（基础数学专业论文）关于hamilton半群的研究.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。掘我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，呛文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，- 也不包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证二陆使用过的材料。与我一同： 作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的况明并表示谢意。 学位论文作者签名： 弛k 导师签字 学位论文版权使用授权书 w 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权堂 量l 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位沦文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：1 氍f 彬 导师签字 签字日期：2 0 0 僻￥月p 目 签字日期：2 0 0 莎年，日 一一一一 坐堡堕鎏奎堂堡：! 堂焦笙塞 关于h a m i l t o n 半群的研究 张化生 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东2 5 0 0 1 4 1 摘要 本文给出h a m i l t o n 半群的基本性质，并且给出h a m i l t o n 半群的自同态半群 与半直积，最后给出了h a m i l t o n 半群的自同构群和h a m i l t o n 半群的强右零带 具体内容如下： 第一章给出引言和预备知识 第二章，首次给出h a m i l t o n 半群的子半群，同态像仍是h a m i l t o n 半群的证 明，以及h a m i l t o n 半群对集合的作用 主要结论如下： 定理21 左( 右) h 一半群的子半群仍是左( 右) h 一半群 定理23 左( 右) h 一半群的同态像集合仍是左( 右) h 一半群 定理26 在左( 右) h 一半群s 上，a p b 镑a = 比其中，。b 占，k ：f z + ， 则p 是s 上的最大幂等分离同余 命题2 9 在左h 一半群s 上，g r e e n 关系r 是幂等纯同余；在左h 一半群s 上，g r e e n 关系l 是幂等纯右同余即吼= e s ，l 。= _ e s 命题21 7 设左h 一半群s ，其中自同态半群e n d s 作用于s 上则z s 的 轨道虿 y sy 与z 的指数相同 第三章给出了h a m i l t o n 半群的自同态半群也是h a m i l t o n 半群，并定义了降 次h a m i l t o n 半群，讨论了h a m i l t o n 半群的自同态半群与降次h a m i l t o n 半群的半 直积，直积主要结论如下： 定理31 任意在左( 右) h 一半群s 的自同态集合e n d s 关于乘法 ( ，9 ) ( 。) = ，( z ) g ( z ) ，f ，g e n d s ，z s 是一个左( 右) h 一半群 定理3 6 设s 是任意一个左h 半群， s 1 = ( a i ，i n = b p ，卢a ，s = e ( p ) ，p p 山东师范大学硕士学位沦文 f 是s 上的自同态则有映射 ( ) ，b ：_ 9 ，( 2 ) l s 。：岛- - - + s s 1 ，( a ) fi s a ：s a 风 适合 ( 4 ) f ( a i a j ) = 厂l s 。( 吼) ， s 。( ) ，啦，a j s ， ( 5 ) f ( b e a i ) 一， s 。( b e ) ，i s ( 口。) ：。，6 日s ， ( 6 ) f ( a i b z ) = f5 s 。( ) ， s 。( b e ) ，a i ，b 口，s ， ( 7 ) ，( z e ( p ) ) = ，l s 。( z ) ，l s 。( e ( p ) ) ，z ：e ( p ) s ：- ( 1 ，2 ，3 ) 为映射反之， s 。， 踊，f s 3 为上述映射，则，是自同态映射 定理3 9 左h 一半群s 的自同态半群e n d s 与s 的降次左h 一半群s7 的半 直积e n d s 。s7 是左h 一半群，其中任意的。s 7 ，f e n d s ，z ，= ，( 。) 命题31 3左( 右) h 一半群s 的降次左( 右) h 一半群s7 与自身的直积j 5 ，。