（基础数学专业论文）几类微分算子积的自伴性.pdf

中文摘要 常微分算子理论给微分方程、经典物理学、现代物理学及其它工程 技术学科提供了统一的理论框架，是常微分方程、泛函分析、空间理论 及算子理论等理论，方法子一体的综合性，边缘性的数学分支。其研究 领域主要包括微分算子的亏指数理论、自伴扩张、谱分析、按特征函数 展开、数值方法，以及反问题等许多重要分支，内容丰富。 关于微分算子积的自伴性，已经取得了一些结果( 2 2 ， 2 3 ， 2 4 ) 。本文围绕微分算子领域中的一个重要问题，即自伴性开展研究， 做了一些工作如下：利用自伴微分算子的一般构造理论，讨论了一类高 阶极限点型微分算子积的自伴性与一类高阶极限圆型微分算子积的自伴 性，并得到了积算子为自伴算子时边条件应满足的充分必要条件及若干 其它结果；同时给出了三个高阶极限点型微分算子积的自伴性的充分必 要条件与三个2 阶极限圆型微分算子积的自伴性的充分必要条件，以及 一些相应的结果。 全文共分为四章。 第一章分为两部分：第一部分是关于对称微分算子自伴域理论的简 要概述；第二部分是对称微分算子的基本知识。 第二章分为两部分：第一部分讨论了两个m 阶极限点型微分算子积 的自伴性问题；第二部分讨论了三个高阶极限点型微分算子积的自伴性， 并得到自伴的充分必要条件及若干其它结果。 第三章讨论了三个2 阶极限圆型微分算子积的自伴性问题，包括常 型与奇型两种情况，并得到自伴时边条件应满足的充分必要条件及若干 其它结果。 第四章讨论了一类高阶极限圆型微分算子积的自伴性问题，包括常 型与奇型两种情况，并得到自伴时边条件应满足的充分必要条件。 关键词对称微分算式，积算子，自伴算子 a b s t r a c t o r d i n a r yd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s t h e o r yc a ns u p p l yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， c l a s s i c a lp h y s i c s ，m o d e r np h y s i c sa n do t h e rt e c h n i q u ef i e l d st h et h e o r yb a s i s ， w h i c hi sac o m p o s i t i v ea n de d g i n gm a t h e m a t i c sb a n c ho fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，f u n c t i o n a la n a l y s i s ，s p a c et h e o r y , o p e r a t o r st h e o r ye t c itc o n t a i n s a g r e a ti m p o r t a n tp r o b l e m s ，s u c ha sd e f i c i e n c yi n d e xt h e o r y , a d j o i n te x t e n s i o n ， s p e c t r a la n a l y s i s ，p r e s se i g e n f u n c t i o nt os p r e a d ，n u m e r i c a lm e t h o d ，i n v e r s e q u e s t i o n s ，a n ds oo n o ns e l f - a d j o i n t n e s so fd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sp r o d u c th a v eo b t a i n e ds o m e r e s u l t s ( 2 2 1 ， 2 3 1 ，【2 4 】) i nt h i sp a p e r , w es t u d ya ni m p o r t a n tp r o b l e mi nt h e f i e l do fd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r so fs e l f - a d j o i n t n e s sa n ds o m ed i s c u s s i o n sa s f o l l o w s ：m a k i n gu s eo fg e n e r a ls t r u c t u r et h e o r yo fd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s ，w e d i s s c u s st h es e l f - a d j o i n t n e s so ft h ep r o d u c to fac l a s