（基础数学专业论文）一类kdvburgers型方程的整体适定性.pdf

致谢 衷心感谢我的两位导师：薛儒英副教授和方道元教授对我的谆谆教诲和 辛勤指导，使我顺利完成了学业，并在各方面取得了一些成绩，培育之恩将 终生铭记 还要感谢我的师兄，师姐，师弟，师妹们，感谢他们在我学习上，生括上 所给予的关心和帮助和他们在一起，让我度过了一个愉快的、有意义的研究 生阶段 摘要 研究一类k d v b u r g e r s 型方程 iu t + u + u t b + l d z l 2 0 = 0 ，r + ，z r ， iu ( o ) = 妒扛) ，妒h 5 ( r ) 初值问题解的适定性，其中0sn 1 ，i d ：1 2 a 是象征为2 。的f o u r i e r 乘子我们 对以上的k d v 。b u r g e r s 型方程分别在齐次s o b o l e v 空间矗s 和在s o b o l e v 空间日8 上讨论它们解的适定性和不适定性问题 对上述k d v b u r g e r s 型方程解的适定性研究的主要困难是方程的双线性估计 在s o b o l e v 空间h s 中，利用色散关系 ( r ，f ) = i ( r p ) + 2 。 所满足的一个代数关系，通过对偶方法我们在s 一n 条件下得到双线性估计利 用这个双线性估计和不动点定理我们证明：当s 一n 时，k d v - b u r g e r s 型方程解 在s o b o l e v 空间伊上是整体适定的 在齐次s o b o l e v 空间矗s 中我们利用环型分解技巧和t t a o 的抽象的乘子 理论来得到关健的双线性估计利用这个双线性估计和不动点定理我们证明：当 s i 焉= 告时，k d v b u r g e r s 型方程的解在齐次s o b o l e v 空间直5 上是整体适定的 同时利用量纲分析技巧，我们证明：当s 一n ， w 。g e tt h eb i l i n e a re s t i m a t eu s i n gd u a lm e t h o db yd i s p e r s i v er e l a t i o ns a t i s 研n ga a l g e b r a i cs m o o t h i n gr e l a t i o n ： h ( t ，) = t ( t 一3 ) + 蚓2 。 w h e ns 一a ，i nt h es o b o l e vs p a c eh 。t h es o l u t i o no f t h eg e n e r a l i z e dk d v - b u r g e r s e q u a t i o nc a nb ep r o o f e dt ob ew e l l p o s e db yt h eb i l i n e a re s t i m a t ea n dt h ef i x e d p o i n tt h e o r e m i nt h eh o m o g e n e o u ss o b o l e vs p a c eh 5 wg e tt h eb i l i n e u re s t i m a t eb yd y a d i cd e - c o m p o s i t i o na n da b s t r a c tm u l t i p l i e rp r i n c i p l eb yt t a ow h e ns 赫，i nt h e h o m o g e n e o u ss o b o l e vs p a c eh 5 ，t h es o l u t i o no ft h eg e n e r a l i z e dk d v - b u r g e r se q u a - t i o nc a nb ep r o o f e dt ob ew e l l p o s e da l s ob yt h eb i l i n e a re s t i m a t ea n dt h ef i x e dp o i n t t h e o r e m c o r r e s p o n d i n g l y , w h e ns 0 与连续嵌入到 c ( 1 t ? 