（应用数学专业论文）不确定理论下的可转债定价模型.pdf

中文摘要 摘要 可转债作为一种成熟的金融工具已有一百多年的历史，在西方发达国家资本市场上发 挥着重要作用随着中国资本市场的发展，可转债越来越得到人们的关注，近些年发展十分 迅速，已成为我国上市公司一种重要的融资工具和二级市场上主要的投资品种之一正确 评估可转债的价值对于公司合理设计发行条款、投资者理性投资以及金融市场健康发展 都具有十分重要的意义 随着经济全球化发展，金融市场日趋成熟和完善，而通常而言，金融市场充满了不确定 性，为了更好地研究金融市场，刘宝碇教授在2 0 0 7 年建立了不确定理论，这种将随机性与模 糊性相结合的理论，可以更好地刻画未知的不确定事件，给出更符合实际的金融衍生产品 定价模型不确定理论通过引入不确定变量，不确定测度，不确定过程等新内容，已成为一 门重要的数学分支 本文主要致力于在不确定理论下的可转债定价模型的研究假设企业价值服从几何标 准过程，将可转债拆分成债券和期权的资产组合，运用不确定理论，更好地刻画可转债市场 的不确定因素，试图得到更加准确的可转债定价模型论文首先在第一章综述了可转债的 基本理论、特点以及在国内外的发展历史和研究情况；第二章介绍不确定理论的基本概念 和相关知识；第三章给出模糊金融市场中的套利的定义和无套利的一些基本性质；在第四 章中，将可转债拆分成纯债券，欧式看涨期权和欧式看跌期权的某种资产组合，基于公司的 价值变动时服从几何标准过程的假设，给出在不确定理论下，可转债的定价公式，带信用风 险的债券定价以及带票息和红利的可转债定价公式：论文的第五章对可赎回和可回售的可 转债定价进行了理论分析，给出了市场利率在不确定理论下的表达式 关键词：可转债，不确定理论，模糊，无套利，欧式期权 第1 页 上海师范大学硕士论文 a b s t r a c t c o n v e r t i b l eb o n d sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nc a p i t a lm a r k e t si nw e s t e r nd e v e l o p e dc o u n t r i e s a sas o p h i s t i c a t e df i n a n c i a li n s t r u m e n tf o rm o r et h a no n eh u n d r e dy e a r s w i t ht h ed e v e l o p m e n to f c h i n a sc a p i t a lm a r k e t ，p e o p l ep a ym o r ea n dm o r ea t t e n t i o nt oc o n v e r t i b l eb o n d sw h i c h d e v e l o p e d v e r yr a p i d l yi nr e c e n ty e a r sa n dh a v eb e c o m et h ei m p o r t a n tf i n a n c i n gt o o lf o rc h i n a sl i s t e dc o r n p a n i c sa sw e l la so n eo ft h em a j o ri n v e s t m e n tp r o d u c t s i nt h es e c o n d a r ym a r k e t i t si m p o r t a n tt o e v a l u a t ec o n v e r t i b l eb o n d sa c c u r a t e l yf o rt h er e a s o n a b l ed e s i g no fi s s u e r s ，t h er a t i o n a li n v e s t m e n t o fi n v e s t o r sa n dt h eh e a l t hd e v e l o p m e n to ft h ef i n a n c i a lm a r k e t s a l o n gw i t ht h ee c o n o m i cg l o b a l i z a t i o n ，f i n a n c i a lm a r k e tb e c o m e si n c r e a s i n g l ym a t u r ea n d c o m p l e t e w h i l eg e n e r a l l y t h ef i n a n c i a lm a r k e ti s 疔a u g h tw i t hu n c e r t a i n t y i no r d e rt