（基础数学专业论文）不变均值性质与（αβ）调和函数.pdf

摘要 摘要 用平均值性质刻画调和函数的意义在于给出一种不预先作可微性假设来定义 调和函数的方法这是一个由来已久的课题在这方而的研究中，不变均值性质是 一个特别的论题比较通常的平均值性质，是用单位圆盘的自同构代替平移变换 得到的关于调和函数的一个均值性质( 参见命题1 1 ) 这个不变均值性质是否蕴含 调和性的问题，被a h e m ，f l o r e s ，r u d i n 在1 9 9 3 年最终解决更广泛地，他们解决了 用不变均值性质刻画c 竹中单位球上双曲调和函数( 即m 调和函数) 的问题： 定理a 对c n 中单位球上一个可积函数来说，当且仅当空间的维数n 0 对9 中单位球b 上的可积函数来说，当且仅当0 n + 2 a n o 时不变均值性质( 1 8 ) 蕴含( q ，p ) 调和性其中n o 为一常数，定义见命 题4 6 文献【2 0 】给出其范围1 1 0 2 5 n o 1 1 0 6 9 我们的主要结果不仅是a h e m ，f i o r e s 和r u d i n 的工作的推广，也有助于理解他 们的结果中对空间维数依赖的有趣现象另外，我们在证明中引入了一类b e r e z i n 型变换，得到了与其相关的一些恒等式和估计，这也是有独立趣味的一些结果 关键词( a ，卢) 调和函数，b e r e z i n 型变换，刁i 变均值性质 a b s t r a c t a b s t r a c t c h a r a c t e r i z i n gh a r m o n i cf u n c t i o n sb yam e a n v a l u ep r o p e r t yp r e s e n t saw a yt o d e f i n eh a r m o n i cf u n c t i o n sw i t h o u ta p r i o r id i f f e r e n t i a b i l i t yr e q u i r e m e n t t h i si sal o n g s t a n d i n gi s s u e i np a r t i c u l a r ，t h e r ei sa ni n v a r i a n tv e r s i o no fm e a n - v a l u ep r o p e r t y , t h a ti s ， t h eo n ew i t ha u t o m o r p h i s m so ft h eu n i td i s ci np l a c eo ft r a n s l a t i o n si nt h eu s u a lm e a n v a l u ep r o p e r t yf o rh a r m o n i cf u n c t i o n s ( s e ep r o p 1 1 ) d o e st h i sm e a n v a l u ep r o p e r t y i m p l yt h ef u n c t i o ni sh a r m o n i c ? e v e n t u a l l y , t h ea n s w e ri sg i v e nb ya h e m ，f l o r e sa n d r u d i ni n19 9 3 m o r e o v e r , t h e yc h a r a c t e r i z et h eh y p e r b o l i ch a r m o n i cf u n c t i o n so ft h e u n i tb a l li nc 他( i e ，t h em h a r m o n i cf u n c t i o n s ) i nt e r m so fa ni n v a r i a n tm e a n v a l u e p r o p e r t y ： t h e o r e ma ：f o ri n t e g r a b l ef u n c t i o n so v e rt h eu n i tb a l lo fc n 。