so fh i g h o r d e rl i m i t - p o i n t d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r s a n dac l a s so fh i i g h o r d e rl i m i t - c i r c l ed i f f e r e n t i a l o p e r a t o r s ，a n do b t a i nt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n st h a tb o u n d a r y c o n d i t i o n ss a t i s f ya n ds o m eo t h e rr e s u l t s ；a n dm e a n w h i l e ，o b t a i nt h es u f f i c i e n t a n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n so ft h es e l f - a d j o i n t n e s so ft h ep r o d u c tf o rt h r e e h i g h o r d e r l i m i t p o i n t d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r s a n dt h r e es e c o n d - o r d e r l i m i t c i r c l ed i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s ，a n ds o m ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t s t h i sp a p e rc o n t a i n sf o u rc h a p t e r s c h a p t e ro d ei sd i v i d e di n t ot w op a r t s ：i nt h ef i r s tp a r t ，w eg i v et h es i m p l e s u m m a r i z eo fd i f f e r e n t i a lo p e r t o r st h e o r y ；i nt h es e c o n dp a r t ，w e g i v et h e b a s i ck n o w l e d g eo fs y m m e t r i cd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s c h a p t e rt w oi sd i v i d e di n t ot w op a r t s ：i nt h ef i r s tp a r t ，w ed i s c u s st h e s e l f - a a j o i n t n e s s o ft h ep r o d u c to ft w om t h - o r d e rl i m i t p o i n td i f f e r e n t i a l o p e r a t o r s ；i nt h es e c o n dp a r t ，w ed i s c u s st h es e l f - a d j o i n t n e s so f t h el o r o d u c to f t h r e eh i g h - o r d e rl i m i t - p o i n td i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s ，a n do b t a i nt h es u f f i c i e n t a n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sw h i c hc a nm a k et h ep r o d u c to p e r a t o r sb e i n ga d j o i n t a n ds o m eo t h e rr e s u l t s i nc h a p t e rt h r e e ，w ed i s c u s st h es e l f - a d j o i n t n e s so ft h ep r o d u c to ft h r e e s e c o n d o r d e rl i m i t - c i r c l ed i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s ，w h i c hc o n t a i n sr e g u l a ra n d s i n