（基础数学专业论文）一类抛物型方程的局部解和整体解.pdf

摘要 本文主要讨论了一类由燃烧现象引出的线性方程线组 鲁一等= ( 1 - 0 。+ 引抛) 誓一人萼= o e - i ( 1 - a ) 要 a to x 。 、 。o x l 的解的存在唯一性。通过利用s c h a u d e r 不动点定理、抛物方程的古典 解理论，引入参数函数，并结合极值原理等，研究了该问题在自由边 界上的局部解和整体解，并得到一些新的一般性的结果。其中部分结 果推广和改进了现有文献的某些结果。本文共分三章。 第一章介绍了本文所研究问题的历史背景、研究进展情况及本文 的主要工作。 第二章是利用s c h a u d e r 不动点定理研究了方程( 1 ) 在一定条件下 的自由边界问题的局部解的存在唯一性。主要通过适当的变换把方程 组转化为一系列方程，然后再利用假设条件得出我们的结论。 第三章研究了参数a = o 时上述自由边界问题整体解的存在唯一 性。主要是通过定义一个新的函数对问题进行转化，再在一定条件下 来研究整体解的存在性和唯一性。 关键词：局部解，整体解，自由边界，s c h a u d e r 不动点定理。 a b s t r a c t i nt h i sa r t i c l e ，w em a i n l yd i s c u s st h el o c a ls o l u t i o na n dg l o b a ls o l u t i o n o ft h ef r e eb o u n d a r yp r o b l e m i t ) c o m i n gf r o m ac o m b u s t i o np r o b l e m b ym a k i n gu s eo fg e n e r a l i z e d s c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e m ，t h et h e o r yo fp a r a b o l i ce q u t i o n ，i n t r o d u c i n g p a r a m e t e rf u n c t i o na n du s i n gt h em a x i m u mp r i n c i p l e ，w es t u d yt h el o c a l a n dg l o b a ls o l u t i o nt ot h ef r e eb o u n d a r yp r o b l e mo fp a r a b o l i ce q u a t i o n s ， a n do b t a i ns o m en e wr e s u l t sf o rt h eo r o b l e m o u rr e s u l t sp r e s e n t e di nt h i s p a p e re x t e n do ri m p r o v e _ s o m ek n o w nr e s u l t si nt h el i t e r a t u r e t h i st h e s i si s c o m p o s e d o f t h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eb a c 泗u n do ft h ep r o b l e m - r e s e a r c h i n g ， t h er e c e n td e v e l o p m e n to ft h er e s e a r c hi nt h i sf i e l da n dt h em a i no r d e ro f t h e p a p e r - f f 6 h a p t e r 2 ；w eo b t a i nt h ee x i s t e r t c e _ a n du n i q u e n e s so fl o c a ls o l u t i o nt o i nt h ef r e eb o u n d a 毋面确l e mb yt h eu s 露o fs c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e m w ef i r s tt r a n s f e rt h ee q u a t i o n si n t oa n o t h e re q u a t i o n st h r o u g hs o m ep r o p e r t r a n s f o r m a t i o n s ，t h e ns t u d yt h el o c a ls o l u t i o nt ot h et r a n s f e r r e de q u a t i o n s a n do b t a i no u rr e s u l t s i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s st h eg l o b a le x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n 包气 k fr抛盟酽 巩 “ 国。 ” i i 吮一：争停盟西堕挑 i nt i m ew i t hr e s p e c tt op a r a m e t e r2 = 0u n d e rs o m er e a s o n a b l ea s s u m p t i o n s b yd e f i n i n gan e wf u n c t i o n ，w et r a n s f e rt h eq u e s t i o ni n t oa n o t h e rf o r m ，a n d t h e no b t a i no u rr e s u l t s k e y w o r d s ：l o c a ls o l u t i o n ，g l o b a ls o l u t i o n ，f r e eb o u n d a r y ，s c h a u d e rf i x e d p o i n tt h e o r e m 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不合任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人 完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：哲或霹 吲年鼠月c 7 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 善嘉蓁耋i 曙狲三翥i 葶i ：冕厶三“钟鲐剧俐啡茄严m 钿扩 一类抛物犁方程的局部解和整体解 1 绪论 偏微分方程是现代数学的一个重要分支，在众多领域内有着非常 广泛的应用，如在几何学、力学、天文学、物理学、生物学等领域内 已成为不可或缺的工具。在空间技术、高能物理、电子技术、现代生 物学、经济学等领域内，偏微分方程的理论和方法已经成为推动这些 学科发展的强有力的杠杆。在偏微分方程及方程组的研究中，对自由 边界问题的研究是一个较为活跃的分支，研究它有助于人们对物质运 动规律的认识。对于含有时间参数的方程组的自由边界问题，有些问 题只在一段时间内有解，即有局部解；而有些是对任意的时间都有解， 即有整体解。在非线性偏微分方程的理论中，到目前为止高维情形研 究的难度较大，所得的理论结果不多，但当空间维数为一维时，可化 为非线性的常微分方程去讨论，研究的成果比较多。 1 1 问题产生的背景 燃烧是自然界中一种普遍存在的自然现象。燃烧是指燃料与氧化 剂发生强烈化学反应，并伴有发光发热的现象。燃烧现象的研究起源 1 8 世纪中叶，法国化学家拉瓦锡和俄国科学家罗蒙诺索夫根据他们的 实验，分别提出燃烧是物质氧化的理论。1 9 世纪，人们用热化学和热 力学方法研究燃烧。2 0 世纪2 0 年代，苏联科学家泽利多维奇、弗兰克卡 梅涅茨基和美国的刘易斯等又进一步发现：燃烧现象，无论是着火、 熄灭和火焰传播，还是缓燃和爆震等，都是化学反应动力学和传热传 质等物理因素的相互作用，并得出这样一个方程( 见 1 】) ： 高校教师在职硕十学位论文 对静止的混合物燃烧，当热量以小的马赫数传导时，则反应过程 满足抛物线方程组 其中参数占表示活化能的倒数，且0 f 0 ，l 表示反应率，是一个由参数s 决定的已知函数， 且正：r r ，丘( s ) = 占2 k 一o 1 ) j 。 在以后的几十年中，众多物理学家和数学家研究并建立了大量关 于燃烧现象的数学模型，并在数值计算以及理论的定性研究上取得了 巨大的进展( 见【3 】【l l 】) 。 到了2 0 世纪7 0 年代初，由于高速电子计算机的出现，英国科学 家斯波尔丁等人提出了一系列燃烧的数学模型和数值计算方法。 1 9 8 2 年v a nd u y n ( 见 1 2 】) 和p e l e t i e r ( 见 1 3 1 ) 发表了关于方程 ( 1 1 ) 的第一边值问题的研究结果，包括解的正则性，弱解的存在唯 一性，饱和区域与非饱和区域在交界面的连续性。