（基础数学专业论文）关于广义的marcinkiewicz积分算子的有界性.pdf

中文摘要 本文势嚣掌， 第一镦证明了m a r c l n k i e w i c z 积分算子 觚颁加( f 1 l 垒等鬻舳槲盎) 2 对予零次齐次n h q ( s ”。) ，= 窖导苫，a 0 ，置满足一定的清失往，巅辩于任意 的l p o 。，算予p n 。魁为您剡妒有界的阉时证明，当2 p 时，相 应予菇函羧秘委辍积分s 静m a r c i n k i e w i c z 积分舞子蝻 。，细，鼬的霞弼扩酌 有界性 第= 豢证疆了裾：曦上m a r c i n k i e w i c z 袄努算予芦o ，。口蔻扶怒毋襄露界静t 这照q l ( 1 0 e , + 工) 。( s “一1 s ”一1 ) ，o 蔓n ，芦1 矗b s t r a c t t 鞋sd i s s e r t a t l o nn m i r 矗yc o n s i s t so ft w op a r t s t i nc h a p t e ro n e w es t u d yt h em a r c i n k i e w i c zi n t e g r a lo p e r a t o r 颁。，= ( a l g 等鲁m 瑚2 熹) 3 w h e n 螽器4 f s 啦一1 ) ，堂= ；尝蠹石，口兰0 ，a n dq s a t i s f y i n gc e r t a i nc a t t c e n a t i o nc o n d l - t i o n s w ep r o v et h a t ， b r1 p ，p n 4i sb o u n d e df r o mt h eh o m o g e n e o u ss o b o h v s p a c e 绣t ot h el e b e s g u es p a c e 矿，a n d ，f o r2 冬p o o , m a x c i n k i e w i c zi n t e g r a lo p e r a t o r s a a n dp n s 社w h i c ha r e r e l a t e dt ot h e g 支f u n c t i o na n d t h e 鲥e 8i n t e g r a lsr e s p e c t i v e l y 赫eb o u n d e d o p e r a t o r s f r o mt h e h o m o g e n e o u ss o b o l e vs p a c e 臻t o t h e l e b e s g u es p a c e 伊 i nc h a p t e rt w o ，w ep r o v e , f o rn l ( 1 0 9 + 上) 2 ( 妒一1 i 萝m 一1 ) ，t h ec o r r e s p o n d i n g m a r c i n k i e w i c zi n t e g r a lo p e r a t o r p r o d u c ts p a c e s , a n g i sb o u n d e d f r o m 蘧8t o 妒 2 序言 二十世纪三十年代，l i t t l e w o o d - p a l e y 在研究f o u r i e r 级数和l u s i n 在研究解 析函数边值问题时分别引进了g 函数，醛函数和l u s i n 面积函数s 1 9 3 8 年， m a r c i n k i e w i c z 1 1 考虑了下面类似于g 函数的积分算子，我们称之为m a x c i n k i e w i c z 积分： p ( ，) ( 。) = ( z 2 。i ! ! ! 二! l j ：! ：；：幽出) 5 ，。 。，2 z 】 其中f ( z ) = f ( t ) d t 1 9 5 8 年，8 t e l n 2 】把m a r c i a k i e w i c z 积分推广到了n 维的情形，定义如下： 以s 一1 表示舻的单位球面，赋以l e b e s g u e 测度曲( 。7 ) = d z 7 设n 是定义 在舻上的0 次齐次函数且满足下面的两个条件： ( i ) n ( 。) 