（基础数学专业论文）两类差分方程的全局稳定性.pdf

两类差分方程的全局稳定性 摘要 在本文中，我们研究了两类差分方程的动力学性质，讨论了它们的全局渐 近稳定性、周期性和有界性，推广了已有的一些结论。全文共分为四章。 在第一章，我们简要介绍了差分方程的历史背景、发展状况和本文所得到 的主要结果。 在第二章，我们介绍了有关差分方程的一些基本概念和结论。 在第三章，我们研究了差分方程 z n + 1 = ，( z n - 二七1 ，z n 一后2 ，。n 一七。；z n m l ，z n m 2 ，z n m t ) ，扎= o ，1 ， 的动力学性质，其中o 南1 乜 七。，o m 1 m 2 仇t ，且 七1 ，也，) n m 。，m z ，m 。) - o ，初始值为正数，分别得到了该方程的正平衡点是全局渐近稳 定的、每个解都收敛于周期解及具有无界解的充分条件。 在第四章，我们研究了差分方程 嘶t = 连篇急毪等恕杀高袭笔舞寒等糕掣，礼扎1 一， 的动力学性质，其中 ，缈c ( ( o ，+ ) 七+ l ，( o ，+ ) ) 1 ，2 ，2 s 】，歹 1 ，2 ，2 t ) ) ， c ( f o ，+ 。) 南+ l ，【o ，+ 。) ) ，后 1 ，2 ，) ，初始值z 砘z 一七+ ”一，z o ( o ，+ ) ，得到了该方程 的唯一正平衡点是全局渐近稳定的一个充分条件。 关键词：差分方程平衡点全局渐近稳定性周期性有界性 g l o b a ls t a b i l i t yo ft w oc l a s s e so f d i f f e r e n c ee q u a t i o n s a bs t r a c t i nt h i st h e 8 i s ，t h e i y n a m i c s ，i e ，t h e 酉o b a la s y m p t o t i c8 t a b i l i t y ，t h ep e r i o d i ec h a r a c 。 t e ra n dt h eb o u n d e d n e 8 sn a t u r eo ft h es o l u t i o n s ，o ft w oc l a s s e so fd i f f 色r e n c ee q u a t i o n sa r e i n v e s t i g a t e d ，a n ds o m ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t sa r ep r o m o t e d t h i st h e s i si sc o m p o s e do ff 6 u r c h a p t e r 8 i nc h a p t e ro n e ，t h eh i s t o r i cb a c ：k g r o u n d ，t h er e c e n td e v e l o p m e n tt 衄d e n c eo ft h ed i 能r - e n c ee q u a 七i o n sa n dt h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e ra r ei n t r o d u c e db r i e 丑y - i nc h a p t e rt w o ，s o m eb 猫cd e f i n i t i o n sa n dk n 州lr 洲t so fd i 脓e n c ee q u a t i o n sw h i c h w i l lb eu s e di nc o n t e x ta r ei n t r o d u c e d i nc h a p t e rt h r e e ，w es t u d yt h ed y n a r n i c so ft h ed i 如r e n c ee q u a t i o n z n + 1 = ，( z n 一七1 ，z n 一知2 ，z n 一七。；z n m l ，z n m 2 ，z n m ) ，凡= o ，1 ， w h e r eo h a n do m 1 m 2 m tw i t h 尼1 ，也，) n m 1 ，m 2 ， ，m = 谚，t h ei n i t i a l 、，a l u e sa r ep o s i t i v e w bo b t a i ns u m c i e n tc o n d i t i o n su n d e rw h i c ht h e p o s i t i v ee q u i l i b r i u mo ft h i se q u a t i o ni sg l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l e ，e v e r ys o l u t i o no ft h i s e q u a t i o nc o n v e r g e st oap e r i o d i cs o l t i o n ，a n dt h i sd i 任e r e n c ee q u a t i o nh a s u n b o u n ds o l u t i o 璐 r e s p e c t i v e l y i nc h a p t e rf 6 u r ，w es t u d yt h ed y n a m i c so ft h ed i f f e r e n c ee q u a 七l o n + 。= 连篙舞曩等是案篙甓袭惹岽筹意背，一o ，1 ， 山n + l 一 翌1 ( z n ，茹n 一知) + ：= 1 夕2 i 一1 ( z t i ，一，z 竹一盘) 9 2 l ( z 竹，z n 一七) + h ( z 礼，声n 一七) 一。一 w h e r e 五，绑c ( ( o ，o 。) 