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涉及公共值的亚纯函数的惟一性 摘要 所谓函数的惟一性理论主要是探讨在什么情况下只存在一个函数满足给定的条 件我们知道确定一个超越亚纯函数和确定一个多项式所需要的条件是完全不同的 因此，亚纯函数惟一性理论的研究也就变得重要、复杂和十分有趣了这里需要指出得 是：涉及公共值的亚纯函数的唯一陛理论的研究起源于r n e v a n i i n n a 刚，驯 中的一些 研究工作，他的这些极具开创性的研究工作为惟一性理论的研究奠定了坚实的基础 很早，他本人证明的5 i m 公共值定理和4 c m 公共值定理等都是这一领域的经典结果 近几十年来，它倍受关注，已成为国际上较为活跃的研究课题【“】而且，随着研究 的不断深入和发展，它被赋予了更加丰富的研究内涵对于这一全新的研究课题，芬 兰数学家r n e v a n l i n n a 于二十世纪二十年代所创立的n e v a n l i n n a 值分布理论自然成 了主要的研究工具我国老一辈数学家熊庆来1 5 2 ，5 3 1 和汤乐 5 4 ，5 5 1 等在这一方面取 得了一些内容深刻的结果；国外数学家fg r o s s 7 ，8 1 ，w h a v m a n 1 1 、m o z m v a 4 互， g f r a n k i 5 1 e m u e s 3 4 1 ，n s t e i l l f 眦t z 【4 3 1 h u e d a 4 6 4 7 4 8 1 、g g u n d e 州m l o l 等也在 惟一性理论研究方面做出了非常出色的研究成果近二十年来，仪洪勋教授直主要 致力于这方面的研究，并在亚纯函数惟一性理论方面作出了重要贡献 皑j1 9 9 4 年， 他 ( ；( j 一6 1 完全解决了由fg r o s s ：8 ，提出的一个困惑了人们二十多年的著名问题，取 得了一系列富有创造性的研究成果，有力地推动了亚纯函数惟一性理论研究的开展 本文主要介绍作者在导师仪洪勋教授的精心指导下，所完成的一些研究工作( 见文献 7 3 】，i t 4 ， 2 6 ， 2 7 2 8 ， 2 9 ， 3 0 】- i a l 3 2 ， 5 0 ， 5 1 】) 全文共分五章 第一章，主要介绍了n e v a n l i n n a 基本理论中的常用记号，以及一些基本慨：含和结 果，并对本文所用到的些定义和常用术语等作了扼要的介绍 第二章，我们主要研究讨论了具有三个c m 公共值的亚纯函数的惟一性问题，推 广并改进了以前若干相应的结果，并用几个例子表明本章的结果最佳主要定理有 定理l 设，与口是两个判别的非常数亚纯函数，0 ，1 和。是，和g 的c m 公共 值如果 ，1 ) ( ，) + n i ) ( 0 0 ，) 一m ( l ，引， “m ，+ s t 1 9 1 瓦万“ r e l 其中，为具有无穷线性测度的集合，那么，和9 满足下列三种情形之一： ( i ) = ( i i ) ，= 两r 而9 2 甭玎= i j f 了 e 陋+ 1 h le 一( i + 1 ) 7 1 l l 山东大学博士学位论文 ( i i i j ，。e ( k + 1 ) 7 - 1 ，92 孑两而 这里7 是一个非常数整函数，s 和k 是两个正整数，s 和 十l 互素且1 s ，此 外下述等式成立： ) ( t ，) + n t ) ( r ，0 ，) 一m ( 1 ，g ) = ( 1 一言) t ( t ，) 十s ( t ，) 定理2 设，与g 是两个判别的非常数亚纯函数，0 1 和。是，和9 的c m 公共 值则存在具有有穷线性测度的集合e ，使得 t 熙，坐业掣器幽 1 定理3 设，与9 是两个判别的非常数亚纯函数，0 ，1 和是，和g 的c m 公共 值如果 t i 霉r 坐等茅业 t “黑p 1 话万一“ 其中，为具有无穷线性测度的集合，那么 ，= 嵩 e 一5 1 1 g 。再玎码 这里 ，是一个非常数整函数，s 和是两个正整数，s 和女+ l 互素且1 s a ，此 外下述等式成立： 1 n 1 ) ( r ，) + n t ) ( r ，0 ，) = ( 1 一) t ( n ，) + s ( 九，) 第三章，我们继续讨论对非公共值附加某些限定条件时亚纯函数的惟性问题， 推广并改进了u e d ah 和b r o s c hg 等人的有关结果，并用几个例子表明本章的结果 最佳主要定理有 定理4 设，和f 为判别的非常数亚纯函数，0 ，l ，o 。是，和9 的c m 公共值如果 ，是9 的一个分式线性变换，且存在一个复数a 0 ，1 使得( n a ，) 一0 ( ，a ，9 ) t h ，) + s ( r ，) ，那么( r ，a ，) 一n o ( r ，o ，9 ) = 0 ，且，g 满足下列关系之一： ( i ) f + 9 ；1 ，这时o = ；( i i ) ，9 ；i ，这时a ：一l ； ( i i i ) ( ，一1 ) ( g 一1 ) ；1 ，这时a = 2 ；( i v ) ( ，一o ) ( g + n 一1 ) ia ( 1 一。) ； ( v ) ，+ ( a 一1 ) g ；口；( v i ) ，；a g 定理5 设，和9 为判别的非常数亚纯函数，0 ，1 ，。