（基础数学专业论文）三维lorentz空间中的脐点指标和定理.pdf

内容提要 本文通过对三维l o r e n t z 空间嘲、研、狂 中的全脐曲面进行分类，再 将豫i 、s 、3 嵌入到它们的共形紧致化空间q 3 进一步对q 3 中的全脐 曲面进行分类，并研究这些曲面在嵌入映射下的对应关系，最后对q 3 中的孤立 脐点的性质进行研究，得出口3 中可定向正定闭曲面的脐点指标和定理全文共 分五节 第一节为引言，第二节介绍r ；、钾、琏的共形群，第三节介绍嚼、 s 、砘3 中的全脐曲面，第四节介绍驴中的全脐曲面以及与峭、研、h 3 中的全脐曲面的对应关系，第五节介绍q 3 中的脐点指标 本文通过在q 3 上做几何，找出其上的共形不变量以及不变性质，从而得到 础、s 、嘲上的某些共形不变性质，而且通过对常曲率分别为0 ，1 ，- 1 的三维l o r e n i z 空间形式r ；、研、3 的共形不变量和不变性质的研究，进 而对对了解一般的三维常曲率l o r e n t z 空间中的某些性质 关键词：l o r e n t z 空间；全脐曲面；共形群； 脐点指标 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rt h ec l a s s i f i c a t i o no ft o t a l l yu m b i l i cs u r f a c e si nt h r e e d i m e n s i o n a l l o r e n t zs p a c e sr 乱s ， i so b t a i n e df r s t ，n e x tb yt h em e t h o do fi n b e d d i n g 峭，研，嘲i n t ot h e i rc o m m o nc o m f o r m a lc o m p a c t i f i c a t i o nq 3 ，t h ec l a s s i f i c a t i o n o ft o t a l l yu m b i l i cs u r f a c e si nq 3i so b t a i n e da n dt h er e l a t i o no ft h o s et o t a l l y u m b i l i cs u r f a c e su n d e rt h ei n b e di ss t u d i e d a tl a s tb ys t u d y i n gt h ep r o p e r t y o fi s o l a t e du m b i l i cp o i n ti nq 3 ，t h eu m b i l i cp o i n t si n d e xs u mt h e o r yo fp o s i t i v e d e f i n i t eo r i e n t e dc l o s e ds u r f a c e si nq 3i sd i s c o v e r e d t h i sp a p e ri n c l u d e sf i v e s e c t i o n s t h ef i r s ts e c t i o ni si n t r o d u c t i o n t h ec o n f o r m a lg r o u p sa c to n 嘲，s ，a n d 蜡a r ei n t r o d u c e di nt h es e c o n ds e c t i o n t h et o t a l l yu m b i l i cs u r f a c e so f 蜡，钾， a n d 皿 a r ec l a s s i f i e di nt h et h i r ds e c t i o n t h et o t a l l yu m b i l i cs u r f a c e so fq 3a c e c l a s s i f i e d ，a n dt h er e l a t i o nb e t w e e nt o t a l l yu m b i l i cs u r f a c e si nq 3a n dt h o s ei n r 3 ，研，a n d 啦i sd i s c o v e r e di nt h ef o r t hs e c