在s 一1 上是连续函数且满足n ( o 。 s t e i n 证明了若q ( z ) 如上定义，则期是强( p , p ) 型( 其中1 p 2 ) 和弱( 1 , 1 ) 型b e n e d e k ，c m d e r o n 和p a , n z o n e 3 】得到了如果n c 1 ( s “一1 ) ，那么对于1 p 。是强( p p ) ( 1 p o 。) 型和弱( 1 1 ) 型的t o r c h i n s k y 和sw a 吲1 0 】证明了当q l f p o ( s n - - 1 ) ( o d 1 ) ，则对于 1 p o 。及u 如，有l i p n ( 删l p ( 。) c l l f l l 且- ( 。l - 应当指出，在 2 3 1 0 1 1 2 3 】中给 出的上述结果均是在n 被赋加丁在单位球面上一定的光滑性条件后获得的 丁勇 1 1 给出了当n 1 ( p _ 1 ) 时，p n ，6 的护有界性这里，日1 ( 铲一1 ) 记为 s 一1 中的h * d y 空间，结果如下： 3 定理a 设n 日1 ( s “一1 ) ，满足上。一，q ( z 7 ) 打( 。7 ) = o ，6 ( r ) 工。( 如) ，贝5 l l p n ( 删i p c j p ，( 1 p o o ) 这里p ，( z ) = ( f o 。i f , “蚓2 窘) 5 ，昂文。) = 五刊；。i 警蠢婺6 ( 1 。一蛐，( v ) 西 定理b 设n 同上，则 以及 i p ； ( ，) l b c l i ，i b ，( 2 p 。) ( 2 p o o ) 其中 。 胁舸) = ( 甜蛐妒筹) 2 ， r ( 。) = ( 玑t ) 掣1 ：i 。一3 ，i 1 ) 丁勇 1 8 j 证明了当n z ( 1 0 9 l + ) 2 ( s 一1 s “- 1 ) ，p n 是工2 ( 妒置“) 上的有界算子围绕m a r c i n k i e w i c z 积分这一课题还有大量的研 究成果，参见【5 1 ( 6 1 8 1 9 】 1 6 】 1 9 】等文献 通过对m a r c i n k i e w i c z 积分发展的考察，我们可以看出m a x c i n k i e w i c z 积分表 现出来的性质与c a l d e r o n z y g m u n d 奇异积分算子有许多相同之处陈杰诚，范 大山等【1 2 考虑奇异积分算子 一m ) 2 p m 厶。6 ( 1 y 1 ) q ( 蚓，r m y ) d y 其中，s ( n - ) ，b 工。( 置+ ) ，d o ，n 月r q ( s - 一1 ) 且满足 上。一。n ( v 脲( ”7 ) 妇( v ，) _ o ，0 a ) 这里y m ( y ) 是次数m 的球面调和多项式其结果如下： 定理c 设1 。我们得到了下列主要结果 定理1 1 设l p o o ，j = m x d ，寺 ，n 9 ( s - 一1 ) ，g = 而r l - i ，n 0 且满 足( 1 1 ) ，则有 类似地，我们定义 脚n ( ，) ( z ) | | p c l l f l l l ： 帆蹦硝扣( “砌妒害鉴) 5 ， 峨抽= ( 如。( 习) ”刚硎。蔫) 5 ， 其中r ( 。) = ( ，) 五，1 ：i 。一y l 日并得到： ( 1 2 ) 定理1 2 设2 茎p 。，庐= m 丑x 西，南 ，n z q ( 扩一1 ) ，g = 赫，8 0 且满 足( 1 1 ) ，则有 i 璃 n ( ，) | b i l f l l z , ， l p n 一。( ，) j i ，1 1 1 1 1 露 我们还讨论了m a r e i n k i e w i c z 积分算子 卢n ，。，( 。) = ( z + “i f ，。( 。) l 。軎) 5 ， 其中耶一t ) = 五刊。掣，( 掣) 札q 。并且得到了 5 ( 1 3 ) ( 1 4 ) 定理1 3 假设q 同定理11 所述，则有 胁。峙c m k ( 1 p ) 在上述定理中，霹是齐次s o b o l e v 空间，i i 2 毋，。为齐次t r i e b e l - l i z o r k i n 空 间，毋，。： ，s ，( 舻) 川州毋，。