后来在1 9 8 7 年他们 又提出了椭圆形情形，并得到了方程的自由边界问题( 见 1 4 1 ) 同时也 证明了自由边界问题解的连续性。 2 0 0 9 年a n n e l a n g l o i s 和m a r t i n e m a r i o n ( 见 15 】) 研究了当s 一0 时 方程( 1 一1 ) 解的渐近性。他们证明了若0 沙。1 时，函数 h 。= 0 。+ q z ；一1 = d ( ) ，则有色1 + c ，令h 。= - t h 。，方程( 1 1 ) 可转化 为： ， 以 f ， 够 正 歹 扩 o v 虬 一 叫 一 盟瓤可丝a g 一 ，【 类抛物刑方程的局部解和粘体解 1 2 本文的结构和主要工作 本文的结构。本文就是对方程( 1 2 ) 的极限方程进行讨论。全文共 分三章，第一章是预备知识，主要是为后面两章要讨论的问题做准备。 第二章讨论方程( 1 2 ) 1 钓i 极限方程旯0 时的自由边界问题局部解的存在 性和唯一性。这里首先对- * ns t e f a n 问题( 见 1 6 1 ) 作一个简要的回顾。 1 9 7 3 年由d u v a n t 在 1 7 1 q h i i e n 了一相s t e f a n 问题的弱解的存在性。 f r i e d m a n ( 见【18 】) 与k i n d e r l e h r e r ( 见【1 9 】) 使用d u v a n t 提供的变换( 见【2 0 】) 进一步证明了自由边界问题解的l i p s c h i t z 连续性。但这些结果还没有 证明局部解的存在性。1 9 7 8 年k i n d e r l e h r e r 和n i r e n b e r g 在 2 1 】中运用 【2 2 、【2 3 与 2 4 】的结果并且引入l e g e n d r e - t a u 变换( 见 2 5 】) 并结合使 用边界固定的方法从而得到一相s t e f a n 问题局部解的存在性，第二章 的证明就是参考这一种方法。第三章讨论的是旯：0 时该自由边界问题 整体解的存在性与唯一性。1 9 7 9 年m e i r m a n o v ( 见 2 6 】) ( 也可见【2 7 】 2 8 】) 通过构造特殊的关于s t e f a n 条件的正则化并且引入m i s s 变量证明了问 题在比较小的时间段里整体解的存在性，但这种方法只适合处理未知 函数在自由边界为常数的情形。与 2 6 】_ 2 8 】类似h a n z a v a ( 见 2 9 】) 用 n a s h m o s e r 隐函数定理把问题的可解性转化为边界条件含有时间导数 的线。陛l u q n nn - - i n 性。后来，r a d k e v i c h 和m e l i k u l o v ( 见【3 0 】) 使用了 n e w t o n 迭代法( 见 3l 】) 也得到同样的结果，但其主要的证明步骤和 h a n z a v a 的相比并没有什么变化。基于这一思想b o d r i g n e s 与d e g t y a r e r 以 ，l fr触盟酽 f 、 巩 “ + 0 国。 一 ： 卜 = l l 红一一，争噜 丝研丝西 高校教师住职硕十学f 市论文 在 3 2 以及r o d r i g n e s 、s o l o n n i k o v 和y i 在 3 3 】分别构造了更为简单的 处理类似问题的压缩映射原理框架。第三章就是受到他们的思想的启 发，首先引入一个引理，然后利用此引理对问题进行先验估计，通过 构造一个新的边界和一个新的映射，再证明此映射是连续的，最后由 s c h a u d e r 不动点定理得到此整体解的存在性和唯一性。 本文的主要工作。对于方程( 1 2 ) ，若当s 一0 时，吃寸s ，吼j 0 ， 则( 臼，s ) 是如下自由边界问题的解( 其中0 = o ( x ，f ) ，s ，= s 。( x ，f ) ) ( 见 15 】) ： a f 0 一a 麒秒= 0 ，x g ( ，) ( 1 3 ) a ，s l a 。s i = 一柏。0 ，工 g ( f ) ( 1 5 ) 0 = 1 ，x = g ( ，) ( 1 6 ) a ，口= 扛丽丽，x ：g ( f ) ( i - 7 ) s l = s 2 ，x = g ( ，) ( 1 - 8 ) a ，s l a ，s 2 = 一加，0 ， x = g ( ，) ( 1 - 9 ) o ( x ，o ) = 瓯( x ) ( 1 i o ) s l ( x ，o ) = s 1 o ( x ) ，是( 工，0 ) = s 2 ，o ( x ) ( 1 - 11 ) 2 ( o ) = 0 ( 1 1 2 ) 其中 m ( 毛f ) = e j 防( x ，f ) 一z 1 厂( z ) 出， a - l ，f 】是序列g - i ( 八一1 ) 的聚点， s c x ，r ，= 霎i 是z ：三三喜芸；， 一类抛物掣方稃的局部解和整体解 x = g ( ，) 是未知的自由边界。 