（基础数学专业论文）外代数上复杂度为2的koszul模.pdf

湖南师范大学硕士学位论文 摘要 外代数是一类有着很强应用背景的代数，在张量分析，微分形 式的研究中有广泛的应用，随着研究的深入，在代数几何，微分几 何，拓扑学等领域越来越多的出现了外代数但其表示方面的研究 我们未见有系统的理论最近，郭晋云与e i s e n b u d 分别用不同方法 刻划了外代数上复杂度为1 的不可分解模，其主要定理之一是每一 复杂度为l 的不可分解模具有由循环k o s z u l 模构成的滤链，开始了 其表示论的研究 郭的主要方法是通过对一k o s z u l 模的极小投射分解中的第一个 映射所对应的矩阵的标准形式讨论相应k o s z u l 模的结构设k 为代数 闭域，v 为k 上m 维向量空间，a v 为v 上的外代数，复杂度为 2 的不可分解循环k o s z u l 模有形式a v ( 。，6 ) ，其中o ，b 是v 中线性无 关的向量本文使用郭的方法，考虑复杂度为2 的循环k o s z u l 模的 极小投射分解中出现的映射的标准形，从而得到其合冲模盯m 的结 构，在这种情况下推广了郭和e i s e n b u d 的结果 首先，我们主要证明了： 预备定理3 3设m = a ( o ，b ) 为外代数a = a y 上复杂度为2 的不 可分解循环k o s z u l 模，其中a ，b 为v 中线性无关的向量，其极小投 射分解为 一p t ( m ) 与一p 1 m 乌尸o ( m ) 乌m 一0 适当选择p m ( t 1 ，) 的基，则 对应的矩阵a 具有双对角形式 a t = n0 ba 0b 0 00 0 0 o 0 0 0 o 0 o 作为我们定理的一个预备步骤，我们证明了： 命题4 2 设a = a v 为向量空间v 上的外代数，m = a ( a ，b ) 为复杂 度为2 的不可分解循环k o s z u l 模，员0i z 。m ( t2i ) 有循环商模l ，有相 对扩张正合列：0 一一n t m 一工一0 满足l 型a ( a ，6 ) ，且n 为复 杂度为l 的k o s z u l 模 对复杂度为2 的不可分解k o s z u 循环模的合冲模有如下刻划： 定理4 6 设m = a ( n ，为外代数上的复杂度为2 的不可分解循 环k o s z u l 模，则n m ，t 0 有循环滤链： 0 n 2 c 一，- c n 1 n o = q 。m 满足q 。m n 1 型a ( n ，当i 0 时，n “1 竺a ( a ) 事实上，在 a b ) 张成的向量空间中任取一个基 z ，) ，我们知作 为a 模，a 砷型a 扛，口) 这样，我们可通过对p o ，p - 的基变换面 使 a = ( ；) 于是同理可以证明 对应的矩阵a 。具有双对角形式 a t = 0 y z 0 y 0 00 ， 00 0 - y 这一结果有个很好的解释： 定理4 8 设m = a w ) 为外代数上的复杂度为2 的不可分解循 环k o s z u l 模，z ，y 为的任意一组基，则瞄m ( t o ) 有循环滤链： 0 n “c 一n 1 n = n m o 0 0 0 0 z 湖南师范大学硕士学位论文 i i i 满足甜m n 1 型a ( x ，g ) ，当i 0 时，。7 州掣a ( z ) 我们注意到，当“与x 线性无关时a ( n ) 与h ( x ) 不同构 1 9 】- 而1 与1 是复杂度为1 的不可分解的k o s z u l 模，一方面，与 的滤链中出现的循环k o s z u l 模是唯一的；另一方面，对y 7 中每一个 ，、0 ，我们都有一个”，其滤链中出现的循环模恰为a ( x ) 最后， 我们的矩阵( 2 ) 有很好的形式，亦应有一个相应的关于模的解释，郭 等人在最近的工作中有一个一般的结论2 3 关键词：外代数；k o s z u l 模；合冲模；复杂度；极小投射分解 滤链； 塑鱼! ! 苎查兰丝圭兰竺篁塞 ：兰： a b s t r a c t e x t e r i o ra l g e b r a sa r ea l g e b r a sw i t hm a n y a p p l i c a t i o n s f o re x a m p l e ，t h e y a r ew i l d l yu s e di nt e n s o ra n a l y s i sa n dd i f f e r n t i a lf o r m s r e c e n t l y , i t a p p e a r s n o r ea n dm o r ei na l g e b r ag e o m e t r y , d i f f e j e n t i a lg e o m e t d r ，t o p o l o g ya n do t h e r f