：l l ( z ”t 一叫讥，| 口字) ；i f p o o ) 见 2 1 j ，其中 砒( z ) = ! - n 咖( ；) ，妒( 。) 是c 。径向函数，。t 粥p ( z ) c i z l 1 ) 且满足上。妒( 。) 如= o 我们知道砖2 笺2 ，毋2 型印( a o ) 因此当n = 0 时，即i n 中的结果 在第二章中，我们考虑m a r e i a k j e w i c z 积分 觚。毋f ( e , v ) = ( z 。f 刚硎2 嵩) 。 其中r ，。( ，v ) 同上，证明了当核函数n l ( 1 0 9 + 三) 2 ( s ”1 铲_ 1 ) ，0 o ，卢 c o ，v ( v ) c o 令 圣( f ) = u 。( f ) ，霍( 叶) = v 。( 叶) ，西t 0 ) = t n 圣( ) ，霍。( 掣) = s - - r a 霍( ；) ，1 p ，垡 o 。定义 鸷属a ( 舻驴) = ，趴酽驴) 圳( z 。o 。陋t 霍。) t 卯t 一”。一加警) ； o o 我们知道霹舢垒俨，考矗2 皇上：脚( a ，卢o ) 因此，当n ，p = 0 时，即是 1 8 1 的结 果 6 第一章 具有粗糙核的m a r c i n k i e w i c z 积分的有界性 1 引言及结果 设p _ 1 是口上单位球面，d a ( z ) 是“上的l e b e s g u e 测度对于非零 。舻，记一= 由 1 9 5 8 年，s i d e 2 首先引入了如下定义的相应于l i t t e r w o o d - p a l e yg 函数的 多维m a r c i n k i e w i c z 积分算子 州，) ( 牡( 厂刚矧2 塞) 。 其中确“z ) = 五刊。j 挈，。) d u , f 2 el 1 ( 驴_ 1 ) 为零次齐次函数，且 q ( 一) 打( ) = 0 s t e i n 2 1 证明了如果q 在扩一1 上连续并满足工i 如( o as1 ) 条件，那么 加是( p ，p ) 型( 1 p 2 ) 和弱( 1 ，1 ) 型b e n e d e k ，c a l d e r o n 和p a a z o n e 3 】得到 了如果q c 1 ( 驴- 1 ) ，那么对于1 p o o ，是( p , p ) 型的t o r c h i n s k y 和s w a n g 1 0 】证明了当q 三i 阢( 铲一1 ) ( o ns1 ) ，则对于1 p o o 及，如，有 j l u n ( ) l l l ，c l t f l l l p ( 。) 应当指出，在 2 】 3 1 1 0 】中给出的上述结果均是在n 被赋 加了在单位球面上较强的光精性条件后获得的有关多维m a r c i n k i e w i c z 积分算 子的研究，国内外数学家都表现出了其浓厚的兴趣，还有大量的研究成果可 见文献 5 】 6 】【8 j 9 】 1 6 】【1 9 1 等在 1 1 j 中，给出了当n r a ( s - 一1 ) 时p n 6 的妒有 界性这里，日1 ( p _ 1 ) 记为扩- 1 中的h a r d y 空间，结果如下： 定理a 设n 日1 ( 驴- 1 ) ，满足止。一。f l d a ( z ) = o ，6 ( r ) 三”( 肌) ，则 1 l 脚, b ( f ) l l ，c l l f l l ，( 1 p o 。) 这里p ，( 。) = ( o 。i f n 一( 划2 窘) ，邱“。) = 五刊9 ；警赤碧6 ( | z 一鲫，( ，冲 定理b 设n 同上，则 p i ，x ( ) t l ，c l l l i ，( 2 p o o ) 7 以及 j | p n ，sj p c f j ，j p ，( 2 p ) 其中 删，) ( 。) = ( 蛐妒筹) 2 ， r ( z ) = ( 萝，f ) 霹“：。一y f ， = ，。( 可b ) “嘲洲2 筹) 5 抄 最近文 1 2 】中考虑奇异积分算子 玮a ，( ) = p m - b ( i v l ) n ( _ ) l y l o “。一y ) d u ， j 且- 其中，s ( r - ) ，b 工。( 丘+ ) ，q o ，q 日4 ( 铲一1 ) 且满足 五。