ob e t t e rs t u d y t h ef i n a n c i a lm a r k e t s ，p r o f e s s o rl i ub a o d i n ge s t a b l i s h e du n c e r t a i n t y t h e o r yi n2 0 0 7 u n c e r t a i n t y t h e o r yc o m b i n e dr a n d o mt h e o r ya n df u r yt h e o r yt o g e t h e rc a l lb e t t e rd e s c r i b et h eb e h a v i o ro f u n c e r t a i np h e n o m e n aa n dg i v em o r er e a l i s t i cf i n a n c i a ld e r i v a t i v e sp r i c i n gm o d e l s u n c e r t a i n t y t h e o r yi sab r a n c ho f m a t h e m a t i c sb yi n t r o d u c i n gu n c e r t a i nv a r i a b l e s ，u n c e r t a i nm e a s u r e ，u n c e r t a i n p r o c e s sa n do t h e rn e wc o n t e n t ， t h i sd i s s e r t a t i o ni si n t e n d e dt os t u d yt h ec o n v e r t i b l eb o n dp r i c i n gm o d e lf o r t h eu n c e r t a i n t y t h e o r y s u p p o s et h ee n t e r p r i s ev a l u ei sd e s c r i b e db yag e o m e t r i cc a n o n i c a lp r o c e s sa n dt h ec o n - v e r t i b l eb o n d sa r ec o m p o s e do fb o n d sa n do p t i o n s i tt r i e st og e tm o r ep r e c i s ec o n v e r t i b l eb o n d s p r i c i n gm o d e l sb yu s i n gt h eu n c e r t a i n t yt h e o r yt ob e t t e rc h a r a c t e r i z et h eu n c e r t a i n t yo f c o n v e r t i b l e b o n d sm a r k e t s f i r s t ，t h i sp a p e rh a sa no v e r v i e wo fc o n v e r t i b l eb o n d si nt h eb a s i ct h e o r y , c h a r a c t e r i s t i c s ，h i s t o r yo ft h ed e v e l o p m e n ta n dr e s e a r c hs i t u a t i o na th o m ea n da b r o a d ；c h a p t e r2i n t r o d u c e st h eb a s i c c o n c e p t sa n dr e l a t e dk n o w l e d g eo fu n c e r t a i n t yt h e o r y ；i nc h a p t e r3t h ed e f i n i t i o no f a r b i t r a g ea n d s o m eb a s i cp r o p e r t i e so fn oa r b i t r a g ei nf u z z yf i n a n c i a lm a r k e t sa r eg i v e n ；i nc h a p t e r4 ，w ec o n - s t r u c t e dt h ef o r m u l ao fc o n v e r t i b l eb o n d sp r i c i n g ，b o n d sp r i c i n gw i t hc r e d i tr i s k sa n dc o n v e r t i b l e b o n