（基础数学专业论文）一类非线性薛定谔方程解的存在性.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明t 此处所提交的硕士论文一类非线性薛定谔方程解的存在 性，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工 作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果 对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确的方式注明 本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名；参弪者辱日期：z , i o 考1 0 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 鬈类非线性薛定谔方程解的存在性系本人在曲阜师范大学攻读硕士学位 期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大学所 有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师范大学 关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件 和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或 其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 作者签名：钨立辉日期。2 0 p 刍、i o 导师签名。秉世覆 日期：勿产f ，2 ， 夕 曲阜师范大学硕士学位论文 一类非线性薛定谔方程解的存在性 摘要 随着科学技术和数学基础理论的不断发展，各种各样的非线性问题日益引起 人们的广泛关注，非线性泛函分析已成为现代数学中的重要研究方向之一而非线 性泛函分析是非线性分析中的个重要分支，因其能很好的解释自然界各种现象 而受到了国内外数学界和自然科学界的重视非线性薛定谔方程源于应用数学， 物理学等各种应用学科中，是目前对非线性微分方程的研究中最为活跃的领域之 一。而这类方程解的存在性问题又是近年来讨论的热点 本文利用变分法，临界点理论，极大极小方法，山路定理，喷泉定理，环绕 定理，研究了一类非线性薛定谔方程的非平凡解 本文共分为三章： 第一章主要利用变分法和临界点理论，讨论没有( a r ) 增长条件的超线性问 题 - ：a 。u ，+ z a 三o 让f 2 t , a ，( z u ) z q c 1 1 1 ， 非平凡解的存在性其中qcr n ( n 2 ) 是有界光滑区域，f ( x ，t ) 是定义在瓦r 上的连续函数，a ( x ) 是q 上的非负连续函数与文【6 】相比本文方程更具有广泛 性，方法也与文【6 】有所不同 第二章利用喷泉定理和极大极小方法研究了一类超线性薛定谔方程多解的存 在性： - u 一口p 刊 一) ，蚝砂 ( 2 1 - 1 ) it 日1 ( ) ， 。 其中o c ( r ，r ) ，g c ( r r ，r ) ，推广并改进了一些已知的结果 第三章利用环绕定理和变分法研究了一类渐进线性薛定谔方程解的存在性问 题。 善- 蚪“功驴，( 霸一r ， ( 3 1 1 ) iu ( z ) 一0 ， 。o ， 其中t ，c ( r n ，冗) ，f c ( r r ，r ) ，推广并改进了一些已知的结果 曲阜师范大学硕士学位论文 本文前一部分，我们对方程及非线性条件进行了改进，讨论了没有a 一冗增 长条件的超线性问题非平凡解的存在性，所用方法也与文【6 】有所不同后一部 分，讨论了超线性和渐近线性薛定谔方程解的存在性，讨论范围进一步扩大，并 且得到了较好的结果 关键词：变分法；临界点理论；超线性问题；渐近线性问题；极大极 小方法；山路定理；喷泉定理；环绕定理 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t a l o n gw i t hs c i e n c e sa n dt e c h n o l o g y sd e v e l o p m e n t ，v a r i o u sn o n l i n e a rp r o b - l e mh a sa r o u s e dp e o p l e sw i d e s p r e a di n t e r e s td a yb yd a y , a n ds ot h en o n l i n e a r a n a l y s i sh a sb e c o m eo n ei m p o r t a n tr e s e a r c hd i r e c t i o n si nm o d e r nm a t h e m a t i c s t h en o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i si sa ni m p o r a n tb r a n c hi nn o n l i n e a ra n a l y s i s ， b e c a u s ei tc a l lw e l le x p l a i nv a r i o u st h en a t u r a lp h e n o m e n o n ，s o ，t h em a t h e m a t - i c a lw o r l da n dt h en a t u r a ls c i e n c ew o r l dp a ym o r ea t t e n t i o nt ot h en o n l i n e a r f u n c t i o n a la n a l y s i s t l l en o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o ns t e m sf r o mt h ea p p l i e d m a t h e m a t i c s ，t h ep h y s i c sa n de a c hk i n do fa p p l i c a t i o nd i s c i p l i n e i ti so n eo fm o s t a c t i v ed o m a i n so ft h ei n t e g r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ns t u d i e s i na tp r e s e n t a n dt h e e x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rt