（基础数学专业论文）正交模格上的代数性质.pdf

云南师范大学硕士学位论文 摘要 本文的主要内容包括三个部分，主要是在正交模格的基础上进行了一系列代数 性质的讨论 第一部分，介绍正交模格簇v ( m 0 2 ) 的一些概念及性质 第二部分，( 1 ) 引入t 算子t 和其关联算子； ( 2 ) 2 提出正交模格上的一类新的代数结构，称之为弱b l 代数； ( 3 ) 引入s 算子s 和其逆关联算子v ； ( 4 ) 提出另一类新的代数结构，称之为弱b l 对偶代数 第三部分，主要是总结几类常见的代数系统- - h e y t i n g 代数，拟h e y t i n g 代 数，弱b l 代数和正交模格之间的相互关系 关键词：正交模格簇弱b l 代数弱对偶b l 代数 云南师范大学硕士学位论文 i i a b s t r a c t t h ep a p e rc o n s i s t so ft h r e ep a r t s i td i s c u s s e ss o m ea l g e b r a i cc h a r a c t e r s ，w h i c h a x eb a s e do nt h eo r t h o m o d u l a rl a t t i c e i nt h ef i r s tp a r t ，w ei n t r o d u c es o m ep r o p e r t i e so ft h ev a r i e t yv ( m 0 2 ) o nt h e o r t h o m o d u l a rl a t t i c e i nt h es e c o n dp a r t ，w er a i s eo n ek i n do fn e wa l g e b r aa n dw en a m ei tt h ew e a k - b l a l g e b r ab yq u o t i n gt h e o p e r a t o rta n di t sr e l a t e do p e r a t o r o nt h eo r t h o m o d u l a r l a t t i c e s a m e l y , w er a i s et h eo t h e rk i n do fa l g e b r aa n dw en a m ei tt h ew e a k d u a l ，b l a l g e b r ab yt h eso p e r a t o rsa n di t si n v e r s er e l a t e do p e r a t o rvo nt h eo r t h o m o d u l a r l a t t i c e i nt h et h i r dp a r t ，w es u m m a r i z et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ea l g e b r a i cs y s t e m s ： h e y t i n ga l g e b r a ，q u a s i h e y t i n ga l g e b r a ，w e a k - b la l g e b r aa n do r t h o m o d u l a rl a t t i c e k e yw o r d sa n dp h r a s e s ：o r t h o m o d u l a rl a t t i c ev a r i e t y w e a k - b la l g e b r a w e a k - d u a l b la l g e b r a 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进 行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除文中已经标 明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发 表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：吕映；左 谳年s 月i o 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文 的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论 文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权云 南师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存和汇编本学位论文。 