u ( z ，c r i ( t ) ) p ( x ) d x = a ( t ) n 。( t ) u ( z ，丁j ( ) ) 妒( z ) d z 一 1 5 尘x u ( x ，t ) 妒( z ) d z p ( x ，t ) 让( z ，t ) ( z ) d z ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) 仇汹仉脚 + + u 护面 如 亭 打z 汐川f b9 z 心，j、l ， 0z ，lg 6 z q 一 + 掣丝饥 鲫 = 够 、l ， “ 一 o 0 ，由引理2 1 可得：z m ) 0 那么有： 即) = ：( t ) 一冲) y ( 吼( t ) ) z ( 亡) 一掷) z ( 吼( t ) ) ( 1 一a t ( t ) ) ，( 2 4 5 ) 1 6 二具有连续分布时滞的二阶中立型双曲偏泛函微分方程的振动性 代入( 2 4 4 ) 产生： 仉 m 2 ”( 亡) + p ( t 1 一九z ( t + a i a ( t ) 1 一入删：( 亡) i=i扛=1 + f q 1 口s ；， s ；l 广扫 + 上旧o ( t ) 1 一入i ( l ( t 眦( 亿( t ) ) i = i ，叽一九( m 刚如( ) ：( 9 ( t ，) ) 墨0 利用2 0 ) 0 ，g ( t ? f ) 兀( f ) t ，有z ( g ( t ，) ) z ( ( ) ) 2 ( t ) 故 ( 2 4 6 ) 2 ( t ) + 西2 ) z ( 夕( 亡o ) ) 0 ，( 2 4 7 ) 其中垂2 ( ) = q 1 9 ( 芒) 1 一九( 亡) 】+ q 1 a a ( ) f 1 一九( ( ) ) 】+ 尸( 芒) 1 一凡( t ) 】+ e k q ( t ) 【1 一九( 夕( t ，刚d 盯( ) 令叫( 亡) = p ( ) 赤，则有： 伽m m ) 豢b 俐稿刊业掣( 2 - 4 s ) 因为z ”( t ) o ，g ( t ，n ) t ：得到；2 ( t ) 2 b ( t ，口) ) 从而有： 叫t ) 错此h 酬一帮护( 2 - 4 9 ) 证明的其余部分同定理2 1 的证明相同 定理2 1 2 设( 研) 一( 风) 成立，g ( t ?