凫+ l ，( o ，。) ) f o ri 1 ，2 s ) a n dj l ，2 t ，九c ( 0 ，) 抖1 ，【0 ，) ) ， 七 l ，2 ，) a n dt h ei n i t i a lv a l u e 8z 一七，z 一七_ 1 ，z o ( o ，o 。) w bg i v eas u 伍c i e l l tc o n d i t i o nu n d e rw h i c ht h eu n i q u ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mo ft h i se q u a t i o ni s 酉o b a l l ya s y m p t o t i c a l l y 8 t a b l e k e yw o r d s ：d i 妇e r e n c ee q u a t i o n ；e q u i l i b r i 眦；g l o b a la u s y m p t o t i cs t a b i l i t y ；p e r i o d i cs 0 _ l u t i o n ：b o u n d e d n e s s 广西大学学位论文原创性声明和学位论文使用授权说明 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的 成果和相关知识产权属广西大学所有本人保证不以其它单位为第一署名单位 发表或使用本论文的研究内容；除已注明部分外，论文中不包含其他人已经发 表过的研究成果，也不包含本人为获得其它学位而使用过的内容对本文的研 究工作提供过重要帮助的个人和集体，均已在论文中明确说明并致谢 论文作者签名：豫口目德) 卯分年争月。日 学位论文使用授权说明 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本； 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容 请选择发布时间： 西口时发布口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) 论文作者签名：谛嘲德导师签名 n ，眸年月弦日 广西大学硕士学位论文两类差分方程的全局稳定性 1 i n t r o d u c t i o n d i e r e n c ee q u a t i o n s ( o rr e c u 工s i v es e q u e n c e s ) a r ea i li m p o r t a n tb r a n c ho fd y n a i n i c a ls y 8 - t e ma n da r ec o n s i d e r e da st h ed i s c r e t i z a t i o na n dn u 瑚【b e r i c a ls o l u t i o 璐o fd i h 白e n t i a le q u a t i o n s w h i c ha p p e a ri nt h ef o r m u l a t i o na n da n a l y s i so fs e v e r a ld i s c r e t 伊t i m es y s t e r n s d i f r e r e n c e e q u a t i o n 8a r ew i d e l ya p p l i e di nv a r i o u sd i v e r 8 ep h e n o m e n ai nb i o l o g y e c o l o g y ，p h y s i o l o g y p h y s i c s ，e n g i n e e r i n ga n de c o n o m i c s m o r e o i v e r ，t h ea p p l i c a 七i o no ft h et h e o r yo fd i f f 色r e n c e e q u a t i o n si sr a p i d l yb r o a d e n i n gt ov a r i o u s 丘e l d ss u c ha sn 啪e r i c a la n a l y s i s ，c o n t r o lt h e o r y ， 矗n i t ci n a t h e m a t i c s ，a n dc o m p u t e rs c i e n c e t h ei n v e s t i g a t i o no nd i f f e r e n c ee q u a t i o n si st o d i s c u s se v e n t u a lb e h a v i o ro ft h e i rs o l u t i o i l si n c l u d i n go s c i l l a t i o n ，b o u n d n e s 8 ，c y c l el e n 或ha n d s t a b i l i t y ，e t c d i 雎r e n c ee q u a t i o n sh a eb e e ns t u d i e df o rs o m et i i n e a c t u a l l y t h et h e o r yf o rs u c h s y s t e m sh a sb e e ne x t e n s i v e l yd e v e l o p e do n l yi nt h el a t t e ro ft h et w e n t yc e n t u 可e s p e c i a l l y i nr e c e n ty e a r s i n1 9 9 2 ，a g a r w a lp u b l i c e dt h em o n o g r a p hf z ) i 胎r e n c ee g u n 抚d n s n 竹dj h e g 乱。屁玩e s 】i n1 9 9 3 ，k o c i ca n dl a d a sp u b l i c e dm o n o g r a p h 【g 2 d 6 n la s 可 印d 统cb e 九日6 i 盯 b 凡f i n e o d i 胎代礼c ee 口钍n 扰d 礼so ，月1 9 九e rd r 矗e r 伽i t a p p 托c o 统d 佗s 】t h e s eb o o k 8i i l t r o d u c e d b a s i ct h e o r ya b o u td i f f 色r e n c ee ( 1 u a t i o n sa n dp r o p o s e dm a n y o p e np r o b l e ma n dc o i l j e c t u r e ”， w h i c hf a c i l i t a t e dp e o p l et os t u d yd i 虢r e n