n ( 矿陬如( 弘o ， ( 1 ，1 ) 这里( ) 是次数m n 】的球面调和多项式其结果如下： 定理c 设l p 譬一1 】的球面调和多项式，贝有 | | n ，p l m ) c k ( r n ) 本文考虑下述形式的m a r c i k i e w i c z 积分算子 m a ，( 加( o 佃( 刮：燕) 5 其中f n “。) = 五刊s 。j 警亩姿，( y 我们得到了下列主要结果： 定理1 l 设1 p o 。，声= m a c 扫，盎) ，n 伊( 扩一1 ) ，口= o 盎，q 0 且满 足( 1 1 ) ，则有 p n ，n ( ，) ( z ) 怯c 职 8 ( 1 2 ) 类似地，我们定义 鼬= ( 鼬俨羔) 5 ， “= ( 如。( 可b ) “刚州。蒜) 5 ， 其中r ( z ) = ( y ，t ) 群1 ：i z f i t ) 并得到： 定理1 2 设2 p o o ，多= 懈扫，盎) ，n 日4 ( p 一1 ) ，g = 赫，a 0 且满 足( 1 1 ) 7 ，则有 懈， ，a ( 删i ，c | 1 ，l i 醒， l i 脚n ( ，) | b e l i i i i l ： 在上述定理中，有关堙空间的定义参见序言。 2日a ( 铲- 1 ) 的原子分解 定义s ”1 上的p o i s s o n 核 ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 。) = 专每，o 吣l 对于任意的f s ( s 一1 ) ，定义它的径向极大函数 p + ，( z ) = s u dl ，( 矿) 如一( ，) 由( 删 o r ( 1 , 1 5 “一l 。 定义空间 日4 ( 扩_ 1 ) = ，：，( s ”1 ) ，- ( 严t ) = l i p + 1 1 1 l 。( 严t ) o o ( o q 茎1 ) 日。( s 一1 ) 空间可以由类具有很好性质的十分简单的函数经过线性组合生 成，这就是所谓的原子分解 首先给出两类原子的定义 定义1 e ( 。) 称为例外原子，若i i e ( 。) i i 。1 9 定义2a ( 。) 称为正则( g ，r ) 原子，若满足 s u 御( a ) c z s n 一1 ，1 z 一z ；i 0 ，( 1 ) 上n ( f ) y m ( ) 打( 卜o ( 2 ) 这里( f ) 是次数m 的球面调和多项式，是任意的个大于 一1 ) ( j 一1 ) 1 的整数 l ，f s 。一t 1 p 一( ”1 埘一( 3 ) 从 1 3 或 1 4 1 中我们知道任意n 日。( 铲“) 具有原子分解n = j 叼， 这里是例外原子或正则( g ，o o ) 原子，且jl p c ( s 。) 特别地，若 n l l q ( s 一1 ) 且满足( 1 1 ) 7 ，则所有原子q ( ! ，) 可以被选择为正则( g ，o 。) 原子且满 足定义2 中( 2 ) 的条件，其中n 与( 1 1 ) 中相同 在本小节的最后，我们不加证明地引入两个引理( 其证明可见【1 5 】) 引理1 1 ( 1 5 】) 设n 3 ，a ( ) 是定义在铲- 1 上的( g ，o 。) 原子，且a u p pa ( - ) c 铲- 1n 丑( e ，p ) ，其中b ( c p ) 是以e = f 扩1 为中心，p 为半径的球令 兄( s ) = ( 1 一s 2 ) 学) ( 删( “是一。( 。，( 1 一。2 ) 雪) 曲( ) 则存在。o r 及常数c 与。( ) 无关，使得 o t 州足) 【s 0 2 r ，3 0 + 2 r ) ； l l m o l l 。c p f l 一；) f “- i ) r 一1 ； 上兄( s ) s k d s = o v i o ，】， 这里r = l a ，f l = i a ，钋a 正= ( p 2 a ，p 如，p 矗) 引理1 2 ( 15 1 ) 设n = 2 ，口( ) 是定义在s 一1 上的( g ，0 0 ) 原子， s 1n 日( e ，p ) 令 f ：( s ) = ( 1 一s 2 ) 一 x f 一1 ，1 ) ( 。) ( $ ，( 1 一。2 ) ) + 。( 。，一( 1 一。