（基础数学专业论文）莫朗分形集合的维数性质.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究了有关莫朗分形集合维数的一些相关性质，其中包括豪斯道夫 维数为1 的非齐次莫朗集的拟对称最小性质以及与聚点有关的分形集合的全维数 方面的性质。 第一章绪论中我们简单回顾了分形几何的产生及当前取得的一些研究成果， 介绍了各种分形维数的一些基本概念和主要性质以及各种维数性质之间的异同 点。 第二章我们简要介绍了与本文有关的一些莫朗集的基本概念与相关性质，国 内外的专家学者在此领域得出的许多定理及推论。 第三章我们在均匀康托集的基础上通过附加一定的条件证明了豪斯道夫维 数为1 的非齐次莫朗集也是拟对称最小的，并在文章中给大家介绍了一个满足此条 件的例子。 第四章我们主要讨论了一类与空间中的聚点有关的分形集合豪斯道夫维数 方面的性质。通过构造此类集合的齐次莫朗子集，我们证明了此类分形集合具有 全维数。 关键词：豪斯道夫维数；盒维数；聚点；齐次莫朗集；拟对称最小 江苏大学硕士学位论文 i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w em a i n l ys t u d ys o m ed i m e n s i o n a l p r o p e r t i e so n m o r a nf r a c t a ls e t s i ti sa b o u tt h e q u a s i s y m m e t r i cp r o p e r t y o fs o m e n o n h o m o g e n e o u sm o r a ns u b s e tw h o s eh a u s d o r f f d i m e n s i o ni s 1a n dt h e f u l ld i m e n s i o n a l p r o p e r t yo ns o m ea c c u m u l a t i o np o i n t s i nc h a p t e r1 ，w eb r i e f l yr e v i e wt h ef r a c t a ln a i s s a n c ea n dg i v es o m e f u n d a m e n t a lc o n c e p t s ，p r o p e r t i e so ft h ef r a c t a ld i m e n s i o na n dt h el a t e s t c o n c l u s i o n s ，t h em e a s u r et h e o r ya n ds o m ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h e m i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c es o m ec o n c e p t sa n dr e l a t i v ep r o p e r t i e so n m o r a ns e t s ，s o m er e s e a r c hr e s u l t so f t h ea u t h o r sa l lt h ew o r l d i nc h a p t e r3 ，i nt h eb a s i so fu n i f o r mc a n t o rs e t s ，b ys u p p o s ea c o n d i t i o n ，w ep r o v e dt h a ts o m en o n - h o m o g e n e o u sm o r a ns e t s a r ea l s o q u a s i s y m m e t r i c a tt h ee n do ft h ep a p e r ，w eg i v ea ne x a m p l ei no r d e rt o i l l u s t r a t eo u r sd e m o n s t r a t ew h i c hs a t i s f i e st h ec o n d i t i o n i nc h a p t e r4 ，w ec o n s i d e rt h eh a u s d o r f fd i m e n s i o np r o p e r t yo fa c l a s so ff r