g u l a rt w oc a s e s ，a n dt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r y c o n d i t i o n sa n ds o m eo t h e r r e s u l t sa r eo b t a i n e d i nc h a p t e rf o u r , w ed i s c u s st h es e l f - a d j o i n t n e s so ft h ep r o d u c to fac l a s so f h i g h o r d e r l i m i t ? c i r c l ed i f f e r e n t i a l o p e r a t o r s ，w h i c hc o n t a i n sr e g u l a r a n d s i n g u l a rt w oc a s e s ，t h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sw h i c hc a nm a k e t h ep r o d u c to p e r a t o r sb e i n gt l l ea 西o i n to p e r a t o r sa r eo b t a i n e d k e yw o r d ss y m m e t r i cd i f f e r e n t i a le x p r e s s i o n ，p r o d u c to p e r a t o r , s e l f - a d j o i n to p e r a t o r 内蒙古师范大学硕士学位论文 第一章引言及预备知识 常微分算子理论给微分方程、经典物理学、现代物理学及其它工程技术学科提供 了统一的理论框架，是常微分方程、泛函分析、空间理论及算子理论等理论，方法于 一体的综合性，边缘性的数学分支，而且它运用泛函分析的思想和方法统一地处理、 研究微分方程与积分方程中的许多问题。其研究领域包括微分算子的亏指数理论、自 伴扩张、谱分析、按特征函数展开、数值方法，以及反问题等许多重要分支，内容丰 富。 对于常微分算子理论的研究，最早可追溯到十九世纪初固体传热的数学模型问题 和由求各类经典数学物理定解问题而产生的。1 9 1 0 年，h w e y l 在文 1 中将经典的 s t u r m - l i o u v i l l e ( s l ) 问题拓广到无穷区间上，开创了奇异s l 问题的基本理论研 究。二十世纪二十年代，量子力学的诞生，使s - l 理论成为量子力学理论的有力数学 工具，大大推动了量子力学的发展。1 9 2 6 年，s c h r 5d i n g e r 方程的提出，1 9 3 2 年， j o h nv o i ln e u m a n n 对于量子力学数学理论的建立，特别是无界自伴算子的谱理论。 近几十年来，e c t i t c h m a r s h ，n l e v i s o n ，i m g l a z m a n ，w n e v e r i t t ，d e e d m u n d s ， a z e t t l ，曹之江，孙炯等国际、国内著名数学家在微分算子理论方面做了大量的开 拓性研究。特别是微分算子的谱理论，无论是从纯数学，还是从应用数学的角度都是 + 分重要的，它为微分方程众多问题提供了统的解决模式和理论框架。由于常微分 算子理论在量子力学、物理学的其他领域，以及另外的一些学科、领域里起着相当重 要的作用，这就引起了各个领域里众多学者的关注，从而反过来促进了常微分算子理 论的研究和发展。 1 1 对称微分算子的自伴域理论 关于微分算子自伴域的研究，最早可追溯到经典的s t u r m - l i o u v i l l e ( s l ) 闻 题，即正则的二阶微分算子的谱问题。1 9 3 9 年，文 2 从边界角度给出了一般对称微 分算子自伴延拓定义域的刻画方法。1 9 5 4 年，e a c o d d i n g t o n 在文 3 中给出了定义 在有限闭区间 a , b 】上的高阶对称微分算子自伴域的完全解析描述。同一时期， 内蒙吉师范大学硕士学位论文 m a n a i m a r k 在文 4 中根据自伴微分算子的一般构造理论，给出了有限闭区自j a , b 】 上由拟导数定义的对称微分算子为自伴算子时边条件应满足的充分必要条件。在微分 算式具有光滑系数的条件下，n a i m a r k 的条件与c o d d i n g t o n 的结果是一致的。 。当问题转到奇异对称微分算式时，自伴域的描述就有了本质的不同。1 9 1 0 年， h w e y l 在文 1 中证明了定义在 口，。o ) 上的二阶对称微分算式，可以分为极限点型和 极限圆型这两种类型。对于极限点的情形，只须给出有限端点上的边界条件，就可以 生成自伴算子，而对于极限圆的情形，要想生成自伴算子，还需给出o o 端点的边界。 