t i o n t h ei n d e xo fu m b i l i cp o i n ti n q 3i ss t u d i e di nt h el a s ts e c t i o n t h i sp a p e rs h o w ss e r v e r a li n v a r i a n tp r o p e r t i e so fr i ，s 3 ，a n d c a nb ed e - r i v e df r o mt h ec o n f o r m a lg e o m e t r yo fq 3 ，e s p e c a l l yf r o mt h ei n v a r i a n tp r o p e r t yo f 驴m o r e o v e r ，p r o p e r t i e so f3 - d i m e n s i o n a lg e n e r a ll o r e n t zs p a c e so fc o n s t a n ts e - c i o n a lc u r v a t u r ec a nb ed e r i v e df r o mt h ei n v a c i a n tp r o p e r t yo ft h e3 - d i m e n s i o n a l l o r e n t zs p a c ef o r m sr ，s ，a n d w i t hc o n s t a n ts e e i o n a lc u r v a t u r eo ，1 ，1r e - s p e c t i v e l y k e yw o r d s ：l o r e n t zs p a c e ；t o t a l l yu m b i l i cs u r f a c e ；c o n f o r m a ig r o u p ； u m b i l i cp i o n ti n d e x 1 引言 微分几何研究初期是以微积分为出发点。微积分在几何上的应用演变成了 曲线论和曲面论微分几何的始祖是c f g u a s s ( 1 7 7 7 - 1 8 5 5 ) ，他的曲面论建立 了曲面第一基本形式所奠定的几何，并把欧氏几何推广到了曲面上”弯曲”的 几何 b 1 l i e m a n n ( 1 8 2 6 - 1 8 6 6 ) 在1 8 5 4 年的演讲中把这个理论推广到n 维空 间，从而诞生了黎曼几何文【1 介绍了曲线论和曲面论，文【2 】【3 】主要介绍黎 曼几何的基础知识 对空问形式上的曲面论研究。尤其是对某一特殊曲面的构造和分类是微分 几何中的个重要课题。我们通常研究的曲面的度量是正定的，而在物理上通常 需要对具有一个负指标的l o r e n t z 度量进行研究例如爱因斯坦的广义相对论 ( 参见文【4 】) ，它将引力现象解释为黎曼空间的曲率性质，这个空间就是l o r e n t z 空间，对这类空间已有不少人进行了研究，其成果有很多实际应用对于高维的 情形，所研究出的性质一般具有一定的共性，而在低维空间中我们可以给出具体 的表达式，如三维情形 目前对m i n k o w s k i 空间r i 中曲率( 如截面曲率，平均曲率等) 为常数的曲 面巳有广泛的研究1 9 8 5 年。m a m a g i d 在文【5 】中介绍了具有给定平均曲 率的类时曲面的公式表示1 9 9 0 年，k a k u t a g a w a 和s n i s h i k a w a 将具有给 定平均曲率的类空曲面用公式表示出来l b 】在文 7 】【8 】中，j i n o g u c h i 用有限型 调和映射理论和四元代数对r i 中具有常平均曲率和高斯曲率的类空，类时曲面 进行研究。改进了基本方程和表示公式文 9 1 1 0 l 中，0 k o b a y a s h i 和i v a nd e w o e s t y a e 分别对其中的极大与极小曲面进行研究，相应的类空曲面的b e r n s t e i n 问题也得到解决 1 1 1 1 1 2 1 ，并将它与类时曲面的情形的比较【1 3 】【有关嘲中的类 空、类时曲面的性质在文【1 5 1 6 1 7 中也有涉及。