学位论文作者签名：映j 乞指导教师签名：方乏坦( 移 云南师范大学硕士学位论文 引言 由于量子力学推理模型可用正交模格逼近，所以正交模格与量子力学推理逻 辑有着十分重要的联系因此，国内外的泛代数及格论专家非常关注这一领域的研 究，尤其是近2 0 年来，成果颇多 d jf o u l i s 1 】和gb i r k h o f f 2 早在上世纪6 0 年代就已经开始了对正交模格的 研究，随后g b r u n sa n dg k a l m b a x ：h 3 1 提出了自由正交模格的概念g b r u n s 4 ，5 又系统地提出了正交模格中块的定义，得到了正交模格的直积分解表达式及其他一 些重要性质。m h a v i e r 等人 6 , 7 则以c l a r k ，d m 和d a v e y , b a 等人的有关泛代 数的结果为工具，研究了代数簇v k 0 。( 由高为2 的正交模格m 0 2 生成的代数簇) 中具有n 个生成元的自由正交模格f m o ：的代数性质，得到了如下重要结果： f m 0 2 掣f b ( 孔) ( m 0 2 ) 9 ( 川， 及其他一些结果1 9 9 8 年，w d m i l l e r 在国际权威杂志i n t e r n a t i o n a lj o u r n a l o ft h e o r e t i c a lp h y s i c s 上发表文章，提出了正交模格上的拟h e y t i n g 代数概念， 并讨论了它的性质及应用，详细的论述可见 8 本文的目的是在【8 】的基础上，进一步探讨正交模格上的代数结构 本文的主要结果是提出了弱b l 代数，弱对偶b l 代数概念，即2 的定义2 6 与定义2 1 7 ，并证明了这些代数结构具有的一系列性质其中还证明了这些代数结 构的一个重要性质，即算术性 本文2 中的内容，除了注明引文的内容外，均属本人的研究结果 1 云南师范大学硕士学位论文 1 正交模格簇v ( m 0 2 ) 1 1 预备知识 本节我们给出一些关于簇，项代数和自由代数的基本理论作为后面内容的预备 知识，这些概念及性质主要引自 1 4 定义1 1 设f 是由有限个函数运算符号构成的集合，4 是非空集，我们说 a 是塑为f 的代数，若对于v ，f ，由，可定义a 上的一个n 元运算，4 ， n 0 并称严是a 上的一个n 变元运算，称，是n 元运算符号当n = 0 时， 把a 上的零变元运算看作是a 的一个元素f 称为a 的型，r 表示a 中所有 的n 变元运算符号之集特别的，f o 是零变元运算符号之集 注1 显然，f = f o uf 1uf 2 u - u r 例1 设g 是一个群，则g 有一个二元运算0 ，一个一元运算即g 的元素的 逆运算一1 ，个零元运算即g 的单位元e 所以，g 的型是f = 0 ，一1 ，e ) 定义1 2 设a l 和4 2 是两个同型的代数，定义直积a l a 2 是以a l a 2 为 论域的代数，其中a 1 a 2 上的运算，山“z 定义为f a tx a 。( ( o i ，b 1 ) ，( a 。，k ) ) = ( f a ，( a l ，o 。) ，4 2 ( b l ，6 。) ) ，而，4 是a 。上的任一个运算，1 isn 定义1 3 代数a 是代数集( a i ) i 1 的次直积，若( 1 ) as 兀a ；，即a 是 n a 的子代数，( 2 ) 7 r i ( a ) = a ；，v i i 嵌入a ：a n a 是次直积的，若q ( a ) 是( a ) 科的次直积，t i 定义1 4 设k 为一同型的代数类，4 为一代数，则定义 a 日( ) 当且仅当a 是耳中某元素的同态象 a j ( k ) 当且仅当a 同构于k 中某元素 a s ( k ) 当且仅当a 是k 中某元素的子代数 a p ( k ) 当且仅当a 是k 中代数的非空集的直积 2 云南师范大学硕士学位论文 a 只( ) 当且仅当a 是k 中代数的非空集的次直积 定义1 5 非空代数类k 被称为簇，若关于子代数，同态象和直积运算均 是封闭的 定义1 6 若k 是同型的代数类，则v ( k ) 表示包含k 的最小簇v ( k ) 称 为由生成的一个簇 引理1 7 下列不等式成立；s h 日s p s s p , p hs 日p 且运算h ，s 和p 是幂等的 定理1 8v = h s p 证明因为h y = s v = i p v = k i v ，所以h s p h s p v = v 又由引理1 7 ，h ( h s p ) = h sp s ( h s p ) sh s s p = h s p , p ( 日s p ) h p s p h s p p h s i p i p = h s i p h s h p h h s p = h s p ，所以对k ，h s p ( k ) 在日，s 和p 下是封闭的。 