a c t a l sa s s o c i a t e d 丽t hs o m ea c c u m u l a t i o np o i n t s b yc o n s t r u c t i n g s o m eh o m o g e n e n o u sm o r a ns u b s e t ，w ep r o v et h a tt h e s ef r a c t a l sh a v ef u l l d i m e n s i o n k e y w o r d s h a u s d o r f fd i m e n s i o n ；b o x i n g - c o u n t i n gd i m e n s i o n ； a c c u m u l a t i o np o i n t ；h o m o g e n e o u sm o r a ns e t ；q u a s i s y m m e t r i c 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规 定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅本人授权江苏大学可以将本学位论 文的全部内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文 保密口 本学位论文属于，在年我解密后适用本授权书 不保密四 学位论文作者签名：尹徙暂 巩戽6 月日 将撕躲瓣丸 鹚d 年6 月日 独创性申明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本 人完全意识到本声明的法律结果由本入承担 学位论文作者签名： 尹竹 日期： 鹚洋6 月j 目 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 分形几何萌芽于1 9 世纪末2 0 世纪初，正式成为一门独立的学科则是在2 0 世 纪7 0 、8 0 年代，其研究对象为自然界和社会活动中广为存在的复杂无序而又具有 某种规律的系统。分形理论为研究具有自相似性特性的物体和不规则现象提供了 新的方法，使人们对于诸如布朗( b r o w n ) 运动、湍流( t u r b u l e n c e ) 等大自然中 的众多复杂现象有了更加深刻地认识，并在物理学、生物学、动力学、化学等多 个学科中被广泛应用，作为当前三大前沿学科之一的分形理论被誉为大自然的几 何学。近年来，不论是在理论上还是应用上都取得了迅猛的发展。 1 1 分形理论的产生 客观自然界中的许多事物具有自相似的“层次 结构。在理想情况下，具有 无穷层次，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。不少复杂的物理现 象背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。 客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量。用尺来测量万里长 城，嫌太短；用尺来测量分子长度，又嫌太长；从而产生了特征长度。还有的事 物没有特征长度，就必须同时考虑从小到大的许许多多的尺度( 或称为标度) ，这 就是“标度性 问题。 在二十世纪七十年代，美籍法裔数学家曼德尔勃罗特( b b m a n d e l b r o t ) 1 提出了英国的海岸线有多长? 这个问题就依赖于测量时所用的尺度。数学家科赫 ( k o c h ) 从一个正方形的“岛”出发，始终保持面积不变，把它的“海岸线变 成无限曲线，其长度也不断的增加，并趋向无穷大。以后可以看到，分形维数才 是“科赫岛 海岸线的确定的特征量，即海岸线的分形维数均介于l 到2 之间。这 些自然现象，特别是物理现象和分形有着密切的关系。银河系中的若断若续的星 体分布，就是具有分形维数的吸引子，多孔介质中的流体运动和它产生的流体模 型，1 8 2 7 年发现的布朗( r b r o w n ) 运动的运动轨迹的复杂性，化学中酶的构造， 生物学中细胞的生长，非线性动力学中的奇怪吸引子以及工程技术中的信号处理 等等。传统的经典几何学难以描述其复杂性，伴随着多个学科类似问题的出现及 研究，这就促使数学家进一步的研究，因而就诞生了一门新的学科一分形几何 1 江苏大学硕士学位论文 学。 