二十世纪四十年代，e c t i t c h m a r s h 在文 5 中给出了无穷区间口，c o ) 上定义的二阶 对称微分算式自伴域的解析描述，即著名的w e y l t i t c h m a r s h 域。在极限点的情形， 其边界条件给出了自伴域的完全描述，但在极限圆型时，w e y l - t i t c h m a r s h 域不能完 全概括自伴域的边界条件。二十世纪六、七十年代，英国著名数学家w n e v e r i t t 做了一系列工作( 2 ， 6 ， 7 ， 8 3 ， 9 ) ，运用g r a m 矩阵法，解决了高阶情况 下，在无穷远点边界条件构造上的困难。对于高阶对称微分算式中的两种重要情形， 即极限点型与极限圆型，给出了相当于二阶的w e y l - t i t c h m a r s h 域的描述，我们称之 为e v e r i t t 域。而且证明了在极限点型时e v e r i t t 域是自伴域的完全描述，但在极限 圆型时却是不完全的。1 9 8 5 年，内蒙古大学的曹之江从对称算子自伴域的构造原理 出发，分别给出了二阶极限圆型和任意高阶极限圆型微分算子自伴域的直接而完全的 描述( 1 0 ， 1 1 ) ，并证明在二阶的情形下，w e y l t i t c h m a r s h 域作为一种特例包 含于其中。1 9 8 6 年，内蒙古大学的孙炯在文 1 2 中，从微分算子最大算子域和最小 算子域的构造上考虑。给出了具有中间亏指数的微分算子自伴域的完全描述，它的结 果同时适用于极限点与极限圆两种情形，这一结果概括了w n e v e r i t t 对于定义在一 端奇异的区间【口，。o ) 上高阶微分算子给出的一些分离边界条件的自伴域，因而这种描 述形式具有更大的概括性。之后，曹之江与孙炯在文 1 3 中运用文 1 2 的方法，给出 了由拟导数所定义的对称微分算式在各种亏指数情况下自伴域的最普遍的解析描述 形式。 1 9 8 6 年，尚在久，朱瑞英在文 1 4 中应用文 1 2 的方法给出了两端奇异，l 阶对称 微分算式，在所有等值亏指数情况下自伴域的解析描述。文 1 2 的方法还被推广到 内蒙古师范大学硕士学位论文 j 一对称微分算子的- ，一自伴扩张 1 5 。1 9 9 0 年，w d e v a n s 将文 1 2 的方法进一步 推广到更为一般的微分算式上，给出由这个微分算式生成的所有正则可解算子及其自 伴域的描述( 1 6 ， 1 7 ) 。1 9 9 2 年，刘景麟在文 1 8 中给出了，一对称算子的，一自 伴延拓，从而使自伴延拓的c a l k i n 理论更加完备化。2 0 0 2 年，王力义在他的博士学 位论文 1 9 中，从辛几何的角度研究了微分算子所产生的代数结构，具体给出了j 下则、 奇异及具有中间亏指数的微分算子自伴边界条件的类型，提出了边界条件耦合级别的 概念，并给出了不同耦合级别自伴域的完全描述( 2 0 ， 2 1 ) 。关于微分算子的乘 积或幂的问题，如t ( y ) 的幂的亏指数，以及微分算式的可交换性等问题，已有不少论 述和结果( 2 2 ， 2 3 ， 2 4 ) 。由于微分算子积的自伴性本身比较困难，直到边学军 在文e 2 5 中讨论了二阶微分算子方幂的自佯性，1 9 9 9 年，曹之江、孙炯、d e e d m u n d s 在文 2 6 中讨论了二阶微分算子积的自伴性的判定条件，从而开创了积算子自伴性延 拓判定条件的研究方法。2 0 0 6 年，杨传富在文 2 7 中给出了极限点型s t u r m l i o u v i l l e 算子乘积为自伴对边条件应满足的充分必要条件。本人运用文 2 6 的方 法，给出了三个2 阶微分算子积的自伴性的判别条件，及一些相应结果和一类高阶微 分算子积的自伴性的充分必要条件：并运用文 2 7 的方法，给出了两个m 阶极限点型 微分算子积的自伴性和三个高阶极限点型微分算子积的自伴性的充分必要条件。 1 2 对称微分算子的基本知识 令 要 ，( j ，) = ( 一1 ) ，( p 盟一，( ，) y 1 脚为偶数) ( 1 2 1 ) j i o 2 为m 阶实正则对称微分算式，其系数p ，( f ) ( f _ o ，l ，2 ，要) 在，= d ，6 】( 或【口，m ) ) 上充分 五 光滑，且p o ( t ) 0 。当脚= 2 时，即得s t u r m - l i o u v i l l e 算子 1 0o ，) = ( - p ( t ) y ) + g ( r ) ， ( 1 2 2 ) 令厶表示由，( y ) 所生成的最小算子，这是，( 力限制在c 守( ，) ( 在，上无限次可微且 有紧支柱的函数集) 上的算子闭包，并记其定义域为b a t ) 。