i e l d sb u tw eh a v e n ts e e nas y s t e m a t i o ns t u d yo fi t sr e p r e s e n t a t i o nt h e o r y r e c e n t l y ，g u oa n de i s e n b u dh a v ei n d e p e n d e n t l ys t u d i e di t sm o d u l e so fc o m - p l e x i t yo n ei nd i f f e r e n tw a y s ，s t a r t i n gas t u d yo fi t sr e p r e n s e n t i o nt h e o r y t os t u d yt h es t r u c t u r eo fak o s z u lm o d u l e ，g u oc o n s i d e r e dt h em a r t r i x c o r r e p o n d i n gt ot h ef i r s tm a p i ni t sm i n i m a l p r o j e c t i v er e s o l u t i o n l e tkb ea n a l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l d a n dl e tvb ea nm ，d i m e n s i o n a lv e c t o rs p a c eo v e rk l e ta vb et h ee x t e r i o ra l g e b r a0 fv ，t h e i n d e c o m p o s a b l ec y c l i ck o s z u lm o d u l e o fc o m p l e x i t yt w oh a v et h ef o r m m = a v a ，b ) ，w h e r eaa n d6a r ei n d e p e n d e n te l e m e n ti nv i nt h i sp a p e r ，u s i n gg u o sm e t h o d ，w eo b t a i n e ds o m es t a n d a r df o r m sf o rt h em a t r i x e s c o r r e s p o n d i n gt ot h em a p si nam i n i m a lp r o j e c t i v e r e s o l u t i o no fm ，a n dg e ts o m es t r u c t u r e dt h e o r e m so ft h e s y z y g ym o d u l e sq m o u rf i r s tt e c h n i c 甜r e s u l t si s ： p r e p a r a t i o n3 3 l e tm 型a ( a ，b ) b eai n d e c o m p o s a b l ek o s z u lm o d u l e o fc o m p l e x i t yt w oo v e re x t e r i o ra l g e b r aa = a v ，w i t hm i n i m a l p r o j e c t i v er e s o l u t i o n ： 一p ( 们) 土一p i ( m ) 乌p 0 ( 肘) 立m 0 w h e r ena n d6a r ei n d e p e n d e n te l e m e n ti nv t h e nf o ra l l t 1 , b yc h o o s i n g t h eb a s e sf o rp ( m ) s u i t a b l y ，t h em a t r i xa tc o r r e s p o n d i n gt ot h em a p h a s t h eb i d i a g o n a lf o r m no bn 0b 0 00 000 a sa l lp r e p a r a t i o ns t e p ，w ep r o v e d ： p r o p o s i o n 4 2l e ta = a vb ek ue x t e r i o ra l g e b r ao f m - d i m e n t i o nv e c t o r s p a c ev ，l e tm = a r i a ，b ) b e ai n d e c o m p o s a b l ek o s z u lm o d u l eo fc o m p l e x