又v ( k ) 是包含耳的最小簇且在圩，s 和p 下是封闭的， 因此有v = h s p 定义1 9 一个代数a 叫做是平凡的，若4 只含一个元素，即l a i = 1 注2 设a 是一个代数，在后面，我们用c o n a 表示a 上的同余关系构成的 格，称为a 的同余格。a 表示a 上的最小同余关系 ( n ，a ) r a a ) 定义1 1 0 代数a 是次直积不可约的，若对每一个次直积嵌入o ：a 一兀a 存在一个i j 使得丌 。a ：a a ；是一个同构映射 定理1 1 1 代数a 是次直积不可约的当且仅当a 是平凡代数或者在c o n a 一 ) 上存在一个最小的同余关系n ( c o n a 一 ) ) 定义1 1 2 设x 是一个由变量所组成的集合，f 是代数的型，x 上型为f 的项集合t ( x ) 是满足以下条件的最小集合： 3 云南师范大学硕士学位论文 ( i ) x u f oct ( x ) ，( 2 ) 若p 1 ，p n 丁( x ) ，f f ，0f ( p l ，p n ) t ( x ) 定义11 3t ( x ) 的元素称作项，若p t ( x ) ，用p ( 。l ，x ) 表示项p 的变 量是z 。，1 isn ，z 。x 注3 若4 是一个型为f 的代数，则由t ( x ) 的项p ( z 1 ，z 。) 可以定义a 上 的一个n 元运算，即可定义a 上的运算f a ( p ( 。，n 。) ，砖a 一，n 。) ) a 例2 实数环兄上的多项式环r x 是以z 为变量的与r 同型的项代数 注4 设k 是一个型为f 的代数类，即中的元素是同型的代数于是，型为 f 的项代数具有一致性的性质，即存在变量集x 及项代数t ( x ) ，使得v a k ， 都存在同态映射n ：t ( x ) 一a ，但是未必属于，这是很不方便的而下面构造 出来的自由代数r ( x ) 则具有性质r ( x ) i s p ( k ) ，这是一个很好的性质 定义1 1 4 一个簇v 称作是算术的，若存在一个项函数p ( z ，y ，z ) t ( x ) ， 使得y 中任一个代数a ，映射p ( x ，y ，z ) ：a 3 一a 满足p ( z ，y ，y ) = p ( x ，y ，z ) = p ( y ，y ，z ) = x ，妇，z a 定义1 1 5 给定型f 和集合x ，若t ( x ) 0 ，则t ( x ) 称为是型为f 的x 上的项代数t ( x ) ，它的基本运算满足f t ( 。) ：( p 1 ，p n ) 一f ( p 1 ，m ) ，其 中f f 二，p t ( x ) ，1 i n 定义11 6 设是一个型为f 的代数类，x 为一变量集，定义t ( x ) 上的 同余关系巩( x ) 为o k ( x ) = n 圣r ( x ) ，其中钆( x ) = 妒e c o n t ( x ) ，丁( x ) 妒 j s ( ) ) ) 定义r ( x ) 为r ( 叉) = t ( x ) o k ( x ) 且x = x o ( x ) = 面k 硼， 其中百为五的等价类，x 称为f 女( - z ) 的生成集，称氕( 两为x 上的自由代数 注5自由代数的概念看起来是抽象的，但是，若包含了所有同型的代数， 则自由代数瓦) 与项代数t ( x ) 是同构的因为此时对v 妒c o n t ( x ) ，条件 t ( x ) i s ( k ) 一定能够满足，因此o u ( x ) = a ，故t ( x ) o n ( x ) = t ( x ) a 垒 4 云南师范大学硕士学位论文 定理1 t 7 设t ( x ) 存在，则对k o ，凡( x ) i s p ( k ) ，若k 在，s 和尸 下是封闭的特别的，若k 是一个簇，则r ( 叉) k 这一节讨论正交模格的一些性质 定义l1 8 4 若格( l v ，a ，0 ，1 ) 满足条件： ( 1 ) v a l ，存在o l 满足n aa = o ，a va = 1 ； ( 2 ) ，是一个逆序对合对应； 则称( l ，v ，a 。，0 ，1 ) 是正交模格条件( 3 ) 称为正交模律 定义1 1 9 1 4 i 设l 是正交模格，a 是l 的一个有限子集，定义c ( a ) = vc 。嘶，其中。c n ，为特征函数，即a c a ，= ：。a 譬e 。a ，且对v n ea ，定 义a 1 = a ，a o = a ，2 4 为j 4 的幂集，则称c ) 为集合a 的换位子 例1 设l 是正交模格，a = o ，b ) cl ，则2 4 = o ， 。) ， 6 ) ，a ) 。 当n = a ) 时，a a 。