d sp r i c i n gw i t hi n t e r e s ta n dd i v i d e n d sr e g a r d i n gt h ec o n v e r t i b l eb o n d sa sap o r t f o l i oo f b o n d s ， e u r o p e a nc a l lo p t i o n sa n de u r o p e a np u to p t i o n sb a s e do nt h ea s s u m p t i o nt h a te n t e r p r i s ev a l u e f o l l o w st h eg e o m e t r i cc a n o n i c a lp r o c e s s i nc h a p t e r5 ，w ea n a l y z et h ep r i c i n go fr e d e e m a b l e c o n v e r t i b l eb o n d sa n dc o n v e r t i b l eb o n d sw h i c hc a l lb es o l db a c kt oc o m p a n ya n dg i v eo u tt h e e x p r e s s i o no fm a r k e ti n t e r e s tr a t eu n d e ru n c e r t a i n t yt h e o r y k e yw o r d s ： c o n v e r t i b l eb o n d s ，u n c e r t a i n t yt h e o r y , f i l z 戮n oa r b i t r a g e ，e u r o p e a no p t i o n 第1 i 页 论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取 得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任 何他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。 签名：日期： p 慷f 1 衫 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅； 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名： 日 期： 导师签名： 日期： 第一章前言 第一章前言 1 1引言 随着我国资本市场的发展和完善，可转换公司债券( c o n v e r t i b l eb o n d s ，c b s ，以下简称可 转换债券，有时也称为可转债) 这种在西方发达国家常用的融资方式，逐步在我国被广泛接 受和运用可转换债券是一种介于债券和股票之间的可转换融资工具与普通债券相比，可 转换债券是一种附有”转换条件”的公司债券债券持有者可以在将来某个规定的期限内按 约定条件转换为公司普通股票。可转换债券兼具债券和股票的特征，可转换债券包括票面 值，转换价格，转换时间以及票面利率等基本要素可转换债券的优点是有普通股票所不具 备的固定收益和一般债券所不具备的升值潜力 早在1 8 4 3 年，美国的n e wy o r ke r i e 公司发行了世界上第一张可转换债券但到2 0 世 纪7 0 年代，可转换债券在全球的发展都非常缓慢，七十年代后，美国经济极度通货膨胀使得 债券投资人开始寻找新的投资工具，可转换债券由此进入人们的视野，并在此后的3 0 年在 全球迅速发展起来，以其独特的金融性质逐渐为投资者们所熟悉并受到广泛的欢迎最近几 年，由于网络股泡沫和战争所引起的全球股票市场的震荡和萧条，可转债的优势凸显无疑； 加上各国利率水平的不断下降，可转债的融资成本大幅降低，可转债市场的发行规模不断 创出新的记录根据有关资料统计表明，目前全球每年新发行的可转债规模已超过1 0 0 0 亿 美元 在美国、日本等一些发达国家，可转换债券长期以来都是公司融资的一种重要途径从 上世纪8 0 年代以来，亚洲可转换债券市场逐渐形成发展，日趋成熟许多跨国公司发行了大 量的可转债，募集了数千亿美元资金，大投资银行，如美林、高盛等承销的可转债已经超过 了股票i p o 规模这说明可转债已是国际资本市场的一个重要组成部分 与西方发达国家相比，我国的可转换债券市场尚处于初步发展阶段我国可转债市场起 步于2 0 世纪9 0 年代初期当时，深圳宝安集团股份有限公司于1 9 9 2 年1 1 月1 9 日推出了可转 债品种由于市场价格的波动和转换条款设置的不合理，以及投资者对可转债特性认识的 不清，1 9 9 5 年到期时仅有1 3 5 0 万元转股，转股率仅为发行总额的2 7 最后深圳宝安集团股 份有限公司不得不筹集了5 3 亿元用于还本付息自深圳宝安集团股份有限公司发行可转 债失败之后，我国可转债市场的发展基本处于停滞状态，而同期的股票市场呈现几何级数 的增长。