i t y t w o ，t h e nf o rt 0 ，借mh a sac y c l i cf a c t o rm o d u l el s u c ht h a t 0 _ _ n m _ 工_ o i sar e l a t i v ee x t e n s i o n ，l 笺a ( a ，b ) ，a n dni sak o s z u im o d u l eo fc o m p l e x i t y o n p w eh a v ef o l l o w i n gt h e o r e mf o rt h es y z y g ym o d u l e 付 彳： t h e o r e m4 6l e tm 掣a ( a ，b ) b eai n d e c o m p o s a b l ek o s z u lm o d u l eo f c o m p l e x i t yt w o o v e re x t e r i o ra l g e b r aa = a v ，t h e nf o rt 0 ，q 2 mh a sac y c l i c f i l t r a t i o n 0 n c n 1 n o = n 。m s u c ht h a tn o n 1 皇a ( u ，6 ) ，a n d n 4 + 1 掣a ( ) f o ri 0 i nf a c t ，f o ra n y b a s i s 嚣，) i nt h es u b s p a c el ( a ，b ) o f v ，w e h a v ea ( a ，b ) 型 a ( x ，y ) a sam o d u l e s s oi np r e p a r a t i o n3 3 ，w e m a yc h o o s et h eb a s e o f p o a n d p ls u e ht h a t ： a 1 b yt h es a m em e t h o do fp r o v i n gp r e p a r a t i o n3 , 3 ，w ep r o v et h em a t r i xa tc o r - r e s p o n d e dt ot h em a p a l s o h a st h ef o r m ： a t = z0 y z 0 y 000 o o 0 t h i sc a nb ee x p l a i n e d8 8t h ef o l l o w i n g ： t h e o r e m4 8l e tm 型a ( v 1b eai n d e c o m p o s a b l ek o s z n lm o d u l eo f c o m p l e x i t yt w oo v e re x t e r i o ra l g e b r aa a y ，t h e nf o ra n yb a s i sx ，) o fv a n dt 0 n m 。h a sac y c l i cf i l t r a t i o n 0 c n “c c n 1c n 0 = n m s u c ht h a tn o n 1 型a f t ，) ，a n d n i ”1 型a ( x ) f o ri 0 n o t et h a t n 1a n dn 4 1 a r ei n d e c o m p a s a b l ek o s z u lm o d u l e so fc o m p l e x i t y o l l ea n db y 1 9 i faa n dza r ei n d e p e n d e n t , e l e m e n tt h e na ( a ) a n da ( x ) a r en o ti s o m o r p h i c s ot h ec y c l i cf a c t o r si nt h ef i l t r a t i o no fn 1a n dn 1a r e u n i q u e o nt h eo t h e rh a n d ，f o ra n yz v ，w eh a v eaf i l t r a t i o nw i t ham a x i m a l s u b m o d u l ef i l t e r e db ya ( x ) n o t i c et h a tt h em a t r i x ( 2 ) h a v ean i c e f o r m ，i t s h o u l dh a v es o m ee x p l a i n a t i o nf o rt h ec o r r e s p o n d i n gm o d u l e s o m ew o r ki s r e c e n t l yd o n eb