而且在文【1 8 】中，j h a n o 和k n o m i z u 对m i n k o w s k i 还对空间r 2 中具有常平均曲率的旋转曲面进行了分 类，文f 1 9 2 0 2 1 】中，作者主要对r 3 中的直纹面进行了相关的研究 1 对于四维l o r e n t z 空间r 中的单位球面研也有不少深入的研究 1 9 8 6 年，h m o r 2 2 j 构造了常平均曲率h 1 的球面旋转、双曲旋转、抛物旋转的类 空曲面 2 0 0 0 年，h l l i u 和g l l i u 在文【2 3 】中对s 中的非零常平均曲率 的类时、类空双曲旋转面进行分类，文【2 4 】中，h l l i u 还对研中的极大与极 小曲面及其整体稳定性进行研究有关研中的常平均曲率的完备类空超曲面的 全脐性的研究可以参见文【2 5 1 1 2 6 此外，m d a j c z e r 和k n o m i z u 还通过对 、蹬中的平坦曲面的研究，进一步地研究了欧氏空间驴和l o r e n t z 空闫驴 到+ 1 维空问形式护+ 1 的浸入 此外，文【2 8 】中b p a l m e r 介绍了伪黎曼空间形式中的具有常平均曲率且完 备的曲面 1 9 9 6 年，l j a l i a s 和b 。p a l m e r 对浸入在3 维m i n k o w s l d 空间的共 形紧致化空间q 3 中的类空曲面进行研究，定义了一个共形的高斯映射，它是定 向球面共形不变的双参数族，再用共形高斯映射的面积定义w i l l m o r e 泛函，由 此得到抛物w i l l m o r e 曲面的b e r n s t e i n 型定理，最后还研究了对w i l l m o r e 泛函 而亩的极大曲面的稳定性口” 本文主要研究三维l o r e n t z 空间嘲、研、 的紧致化空间驴中的曲 面的脐性，并对全脐曲面进行分类，说明这类曲面的共形不变性。接着研究了曲 面上的脐点指标的性质。 2 2r 乳观哦的共形群 2 1噼的共形群 在赋上定义l o r e n l z 内积h = 如下， = 一x l y l + t 2 y 2 + z 3 蜘，v 。= ( 。l ，x 2 ，9 3 ) ，可= ( y l ，y 2 ，y 3 ) 嘲， 这样h 可以看成啦上的一个非退化、对称的二阶协变张量，称之为嘲上的 l o r e n t z 度量，现记r = ( 嚼， ) ，这样r 成为一个l o r e n l z 空间且我们 可以得到这样的一个结论： 命题2 1 1 a o r 3 是一个截面盐率为0 的常曲率l o r e n t z 空间形式 现在定义獬的共形群： 定义2 1 1 设妒：獬一舛是微分同胚，矿 是由诱导的度量，则 称集合 ：r 3 一r 是微分同胚i 矿 = ，其中a 是r 上的非零光滑 函数) 为共形群。记为c t n ) ，g ( 硝) 中的每个元素称为r i 上的共形变换 贼上的共形变换实际上是保角变换。它不一定是线性变换为了更好地研 究r 的共形群，我们引进一个三维l o r e n t z 空间q 3 在瞅上定义内积 l ，为， l = - x l y l + x 2 y 2 + z 3 掣a + x 4 y 4 一x s y s v 茁= ( x l ，x 2 ，x 3 ，z 4 ，。5 ) ，y = ( y l ，y 2 ，y 3 ，y 4 ，可5 ) r 5 记r i = ( r 5 ， 1 ) 在不 引起混淆时，把 1 记为 定义驴= i z l z r 2 o ) ， = o ) ，若z = a w ， 毗 o ) ，则 吲= 岫】 记四= z r i o ) i = o ) v 。四， = 一z ；+ ：；+ 考+ 看一， 设露+ 蠢+ 霜= 。 + 露= r 2 0 ，则击( z ；+ 毋+ 商) = 击( z + 。；) = 1 ，故在 3 中可以取到两个代表元，使得霹+ = ；+ = = + = ；= 1 ，且这两个代表元 只差一个符号，即为士( z 1 ，z 2 ，z 3 ，z 4 ，。5 ) 因此我们可得下面结论： 命题2 1 2 口8 1q 3 兰 2 1 z ；+ 露+ 毋= 2 + 罐= 1 - 1 皇s 2 s 1 士1 ) ， 从而q 3 是紧致的 因为7 r ：c 詈0 1 0 一q 3 是一个向量丛，7 r _ 1 ( 口) = a qi 豫) ，故必存在 局部光滑截面，即v p 0 3 ，存在p 的一个领域u ，以及定义在u 上的光滑映射 z ：u 一研u o ) ，使得7 roz = i d ：u u ， 命题2 1 3 【2 8 】在q 3 上存在一个整体定义的共形度量 文【2 8 中未对该命题进行证明，现证明如下 证明t v p q 3 ，存在上述的领域u 以及局部光滑截面z ，则 p o a 是。