2 0 0 1 年中国证监会出台上市公司发行可转换公司债券实施办法( 简称实施 办法) ，我国可转债进入全面发展阶段越来越多的上市公司倾向于发行可转换债券这种 新的融资方式近一个时期以来，中国证券市场上发行可转券的上市公司数量迅速增加，可 转换债券的发行规模也迅速扩大，从2 0 0 2 年存量不到1 0 0 亿到2 0 0 5 年时存量超过3 0 0 亿但 是2 0 0 6 年出台的上市公司证券发行管理办法进一步明确了可转债的发行条件、规则， 并第一次将分离交易可转债列为上市公司再融资品种，有不少企业转向发行可分离交易可 第1 页 上海师范大学硕士论文 转换公司债，普通可转债发行规模降低从2 0 0 6 年4 月开始，普通可转债规模在9 0 1 2 0 亿元左 右2 010 年上半年转债发行额至少将达到9 0 亿元左右，远超过0 9 年全年发行量，供给好转的 趋势非常清晰据专家推测，2 0 1 0 年可转债存量任将在1 0 0 1 3 0 亿元左右 可转换债券与一般债券相比有其特有的性质： 一、债权性：与其他债券一样，可转换债券也有规定的票面价值，利率和到期日，持有 者可以选择持有债券到期，收取本息 二、股权性：可转换债券在转股前是纯粹的债券，但当持有人选择转换成股票后，原债 权债券持有人就债权人变成了公司的股东，按照有关规定有权参与公司的经营决策和红利 分配 三、可转换性：可转换性是可转换债券特有的重要标志，债券持有人可以按事先约定 的条件将债券转换成股票债券持有人可以选择转换也可以选择继续持有债券，可转换债 券这种可债可股的特性，使得对其定价研究非常重要 1 9 9 1 年，琼能源发行了我国境内的第一只可转换债券从此，可转换债券这一投资品种 登上了中国的资本舞台但当时，监管部门没有发布可转换债券融资的相关文件，只是一些 个别的企业处于融资需要，开始尝试发行可转换债券，对于当时的可转换债券来说仅仅限 于尝试阶段直到1 9 9 7 年3 月，可转换公司债券管理暂行办法出台，3 家非上市公司( 南宁 化工、吴江丝绸和茂名石化) 先后发行可转换债券，中国的可转换债券市场正式登上历史舞 台2 0 0 1 生v - 4 月下旬，中国证监会颁布了上市公司发行可转换公司债券实施办法和三个 配套的相关文件这一办法具有里程碑的意义，标志着中国可转换债券市场的发展步 入了一个新的阶段2 0 0 6 年5 月8 日，中国证监会又发布了上市公司证券发行管理办法， 明确规定了上市公司可以公开发行可分离交易的可转换公司债券，改变了可转换债券品种 的单一性在2 0 0 7 年，温家宝就提出应”加快发展债券市场”，推进债券发行制度市场化改革， 明确要”扩大企业债券发行规模，大力发展公司债券”经历了2 0 0 8 年惊心动魄的股市下跌 和2 0 0 8 年下半年债券指数的陡峭曲线，人们逐渐把目光投入一些较为稳妥的投资品种，可 攻可守的可转换债券成为了一个很好的选择 基于以往的文献大多都是在随机的情况下研究可转换债券的定价问题，为了能够更贴 合实际地来考虑金融市场中的可转换债券定价，我们引入不确定理论刘 1 】在2 0 0 7 年建立 了不确定理论，不确定是由随机理论，模糊理论和机会理论组成的一个新的用来刻画不确 定的数学理论不同于随机性，模糊性是另一种用来刻画不确定的数学理论，但往往很多情 况下，这两种理论都不能全面的刻画一些不确定事件，而不确定理论，这种将随机性与模糊 性相结合的理论，可以较好地刻画未知的不确定事件，它通过引入不确定变量，不确定测度， 不确定过程等新的内容使其成为一门重要的数学分支在不确定理论下讨论可转换债券的 定价问题目前几乎还是一片空白，因此研究这一问题，其意义是显而易见的 第2 页 第一章前言 1 2 文献综述 国内外关于可转换债券定价理论的研究大致可以分成四个阶段第一个阶段， 是2 0 世纪7 0 年代中期以前，可转换债券的理论研究主要集中在可转换债券的基本概 念，转换价格的确定和调整方法等方面，没有开展深入的价值特质的讨论其理论模 型最初f l t p o e n s g e n 在1 9 6 5 年引入，随后s e g a l l 和g r e e n 、j e n n i n g s ( 1 9 7 4 ) 2 对其做了一些改 进，最初的模型具有人为限制转换权并且不考虑利率的变化的缺陷第二个阶段为2 0 世 纪7 0 年代后期到2 0 世纪8 0 年代后期，随着博弈论在微观经济学中的迅速发展与运用， b l a c k s c h o l e s 3 的期权定价理论的问世b l a c k s c h o l e s 3 的期权定价理论不仅为衍生 