2 ) ) ) 则r ( s ) 满足( 1 5 ) ( 1 ”以及 i | f 口c r 一1 + p 1 一；) ( ”1 1 ，r ( 1 ，2 ) 】n ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) s t ! p p d ( - ) c 3 定理的证明 首先给出定理1 1 的证明。我们注意到 彬，= ( 厂丽1 塞l 谁刊夕。辈i - ：兽1 1 - m 俐。出5 1 k ( 厂蚓。等秽m 蚓2 击出) 5 = 2 ( 门k 拒。啬离钟。撕2 h 熹) 5 = z 舭删( 门k 啦。普器舳刚：嘉) 。 若能证明 怕n ，a ( ，) ( ) l l p c 醒 ( 1 8 ) 则( 1 2 ) 成立 又由于n 。且满足( 1 1 ) 7 ，故可记q = j q ，其中q 是正则( g ，0 0 ) 原 子，且j n c l l n l l h - ( s n t ) 故只需证明：对于所有的1 p 0 ， 使得对每个正则( “o 。) 原子q 有 i i p 町，“( ，) ( 2 川ps 。m l 职( 1 9 ) 以下不妨记q 为a , t 。z a j ，。为扛。，。 不失一般性，设3 t p p ( d ) c 扩一1n b ( 1 ，p ) ，1 = ( 1 ，0 ，o ) 记 卢a n ( ，) ( z ) = ( - ，( + 。iz 。扣一。i ；。i ；! ! i i 萼，( ，) d 。2 垆d + t 。、5 = ( e 也啦蜓。等器舳蚓2 嘉) 5 = ( e i 吒* * 2 - a t f ( 蚓2 出) 5 其中吧，( z ) = 2 - * a ( 。) i 。i 一( 一1 1 x z t - t 0 ， 佑得 酬拯 c 2 - 舶“州k 刈 lc 2 ”i t f l i 扭，。 0 时， 风( 删睦= 厶。f ： 圣2 + t * 0 2 t * 2 - a t ，( 矧2 出如 = e 五。i 呻计驯2 阳| 2 2 也慌卯武疵 s 厂+ 。!i 屯。( f ) 1 2 2 2 a t i ，( f ) 1 2 瞄出 s 上。厶。i 屯i ( f ) 1 2 2 _ 2 “i ，( f ) 1 2 瞄出 ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 其中d t = ：2 一 0 时，“鼠川2 c 2 - * ( n + l - 。) l l f l l 喀 当。 0 时，应用( i i 0 ) 式得 h y l i ；= 厶。e 阶嘲舢“m 妒拙 “0 r j _ z r 。i 皿( 2 计a e ) 1 2 i 屯t ( ) 1 2 2 一“i ，( ) 1 2 武出 c 2 孙外4 1 1 1 1 1 i + 所以当s 0 时，i i h j i l 2 c 2 + i i s l i 扭+ 其次考虑1 p 2 的情形 ( l 1 8 ) 引理l 4 设心如前定义，记矿，= s u p 。i l 吧t i * i i ，则对于任意的1 p 0 ，有 1 1 4 2 t i l l c p 一。 i l 矿f l l 一茎c p l m k 证明：显然有l i 吁i i t = 上z 。2 t 2 一。i n ( z 引卉如c p f n _ 1 ) ( 1 一；) _ - - c p - c 另一方面 矿，= “巩j ( ：。上m 3 ，) 1 2 “i ( z - r y ) 1 d 分( 妁d r 上i d ( 可训s ：p 2 - t 上。i s ( 1 2 z r 删由) 出( ，) ， 上) i 坞地) 如( 矿) 这里鸠，( z ) 是在矿方向上的1 4 l 极大算子，则对于所有的1 p m ，有 l i m p , 引| p c l l f l l p 1 4 其中c 与y 7 无关所以 杪f l l sj | f 1l o ( y ，( 。) 打( y 引b j e 。 如l n ( 删| 1 屿，衢) 1 1 一出( 矿) c p i l i i i ， 引理1 4 证毕 由上述引理可得 ，十，+ 川- 。垆。0 2 t - 6 铒t ( ) 出l i b e p 2 。 | i g ( ) l , a l l l ( 1 _ 1 9 ) o 一 j 一 1 这里g + 。