令k 表示由l ( y ) 生成的 最大算子，其定义域( 2 ) 为一切l 2 ( 1 ) 内满, z y “一c 栅( ，) 及，( y ) 口( ，) 的函数所 内蒙古师范大学硕士学位论文 组成的集，即 ，i k ( y ) = ，( y ) ，y 巩( f ) ， 1 e m l p ，u ) = ylj ，“a c a ，) ，l ( y ) l 2 a ，a o ) 令【，】，表示关于“力的l a n g r a n g e 双线性型，即有 f ( ，( y 弦一) ，i 丽) 硪= l y ，z 】。( m ) 一l y ，z 】埘( 口) ， 其中 弘z 】。 ) 2 j 蝉j ，z l 册( r ) 存在；或 取j ，) 三一顽劫= 陟，z ) - 【_ y ，z 肿) 其中，( y ) 为，( y ) 的共轭微分算式。 其中 令q 卅( f ) 表示双线性型【y ，z 】，( f ) 的矩阵，即有 眦z 】。( f ) = 如z ( f ) 绒( f ) g y ( f ) ( 1 2 3 ) r 。z ( f ) = ( z ( f ) ，z ( r ) ，z ( “一( f ) ) ，巳j ，o ) = ( y o ) ，y t ) , - - - , _ y ( 胪( f ) ) 7 ( 1 2 4 ) 绒( f ) = ( q ；j ( t ) ) o a “， 为 微分算子三定义为 ，f 工( y ) = z ( y ) ，y d ， 坟( z ) c d c 巩u ) 定义1 2 1 若，( 力= ，( y ) ，w ：j y r 尔l 为对称微分算式。 ( 1 2 5 ) 定义1 2 2 设，在k m ) 上正则，其系数足够次可微，定义珀q 亏指数( 记为d ( z ) ) 州，= 扣端 定义1 2 3 设，是【d ，) 上聊阶正则对称微分算式，果a f t ) = l m ，称，是极限 4 1 i 一 一 所 埘 一 ( + + o 哪“i + p 、， z ，l o 廿， 一 l h ，hr。1 = )u g 内蒙古师范大学硕士学位论文 点型的：如果d ( t ) = m ，称，是极限圆型的。 引理1 2 1 1 2 8 捌，是极限点型的当且仅当 v 巩( 耽g e d “( 1 ) ：望蝉，乩( f ) = 0 引理1 2 2 2 8 1 设f ( 力是由( 1 2 1 ) 式定义的m 阶对称微分算式，那么，对于 v t ，嘞，有 ( 1 ) q j 。( f ) 】r = 一级( f ) ； ( 2 ) 【线1 ( f ) r = 【q 卅( f ) 】7 】_ l = 1 q 二1 ( f ) 】 引理l2 3 y d o ( ，) 当且仅当 ( 1 ) y d 。u ) ， ( 2 ) y ( o ) = y ( o ) 一- = y ( m - 1 ) ( o ) = 0 ， ( 3 ) v z d m ( n 【y ，z 】。 ) = 0 引理1 2 4 1 2 卅( c a l k i n 描述) 设工的亏指数为( 竹，珂) ( 【竺笋】打s 巩n z + ) ， v j ( f ) ) ( ，= 1 ，2 ，以) 为巩( z ) 内的一组函数，满足 h ( 1 ) 任何非平凡线性组合c ，v ，仨d o ( t ) ， ( 2 ) 【v l ，v 】。( 。o ) 一h v ，】。( 口) = 0 ( i 2 1 , 2 ，玎) ， 巩( f ) 内由边界条件 f y ，v ，】。( 。o ) 一【y ，v j 】。( 力= o ( ，= 1 ，2 ，力 ( 1 2 6 ) 所界定的线性流形是工o ) 的自伴域。 反之，设d 是l c v ) 的一个自伴域，则必由巩( f ) 内的一组函数n ( r ) ) ( ，= l ，2 ，h ) 满足( 1 ) ，( 2 ) 使得 d = ) d , u ( 1 ) i y ，】，( 。) 一【弘】。( 口) = 0 ，j = l ，2 , - - - , 一) ( 1 2 7 ) 内蒙古师范大学硕士学位论文 引理1 2 5 【2 7 1 设由( 1 2 1 ) 式定义的微分算式z 是区间j 上m 阶极限点型( 即 d ( f ) 2 号) 正则对称微分算式，由f 生成的微分算子工是自伴算子的充分必要条件为 存在号m 阶数量矩阵m ，使得工的定义域 d = y e d ，( 圳m c y ( a ) = o ， 且 ( 1 2 8 ) o ) r a k m = i m ，( 2 ) 城1 ( 口) m = o ， ( 1 2 9 ) 这罩q 二1 ) 由( 1 2 3 ) 式及( 1 2 5 ) 式定义。 下面设，= 【o ，c o ) ，则有如下引理。 引理1 2 6 删若，( 力属极限圆型，即t ( y ) 的亏指数为m ，则，( j ，) = o 有- m 个属 于v ( 1 ) 的线性独立解。 引理1 2 7 阱任意的y 巩( d 可唯一表示成 y = y o + a , z k + q ( 1 2 1 0 ) 其中d o q ) ，v j ( j = 1 ，2 , - - - , 研) 为f ( y ) = o 的线性独立解，z k ( k = l ，2 ，辨) 为巩( f ) 中 的函数，满足 叠h ( o ) = 以，z ( 1 ) = o ，z l ( f ) = o ，t 1 ，o o ) ( i ，k = 1 ，2 ，j ，1 ) ( 1 2 1 1 ) 引理1 2 8 t 1 2 i 令f ( ) ，) 为，- - o ，) 上的r n 阶正则对称微分算式，属极限圆型，则 由f ( y ) 生成的微分算子是自伴算子的充分必要条件是它的定义域 d = y a ( f ) j m c 。