xs 是左f 右) h 半群 第四章首次给出了h a m i l t o n 半群的自同构形成一个群而且给出了它的直积 分解及相关性质，以及h a m i l t o n 半群的自同构群同构对两h a m i l t o n 半群之间的 关系及相关性质主要结论如下： 定理4 1 左h 一半群s = l j ( a i ) u ( b 。) u ( e ，) ，记 a = u ( 吼) ) t r 岛= u ( b a ) d a 岛= u ( e ，) ) p e p a s l ，a 岛，4 岛分别是s l ，s 2 ：s 3 的自同构群，则s 的自同构群a s 与a s 。x a s = x a s 。 同构即a s ! a s ：xa 岛a 岛 定理4 7 如果左( 右) h 一半群s ，s 的自同构群a s ，a s ，同构，则s p ! ，s p 第五章首次给出了左h a m i l t o n 半群关于乘法形成一个强右零带并且这个强 右零带是个左h a m i l t o n 半群，以及左h a m i l t o n 半群的幂等元也形成一个强右零 带主要结论如下： 定理5 3设s 为s 。，b ，的的强右零带，其中b 为右零带，& ，。b 均 为左h 一半群，则s 也是左h 。半群 关键词：h a m i l t o n 半群，自同态，半直积，降次h 一半群，强右零带 分类号：0 1 5 2 7 2 山东师范大学硕士学位论文 a s t u d yo fh a m i l t o ns e m i g r o u p z h a n gh u a s h e n g t h ei n s t i t u t eo fs c i e n c eo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ) w ec h a r a c t e r i z et h eh a m i l t o ns e m i g r o u p ；b e s i d e s w eg i v eac h a r a c t e r i z a t i o no fe n d o m o r p h i s ms e m i g r o u pa n ds e m i d i r e c tp r o d u c to fh a m i l t o ns e m i g r o u p ；f i n a l l y ，w eg i v ead e f i n i t i o na n d c h a r a c t e r i z a t i o no fa u t o m o r p h i s mg r o u pa n ds t r o n gr i g h tz e r ob a n do f h a m i l t o ns e m i g r o u p t h em a i nr e s u r sa r eg i v e ni nf o l l o w i nc h a p t e r1 ，w eg i v et h ei n t r o d u c t i o na n dp r e l i m i n a r i e s i nc h a p t e r2 ，w eg i v et h ep r o o fo fs u b s e m i g r o u pa n dh o m o m o r p h i ci m a g ew h i c ha r es t i l lh a m i l t o ns e m i g r o u p ；b e s i d e sw ed i s c u s s t h ea c t i o no fh a m i l t o ns e m i g r o u po nas e t t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e n i nf o l l o w t h e o r e m2 1t h es u b s e m i g r o u po fl e f t ( r i g h t ) h a m i l t o ns e m i g r o u pi s s t i l ll e f t ( r i g h t ) h a m i l t o ns e m i g r o u p t h e o r e m2 3t h eh o m o m o r p h i ci m a g es e to fl e f t ( r i g h t ) h a m i l t o ns e m i g r o u pi ss t i l ll e f t ( r i g h t ) h a m i l t o ns e m i g r o u p t h e o r e m2 6o nt h el e f t ( r i g h t ) h a m i l t o ns e m i g r o u ps ，a p b 芒号 a 2 = ，w h e r eo ，b s ，后j1 z + ，t h e npi s am a x i m u mi d e m p o t e n t s e p a r a t i n