( z ) = 毛| + i 2 一a ( 蚪，1 ，( ) 对于任意的l 口( ，有 l l8 u p t r 2 “吧- 十g 卧t ( ) i i i 口铲。i i 矿( s u p ti g 蚪t ( - ) d i i 口 c p ”铲i ls - a p t ri c , ( , ) l l l 口 ( 1 2 0 ) 令t g 州= 2 a m 口2 t 十g 州( 。) ，则( 1 1 9 ) 和( 1 2 0 ) 说明? 是工1 ( 上1 ( 置) ，尼、) 及 口( 上”( 置) ，口) 上的有界算子 现在对任意的1 p 1 ，使得i 1 = ；2 1 ，对( 1 1 8 ) 及( 1 - 1 9 ) 运用算 子内插定理得 ，+ o o ，。 i，+ 岭_ 。胁0 2 t t 2 - , t m ) 1 2 出) 讥c p ”字。1 1 ( 厂 胁+ 2 - a t 舱) j 2 d t ) l l ， o j 一 7 根据t r i e b e l - l i z o r k i n 空间的定义 2 1 】以及圣2 。的性质可得 + o o l i ( j _ - 1 ( 2 。p ) 一。圣2 t * ，i 。d t ) l l 一掣i i f l l 审，。竺i i f l i l ： 一1 所以 | | 皿州p c 2 “i l f l l t , ：( 1 p 2 情形， 1 5 记口= ( ；) ，则存在u ( 。) l 。1 1 , 4 1 。1 ，使得 l i 风刘；= 厶。f ：阮一+ 吧t + 2 一钡矧2 u ( z ) 出如 s 仁触吁帅( 阶朋“卯忡) l d t d z ，4 - ， c l p 一。i 圣2 + t2 一。，1 2 口+ l i ( y ) 由出 j 一j 舻 。 ，十 c p - 2 。2 2 “| f i 壬，。2 - 。, i i 2 d t l f j 一 即 | | 风州p c 2 ”h , e l i l ( 1 2 2 ) 在( 1 | 2 1 ) ，( l 2 2 ) 及( 1 1 7 ) 间用r i e 一t h o r i n 内插定理【17 】，可得( 1 1 5 ) 在( 1 2 1 ) ，( 1 2 2 ) 及( 1 1 8 ) 间用r i e s z t h o r i n 内插定理 1 7 】，可得( 1 1 6 ) 定理1 1 证毕 定理1 2 的证明 首先给出以下一个引理： 引理1 5 对于任意的乒0 ，均有 上。( 嵋 。( ，) ( 。) ) 2 咖( 。) 如a 五( p 蚧( ，) ( 。) ) 2 m 烈。) 如 证明： 厶( 庙知( ，) ( 。) ) 2 烈。) 如 = 上。见，( 南) “i f n “训2 每害鬈去烈。) 如 厶z 。i 昂“酬2 害去。s 踟u p ，舻( 南r 1 ( z ) 窘) 由 瓯厶z o 。l 昂“洲2 再d 藉t m 烈y 油 = 。厶。( a 舳) ) 2 m e ( y ) d y 引理证毕 在引理中令曲11 ，则i i m 咖i 。恻j 。；1 所以 二。( 廊 。( ，) ( z ) ) 2 如茎c 二。( p n ，。( ，) ( z ) ) 2 如 即 醇 。f l , c l l _ e l n n ( ，) 2 c l l f l l 珐 当2 p o 。时令g = ( ) ，则存在庐l q ，。1 ，使得 i j _ i 上矗， 一( ，) l 唔= j | ( p 矗， ，。( ，) ) 2 | | 导 2 上。( 蝻。 一) 2 烈。) 如 c 厶( 觚a ，) 2 m e ( 冲 c i i p n 4 ，| | ；l | 且f 毋i | 。 茎c 琵 且p l i p a 。( f ) l l p c l l f l l g 由于脚“s ( 硝。) c 璃 。( ，) ( 2 ) ，所以i i , n ，鼬( ，) ( 。) l i p c t f l l l ：( 2 p o o ) 定理1 2 证毕 另外本章还讨论了下述m a x c i n k i e w i c z 积分算子 确舯) = ( f o ”刚。) 嗡 昂“。) = 五刊9 再墨弓i 苫) _ ，( ，) 西 并得到了： 定理1 3 假设n 同定理1 1 所述，对于1 p 0 0 有 l i 凤，。峙c i f l l 3 证明：事实上，同定理1 1 的证明一样，有 犀n ，。