关于分形几何学的产生，一般认为：1 9 7 5 年，数学家曼德尔勃罗特( b b m a n d e l b r o t ) 的名著分形：形式，机遇和维数( f r a c t a l ：f o r m ，c h a n c ea n d d i m e n s i o n ) 的问世标志着一个崭新的数学分支分形几何学由此诞生。“分形 ( f r a c t a l ) 一词，也是曼德尔勃罗特提出来的，它源于拉丁语“f r a c t u s ”，含 有“不规则”和“破碎 的意义。实际上，分形的思想以及分形集在数学上的存 在已逾百年。在十九世纪至二十世纪初，c a n o r 三分集、k o c h 曲线以及 w e i r s t r a s s 无处可微连续函数等这些“病态”的曲线与集合已逐步为人们所了解。 许多学者开始致力于构造类似的曲线与集合并研究它们的性质。c a n t o r 、k o c h 、 w e i e r s t r a s s 、p e a n o 、h a u s d o r f f 等人的杰出工作为以后分形概念和分形理论的产 生奠定了基础。e d g a r 2 ，3 】在1 9 9 0 年对分形给出了一个更加粗略的定义：分形集就 是比在经典几何中考虑的集合更加不规则的集合，这个集合无论被放大多少倍， 越来越小的细节仍能看到。 1 2 分形几何中几种常见的维数 测度与维数是分形理论中两个重要概念，它是定量刻画分形集合的两个基本 参量，它们在分形的理论及其应用研究中占据着十分重要的地位。 1 2 1h a u s d o r f f 测度及其维数 h a u s d o r f f 测度是分形几何中最基本的概念之一。h a u s d o r f f 测度将传统几何 ( 例如：e u c l i d 几何、r i e m a n n 几何) 中规则几何形体的长度、面积和体积的概念， 以及整数维空间q b l e b e s q u e 测度的概念和计算方法推广到非整数维空间中。首先回 顾一下定义： 如果 u i ) 为可数( 或有限) 个直径不超过占的集合构成的覆盖f 的集类，即 f c 。u 爿u , ，且对每一个f 都有o 阢l 0 ，定义 r 1 联( f ) = i n f l q l 5 ： u ) 为f 的万一覆盖 ( 1 ) l i = 1j 当万减小时，式( 1 ) 中能覆盖f 的集类是减少的，从而下确界珥( f ) 随着增加，且 2 江苏大学硕士学位论文 当万一0 时趋于一个极限( 司能为有限，也可能为无穷) ，记 h 5 ( f ) = l j i 川m 弼( f ) ( 2 ) 对r “中的任何子集f 这个极限都存在( 极限值可以是。或) ，我们称日。( f ) 为f 的s 一维h a u s d o r f f 测度。 h a u s d o r f f 测度推广了长度、面积和体积等类似概念。f a l c o n e r 【4 ，5 】证明r “中 任何l e b e s q u e 可测集的珂维h a u s d o r f f 测度与n 维l e b e s q u e 测度( 即通常的i 维体 积) 相差一个常数倍。更精确地，若f 是刀维e u c l i d 空间中的b o r e l 子集，则 r ( f ) = c , h ”( f ) ( 3 ) 这里常数巳= 万量( 2 “丁( 圭刀+ 1 ) ) ，即直径为1 的，z 维球的体积。类似地，对于掣 中“好的低维子集，h o ( f ) 翘中点的个数；h 1 ( f ) 给出了光滑曲线f 的长度； 若，为光滑曲面，则h 2 ( f ) = i ”xa r e a ( ，) ，而日3 ( f ) = xv o l ( f ) 。 根据h a u s d o r f f 测度的定义( 1 ) 和( 2 ) 可知，对于任意给定的集合e 和0 万 1 ， 珥( e ) 是s 的减函数，从而h a u s d o r f f 测度日。( e ) 也是s 的减函数。进一步证明可 以得到结论：若昱cr 一，则存在唯一的一个实数【o , n 】，使得 州= 苗耄描 豳1 1 榘昱约昱 对j 孵翻琢麟掀绣致幽l n ( 习 怒缆祷绒“魏羧籀0 发篷的j 的数值。 由此可知，h 5 ( e ) 关于s 的图( 图1 1 ) 表明，存在j 的一个临界点使得日5 ( e ) 从“跳跃 到o ，这一临界值称为e 的h a u s d o r f f 维数，记为d i m ( e ) 。精确地 d i m h ( e ) = i n f s h 5 ( e ) = o ) = s u p s h 3 ( e ) = o o ) ( 5 ) 3 江苏大学硕士学位论文 当s = d i m ( e ) 时，即当sn ei 拘h a u s d o r f f 维数时，e 的h a u s d o r f f 测度h 。