( 。) = a ab ； 当a = 6 ) 时， 6 严( 。) = n a6 ，； 所以c ( a ) = c ( a ，6 ) = ab ) v ( a ia 6 ) v ( a a6 7 ) v ( 一ab ，) 注在正交模格l 中，设a ，b l ，则工的子格 o ，a ，a ，b ，6 ，1 ) 构成一个正 交模格，记为m 0 2 ，且m 0 2 的高度为2 ，有4 个原子a ，a i ，b ，b 7 ，如图所示 5 云南师范大学硕士学位论文 v ( m 0 2 ) 表示由m 0 2 生成的代数簇，仉( n ) 表示具有n 个生成元的簇v ( m 0 2 ) 上的自由代数，即f m o ：) = f v ( m o ：) m ) 定义1 2 0 6 ，设工是正交模格，a ，b l ，若a = ( nab ) v ( oab ) ，则称。 与b 相容，记为a b 性质1 2 1 g i 正交模格l 中，若a b ，则有b a ，a 7 一b 命题1 2 2 簇v ( m o k ) 是次直积不可约的 证明 设日c o n m o k ，( a ，b ) ep 且a b ，即口 由( a ，b ) 口可知( a ，6 ，) 日又( a ，a ) 日，故( a ，6 ，) v ( a ，a 7 ) = ( a 7 ，1 ) 目 由( a ，b ) 口及( a ，a ) p 得( a ，b ) v ( 。n ) = ( a ，1 ) 目 由( a ，1 ) 目及( a ，1 ) p 得( a 7 ，1 ) a ( a 1 ) = ( 0 ，1 ) 日同理( 0 ，1 ) 口 于是，对v ( z ，y ) m o k ，有( z ，g ) = ( o 1 ) v ( z ，。) 1a ( 1 ，0 ) v ( y ，) 1 目 所以目= m o kxm o k ；v 故c o n m o k = ，v ) 再由定理1 1 1 知，m o k 是次直积不可约的 6 云南师范大学硕士学位论文 正交模格的代数结构及性质 2 1 正交模格上关联算子的性质 对于正交模格的定义，我们已经在5 1 2 中给出，下面给出几个我们这节所用到 的概念 定义2 1 设工是格，对v a ，b ，c l ，若二元运算t ：l l 一己满足下列条 件： ( 1 ) 若b 墨c ，则a t b sa t c ；( 2 ) a t l = a ， 则称丁为t 算子 对于t 算子，若二元运算：l l l 满足下列条件； ( 3 ) 当b c 时，a a bsa a c ；( 4 ) a t ( a a b ) b ； ( 5 ) a a ( a t b ) b ， 则称是t 的关联算子 注1 定义2 1 与其它文献中的定义区别在于定义2 1 不要求丁满足结合律， 而其它文献一般都要求t 满足结合律 定义2 2 设l 是完备格，称上的t 算子r 是l 上的保并算子，若v a l ， 对任意的g = b d b 。l ，i n cl ，等式a t ( v b t ) = v ( a t b t ) 成立，并记之 为a t ( v a ) = v ( a t g ) 由上面两个定义，我们得到完备格上的f 算子和关联算子之间的联系，即： 引理2 3 设l 是完备格，且l 上的t 算子满足条件a t o = o ，v a l ，则t 保并当且仅当丁算子存在关联算子 证明必要性： 由于三是完备格，记h ( a ，砷= v z l 。t z 6 ) ，v ( 。，b ) l l 当b c 时，h ( a ，6 ) 日( n ，c ) 显然成立( 1 ) 7 云南师范大学硕士学位论文8 又a t h ( a ，b ) = a t ( v x l a t x 6 ) = v a t x l a t x b z l ) b ( 2 ) 由a t b a t b 知b z l 。l a t x a t b ， 所以日( n ，a t b ) = v x l x l a t x a t b ) b ( 3 ) 记a & b = h ( a b ) ，则由上面( 1 ) f 2 ) 及( 3 ) 可知，是丁的关联算子 充分性： 设关联算子存在，设gcl ，若g = 0 ，则v g = v 0 = 0 ， 所以a t ( v a l = a t o = 0 而v ( a t g ) = v ( a t o ) = v o = 0 ，所以a t ( v g ) = v ( a t g ) 若g 0 ，令g = b d b i l ) ，则6 。sv g 所以对口l ，由t 算子t 的性质知n t 钆sa t ( v g ) ， 故v ( a t b i ) 曼a t ( v g ) ，即v ( a t g ) a t ( v g ) 反过来，记q = x l x l ，a t x v ( a r b i ) 显然gcq ，所以v g v q 因为关联算子存在，应用定义2 1 能够证明v q = a a ( v ( a t b ，j ) 再由t 的保序性质及a t ( a a b ) b 得 a t ( v g ) a t ( v q ) = a t a a ( v ( a t b i ) ) ) v ( a t b i ) ， 即a t ( v g ) v ( a t g ) ，故a t ( v g ) = v ( a t 6 ) ，从而丁保并 注2 命题2 3 与其它一些文献的类似结果是不同的，因为在本文中，不要求 