gc o n g r u e n c eo ns p r o p o s i t i o n2 9 o nt h el e f th a m i l t o ns e m i g r o u ps ，t h ero f g r e e nr e l a t i o ni si d e m p o t e n tp u r el e f tc o n g r u e n c e ；o nt h el e f th a m i l t o ns e m i g r o u ps 、t h elo fg r e e nr e l a t i o ni si d e m p o t e n tp u r er i g h tc o n - 3 些垄塑蔓奎堂堡主堂垡笙壅 g r u e n c e t h a ti s 也= 玩，l e = e s ， i nc h a p t e r3 , w eg i v et h ec o n c l u s i o nt h a tt h eh o r n o m o r p h i ci r n a g e o fh a m i l t o ns e m i g r o u pi sh a m i l t o ns e m i g r o u p ；b e s i d e s ，w eg i r ead e f t n i t i o nd e s c e n to r d e ro fh a m i l t o ns e m i g r o u pa n dd i s c u s sc h es e m i d i r e c t p r o d u c to ft h eh o r n o m o r p h i es e m i g r o u po fh a m i l t o ns e m i g r o u pa n dt h e d e s c e n to r d e ro fh a m i l t o ns e m i g r o u p ， t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l o w t h e o r e m3 1t h et h eh o m o m o r p h i cs e to fh a m i l t o ns e m i g r o u p e n d so nh a m i l t o ns e m i g r o u pso nt h ep r o d u c t ( 厂9 ) ( z ) = ，( z ) 夕( z ) ，f ，g e n d s ，。s i ss t i l la ，l e f t ( r i g h t )h a m i l t o ns e m i g r o u p t h e o r e m3 6si sal e f th a m i l t o ns e m i g r o u d s 1 = a i ，i ，) ，= 慨，卢4 ) ，s a = ，其中a ；= 吃4 = = e ( o ：) 女日果z = 。2 ，贝0 ( o 。2 ) = ? ，e ( o 。) ) 如果z = e ( n 。) ，则( e ( a 。) ) = e ( 。) ) 同样对于z = b 。，屹；e p 有类似情况 从而 k = u ( a i ) u ( b 。) u ( e ，) ， i e i 7 o e e a p g p 其中，a 4 ，p7 p ，且7 ，a ，p 互不相交且不全为空 显然耳中的元素满足左h 一半群乘法表即为左h 一半群 同理对于右h 一半群也成立 推论2 2h 一半群的子半群仍是h 半群 定理2 3左( 右) h 一半群的同态像仍是左( 右) h 一半群 证明：设t 是左h 一半群的同态像形成的集合，咖为s 到t 的任意一个同态 映射则由同态的性质，对比s ，砂( z ) 的指数都是小于等于3 的 对于指数为3 的咖( z ) ，则 ( ( 占( z ) ) = 西( z ) ；曲( z ) 2 ：咖( z ) 3 ) ， 1 0 堂查塑型奎堂堡主堂垡丝壅 其中西( z ) 3 = ( z ) 4 = = e ( 咖( z ) ) 对于指数为2 的曲( g ) ，即y u ( 吼) u ( 6 。) ，则 i e ， o e a ( 曲( 可) ) = 曲( 掣) ，击( y ) 2 ) 其中咖( g ) 2 = 咖( ) 3 = = e ( ) 对于指数为1 的毋( z ) j 即幂等元，则 ( 砂( 可) ) = ( 曲( 2 ) ) 从而，t = u ( 毋( z ) ) u ( 西( 9 ) ) u ( 曲( 。) ) ， 。1 y e ( 2 z e k 3 其中，啊5 _ ( 吼) ，配= u ，( 啦) u ( k ) ，k 3 = u ( 吼) u ( 6 。) u ( 勺) 一r | ，4 氅一， 2 1 2 a e a l i e l 3。 2 ”e p 而且，k l ，砭，凰互不相交且不全为空且 。 ” j ) u 如) u b ) = ， a - ) u d 。) = a 下证t 满足左h 一半群乘法表， 咖( z 1 ) 妒( z 2 ) = ( z l z 2 ) = 庐( z 笋) = 声m ( z 2 ) 其中，x l ，x 2 u 1 ) ，m ( 2 ，3 ) 咖( g ) 咖( z ) = 妒( z ) = ( z ) = 咖“( z ) ， e 2 ，3 ) 声( 。) 西( z ) = 声( 。z ) = 声( e ( z ) ) t i ) ( z ) 币( ) = 西( 可7 ) 庐( 可) = 咖( z ) ( j 5 ( 可) = ( 可2 ) = 咖( e ( g ) ) 咖( 。) ( 。) = ( ! ，) 咖( z ) = ( z 7 ) 咖( z ) = 声( e ( 名) ) 所以：t 是左h 一半群 注：右h 一半群的情况同理可证明 推论2 4 h 一半群的同态像集合仍是h - 半群 推论2 5 左( 右) h 一半群的商半群仍是左( 右) h 半群 定理2 6 在左( 右) h 一半群s 上，a p b 锚。e = 6 ，其中，。，6 s ，f z t 则p 是s 上的最大幂等分离同余 证明：p 的自反性，对称性显然成立 如果。p b ，b p c ，则存在，f ，m ，nez ，有a k = b 2 ，6 m = c n ，从而口女m ：6 。m ：c m 即 山东师范大学硕士学位论文 a p e 所以，p 是一个等价关系 又对任意c s ：a p b ：存在，f z ，有n 。= b 5 ，而c o t = a “，曲= 铲m ，n f 2 ，3 ) 所以( c ) “= ( c 6 ) 2 ，即c a p c b 同理可证a c p b c 从而p 的相容关系成立所以p 是一个同余关系 如果e p ，e q 乃，e p p e 口，贝ue p 7 “= e ：，m ，nez ，即e p = e q 从而p 是一个幂等分离同余 设( 7 是一个幂等分离同余，如果任意a ，b s ，a ( t b ，则e ( a ) = e ( a ) ，即a p b 所以p 是一个最大幂等分离同余 推论2 7 在左( 右) h 一半群s 上，最大幂等分离同余p ，诱导的商半群为右 零带，其核k e r p = ( o ，b ) s ，；e ( a ) = e ( 6 ) ) 定义28 在左h 一半群s 上，一个左同余p ，如果对任意的。s ，c e s ，a p e 那么a e s ，则称p 为幂等纯左同余 命题2 9 在左h 一半群5 上：g r e e n 关系r 是幂等纯左同余；在左h 一半群，s 上，g r e e n 关系l 是幂等纯右同余即r 。= e s ，l 。= e s 证明：设s 为左h 一半群对任意的z s ，e e s ，如果x r e ，则存在 t t s ， 有z = e u ，根据左h 一半群乘法表；z = e “= e ( z 。) 由于r 为左同余，从而r 为幂 等纯左同余同理可以证明，对右h 。半群l 是幂等纯右同余 命题2 1 0 在左( 右) h 一半群s 上，g r e e n 关系j 是幂等纯同余且v e e s 五= e s ，厶= o ，zej 5 f e 5 证明：对任意的z s ，eee s ：如果x j e ，则存在u ， s 1 ，有口= “= e l y ) e s 即j 是幂等纯同余对任意勺，e q e s ，e p ；1e q ，唧；白= 1e p 岛即 e 。 o _ i ：j j t 以以= e s 如果a ，b s e s ，a d b ，则存在z ，g ，v s 1 ，a = z 的，= u 。u 从而b = 一u x b y v 根 据左i i 一半群乘法表，= u = z = y = 1 即a = b 同理对右h 一半群也成立 5 2 2 ha _ m i l t o n 半群对集合的作用 定义21 1左i 一半群s 1 叫做作用于集合t 上，是指存在一个函数 12 山东师范大学硕士学位论文 s 1 t _ 丁( 通常表示成( s ：z ) hs 茁) ，使得对每一个z t ，s i ：, 9 2 s 1 1 z = z ，( s 1 8 2 ) x = 8 1 ( s 2 z ) 定义2 1 2设，s 为左h 半群，t 为集合：s 1 对t 有左h 一半群作用，任意的 z s ，令母= s s 1s ( z ) = z ) ，称为z 的固定子半群 定义2 1 3设s 为左h 一半群，t 为集合：s 1 对丁有左h 一半群作用：在t 中 引入关系，z y 当且仅当存在s 1 ，s 2es 1 , 8 1 ( z ) = y ，8 2 ( ) = z ：是等价关系，对应 的分类叫做等价类，记为虿，称它为x 所在的轨道 引理2 1 4 ( 1 ) 霹是s 1 的子半群 f 2 ) 一是集合t 中等价关系 证明：( 1 ) 由于1 s 1 ，即砖 对v s i ，s 2 砖，( s 1 s 2 ) ( x ) = s l ( s 2 ( 茁) ) = 8 1 ( z ) = z ，即8 1 8 2 s 1 从而醚是s 1 的子半群 ( 2 ) 对任意z t ，1es 1 ，1 ( z ) = z ，即z z 如果z y ，则存在8 l ，s 2 咒，有s l ( z ) = y ，s 2 ( v ) = z ：即y z 如果z y ，y 一。