产品定价提供了数学处理的范式，更重要的是它的思想可以自然的扩展到一般的衍生 产品的定价中来在现代研究中来，b l a c k s c h o l e s 3 的期权定价理论与技术被大大扩 展了，主要体现在定价模型、研究对象、数值模拟上在定价模型上，期权定价公式 的原始推导过程中的几个限制性假设已经被放松了在现代期权定价中，利率可以是 随机的，股价过程可以不是几何布朗运动，价格过程中可以包含跳跃，交易成本、红利 支付可以考虑在研究对象上，几乎所有的金融产品都可以纳入到期权定价的框架中 来可转换债权的定价研究当然也不例外最早将期权定价方法运用于可转换债券定 价问题中的是i n g e r s o l l ( 1 9 7 7 ) 【4 】，b r e n n a n 和s c h w a r t z ( 1 9 7 7 ) 5 在他们的模型中，可转换 债券的价值只依赖于一个标的变量，即公司的市场价值假设公司价值变化满足一个 随机扩散方程，市场利率为常数，运用b l a c k s c h o l e s 期权定价方法，导出了可转换债券所 满足的偏微分方程为了改进利率为常数的这一缺陷，b r e n n a n 和s c h w a r t z ( 1 9 8 0 ) 6 提出 了双因数模型在这一模型中，即期利率是变化的并满足一定的利率期限结构随后， n y b o r y ( 1 9 9 6 ) 7 对此模型又进行了两个改进：在其中考虑了回售条款和浮动利息对可 转换债券价值的影响另外，c a r a y a n n o p o u l o s ( 1 9 9 6 ) 8 也发展了这一模型，并做了相关检 验t s i v e r i o t i s 和f e m a n d e s ( 1 9 9 8 ) 9 在此基础上进一步将可转换债券的定价理论加以完 善，并且给出了定价公式在他们的论文中，认为利率的随机波动对可转换债券的价格 影响较小，可以忽略，因此可转换债券就可以看作只是标的股票的衍生产品，所以他们 的模型仍旧是单因素模型但他们的研究方法与前人不同的是，不再将可转换债券看作 是普通债券和看涨期权的组合，而是将可转换债券的价格分解为现金部分和权益部分 h o 与p f e f f e r ( 1 9 9 6 ) 1 0 弓i 入了基于股价运动的可转换债券定价双因素模型，其中利率波 动模型采用h o 和l e e ( 1 9 8 6 ) 模型，这个利率模型比b r e n n a n 和s c h w a r t z ( 1 9 8 0 ) 6 使用的利率 模型优点是它可以根据利率初始期限结构进行比较，因此对利率运动的模拟更加准确 d a v i s & l i s c h k a ( 1 9 9 9 ) 11 】提出了一个可转换债券定价的三因素模型，他们认为可转债的价 格波动取决于三个因素，利率、股价和违约风险 我国对可转换债券定价研究起步较晚，尚处于初级阶段，最近几年才出现了一些对可转 换债券定价的理论研究和实证研究的尝试周琳( 2 0 0 2 ) 1 2 】提出可转债的价值等于债券的 价值加上可转债含的欧式买权的价格吴圣涛，胡春霞( 2 0 0 3 ) 1 3 将可转换债券的价值看成 第3 页 上海师范大学硕士论文 是普通债券加上期权的价值，对其分别进行求值，再求其和，这种方法称为拆分求和法它 只有在股票没有现金分红，可转换债券不可提前赎回和回售的情况下才可行郑小迎，陈金 贤( 2 0 0 0 ) 1 4 在考虑了股票价格和利率两个影响因素的情况下，利用无风险套利理论推出了 可转换债券的双因素定价模型该模型中的利率模型反映了利率的均值回复特性，并考虑 到转债的股权稀释效应，因此取得了较大的进步范辛亭、方兆本( 2 0 0 1 ) 1 5 发现对处于虚 值状态的可转换债券需要考虑债券的恶意违约风险，在加入风险补偿后也获得了满意的定 价蒋殿春，张新( 2 0 0 1 ) 1 6 利用二叉树法对可转换债券的定价进行了研究，并灵活处理了赎 回、回售和向下修正条款的影响，把利率期限结构分成了三种情况来处理，也取得了不错 的结果何佳和夏晖( 2 0 0 5 ) 1 7 扩展s t e i n ( 1 9 9 2 ) 【1 8 】的理论模型，从控股股东角度出发考察在 有控制权力利益的情形下，企业对普通债券、可转债以及股票等不同融资工具的选择控 制权利益的存在使得“好”企业有内在动力发行可转债s t e i n ( 1 9 9 2 ) 1 8 模型中无成本的分 离均衡将不是唯一的企业发行可转债是市场上各类企业的控股股东和外部投资者互相博 弈的结果也给我们研究国内可转债定价方法提供了一种新的思路 此外也有一些用随机性来研究信用风险的文献，例如王承炜和吴冲锋( 2 0 0 1 ) 1 9 采用 了m o n t e c a r l o 模拟方法求得达到赎回条件和回售条件的概率，并利用有限差分方法进行 