( e ) 可以为零或者无穷或者满足： 0 d i m 日( e ) o o ( 6 ) 满足不等式( 6 ) 的集合e 称为s 一集。 h a u s d o r f f 维数具有以下性质： ( 1 ) 若ecr “为开集，贝l jd i m he = n 。 ( 2 )若e 为r “中的光滑( 即连续可微) m 维流形( 即m 维曲面) ，则 d i m 何e = m 。特别地，光滑曲线的维数为1 ，光滑曲面的维数为2 。 ( 3 )( 单调性) 若ec f ，贝j d i m 日e d i m 日f 。 ( 4 ) ( 可数稳定性) 若巨，乜，为一( 可数) 集列，则 d l m h 昌e2 。s u 枷p d m h 骂) 。 7 ( 5 ) 设ec r “，并且，：e 专尺”满足h o l d e r 条件，即 l ( x ) 一厂( y ) c l x y l 口( x , ye e ) ( 8 ) 则 d i m h 厂( e ) i 口d i m h e 。( 9 ) ( 6 ) 设ec r ”，并且厂：e 一只“是一个l i p s c h i t z 映射，则 d i m 日厂( e ) d i m he 。 ( 1 0 ) ( 7 )设ec r “，并且，：e 专掣是一个双向l i p s d l i t z 映射，即 qi x - y l | s ( x ) - s ( y ) l 乞i x - y ， ( z ，ye e ) ( 1 1 ) 其中0 q c z 0 0 ，则有 d i m hs ( e ) = d i m e 。 ( 1 2 ) 性质( 1 ) 一( 4 ) 是对任何合理的维数定义所成立的。性质( 5 ) 一( 7 ) 是 h a u s d o f f f 维数所特有的变换性质。事实上，性质( 6 ) 、( 7 ) 是性质( 5 ) 的推论， 而且性质( 7 ) 揭示了h a u s d o r f f 维数的一个基本性质：h a u s d o r f f 维数是双向 l i p s c h i t z 变换下的不变量。因此，若两集合之间存在l 台j l i p s c h i t z 映射，则在 h a u s d o r f f 维数的意义下可以认为两集合为“同一的。 江苏大学硕士学位论文 h a u s d o r f f 维数是一个严格的数学概念，它在分形理论的建立和推导过程中 起着十分重要的作用。然而，对于具体的分形结构来说，要确定其h a u s d o r f f 维数 却非常艰难，即使是一些经典的规则分形结构，对于其h a u s d o r f f 维数的计算至今 人们仍然无能为力。因此，在实际应用中人们很少讨论其h a u s d o r f f 维数，而是讨 论其计盒维数。 1 2 2 计盒维数 计盒维数( b o x - c o u n t i n gd i m e n s i o n ) 或称盒维数( b o xd i m e n s i o n ) 是应用最 广泛的维数之一，它的普遍应用主要是由于这种维数的计算及经验估计相对容易 一些。这一维数的研究可以追溯n - 十世纪三十年代，并且对它还有许多其它的 称呼：k o l m o g o r o v 熵、熵维数、容度维数、度量维数、对数维数和信息维数等。 定义 设f 是r “上任意非空有界子集，m ( f ) 是直径最大为6 ，可以覆盖f 的集合的最少个数，则f 的下、上计盒维数分别定义为 d i i n r f ：l i m l o g n 8 ( f ) ， ( 1 3 ) 。 8 - - ，0 一l o g 艿 d i m b f ：面! 塑丝盟。 ( 1 4 ) 占卅一l 0 9 6 如果这两个值相等，则称这个公共值为f 的计盒维数或盒维数，记为 d i m ：l i i i l ! 堕丝盟。(15)b f 5 舢 一l o g6 通常人们所说的分形维数就是指计盒维数。从定义可知，对于一系列码尺万，只要 确定出相应的盒子数m ( f ) ，就可以通过公式( 1 3 ) 一( 1 5 ) 计算出集韶的上、下计盒 维数和计盒维数。然而，如何来确定上面定义中的盒子数虬( f ) ，这仍然是一个 难以解决的问题。为此，人们给出了下面的等价定义。 