t h ei n v a r i a n t m e a n v a l u ep r o p e r t yi m p l ym - h a r r n o n i c i t yi fa n d o n l yi fn 0 f o r i n t e g r a b l ef u n c t i o n so v e rt h eu n i tb a l lbo fc n t h em e a n v a l u ep r o p e r t yi m p l y ( ，卢) 一h a r m o n i c i t yi fa n d o n l yi f0 n + 2 c e 扎o ，w h e r en oi sa c o n s t a n t ，s e ep r o p 4 6f o rt h ed e f i n i t i o n 2 0 】s h o w e d11 0 2 5 n o 11 0 6 9 t h i sr e s u l ti sn o to n l ya g e n e r a l i z a t i o no ft h ew o r kb ya h e m ，f l o r e sa n dr u d i n ， b u ta l s oh e l p st ou n d e r s t a n dt h ec u r i o u sd e p e n d e n c eo nt h ed i m e n s i o no ft h e i rr e s u l t i n a b s t r a c t a d d i t i o n ，i nt h ec o u r s eo fp r o v i n gt h em a i nr e s u l t ，w ei n t r o d u c eac l a s so fb e r e z i n t y p e t r a n s f o r m sa s s o c i a t e dw i t h ( q ，p ) 一h a r m o n i cf u n c t i o n sa n de s t a b l i s hs o m ei d e n t i t i e sa n d e s t i m a t e sa b o u tt h e m t h e s er e s u l t sh a v et h e i ro w ni n d e p e n d e n ti n t e r e s t k e yw o r d s ( q ，) - h a r m o n i cf u n c t i o n s ，b e r e z i nt y p et r a n s f o r m s ，i n v a r i a n tm e a n - v a l u ep r o p e r t y 1 1 1 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：套再 2 0 0 8 年5 月o 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名： 套丹 2 0 0 譬年5 月3 0 日 第一章引言 第一章引言 用平均值性质刻画调和函数的意义在于给出一种不预先作可微性假设来定义 调和函数的方法这是一个由来已久的课题最早的研究也许始于e l e v i 在1 9 0 9 年 的论文其后这一问题引起了包括k o e b e ，v o l t e r r a ，t o n e l l i 和t a l i 在内的许多数 学家的兴趣，得到了大量研究，一百年间这方面的文献难以尽数1 9 9 4 年，n e t u k a 和v e s e l y 对这一课题所做的综述文章的参考文献列出了近4 0 0 篇论文 在这方面的研究中，不变均值性质是一个特别的论题我们从单位圆盘上的 调和函数说起 设d 是复平面上的单位圆盘以a u t ( d ) 记所有d 到自身的解析1 1 映射的集 合( a u t ”代表 a u t o m o r p h i s m ”) 我们常把a u t ( d ) 中的元素即单位网盘d 的自同构 称为m 6 b i u s 变换每个m s b i u s 变换砂a u t ( d ) 均可表为 砂( z ) “9 羔， 其中0 0 ，2 7 r ) ，w d 在复平而上，调和性在全纯变换下不变，特别地，m s b i u s 变换保持调和性也 就是说：若u 是单位圆盘d 上的调和函数，砂是单位圆盘d 的一个自i 一构，则札0 矽仍 是单位网盘d 上的调和函数将熟知的调和函数的平均值等式应用于u0 移，立即 得到： 命题1 1 若札是单位圆盘d 上可积的调和函数，则 ， ( u 。