，则存在8 1 ：8 2 砖，有s 1 ( 3 7 ) = y ：8 2 ( y ) = z ，从而( 8 1 8 2 ) ( z ) = 8 1 ( s 2 ( z ) ) = z ，同理，存在s ：，8 ：s 1 ，有( s ；s ：) ( z ) = 。，即。一z 从而，一是集合t 中等价关系 定义21 5如果左h 一半群s 的子半群k ，k 1 作用于s 上，v x s 固定子半 群琏= k k 1i z = z ) 叫做z 在k 1 中的中心化子，并且表示为瓯( z ) 命题2 1 6设左h 一半群s ，其中自同态半群e n d s 作用于s 上，则z s 的 轨道虿 y sj 与z 的指数相同) 注：自同态半群e n d s 是左h 一半群在下一章中证明 证明：对任意的z ，! ，s ，z g ，则存在 ，南e n d s ，有，1 z = ，2 = z 由于，。厂n 均是同态映射 从而由 。= y ，可得z 的指数大于等于可的指数由，2 可= z ，可得y 的指数大 于等于z 的指数所以z 的指数等于y 的指数 注：反之不成立即指数相同的元素在一个轨道上是不正确的 1 3 山东师范大学硕士学位论文 第三章h a m i l t o n 半群的自同态半群与半直积 本章主要证明h a m i l t o n 半群的自同态半群电是h a m i l t o n 半群并定义了降 次h a m i l t o n 半群，讨论了h a m i l t o n 半群的自同态半群与降次h a m i l t o n 半群的半 直积，直积 3 1 h a m i l t o n 半群的自同态半群 定理3 1任意在左( 右) h 一半群1 5 _ 的自同态集合e n d s ，关于乘法 ( f g ) ( x ) = ，( z ) 9 ( 茁) ，f ，g e n d s ，z s 是一个左( 右) h 一半群 证明：设s 为左h 一半群，对任意的z ，y s ，f ，g ，h e n d s ， ( ，g ) ( x y ) = f ( x y ) g ( x y ) = f ( x ) f ( y ) g ( x ) g ( y ) = e ( 9 ( ) ) ， ( - ，9 ) ( z ) ( ，g ) ( ) = f ( x ) g ( x ) f ( y ) g ( y ) = e ( 9 ( g ) ) ， 即 ( ，9 ) ( x y ) = ( ，9 ) ( z ) ( ，9 ) ( v ) 从而f gc e n d s ，即关于乘法封闭性成立 又由于 ( ，9 ) ( 茁) = ，( z ) 9 ( z ) ( z ) = f ( g h ) ( z ) ， 即关于乘法结合律成立 所以，e n d s 关于定义的乘法形成一个半群 下面证明e n d s 是左h 一半群先证明e n d s 具有左h 一半群的表示形式 ( 1 ) 对于任意 ，e e n d s ，如果存在o ；s ，a j s ，有五，( 啦) = a j ， 则 疗( 啦) = n ，2 ：霄( ) = n 净e ( ) = e ( ，( 0 。) ： 疗( 。) = e ( k ，( 啦) ，n 兰3 对于s 中的其他元素显然有 口( z ) = e ( ，( z ) ，n 3 ，x s 1 4 山东师范大学硕士学位论文 从而这类自同态构成了指数为3 周期为1 的循环半群，即形如 ( ，) = ，露，露) ， 适合片= 月= = e ( ，) 的半群，其中e ( ，i ，) 表示( ，) 中的幂等元 ( 2 ) 对于g 。，e e n d s ，a i ，b 。s ，那么只有n ，2 ；岵，e ( p ) s ， 有 9 。，( 霹) = 町9 ，如，e ( p ) ， 如果存在一个指数为2 的元素：2 或者如与9 。，( b o ) 或者g 。，( 弯) 相等 我们只对其中一种情况讨论，另一种情况类似 则 g ：m 。) = 4 = e ( a j ) = e ( g 。，( 6 。) ) ， 9 ：，( b 。) = e ( 9 。小。) ) ，n 2 从而这类自同态构成了指数为2 周期为1 的循环半群，即形如 ( 9 。，) = g 。，9 ：，) ， 适合g 。2 ，= 9 。4 ，= = e ( g 。，) 的半群，其中e ( g 。，) 表示( 9 。，) 中的幂等元 ( 3 ) 对于h 。一6 e n d s ，如果任意a i ，b 。