1 ；h 5 ( m ) 的b a n a c h 空间，如果有7 2 0 b ，那么在 一只丁】上，方 程( 1 ) 存在唯一的解u 耵，且有 ( 1 ) 流映射u o 一u 是从b 到c ( i t ，郅；日( m ) ) 的连续映射 ( 2 ) 流映射的传播具有更好的光滑性，即u o h 4 ( m ) ，一 s ，那么有 “c ( 【- t ，卅；h 4 ( 吖) ) 当n = o 时，方程( 1 ) 就是著名的k d v 方程，在文献鼢和【4 1 中，k e a i g 等 考虑了k d v 方程的c a u c h y 问题的适定性，证明了当s 一i 时k d v 方程在 空问h s ( r ) 中是局部适定的，且映射p u 是从日。到g ( 【o ，卵，h 8 ) 的光滑 映射；而当8 一 时，k d v 方程在空间h 5 ( r ) 中是整体适定的 对发散的b u r g e r s 方程 文献i 6 j 证明了当s 一 时。在舻( r ) 中它的解是局部适定的文献【7 ) 证 明了当s 一l 时k d v b u r g e r s 方程在空间h 5 俾) 上是整体适定的，映射妒一u 是从舻到 5 e ( o ，了 ，h 4 ) 的光滑映射；而当s 一a 条件下得到双线性估 计在齐次s o b o l e v 空间疗s 中，我们利用环型分解技巧和t 的抽象 的乘子理论来得到关健的双线性估计我们证明：当s 一a 时，方程的解在 s o b o l e v 空间上是适定的，即定理1 j 当s 暴i 时，方程的解在齐次s o b o l e v 空间上是适定的，即定理2 ；当s 帚i 时，方程的解在齐次s o b o l e v 空间上 是不适定的，即定理3 为了给出主要结论，记 = ( 1 + l1 2 ) ，定义空间 x 驴= 扣s ( 廖) ： lu l i x “： + o 。) ， x 。b , s r = ”：存在u x p 在咒 0 ，叫上满足u = ， 贾：8 = 5 ( r 2 ) ：| | “ij x 如 6 ff1 5t ( ，r ) i i l 。( r 。) ， j | u i i t 嬲一i n f l lw 恢。戈p 存在r 【o ，卅上满足“= ” 主要结论： 定理1 如果s 一n ，妒h 8 ( r ) ，则对于任意给定的t 0 ，方程( 1 ) 存 在惟一的解u ，满足 u z t = c ( 0 ，r 】，h 5 ) n x ：；n g ( ( o ，o o ) ，日( 咒) ) 进一步，映射妒一u 是从伊( 兄) 到历的光滑映射 定理2 如果s ( i 矗i ，o kp 夺( r ) 则对于任意给定的t 0 ，方程 ( l ) 存在惟一的解“，满足 u z r = c ( 【o ，死) 冉3 ( r ) ) n 戈妊i - 1 g ( ( o ，r ) ，l 2 ( r ) ) ， 6 其中t o 是只依赖于| | 妒| | 小的正常数进一步，映射p 一“是从日8 ( r ) 到z r 的光滑映射 定理3 如果s 0 ，使得方程( 1 ) 在区间 o ，t i 上 有惟一的局部解“使得从加( r ) 到g ( 0 ，t i ，直s ) 的流映射妒一“( ) 在妒= 0 处是c 2 可微的 本文主要研究k d v - b u r g e r s 型方程的设定性，章节安排如下 第二章主要研究k d v b u r g e r s 型方程在s o b o l e v 空间中的适定性通过 线性估计与积分型双线性估计，对解的存在唯一性以及正则性，整体存在性进 行说明 第三章主要研究k d v - b u r g e r s 型方程在齐次s o b o l e v 空间中的适定性通 过线性估计与双线性估计。