是，和g 的c m 公共值如 果存在一个复数。0 ，l 使得h 。，) 一n o ( r , q 二g ) ? ( r ，) + s ( t ，) ，且，不是9 的 一个分式线性变换，那么 一1 ( r l n ，) 一0 ( - d ，9 ) = = t ( r ，) + s ( _ ，) ， l l i 山东大学博士学位论文 并且，g 满足下列关系之一： ( 1 ) ，：等等，= 等洲一k + 。l ( i i ) f = 筹击，g = 品，谢。= 南， ( 1 1 j 2 砑干可f 1 ，2 习再万二了，哒叫o 。矿万1 ，2 可杀写南，92 荔赢，这时。一南， 这里s 和k ( 2 ) 是两个正整数，s 和k + 1 互素，并且1ss ，7 为非常数整函数 定理6 设，和g 为判别的非常数亚纯函数，0 ，l ，。是，和g 的c m 公共值如果 ，是9 的一个分式线性变换，且存在一个复数。0 1 使得( r ，n ，) 一一n o ( r ，。，9 ) t ( t ，f ) + s ( t ，) ，那么( r n ，f ) 一一n o ( o 。，f ，g ) = 0 ，并且，和g 满足定理4 中的六种关 系之 第四章，我们主要研究讨论了具有两个公共值集的亚纯函数的惟一性定理，回答 了g i o s sf 提出的一个开问题令 j p ( ) = 。u ”一住伽一1 ) 2 + 2 n ( n 一2 ) 6 叫伽一1 ) ( n 一2 ) b 2 这里n23 是正整数，a 和b 为两个非零常数，且满足a b ”2 2 主要定理有 定理7 设s = u c l p ( w ) = o ) ，n 1 2 如果两个非常数亚纯函数，与g 满足 e ( s ，f ) = e ( s ，g ) 和e ( ( o 。) ，f ) = e ( 。c 9 ) ，则fi9 定理8 设s = u o l p ( u ) = o ) n 1 3 如果两个非常数亚纯函数，与g 满足 n ( s ，) = 面( s ，g ) 和西( o 。 ，f ) = 百( 。 ，9 ) ，贝0 ，ig 第五章，我们主要研究了涉及小函数的第二基本定理的推广问题，并得到了几个 惟一性定理，改进了张庆德，t o d an 和姚卫红等人的有关结果主要定理有 定理9 设，是非常数亚纯函数，q ( j = 1 ，2 6 ) 为f 的六个判别的小函数，则 有 5 3 t ( r ，) ：n ( r a j ，f ) + 2 n ( r ，a 6 f ) + s ( r ，) 定理1 0 设，是非常数亚纯函数，町0 = l ，2 ，口) 为，的q ( q 6 ) 个判别的小函 数，则有 铷川 妾- ( r 脚卅洲， 关键词：n e v a n l i n n a 理论亚纯函数小函数公共值( 集) 惟一性 1 v u n i q u e n e s s o fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s c o n c e r i n gc o m m o n v a l u e s a b s t r a c t t h eu n i q u e n e s st h e o r yo fn l e r o m o r p h i cf u n c t i o n sm a i n l ys t u d i e sc o n d i t i o n s u n d e rw h i c h t 1 1 e r ee x i s t so n l yo n ef u n c t i o nw ek n o w - t h a tt h ec o n d i t i o n su s e dt od e t e r m i n e at i n n s c e n d e n 。 t a lm e o r m o r p h i cf l m c t i o ni sd i f f e r e n tf r o mt h a to fap o l y n o u f i a lt h e r e f o r e ，r e s e a r c ho ft h e u n i q t l e u e s st h e o r y o nm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sb e c o m e si m p o r t a n t ，c o m p l i c a t ea n di n t e r e s t i n g i nr e c e n td e c a d e s m a n ym a t h e m a t i c i a n sp a yc l o s ea t t e n t i o nt oi t ，w h i c hm a k e s i ib e c o n l ea v e r va c t i v es u b j e c ta l la r o u n dt h ew o r l d m a n yn e wr e s u l t sa p p e a ra st i m eg o e s0 1 1 f o rt h i s n e ws u b j e c t t h ev a l u ed i s t r i b u t i o nt h e m yf o u n d e db yrn e v a n l i n n ai n1 9 2 0 sh a sb e c o m e t t l ei n a i nt 0 0 1 n e v a n l i n n ah i m s e l fg a v e5 i mt h e o r e ma n d4 c m t h e o r e mw h i c ha r ek n o w n a st l l ec l a s s i cr e s u l t si nt h i sf i e l d t h eu n i q u e n e s st h e o r yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sd e a l i n g w i t hs h a r e dv a l u e so r i 业i n a t e sf r o i ns o m ew o r k si nr n e v a n l i n n a 3 8 3 9 1 t h e s ew o i k sl a yt h e f o u n d a t i o no ft h er e s e a r c h0 2 1t h eu n i q u e n e s st h e o r y al o to fd e e pr e s u l t sw e r eo b t a i n e db y x i o n gq i n g l a i 5 2 ，5 3 1a n dy a n gl e 5 4 ，5 5 1 m a n yo t h e rm a t h e m a t i c i a n s s u c ha sfo r e s “8 ， wh a y m a n f l l 】，mo z a w a f 4 2 ，g ，f i a “5 ，em u e s 【3 4 】，ns t e i n t o e t z 4 3 ，h u e d a _ | 4 6 4 7 ，4 8 a n dgg u n d e r s e n 1 0 1a l s oo b t a i n e dal o to fe l e g a n tr e s u l t so nt h er e s e a r c ho ft h ei m i q l l e n e s s t h e o r y 7 2 1 i i l1 9 9 4 p r o fy ih o n g x u n 6 0 ，6 1 c o m p l e t e l ys o l v e daf k l n o u sp r o h l e mi l ( i ) o s e d b yf g r o s s 8j ，w h i c hp r o m o t e st h er e s e a r c ho nt h eu n i q u e n e s st h e o r y i nt h i sp a p e r ，w f lw i l l g i v es o i t l er e s u l t s o nt h eu n i q u e n e s st h e o wo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n su n d e rt h eg u i d a n c eo fm y h e l o v e dt e a c h e rp r o f e s s o ry ih o n g x u n ( s e e 7 3 r 4 1 2 6 2 7 】， 2 8 ， 2 9 1 ：【3 0 ， 3 1 m 2 ”o 】_ 5 1 ) i nc h a p t e r1 ，w ew i l lb r i e t t yi n t r o d u c es o m ef u n d a m e n t a lr e s u l t s ，d e f i n i t i o n sa n ds o m e i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h eu n i c i t yt h e o r e m so f m e r o l n o r p h i cf u n c t i o n ss h a r i n gt h r e e v a l u e sc m ，a n dp r o v es o m er e s u l t sw h