yg u oa n do t h e r s 2 3 】 k e yw o r d s ：e x t e r i o ra l g e b r a ；k o s z u lm o d u l e ；s y z y g ym o d u l e ；c o m - p l e x i t y ；m i n i m a lp r o j e c t i v er e s o l u t i o n ；f i l t r a t i o n 塑童堑苎查兰丝圭兰竺童圭 ：! ： 第一章引言 外代数，也称交错代数和c - r a s s m a n i l 代数，是g r a s s m a n n 在1 9 世 纪4 0 年代发现的定义在一个向量空间v 上的代数它的出现直接 推动了一般代数理论的出现和发展一百七十多年来，这一代数及 其理论得到了广泛的应用和不断的发展，在工程物理和微分几何、 代数几何、拓扑学等许多数学领域都有广泛而又深入的应用，如著 名的d er h a m 上的上同调理论、微分形式的计算和研究、张量分 析、矩阵的行列式计算问题等等( 1 2 3 】) 现在外代数也开始在代数 几何、量子群等前沿数学领域发挥重要作用( 见【4 5 【6 ) 在近年来的文献中可看到外代数在各个领域的应用，如( 【7 】) 中 郭仲衡用外代数的方法给出了主不变量表达式的系统形式推导， c a y l e y - h a m i t o n 定理的内蕴证明，牛顿公式的直接证明及主不变量导 数的直接证明在( 【8 ) 中，r a n 等用外代数来研究流形上的变分问 题等等 外代数在代数学研究中也是十分重要的，它可用于对主理想环 上模的研究( 9 ) ，对交换代数的研究( f l o ) ，群的研究( 【1 1 ) 射影空间 上凝聚层范畴是代数几何的重要研究对象，1 9 7 8 年，b e r s t e i n - g e l l a n d g e l f a n d ( 1 2 ) 建立了射影空间上的凝聚层的有界导出范畴d 5 ( c o h p 一1 ) 与外代数a v 上的有限生成分次模的稳定范畴g r m o d a v 之间的等 价，直接将外代数与代数几何的研究联系起来这些年来，人们将 这些范畴对应用k o s z u l 对偶的语言加以阐述，进一步揭示了b g g 对 应的重要意义，另一方面也显示了外代数的重要性 近年来，非交换代数几何的兴起，再次引起了人们对外代数的 关注，c r a w l e y b o e v e y 与h o l l a n d 将驯化型予投射代数的变形用于 k l e i n i a n 奇点解消的研究( 1 3 ) 郭和m a r t i n e z v i l l a 证明了这种子投 射代数的k o s z u l 对偶m o r i t a 等价于一个外代数的斜群代数( 【1 4 】) 后 湖南师范大学硕士学位论文 来，郭等用二维线性空间上外代数的斜群代数重新讨论了根三次方 为0 的驯化型自入射代数的理论( 1 5 ) ，在这一研究中k o s z u l 模起着 重要作用 虽然外代数历史悠久且应用广泛，其表示的研究工作所见不多， 其主要原因之一可能是因为大部分皆是所谓的”野”表示型代数， 即任意有限维代数模范畴可嵌入其模范畴 外代数是一类有限复杂度自入射k o s z u l 代数近年对自入射k o s z u i 代数的表示研究取得了新的进展，如( 1 6 1 7 ) r i n g e l ，m a r t i n e z v i l l a ， z a c h a r i a 证明了其分次a u s l a n d e r r e i t e n 箭图的稳定分支有z a o 。形 状m a x t i n e z v i l l a ，z a c h a r i a 还证明了某些有限复杂度自入射代数的任 意分次模皆可由k o s z u l 模逼近m 这一结果的外代数版本是e i s e n b u d ，f l o y s t a d ，s c h r e y e r 的定理，即外代数上任意的t a t e 分解的线性部 分最终是正合的( 1 e 1 ) 这些结果说明了k o s z u l 模在外代数和有限自 入射代数表示理论研究中具有重大意义 最近，郭，吴，万等人( 【19 ) 和e i s e n b u d ( 2 1 ) 独立地研究了外代 数上复杂度为l 的模，他们部分推广了遗传代数表示论中管范畴理 论，证明了复杂度为1 的k o s z u l 模处于齐次管上，共有p m 个正交 簇；郭，李，吴等( 【2 0 1 ) 证明了其中每一簇可等价于一个m 一1 元多 项式环上有限维局部幂零模范畴e i s e n b u d 主要用交换代数的方法 ( 2 1 ) ，而郭采用经典的表示论方法考虑模的极小投射分解中第一个 映射对应的矩阵的标准形最近，郭等对一般的k o s z u l 模得到了类 似的刻划( 2 2 ) ，而在( 2 3 ) 中，他们对一般的复杂度为2 的k o s z u l 模 给出了完整的刻划。 