等价定义尺“上任意非空有界子集f 的下、上计盒维数以及计盒维数分别由 公式( 1 3 ) - ( 1 5 ) 给出，其中心( f ) 是下列五个数中的任意一个： ( i )覆盖f 的直径为万的集合的最少个数； ( i i )覆盖f 的半径为万的闭球的最少个数； ( i i i ) 覆盖f 的边长为艿的立方体的最少个数； 5 江苏大学硕士学位论文 ( i v )中心在f 上半径为艿的不交球的最多个数； ( v ) 与f 相交的万一网立方体个数。( 万网立方体是形如 确万，( 碍+ 1 ) 6 坍：艿，( + 1 ) 8 1 e r a ：，( + 1 ) 艿 的立方体，这里 ，m 2 ，是整数。) 1 2 3 填充维数及其测度 除了上述的h a u s d o r f f 维数与盒维数外，集合的p a c k i n g 维数也常常用到。令 r 1 蝶( e ) = s u p 附 ( 1 6 ) l j = 1 j 这里 垦) 二是指中心在e 上，半径最大为万的互不相交的球族。由于p ；( e ) 随万减 少而递减，极限 饯( e ) 2 l i m ( e ) ( 1 7 ) 存在。s - 维p a c k i n g 测度定义为 p 5 ( e ) = ；n f 兰i = 1 露( e ) ：ec 委e ) c 1 8 ， l j 通过p a c k i n g 测度的定义，类似：于二h a u s d o r f f 维数的定义，e 的p a c k i n g 维数定义 为 d i m pe = s u p s ：p ( e ) = ) = i i l f s ：p 5 ( e ) = o ) ( 1 9 ) 上述三种维数分别从不同方面刻画了分形集的复杂程度。盒维数可以认为是 一个集合能被相同形状的小集合覆盖的效率；h a u s d o r f f 维数则涉及的可能是相当 不同形状的小集合的覆盖；而p a c k i n g 维数表示的是用半径不同的互不相交的小球 尽可能稠密的填充的程度。其q b h a u s d o r f f 维数和p a c k i n g 维数是建立在严格的测 度论基础上的，因而特别引起数学理论工作者的关注。但是盒维数的直观和易于 计算则更受到物理与工程方面的青睐，这使得盒维数成为应用最广泛的维数之一。 这三种维数的关系如下： d i m 日e d i m p e d i m 口e 。 ( 2 0 ) 1 3 分形几何中几种常见维数的基本性质 前面我们分别介绍了豪斯道夫维数、计盒维数、填充维数等几种常见维数的定 江苏大学硕士学位论文 义及性质，现在我们将给大家介绍一下各种维数具有的一些共同性质以及它们之 间在性质方面的异同点，以使大家对各种维数有一个更好的了解。 文章中将频繁的用到维数的一些基本性质。如果用“d i m 表示豪斯道夫、填 充、上盒和下盒维数中的任一个，则下列性质都成立： 单调性如果巨c e ，则d i m 置 d i m 乜。 有限性如果e 是有限的，则d i m e = 0 。 开集如果e 是彤上的( 非空) 开子集，则d i m e = n 。 光滑流形如果e 是彤上的m 维光滑流形，则d i m e = m 。 李卜希兹映射如果，：e 尺“是李卜希兹函数，则d i m f ( e ) d i m e 。( 对豪 斯道夫和填充维数的结论由其填充测度的相应形式得到，对盒维数从定义就可推 出) 。注意特别当工是开集，ecx ，而厂：ej 尺”具有有界导数时，由中值定理 知上述结论也是成立的。 几何不变性如果厂是一个相似或仿射变换【6 】，则d i m f ( e ) = d i m e ( 这是双 李卜希兹映射不变性的一种特殊情况) 。 豪斯道夫、填充和上盒维数是有限稳定的，即对任何有限集族 置，e ) ，有 d i i n u 鲁e = m a x 。重矗d i m 互，然而下盒维数不是有限稳定的。 豪斯道夫和填充维数是可数稳定的，即d i m u 兰= 1 e = s u p 。型如d i m e ；( 结论可以 由豪斯道夫和填充测度的半可数可加性推出) 。可数稳定性是这些维数优于盒维数 的主要优点之一，特别是它蕴含着可数集的豪斯道夫和填充维数为零。 再回顾一下结论d i m b e = d i m 口e 和d i m b e = d i m n e ，这里e 是e 的闭包。但由 于经常要研究在r “的一个开域内稠密的分形集e ，因而它有满的盒维数n ，事实 上这正是盒维数的一个缺陷。 在这些维数之间有一些基本的不等式。对任意非空集e ，有 d i m j ：re d i m p e d i m n e 和d i m he d i m b e d i m b e ( 对涉及到盒维数的不等式，假设e 是非空和有界的) 。