i c ha r ei m p r o v e m e n t sa n de x t e n s i o n so fm a n yk n o w n t h e o r e m s e x a m p l e sa r ep r o v i d e dt os h o wt h a tr e s u l t si nt h i sp a p e ra l - es h a r p t h ei n a i n t h e o r e m sa r ei nt h ef o l l o w i n g t h e o r e m1l e t5a n dgb et w od i s t i n c tn o n c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n ss h a r i n g 0 1a n d 。cc mi ft h e r ee x i s t sas e t ，o fi n f i n i t el i n e a rm e a s u r es u c ht h a t n m 键s 罗u ”坠业端竽型q t h e nfa n d gs a t i f yo n eo ft h ef o l l o w i n gr e l a t i o n s ： 山东大学博士学位论文 ( i ) ，= ，i i ) i = e 5 7 1一s 7 1 i 再五再j ，g2 而玎二码 e ( + 1 ) 1 1 e 一( k + l h 一1 万二广g2 j 可 ， e 8 7 le - s 7 1 i i i ) f 。万嘶，g2 e - ( k + d 7 - 1 ”i 1 。83a t l dma r ep o s i t i v ei n t e g e r ss u c ht h a ti 兰3 s ，sa n d + l & r e r e l a t i v e l yp r i m e ， 1i s ai i o n c o n s t a n te n t i r ef u n c t i o n a n d 肌巾- ，) + 肌) ( r ，吖) 一巾，1 川= ( 1 一) t ( 吖) + 即，) t h 8 0 。8 。2l e ，a n dgb et w od i s t i n c tn o n - e o n s t 喊r e e f o m o r p h i c f u n c t i o n ss b a r i n g 0 ，ia n d 。c m t h e nt h e r ee x i s t sas e te o ff i n i t el i n e a rs u c ht 1 1 a t 1 i ns u i ) r 仨牙 + n o ( r ，0 ，f ) t ( r 、f ) i t h 8 。8 “3l 战，a 1 1 dgb et w 。d i s t i n c tn o n c o l l s t a n t m e r o n l 。r p h i cf u n c t i ( ) n ss h a r i “g 0 ，1a n d 。cc m i ft h e r ee x i s t sas e t ，o f i n f i n i t el i n e a rm e a s u r es u c ht h a t n m s u d r ， m ) ，) + n 1 ) ( r ，0 ，) 可冗r 一 l e 一3 - 7 1 g 2 e ( k + ；- ) 7 - 1 ”l l e r 89a n d a r e p o s i t i v e i n t e g e r ss u c h t h a 1 s ，sa n d 女十la r er e l a d 、p l ，i ) l h n e 1i s ai i o u c o n s t a i l te n t i r ef l m c t i 。n a n d 肌+ 1 ) ( 删= ( 1 一) t p + 跗，) 1 1 1 c 1 1 a p t e r3 ，w ec o n t i n u et 。s t u d yt h eu n i c i t y t h e o r e m s 。fm e r 。m 。1 1 ) h j ( 、f u n c t i 。n s “1 攀n g 妇”8 v a l ”s c mw i t ha d d h j o 捌c 。n d 0 n s f o r 蚴1 - c 。m f n 。n v a i u e s d p r o v 嘲i n e 。5 “! t 5w h j 。ha r 。m l p r o v e m e n t sa n de x t e l l s i o n so f # 址r c s u i t s g i v e l lbu e d ah a n db i o s d i g 8 t 。_ e x 3 m p l e 8a r 8p r o v i d e dt 。