本文主要研究复杂度为2 的循环k o s z u l 模m 的合冲模，其动机 源自郭等人的方法的一个推广，考虑k o s z u l 模m 的极小投射分解； 一p t ( m ) 立一p i ( m ) 乌p o ( m ) 立m 一0 ( 1 ) 来确定 所对应的矩阵的标准形来研究相应k o s z u l 模的结构 湖南师范大学硕士学位论文 - 3 本文中，设k 为代数闭域，v 为k 上的i l l 维向量空间，a = a v 为 v 上的外代数，m 为外代数a 上复杂度为2 的不可分解循环k o s z u l 模，盯m 表示m 的第t 个合冲模 首先，我们从取定自由模的基出发，建立了极小投射分解( 1 ) 中 映射 与m 州) 。t ( y ) 中矩阵a 的对应关系，证明了适当选择( 1 ) 中 自由模p 。( m ) 的基，则a 具有形式 a t = 0 0 0 o 00 a o0ob ( 2 ) 其中n ，b 为v 中线性无关的向量，我们称具有( 2 ) 这种形式为双对角 形然后，我们发现可以用双对角形矩阵来研究相应k o s z u l 模的循 环子模与商模作为我们定理的一个重要预备引理，我们证明了：外 代数上复杂度为2 的不可分解循环k o s z u l 模m 的合冲模n t m ( t 1 ) 有循环商模l 使得：0 一一瞄m l 一0 为相对扩张正合列， l 竺a ( a ，6 ) 且n 为复杂度为1 的k o s z u i 模最后我们证明了外代数 上复杂度为2 的不可分解循环k o s z u l 模m 的合冲模讲m ( t 0 ) 有循 环滤链： 0 n 。c 一一c n 1 n o = q 。m 满足甜m n 1 皇a ( a ，6 ) ，当i 0 时，2 州兰a ( a ) 事实上，我们可以发现在 n ，b 张成的向量空间中任取一个基 协) ，则作为a 模，a ( a ，b ) 垡a ( z ，g ) 这样，我们可通过对p 0 ，p 1 的 基变换而使 a ，= f 茁1 y 于是同理可以证明五对应的矩阵a 。具有双对角形。 0 0 0 o 0 b 6 o 4湖南师范大学硕士学位论文 x0 y z 0 y 0 00 z 00 0 y 这一结果有一个很好的解释即设m 掣a l ( a ，b ) 为复杂度为2 的不可分 解循环k o s z u l 模，则对于 b 张成的向量空间中的任一个基 墨y 及任意t 20 ，n m ，t 0 有循环滤链： 0 n 2 1 n o = g l t m 满足讲m i n q 兰a l ( x ，g ) ，当i 0 时，2 m 型a ( x ) 我们注意到，当n 与z 线性无关时a ( 。) 与a i ( z ) 不同构1 9 1 而n 1 与q 是复杂度为1 的不可分解的k o s z u | 模，一方面1 与n 1 的滤链中出现的循环k o s z u l 模是唯一的；另一方面，对中每一个 x 0 ，我们都有一个”，其滤链中出现的循环模恰为a ( x ) 最后， 我们的矩阵( 2 ) 有很好的形式，亦应有一个相应的关于模的解释，郭 等人在最近的工作中有一个一般的结论f 2 3 j o 0 0 0 0 z 湖南师范大学硕士学位论文 第二章预备知识 本文假设k 为代数闭域，v 为k 上m 维向量空间，t ( v ) = ( 丑v o ( v o v ) o 为v 的张量代数，外代数a = h ( v ) 定义为t ( v ) 的商代数a = t ( v ) i ，其中，为由忙ox l x y ) 生成的理想易知 若 ，w 。) 为v 的一组基，则a = a ( v ) = o 翟o a ；其中a 。为 以 。v j ，1 1 j 1 j 2 j i m ) 为基的向量空间，d i m a ，= c 故a 为有限维代数，d i m a = 2 m 设a 为分次代数，m = 老里。舰为分次a 一模，对于任意整数n ， 定义s h i f t 模m n 】= 善。m i n i ，其中m n l 。= m n + p 1 则作为a 一模 m n 】竺m 用g r m o d a 表示分次a 模范畴，对象集为有限生成的分次 模全体，态射均为0 次模同态则在g r m o d a 中： ( a ) 若存在t o 满足t t 。时，m = o 且m = a 帆，则称m 为由t 。 次生成的 ( b ) 若m 的投射分解： 一p t ( m ) - l 一p i ( m ) 乌p o ( m ) 卫m 一0 ( * ) 满足i r n f t r p “1 则称此分解为极小投射分解 ( c ) 若m 为i 次生成的且有投射分解： 一p t ( m ) 乌一p i ( m ) 乌p 0 ( m ) 立m 一0 满足p ( 兰0 ) 为t + i 次生成的投射模，则说m 有线性分解 若m 为0 次生成的且m 有线性分解，称m 为k o s z u l 模 ( d ) 若m 的极小投射分解为( + ) 则m 的复杂度c a m 定义为 c a m = i n f d z d i m p 。