应用中，大部分定义的维 数取值是在豪斯道夫和上盒维数之间，因此如果能够证明d i m e = d i m 丑e ，那么 所有正常定义的维数都取这共同的值。 7 江苏大学硕士学位论文 第二章莫朗集的相关知识介绍 设e 是由有限相似压缩族长( 1 f m ) 生成的自相似集，那么我们知道e 是这 有限个相似压缩经过逐次迭代生成的。在每次迭代中，压缩方式都与前一次相同， 从而压缩比不变，而且在逐次压缩中，同阶基本元的相对位置是确定的。在开集 条件下，e 具有很好的性质：其对数密度处处相同且等于其豪斯道夫维数；豪斯 道夫维数与相似维数相同。即使开集条件不满足，它仍然具有强正则性，即它的 豪斯道夫维数与闵可夫斯基维数相同。若将相似压缩换为仿射压缩，即使在非常 简单的情况，自仿集也不再具有上述性质。因此一个自然的想法是，我们从相似 压缩出发推广自相似集，那么它们的结构如何? 能在多大程度上保持自相似集的 性质。从上面提到的自相似集的生成方式，可以考虑下述几种推广：在逐次迭代 中，我们采用不同的压缩比；在逐次迭代中，其基本元的位置可以变化；采用无 穷多个相似压缩，这就是本部分要介绍的内容。 本节讨论一般莫朗集，即在逐阶压缩过程中容许不同的压缩比，并且同阶生 成元的压缩比可以不同。 2 1 一般莫朗集的构造 设i 厂cr d 为内点非空的有界闭集， 仇) 。丑为一正整数序列( 若无特殊说明，我 们总假定体2 ) ，= q ) 为一列有限正实数向量序列，其中 t = ( c k l ，) ， o o ， 则相应的莫朗集将包含内点，从而( e ) 0 。因此下面我们总假定上述极限为0 。 下面是莫朗集的几种特殊情形： i 设对任意七1 ，q ，1 = = q ，毗= q ，亦即第七阶的压缩比均为气则相应 的莫朗集称为齐次莫朗集，相应的莫朗集族记为( ， ) ， 哦) ) 。 2 对任意的七1 ，存在相似压缩映射“ 1 ，s k h ，h 使得对任意盯e q ， 有最h ，( 以) = 以垆1 j f 仇h ，与此相应的莫朗集称为自相似莫朗集。 如果上述1 和2 中条件均满足，则相应的莫朗集称为齐次自相似莫朗集。 3 现考虑1 维即d = 1 的情形。 设对任意的七1 ，任意仃皿，及1 傀h ，它的七+ 1 阶基本元 厂叫( 我们假定，盯咀，厂。他h 在j ，中从左到右排列) 满足： ( i ) ，仃咀的左端点与，。的左端点重合，j ，。的右端点与- 厂仃的右端点重合： 江苏大学硕士学位论文 ( i i ) l j ，咀l = = i j 。hi ( 从而，每个后+ 1 阶基本区间的长度为q q h ) ； ( i i i ) 相邻的七+ 1 阶基本区间的间隔相同，( 从而此间隔为q q h ! ! 丝! 导) + 1 一l 由此得到的莫朗集称为齐次均匀康托集。记为 p ：= e ( j ， 仇) ， 吼) ) 。 如果将上述条件中的( i i ) 、( i i i ) 用下面条件代替： ，口咀的左端点与，。的左端点重合，j 口( j + 。) 的左端点与，州的右端点重合， 1 j f o ，则存在仅与d 及q 有关的正常数a ，使得对任意 5 o ，有彳研( e ) h 5 ( e ) 珥( e ) 。从而 d i m 即( e ) = d i m ( e ) 。 引理匕2 4 设c o ，贝, l j d i m j = r ( e ) 瓯。 江苏大学硕士学位论文 由引理2 2 1 与引理2 2 4 ，立即司以得到： 定理2 2 1 若c o ，则d 曲h ( e ) = 瓯。 定理2 2 若c o ，则对任意的e ( ， 体) ， 。) ) ，d i m p ( e ) = d i m b ( e ) = s 。 由豪斯道夫测度的定义以及证明引理的方法，我们得到以下推论： 设c 0 ，则 1 日( e ) = o 当且仅当烨荟 = o ： 2 o 日文( e ) 当且仅当o 螂互阱 ； 3 日 ( e ) = o o 当且仅当l 唧互阱硪 我们需要注意： 设( ， 傀) ， 吼) ) 为莫朗集类，若对任意e ，有 d i m 日e = s ，d i m pe = s ，则我们称满足华苏一马利昂公式。我们特别强调指出 的是，在这种情况下，e 的维数不依赖于e 的逐阶基本元之间的相对位置。而我 们在下一章的内容中讨论的豪斯道夫维数为1 的莫朗集是否为拟对称最小的，其中 就牵扯到逐阶基本元之间的相对位置。因为我们证明中的莫朗集是非齐次的，逐 阶基本元的长度是不相等的，不同于胡美丹和文胜友 1 1 中讨论的情况，他们证 明的是均匀康托集，逐阶基本元的长度是相等的。