y ( o ) - n ( c y ，( o d ) ) 。= o ) ( 1 2 1 2 ) 其中m ，是m 阶常数矩阵，满足 ( 1 ) r a n k ( m 0 ) = 所， ( 2 ) m 陇( 0 ) m + 肷。n = 0 6 ( 1 2 1 3 ) 内蒙古师范大学硕士学位论文 其中g y ( o ) 定义见( 1 2 4 ) ，( q ，( m ) ) 。是以 y ，盯】。( o o ) ( - ，= l ，2 ，m ) 为元素的列矢， y ，( = 1 ，2 , - - - , m ) 见引理1 2 7 ，( m o n ) 表示由矩阵m 和的列矢组成的埘2 m 矩 阵，矩阵 如= ( 眦，】。( o o ) ) 7 ，( f ，= 1 ，2 ，m ) ” ( 1 2 1 4 ) 当，= 【口，b 】时，相应的可有 引理1 2 8 们1 设l ( y ) 为 口，6 】上定义的m 阶正则对称微分算式，则由l ( y ) 生成的 微分算子工是自伴算子的充分必要条件是它的定义域 d = 抄d m ( ，) i m c , y ( a ) - n c = y ( b ) = o ) ( 1 2 1 5 ) 其中m ，是m 阶常数矩阵，满足 ( 1 ) r a n k ( mo ) = 7 1 1 ， ( 2 ) m 既1 ( d ) m 一绒1 ( 6 ) + = o ( 1 2 1 6 ) 7 内蒙古师范大学硕士学位论文 第二章极限点型微分算子积的自伴性 2 1 两个m 阶极限点型微分算子积的自伴性 我们考虑由微分算式，o 口( 即( 1 2 1 ) 式) 生成的两个m 阶对称微分算子厶，岛极 限点型时积的自伴性。对于两个2 阶极限圆型微分算子积的情形，2 0 0 4 年，安建业， 孙炯己做过讨论，并得到了很重要的结论1 ”】 1 9 7 7 年k a u f f m a nr m 等证明了：由s t u r m - l i o u v i l l e 算式 l o ( y ) = 一( p ( f ) y ) + 叮( f ) ) ，t ，= 【4 ，) ， 定义的微分算子厶是极限圆型( 即d ( 0 = 2 ) 的充要条件是对任何实系数多项式f , f ( 0 是极限圆型的吲。e v a n sw 髓与z e t t la 给出了q ( k = l ，2 ，) 均为极限点型的充分条 件3 “。本节假设，( 七= 1 ，2 ) 均为极限点型的。 定义微分算子五= 1 ，2 ) 如下： ：厶( y ) = ，( j ，) ，y d ，( ，) c d ，( ，x( 2 1 - 1 ) _ l d ，( ，) = d 。u ) l a i g ) ，( 口) = o ) 一 其中，a 是m m 的数量矩阵，满足 r a n k a ，= 要 ( 2 1 2 ) 令，2 ( y ) = f ( ，( y ) ) ，显然有d o ( f 2 ) cd o ( f ) ，巩( ，2 ) c 巩( f ) ，1 2 ( y ) 的l a n g r a n g e 双 线性型由【，：。( f ) 表示，对应的矩阵为奶，( f ) ，且 = 匮暑铡 c z ， 注意到p o ( a ) - - t e 0 ，由文 3 1 我们得到r a n k e , , ( a ) = r a n k f ，( a ) = m ，且 8 内蒙古师范大学硕士学位论文 珐c 力= ，卅。豢端硼 引理2 1 1 ”1 对于任意的y ，z c o u 2 ) 有 l y ，z 】：，o ) = 【，( y ) ，z 】。( r ) + d ，z ( z ) 】。( ，) ，t 【口，o o ) 定义算子 i 三( = 1 2 ( 力= ，( z ( y ) ) ，) ，d 1 ( ，) ，( y ) d 2 ( ，) ， 工= 厶工l ： 4 q y ( 口) = 0 。， f 彳2 g ，( 力( 玎) = 0 。 由( 1 - 2 4 ) 可知 c 。f o ，) ( 力= ，( 呦 ，抄( 口) ) z “o ( n ) ) = ： p o ( 口) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) = 【h 。( 口) h 2 ( d ) 】c 2 。y ( a ) ( 2 1 6 ) 由于p o ( a ) 0 ，则r a n k h j ( 口) = r a n k h 2 ( a ) = 聊，令 肘= 艘= 陋o 钳”l 刖i 剐o m = 鸣h 4 i 圳0 m 口， ， 由于r a n k a 。= 罢，则r a n k p = 肌，又r a n k h 2 ( a ) = m ，则r a n k q = 2 m 。