对解的存在唯性以及正则性，整体存在性进行说 明 第四章讨论的是k d v - b u r g e r s 型方程在齐次s o b o l e v 空间中的不适定性 情形 7 第二章在s o b o l e v 空间中的适定性 首先给出一些记号定义u ( t ) = e i t p 。“，其中p ( d 。) 是以p ( f ) = p 为 象征的f o u r i e r 乘子显然u ( ) 是在口。( r ) 中的酉群对于给定的t o ，空 间x 。b ， 及其范数i iul i t 的定义同上取是关于时间的截断函数，使得 妒c 护( 月) ，s u p p 妒c 卜2 ，2 】，在 - 1 ，1 上母兰1 取脚+ ( ) 为截断函数，使得当t 0 时x r + ( o ) = l ，当t 2 b 珊“) e - t t c t 。 冲( 上崭皋坩 曲窍眇( f ) c 叫目2 “i 一) d r = 1 1 6 五( 联) ( r ) 眩! l 6 鲑( r ) t h + l i 2 “照( f 圳色 = j | 9 f | j 备- + 4 a b f | 驰| | 备” 2 。( 2 6 。1 ) j l 6 五( ，y ) i i i ， s c 2 a ( 2 b - 1 ) c 上者皋硝 s ( 上丽篙钟 1 0 i i )i i i 的估计： ” 。五( ，川岛( r ) 钏“r 小户 嘲如) 凡着杀川岛 = f f d ”“础( 妒_ i ( 群斋1 ) 悒； = | | 6 ( 审( r ) + t ，( ；i 。；x ，1 2 - ) 】| | 2 ； 2 2 6 t ( r ) + ，( 赫x ，l 。) i 。( r ) d r 由于 s + j t ( r r ) + i f l 2 a f ，则对( r ，r ，) 咒2 ，可得 岬件。 6 五( 引i i ；( 脚 s r 2 6 t ( r ) + r ( i 赫x l ，一i ，) 1 2 ( r ) d r f 2 “1 2 5 | 击( r ) + r 一( i ；：糯x j 一 ，) j 2 ( r ) d r 6 乒( r ) ( 石i ； ；譬x ，一f z - ) j j 2 。+ # ( r ) ft r 石了赫x h l ：，) f f 2 ， s “ 64 ( r ) f f 2 l f f i 。；：i 。；。x i r i z ，“2 。+ i 西( r 7 ) “2 t “r i ；i 。：j ；- ；：；f 。l ，| ，i j i ： 钏孝斋州艮删丽箱别1 2 。 ( i t + 蒜肾1 - 悒。| ff 2 n i 6 ”l 2 i i i ) i i 的估计：利用c a u c h y - s c h w a r z 不等式，可得 1 1 6 五( 引r ) 1 1 6 每( r ) l i 三! + l l 2 。6 廿p ) i 笔! + l l 6 五( 取) ( r ) 8 苎i 1 + 4 。6 十j l 靴j | 备- + 4 a b | | 鞋i i 备。 l + 4 曲+ 2 。( 2 6 1 ) + 4 。6 一2 “ 4 0 6 对f f 1 ，有 当i f i 1 ，有 i l 5 五( i 引r ) sc ，4 n 6 l i 一2 。：i 器d r s i 再i t + 黠 2 a 打 2 - 2 6 l l 6 五【够( ( 1 一e - o 1 2 ) 1 ( r ) 嵫 s1 1 6 五 t f ，( t ) ( 1 e “时。) 】( r ) 噍 = j | 廿( 州l e 叫一幢。 ：i i 仲) 世世掣惰。 茎( 譬i i 仲川i n i i 训。 墨( 等r 。 