为了证明的需要，我们将其逐 阶基本元的长度大小做了一个规定，即上一层中最小的基本元长度大于下一层中 最大的长度，也就是将其基本元的位置做了一下规定。 2 。3 一般莫朗集的维数( 压缩比下确界等于o 的情形) 下面我们介绍c 。= 0 时华苏一马利昂公式成立的两类情形：在第一种情形，我 们可以用截断技巧来处理这种较为复杂的情形( 在讨论自相似集的强正则性时用 过类似的思想，但在处理的技巧上有较大差别) ；在第二种情形，可以用网测度处 理。我们假定c = 0 ，则有以下定理成立，证明见( 【4 】，p 1 9 0 ) 。 定理2 3 1 设莫朗集类= ( ， 体) ， 吼) ) 满足下述条件： 1 s u p n k ：= 名 o o ： 1 1 江苏大学硕士学位论文 2 0 i 妒n m x c , ) c ：= s u p 孕h ) 0 ，一定存在一个刀维拟对称映射厂 使得d i m 日( e ) 占成立。由此我们可知r “中不存在豪斯道夫维数在0 与1 之间的 拟对称最小集。t y s o n 证明了对任意的口b 刀】，r ”中一定存在豪斯道夫维数为口 的拟对称最小集。 人们很自然的会想到：哪些r ”中d i m 。阻以】的集合对行维拟对称映射是最 小的? 我们在文章中先研究当n = 1 时的情况。因为尺中内部非空的集合的拓扑维 数为1 ，它们的像在同胚下豪斯道夫维数大于等于1 ，所以这些集合是最小的。除 此之外，s t a p l e 和w a t d 2 0 证明了拟对称t h i c k - 集在1 维拟对称映射下是最小的。 最近，h a k o b y a n 2 1 和胡美丹 1 1 等分别证明了豪斯道夫维数为1 的均匀康托集 和m i d d l ei n t e r v a l 康托集是最小的。这些就是现在已经证明了的尺中豪斯道夫维数 为1 的拟对称最小集。在这篇文章中，我们主要讨论r 中豪斯道夫维数为1 的莫朗集 e ( 体 ， 瓯) ， q ) 。通过我们给出的证明可以得到此集合在1 维拟对称映射下也是 1 4 江苏大学硕士学位论文 最小的。 3 2 定义与符号 我们首先给出一个莫朗集的定义。假定= 0 , 1 】， 心 二是一个正整数序列； 。，七a o 司= ( 瓯一，瓯，以) 以及 q ) 二= ( 气， ) 都是( o ，1 ) 之间的实数序列，并 且对任意的七满足气， 1 。假设 e ) 二具有由【o ，1 】中的闭集合所构成并满足以 i = 1 下两个条件： ( a ) 对任意的七1 ，e 为心+ 1 为不相交的闭区间的并； ( b ) 乓4 中的每一个基本区间，包含巨中的仇+ 1 个基本区间。巨中的每一个 区间的长度为瓯，i z l ( j = 1 ，魄+ 1 ) ，两个相邻区间之间的空格长度为 q ，l 小歹= 1 ，仇) ，最左端的区间与j 具有相同的左端点，最右端的区间 与j 具有相同的右端点。我们称集合 e - - ：e ( ) ， 皖) ， 吼) ) = 盆e 为莫朗集。 通过拟对称映射的定义我们可知，一个递增的同胚，：r - - + r 如果为拟对称 当且仅当对所有的具有相同长度的相邻区间，厂满足： 一嘲飒 ( 2 ) 其中m = 7 7 ( 1 ) ，7 7 满足( 1 ) a 在这种情况下我们也称，为m 一拟对称映射。下面的 关于m 一拟对称映射的性质对我们是非常有用的。 引理3 2 1 2 2 假定，为m 拟对称映射，那么有 ”盯蝌搿4 哪 对于区间i , j 成立，其中jci ，p ，q 的范围为 o p = l 。9 2 ( 1 + m q ) 1 g = l 。9 2 ( 1 + m ) 。 引理3 2 2 - 1 4 如果e = e ( 体) ， 皖) ， 缸) ) 为一个莫朗集，那么有 ( 3 ) ( 4 ) 江苏大学硕士学位论文 d i m be 2 i l i 喇m i n f s k ， 其中 & ) 。班满足式子 kh ：+ 1 兀略 l 寸，1 引理3 2 3 假定e d i m 日e = 1 ，那么有 l i m (兀 i = 1 = 1 。 ( 5 ) = e ( 忾) ， 坑) ， q ) 为一个莫朗集。如果 n k ) 是有界的并且 “、 4 ，l = 1 ； 1 4) 陲警 ，： ，_ 1 0 对任意的0 p 1 成立： ( c ) 对任意的占( o ，1 ) ，有l i r a、7 、7 t 4 0 证明：( a ) 由h o l d e r 不等式 r = l啦陲r = 1 ( 砉r = l 我们可以得到 那么就有 由( 5 ) 可得 及 撑 f ：o d i m e = 1 ，我们有 1 一 l o g ( 兀羔，譬训 二l o g ( + 1 ) 由上式知! 