，( 。) c ( j o o 石。i 。一。；。i ；! ! ! 器，( ，) 每v 1 2 宝) 5 = c 芦n 。( z ) 只需证明对于正则( g ，m ) 原子a ，有 慨，n f ( z ) l l r ，c | | ，l | 赶- 记卢。，( z ) ：( ，+ 。f 吁+ ，1 2 疵) ，其中吁：2 - t a ( 。) 一( 一1 扣) x 2 。 i 。l 型( z ) 则有以下估计： 引理1 6 i 屯c ( ) l c 2 ( n + i - c 0 1 a p i + 1 p ( 1 一；) ( ”一1 1 协( f ) i 2 - 2 “i a 。盯p 1 1 一；) ( 一1 证明同引理1 3 一样 类似于定理1 1 的证明过程，同时注意蓟 l o - 2 t i c 2 1 。i 子2r i ，且i i 呓t f l l ，e p l m i ， 其中屯t = 2 一a ( z ) 一一1 ) x 2 一 1 时，_ i l n 是三一上的有界算子( 1 p o o ) 陈杰诚，范大山等 2 0 】证明了当 n l ( 1 0 9 + 二) 2 ( 铲_ 1 p - 1 ) 时，p n 是扩上的有界算子( 1 p o o ) 本文考虑m a x c l n k i e w i c z 积分 。乒f ( e , y ) = “。f 吼训2 舭d t 科d s 印，5 其中r ，。( z ，y ) 同上，证明了当核函数n l ( 1 0 9 + 三) 2 ( s n l 一1 ) ，o n ，芦 o ( 4 )p n ，。押，( ，f ) 蔷( z ”fi 坫；：啬辫m 一酬若知) 5 = t f t l p 一 在给出定理的证明之前，我们先证明以下引理 引理2 1 记吒l + = 2 一皿( 。7 ，删z i - + i m - m + l x f 2 | 一， i 。k 2 ；2 s - i 眺2 。) ( z ，f ) ， 则 其中0 1 证明： 寺：m i c 2 z i o , r ，2 l | 巩1 1 2 孔2 q o f l l 2 。训 2 t i o z l l 2 f l l 2 5 7 1 ， y 1 2 。f l ，2 1 2 叩1 一c 2 1 2 钏2 1 1 一，2 。1 2 f r 1 2 。叼1 2 q 2 f l - 。1 2 。7 1 一e = 强。脚2 小川q ( 训) i 。i 叫1 i 1 - m + l x f 2 一 眺2 岫。 佻2 。) ( 2 ，可) e 如恤妇 = 以。一，m ( 。) 2 - ( t + s ) z ：。上：。e 一时h 岫7 m 如玉如( ) 如( 。，) 显然有 l 畦h t “，叩) i c l i n i i l ( s 一t 。s tj c 2 i 吼 由n f 的消失性可得 于是 毋：。( f ，q ) = 以一，心抑邓仁e 一晌( e 曲“) 撕w ) 炸，) 同理可得 以及 注意到 l 以+ t 僖，7 ) i i l n ：i i l t ( s n t 。占。一t ) 1 2 f c 2 1 0 , 1 1 2 t l 雠。( 己叶) l g 2 1 馥1 1 2 1 z 一代，们j c 2 q 6 1 1 2 圳2 t 酬 2 “l z ：，e 一沁e 办i = ir e n e 由l e 引一t _ | 一- 又有 z 叫仁。e - i r 一叫墨； 所以对任意的0 e o ，州y ) c m ， 设雪与蚕由垂( ) = 妒( ) 及毒( 叩) = 曲( 可) 所定义，并记霍。( z ) = t 一垂( ；) 及 虫( y ) = s 一圣( ；) ，则易知妣( f ) = 妒心) 和毒( 叩) = 咖( 叼) 那么对任意的，( 。，f ) s ( 妒舻) ，有 m 一f z ”耻掣出如 一仁仁( 。蚧) t m ，) 出幽 因此 j 互o m ，口，( z ，可) = ( z 。a 蚀爿霎嵩替苦心川删羔) 5 。f _ “f 。oi 以。+ 。+ 2 一( c 一十口a v ( 仁仁i 仁仁c 吩+ 仁仁( 仁仁惮：一 = 仁e 嬲施，v ) d r d h 运用m i i l l 【o w s k i 不等式得 即，可) i ：出幽1 5 。壬：+ 。) + 以。+ 2 一f a 蚌p 旬，和，f ) 由孤1 2 出幽1 5 。