了求解，指出回售条件对投资者的贡献较小王莉君，魏正红，张曙光( 2 0 0 3 ) 2 0 研究了带 有随机利率和破产风险等几种信用模型的可转换债券的定价模型和相关的计算方法，并 在一般的c o x 模型下，得到了某种意义下的显式公式和偏微分方程模型黄健柏，钟美 瑞( 2 0 0 3 ) 2 1 】推导出具有信用风险( 非恶意和恶意违约风险) 的可转债定价模型的p d e 及其 约束、边界条件马超群，唐耿( 2 0 0 4 ) 2 2 1 研究了带信用风险的二叉树定价模型，但是文章没 有考虑不同上市公司的信用风险差别徐培沛，成飞( 2 0 0 6 ) 2 3 利用无套利原理和二叉树模 型研究了信用风险下的可转换债券定价模型，在求出可转换债券所满足的偏微分方程的同 时，也选取我国可转换债券市场的样本数据进行了实证分析 综上所述，从国内外的研究成果来看，目前对可转换债券定价模型的研究主要分为三 种：第一种是通过利用和改造b l a c k s c h o l e s 期权定价公式，来计算可转换债券的价值第二 种是利用各种现有的定价模型，然后通过一些树方法来求解第三种是把期权的二叉树定 价法引入可转换债券定价模型中 本文研究的可转换债券定价模型是在不确定理论的框架下，关于这方面的研究还处于 刚刚起步的阶段在刘( 2 0 0 7 ) 1 建立的不确定理论的基础上，刘给出了刘的股票模型，拉开 了在不确定理论下关于金融衍生产品定价模型和应用研究的序幕随后，c h e n 和l i u 2 4 又 给出了不确定偏微分方程的存在唯一性定理，为在不确定理论下研究偏微分方程提供了理 论依据并相应得出了不确定理论下欧式看涨、看跌期权的定价公式在这个基础上，一 些金融模型相继给出，p e n g 2 5 等利用期权定价的思路，在刘的基础上给出更具体的一些模 型此外，x 硼p e n g 2 6 给出了不确定金融市场中的障碍期权定价公式随后y u 2 7 给出了 不确定理论下带跳的股票模型l i u 2 8 2 9 分析了不确定汇率下的货币模型和分期支付红 利的不确定股票模型 第4 页 第一章前言 1 3 本文要解决的问题 本文要解决的问题主要有以下三个部分： ( 一) 随着经济全球化的发展，金融市场日趋成熟和完善，而通常而言，金融市场充满 了不确定性，为了更好地研究金融市场，更加准确地刻画和研究金融衍生产品，刘提出了不 确定理论。概率论，可靠性理论和机会理论都可以归结到不确定理论的统一框架中，不确定 理论能更好地反映未知的不确定事件，给出更符合实际的金融衍生品定价模型本文第二 章主要研究不确定理论中模糊金融市场中的无套利原理，给出套利的定义和模糊金融市场 中无套利的一些基本性质，以次来进一步完善不确定理论在金融市场中的理论研究 ( 二) 随着经济的飞速发展和金融衍生产品的推层出新，可转换债券这一可攻可守的 投资产品已受到越来越多的关注其定价模型也逐步得到完善和发展，但在不确定理论下 对可转换债券的定价模型研究至今还是空白本文第四章就主要针对在不确定理论下可转 换债券定价做一些理论上的探讨通过假设企业价格服从几何标准过程，将可转换债券拆 分成纯债券，欧式看涨期权和欧式看跌期权的某种资产组合，运用不确定理论，给出简单可 转换债券的定价模型，进而再讨论支付票息和红利的可转换债券定价模型同时本文还给 出了带信用违约风险的债券定价模型 ( 三) 在实际可转换债券市场，可转换债券都附有很多条款，如赎回条款、回售条款 等本文第五章就将在第四章讨论的基础上，进一步研究在不确定理论下附加条款的可转 换债券定价模型同时，在可转换债券的研究中，利率闷题一直是一个十分关键的考虑因 素，在以往的随机利率模型下，中外学者广泛研究了考虑利率问题的双因素，乃至多因素可 转换债券定价模型本文将研究在不确定理论下的利率问题假设在不确定理论下利率服 从v a s i c e k 模型，我们给出了可转换债券定价模型 第5 页 上海师范大学硕士论文 第二章不确定理论的预备知识 2 1引言 在我们的日常生活中存在着众多人为的或客观的不确定，表现形式也是多种多样，如随 机性、模糊性、粗糙性不确定是绝对的，确定是相对的 随机性是一种客观不确定性，在经典数学中，概率论就是用来描述随机现象的数学 分支早在1 6 5 4 年p a s c a l 和f e n n a t 就提出了概率论由苏联数学家k o l m o g o r o f f ( 1 9 3 3 ) 1 3 0 提出 概率论的三大公理体系，为概率论奠定了理论基础模糊性是一种主观不确定性的基本 类型模糊集的概念i 主t z a d e h 3 1 1 在1 9 6 5 年通过隶属函数提出的为了衡量一个模糊事件， 刘和刘 3 2 】在2 0 0 2 年提出了可靠性测度的概念可靠性理论是f l ：i 刘 3 3 在2 0 0 4 年建立，由 刘 1 1 在2 0 0 7 年修改，它是研究模糊现象的一个重要数学分支 然而，很多现象表明，观不确定性不能完全用随机性、模糊性等单独刻画也就是说，一 些实际问题，不能通过可靠性理论解决为了应对这种不确定性，刘【3 4 】创建了不确定理论， 该理论弥补了随机性和模糊性不足，通过引入不确定变量，不确定测度，不确定过程等其他 新的内容使其成为一门新的数学分支这种将随机性与模糊性相结合的理论。