s ( 聂篙) 2 ffi 她 i i 6 五( ，驯i i ：( a s “蒜a r sj 蒜i t + 打 j 丽i t + 打 2 2 6 1 2 根据以上两种情形，我们可以得到 打+ z 哕础驯丽再螺苗面d r i v ) j 的估计： 也篙杀肛仲，凡善鼎洲r | | 6 五( j ) l f 耻( r ) 钏c 岭6 删z ) 比善鼎洳圳k s 驴时2 9 五c 掣雎础群1 打 j y ? ( l l 掣怕叫l 学忆) 凡删打 n ) 1 一 缸6 j l r 5 1 毛 2 幽 j l i s i s 2 曲( s 驰6 ( 型尘盟jd ， i v + i f p i 0 ( r ) i v + i f 1 0 ( t ) i t + l f d r 、l 毛( 石器 综合这四种情形，我们可得 1 1 cz r + l l 。a ，a 五( 耳i ) i | 2 i 。) 毛( ：i 再：器d r ) 2 + ( ：i i ；j 器d r ) 命题2 2 3 如果s r ，则 ( 。) 对所有的”s ( 舒) ，有 l jx 月+ ( t ) 母( t ) 一枷(t，)dr，11w(t) d r x ：。 l jx 月+ ( t ) 母( t ) 一枷( t 7x 打 j 0 钏圳+ ( j p 2 5 f 石满扪2 列 ( 对所有的0 5 ，使得对所有的”础一1 + 6 p ，有 j ix r + ( t ) 妒( t ) 厂( t r ) ( ) 出，l l x ： ， 打 打 l 眇岛 证明设u m ( r 2 ) ，关于x 的f o u r i e r 变换，有 x ( ) 咖( 1 ) ，。w ( t 一) u ( t ，) 班， = u ( ) x 一+ ( t ) t f ( ) e ”j ( 。e 一- ) c d “疋( u ( 一们”( 哟) 出 2 即) 黼仲) e 诚e - t l e l “i o t e t l ( l “e i g d t i 打 = u ( t ) x n + o ) 妒o ) e e 。( r ，f ) ! ! ；：j i ! ；芸a r = u ( t ) z r + ( ) e 谶心( t ) 嘶， 其甲w ( t ) = u 【一t t ) ( t ，) 根据命题2 22 ，有 | i x n + ( t ) 劬。) ow ( t 一伽( t ，) d 剀础 = 1 1 6 3 五( k d t ) ) l l l ，f r ，1 毛( j 厂 2 5 ( 上= i 粉州2 喀) + ( j 厂 2 8 上i i 坪翕磋再葛d r 蚓 s ( c 1 上万i i e - i 2 5 ( 石满钟耐剐钏“， 这样就得到了式( 8 ) 的估计 命题2 2 4 吲 取s r ，5 0 ，则对所有的f x i + 如，有 t 一w 0 一) ，( ) d r 7 g ( r + ，h s + 2 5 ) 进一步，如果t 是x 2 l “5 中的序列且当n o 。在x 2 + 5 一。中有 一0 ，那么， i i ，。( t t ，) ( t ，) d t ，。【r + ，h 。1 。o ，n 。o o (10)j0 2 3 积分型双线性估计 弓仕墼2 3 1 记 ( n ， 1 ) = “r ，f ) e 咒2 ，l f l 52 f f li ，l 一f 1i 1 ，| f li l ，ia ，i 兰lo 2 m 对任意的e q ，有职毛1 证明把a 分成两部分： 以1 ( n ，f 1 ) = ( r ，f ) a ( r l ，f 1 ) ，i 口j l 盯li a 2 ( r ：，6 ) = “r ，f ) a ( n ，1 ) ，ifi i 口lj 贝畸f j = i o ，+ ，在a ( r l ，1 ) 中的( r ，f ) 满足不等式if 】j 妊笋根据式 ( 2 ) ，易得 石灭篆2 篙。- 2 e 蔷装罟簧高等两舳 2 。 1 一 1 4 1 一 1 + ” 堕等等簪蛾 破，上。= 磊j 再南武打s ， 当2 ( t 一譬一1 0 时， 巩s j 上。