算子r 具有结合律 命题2 4 在正交模格( l ，v ，a ，0 ，1 ) 上定义二元运算a t b = a a ( d ，v b ) ，a a b = v ( a ab ) ，则是t 的关联算子 证明( 1 ) 若b sc ，贝0a t b = n a ( d vb ) n a ( a 7 vc ) = a t c ( 2 ) a t l = a a ( a i v l ) = a a l = n ( 3 ) 若b c ，则a a b = a 7 v ( n ab ) d 7 v ( a ac ) = a a c 云南师范大学硕士学位论文 9 ( 4 ) 由正交模律知，a t ( a a b ) = a t ( a v ( a a6 ) ) = oa ( a v ( a v ( a a6 ) ) ) = a a ( a v ( a a6 ) ) = 0 7 v 扣 v6 ，) ) = ( a v6 ，) 7 = a ab b ( 5 ) 由正交模律知，a a ( a t b ) = a a ( a a f v6 ) ) = n v ( o aa a f a v6 ) ) = a t v ( a a ( a t vb ) ) = vb b 由定义2 1 知，是t 的关联算子 由引理2 3 ，可以知道正交模格上定义的t 算子丁保并 在正交模格上找到t 算子和其关联算子以后，我们还可以得到下面的结论 命题2 5对于命题中2 4 中定义的r 运算和运算，下列条件等价： ( 1 ) a b ； ( 2 ) c ( a ，b ) = 1 ； ( 3 ) a t b = n ab ； ( 4 ) a a b = a vb 证明( 1 ) 辛( 2 ) ：若a b ，则由性质1 2 l 知道，a 一b 所以a 7 = ( a 7 ab ) v ( a ab ) ，故c ( n 6 ) = m b ) v ( nab ) v ( a a6 ) v ( a 7a ) = c t va = 1 ( 2 ) 号( 1 ) ：由于c ( a ，b ) = ( n ab ) v ( nab 7 ) v ( a 7 a6 ) v ( n b 7 ) = 1 ， 所以a 7v ( o ab ) v ( a a6 ，) v ( a 7 ab ) v ( a a6 ，) 】= a 7v1 = 1 ， 由格的吸收律得，a i v ( a a b ) v ( a a b ) = 1 ，故a a a 7 v ( a a b ) v ( a a b ，) = a a l = n 从而有a v 【a a ( a 7 v6 ，) a ( 。v6 ) 】= o ( ) 又a vb a ，n vb a 7 ，所以( a v 6 ，) a ( a v6 ) a 再由正交模律，( + ) 式可化为( a vb ，) a ( a v = ， 所以a = ( a 功v ( 口a6 ，) ，即a b ( 2 ) 等( 3 ) ：设c ( a ，6 ) = l ，则口= ( ab ) v ( n ab ，) ， 云南师范大学硕士学位论文 所以a t b = a a ( a 7vb ) = ( o ab ) v ( a a6 ，) a ( o v 6j = o ，b 因为a ab 7 a v6 ，由正交模律， ( aab ) vi ( 0 7vb ) a ( aa6 ，) ， = a 7v6 ，= ( a a6 ) 7 ( 3 ) 辛( 4 ) ：若a t b = aab ，则由正交模律，aa ( o vb ) = aab ) ， 则a a b = a 7 v ( a ab ) = a v ( a a ( a v6 ) ) = a vb ( 4 ) 寺( 3 ) ；若a a b = a 7 v ( a ab ) = a vb ， 则a t b = a a ( a 7 vb ) = a a ( a v ( a a6 ) ) = 【0 7 v ( a a ( a v6 ，) ) 7 = ( a 7 v6 ，) = a ab ( 3 ) 辛( 1 ) ：若a t b = a ab ，即a a ( a vb ) = a ab ， 则由正交模律，( a ab ) v ( aab ，) = 【a a ( a 7v6 ) 】v ( nab ) = a ，即a b 2 2 正交模格上的弱b l 代数 上一节，我们找到了正交模格上t 算子丁和其关联算子，那么我们还可以 通过t 和，寻求正交模格上的一些代数性质 b l 代数是近年来国内外数理逻辑专家普遍关注及研究的一个代数结构，比如 文献 1 0 ，1 7 1 由于在定义2 1 中，r 算子不要求满足结合律，所以本文放弃b l 代 数中r 算子满足结合律的条件，提出了一类新的代数结构，称之为弱b l 代数，并 得到了这一代数结构的许多比较好的代数性质 定义2 6 设( l v ，a ，+ ，一) 是一个代数，若满足下列条件： ( 1 ) ( l ，v ，a ，0 ，1 ) 是有界格； ( 