因此， r a n k m = r a n k p q = r a n k p = ， 。 、 微分算子三= 厶三i 可表示如下： ：厶厶： 三o ) 2 产( 力2 2 ) ， ( 2 1 8 ) 一【d ( 工) = y 巩( ，2 ) i 蝎。，( = ? ， 引理2 1 2 f ”i ( 1 ) q 二1 ( 口) = 睇1 ( 厦( 口) = h 2 ( 露( 口) ； ( 2 ) 研c a ) 瓯( 口) + q 肿( ) e ( 口) 一瓯( d ) = 0 定理2 1 1 乘积算子l = 厶厶是自伴算子当且仅当 9 怒；飞 一 一 、一 o；姒 ； 内蒙古师范大学硕i ：学位论文 4 绒( 口) a ；= 0 。， 其中4 ，呜，绒1 ( 4 ) 分别由式( 2 i 1 ) ，( 2 1 2 ) ，( 1 2 3 ) ，( 1 2 5 ) 定义。 证明微分算子上= 厶厶为( 2 1 5 ) 的形式，w e x , j 应的微分算式，2 ( y ) 为2 所阶实 对称微分算式，由引理1 2 5 及上述讨论知：要证明工是自伴算子，只需证明 朋q 甓( 力m = 0 2 。， 这旱m ，鳓( 口) 分别由式( 1 2 8 ) ，( 1 2 5 ) 定义。事实上，由式( 1 。2 8 ) ，( l2 5 ) 及引 理2 1 2 可知： 蛾肌瞄函44 掣4 卜， 由此可知： 纰：0 ) m = o ：。当且仅当4 q 叠( a ；= 0 。，证毕。 2 2 三个高阶极限点型微分算子积的自伴性 令工表示h i l b e r t 空间口( 州，= 【口，) ) 内由对称微分算式，( y ) 及若干边条件所确 定的微分算子。本文以具体的边界条件刻画t - - 个高阶极限点型微分算子乘积的自伴 性问题，并得到自伴的充分必要条件。 设微分算式 t ( y ) = _ y ( 2 + q y ，r i = d ，0 0 ) ( 2 2 1 ) 这里，实函数q c 2 “( ，) ，计算得： 4 n l p ( y ) = l f f 2 ( j ，) ) = ，“、+ 3 q y ( 砷+ ( i + c 等2 “) g i ”一，”+ 【( c 絮一1 ) 铲“+ 3 q 2 】y 2 ” k ，2 n + l 2 n i + c l q ( 4 ”一) + c 乞g g 2 ”一”+ i 笼( 9 2 ) 2 ”一”抄) + 【g ( 4 “) + ( 9 2 ) 2 ”) + q q 2 ”+ 口3 】j ， t 。l ( 2 2 2 ) 本文假设p ( | j = 1 , 2 ，3 ) 均为极限点型的。 记厶( f = 1 , 2 ，3 ) 为由( 2 2 1 ) 式定义的，( 力生成的具有边界条件d ( 厶) ( f = l ，2 ，3 ) 的 内蒙古师范大学硕士学位论文 微分算子，下面考虑积算子l = 厶厶厶的自伴性问题。记q 2 。( ，) ，q 6 。( f ) 分别为，( y ) ，3 ( y ) 所对应的l a n g r a n g e 双线性型，且 q 。( r ) = 0o o o ： o1 10 01 一lo l ；i ，鲥( f ) ： + ool oo i o 0 o o ： ol 1o 01 1o o0 o0 弓| 里2 2 1 2 3 1 ( 1 ) p ( ，3 ) cp 吖u 。) ，( 2 ) d o q 3 ) cb a t ) ( 七= 1 ，2 ) 弓i 理2 2 2 、咿，z d 0 ( ，3 ) ，【_ y ，z 】“( f ) = i t 2 ( ) j ) ，z 】2 。o ) + ，( y ) ，( z ) 】2 ，( f ) + 【y ，z 】。o ) = i t 2 ( y ) ，z 】：。( f ) + 【f ( y ) ，( z ) 】2 。( f ) + 眇，2 ( z ) 】：。o ) q 2 。( f ) 00 ic ：。，2 ( y ) ( f ) l = k ：。z p ) r 2 1 ( z ) ( r ) r 2 ，2 ( z ) o ) 1 o 幺。( f ) o iic 2 。，( y ) ( ，) i l 00 q 2 。( f ) c 2 。j ，( r ) i = b ，z m 叫k 。( f ) b ，y ，y c ，r = r 6 。z u ) 绒。u ) 。y 【 则 q 2 。o ) z + h , 0 2 。o ) 研+ 日：q 。( f ) q 2 。( ，) z + h j q 2 。( f ) q 6 。( f ) = jq 2 。( f ) 研+ 坞q 2 。o )q 2 。( f ) iq 2 。( f ) 0 ：。 