五了砥杀不两畦a r 乳 下面估计碍，：当i s 1 一 t 时，有l f 卜1 一 11 利用式( 2 ) 2 可推得 现s 上。丽鬲等葺等妾掣笔等篙专开蛐 曼上。i 南武打“ 当l i le n l 时、有i l i f l l 利用式( 2 ) 可得 z o ， 上。石薅若祭惫簧纛打j 。i i 玎泛百再f 甄了聂i _ 聂百乏5 叩7 s 正。石汐硫 百弭碍畦a r s 1 1 5 ，厶，厶 一 i 口2m 对任意的e a ，有bs 1 证明把8 分成两部分： b l ( r ， ) = “7 l ，1 ) b ( f ， ) ，i 玎l d 11 ， b z ( r ，f ) = 丁1 ，f 1 ) b ( r ，f ) ，i i | a ll 注意if i 2 f li 和；i 一f 1i 1f1 12l 一- i 可推出ifi 2 和 l l le 一矗l - 据式( 2 ) ，有 上。面币万而拦法等羹矽邪岫 ! 五。i 筹斋龉如 s 上，石了毒研蜊兀s - 正，丽砭型等蔫蒜划n 厶夏砸杀碍螈抚毛t 引理2 3 3 记d ( f ) = h ，1 ) r 2 ，l f ll s l ) 对任意的f o ，有 功毛1 证明1 ： 设je l ) = ，据式( 2 ) ，有 ，d s 上瓦讯万而拦毪专而研砖- 咖 上等筹矧嘲 其余两种情况的证明类似这j i 就不一一证明了 引理2 3 4 1 1 q 如果，是在f n x 十任意的日 0 ，存在p = p ( 日) 0 z 列中的关于时间具有紧支集的函数 使得 峨- - 烈i 暑竺岛川醴， if i l 硅：， ( 1 1 ) 1 6 命题2 8 5给定s ( 一o ，0 ，存在p ，d 0 ，使得对在 - r ，t 】中任意具 有紧支集的u ， x j ”，有 i i 如( “”) h x 2 + “s s p i i “峪一i i ”峪- ，+ 证明利用对偶性，式( 1 2 ) 等价于：对所有的u 矗一6 ，一5 s t ”i iu 喙i i ”峪i ，p 一 ( 1 2 ) ( 1 3 ) 设 ，( r ，)= 8 缸( f ，) ， 垂( r ，f ) ； j 。o ( r ，f ) ， 五( r ，f ) = 一5 一。o ( r ，) 那么有 | | ，i i c 。( r t ) 。l iu 1 x j ，- ，l 9 1 l 1 ( r ，) 2 1 | 1 x ，4 “0 l 2 ( r 2 ) 2 l l ”1 l x 一一一 式( 1 3 ) 等价于： 二st ”| | ，i i l ：( r 。) i i9i i , - , ，( 舻州hi i l ，( r 。) ， ( 1 4 ) 科甩p u h 试定理总可以馁设，氩o 、把掰翔分戍3 部分a ，日和d a = ( r ，e ，r 1 ，f 1 ) 帮，| f f 2 l f li ，i 一l 1 ，f 1l 兰1 ) ， b = “r ，e ，n ，1 ) r 4 ，f l 2 i 1 ，l 一li l ，i f ll 1 ， d = t ( r ，f ，n ，0 ) 月4 ，i f 一如i s l 或l i i l 由于j 4 u b 是对称的，可以设i 一- i i 一2 1 对a 的估计：由引理2 3 1 和式( 1 1 ) ，有 钏恿) 强。l l 箱 ( 上面觜筹蕞蕞篱老群等可蛐m 。， 驯嘉蔫诲i i 五巷簧篱暑毫下面忆k 忆瓢。 钏钔即堋m 酬碟( 誓黪湖城舻， = 器c 等匆c k 。，丽铸餐葛j 晶琴酬3 i ，l i c 。c 一。) i i i i c z ( n 。) i i - 1 ( ：耋：j 舅) t l 。( n ，) st “1 i ，0 l ，( r ：1 19 i l t ( m ) l lhl l 胪( 舻 1 7 对b 的估计：同样地，通过引理2 3 2 和式( 1 1 ) ，可以得到 ，；茎上忑攥嚣幡( 删忆；。 圳兰最篙亳i 。等r 2 q - 毒锣一出” 7 “- 。 s p i 矗躲i i 忑焉茜蔫羔专两忆毛i i 景 i j ，o 。