本文是在d u v a n t 、f r i e d m a n 、k i n d e r l e h r e r 、n i r e n b e r g 、y i f a 、 c a f f a r e l l i v a z q u e z 、b o n d e r ，b a r a b a n o v a ，m e i r m a n o v 、h a n z a v a 、 r a d k e v i c h 、m e l i k u l o v 、r o d r i g n e s 、s o l o n n i k o v 等数学家的研究思想 基础上，通过一些迭代变换讨论了当旯0 时上述自由边界问题 ( 1 - 3 h 1 1 3 ) 局部解的存在唯一性以及对旯= o 时问题( 1 3 h 1 1 3 ) 的整 体解的存在唯一性。 5 - 一类抛物掣方氍的局部解和整体解 2旯0 时的局部解存在唯一性 本章主要讨论兄0 时上述自由边界问题局部解的存在唯一性。主 要的思路是利用迭代变换的方法，使上述问题的自由边界有个明确 的表达式，然后在此基础上得到该问题局部解的存在性和唯一性。 2 1问题的转化 本节是通过对方程的变量和边界构造两个变换使方程和边界的形 式变简单，以利于后面第二节的讨论。 首先，我们作一个变换变量，使得上述问题( 1 3 卜( 1 1 0 ) 象s t e f a n 问题( 见 1 6 】) 一样有一个明确的表达式。 对于满足上述问题的o ( x ，) ，定义如下变换， 变换1 ：令“= u ( x ，f ) = a ，o ( x ，f ) ，且x = g ( f )( 2 1 ) 现在我们由方程( 1 6 ) ：0 = 1 ，x = g ( f ) ， 将其两边对f 求导，于是有_ d o ( x , t ) ：0 ， 而d o ( - x , t ) ：掣：州g ( 删+ a ，o ( g ( 伽g ( f ) ， 口f口f 于是 a ，p ( g ( f ) ，f ) + a ，p ( g ( f ) ，t ) g o ) = 0 ， 即g 价一搅器。 由方程 a ，0 - 0 “0 = 0 ，x g ( f ) ， 我们可以得o , o ( x , t ) ：a 就o ( x , t ) = 亟掣= o ，u ( x , t ) 。 再由方程 a ，p = 2 m ( x ，f ) ，z = g ( ，) ， 有：x = g ( ，) 时，o u = a ，口= a ，( z ，) = 、2 m ( x , t ) ， 高饺教师在职硕十学何论文 因此以上g 。( f ) 可化为 g ( f ) = 一揣2 一丽1 即， 雠( ，) 由方程( 1 一l o ) ：o ( x ，o ) = o o ( x ) ，有a ，o ( x ，o ) = 0 o ( 工) ， 即有“= u ( x ，) = o ，o ( x ，o ) 。 ( 2 2 ) 现再将变换( 2 1 ) 和方程( 2 2 ) 代入到方程( 1 3 ) 一( 1 - 9 ) a 。毋一8 , 0 = 0 ，x g ( f ) ， f 0 j = g ( f ) o x s i o x s 2 = 旯“， x = g ( t ) u ( x ，0 ) = u o o ) 8 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) x 丸 x 一力 一丽跏 丽 一 卜 止 卜 s 毒 一类抛物删方稃的局部角罕和整体解 s i ( x , o ) = s 1 o ( x ) ，s 2 ( x ，0 ) = s 2 o ( x ) g ( 0 ) = 0 m ( 圳= c 7 b ( 工，f ) 一z 扩( z ) d z ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) ( 1 - 1 3 ) 也就是说讨论l 、口j 题( 1 3 ) 一( 1 。1 3 ) 中局部解的存在唯一性转化 为了讨论问题( 2 3 ) 一( 2 1 0 ) 及( 1 1 1 ) 一( 1 13 ) 局部解的存在性 和唯一性。