s h o wt h a tt h er e s u i t si nt h i s p a p e ra r es h 8 r pt l l ei n a i n t h e o i e m 8a i ei nt h e f o l l o w i n g t h e 。呦4l e t ，gb et w od i s t i n c tn o n c o n s t a n t m e r o m o r p l l i cf u n c t i 。n ss l l a m g0 ，1 a n d 。c m i f ，i sam 6 b i b u st r a n s f o r m a t i o no f g ，a n dt h e r ee x i s t sac o m p l e xn n 出e r 乜f o 1 ：“。h h a t ( n “，) 一n o ( _ 。，- 口) t ( n ，) + s ( n ，) ，t h e n ( n n ，) = j ( r ，n ，9 j ， a n d ，a n dgm u s ts a t i s f yo n eo ft h ef o l l o w i n gr e l a t i o n s ： 赫 | 1 ， e 山东大学博士学位论文 ( i i i ) ( f 1 ) ( 9 一1 ) l ，w i t ho = 2 ；( i v ) ( f o ) ( 9 + o 一1 ) i a ( 1 一o ” ( v ) ，+ ( o 1 ) g ；a ；( v i ) ，ia g t h e o r e m5l e t ，9b et w od i s t i n c tn o n - c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n ss h a r i n g0 ，1 a n d c m i f ，i sn o ta n ym s b i b u st r a n s f o r m a t i o no f9 ，a n dt h e r e e x i s t sac o m p l e xn u m b e r ( 0 ，1 ) s u c ht h a tn ( r ，a ，) 一0 ( r ，o ，g ) t ( r ，) + s ( r ，) ，t h e n 晰，“) 一0 ( 邮1 ，1 9 ) = 等t ，) + 跗，) a n dfa n dgm u s ts a t i s f yo n eo ft h ef o l l o w i n gr e l a t i o n s ( i ) ，= ( i i ) ，= e ( k + 1 ) 7 1e - ( 女+ 1 ) 7 1 历丁，9 2 e 。1 1 e - s y 一1 e - s t 一1 。h 。，。：生旦， s w h e r e n = 南 ( i i i ) ，= 毒篙击，= 黠，w h e r e a=(iii) 一再昔， ，2i 再焉i f 玎，g 2 蕊再而”一瓦再 w h e r esa n dk ( 2 ) a r ep o s i t i v ei n t e g e r ss u c ht h a t 1ss k ，5a n dk + l a r er e l a t i v e l y p r i m e 1i s an o n - c o n s t a n te n t i r ef u n c t i o n t h e o r e m6l e tla n dgb et w od i s t i n c tn o n - c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n ss h a r i n g 0 1a n do 。c m i f fi sam 6 b i b u st r a n s f o r m a t i o no f g ，a n dt h e r e e x i s t sac o m p l e xn u m b e ra ( 0 ，1 ) s u c h t h a t ( r ，o ，) 一o ( r ，1 9 ) t ( r ，) + s ( r ，) ，t h e n ( r ，o ，) 一o ( r ，m ，g ) = 0 ， a n d ，a n dgm u s ts a t i s f yo n eo ft h es i xr e l a t i o n si nt h e o r e m 4 i nc h a p t e r4 ，w eg i v es o m er e s u l t so nu n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n ss h a r i n gt w o s e t s a n do b t a i nt w ot h e o r e m sw h i c hi m p r o v em a n yk