觋智。，相反的不等式明显成立，所以有 l i m i 兀 t - - 1 ：。i o g ( n l + 1 ) = 0 。因为是有界的，我们可以假设= l + s u p n k ，我们有 ( 吩+ o - - n ，l i p 有 l i m 酌l i m 瞻h z 丁 由( a ) 的结论，我们有 结合詹森不等式有 k l o g n = 0 ，所 盎 1 - 5 1 , ， ，- 1 = 1 _ 熙! 圭圭q ，k 。智智b 1 。 ! 专争鱼 k 鲁智n j ( 喜甜 对任意的0 p l 成立。( b ) 证明完毕。 以有憋静 ( c ) 对任意的f ( o ，1 ) ，我们由( b ) 的结论可得 1 7 = 0 。 = 0 。 丁 t = 1 。 随 晷t七 一 & m h 卜 = 工 v i 。鲥 1 一七 m 卜 一 m h 卜 yi， 一吩皇芦 。m 1 一七 ，、 m h 卜 。m 1 一七 m h 卜 江苏大学硕士学位论文 l i m ! 争争盟 k - , , o o k 智智体占 ：l i m 丢圭妻譬jo 。( c ) 证明完毕。k - - + o o 七占智智氇 一 引理3 2 4 假设口= 1 4 n n1 + 4 z 。7 ，我们有1 4 r e x _ ( 1 一x ) 4 删对任意的x ( o ，a ) 和j - e 整数m n 成立。 - 证明： 假设( x ) = 1 4 m x 一( 1 一x ) 4 ，( m ，0 石 - 4 所+ ( 4 所+ 1 1 j 坠 、74 m + 1 = 0 。 所以有厂( x ) ( o ) = o ，即有1 4 m x ( 1 一x ) 4 州对任意的x ( o ，口) 和正整数 m nj 或立。 3 3 拟对称最小莫朗集 在胡美丹和文胜友 1 1 中，他们证明了一个均匀康托集e = e ( n ，c ) 是拟对称最小 集。用m 表示b 中的基本区间的个数以及喀表示每个区间的长度。因为他们考虑的是 均匀康托集，所以每一层中的每个小区间的长度是相同的，这就给结论的证明带来了方 便。由定义可以得到： m = 愈( 叫) 和瓯= 鼻音， 1吖一 喜i 生 竺 p 一 熙 江苏大学硕士学位论文 所以毛得总长度为 t m 4 = 丌( 1 - n ，c j ) 。 集合e 的豪斯道夫维数与 m ) 和 瓯) 的关系为如果e = e ( n ，c ) 是一个均匀康 托集，则有 d i i n ne = l i m i n f l 。i g o g n q k 。 而本文在此基础上将均匀康托集变为非齐次莫朗集，使其每一层中的每个小 区间的长度不相同，在更为复杂的情况下对此类问题加以研究，得到以下定理： 定理3 3 1 假定e ( 仇 ， 皖) ， 龟) ) 是一个非齐次莫朗集并且满足瓯一4 伽， 其中暖棚= i 血哦，瓯川= m a x 瓯，j 。如果序列 心) 为有界的且d i i n 日e - - 1 ，那么对任 意的1 维拟对称映射厂都d i m hf ( e ) = 1 成立。 为了去证明d i m nf ( e ) 1 ，我们可以证明对任意的d ( o ，1 ) 都有妇日f ( e ) d 成立。为达到此目的，在厂( e ) 上定义一个概率测度，使其对任意的区间- ，c j 5 f 有 ( ，) c w 。 ( 6 ) 其中c 为一个与i 厂无关的正常数，那么我们由质量分布原理可以得到 d i m 日厂( e ) d 。下面我们将给出详细的证明，有些想法来自与h a k o b y a n 以及集合 e 与厂( e ) 的性质。 证明： 假定：r 专r 是一个m 一拟对称映射以及d ( o ，1 ) 。不失一般性，我们 定义，( 【o ，1 】) = 【o ，l 】，那么厂( e ) = n 函厂( e ) 是一个莫朗集，e k 中的基本区间的 像是厂( 乓) 的组成区间。现在我们定义一个( e ) 上的概率测度如下： ( 【o ，l 】) = l ，对任意的七1 及厂( e d ) 的组成区间，用以，o ， ，1 ，t 儿代表， 中的傀+ 1 个组成区间。定义 川= 铬印卜咖， ( 7 ) 其中 l i ，忆= 兰l 。 1 9 江苏大学硕士学位论文 我们将要证明测度对任意的jc 【o ，1 】都有( ，) c i j l 4 成立，c 为一个与， 无关的正常数。我们将分别从两个方面加以证明。 第一假设，为厂( 巨) 的组成区间。对每一个f ，o f 七，用以表示厂( 互) 的 一个组成区间有 j