a t 4 1 ，j r ，v t o ) 由定义可知，k o s z u l 模的线性投射分解是它的极小投射分解 有线性分解的模均为s h i f tk o s z u l 模 没a 为任意代数，a 为a 一模，p 上a 为a 的投射盖，定义a 的 合冲模n a = k e r f ，即映射，的核对于t 2 ，定义甜a = q ( q “1 a ) ， 对于t = o ，定义n o a = a 设a = o 函几为分次代数，a o 垒皂兰生奴1 1 i n ) 为a 上 n 的n 个单模，则任意有限生成的a 一模m 均有合成列； 0 = 珥晒m o = m 用m ，表示 m j 一，尬i l j r ) 中同构于s 。的个数 定义：d i m m = ( m 1 ，) 对于自入射代数来说我们有； 命题2 1 设a o 娶。几，m 为由t o 次生成的有限生成分次a 一模，若 m 无投射直和项，则r m m = 0 且m = 尬。+ m , o + 1 + + 舰0 + 1 m = 臌d i m ( r hd i 苎m m t o ，) 一1 ) m + m l l = m一1 碟0 c 翟一1 1 oo oo割 湖南师范大学硕士学位论文 7 设 1 0 时，n n m 掣a ( b ) 证明：由命题4 2 与命题4 51 ) 可得 由文献【1 9 l ，我们知道，当n 与b 线性无关时，a ( n ) 与a ( b ) 不 同构，故由定理4 6 与定理4 ，7 知科m 的循环滤链不唯一 下面我们有更为一般的结论： 定理4 8 设m = a i ( v ) 为外代数上的复杂度为2 的不可分解循 环k o s z u l 模，z ，y 为的y 任意一组基，则甜u ( t 0 ) 有循环滤链： 0 n “c 一- 冬7 1 n o = q m 满足硝m n q 型a ( 。，f ) ，当i o 时，o 1 型a ( z ) 证明：由推论3 4 我们知道，双对角形a 中的元素。，b 是y 的一组 基，现设。，y 为的任意一组基，则在预备定理3 3 的归纳证明中， 适当改变p 1 m 的基，a 。有形式 扯( 。y ) 相应地我们可得双对角形矩阵 a l = $0 y z 0 y 000 0 o o 采取前面类似的方法有此命题成立 参考文献 杜询：现代数学引论，北京大学出版社 m a d s e n ia n dt o r m e h a v e ，j ：n o mc a l c u l u st oc d h o m u l o g y - d er h a m ( ：o h o - m o l o g ya n dc h a r a c t e r i s t i cc l a s s e s ，c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s1 9 9 7 ( 清华大学 出版社影印) b o u r b a k i ，n ：e l e m e n t so fm a t h e m a t i c sa l g e b r a ：m u l t i l i n e a ra l g e b r a ，a d d i s o n w e s l e y , 1 9 9 6 ，c h a p t2 e i s e n b u d ，d ，p o p c s c u ，s ，s c h r e y e r ，f a n dw a l t e r ，c ：e x t e r i o ra l g e b r a m e t h o d sf o rt h em i n i m a lr e s o l u t i o nc o n j e c t u r e p r e p r i n t ，m a t h a g0 0 1 1 2 3 6 ，见 h t t p ：a r x i v o r g d m i t r ii p a n y u s h e y ：t h ee x t e r i o r a l g e b r aa n d ”s p i n ”o fa no r t h o g o n a lg - m o d u l e t r a n s f o r m a t i o ng r o u p s ，6 ( 2 0 0 1 ) ，3 7 1 3 9 6 h e c k e n b e r g e r ，i ，s c h u l e r ，a ：e x t e r i o ra l g e b r a sr d a t e dt ot h eq u a n t t mg r o u p o ( o q ( 3 ) ) p r e p r i n t ，m a t h 。