可以更好地 刻画未知的不确定事件 在金融研究中，时间、风险、动态变化、周围环境特征等因素通常都被视为是不确定 的为了力求以最合理的方式配置金融资源，在金融市场中引入不确定理论显得尤为重要 也正是因为有这些不确定元素存在，使得不确定理论可以作为适合金融理论和金融工具研 究的重要数学工具 本节将回顾不确定理论的一些基础定义和在不确定金融市场中的一些重要结论 2 2 不确定理论的相关定义 不确定理论是一个建立在正则性，单调性，自对偶性和可数次可加性四条公立基础上的 一个数学分支。不确定计算是由刘 3 5 】在2 0 0 9 年提出的，由标准过程，不确定积分和不确定 链式法则构成在这一节中，我们回顾一些有用的不确定理论定义及其性质 令r 是一非空集合，是一在r 上的伊代数，其中对于任意的a c 称为一个事件为了能 够给出不确定测度的定义，有必要定量出事件人发生的水平m a ) ，刘在 1 l o o 给出了下述四 大公理： 公理l ( 正则性) m i r = 1 公理2 ( 单调性) m a l 】sm a 2 ) ，对任意的人lca 2 公理3 ( 自对偶性) a 4 a + 朋 a 。) = 1 ，对任意事件人 第6 页 第二章不确定理论黪预备知识 为 公理4 ( - - i 数次, - - f ) j n 性) 对任意事件 赴) 的可数序列，我们有 m 1 【u 】i 朋 a t ) i = 1 = 1 定义l ( 3 6 】) 令荨是一个不确定变量，那么 的期望值定义为 引泸m r ) 办一m r 灿 定义2 ( 【l 】) 一个不确定过程g 是一个标准过程，它满足下述三个条件 ( i ) c o = o 并且g 是样本连续的， ( i i ) a 有稳定独立增量， ( i i i ) 每一个增量g + t e 是一个正态不确定变量，期望值是0 ，方差是t 2 ，其不确定分布 定义3 ( 【l 】) 令g 是一个标准过程，对于任意实数e 和口， 称为算术标准过程，其中e 是漂移率，d r 是扩散率 定义4 ( 3 5 】) 令g 是标准过程，以+ a o , 是算术标准过程，则不确定过程 g = e x p ( e t + 盯g ) 称为几何标准过程，其中e 是对数漂移率，盯是对数扩散率 定理l ( 【l 】) 令g 是一个标准过程， ( ；g ) 是一个连续微分方程定义五= ( ；g ) ，则 有如下的链式法则： 撼= 酉8 h ( t ，c , ) a t + 瓦o h ( t ，g ) d g ( 2 - 6 ) 2 3 不确定金融市场中的一些结论 假设股票价格服从不确定微分方程，便可引入一个新的不确定金融体系例如，令股票 价格服从几何标准过程，得到如下关于债权价格五和股票价格m 的股票模型( 见【3 5 】) dxt：=叱rx也tdt+,dyt盯k 蛾 c 2 忉 、 = e m d t + 盯k d g ， ￥叫 第7 页 上海师范大学硕士论文 其中r 是无风险利率，e 是股票漂移率，盯是股票扩散率，g 是标准过程 欧式看涨期权是指持有者有权在一个特规定的时间以规定的价格买入一定股票的权 利。假设期权的敲定价为k ，到期日为s 那么这份期权的到期收益是( k k ) + ( 见 3 7 1 ) 定理2 ( 3 5 】) 欧式看涨期权价格为 五= e x p ( - r s ) e ( y 。一k ) + ( 2 - 8 ) 易证得欧式看涨期权的价格公式为 厶：)yo厂佃(坐警型)dy(2-9)exp(-rs)yo1 - t - e x p ( d y厶=( 鼍p ) ) j k i y o 、3 0 r s 欧式看跌期权是指持有者有权在一个特规定的时间以规定的价格买出一定股票的权 利假设期权的敲定价为k ，到期日为s 那么这份期权的到期收益是( k k ) + ( 见【3 7 】) 考 虑债券产生的时间价值，当前的收益是e x p ( 一r s ) ( k m ) + 定理3 ( 【3 5 】) 欧式看跌期权价格为 ，p = e x p ( - r s ) e ( k k ) + 】 ( 2 一l o ) 易证得欧式看跌期权的价格公式为 厶：- r s ) y o 厂纠确( +掣) ) d y ( 2 - 11)exp( y o 1 exp(dy厶=( + 3 产) ) j ov 6 f f s 第8 页 第三章槿咎金融市场的无套利性质 第三章模糊金融市场的无套利性质 3 1引言 在这章中，我们给出模糊金融市场中套利的定义和无套利原则的两个基本性质通过标 的资产的数学模型，来分析一些期权价值的重要性质最后，作为一种应用，我们通过无套 利的性质分析了期权价值关于敲定价格的依赖关系 3 2 模糊金融市场 假设模糊金融市场是由无风险债券( 国债) 和佗个风险资产( 如股票，期权等) ( t = 1 ，n ) 构成的其价格是时间t 的函数，即b = b 。