矽) ( o ) = uo 矽枞 ( 1 1 ) jd 对任何 佑6 f “s 变换矽成立其中入是复平面上的正规化k 易已蹭“口测度，即把通常的 l e b e s g u e 浸, 度除以单位圆盘的面积，以使得入( d ) = 1 这一性质称为不变均值性质这里“不变”意指共形不变性，即在m 6 b i u s 变换 下不变我们自然要问这样的问题： 问题1 不变均值性质能否作为一个特征来刻画单位圆盘上的可积调和函数? 即，不变均值性质是否蕴含调和性? 1 第一章引言 在附加了一致连续性条件以后，这个问题是容易得到肯定回答的，见文献 1 4 】 和文献 3 】( 事实上，他们附加了更强些的条件，要求函数在闭圆盘上连续) 1 9 9 1 年， 文献 8 】将这个附加条件减弱为“对所有m 6 b i u s 变换妒a u t ( d ) ，uo 砂的径向 化在闭圆盘上连续”同年，e n g l i 誊在他的博士论文 9 】中，在较弱的附加条件札 l o o ( d ) 下，得到了这一问题的肯定回答这个结果在1 9 9 4 年正式发表于j o u r n a lo f f u n c t i o n a la n a l y s i s ，见 1o 】 1 9 9 3 年，a h e m ，f l o r e s 和r u d i n 在文献【2 中完全解决了这一问题他们的方法 借鉴了文献 9 的思想，但他们做得更多，解决了用不变均值性质刻画c n 中单位球 上m 一调和函数的问题 m 调和函数是复双曲空间上的调和函数回忆复双曲空间的p o i n c a r 6 模型 是c 叫j 的单位球b = _ ( z c n ：i z i 1 ) ，赋以p o i n c a r 6 度量( 或称b e r g m a n 度 量) 舻= i 壹, j = l 与挚蜊乃 相应的l a p l a c e b e l t r a m i 算子是 珀1 一i z l 2 ) i 壹( 嘲) 彘 ， 丕= ( 1 2 ) ( 一磊乃) 焘 ， l , j = l o ， 称为( m 6 b i u s ) 不变l a p l a c i a n 或b e r g m a nl a p l a c i a n b 上满足a f = o 的函数厂称 为m 调和函数 熟知关于m 调和函数有以下命题( 见【1 7 】) ： 命题1 2 如果，= 0 ，且厂l 1 ( b ，d v ) ，那么对任意的矽a u t ( b ) ，有 ( fo 妒) d y = ，( 妒( o ) ) ， ( 1 2 ) 其中v 是妒上正规化的k 易已昭“已测度，a u t ( b ) 表示b 上的自同构群 这个性质仍称不变均值性质现在的问题是： 问题2 不变均值性质能否保证一个单位球上的可积函数一定是m 一调和的? a h e m ，f l o r e s 和r u d i n 的回答是出人意料的： 定理a 当空间的维数n 1 2 时，答案是肯定的；而当n 1 2 时，结论不成立 2 第一章引言 这个结论的趣味在于对空问维数的依赖这个现象如何理解? 为什么这个临 界维数是t , = 1 2 而不是其他的整数? 有几何上的深层原因吗? 这吸引了许多数学 家的兴趣后来又有十多篇论文对这个结果做了多个方向的推广，我们仅列出几 篇重要的：【4 ，1 0 ，1 2 ，1 3 ，1 5 ，1 6 ，1 9 ，2 0 本文的目的是将a h e m ，f l o r e s 和r u d i n 的工作推广到( q ，p ) 调和函数的情形 所谓( o ，p ) 调和函数或广义m 调和函数是单位球上被如下微分算子零化的 函数： ，、 - ( 1 荆) 妻( 翰咱乃) 旦o z ；o z j i j = 1瑚枷 ，( 1 3 )l ，j 其中r = z j o o z j 这是依赖两个参数o l 和p 的一族微分算子显然，当q = j=1， p = 0 时，a o o t 是不变l a p l a c i a n a ；而当o l = p 时，a 口是权函数为( 1 一l z l 2 ) 。