现在，为了证明问题( 2 3 ) 一( 2 1 0 ) 及( 1 1 1 ) 一( 1 1 3 ) 局部解的存在唯一性，而其边界的表述太复杂，故我们先对( 2 2 ) 一 ( 2 1 0 ) 中的边界也作一个变换。 变换2 ：令( 1 ) y = x g ( ，) ，t = ，( 拉直边界) ， 及( 2 ) u ( x ，f ) = “( j ，+ g ( ，) ，f ) = v ( y ，) = v ， 贝0 有c 3 “= a y v ，a 船甜= a ，a ，甜= a ，v - g 。( ，) aj ，v 。 删入记号 w i - w l ( y , w 2 籍篇嚣撼备【，吃2 y ，f j26 2 t z ，f j26 2 ( j ，+ g 【，j ，j 将它们代入到方程( 2 3 ) 一( 2 1 0 ) 及( 1 11 ) 一( 1 13 ) a 。“一a ，“= o lx o 8 l 一8 。s = 2 0 段x 0 a 。曼一a ，s ：= 0 x g ( f ) f o 扰= 4 2 m ( x , t ) ，x = 酏) g ( f ) = 一了丽1 屯z ，工2 9 ( o 墨= 逻，x = 酏) a ，是一a ，s = 2 u ，x - - g ( f ) 如o ) = ( 功，= 皖 中，上述问题又变成了下面的等价形式： a ， ，一a v g ( ，) ay ，= 0 ， y - 1 ， ( 2 2 1 ) 2 ) w ：。( y ) c 4 【o ，佃) ， ( 2 2 2 ) 3 ) v 。( y ) ，w i 。( y ) c 扣( - - o o ，o 】， ( 2 - 2 3 ) 其中0 0 ，仃 - 1 ： ( i i i ) 厂( 盯) = 0 ，盯- 1 ： ( f 1 ，) f c 。bl ，+ ) 。 例2 1 讨论函数 是否满足上述条件。 解：因为 f 1 m ) = i ( x + 1 ) ， 【o ， ( 1 ) 若取c = 2 ，则显然有 x 一l x - 1 os 三二2 e ，o 厂。( x ) ：1 一1 ep x 一1 时上式也成立5 ( 2 ) x 一l 时，厂( x ) ：坐 0 p ( 3 ) x 一1 时，厂( x ) = 0 ( 4 ) v xe r ，( x ) c 。 - 1 ，+ o o ) 所以函数几) ：( x + 1 ) ， 10 ， x 一1 是满足上述条件的。 x - 1 例2 2 讨论若w 。( o ) 一1 ，则当f 充足够小时， ( 2 2 5 ) 有万( f ) c c o 。 吊俊教师任职硕十学伊论文 一 解：当w i , 0 ( o ) - 1 ，即w i ( o ，o ) 一1 时，由连续性得到当，充分小时， 有( o ，f ) 一1 + 6 ，所以 万( 萨r w ( o ，) _ z l r ( 工) d x = r w ( o ，) - x 扩( x ) d x 上i ( - t + 艿一x ) f ( x ) d x ：= c 。 然后我们来讨论在假设条件( 2 2 1 ) 一( 2 2 5 ) 下，问题( 2 i1 ) 一( 2 2 0 ) 的解( v ，w 。，w 2 , g ) 是存在的和唯一的。 再给出一个引理： 引理2 1 ( s c h a u d e r 不动点定理 3 4 】) ：假设d 是b a n a c h 空间( 见 【3 5 】) x 中的一个闭凸子集， t ：d 寸d 连续且丁p ) 列紧，则r 在d 上必有一个不动点。 证明：首先证明存在性。 我们任选个x 。d ，并定义迭代序列& 。 如下： x o ，x l = 7 ，x 2 = a l = t 2 z o ，z 疗= t ”z o 下面证明序列扛。) 为c a u c h y 序列。 因为t 连续且r ( d ) 列紧，则存在数口，且os 口 m ，有 c l ( x 。，x 。) a ( x 。，x 。+ i ) + d ( x 。+ i ，x 。+ 2 ) + + c l ( x 。一i ，x n ) ( 口+ 口“+ + + a ”一) d ( x l ，x o ) 纠等 由于0 口 1 ，则0 1 一口”1 ，因此 d ( x 。，x 。) m ) 1 一口 在右边，0 口 m ) ， 则右边可任意小。 于是就证明了序列扛。) 为c a u c h y 序列。 又因为d 是连续且列紧的，序列扛。) 收敛，令x 。jx ，现在来证明 此极限值x 即为函数t 的不动点， 从三角不等式( 见 3 2 】) 与d ( r x ，r y ) a d ( x ，y ) ( 当0 口 l 时) ( 见 3 8 】) ， 我们有 a ( x ，t x ) c l ( x ，x 。) + d ( x 。