壬：。) + ，+ 2 一( m 伽1 ，( 。，g ) l ：出曲6 咖执 ， 怕郇刘护 ij 耳 州舻办烈 2 b 艇上n ) 叫。掣| | 群* f l l l ，卉积 = _ 艇a 薯，5 ( ) 其中a = 1 ，一1 ，2 ，一2 ) ，娼= 一，一f 】，e = 【j ，m 】，础n 2 = 卜i n ，0 】，e r = 【0 ，f 1 ，n 待定于是 ，郎，( 。，u ) i i l - g 葺d ( ) 0 1 + 5 先估计曩，( ) 由引理2 2 得 琏，( ) j ，i n 。j 厂i n2 f 小一1 卜+ 一1 ，l i 篼，d r 虢 c 2 ( 1 一( 2 一。一口) ) 弘。 因为0 n ，芦 o 墨1 ( ) c l f i l i , 。，只要n 适当大即可 同理有 e l o 墨一l ( ) = e , ok 1 1 ( ) c l l 州上暑。， e t _ oj 2 ( ) = f 0 e ，i ( ) c l l f l l l 5 。， f o 正一2 ( ) = l o 卫2 1 ( ) c i | 州三：。， j 0 砖一d n ) = l _ o1 1 - - 1 ，2 ( ) sg i | 州壤， f 0 正l ，一i ( n ) c l l f l l l ：。 廷要n 适当大即可 再来看哇：( ) 同理有 因此 即定理得证 z 。e ，：( ) g z 。z 。2 。i p z l 2 ( 一，) + ，“p 一，l l f l l 吃，d d e 龟0 2 t 忡2 2 _ 0i b o p 善正2，一：()cllalllflog+l彬峨，0f “” p n ，a t 口，( 2 ，y ) l l l 。sc 1 1 f l l l ：，。 参考文献 1 】j m a r e i n k i e w i e z ，钆q u e l q u e si n t e g r a l e sd et y p ed ed i n i , a n n e l s d ei as o c p o l o n - a i s e ，1 7 ( t 9 3 8 ) 4 2 5 0 f 2 1 e ms t e i n ，o nt h ef u n c t i o no ib i t t l e w o o d - p a l e , d ，l u s i na n d 材n i n 融1 i 妇z ，t r a n a a m e rm a t hs o c8 8 ( 1 9 5 8 ) 4 3 0 - 4 6 6 3 】ab e n e d e k a c a l d e r o na n dr p a n z o n e ，c o n v o l u t i o no p e r a t o r so nb a n a c hs p a c ev a l - u e d f u n c t o n _ s ，p r o cn a t a c a ds c i u s a 4 8 ( 1 9 6 2 ) 3 5 6 - 3 6 5 4 】r l w h e e d e n ，l e b e s g u ea n dl i p s e h i t zs p a c e sa n di n t e g r a l so ft h em a r c i n k i e w i c z t y p e ，s t u d l am a t h 3 2 ( 1 9 6 9 ) 7 3 - 9 3 1 5 】s c h a n i l l oa n d t t l w h e e d 锄t ，i n e q u a l i t y f o rp e a n om a z i m a lf u n c t i o n sa n d m a r c i n k 。 i e w i c zi n t e # r a l s ，d u k em a t h j 5 0 ( 1 9 8 3 ) 5 7 3 - 6 0 3 6 】s c h a n i l l oa n dr l w h e e d e n ，r e l a t i o n sb e t w e e np e a n o d e r i v a 圩v e sa n dm a r c i r & i e - w i e zi n t e g r a