的加 权b e r g m a n 度量下的l a p l a c e b e l t r a m i 算子 所以口8 可以称为“加权的不变 l a p l a c i a n ”这族算子是g e l l e r 在 6 】中引入的它的出现是很自然的因为一般 而言，不同于普通调和函数，一个m 一调和函数的偏导数不再是m 调和的但是它 却是对应某个参数对( a ，) 的( q ，p ) 一调和函数事实上，直接的计算可知：若“是m 一 调和的，则 虮( 骞) - o ，( 骞) - o ，川棚 更一般地，若口8 u = 0 ，则 吣z ( 考) 一o ，卢( 骞) - o ，柚 这样一来，粗略地说，求导运算在由以下的函数类内是封闭的： 乱：。口札= 0 对某个o l 和p ) 所以研究m 一调和函数时，考虑这样一个更大的函数类显然是很有用的另外，在 计算作用于微分形式上的l a p l a c e b e l t r a m i 算子时，微分算子族a 口也会出现 为说明何为( q ，) 一调和函数的不变均值性质，我们需要引入一些记号首先对 于每个a b ，记 删= 型等等竽鳖， ( 1 4 ) 其中，r 是到由a 张成的线性子空间的正交投影，q n z = 名一r z 这是单位球b 的 一个标准的全纯自同构，我们也称之为一个m 6 b i u s 变换 3 第一章引言 其次，对于固定的a b ，定义 危乎，p ( z ) = ( 1 一( n ，z ) ) 口( 1 一( z ，n ) ) p 文献【6 】中证明了关于( q ，p ) 调和函数的如下球面均值等式： 铈题1 3 设，走( q ，) 一调和函数贝1 对任意0 r 1 ，雨 2 乃( 一q ，一p ；礼；r 2 ) 厂( o ) = 厂( 7 ) d 盯( ( ) js 其中，而( a ，6 ；c ；名) 是g a u s s 超几何函数 在( 1 5 ) 式两边乘以2 死r 2 ”，然后对0 r 0 对秒中单位球b 上的可积函数来说，当且仅当 0 礼+ 2 a n o 时，不变均值性质( 1 8 ) 蕴舍( q ，p ) 一调和性其中扎。为一常数， 定义见命题4 6 文献 2 0 给出其范围1 1 0 2 5 n o 0 ，那么 而( a ，6 ；c ；1 ) =r ( c ) r ( c a b 1 r ( c n ) r ( c b ) 2 2 算子和q 口 设q 是c ”中的开集，对，俨( q ) ，l a p l a c i a n 算子定义为： ，2 善nc 筹2 + o u v 玎) = 4 骞毒杀， 由此可定义算子厶： ( a f ) ( a ) = ( 厂。妒。) ( o ) 厶具有m 曲i u s 不变性，也就是说， 9 ( 2 6 ) ( 2 7 ) 砂万警 脚 第二章预备知识 若f c 2 ( q ) ，矽a u t ( b ) ，那么在矽一1 ( q ) 上， a ( f0 砂) = ( a i ) 0 矽 事实上，x c f c 2 ( q ) ，厶，有下面具体的表达形式： ( 耐) - 4 ( 卜i 砰) 塞( - - a i a j 岷c o c 3f ) ( 0 ) ，n 印 0 ，= 1 o 如果，c 2 ( q ) ，并且厶，= 0 ，则称厂为m 调和函数 对m 一调和函数，我们有下面的结论： 定理2 4 厂是b _ l t 两m - 调和函数当且仅当f c ( b ) ，且对任意的砂a u t ( b ) ， 0 7 一1 ， z 1z n ( ，一z ) 6 d z = ! 等；i 措， c 3 3 ， 和( 2 7 ) 式，经过计算可得 q = 嵩等薄蒜牿揣 4 ， 2 可i 了瓜瓦万面西i 药磊干而 【土4 对( 3 2 ) 式做变量代换uh 忱) ，冉5 乖i j n ( 2 3 ) 和( 2 4 ) 式计算可得 剐加g z 若赫筹等等糟似肌卜 5 ， 为了证明玩具有m s b i u s 不变性，先给出一个引理 引理3 1 对任意n ，名，u b ， 瓮曷( u ) 危乎p ( z ) = 危乎，卢( 妒：( u ) ) 九笋，卢( u ) 证明根据( 2 9 ) 式，将两边写出，易见，要证明等式成立，只须证 ( 1 一( 妒。