，。- ) i i i i c ，( 。，i i ：；! 势i t 。7 ； = 拶乏爿蕞丢c k ，瓦蔫蠢篆鲁善万删埘 刈圳帮娟跏删绣 黔雎。 三= t “c | rl ，日2 、l | 口l i ，1r r 2 1 | | h | | l 2 ( r 2 、 对d 的估计：如果je1 11 ，用同样的方法，根据引理2 3 3 ，可以推得结 论如果是if e 。i 茎l ，根据对称性，有i li l f 一- i ，则可推出i fl l ，重 复以上步骤，则推出在d 上的估计结合这三部分的估计则可得出式( 1 4 ) 由命题2 35 和三角不等式： v s 8 ， s s ( s j 8 - * ：+ 3 ： 得到 命题2 3 6给定s j ( 一q ，0 】，存在p ，d 0 ，使得对任意的8 s j 和 在( - 丁，列中任意具有紧支集的“”x 一，有 1 1 巩( 训i i x , 灿s 丁”( 1 1 “| | x 挎l x 打+ f x 妒帅i i x 一) ( 1 5 ) 2 4 定理1 的证明 ( 1 ) 局部存在性：取 f ( u ) = w ( t 一；z 私“7 ) 如( 。) ) 硝0 6 ) 设_ p 珂s ( r ) ，s 一n 且p o ，记v = ；臂 ， e = u e 柚：1 1 2 = i i 酬x p 扣i iu i i x m ，t 1 0 ，卅 1 8 其中m ，t 待定由命题2 35 ，命题2 23 和命题2 3 6 可知存在仅依赖s ：的 d ，p 0 ，使得 “暇ps + l i 如( 铲( ) ) k 灿 s i 妒l f 汀 + r “o “| | ： ，。 ， “) i i x p s j ”+ 刚u 峪，加协， 即 ”f ) l i z 0 ( 2 j 唯- - f t i ：设1 1 1 ，u 2 碰，；是方程( 1 ) 在区问f o ，t 】上的两个解根据命 题2 23 和命题2 24 ，有l ，u 2 c ( 【0 ，t 】；h s ( r ) ) 对0 卢 0 由i 的定义 i i 如( ( 训) 一训) ) ( u t ( 卅2 ( ) ) i i x ：弘 t “i i i - 一砚抄，+ “。嵫；， “1 一i 2 l i x a 2 i i “t 一”。0 。! ： 1 9 因此有 “- 一“，”x j ：s2 t 9 ( t l “tj f ，j ；+ j f “：j j x j ；) “z 一“。j 。i ： 取月 4 ( 1 1 | | x 譬+ l i o , f li i x 恕) 1 ，那么在h 8 j 上有“15 ”2 通过迭代 过程，在f 0 ，t 1 上有“l = 2 ( 3 ) 正则性及整体存在性注意到对p h 5 ) ，有 w ( ) p c ( r + h 5 ) n c ( r + ，盯。) 对 t i x 2 ”，由命题2 35 和命题2 3 6 可 得巩( u 2 ) x 2 p “5 利用命题2 2 3 和命题2 , 2 4 ， r e t 一w ( t 一) 以( u 2 0 一m 出c “o ，t i ，h 5 + 2 6 ) j 0 因此 u g ( 【0 ，t 】，h 。) q c ( ( o ，t 】，h 5 + 2 6 ) ( 1 9 ) 利用上面类似过程，通过迭代可推出u g ( 0 ，卵，h 8 ) r l g ( ( o ，t 】，h 。) 对方 程( 1 ) 同乘“且利用分部积分易得t 一| | “f b 在 0 ，t 】上是非增的注意到方 程( 1 ) 局部解的存在时间t 仅仅依赖于1 ip1 1 。 通过迭代过程推得解关于 时间是整体存在的最后，关于初值的连续性可由隐函数定理通过命题2 24 和流映射的光滑性得到。 