，t x ) d ( x ，x ，) + 谢( x ，- i x ) _ 0 ，当m 一时， 因此d ( x ，r x ) = 0 ，由度量空间的定义( 见 3 9 】) 得t x = x 。 不动点的存在性得到了证明。 然后证明不动点的唯一性。 设x 和；是t 的两个不动点，则由已知有 仡：y 噍：；， 高校教师任职硕十学 7 ：论文 又由d ( t x ，t y ) a d ( x ，j ，) ( 当0 口 1 时) 得 d ( x ，；) = d ( t x ，r ；) 0 ，使得问 题( 2 1 1 ) 一( 2 2 0 ) 有唯一解 ，w l ，w 2g ) c t + a , 1 扣m ( 石i r ) x c m 刖州7 2 ( 石i r ) x c + 口。1 + 口) ，2 ( 石2 ，r ) c m 【o ，r 】， 且 l vl c 。+ “。+ 。，：( - v ) + 1 w - l c - + “- + 。m ( 万 ) + l c 。， m 。否：，) + l g f ：m c ( 2 2 6 ) 其中c ，r 依g a $ c o ，l v 。i c ( 哪 0 1 ，l w i , o i c i + 。 o l 和1 w ：。b 印，+ 曲，但不依赖 于h 的下界。 证明：首先证明在该条件下问题( 2 1 1 ) 一( 2 - 2 0 ) 的解的存在性。 先定义 卟g ( t ) e c 吼舯吣。c 归赤p ) ( 2 ) d i , k k o ) d l ；l g o ) | 。 o ，】足 ； ( 3 ) d ：= ( y ，r ) c i j 2 ( 西) ；v ( y ，o ) ：，。( 少) ； 一类抛物型方群的局部解和整体解 ( 4 ) d ：，= i v ( y ，f ) d ：；l v ( y ， 其中，k ： 2 压丽 m ( i 3 1 r ) j j ， v j ( o ) i + 1 ，n = 2 1 v o ( y ) i ( t i ，( 一。】+ l ，丁待定。 又令d 刚= d xd ：则d 删是c 1 【o ，7 1 】c 一，：每 ) 中的一个闭凸集。 首先固定g ( ，) ，v ，) ) d 删。 我们先来讨论绕射问题( 2 1 2 ) 、( 2 1 3 ) 、( 2 1 6 ) 、( 2 1 7 ) 和( 2 1 9 ) a f w l a w l g ( t ) a y w i = 一旯aj ， a l 一拶 一( r ) ay=0w2 d w 2 g w 2 0 d l 一 拶 一 【r j dy 2 w l 2 w 2 a y w l a y w 22 2 v w l ( y ，0 ) = w i o ( y ) ， 1 扫 4 0 1 可知这个问题有唯一解 且 w 2 ，0 ) = w 2 o ( 少) ( w iw 2 ) c l + a , ( 1 + 州2 ( 西盯) c 1 + 啦口) ，2 ( 面2 ，7 ) ， 1 w 。l c i + 州( 五盯) + f w zi c i + “m ( 五：川c 。 其中的c 依赖 则 又定义 于k ，n ，h k 。刚l 和 1 w ：。f c i + 叩川。 m - ( t ) = 伫0 【w 。( o ，f ) 一x 抄( x ) d x ， 其中 c c 。，c l ，w l ( o ，o ) 。 这是因为 因此 陬牡豫，c 。 捌t ，唑掣 c l 。 o s 2 蚶。 f f l f 2 l 。 1 5 ( 2 2 7 ) m ( t 2 ) 一m ( t 1 ) l 一= ： i t 一1 2 r v 2 畔 【w 高校教师台：职硕十学何论文 w l ( o , f 1 ) - 川( o ，1 ) 一x l 厂( x ) 出一o 【w 。( o , t 2 ) 一x l 厂( x ) 出i ( 0 ，t l 畔 w i ( o ，。 l t 。一t 2 r v 2 ) - z v ( x ) 出一c 舢2 w ( o , t 2 ) 一x 扩( x ) a x i ，l - ，：i ( 1 + 口2 v ( x ) 出一 e “。如w 。( 蛳：矿( x ) 出一聪i ：矿( x ) l 出 | ，i - ，：r v 2 w j ( o f 1 ) 1 w ( 。f i ) 一w ( o , t 2 ) 】厂( x ) 出l + i ( 譬i ：w 。( o ，f 2v ( x ) 出l + lc 1 。( 。，0 , 1 2 ，矿( x 胁l c 唑掣妃 卜f ：r 2 i f l _ ，：r 夥2 而我们可以很容易算出甲( r ) l 的最大模。 