( 口) ，u ) ) ( 1 一( a ，z ) ) = ( 1 一( a ，妒。( u ) ) ) ( 1 一( z ，u ) ) 令b = ) ，那么有 z 一( 妒：( 口) ，妒。( 6 ) ) = s 篙 笔， ( 3 6 ) 也就是 ( 1 - ( 妒。( 。) ，u ) ) ( 1 一( n ，z ) ) = 鱼二等 兰基袅铲 另一方面 1 一( 妒。( u ) ，名) = 1 一( 妒。( u ) ，妒：( 。) ) = 菩 三 兰i 芎 这样我们就证明了该引理口 在本引理的证明中，多次用到妒：的性质，参见第二章 下面我们证明玩具有m t i b i u s 不变性 第二章b e r e z i n 变换。受乳及其性质 命题3 2 设后0 ，妒。a u t ( b ) ，那么对任意的，l 1 ( b ，d k ) ， 玩 ( ，o 妒a ) 驴，p 】_ ( 玩，) 。妒。 尼妒，们( 3 7 ) 证明对任意名b ，变换妒妒。( ：) o 妒no 妒：a u t ( b ) ，并且将零点映为零点，根 据定理2 2 ，它等于某个酉算子u 又妒妒。( ：) 是对合变换，我们有 0 妒名2 妒铷( z ) 0u ， 皮 u 0 妒：( n ) = 妒o ( 名) 所以由引理3 1 ，k 在且上的旋转不变性及( 矿n ，u b ) = ( a ，6 ) 可得： 玩 ( ，o 妒n ) l 口卢 ( z ) = q ，( 妒口( 妒：( u ) ) ) 乎，卢( 妒；( u ) ) 危笋，a ) ( w ) d v k ( w ) jb = g ，( 妒( ：) ( u u ) ) 九笼儡( u ) 妒口( z ) d v k ( w ) - ，b = q n ，( 妒妒。( ：) ( u ) ) 筻曷( u u ) d k ( u ) 九乎( 名) j b 、7 = g 止，( 妒州：) ( u ) ) 蹉2 d ) ( u w ) d v k ( w ) 乎( z ) ，b = c k ，( 妒垆。( ：) ( u ) ) 九搋曷( u u ) d k ( u ) 危乎p ( z ) jb 、1 关于a 口和玩，有下面的关系： 命题3 3 设七0 ，f l 1 ( b ，d v k ) ，那么? 口 p 玩厂= ( q + + n + k + 1 ) ( 七+ 1 ) ( 纸，一玩+ 1 - 厂) ，( 3 8 ) 并且 。e 移k ，= g k ，n + a + 卢( 口口) 量，( 3 9 ) 其中 瓯卅嘶似) _ 驵( 1 一丽翻) ( 3 1 0 ) j = i 、 。7 1 3 第二章b e r e z i n 变换勿及其性质 证明根据玩和a 口口具有m 6 b i u s 不变性，我们只需要证明( 3 8 ) 式在原点成立 令 q k ( z ，u ) = 则只须对u b ，证明 ( 1 一l z l 2 ) 。+ p + “+ 七+ 1 ( 1 一( z ，u ) ) 。+ ”+ k + 1 ( 1 一( u ，z ) ) 卢+ n + 七+ 1 a 口卢q 南( o ，u ) = ( q + 卢+ n + 后+ 1 ) ( 尼+ 1 ) 一( q + 凡+ 七十1 ) ( p + n + 庇+ 1 ) ( 1 一i u l 2 ) ( 3 11 ) 为了计算a a 卢q k ( 0 ，u ) ， 记 那么 0 f vat， 、 瓦( 训) 2 f ( z ，u ) = ( 1 i z l 2 ) 口 ( 1 一( z ，u ) ) 6 ( 1 一( u ，名) ) c a ( 1 一i z l 2 ) 。一1 ( 一乃)b ( 1 一i z l 2 ) 。( 一w j ) ( 1 一( z ，u ) ) 6 ( 1 一( u ，z ) ) c( 1 一( z ，u ) ) 6 + 1 ( 1 一( u ，名) ) 。 ( z ，u ) 一一= - n a + b c i u l 2 = 6 c 一佗n 一6 c ( 1 一 川2 ) ， 其中o = o l + p + n + k + 1 ，b = o l + n + 忌+ 1 ，c = + 竹+ k + 1 由以上两式计算可得 莩硒0 2 q k ( 0 ，u ) = ( q + n + k + 1 ) ( 3 + 礼+ k + 1 ) 一几( 乜+ + n + k + 1 ) 一( q + n + k + 1 ) ( f l - i - 佗- i - k + 1 ) ( 1 一i u l 2 ) ( 3 1 2 ) 根据( 2 8 ) 式，有 翰吣小莩砺0 2 q k ( 0 ，小矾 将上式带入( 3 1 2 ) 式就得到( 3 1 1 ) 式 对而1 ，( 3 8 ) 式可改写为 玩，= ( 1 一 a a 口 k ( a + p + 几+ k ) 对k 用归纳法即可得( 3 9 ) 式 下面，我们证明一个常用的等式 1 4 ) 玩一i f ， 口 器 ， 第二章b e r e z i n 变换级及其性质 引理3 4 对任意z b 上燃州= 器掣 证明利用极坐标积分公式( 2 5 ) ，得到 况( s ，s ；礼+ t + 1 ；i z l 2 ) ( 3 1 3 ) z 豁d y c u ，= 2 礼f ot 2 n - 1 ( 1 一r 2 ，z 再去d 仃c u ，d n 又 所以有 z 丽批，= 器薹渊 z 黑删= 耕薹渊 r 2 七2 知 警2 f o ir 2 n + 2 k - 1 ( 1 卅办 ：! ! 竺! 墨生望塑生兰2 螳 r 2 ( s ) 乞r ( 几+ k + t + 1 ) 尼2 ：坠掣磊(ss-礼-t卅-r1 ；( n t1 =一n ，1 iss f ，r + i lz l i 十+ 1 1 u 一。上r l ，。 我们将利用这个引理来证明以下两个命题 口 命题3 5 设o = 孱k 0 ，那么对任意的厂l 1 ( 日，d r ) ，有i f 留k l l 。o l i f l l 。 证明对q = ，f l j ( 3 5 ) 式可得 玩州。 0 ，j0 r 1 ，使得对任意的 r ，有 m ) 一f ( o ) l 三， 记 ， 。= c ；( 厂( u ) 一，( o ) ) ( 1 一i u l 2 ) d v ( w ) ， jr b 厶。= q ( ，( u ) 一，( o ) ) ( 1 一l u l 2 ) 七d v ( w ) ， j b r b 那么，1 1 = ，+ 乇 由忌_ o o ，d 七_ 1 知，当七充分大时，i d 七f 2 ，于是有 ，i l 厶。i = l c k ( ，( u ) 一f ( o ) ) d v k ) l r b i 厂( u ) 一f ( o ) 1 d k i 0 ，使得对任意z b ，i 厂( z ) l m ，由此得到 厶。i 2 m 瓯 ( 1 一i u l 2 ) 七d v ( w ) j b r b 2 m c k ( 1 一r 2 ) 惫d y ) j b r b 2 m q ( 1 一r 2 ) 缸d v ( w ) = 2 m 瓯( 1 一r 2 ) 七 = 2 m 嵩端蒋器等等( 1 - r e 一 再次，由七一0 0 ，渊舻_ 6 可知当忌_ 。时， 揣， 第三章b e r e z i n 变换彭艮及其性质 又厶l 。i + i 厶：i ，并且，t 与r 无关 于是，当忌_ 。时，1 _ 0 这样我们就得到，k _ o 。时， 玩，( o ) _ ，( o ) ( 3 1 7 ) 用( ，o 妒。) 危笋卢来代替( 3 1 7 ) 式中的厂，再由命题3 2 n - i 矢i ，当七一o 。时，对任意 的z b ， 玩，( 名) 一，( z ) 对于“q = p ”的情况，利用命题3 5 及l e b e s g u e 控制收敛定理可得： 对任意的厂c ( 雪) ， 后l 。i m 。， b i 留k f f l d y = o 最后根据c ( 雪) 在l 1 ( b ，d r ) d ? 