n o w n r e s u l t sa n da n s w e rao p e nq u e s t i o n o f g r o s s p ( u ) = n u “一n ( n 一1 ) u 2 + 2 n ( n 一2 ) 鼬一( n 1 ) ( 礼一2 ) b 2 w h e r en 3i sa ni n t e g e r ，a n dba r et w on o n z e r oc o m p l e xn u m b e r ss a t i s f y i n ga b “一2 2 t h em a i nt h e o r e m sa r ei nt h ef o l l o w i n g t h e o r e m7l e ts = f u c f p ( u ) = 0 ) ，n 1 2s u p p o s et h a t ，a n dga r et w on o n c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n ss a t i s f y i n g 窗( s ，) = 面( s ，g ) a n de ( 。) ，) = e ( 。) ，9 ) ， t h e n ，5g t h e o r e m8l e ts = u c i p ( u ) = o ) ，n 1 3s u p p o s et h a t ，a n d9a r et w on o n - c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n ss a t i s f y i n g 面( s ，) = 面( s ，g ) a n d 再( ( 。) ，) = 面( o 。) ，g ) ， t h e n ，i9 v l l 山东大学博士学位论文 i nc h a p t e r5 ，w eg e n e r a l i z et h es e c o n df u n d a m e n t a lt h e o r e mc o n c e r n i n gs m a l lf u n c t i o n s j a n do b t a i ns o m eu n i q u e n e s st h e o r e m sw h i c hi m p r o v et h er e s u l t s g i v e nb yz h a n gq i n g d e ，t o d a n a n dy a ow e i h o n ge t c t h em a i nt h e o r e m sa r ei nt h ef o l l o w i n g t h e o r e m9l e t ，b ean o n - c o n s t a n tm e r o m o r p h i c f u n c t i o n ，a n dl e ta j ( j = l ，2 ，6 ) b es m a l lf u n c t i o n s t h e n 5 3 t ( n ，) ( r 7 町，) + 2 n ( ”6 ，) + ，) j = 1 t h e o r e m1 0l e tfb ean o n c o n s t a n tm e r o m o r p h i c f u n c t i o n ，a n dl e ta j ( j = 12 q ) ( 口 6 ) b es m a l lf u n c t i o n s t h e n 等t c r ， 1 2 则有，9 ；1 ，1 9 8 3 年， u e d ah 1 47 】将上述结果推广到亚纯函数；1 9 8 9 年，b i - o s c h g 1 2 和仪洪勋教授等也对o z a w am 的结果做出了各种不同类型的改进和推广 “。我 们在第二章对该问题进行了讨论，改进并推广了上述定理 ，并用例子表明，第二章 中定理的条件是最佳的 对于非公共值具有某些附加条件的情形，仪洪勋教授等对此问题也进行了深入研 究1 7 2 凋我们在第三章对该问题进行了讨论，得到了几个惟一l 生定理，改进了u e d a h 【4 6 i 和b r o s c hg 旧2 的相应结果并用例子证明第三章的结论是最佳的 二随着研究的不断深入， g - 0 8 sf 8 又提出了公共值集的概念虽然具有公共 值集的亚纯函数的惟一性问繇是具有公共值的亚纯函数惟一性问题的推广，f 旦是这类 问题讨论难度较大对于一般类型的公共值集，很难确定亚纯函数之间的关系 1 9 7 6 年，fg r o s s 提出下述问题：能否找到两个( 甚至个) 有限集合毋= 1 ，2 ) ：使得对 任何两个非常数整函数，与9 、当s l 和是为，与9 的公共直集时，必有_ 2 口? f g r o s s 在上述文献中继续写道：如果上述问题的答案是肯定的，他非常感兴趣知道这两 个集合必须足多么大，该问题引起了许多数学家的兴趣，并且已经就此取得了很多深 刻的结果【7 翔仪洪勋教授 62 j ，方明亮和徐万松( 3 分别独互地完全解决了上述问题 对于亚纯函数，仪洪勋教授砸李平和杨重骏教授m 方明亮和郭辉t 出仪洪勋 教授【6 6 ，6 7 ，6 8j 等 7 2 j 进行了详细研究，得到了许多很好的结果本文在第四章进 步讨论了此问题。