第三章在齐次s o b o l e v 空间中的适定性 3 1 记号 我们先来定义几个符号， s b 表示a c b ，f 在不同的行或式子里 是不同的；同样的a 口表示a c b ；a 口表示a s b s a 空间： 戈鲁5 = u s 7 ( r 2 ) ：0 u | i 贾：s 1 1 8 矗( ，r ) 吣( r = ) 变量屿，l j ，h 为二进制数，形如2 ，其中南z 或后l 是在 三个二进翩变量l 1 ，l 2 ，幻三1 上的求和，即 = l 。p h l r l 2 ，l a l ，l 一日 同样的，在i ，n ，2 ，3 0 上定义的求和符号m 。为 ：= i 一删一n l ，n 2 ，b o ，m 肿。m c d 一 取z 为关于不变测度曲的任一加法交换群对任意整数22 ，我们通过 r k ( z ) 来定义超平面 n ( z ) = ( 叩l ，- ，仉) z ：叩1 + + 珊= o ) 赋予测度 ，：= ，( q l ，仉一1 ，一q l 一辄一) d r l 4 仉一l j r ( z ) ，z o 一1 对任一函数m ：n ( z ) 一c ，我们定义乘子限z l ：如果m 是m 司乘子，则 | | m z 】为对在z 上的所有测试函数方都满足不等式 i m ( 即) n ；：1 疗( 啦) i 0 ，我们分别定义 n m n z _ 一d 啊。n 为1 ，2 ，3 的最大值，中值和最小值；l ，二2 ，岛1 同样定义丁l m 辩兰l 珊矗l 挑设 j ( 6 ) = i 曰一l 白i 她，= i r j b ( 白) ，= 1 ，2 ，3 ， 和 ( f ) = 1 ( f 1 ) + h 2 ( 2 ) + h 3 ( 如) 对变量白采用齐次二进分割且有1 6 卜 0 ，对变量采用非齐次二进 分割丘有l ， l 】2 1 和【 ( ) 卜日1 ( 这里l ，卜l 和ih ( ) l 1 分别 表示为 如f s l ，和 惩j l 1 ) 定义 有 x 1 ，m ，3 _ ；“l 2 ，l 3 = x l h ( f ) l 。h 釜l x f “卜也 ，i 。l ， 齐次空间上的线性估计，类似于第二章的命题22l ，命题223 ，命题2 。24 命题3 1 1如果s r ，则有 n 母( 的w ( 亡) 掌h x ! ， 1 1 妒“h 。曲，v 妒矗。+ 2 。一8 ( r ) 命题3 1 2 如果s r ，则 ( n ) 对所以的u s ( a 2 ) ，有 8 x 一+ ( 。) 妒( 。z 。w 7 。一) “( ，) a r ! ，。 钏训嚣”+ ( 胎5c 正丽鬻忐再州2 ) 。 ( b ) 对所以的o 0 ，l 1 ，如，如三1 和日三1 满足 k 。一m 。d ，l 一m a x 日，l ，n e d ) ，a r m o z 嘿。t 。”恕：) ( 1 ) 在l 一l 。d 日这种高模情形下，有 j i x 。，3 ；h ；l 。，l ：l 。j l 3 , n , i t l 圭，。未。 ( 2 ) 在l 一日这种低模情形下， ( a ) 如果。，一，m 。d 7 ，则有 i ix i 1 ，此，3 ，h 山如，l 。怕，月。刷毛l 妻。m i n m 二是工主柚工意d ； ( 2 0 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( b ) 如果- v 2 3 n 1 ，廿l l2l 2 ，l 3 ，贝f 对任意卢( 0 ，2 】，有 i lx r l ，2 眺噩。，如，。，i b ，a 。捌s 砖。m i 。【，l 意d ，f 南l 袭d ) ； ( 2 3 ) 对i ，2 ，3 ，l 1 ，如，b 大小不同的排序，结果类似； ( c ) 在其它情形下，有 x 。，、。h l 。，k ，l 。1 l h r 。月l se 妻。m i t l j v ；：l 轰。d ，l 焘d ，嘉h ) ( 2 4 ) 证明：先来考虑高模情形工一l 。d 日不失一般性，我们假设 c l l 2 上培和n 1 心n 3 ，通过比较原理【9 1 9 中的引理3 1 ，有 | | x 1 m ，3 日l 。