3 的族开覆盖，由于q 3 是紧致的，故存在有限个巩，如，以，使得u 矾= q 3 现在以上定义度量g i = ，当阢n 0 时，在u , n u j 上有z i = a 句， 所以d z i ；d a - + k d z ，从而有 g l = = = a 2 = a 2 卯 设 ) 是从属于 仉) 的单位分解令 h = ，( 2 1 1 ) i 其中 f ，l ( p ) ，p 以 = 【0 ，p 隹矾 式( 2 1 + 1 ) 的右端是有限项和，所以该式的定义是有意义的，它是定义在0 3 上的 二次微分式对任一局部坐标域u 以及定义在u 上的光滑截面z ，当u n 以d 时，设 = k ，则有 n 咖= = ( a 。) ， = l 其中当un 矾= 0 时，k = 0 所以h 是定义在0 3 上的一个共形度量 4 证毕 由命题2 1 2 ，我们知道q 3 型s 2 s 1 土1 ) ，故存在局部光滑截面。：u 一 四u o ) ，使得z + z 2 = + 霹+ 雹= 1 ，从而 = 一( d 2 + d z 2 ) + ( d 霹+ d 瑶+ d 2 i ) 设g l ，9 2 分别为s 1 ，舻上的黎曼度量，则h = 一g l 9 2 ，所以 h 是0 3 上负指标为1 的度量，简称为( 一，+ + ) 型的 记q 3 上的共形变换群 ：q 3 一q 3 是微分同胚i 矿危= 从，其中) 、是q 3 上非零光滑函数 为c ( q 3 ) 对q 3 的共形群进行研究可得下面定理 定理2 。1 1 【3 l 】驴上的共形群g ( q 3 ) 皇0 ( 5 ，2 ) 士1 ) 掣 t d ( 5 ，2 ) 士l l 阔 q 3 一 t z 】q 3 ) 定理2 1 。l 的证明由下面的交换图即得，详细的证明参见文【3 1 】 。三t z i 。lj 。 吲 t 司 现设c = i ( 施，为，z 3 ，施，z 5 ) l i 硇= 岛 cq 3 ，我们有下面的命题t 命题2 1 4 2 9 l 皿 兰q 3 c ，其中口( ) = f ( u ，一；( 1 一 ) ，；( 1 + ) ) 1 ，t = = ( 。l ，x 2 ，x 3 ) r i 文【2 9 】中未对该命题进行证明，现证明如下 证明t 只需证口是1 一i 对应即可设口( u 1 ) = 盯( t | 2 ) ，则 u 1 = a u 2 一；” ) = 一；( 1 一 ) ， ；( 1 + ) = ；( + ) ， 可得a = 1 ，即t l = 乱2 所以是口单的又对v 【( z l ，z 2 ，z 3 ，z 3 ，z 4 ，z s ) 】q 3 c 磊( 盈，砘，魂) r i ，且有 盯磊 i ( z - ，恐，施) ) = 磊1 ( z l , z 2 , z 3 , z 4 , z s ) = 【( 。，句，施，施，施) 】 所以仃是满的证毕 对于v 庐c ( r d ，由于r 2 垒q 3 c ，故必存在一个耳c ( q 3 ) ，使得下图 交换。 r i 0 3 一l上t r 3 三q 3 这样的必是q 3 上一个保持g 不动的变换，称之为币的线性化，从而有， 命题2 1 5g ( 嘲) 鲁 t 0 ( 5 ，2 ) 9 = i i t ( c ) = e ) 2 2 研，；的共形群 四维l o r e n t z 空间r = ( r 4 ， 2 ) 对v z = l ，z 2 ，z 3 ，乳) ，= l ，啦，蜘，玑) 骢4 2 = - x l y l 十茁2 可2 + 茁3 y 3 + 2 4 弧， 在不引起混淆时。记 2 为 ，从而嘲就是赋于了个符号差为2 的平坦度 量的甜空间现在我们妥考虑的是嘲的子空间霹= 扣赡i = 1 ) 从 哦的度量 可以诱导出研上的一个诱导度量g l = r ，其中t ：研一r i 是包含映射这个诱导度量具有下面的性质 命题2 2 1 田上的度量9 l 必是( 一，+ ，+ ) 型的，即m 的符号差为1 证明vp s f ，x 耳簧，存在研上的曲线7 ( t ) ，使得 7 ( 0 ) = p t1 + ( 0 ) ；x 由 = 1 = = = = 0 ，即x p 上= t 邵r l = o ， 所以耳研c p l 因此r 4 必有直和分解：r = r p o p 上由于 = 1 ，可 知 在r p 上正定，故在p 1 上负指标为1 ，从而9 l 的负指标为1 证毕 所以砰就是个三维l o r e n t z 空间，且研是截面曲率为1 的常曲率空间 形式 6 现设c = 吲q 3 i z 5 = o ) c q 3 ，则有t 命题2 2 2 例钟垦q 3 ，口( = ，1 ) 】，其中。