的稠密性及命题3 6 可知对一般的，l 1 ( b ，d v ) ，命 题结论成立 口 命题3 9 设z ，尼不同时为0 ，那么当a = 时，钆锄= 锄玩在l 1 ( b ，d y ) 上成 立 证明首先说明在本命题的条件下，对于f l 1 ( b ，d v ) ，玩现t 厂和编鼠厂均 定义有效 对k 0 ，由d v k ( w ) = ( 1 一l u l 2 ) d v ( w ) 易知l 1 ( j e 7 ，d v ) cl 1 ( b ，d v k ) 设f l 1 ( b ，d y ) ，f 1 ，由命题3 6 失, 1 1 玩厂己1 ( b ，d v ) c 三1 ( b ，d 圪) ，所以 当f 1 ，k 0 时，玩锄厂定义有效 同理可知，当k 1 ，z 0 时，锄玩，定义有效 又由命题3 7 ，对f l 1 ( b ，d v ) ，玩厂l 1 ( b ，d ) ，所以历1 玩，定义有效 综上可得，当f ，庇不同时为0 时，留k 锄，和锄玩厂均定义有效 设f l 1 ( b ，d r ) ，由命题3 2 ，只须证玩锄f ( o ) = 锄玩厂( o ) 根据 留砖锄，c z ，= 伉上百0 若茜蕃善：善兰善赫锄，c u ，d y c u ， 可得 玩锄厂( o ) = g ( 1 一i u l 2 ) 七锄，( u ) d y ( u ) ， 第三章b e r e z i n 变换纸及其性质 其中 刚班g z 瓜，诗辫筹黔 代入计算得 b k s 男z f ( o ) = 瓯g 上( 1 州灯上 ( 1 一l l u 2 ) 口+ 卢+ ”+ 七+ 2 + 1 d y ( ( ) ( 1 一( u ，( ) ) q + n + 。+ 1 ( 1 一( ( ，u ) ) 口+ 礼+ 2 + 1 对内部的积分作变量代换uh 耿( u ) ，并由( 2 4 ) 式得到 玩锄f ( o ) = 瓯g z ( 1 一i ( 1 2 附上 ( i 一川2 ) 口+ 卢+ 蚪凫+ 1 d y ( l d ) d y ( ( ) ， ( 1 一( ( ，u ) ) q + ”+ 七+ 1 ( 1 一( u ， ) ) 口+ n + 七+ 1d y ( “，) d y ( ( ) 由以上两式易见当q = 卢时，后和f 交换位置后，积分不变，即玩编厂( o ) = b f b k f ( o ) 最后用( 厂。忱) 危铲 口代替，利用命题3 2 即可得玩锄，( z ) = 锄玩厂( z ) 口 2 l 第p q 章函数g 。+ 2 。( a ) 和圣。+ 2 。n ) 第四章函数g 肘2 q ( 入) 和中n - t - 2 a ( 7 ) 对于a c ，引入空间甄：称，c 2 ( b ) n x a 是指 8 f = 入f ， 那么凰就表示( q ，) 一调和函数的全体 对强，我们有下而的结论： 命题4 1 设入= 一( ( 下n + e e + b ) 2 + ( 喜) 2 ) ，那么k 中的径向函数r 即函数，( z ) 的值 只与h 有关j 是b ( r 2 ) 的常数倍在比 晰2 ) _ ( 1 埘而( 半，掣；n ；r 2 ) ， 其中7 = i k + r n + a + b 证明设厂是径向函数，令r = i z l ，l j l j f ( z ) = ，( r ) ，t ：i ：t 1 j ：l ：l ， 卵，= 三( 1 - r 2 ) l 口卢六 ( 4 1 ) 其中l 口卢= ( 1 一r 2 ) 驴d + ( 盈乒+ ( 2 + 2 p 一1 ) r ) 岳一4 c i l 9 凶为厂是径向函数，故可以将，( 名) 写为厂( z ) = ( 1 一r 2 ) 7 玑( r 2 ) ， 那么f 咒，即 三( 1 - r e ) l a p ( ( 1 - - r 2 ) 7 鲰( r 2 ) ) = a ( 1 - r 2 ) 7 外( r 2 ) ， 当且仅当鲰( z ) 满足超儿何方程 z ( 1 一z ) 式( z ) + ( 礼一( z 后+ 凡+ 1 ) z ) 西( z ) 一( 型生! 掣) ( 型已学) 乳( z ) = o 由f r o b e n i u s 定理我们知道，任意满足上述方程的巩( z ) 都是9 7 ，0 ) 和g 忱扛) 的线性组 合 其中 删= 病( 半，半川z ) ， 第四章函数g 蚪2 。( 入) 和垂。+ 2 。( 7 ) 玑：( z ) 也为已知函数 而z _ o 时，9 ，y ，( z ) 一1 ；对咒1 ，g - y 2x ) 一z 1 一，当n = 1 ，( z ) 一i n x 又玑( z ) ，鲰。( z ) 在。点附近有界，而( z ) 在。