c ee q u a t i o n s i n1 9 9 5 ，t h ec r e a t i o no fi n t e r n a t i o n a l p r o f e s s i o n a lj o u r n a la b o u td i f f e r e n c ee q u a t i o n s 【j b 钍m 口fo ，d i 脾他礼c ee g 让口统d n s 口n da p p f i 一 抚d 佗s 】p r o v i d e dap r o f e s s i o n a ls t a g ef o rt h es t u d yo fd i 骼r e n c ee q u a t i o n s ，w h i c he x c i t e d t h ef u r t h e ri n t e r e s t i n gi ni m 髑t 培a t i o no fd i h 研e n c ee q u a t i o n s r e c e n t l yt h e r eh a sb e e nag r e a ti r l t e r e s ti ns t u d y i n gn o n l i n e a rd i n e r e n c ee q u a t i o 璐( s e e 1 - 3 9 ) i n 【1 ，f a ne ta 1 i n v e s t i g a t e dt h en o i l l i n e a rd i f 】 e r e n c ee q u a t i o no ft h ef o r m z n + 1 = 厂( z n ，z n 一) ，礼= o ，1 ，( 1 1 ) u n d e rs o m ec e r t a i na s s u m p t i o n s t h e ys h o w 谢t h a tt h el e n g t ho ff i n i t es e m i c y c l eo fe q ( 1 1 ) i sl e s st h a no re q u a lt o 七a n dg a v es 砸c i e n tc o n d i t i o n su n d e rw h i c l le v e r yp o s i t i v es 0 1 u t i o n o fe q ( 1 1 ) c o n v e r g e st ot h eu n i q u ep 0 8 i t i v ee q u i l i b r i u m i n 2 】，s u ne ta 1 i n v e s t i g a t e dt h eg l o b a lb e h a v i o ro ft h en o n l i n e a rd i 骶r e n c ee q u a t i o n z n + 1 = ，( z 。一。，z n t ) ，住= o ，1 ，( 1 2 ) a n ds h c r w r e dt h a tt h e1 e n g t ho ff i n i t es e m i c y c l eo fe q ( 1 2 ) i s1 e s st h a no re q u a lt ota n dg a e s u 伍c i e n tc o n d i t i o n su n d e rw k c he v e r yp o s i t i v es 0 1 u t i o no fe q ( 1 2 ) c o i e r g e 8t ot h eu n i q u e p o s i t i v ee q u i l i b r i u m i n 3 】，s u ne ta 1 i n v e s t i g a t e dt h ep e r i o d i cc h a r a c t e ro fp o s i t i v es o l u t i o n so ft h ed i 舵r e n c e 广西大学硕士学位论文两类差分方程的全局稳定性 e q u a t i o n z ，l + 1 = ，( z n ，。，l 一知) ，钆= o ，l ， ( 1 3 ) a n dg a es o m ec o n d i t i o 璐u n d e rw h i c i he v e r ys o l u t i o no fe q ( 1 3 ) c o n v e r g e st oap e r i o d i c s o l u t i o no fp e r i o d2i f 七i so d d a n dt h eu n i q u ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mi f 后i se v e n i n 4 ，5 】，s t e v os t e v i ci n v e s t i g a t e dt h er e c u r s i v es e q u e n c e s 。蔫豢一一o 1 ， 。再亨雪蔗，礼- u l ， a n d z 。：1 + 蒜丝虹，佗：0 ) 1 ， 乙净11 j z n q i ( 1 4 ) ( 1 5 ) r e s p e c t i v e l y ，w h e r ea = 篓1a = 警1m=1a i l dg c d p l ，肌，9 1 ，) = 1 h e s h o 、7 i r e dt h a ti fa l l 鼽，i 1 ，后) ，a r ee v e na n da l l 劬，j 1 ，m ，a r eo d d ，t h e n e v e r yp o s i t i v es o l u t i o no fe q ( 1 4 ) a n de q ( 1 5 ) c o n v e r g e st oap e r i o d i cs o l u t i o no fp e r i o d2 o t h e r w i s e ，e v e r yp o s i t i v es o l u t i o no fe q ( 1 4 ) a n de q ( 1 5 ) c o n v e r g e st ot h eu n i q u ep o s i t i v e e q u i l i b r i u m 】o t i v a t e db yt h ea 由a i v es t u d i e s ，i n ( i h a p t e rt h r e eo ft h i sp a p e r ，r ec o n 8 i d e rt h ei n o r e g e n e r a ld i 自1 e r e n c ce q u a t i o n z 行+ 1 = 厂( z n 一衄，z 疗一切，z 竹一k ；z 托一， l ，z 疗一m 2 ，z n m t ) ，几= o ，1 ，( 3 1 ) w h e r eo 1 忌2 a n do m 1 m 2 口，夕( 9 ( z ) ) = za n dz = ，( 夕( z ) ，9 ( z ) ；z ，z ) ； ( i i ) l i m z 。