研 文【2 9 中来对该命题进行证明。现证明如下 证明：只得证口是1 一l 对应显然口是单的又对v z l ，z 2 ，z 3 ，瓠，弼) 1 q 3 ，去( z 1 ，钝，z t ) s ，且 一( 去( 钆勿，幻，施) ) = 【( 嚣，罢，薏，磊z 4 ，1 ) = 【( 施，z 2 ，z 3 ，z 4 ，铂) 】 所以f 是满的证毕 若记s 的共形群 咖：s + s 是微分同胚l 矿g l = m ， 是s i 上非零 光滑函数) 为g ( 研) ，与命题2 1 5 类似地，我们可以得到这样一个结论： 命题2 2 3 g ( 母) 型口0 ( 5 ，2 ) 士l i t c c ) = c 现在要来研究h 3 的共形群 设r 2 = ( r 4 ， 3 ) ，对v = ( 。1 x 2 ，z 3 ，飘) ，v y = ( y l ，y 2 ，y 3 ，y 4 ) r 4 3 = 一；掣：- 1 - 3 ：22 + 司谚一x 2 2 在不引起混淆时，记 3 为 ，这样瑙上就有一个符号差为0 的平坦度 量设碹= z r ：i = - 1 是r ：的个子空间，由r 4 上的度量同样 可诱导出h 2 上的诱导度量9 2 = r ， ：邱；一嘲是包含映射因此 命题2 2 4 卯是鄹 上( - ，+ ，+ ) 型的度量 证明t v p 鸳，x t r j i t i ，存在l 璋上曲线7 ( t ) ，使得1 ( o ) = p ，y ( o ) = x 由 = 一1 = = = = 0 ，即x p 上，所以耳 cp 上，因此 哦= 邱$ 矿因为 一一l ，故 在r p 上是负定的由于嘲上 的负指标为2 ，所以出的负指标为1 证毕 这皿3 说明是个三维l o r e n t z 空间，且h 3 是截面曲率为一1 的常曲率空 间删 7 设e ”= t 【司q 3 l 施= 0 ) ，罗似有 命题2 2 5 嘲掰驴e ”，口( ) = ( 。i ，如，3 ，1 ，。4 ) 7 ，其中z = 扛t ，幻，如，嗣) 文【2 9 】中未对该命题进行证明，现证明如下 证明，只蒋证是1 - 1 对应的口”是单的，这是显然的又对v l ( 动，忽，2 ：3 ，缸，z s ) 】 q 3 g ”，吉( z l ，施，z 3 ，如) 琏，且 一( 去( 钆施，铂，施) ) = 【( 卺，卺，石z 3 ，1 ，薏) 】= 【，砘，施，施，岛) 】， 所以f “是满的证毕 记嘲的共形群( 妒：噬哦是微分同胚l q * 9 2 = a 卯，a 是掰上非零光 滑函数) 为e ( 嘲) ，则我们也有； 命题2 2 6d ( h 3 ) 垒p o ( 5 ，2 ) ：i ：i i t ( c “) = c “ 在本节中我们将q 3 看成是r ；、s 、珏3 的紧致化空间，这相当于在r 3 、 s 、吼3 的无穷远处分别加上光锥c 、g 、。，从而使它们成为紧致空间 即础u g 型q 3 ，研u e g q 3 ，噬u c 掣q 3 ，再通过q 3 上的共形群找到r 3 、 s 、嘲上的共形群 8 3嘲，研，蛐 中的全脐曲面 3 1 r 中的全脐曲面 我们先来看看噼中的曲面 设z ：m + r 是r 中的一个浸入曲面，在m 上可得一诱导度量，用局 部坐标表示为t i = 一d z l o d x l 十d x 2 0 d x 2 + d x 3 0 d x s 记为，= 本文主要研究础中非退化的曲面。在下文中总假设，是 非退化的 现在耳m ，p m 中取两线性无关的向量 e l ，e 2 ，使得 = 勋，1 j = 1 ，2 ，则矩阵( 驹) 是非退化的，这样矗( 耳m ) 就是畸中由 e z ( 。) ，包( z ) ) 张成的子空间设v = ( 2 7 , ( 耳m ) ) 1 ，则r = 。