点附近无界，由此可知巩( z ) 必然 是玑，( z ) 的常数倍 于是对某个常数c ， 舯= 喁( 半，半；n ；r 2 ) ， 那么 y ( z ) = ( 1 一r 2 ) 7 9 7 ( r 2 ) = c b ( r 2 ) 口 从今往后，在没有特别说明的情况下，我们均考虑“o l = ”的情形 由7 = i k + n 2 + v 2 + f l1 1 丁知尼一2 , t - n t - c e - f l ，于是 入= 一，y ( 扎+ 2 a 一7 ) ，( 4 2 ) b ( 7 2 ) = ( 1 7 _ 2 ) 7 鼎( 7 一q ，7 一q ；礼；r 2 ) ( 4 3 ) 注意到，在( 4 2 ) 式中，用n + 2 a 一7 来代替7 后，入的值不变，通过 鼎( 。，6 c ；z ) = ( 1 叫哪矾( n ，c _ 6 c ；刍) ( 4 4 ) 计算可知 b ( r 2 ) = r + 2 a 一7 ( 7 2 ) 定义 e n + 2 。= 7 c ：- 1 r e y 佗+ 2 a + 1 ) ， 那么7 一a 是从佗+ 2 n 到c 上某区域q 。+ 2 。的二对一的满射 事实上，借用 2 】中的结果，得到 q n + 2 a = a c ：r e a + ( 兰) 2 n + 2 a + 1 ) ， 由此可知 q 。+ 2 口c a c ：r e a n + 2 a + 1 ) ( 4 5 ) 命题4 2 兄nl 1 ( b ) o 当且仅当a q n + 2 q 第p q 章函数g 。+ 2 。( a ) 和圣。+ 2 。( 7 ) 证明我们先来证明甄nl 1 ( b ，d v ) o 当且仅当日( r 2 ) l 1 ( b ，d r ) 事实上，如果f 0 ，并且厂x anl 1 ( b ，d v ) ， 定义 ， = - 厂( r ( ) 咖( ( ) ， ( 4 6 ) 、 s 那么，口是径向函数，由( 4 1 ) 式及厂虬可得 口卢厂。= a 卵( f s f ( r e ) 拈( e ) ) = z m 刚吣) = a z m 伽啪) = a ，o 又厶，口d y = 厶f d v ，f l 1 ( b ，d v ) ，所以厂o l 1 ( b ，d v ) 综上可知厂“x anl 1 ( b ，d v ) 所以，若knl 1 ( b ，d v ) 1 o ) ，则弘nl 1 ( b ，d v ) 中有径向函数 根据命题4 1 就得到弘nl 1 ( b ，d v ) o ) 当且仅当b ( 7 2 ) l 1 ( b ，d v ) 下面只须证b ( r 2 ) l 1 ( j e 7 ，d v ) 当且仅当a + 2 a 利用极坐标积分公式( 2 5 ) ，我们有 上瞰一缈= 2 礼1 r 2 n - 1z i f 7 ( r 2 ) l 酬洲r = 2 n r 2 n - - 1 f b ( r 2 ) j 办 = 礼( 1 一r 2 ) ，y 矗( 7 一q ，y q ；礼；r 2 ) r 2 n - 2 d r 2 ， 由 5 ，v 0 1 i ，p 7 6 ，( 9 ) 】，我们知道，当z 充分大时，2 乃( a ，6 ；c ；z ) 一c l z 一。+ c 2 z - 6 对某 常数c 1 ，c 2 ( 当a 一6 为整数时，差一个对数因子) 令r 2 = 刍，再利用( 4 4 ) 式计算可知b ( r 2 ) l 1 ( b ，d y ) 当且仅当一1 r e ，y n + 2 口+ 1 ，即7 。+ 2 。，入q 。+ 2 n 口 命题4 3 设a q n + 2 口，f 飘nl 1 ( b ，d v ) ，那么 丘，= 瓯+ 2 a ( ，y ) 厂， 其中圣舛2 q ( 7 ) = r ( 1 + - r 7 ) ( r 川( n + n + 1 2 a + ) l - - r ) 2 4 第 q 章函数g 。+ 2 。( 入) 矛n 西。+ 2 。( 7 ) k n 对厂墨，由a 口的m 曲i u s 不变性( 2 1 0 ) x - t 融( fo ) g o a x a ，由 n 命题_ n 4 2 的证明知 ( 厂。妒。) 九妒口 4 强，根据命题4 1 ，我们有：对某个常数c ， ，( 妒：( r ( ) ) ，a ( r ( ) d 盯( e ) = c br 2 ) js 固定a u t ( b ) ，令r = 0 ，可得c = 厂( z ) 利用( 3 2 ) 式得到， 国o f ( z ) = g ，( 妒。( u )