因此 其中 c c o ，c ，w ，( o ，o ) 。 l - ( “，：他，s c ， 考虑到方程( 2 11 ) ，( 2 1 4 ) ，( 2 1 8 ) ，0 ) = v o ( y ) 。 一a ，一g ( ，) a y y 宣0 我们又定义v ( y ，f ) 为如下问题的解： a f v - c 9 ，y v - g ( f ) a y ，= 1 ，2 ，y = 0 v ( y ，o ) = l y o ( y ) 。 y 0 i 主t 4 1 n - - j 得问题( 2 2 8 ) 一( 2 3 0 ) 有唯一解 - 1 6 ；c l + a , ( m ) 7 2 ( 万i ，) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) = p “或 ，j、【 一类抛物掣方程的局部解和整体解 i i i 。+ 。+ 。，：。万。，：；c ：。 ( 2 31 ) 由( 2 - 1 6 ) 知c z 依赖于c 。，k ，n ，i w “+ 。( 。 o l 和i w 2 , 0 i ( - i + 佃一) 。 然后，我们根据条件( 2 1 5 ) 、( 2 2 0 ) g ( f 卜丽i 咿， 【g ( o ) = o 定义一个新的自由边界；( f ) ： 酷j ：丽- 1 ( y ) o , v ( o , r 协， 所以有 g ( ，) = 1 当a ，v ( o ，f ) 。 4 2 m ( t ) 而 ；( ，) 】。 2 畛( 0 ，) f m ，则孔) c 栊【o ，刃，且有 口2 f l w 。l f 。+ 。+ ，：( 万。，) + 1 w z i c 。+ 。，z 五：，! ；c 1 l 司。7 + 。+ 。，：。石，：；c z 可知其中的c ，是由c o ，k ，1 w ，。l c l + 。( 呻0 l 和1 w 2 ，。l c m 【0 ，佃) 确定的。 现在定义一个映射： f ：仇一c 0 ，t x c l 2 ( - 6 i ，7 ) ， 即 ，0 0 ) ，v ，f ) ) = 告( f ) ，；( 少，f ) ) ， 我们先证明f ( d 刚( 2 2d 删。 首先，由2 ( f ) 的定义有： 2，j2 c 一、， i )f 粥 n h 霸个 722 由 高校教师住l ：； 硕十学f 7 ：论文 lg ( o ) = 0 p 卜赢。0 i ；( ，) | 。，l i ；( ，) 一；( o ) l 。t o ，1 + 医i ( o ) i ii ( 1 0 ，7 l i ( ，7 丁州2 l ；( ，) 一g ( o ) l c 。，2 【。川+ i ；( 。) l 叫矶g ( 0 ) l 他r ，+ 志阳) l s c ，2 + 下阳o ) l 。4 2 m( 0 ) 也就是只要丁s ( 击) ，我们就有 l ；o ) l c r ，_ 0 ，有 i v ( y ，f ) l c ，：( _ 盯) - i v ( y ，f ) 一v ( y ，o ) l c ，：( _ ) + l _ ( y ，o ) lc i ( 一。，o 】 仃f ( 少，f ) 一v ( y ，o ) l c m 朋+ 叫：( _ 盯) + c 蛳( j ，) 一v ( y ，o ) k ，) + 陆) l ( 刮 - c r l v ( y ，f ) l c + 。+ 。，：( 赢，) + c ( o ) r l + 口，2 i v ( y ，f ) l c 。+ 。+ 。，：$ ，) + ( i c r + 1 ) i v 。( y ) i c - + ( ，。l - g ( c r + c ( a ) t ( 1 + a ) 2 ) + 2 1 v 。( y ) i c ，+ 。( 一。，。l 。 若让仃充分小，同时让丁也充分小，则 i v ( y ，f ) | c 咂，) 22 l v o ( 圳c ( 吨。1 + l = ， 一类抛物刑方程的局部t 罕, r l l 整体解 然后再证明f ：d 删专c i 【o ，丁】c 7 2 ( 石i ，) 是连续的。 设 v x j 七三l c 。：，k 胃 七：1 cd i ，誓，! i m l v k - v l c u ，z t 磊，。o ， ! 咧g t g lc i f o r l 当y = 0 时， 记g 。，；。) = f ( g k , v k ) ，每，；) = f ( g ，v ) 。 = ( 2 肼w 。 2 ( ”( w 。一工沙( 工) 出一j 二：( w 。一x 沙( x ) 出) ( 2 p “。 ：垫塑兰坐二丛垒兰二g 竺型 ( 2 r ：“( w 。一x 沙( x ) 出) j + ( 2 c w 。