s ，只存在n ；，6 ；，e ( p ) s ， 有 h ( a 。) = 0 3 ，b ；，e 扫) ， 或者 ( 6 。) = 吩3 ，b ；，e ( p ) ， 则 ( ，r ) = h ，= e ( h p ，) 构成一个单元素半群， ( 4 ) e n d s 是由( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 型半群的并半群： e n d s = u ( r ) u ( g 。，) u ( e ( h d ) ) ， 其中，a ，p7 互不相交且不全为空，并且表示式唯一 其次证明自同态集合的元素关于乘法满足左h 半群乘法表 1 5 p“ 莺 = 、jk 昔或 山东师范大学硕= b 学位论文 对任意的 ， ，e e n d s ，n z 一，如果存在a j a k s 有 五，( a i ) = ， ，( a i ) = a k 则 其中 从而 五，厶，( 。z ) = 厶，( o i ) 厶，( n i ) = a j a k = 。妒= 垆( ) m = 2 ，3 对其他情况如b 。，e ( p ) 可类似证明 r j 对任意的g 。， re e n ds ，a i s ，如果存在a j ，s 有 ，( a i ) = a j ，g 。，( n 。) = b z ， 则 五，g 。，( o 。) = 五，( n 。) 9 。，( n 。) = b z a j = = 9 孑( n 。) 其中n = 2 ，3 对其他情况可类似证明 从而 ，9 。，= 9 警 又显然 7 咭， ，= 露= e ( a 五，g 。，= g g 。，= h p ，9 。，= e ( 口。，) = 9 ：， ，h p ，= g a h p ，= h g ，h p ，= h p ， 所以e n d s 满足左h 一半群乘法表 因此，e n d s 关于乘法，9 ( z ) = f ( x ) g ( x ) 构成左h 一半群 同理可证明右h 一半群5 _ 的自同态集合e n d s 关于乘法 f g ( z ) = ，( ：e ) 9 ( 茁) ，f ，g e n d s ，z s 是一个右h 一半群 推论3 2 h 一半群s 的自同态集合e n d s ，关于乘法 是一个h 一半群 ，9 ( z ) = ，( z ) 9 ( 。) ，f ，g e n d s ，z s 1 6 山东师范人学硕士学位论文 定义3 3在左h 一半群e n d s 中引进关系：z y 甘z = 或者z 右整除 引理34 ( e n d s ，) 为半序集，v i7 ，7 ，。7 a ，p 尸：则 芹茎z 甘z = 群，1 s zs3 g ：，z 铮z = g ：，1s f 2 ； h 。，z 甘z = h v ， 因而极小元集为b ( s ) = 五，；i7 ，7 ；9 。，7 a ：h p 1 p p ) ，以下称之为基集，极 大元集为幂等元集e ( e n d s ) 定理3 5在左h 半群e n d s 中，关于s 的h a s s e 图( 即覆盖图记为g ( e n d ( s ) ) 是( 可以无限的) 有向森林，每个( 可以无限) 的有向树层数墨2 ，代表一个单一幂 等元的极大子半群e n d s e ( 。，) ，e ( h p t ) e ( e n d s ) ，叶为基元，根为幂等元，反之，任 给层数2 的有向森林都是某个左h 半群的h a s s e 图 证明：有引理3 3 ，g ( e n d ( s ) ) 中的每条孤( 。 y ) 只有以下三种类型：( 圩- 五a ( 牟一斥) ，( 9 ：，_ g 。，) i ，a ，弧两端的点显然属于同一e n d s 。( h 。小 因而不同的e n d s 。1 之间既无公共顶点也不连通，且所有极大通道形如弗叫 序一 ，9 ：，寸g 。，：i ，7 ，o a7 ，在每个e n d s 。( 。，) 中从幂等元e ( p ，) 可达到 每个顶点，即e ( h 。一) 为根，而由引理3 3 ，根e ( h 。，) 到e n d r ( ，) 中的每个顶点的通 道, f t - ，因而每个e n d s 。1 表为一个有向树：最长通道氏( 即树层数) 茎2 ，基元是 p 极小元，故为叶 反之，设g 为任意层数曼2 的非平凡有向森林，顶点集为e n d s ，取g 的层 数为2 ，l ，o 的叶集分别为 ，l i7 j ) ， 9 。“7 a ) ，( ，l p p ) ， ，到根的通道 的3 个点记为( ，辟，撑，g 。，到根的通道的2 个点记为9 。，9 ：，若 ，厶，( i j ) 到根的通道有两个公共点，则规定圩= 乃：月= 群，若规定髟= f ；：如 ，g 。， 到根的通道有一个公共点，则规定群= 9 ：， 另外规定v i 。，血a ，p 尸，蜉= 乃= ，9 ：，= g ：，= ，h p ，= ：，= ，e n d s 中例如可规定乘法为： 任取z ：扩一= x k - h ，x 。