( 0 m ) o v ，故必存在v ，使 得 = 0 , i = 1 ，2 ，且 = = ( 士1 ) ( 当( 鸟“) 正定时，e = 一1 ，当 ( ) 不定时，e = 1 ) 这样 e l ( z ) ，e 2 ( z ) ，) 就成为m 上的一个活动标架了 定义，l = 一 为曲面x ：m _ + 酞3 的第二基本形式，则曲 面的第一基本形式，和第二基本形式，显然是群0 ( 3 ，1 ) 作用下的不变量实 际上设另有茁：m - - - 4r i 是嘲中浸入曲面，且有量= oz = a m + a ，其中 a 0 ( 3 ，1 ) ，n r 3 ( 见下图) 三醒 f c = a 。c + a i 端 故d e = a d x ，= 耻，则有 如= = = = l 如= 一 = 一 = 一 = ，l 9 要了解曲面的性质通常要寻找它的结构方程，从结构方程我们可以发现一 些曲面的特殊性质设1 1 ( e ；，勺) = ，q = g i k h k j ，经过计算我们可得曲面的基 本方程为： fe j e 。( z ) = r o e k ( z ) + ，f ， 【e j ( ) = 一 ；( z ) 其中r j 是由度量j 所诱导的联络的系数对上式进行微分后可得： f 兄0 = e 9 m ( “ m 一 址 ”v ) ， 【6 0 ，k 一 ，k ，j = 0 此即为曲面的结构方程 ( 塞见文【1 5 】) 接着来看一下全脐曲面，全脐曲面是一类较特殊的曲面，我们依照黎曼空 间中的定义 定义3 1 1 设j 、，为曲面m 的第一基本形式和第二基本形式，p m ， 若j p ) = j ，入r ，则称p 为m 的脐点若m 土所有的点都是脐点。即 i i = a ，a 是m 上g 。函数，则称m 为全脐曲面 命题3 1 1 设m 为全脐曲面，满足i i = a ，则a 必是常数 证明；因为i i = m ，即 玎= 3 鳓，所以碜= g k l 矗“= a g 奶= a 咎 勺嬉) = 一7 哼e ( 。) = 一a 母e ( z ) = 一a 勺( z ) ，从而 = - a d x 上式两边再微分一次得：0 = 一d a a d x ，所以一d a a d x ( e 1 ，e 2 ) = 0 即e 1 ( a ) 8 2 ( z ) 一 8 2 ( a ) e l ( 。) = 0 ，由于 e l ( z ) ，e 2 ( z ) ) 线性无关，所以e 1 ( a ) = e 2 ( a ) = o ，从而 d a = 0 ，即a 为常数证毕 由命题3 1 1 可得a 是常数，从基本方程知d ( 十a z ) = 0 ，所以f 十a 。= c ( 常向量) 由于 = e ，从而 = 1 0 当a o 时， = 景，当= 1 ，即m 不定时，m = 研( ) ， 这里对应不同的a 值，m 与研只差一个共形变换当e = 一l ，即m 是正定 时，m = 噩2 ( ) ，这里对应不同的a 值，m 与2 只差一个共形变换， 若a = o ，即i i = o 时，f = c 为常向量，从而是r 3 中的平面这样 我们就得到了r 3 中全脐曲面的一个分类： 命题3 1 2r i 中的全脐曲面必是平面、球面研、双曲面2 三者之一的 一部分，或者与它们差一个共形变换 3 2 研，皿i 中的全脐曲面 研， 中全脐曲面的分类与r ；的类似先来看研中的曲面 设z ：一m 一研是研中的一个浸入曲面，定义它的第一基本形式= ，且假定j 非退化，对vp m ，取已吖中线性无关的向量 e 1 ，e 2 ， 设鳓= ，j = 1 ，2 ，则溉j ) 非退化，因为 = 1 ，所以 = 0 ，故赠可分解为r = z 。( 耳m ) o r z o y ，其中y 是z 。( 弓m ) r x 的垂直空间( ( 耳m ) o r z ) 1 ，则x v ，使得f 与z ，e 1 ( z ) ，e 2 ( x ) 均是正交的， 且 = e = 士1 ) ( 当( ) 正定时，e = - - 1 ，当( 鳓) 不定时，e = 1 ) ，这 样得到的 e - ( 。) ，e 2 ( z ) ，z ) 正是m 上的一个活动标架 定义i i = 一 为m 的第二基本形式，同样可以证明、j ，是 群0 ( 4 ，1 ) 下的不变量，而且可得m 的基本方程为t f 勺e f ( z ) = r 嚣e k ( z ) + e “一g l j x 【e j ( ) = - - h ；c k ( z ) 其中b = i i ( e ；，勺) ，砖= g 剐b ， f ) 是i 诱导的联络系数，对上式微分后得 结构方程： f k = 口m ( h 玎 。