改进了以前若干相应的定理，证明了两个主要结果 三n e v a n l i n n a 3 8 j 曾经提出能否将第二基本定理中的常数换为( # ) 的小函数的问 题? 多年以来，人们一直试图解决该问题在仅考虑三个小函数的情形下，n e v a u l i n n a 本人证明了三密度不等式定理对于这一问题，庄圻泰 瑙) 先生曾进行了深入细致的 研究，并在整函数的情况下将问题彻底解决1 9 8 6 年，对上述问题的研究又有了本质 上的进展，f r a n k 和w e i s s e n b o r n 56 1 ，0 s g o o d 4 0 ，4 1 以及s t e i n n l e t z f 4 3 】等人f 7 2 】都发 表了相关的研究论文，其中s t e i n m e t z 的研究结果被认为是二十世纪八十年代最重大 的成果之一随后，李玉华和张庆彩【5 去掉了s t e i n m e t z 结果中的e ，从而涉及带非精 简密指量的n e v a n l i n n a 问题已经完全解决了对于带精简密指量的n e v a n l i n n a 第二基 本定理能否推广到小函数仍然是尚未解决的重要问题对于5 个小函数，张庆德【r n 首先进行了研究，本文第五章中对这个问题进行了尝试，并得到了一系列的结果 第一章预备知识与i ：t n e v a n l i n n a 理论概要 二十世纪二十年代，芬兰数学家rn e v a n l i n n a 所创立的亚纯函数值分布理论是亚 纯函数惟一性理论研究所使用的主要工具本章我们将给出rn e v a n l i n n a 基本理论中 的些常用记号，并叙述亚纯函数惟一性理论中的一部分基本概念和结果( 参阅文献 1 1 1 、 3 8 1 、 3 9 】、【5 5 和 7 q ) 1 1n e v a n l i n n a 值分布理论概要 在本文中，如果没有特别说明，我们所提到的亚纯函数均是指开平面c = z ： o 。) 上的非常数亚纯函数；并用虿= z ：i z l 。) u o 。) 表示扩充的复平面 对于z 0 ，定义z 的正对数为 l o g + x = 垤：兰。 定义1 1 1 设，( z ) ( 。) 为亚纯函数，对0 r 。，规定 m ( r ，) = 击t 1 。矿1 ( r e i 。) l d o ， ( ，、，) ：n ! 刍二! ! 掣d t + n ( o ，f ) l 。g ， 矾，) ：，塑尘墨蚴瓦( o ，f ) l 。g ， t ( r ，n = m h ，) + g ( r ，) ， 其中的n ( t ，f ) 表示函数f ( z ) 在h t 上的极点个数，并且重级极点按重数计算； n ( o ，) 表示f ( z ) 在原点处极点的重级，行( t ，) 表示重级极点只计一次时，( z ) 在川 t 上的极点个数( 当f ( o ) o o 时，n ( o ，) = 瓦( o ，) = o ；当f ( o ) = 。时，n ( o ，f ) = 1 ) 我们称m ( n ，) 为，( z ) 的均值函数；并分别称( r f ) 和( n ，) 为，( z ) 的极点的 计数函数和精简计数函数；t ( _ f ) 称为( z ) 的n e v a n l i n n a 特征函数，简称f ( z ) 的特 征函数 定理1 1 1 ( n e v a n l i n n a 第一基本定理) 设，( z ) 于h p ( + 。) 内亚纯若n 为任 一有穷复数，而且( z ) n 则对于0 r p ，有 1 t ( r ，i 三= ) = t ( r ，) + l o g j “l + 占( ，r ) ，( 1 i 1 ) 1 山东大学博士学位论文 其中c 为击在原点的l a u r e n t 展开式( 按升幂排列) 中第一个非零系数，而且有 我们通常将( 1 1 1 ) 简写为 卟，击) = t ( 吖) + d ( 1 ) 定义1 12 设f ( z ) ( 。) 为亚纯函数，则 p ( ，) ：l i r as u p 堕兰蚴 r - - o o 1 ”s7 与 弘( ，) ：l i 。i 。f 丝：三哎2 t o g 分别称为，的级与下级 定理1 1 ，2 ( b o r e l 引理) 设t f f ) 为r 0 r + o o 上连续非减的函数，且丁( r o ) l 则至多除去r 的一个集合岛后恒有 1 丁( 7 叶斋) 2 t ( 7 1 j ， 且且1 的线性测度不超1 寸2 定理1 13 ( 对数导数引理) 设，( z ) 为非常数亚纯函数，且，( o ) 0 ，。，则对于 0 r r + o 。