y 2 = 的根，当z y 时，乘法是良定义的，即若 z ：- = 一，井= y 则z ：t i t = 扩萨这可就各种情况一一验证，同时，乘法是结合的， 且与每个叶的方幂运算一致即( e n d s ，) 为左h 一半群易见( e n d s ，- ) 的h a s s e 图即已给的有向森林g 注：在定理35 中、左改为右，定义3 3 中右改为左仍然成立 1 7 l u 东师范大学硕士学位论文 定理36 任意h 一半群e n d s ，作为h 一半群的h a s s e 图a ( e n d ( s ) ) 是f 可以 无限的) 有向树，根为唯一一的幂等元e ( 。，) ) 叶集为基b ( e n d s ) ，层数s2 ，反之任 给层数s2 的有向树都是某个h 一半群的h a s s e 图 定理37设s 是任意一个左h 一半群 s 1 = ( a i ，i ) ：s 2 = 6 口，声a ) ，s a = ( e ( p ) ，p p ) ， f 是s 上的自同态则有映射 ( 1 ) s - _ s ，( 2 ) 岛叫s s ，( 3 ) fi , g z ：s 3 叫风 适合 ( 4 ) f ( a i a j ) = fi s 。( o 。) ，i s ：( a j ) ，a i ，a j s ， ( 5 ) ，( 啦) = fk ( b e ) ，l s ( ) ，a i ，6 口s ， ( 6 ) ，( 啦妇) = fj s 。( 啦) ，j 岛( 知) ，a i ，如s ， ( 7 ) ，( z e ( p ) ) = f1 5 。( 。) ，l s 。( e ( p ) ) ，z ，e ( p ) s 1 ，2 ：3 ) 为映剩 反之，fl s 。，厂 s 。，fi s 。为上述映射，则f 是自同态映射 证明：因为，是自同态，所以( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) 显然成立 反之，显然，是s 到其自身的映射下面证明_ 厂是同态映射 对任意的a i a j s ，有 f ( a i a j ) = ，( n 严) = ，i s ，( 妒) = ，i s 。( a i ) fi s ，a ，) = ，( 。) ，( ) 对任意的a i ，6 8 s ，有 ，( 。) = f ( e ( b e ) ) = e ( f ( b z ) ) = e ( fl s 。( b e ) ) = fi s 。( a o f ( ) = f ( a i ) f ( b s ) ， 再由( 5 ) 得 f ( b e a 。) ：fl s 。( b s ) fi s 。( a i ) = ，( 如) ，( 吼) 对任意的n 。，e ( p ) s ，有 ，( n 伊( p ) ) = ，( e ( p ) ) = fi ( e ( p ) ) 1 8 山东师范大学顶七学位论文 从而，是自同态映射 = f 【s ( 。) ，k ( e ( p ) ) ， = ，( 吼) ，( e ( p ) ) ， ，( e ( p ) ) = ，( b 口) ，( e ( p ) ) ，( e ( p ) n 。) = f ( e ( a i ) ) = ff s 。( e ( 。) ) = fb ( e ( p ) ) ，i s ( a i ) = ，( e ( p ) ，( ) ) ： f ( 4 p ) b 口) = ，( e ( p ) ) ，( 6 口) 5 3 2降次h a m i l t o n 半群与其同态半群的半直积 定义3 8 左h 半群s = u ( 。) u ( 6 。) u ( e ，) ，除去指数为3 的元素，即 i e ， a p e p s = u ( n ；) t j ( 6 。) u ( e p ) ，形成的左h 一半群，称为s 的降次左h 一半群 i e ，o ap e p 定义3 9设s 为幺半群，t 为半群e n d ( t ) 为t 的自同态半群，令0 f ：s - - - - 9 e n d ( t ) ，s 。( s ) 为给定的半群同态，如果s s ，tet ，设t “( 5 ) = 只则关于 s ，r s t ，t ，( 地) 5 = t 5 u 5 ，( 矿) = t ”在直积s t 中定义乘法( s ，t ) ( s ；t ) = ( s s 。，z s 。t ) ，则s t 关于此乘法做成半群称之为s 和t 的半直积，记为s 。t 定理31 0左h 一半群s 的自同态半群e n d s 与s 的降次左h 一半群s 的 半直积e n d s 。s 是左h 一半群，其中任意的z s7 ，e n d s ，x s = ，( z ) 有 证明：( 1 ) 对于形如( ，。) 的元素，其中五，为指数为3 的自同态映射 ( ) 2 = ( 辟，z o z ) = ( 露，e ( z ) ) ( ，z ) 3 = ( 露，e ( z ) ) ( 五，z ) = ( 岸，e 扛) ) = ( e ( ，) ，e ( z ) ) 从而 ( ( ，。) ) = ( ，z ) ，( ，z ) 2 ，( 凡，z ) 3 ) ， 适合 ( ，z ) 3 = ( ，：。) 