q a9 8 0 8 0 8 6 ，见h t t p ：l a r x i v o r g 郭仲衡，张量运算的外代数方法，数学进展，1 9 9 1 ，2 0 ( 3 ) ：3 3 5 - 3 4 3 a n ，r ，t u ，z c ：t h ea p p l i c a t i o no fe x t e r i o rd i f f e r e n t i a lf o r m si nv a r i a t i o n a l p r o b l e m so nm a n i f o l d s p r e p r h x t 、m a t h 、m p0 3 0 7 0 0 7 ，见h t t p ：a r x i v o r g b o u r b a k i ，n ：e l e m e n t so fm a t h e m a t i c sa l g e b r a ：m o d u l e s ，r i n g s ，f o r m s ，2 a d d i s o n - w e s l e y , 1 9 7 5 ，c h a p t ，4 ，5 ，6 n i l s s o n ，a ，s n e l l m a n ，3 ：l i f t i n gg r o b n e rb a s e sf r o mt h ee x t e r i o ra l g e b r a c o m m a l g e b r a ，v o l3 1 ，i s s u e1 2 ，2 0 0 3 ，p p5 7 1 5 - 5 7 2 5 d m i t r ii p a n y u s h e y ：t h ee x t e r i o r a l g e b r aa n d ”s p i n ”o fa no r t h o g o n a lg - m o d u l e t r a n s f o r m a t i o ng r o u p s ，6 ( 2 0 0 1 ) ，3 7 1 3 9 6 b e i l i n s o n ，g e l f o n d ，g e l f a n & a l g e b r a i cb u n d l e so np - a n dp r o b l e m so fl i n e a r a l g e b r a ，f u n c t a n a l a n di t sa p p l 1 2 ( 1 9 7 8 ) 2 1 4 - 2 1 6 c r a w l e y - b o e v e y , w ，h o l l a n d ，m p ：n o n c o m m u t a t i v ed e f o r m a t i o n so f k m n i a ns i n g u l a r i t i e s ，d u k ej m a t h ，v 9 2 ( 1 9 9 s ) 2 5 1 2 8 9 ， o u o ，jy ，m a r t i n e z v i l l a ：a l g e b r ap a i r sa s s o c i a t e dt om c k a y q u i v e r s ，c o m m a l g e b r av 0 1 3 0 ( 2 0 0 2 ) ，n o 2 ，1 0 1 1 0 3 2 g u o ，j y ，y u ，d a n dz h u ，c ：s e l f i n j e c t i v ek o s z u la l g e b r a so ff i n i t ee o l t l p l e x i t y , p r e p r i n t r i n g e l ，c m c o n e s ：r e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo fa l g e b r a s ，c m sc o n f e r e n c ep r o - c e e d i n g sv o l1 85 8 7 - 6 0 1 叫珥 劫 q 目 叫 训剐 创 m u 他 ” m 1 7 m a r t i n e z v i l l a ，r a n dz a c h a r i a ，d ：a p p r o x i m a t i o n sw i t hm o d u l e sh a v i n g l i n e a rr e s o l u t i o n s ，j a l g e b r a2 6 62 0 0 3n o2 ，6 7 1 6 9 7 1 8 】e i s e n b u d ，d ，f l o y s t a d ，g ，s c h r e y e r ，f ：s h