和= m 。，( i = 1 ，佗) 在时 段【。，t - 】内，它们的收益为鼠。一b t 。和t ，一幻它们的回报分别是旦蠢 和鱼聂a = l ，霓) 无风险资产与风险资产的基本区别在于：如果在t o 时刻，考虑t 。时刻投资的回报，那么对 于无风险资产，回报是确定的，而对于风险资产而言，回报是不确定的，它是一个模糊变量 3 1 投资策略与投资组合 一个投资者采取的投资策略，表现为选取一个适当的投资组合使得 其中 n ，妒l ，。) 形“q ，a ( i = 1 ，n ) 表示投资于该资产的份额我们有时也 把o t ，咖l ，九成为投资策略 严格意义上讲，口和晚0 = 1 ，佗) 都是时间t 的函数，这说明投资者随时可以调整他 的投资策略但是在两个相邻的交易日= t 。和t = t m + l 之间，o t ，晚( i = 1 ，n ) 都是不变 的 3 2 自融资投资策略 设k ( 咖) 是投资组合也在时刻t 的值，那么 t = v t ( ) = a t j ，m + a l m t + k t k t 第9 页 k 。谢 + b口 = 上海师范大学硕士论文 设。+ 。( ) 一。( ) 是投资组合在投资策略 入o t a 1 t 入m ) 下，在时段【，t 。+ 】获取的 收益，那么 k 。+ ，( 妒) 一。( 咖) = a o t 【五。+ 。一五。】+ 九t 瞰t 。+ 。一t 。】 = 1 若在整个进行交易的 o ，t 】时段内，投资人在决定投资策略以后，没有加入新资金，也没有 资金被消耗或抽走，则称整个交易过程是自融资的，或称该投资策略是自融资的 3 3 无套利的基本性质 ”天下没有免费的午餐”这句谚语在金融上的意思就是：不承担风险就不存在瞬间获取 利益的机会用一句金融术语，即不存在无套利的机会没有一个市场能长期在存在套利机 会的情况下保持稳定所以定义一个给定的模糊金融市场是否存在套利机会就显得尤其重 要几乎所以的数学金融的讨论都是在无套利的基础上所以有必要研究一些无套利的性 质来帮助我们分析期权定价问题 接下来，本节将给出套利的定义有关无套利的定义可以在g a o 3 8 q ，找到 定义3 3 1 ( 套利机会) 一个自融资投资策略成为在【o ，t 】内存在套利机会如果存 在+ 【0 ，卅，使得当 k ( ) = 0 ，( ) 0 ， 且 这里c r 表示可行性测度 c r e x p ( - r t ) 场 v o ) 0 ， 定理3 3 1 若市场在肘g 廷o , 刃j 内是无套利的则对于任何两个投资组合和z ，如果 v r ( 咖1 ) v r ( 2 ) ， 以及 c t v r ( 1 ) 婚( 2 ) ) 0 成立那么对于任意【o ，卅，必有 k ( 1 ) ( 2 ) 第1 0 页 ( 3 - 1 ) ( 3 2 ) ( 3 - 3 ) 第三章模襁金融市场的无套利性质 证明：用反证法，假如不然，存在t 0 ，卅，使得 ( 1 ) ( 2 ) 记 e = ( 九) 一k 劬1 ) 0 现在t = t + 时形成投资组合 丸= c x - 警b ， 其中b 是无风险债券，b t = k 。( b ) 易见 k ( 丸) = v t 。( 1 ) 一( 也) + 芸。( b ) = 一e + 2 e = e2 o 而在t = t 时刻，由于 ( 蚴= 许( - ) 一婚( ：) + 芸硌( 动 设r 为无风险利率，计算复利，则 v t ( b ) = ( b ) e x p r ( t t ) 】= b t e x p r ( t 一矿) 】 从假设( 3 1 ) 和( 3 2 ) 得到 坛( 砂c ) = 许( 1 ) 一y r ( 砂2 ) + 2 e e x p r ( t t 4 ) 】2 e e x p r ( t t + ) 】 考虑 e x p 一r ( t t ) 】v r ( 。) 一( 西。) = e x p 一r ( t t ) 】 y r ( 砂1 ) 一峙( 2 ) + 2 ee x p r ( t t + ) 】) 一e = e x p - r ( t t + ) 】【v r ( 1 ) 一嵋( 2 ) 】+ 2 e e = e x p 一r ( t 一矿) 】【嵋( 咖1 ) 一峙( 2 ) 】+ e 0 ， 即 e x p 一r ( t 一矿) 】峙( 。) ( 。) 0 利用可行性的单调性，可以得到 c r e x p 一r ( t t ) 】峙( 九) 2l i t ( 咖。) ) c r 0 = 0 令时间t + 等于0 有