，有 4 l o g + t ( 兄i ，) + 3 l o g + 丽1 + 4 l o g + r + 2 l o g + ； “1 。g + i o g + 南“吼 注1 1 1 当，( o ) = 0 或者，( o ) = 。o 时，适当改变上式右端最后两个常数项及其余 各项的系数后定理1 13 的结论仍成立 定理1 14 设，( z ) 为非常数超越亚纯函数，那么 1 i 。挚盟：。 7 _ 。i 0 9 7 定理1 1 5 ( n e v a n l i n n a 第二基本定理) 设，( z ) 为非常数亚纯函数 为q ( 3 ) 个判别的复数，那么 c 脉妾帅，去卜 m ， 2 ( 1 1 2 ) a j ( j = l ，2 ，g ) ( 1 1 3 ) 山东大学博士学位论文 其中1 ( r ) = 2 n ( r ，) 一( n ，) + n ( r ，专) ， 剐删一如，睾) + 善m ( n 南) + 。( 1 ) ( 1 1 4 ) 关于n e v a n l i n n a 第二基本定理中的余项s ( n ，) ，根据定理l12 和定理l1 3 ，我们 有如下估计 定理1 1 6 设，( z ) 为非常数亚纯函数，s ( t ，) 由定理1l5 中的( 11 4 ) 确定，则 当f ( z ) 为有穷级时有 s ( n f ) = o ( i o g r ) ( r 一。) ； 当f ( z ) 的级为无穷时， s ( r ，f ) = o ( 1 0 9 ( r t ( r ，) ) ) ( r - 。，r e ) ， 其中e 是一个线性测度为有穷的集合 注1 12 对于非常数的亚纯函数f ( z ) 来说，一般我们用s ( n ，) 表示满足 5 ( r l f ) = o t ( r ，) ) ( r _ o 。，7 g e )( 1 15 ) 的量，e 表示一个线性测度为有穷的集合，但每一次出现时不定完全相同 通过对定理l _ 15 中项n l ( r ) 的估计，我们有n e v a n l i n n a 第二基本定理如下常用形 式 定理1 1 7 设f ( z ) 为非常数亚纯函数，a j ( j = 1 2 ，q ) 为q ( 3 ) 个百中的判另0 元素，则 ( q q ，) 宴研，志) - 矾刍) 删吖) ， 其中。( r ，专) 表示是f 的零点但不是f a j 0 = 1 2 ，口) 的零点的计数函数 定义ll3 设，( z ) 为非常数亚纯函数，n ( z ) 为亚纯函数( 当o ( z ) ；。c 时，在该 定义中约定t ( t ，。( z ) ) 三o ) ，若t ( t ，。( 。) ) = s ( ，) 则称。( ：) 为，( 。) 的小函数( 或慢增 长函数) n e v a n l i n n a 3 8 】曾经提出能否将第二基本定理中的常数换为，( 。) 的小函数的问题? 在仅考虑三个小函数的情形下，n e v a n l i n n a 本人证明了下述定理： 定理i 1 8 3 8 】( 三密度不等式) 设，( z ) 为非常数的亚纯函数，a i ( j ：l ，2 ，3 ) ( 其中 有一个可恒等于。) 为f ( z ) 的三个判别的小函数，则 3 1 孔删 职n 桶) + 剐圳 ( 1 1 5 ) 3 山东大学博士学位论文 在第二基本定理的一般形式中，是否可以把常数替换为小函数? 一直是人们试图 解决的重大问题引起了广大数学工作者的极大兴趣对于n e v a n l i n n a 提出的上述一 般问题，庄圻泰【7 8 】先生证明了 定理1 1 9 设，是非常数亚纯函数，a i0 = 1 ，2 ，g ) 均为f 的小函数，且相 互判别贝4 有 g ( q 1 ) t ( r ，) ( r ，a j ，) + q n ( r ，) + s ( n ，) j = 1 1 9 8 6 年，s t e i n i n e t z 4 3 】等人f 7 2 】都对此问题进行了深入探讨，其中s t e i n m e t ：证明 了下面的著名结果： 定理1 1 1 0 4 3 设，是非常数亚纯函数，再设a ju = 1 ，2 ，q ) 是，的q ( 3 ) 个 判别的小函数，e 为任意给定的正数则有 q ( 口一2 一e ) t ( r ，) 0 我们称n 为，( 。) 的f f a ，而d ( 。，) 称为 n 的亏量 定理1 11 1 ( 亏量关系) 设，( z ) 为非常数亚纯函数，则，( 。) 的亏值至多有可数一1 - 且相应这些亏值的亏量总和满足 眠，) e ( n ，) 2 8 百8 孑 有时我们还会用到下述拟亏量 5 4 】的概念 定义1 1 5 设( z ) 为超越亚纯函数，a 虿，定义 坼力= 1 - l i ms u 。篙穿i ，r 。t ，j 其中为正整数，帆) ( r 1 ( ，一。) ) 表示重数女的，的。一值点的计数函数并 且显然有0 以1 ( o ，) l 成立 4 山东大学博士学位论文 1 2亚纯函数惟一性理论中的基本概念和定理 本节我们将给出惟一性理论中常用一些基本概念和有关定理