2 ) a c b 营c a b ； ( 3 ) a ( a b ) = a ab ； ( 4 ) ( a 一6 ) v ( b a ) = l ， 则称( l ，v ，a ， ，一) 是一个弱b l 代数 1 0 云南师范大学硕士学位论文 1 1 对于定义2 1 中所定义的算子t 及，有下面比较好的性质 命题2 7 设l 是正交模格，则( l ，v ，a ，t ，0 ，1 ) 构成一个弱b l 代数，其中 丁与的定义见命题2 4 证明( 1 ) 显然( l ，v ，a ，0 ，1 ) 是一个有界格 ( 2 ) 若a t c = a a ( a 7 vc ) sb ， 则由正交模律，a a b = a 7 v ( a ab ) a 7 v f a aa a ( a vc ) ) = d v f o a ( a 7 vc ) ) = a 7 vc 三c 反过来，若a a b = a i v ( a ab ) c ， 则由正交模律得，a t c = 口a ( a i vc ) 曼a h f v a6 ) ) = f v ( a a v6 ，) ) 7 = ( 0 7 v6 ，) 7 = 口ab 6 ， 即a t c sb 兮c sn b ( 3 ) 由正交模律得，a t ( a a b ) = a t ( a v ( a ab ) ) = a a ( a va v ( a 6 ) ) = a a ( a v ( a a b ) ) = f a t v ( n ( 口v b ) ) = ( o v b ) = a a b ( 4 ) ( a z b ) v ( b a a ) = a v ( a ab ) v6 ，v ( b aa ) = a 7 v ( a ab ) v b 7 = ( a a6 ) v ( a ab ) = 1 由定义2 6 知，( l ，v ，a ，t ，0 ，1 ) 是一个弱b l 代数 有了命题2 7 的结论，我们就可以得到如下的性质 性质2 8 对于正交模格上的弱b l 代数，具有下列性质； ( 1 ) a t o = 0 ，a a 0 = n 7 ，o t a = 0 ，o a a = 1 ； a t l = n ，1 t a = a ，a a l = 1 ，1 a a = 口； a t a = a a a a = 1 ( 2 ) a t b a ，a a b 0 ， ( 3 ) a t b a ab ，a a b 口ab 云南师范大学硕士学位论文1 2 ( 4 ) a t b = 0 当且仅当a 茎6 ， ( 5 ) a t a 7 = 0 ，a a a = a ( 6 ) a t ( b vc ) = ( a t b ) v ( a t c ) ( 7 ) a a ( b ac ) = ( a a b ) a ( a a c ) ( 8 ) a t ( b a a ) = a ，a a ( b t a ) = a a b ( 9 ) ( a t b ) a a = 1 ，( a a b ) t a = a ab ( 1 0 ) b a 时，a t b = b ，b a a = 1 ( 1 1 ) ( a t b ) t a = a t b t b = a t b ， ( a a b ) a a = a ， a a ( a a b ) = a a b ( 1 2 ) a a b = v h ，h = v x l a t x ” 证明( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 及( 5 ) 显然成立 ( 4 ) a t b = a a ( a vb ) = 0 当且仅当a vb a 当且仅当a 7 b 当且仅当a b ( 6 ) 因为a t ( b v c ) d 当且仅当b vcsa a d 当且仅当a a d b 且a a d c 当且仅当a t b sd 且a t c d 当且仅当( a t b ) v ( a t c ) sd ， 所以a t ( b vc ) = ( a t b ) v ( a t c ) ( 7 ) 因为d sa a ( b ac ) 当且仅当a t d b ac 当且仅当a t d sb 且a t d c 当且仅当dsa a b 且d a a c 当且仅当d ( a a b ) a ( a a c ) 所以a a ( b ac ) = ( a a b ) a ( a a c ) ( 8 ) o t ( b a a ) = a t b v ( 6 a n ) = o 【o v6 ，v ( 6 ao ) 】 = a a 【( o a6 ) v ( a a6 ) = a a l = a ； a a ( b t a ) = a a ( b a ( b ，vn ) ) = n ，v ( n b a ( b ，v 口) ) ； 云南师范大学硕士学位论文 因为o 6sq a v6 ，所以a l x ( b t a ) = q 7v 托 6 ) = q 6 。 ( 9 ) ( a t b ) x a = ( o a ( n 7 vb ) l a = 【n a ( 0 7 vb ) 1 7 v 陋x ( 。7 vb ) a0 1 = k ( n 7 vb ) 1 7 v a ( 。7 v6 ) = 1 。 ( a b ) t a = ( n 7 v ( o b ) ) r a ；【0 7 v ( 口a6 ) 】x ( 陋a ( n 7 v6 ，) | vn ) = 陋7 v o a6 ) 1 。， 因为o n 7 v6 ，所以由正交模律，n 7v n ( 口7 v b ，) = n 7 v6 ，= ( a a b ) 7 ， 故f a a b ) t a = o b 。 ( 1 0 ) b n 时，则n 7 6 7 ，由正交模律， a t b = o a ( 。7 v6 ) = 【n 7 v ( 。x6 ，) = ( 6 ) 7 = 6 ， b a a = b v ( b x 8 ) = b vb ；1 ( 1 1 ) ( a t b ) t a = 0 ( 口v6 ) 】丁n = n ( o v 砷 【口v ( o b ) v n = 口 ( n 7 vb ) 1 = 。 ( o v = a t b ， ( a t b ) t b = 【n ( 0 7 vb ) l r b o ( vb ) 【o ，v ( n ) v 翻 = 。 ( 0 7 vb ) 【( n 扫，) 7 v ( o ) 】= 口 ( vb ) 1 = o t b ， ( a z b ) z x a = 【v ( n b ) 】o = 【a a ( 0 ，vb ，) 】v “o v ( o b ) ao ) ， 因为0 ，0 7 v6 ，所以由正交模律，口7 v 【o ( 0 ，v6 ，) 】= 0 7 v6 ，= ( a a b ) 7 ， 故a b x a = 【a a ( d 7 v6 ，) v a6 ) = a n 6 ) = a x ( a 7 v ( n 6 ) ) = a , t v 【a a ( o v 6 ) ) = n 7 v a b ) = a , b ( 1 2 ) 因为n 仰= 0 ，所以0 h ，这说明日非空。 设日，则a t y b ，所以a x b ，故口62v i i 。 反过来，a t ( a b ) = oab 6 ，所以a x b 何，故口6 v h 1 3 云南师范大学硕士学位论文 因此a a b = v h ，其中h = v 扣l l a t x b ) 2 3 正交模格上的s 算子 在2 1 中，我们是通过引入正交模格上的t 算子丁和其关联算子，来讨论 代数性质的同样的，我们引入如下的算子，又可以得到一些什么性质呢? 定义2 9 设l 是格，v a ，b ，c l ，若二元运算s ：l l l 满足下列条 件： ( 1 ) 若b c ，则a s h sa s c ；( 2 ) a s o = a ， 则称s 为s 算子 对于s 算子s ，若二元运算v ：l l l 满足下列条件： ( 3 ) 当bsc 时，a v b sa v c ； ( 4 ) a s ( a v b ) b ； ( 5 ) a v ( a s b ) b ， 则称v 是s 的逆关联算子 定义21 0 1 q 如果定义在l 上的算子t 与s 算子s 满足条件( a t b ) = a s b ，则称r 与s 关于补运算，构成对偶算子 定义2 ，i l l l 2 】设l 是完备格，称l 上的s 算子s 是l 上的保交运算，若v a l ，对任意的g = b i l b l l ，i q ，等式o s ( a b i ) = a ( a s b ，) 成立，并记之 为a s ( a g ) = a ( a s g ) 命题2 1 2 在正交模格l 上定义二元运算a s h = a v ( 0 ，a b ) ，则s 是t 的对 偶算子 证明( 1 ) 若b c ，则a s b = 口v ( ab ) a v ( a ac ) = a s c ( 2 ) a s o = v f 口7 ao ) = 口v0 = n ，所以s 为一个s 算子 又( a t b ) 7 = a a ( a 7 v6 ) 】7 = a v ( a a6 ，) ，a s b = a 7 v ( a ab ) ， 所以( a t b ) 7 = a i s b 7 ，即s 是r 的对偶算子 1 4 云南师范大学硕士学位论文 命题2 1 3 在正交模格l 上再定义二元运算v 为n v 6 = a ta ( a vb ) ，则v 是s 的逆关联算子 证明( 1 ) 若b c ，贝4a v b = a 7 a ( a vb ) o a ( a vc ) = a v c ( 2 ) 由正交模律得，a v ( a s 5 ) = a v ( a v ( a t ab ) ) = a i a ( a va v ( a ab ) = a 7 a ( a v ( a 7 a6 ) ) = 0 