一x 沙( z ) 出) j 其中w i 。，w l 是对应于，v 。) ，b ，) ，问题( 2 2 3 ) 、( 2 2 4 ) 、( 2 2 7 ) 、( 2 - 2 8 ) 、 ( 2 3 0 ) 的解。由f 的定义，则( w 。一w l ，w 2 。一w ：) 是下面问题 m 。o ) 一w l 以o ) = o w 2 吏，o ) 一w 2 ，o ) = o 口( 七一) 一a ( 七一) 一g ：0 p y ( 七一w 2 ) = a y 心g ：0 ) 一g o ) ) a 。w 露- w ，) - o y o 吃量一w j ) = a h v ) m i m = 七一 a ，( w l 七一w 1 ) 一a 渺( w l 量一w 1 ) 一g 七o ) a y “纛一w 1 ) = a y w l g t 0 ) 一g 的解，且 i w 。一w l ki c i + “m ( - l r ) + 1 1 ，一w 2 kl c l + 州m m ( 麦n c 。l a y w ，( f ) 一g 。o ) 】m + 旯l a ，( v 。一v ) 【帆r ， + 兄m o ，f ) 一v ( o ，f 牝z i o 7 l 。 1 9 o ) ) 一加yv k v ) 一2 、 出 、， x ，l矿 x w ，一， 2 ，一 一 ，一2 一、， 出r 沙 x w ，_ l 、 c 2 ，一 i l v一一v i 一2 一、 出 、， x l矿 x w ，j i 、 r h 2 ，t 一 一2 、j 出 、j x ，l， 、i ， x一 一2 、j 出 、j x ，l 、 ， 、l l 工 x 一 r h 2 ，一 + 1 2 ， 出 、l ， x ，k， 、上 x一 高校教师住职硕十学何论文 所以 ! 到w l 一i c l + - ( 1 + , o 2 ( d ，= o ， 故当在d 上g 。_ g ， 在 d 2 岸上v 一v时， w i k 专w i 。 贝j l k c h “i + 叫2 每v ) 上有 又由映射f 的定义，可知一v 。一i 是下面问题 1 ，i ( y ，0 ) 一v ( y ，0 ) = 0 一、 一， 一v 户dj ，v 恬i ) c m ) d x 一 ( f ) 一g ( f ) ) 叫 的解，由抛物线方程的古典解理论( 见【4 2 】【4 3 】) ，有 因此 l ；t - ；l 。? 。+ 。+ ，：。万。，! ；c ( 1 i t ( 0 ，r ) v ( o ，r ) l 。? 。+ ，：。，) 又当y = 0 时， + v i 一，2 + p y ；g t ( f ) 一g ( ，蜴r 。d ， 2 w 。c ”( 工) 出+ ( w 。一曲c 1 厂( 工) 出一【”x 厂( x ) 出 ik ( o ，j ，) 一酏，) lc ( 1 1 町， 2w i k 叱川1 。 2 1 ( w 。一，r ) 1 c x ，c 改l c 。，：。，r 。+ ic ，旷c x ，c l 。，：。r ， c l w 。( o ，) 一w 。( o ，) b 州：【o r 1 ， 即当w i 。_ w ，时，；t ( o ，f ) 专v ( o ，f ) 。 也就有 2 0 y 0 y = 0 一2 ， 出 、j x ，l -， 、i ， x w ，l r h 2 ，- 又 一类抛物刑方程的局部解和帑体解 ! 蜘一玑h 。 l ；( f ) 一否：o ) l， l ( ”“1 0 , 1 】 其中砑t ( ，) = 而 又在 + c 4 ”i o ，t l c 0 。w 。一工抄( 枷c 。 c l + a , t l + 酬2 ( _ u ) 上有；。 哼；，因此 = 0o i ，、- -一、 p y i v rv h z 【o 7 】 a y 乱：限， 阱t 一确虹：h r ，一o ， c 。2 【o ，r l 且；。( o ) = g ( o ) - 0 ，于是可以得到 因而 _ c l w t ( 0 ，f ) 一w 。( o ，f b ：n r l ， ! i m 。l g 。一瓦训气咿1 = o ， ! 眯。一g i c ， o , 1 1 = o 。 由以上讨论知，当( g h , ) j ( g ，v ) 时，有f 戗，叱) 一v ( g ，v ) ，即 是连续的。 f ：d 刚一c 1 【0 ，r 】c - - 坨每耵) 然后又根据估计式( 2 31 ) 、( 2 - 3 2 ) 可得；( y ，f ) c ( 1 + 口) ，2 ( _ ) 和；o ) c ( m 【0 ，r 】， 2 1 即f ( d 删) 是紧集，根据引 3t c 一