口+ 9 ( z ) = o 。 a n dl i m 卫o o 夕( z ) = o i fa l l ( i 1 ，s ) ) a r ee v e na n da u d 1 ，t ) ) a r eo d d ，t h e ne v e up o s i t i v e s o l u t i o no fe q ( 3 1 ) c o i l 、r e r g e st oap e r i o d i cs o l u t i o no fp e r i o d2 0 t h e r w i s ee v e r yp o s i t i v e s o l u t i o no fe q ( 3 1 ) c o i l v e r g e st ot h eu n i q u ep o s i t i v ee q u i l i b r i u m 牙 t h e o r e m3 3a s s u m et h a tt h e r ee x i s to d dn u m b e r s1 = 札1 t 也 u sa n de v e n n u m b e r 81 u 1 忱 n ； ( i i ) ，一，p ；可，可) 一可= lf o ra i l y 可e t h e ne q ( 3 1 ) h a su n b o u n d e d8 0 l u t i o n s i n 6 】，k r u s ee ta 1 s t u d i e dt h eg l o b a ls t a b i l i t yo fu n i q u ee q u i l i b r i u mo fd i s e r e t ed y n a 卜 i c a ls y s t e ma n da sas p e c i a lr e s u l tt h e yp r a v e dt h a tt h eu n i q u ee q u i l i b r i 啪牙= lo ft h e p u t n a md i 艉r e n c ee q u a t i o n z n + 12 z n + z n 一1 + z n 一2 z 佗一3 z n z n 一1 + z n 一2 + z 礼一3 ，礼= 0 ，1 ，( 1 6 ) i sg l o b a l l ya s y m p t o t i c a u ys t a b l e ，w h e r et h ei n i t i a lv a l u e sz 一3 ，z 一2 ，z 一1 ，z o r + 三( o ，+ o 。) i n 【7 】，c i n a re ta l ii 1 1 v e s t i g a t e dt h eg l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yo f t h ef o l l o w i n gn o n l i n e a r d i 任e r e n c ee q u a t i o n - = i 璺菱亳， w h e r e 七 1 ，2 ，3 ) a n dt h ei n i t i a lv a l u e sz 一惫，z 一七十1 ，z o r + ( 1 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u mo fe q ( 4 1 ) w h i c hi 8g l o b a l l ya s m p t o t i c a l l y s t a b l e 4 广西大学硕士学位论文 两类差分方程的全局稳定性 2 p r e l i m i n a r i e s i nt h i sc h a p t e r ，w er e v i e wt h eb a s i cn o t i o 璐a n ds o m ek n o w nr e s u l t sa b o u tt h ed i f i e r e n c e e q u a t i o n sw h i c hw i l lb eu 8 e di nt h i st h e s i s t h r o u g h o u tt h i st h e s i 8 ，za n dn d e n o t et h es e to f i n t e g e r sa n dt h es e to fn a t u r a l n u i n b e r sr e s p e c t i v e l y l e tjb es o m ei i l t e r v a lo fr e a ln u i n b e r s a n d l ：i k _ l b eac o n t i n u o u sf u n c t i o n t h e nf o re v e us e to fi n i t i a lv a l u e sz o ，z l ，z 一七j ，t h e d i f f 色r e n c ee q u a t i o n z n + 1 = ，( z n ，z n 一知) ，n = o ，1 ，( 2 1 ) g e n e r a t e sa nu n i q u es o l u t i o n z n ) 是一南ap o i n t 牙ji sc a l l e da ne q u i l i b r i u mp o i n to f e q ( 2 1 ) i f 牙= ，( 牙，牙) ， t h a ti s z n = 牙f o r 扎尼 i sas o l u t i o no fe q ( 2 1 ) ，o re q u i v a l e n t l y 牙i 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