v ( a a ( a v6 ，) ) 7 = ( a v6 ，) 7 = a ab b ( 3 ) 由正交模律得，a s ( a v b ) = a s ( a a ( a v6 ) ) = a v ( a 7 ao a ( a v6 ) ) = a v ( a a ( a v6 ) ) = a vb b ， 所以v 是s 的逆关联算子 引理2 1 4 设l 是完备格且l 上的s 算子满足a s l = 1 ，v a l ，则s 算 子保交当且仅当s 算子存在逆关联算子v 证明必要性： 由于l 是完备格，记h ( a ，b ) = x 1 8 s x 6 ) ，v ( a ，b ) l l 当b c 时，h ( a ，b ) h ( a ，c ) 显然成立 ( 1 ) 又a s h ( a ，b ) = a s ( a z l a s x 6 ) ) = a a s x l a s x b ) b ，( 2 ) 由a s b a s b 知，b z l l a s z a s b ) 所以h ( a ，a s b ) = a x l a s x a s h ) b ( 3 ) 记a v b = 日( 。，b ) ，则由上面的( 1 ) ( 2 ) 及( 3 ) 知v 是s 的逆关联算子 充分性； 设逆关联算子v 存在，设gcl ，若g = 0 ，则a g = a o = 1 ， 所以a s ( a g ) = a s l = 1 而、( a s g ) = a ( a s 0 ) = 0 = 1 ，所以a s ( a g ) = a ( a s g ) 若g 0 ，令g = b i l b i 三) ，则b i a g 所以对n l ，由s 算子s 的性质知d s 玩a s ( a ) ， 1 5 云南师范大学硕士学位论文 故a ( a s b ；) a s ( a g ) ，即a ( a s g ) a s ( a g ) 反过来，记q = x l x l ，a s z a ( a s b i ) 1 显然gcl ，所以a g i o 因为逆关联算子v 存在，所以i o , = a v a ( a s b l ) 再由s 的保序性质及a s ( a v b ) b 得， a s ( a g ) n s ( a q ) = a s a v a ( a s b i ) ) a ( a s b l ) ， 即a s ( a g ) a ( a s g ) ，故a s ( a g ) = a ( a s g ) ，从而s 算子保交 推论2 1 5 对于命题2 1 2 所定义的s 运算保交 命题2 1 6 命题2 1 2 和2 1 3 中定义的s 和v 运算，下列条件等价； ( 1 ) a b ； ( 2 ) c ( a ，b ) = l ； ( 3 ) a i s b = a v6 ，； ( 4 ) a i v b = 口ab 7 证明( 1 ) 与( 2 ) 的等价性在命题2 6 中已证 ( 2 ) 号( 3 ) ：设c ( a ，6 ) = 1 ，则a = ( a a b ) v ( a a b ) ，即a = ( a 7 v6 ，) a ( a 7 v b ) ， 所以a i s b = a iv ( a ab ) = 【a v6 ，) a ( a s v6 ) v ( a a y ) 因为o ab 6 ，0 7 v6 ，所以由正交模律得，n s b = a v6 ， ( 3 ) 辛( 4 ) ：若a t s b = a v6 ，即a v ( a a6 ，) = a vb 7 ， 则由正交模律，a v b = a a ( n ，vb ) = n a 【v a6 ，) 】= a rv ( n a ( 0 ，v6 ) ) 】 = ( 日v6 ) = 口ab ( 4 ) 辛( 3 ) ；若a t v b 7 = a a ( a 7 vb 7 ) = a a6 ， 则由正交模律。a s b 7 = a v ( a a 矿) = a 7 v ( n a ( a v6 ，) ) = a vb 7 ( 3 ) 号( 1 ) ：若a i s b = a v6 ，即a v ( a a6 ，) = a rv6 ， 则( a ab ) v ( a a6 ，) = ( a sv 矿) v ( a a6 ，) = a a ( a v6 ) 】v ( a a6 ，) 1 6 云南9 币范大学硕士学位论文 1 7 因为a a6 ，口，所以由正交模律得，( d ab ) v ( 。a6 ，) = o ，即a b 2 4 正交模格上的对偶b l 代数 在正交模格上引入s 算子s 和其逆关联算子v 后，我们可以获得另一类代数 结构 定义2 1 7 设( l ，v ，a ，o ，一，0 ，1 ) 是一个代数，若l 满足下列条件： ( 1 ) ( l ，v a ，0 ，1 ) 是一个有界格；( 2 ) b a c o b c ； ( 3 ) a o ( a b ) = a vb ； ( 4 ) ( a b )