其中 1 1 ( 2 2 3 ) 矧 y 少； y r哪oooooo也 跏 h 新 ，o o 巧l 吆域研k i f o o o o i i 儿 d o o 鲮 d 0 “0 皱 0j o o 伤 丌oooo皿 哎也k风k 吆 抽 抽 抽 ，o o rl zz k i i 内蒙古师范大学硬士学位论文 日，= h 2 = h 3 = qq 0q 0 0 ： 00 o0 q 2 + g ( 2 “一) c 2 2 g ( 2 “) c 雾q ” c q q ( 2 “一2 ) a m q 幢”对 c l 2 q 2 ”4 c 2 2 m n - 2 9 o q 2 + q q 2 帕 c 2 “q ( 2 “一1 ) o ：q p 嘲q ” 2 9 ( c 未l + 1 ) 矿 0 2 q 00 oo g ( 2 ”- 1 ) q q 2 ”2 - l q 但一 c 等q c 一：n - i g q ( 9 2 ) 2 ”2 + a q 4 ”2 q 。- l ( 9 2 ) 2 扣+ c 0 i q 4 肛 j q 2 。n - j - 2 ( 9 2 ) + 锉知2 “ q 2 h n - ! 9 2 + c 器窜渤 ( c 恐i + 1 ) g 2 “ 瞄2 。n - 1 + l + q d ) g 2 “ ( c ：4 。n - 1 - 2 + q 2 ，n - ，2 ) g 2 9 由q 6 。( ，) 经过矩阵运算即可求得q 矗( ，) 。 考虑微分算子( f = l ，2 ，3 ) f 厶( y ) = ，( y ) = j ，2 ”+ q y ，y d ( 厶) ， 1d ( 厶) = y d 。g ) i4 c ：。y ( 口) = o ) 其中a 是2 2 n 的数量矩阵，且满足 r a n k a j = n 设三= l 3 l 2 厶，d ( 上。) 为工的定义域，则微分算子上可被表示为 f ，( y ) = f 3 ( y ) ，y d ( 工) ， 1 d ( 工) = y p h ( ，3 ) l d ，c 6 。j ，( 口) = o ) 事实上， ，( y ) = ，( 力，y d ( 三) a l c 2 。y ( = o 4 c 2 。，( y ) 0 ) = 0 ， 以c 2 。f 2 ( y ) ( 口) = o ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 矿嘲印：o o 一 塑矍堕堕蔓盔兰堡兰竺丝苎 f 4o ：一o z 一 rc 2 y ( a ) 1 1 0 2 。n a：2。0。42，jil(c22。n，i：(yyx)(a口)jl02 0 2 = 。 。 ：。4 j l c 2 。，2 ( y ) ( 引1 睦水 匕 夕阳i ) = 0 ( 2 2 1 0 ) j 4 0 ：o z 。】k0 “0 2 。 40 ：。0 ：。 m = p a = 10 2 。40 2 。0 h ：如0 2 。| _ i a 2 研a 20 2 。f ( 2 2 1 1 ) l o z 。0 “a 3 且ze 厶jh z 呜反a ，j ( 2 ) 蚓0 ) e 蜴。0 ) 研疡- 。i ( 口) = e 酬( 口) 只o = l ，3 ) 其中q 2 。( 口) ，h ，疗，分别由式( 2 2 3 ) ，( 2 2 4 ) ，( 2 2 6 ) 定义。 定理2 2 1 乘积算子三= 厶厶厶为自伴算子的充分必要条件为 4 矧( 喀4 = ：蚓( 口) 4 = 0 ， 其中a ，a 2 ，a ，由式( 2 2 7 ) ，( 2 2 8 ) 定义。 证明由引理1 2 5 可知，要证明l = 厶上2 厶是自伴算子只需证明 其中m 由式( 2 2 1 1 ) 定义，由引理2 2 3 经过矩阵运算即可证明结论。 推论2 2 1 设厶，厶，厶分别由式( 2 2 7 ) ，( 2 2 8 ) 定义，工由式( 2 2 9 ) ，( 2 2 1 1 ) 乞研研 矿in儿 蛳吩以 内蒙古师范大学硕士学位论文 定义。若l = l 3 l ：厶为自伴算子，则厶必自伴；若厶，工2 ，厶都是自伴算子，则厶= 厶。 但是，当厶，岛，上3 均为自伴算子时，l = l 3 l ：三。不一定是自伴算子。 例1 令厶，岛，三3 是由( 2 2 7 ) ，( 2 2 8 ) 所确定的微分算子，其中 a i = l0 0 0 ： o 0 o 0 均为2 盯阶矩阵，由于 鲥( 口) = 一lo oo ： 0o o0 ol 1 o ol l0 ： 00 o0 00 00 ： 0 o 0 0 则容易验证 一。q ：( 口) 4 = 彳：9 ：( 口) 4 = 4 ，q ：( 口) 4 = 0 ， 即厶，厶，厶均为自伴算子，但一。鲥( 口) 4 0 ，它们的积三= l 3 l ：厶不是自伴算子。 1 4 l o ；o 0 o 0 ：0 o = 4 叽l叫“叫州i叫 o o ：o o = 以 们川j副 o o ；o o 内蒙古师范大学硕士学位论文 第三章三个2 阶极限圆型微分算子积的自伴性 1 9 9 9 年，曹之江，孙炯，e d e d m u n d s 在文 2 6 中给出了两个2 阶微分算子积的 自伴性的判定条件，并且得到了2 阶微分算子三的幂算子p 是自伴的充要条件是为 自伴算子；若三i ，l ：为两个2 阶自伴微分算子，则积算子：三i 为自伴算子必须满足 厶= l ：