4 = = ( e ( 五，) ，e ( 茁) ) = e ( ，。) 1 9 山东师范大学硕士学位论文 指数为3 周期为1 的循环半群，其中e ( ，z ) 表示( ( 六，：z ) ) 中的幂等元 ( 2 ) 对于形如( 9 。，z ) 的元素，其中g 。，为指数为2 的自同态映射 有 ( g 。，z ) 2 = ( g 。，z 9 a7 z ) = ( e ( 9 。，) ，9 。，( z ) z ) = ( e ( g 。，) ，e ( 。) ) 从而 ( ( 口。，z ) ) = ( 目。，：z ) ：( 9 。，z ) 2 ， 适合 ( g 。，。) 2 = ( g 。，；z ) 3 = = ( e ( 9 。，) ，e ( z ) ) = e ( 9 。，。) ， 指数为2 周期为1 的循环半群，其中e ( ，x ) 表示( ( 9 。，z ) ) 中的幂等元 对于形如( ，z ) 的元素，其中z 为s 中指数为2 的元素，任意的g e n d s 类似的可以得到 ( ( f ，z ) ) = ( ，z ) ，( ，z ) 2 ， 适合 ( ，z ) 2 ：( ，。) 3 = = ( e ( f ) ，e ( z ) ) = e ( ，z ) 指数为2 周期为1 的循环半群，其中e ( ，z ) 表示( ( ，z ) ) 中的幂等元 ( 3 ) 对于形如( 。，唧) 的元素，其中h p ，为e n d s 中的幂等元，e p 为s 中的幂等 元 则 ( ，e p ) 2 = ( h p ， ，e ，h p e ，) = ( ，e p ) = e ( h p 叫，) ， 从而 ( ( ，e ，) ) = ( 一，唧) ) 为单元素半群 ( 4 ) 若干互不包含( 可以相交) 的( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 型半群的并半群 e n d s 。s = u ( ( 五，z ) )u ( ( 9 。，。) ) u ( ( 九，e ，) ) ， i ，z c s n a ，z s p p 其中指标集_ 7 ，a7 ，p 互不相交且不全为空，并且表示式唯一 下面证明( 4 ) 的元素关于乘法满足左h 一半群乘法表： ( ，z ) ( 乃，9 ) = ( ，厶，z ，f ) = ( ，e ( ) ) = ( ，9 ) ” 其中m = 2 3 ( 9 。叫) ( 五，z ) = ( g a f t ，g z ) = ( ，e ( z ) ) = ( ，。，z ) ： 山东师范大学硕士学位论文 其中n = 2 ，3 r ( h ，e p ) ( l ，z ) = ( 。， ，e z ) = ( e ( 五，) ，e ( z ) ) = e ( ，z ) 周理可证明 ( ，。) ( 9 。，y ) = ( ，g 。，。7 t7 y ) = ( e ( 9 。，) ，e ( ”) ) = e ( ( 9 。，) ) ( g 口，z ) ( 9 。一，y ) = ( 。，e ，) ( 9 。，) = ( g 。，) 2 = e ( 9 。，9 ) ( “z ) ( p ，e ，) = ( ， ， ，z h p , e ，) = ( ，e ，) ； ( 9 口，z ) ( p ，e p ) = ( h q ，e q ) ( h p ，e p ) = ( h p ，e p ) 即( 4 ) 中元素满足左h 一半群乘法表 因此，半直积e n d sx 。s7 是左h 一半群 推论31 1右h 一半群s 的自同态半群e n d s 与s 的降次右h 一半群s 的 半直积e n d ( sx 。s ) 是右h 一半群，其中任意的。s ，fe e n d s ，x i = ，( z ) 命题31 2h 一半群s 的自同态半群e n d s 与s 的降次h 一半群s7 的半直积 e n d s x 。s7 是h 一半群，其中任意的z s ，fe e n d s ，x i = ，扛) 定理31 3 对于左( 右) h 一半群e n d s x 。s ，有以下结论 ( 1 ) ( 厂，z ) e ( e n d s 。) 号，e ( e n d s ) ，。c e ( s ) ( 2 ) v f e ( e n d s ) ，令。+ ( ，) 为( ，) 在e ( e n d s ) 上的限制，则( ，) e e n d e ( s ( 3 ) + ：e ( e n d s ) 斗e n d e ( s ，r _ 乜+ ( ，) 是同态映射 ( 4 ) e ( e n d s 。s ) _ e ( e n d s ) x e ( s - e ( e n d s ) 。e ( s 7 ) 命题31 3左( 右) h 一半群s 的降次左( 右) h 一半群s7 与自身的直积s 7 s 7 是左( 右) h 一半群 定理31 4设s 是左h 一半群，s 7 为s 的降次左h 一半群，e n d s 为s 的自同 态半群，f i r e 。