l ，工31 1 1 3 ，r x r 1 1x m i 。如柚如i 地1 t 3 ，r r 1 ( 2 5 ) 通过【9 1 9 中的引理3 ，1 4 和 i 理3 6 ，我们可以得到 1 lx m i 。b 忙。卜怕 删 t i l lx i 。l 3 怕矧b 卜埔1 1 3 , r l l ( 2 6 ) 通过对l l l 2 如和n 1 2 n 3 的假设我们得到( 2 6 ) ，根据对称性可 以得到 i ix 1 m ，m 出“h b1 1 t 3 j t 。r i l 轰。熹。 ( 2 7 ) 现在我们来考虑低模情形h l 我们先暂时假设l n 2 n 3 变薰6 位于环面“矗卜3 ) 上，对某些l 留j n 3 ，通过有限分割，我们把它 限制在 | 如一曲i 3 的球上由于盒子的局部性( 【9 】中的引理3 1 3 ) ，当 i g l ，通过类似的方法在区域 i f l 一钾i 3 和f 如一鳇| 3 上进 行关于芒t ，已的局部化由于矗十玉+ 岛= o ，我们可以假设 曾+ 露+ 器f n 3 对某些满足i g l 一，i 菪+ 器+ 船i t 。的器。鳇，镏，我们可以把这种 对称性概括为 x t ，a ，_ 3 ；l l ，l 2 l 3l l 【3 ，r r i ix i h ( ) l ，h q ：i x a ，卜l ，x 一日f 1 1 1 3 ，r x r l ( 2 8 ) 不失一般性，我们假设1 l 2 l 3 根据 9 】中的引理3 6 ，引理31 和推论3 1 0 ，对一些( ，) 冗r ，有 i ix n i ， 3 ：、l t ，l ，厶。t le 3 r x 刖 i ix i 忙1 l 一日；：2 1 ，一钾| x i - l ，l 1 1 1 3 月删 毛i ( 也，2 ) ：i 2 一卷l ，m l i t 2 一h 2 ( 如) i l 2 ， i f 一0 一器l n m 。i i ( r n ) 一 3 嬉一f 2 ) i l 3 i i ，( 2 9 ) 固定如，则r 2 所在集合的测度不超过o ( m i n ( l ：，如) ) ，而且如果l 订一k 娅) 一 3 廷一如) 卢o ( m a x l ：，如 ) ，那么这个长度不会变为0 对n f ) r 8 ，有 1 1x n ，舶，地“l 。| | i 3 ，月。州s l f ：i 如一器l t 。 i f 2 一露i v ，i 打一h 2 ( 6 ) 一h 3 ( f 一如) i = o ( l 2 ) ) l 从不等式i 一如一g i ，m t 。中可得l f + 钾i h 一则有 i ix n 州n ，“；丑；l ，如，b 怕，r 剐 sl f f 2 ：f 如一器j 啪f f 一器i - i 汀一h 2 ( ) 一h 3 ( f f 2 ) i = o ( l 2 ) i i ( 3 0 ) 把表达式( 3 0 ) 右边累加起来，运用以下等式 2 7 一 2 ( 2 ) 一 3 ( f 一如) i = 1 3 ( 一；) 2 + 。；+ ( i 2 | 2 。+ i 一f i ；o ( l 2 ) 我们可以得到 3 f ( f ：一；) 2 + 譬= r + 。( 己。) ( 3 1 ) 和 e 2 1 2 0 + l 如一f 1 2 。= o ( l 2 ) ( 3 2 ) 我们只需考虑三种情形：l 一2 一3 ，l 一2 3 ，和肌3 l ( 情形n 1 3 ，2 可由对称性得到) 如果l 2 一炳，通过j 一器1 。可以推出1 卜v 1 从( 3 1 ) 中我们可以看到最不好的一种情形就是变量如古在两个总长为d ( j v i e ) 的区间里，从( 3 2 ) 可以得到i 岛i s l 字，从( 3 0 ) 中可以推出( 2 2 ) 如果n 。2 j ，通过i f 一器i t f 2 一鲤一学一器i ：。 和 旧一知如一鳄一学瑙一譬jzo 我们可以得到lf 卜1 和i 如一 j 一1 从( 3 1 ) 中我们可以看到最不好的 一种情形就是变量f