埔一h i k h ，可) + ( 仇瓯一m 母) 【k ，女一“蝴= 0 1 1 对于s 中的全脐曲面同样有f 十地= c r 4 ( c 为常向量) 当= 1 时， = 1 ，从而 = = 14 - 土2 0 ，所 以 t 0 ( 4 ，1 ) ，使得c t = i 干甭( o ，0 ，0 ，1 ) ，故不妨设c = ，f 干殍( o 、0 ，0 ，1 ) 则 = = = 再五4 ，即z 4 = 了斋萍是常数，因此 z + z ；4 - 越= 1 一= 耳1 殍，所以m 一霞2 t 丽1 ) 是不定的 当= 一1 时， = = 舻一1 如果 1 ，不妨设 c = 舻一1 ( o ，0 ，0 ，1 ) ，则。a = 志为常数，故一z + z l + 王j = l 正i = 南， 所以m = 醯2 ( 了：b ) 是正定的 如果川 1 ，不妨设c = 们广= 殍( 1 0 ，o ，o ) ， 从而z i 。7 圭尊，则。l4 - z j4 - 司= 1 - f 。 = 亡弘，所以m = s 2 ( 了f 1 = 莽) 如果 = 1 ， = 0 ，不妨设c = ( 1 ，0 ，0 ，1 ) ，则 = l 哥一z l4 - z 4 = 1 ，所 以z 4 = 1 4 - x l ，从而一z 4 - z l 十z j = 1 一z ：= 1 一( 14 - 。1 ) 2 ，即哇+ z ；= 一2 x 1 ， 这是一个椭圆抛物面 综上所述，我们可以得到翼中全脐曲面的分类； 命题3 2 1 s 中的全脐曲面必是球面研、双曲面2 、圆球s 2 、椭圆抛 物面四者之一的一部分，或者与它们差一个共形变换 现在来看h i 中的情形 设z ：m + 亚2 是嘲中的浸入曲面，第一基本形式= 是非 退化的，芦m ， e 1 ，e 2 是弓肘的一组基，设= ，i ，j = l ，2 ， 且( 趵) 非退化由于 = 一1 ，故 = 0 ，故必存在f r 4 ，使 得f 与伽，e ( z ) ，e 2 ( z ) ) 正交，且 = e = ( 4 - 1 定义第二基本形式为 ，2 一 t 我们可以验证，、i i 均是群0 ( 4 ，2 ) 下的不变量且有基 本方程t f 勺矗( 功= r ：( z ) + 巧f 9 订。 【勺( f ) = 一烤e t ( z ) 1 2 结构方程为： f 鹂 = 9 ”( h t j h 。t 一 “h 。) + ( 酲一玑k 碍) i 。酣一。池，：。 现在要对h 3 中的全脐曲面进行分类皿 中全脐曲面仍满足+ 妇= c 瑙，故 = e a 2 当= 一1 时， 1铲，不妨设 c = 研( 1 ，o ，0 ，o ) ，则2 5 1 = 刁b 是常数，从而。；+ z i z ；= - l + x = 一南， 所以m = h 2 ( 了寺幂) 是正定的 当e = 1 时， = 1 一a 2 ，如果 0 ，取 c = 厕( o ，0 ，0 ，1 ) ，则x 4 = 一志，从而一z ；+ 聋 。i 一1 + 嚣：= 研1 ， 所以m = 钟2 了r = 1 弘) 是不定的如果 1 ， = 1 一a 2 0 ，3 ( c ) = ( 。r f f = 产) ，其中7 - 2 = l c ( i i i ) c 0 ，3 ( c ) = z r ；i = 一7 2 ，其中r 2 = 一1 c 由上面的定义，可知3 ( c ) 是三维常截面曲率为c 的l o r e n t z 空间形式f 参见 文 3 0 】) 又从文 2 】的第6 8 页( 4 1 ) 式，我们知道，我们只需考虑截面曲率为 c = 0 ，+ 1 一1 的空间形式的共形性质，就可以得到3 ( c ) 的共形性质。所以从定 理4 1 1 就可以得出这样一个结论： 定理4 1 ，2 对一般的常曲率空f 司形式e 3 ( c ) 雨言。脐点具有共形不变性 4 2 q 3 中的全脐曲面及其分类 记号同上下文中的指标t ：j ，k ，z = 1 ，2 ， 令n = 一 一i 1 y ，则 = 0 ， = 1 ， = 0 ， = 0 ， = 0 这样 y ，n ，e 1 ( 分) ，勺( 可) ，甜 1 8 就成为m 上的一个活动标架 设e d n ) = e 州勺( ) 十g f ，勺q ( ) = a y + b n + r 嚣( ) + c b i j ( 这里的 r 嚣就是由 所诱导的联络系数实际上由假设有 聪蚴= = e j 一 = 勺( 肌1 ) 一r 知硒 所以e j ( g “) = f