h i sk i n do fe q u a t i o ni sa l s ot h eh o ts p o ta tp r e s e n t i nt h i sp a p e r ，w eu s ev a r i a t i o n a lm e t h o d s ，c r i t i c a lp o i n tt h e o r y ，m i n i m a x m e t h o d s ，t h em o u n t a i np a s st h e o r e m ，t h ef o u n t a i nt h e o r e ma sw e l la st h el i n k i n g t h e o r e mt os t u d yt h ee x i s t e n c eo fn o n t r i v i a ls o l u t i o n sf o rak i n do fn o n l i n e a r s c h r s d i n g e re q u a t i o n t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r1 ，w eu s ev a r i a t i o n a lm e t h o d sa n dc r i t i c a lp o i n tt h e o r yt oi n v e s - t i g a t et h ee x i s t e n c eo fn o n t r i v i a ls o l u t i o n sf o rt h es u p e r l i n e a rp r o b l e m sw i t h o u t a m b r o s e t t ia n dr a b i n o w i t zg r o w t hc o n d i t i o n - & u + z a 茗他m g ( 1 1 1 ) w h e r eqcr ( n 2 ) i sab o u n d e ds m o o t hd o m a i n ，f ( x ，u ) i sac o n t i n u o u sf u n c - t i o no nq r ，a ( x ) i sa n o n - n e g a t i v ec o n t i n u o u sf u n c t i o no nq w eg e n e r a l i z ea n d i m p r o v et h er e s u l t si n 6 】，t h em e t h o di sa l s od i f f e r e n tf r o m 【6 i nc h a p t e r2 ，w eu s et h ef o u n t a i nt h e o r e ma n dm i n i m a xm e t h o d st oi n v e s - t i g a t et h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l es o l u t i o n sf o rac l a s so fs u p e r l i n e a rs c h r 6 d i n g e r e q u a t i o n 2 ) 是有界光滑区域，( z ，牡) 是定义在 豆r 上的连续函数，a ( x ) 是q 上的非负连续函数 在文 6 】中作者利用变分法和临界点理论证明了下面d i r i c h l e t 特征值问题 z q 的非平凡解的存在性其中a 是一个大于零的变化的参数 q cr ( 2 ) 是 有界光滑区域，f ( x ，钍) 是定义在孬r 上的连续函数本文受文【3 】的启发， 利用变分法，临界点理论获得( 1 1 1 ) 的非平凡解，并推广了文【6 】中的结论 1 2 预备知识 本文使用的h i l b e r t 空间是e = 硪( q ) ( 其中范数由i = ( 矗1 w 1 2 d x ) 2 1 定 义) 为了陈述和证明本章的主要结果，我们需要以下知识，首先给出以下假设t ( ) f ( x ，0 ) = 0 = ( z ，o ) ，在z q 中几乎处处一致成立； ( 如) 3 a ，b 0 ，使得 ，( z ，t ) i a + b l u l ，1 0 ，并且当 = 1 时，6 1 ；当n 2 时，6 譬 叻1 瓠八 入 z = i 扎 一 位 ，_-(1i 第一章没有( a - r ) 增长条件的超线性问题 下面介绍本章需要用到的一些基本知识，在硪( q ) 和p ( q ) ( 1 nb = i n f l l u i i ；r 妒( 乱) 妒( o ) 妒( e ) 若妒满足( p s ) 。条件，其中 c = 饕t m e 躏。妒( 7 ( 亡) ) ， 7 尸，1 1 p = 7 c ( 【o ，1 】，x ) ：- y ( o ) = 0 ，7 ( 1 ) = e ) 那么c 为妒的临界值 注1 2 1 ( p s ) c 条件：设x 是b a n a c h 空间，妒c 1 ( x ，r ) ，c r ，若 v “竹) cx ，使得满足妒( 札n ) _ c ，( 牡n ) 一0 的序列 钆n ) 都有一个收敛的子 列，那么称妒满足( p s ) 。条件 引理1 2 1 ( 1 ) 3 p 0 ，c 0 ，使得当l l u l i = p 时有厶( u ) c ( 2 ) 存在e 础( q ) 并且| i e f l p 那么我们有h ( e ) 0 证( 1 ) 由( ) 可知，对垤 0 ，3 a 0 ，使得当z q ，口时，有 l f ( x ，乱) i 0 ，使得 f ( z ，u ) c ( l l u l l 2 + i i 训i p + 1 ) ， 从而当i l u l i _ 0 时，我们有 f ( z ，心) = o ( i l u l l 2 ) ， 因此 帅) = 巡2 一入上脚) 如 ：筚+ 帅1 1 2 ) 当i = p ，并且p 足够小，这时可知( 1 ) 得证 ( 2 ) 从( ，3 ) 可以看出，对v m 0 ，j 0 ，使得 f ( x ，u ) m u 2 一，妇q ，觇 0 ( 1 2 3 ) 厶( z ) ：掣一a ：f ( 叫) 如 掣一入m 帮一c m ) d x ：2(11钏112一am凡2dx)t m d x + c l q i = 一，西o+i q i 3 第一章没有( a r ) 增长条件的超线性问题 其中c 0 是一个常数，i q l 指q 的勒贝格测度从而有l i m t 厶( t 咖) = 一o o ， 取e = ，亡足够大，则有h ( e ) 0 证毕 固定0 0 ，使得 厶( 珏) r 0 ，l l u l i = p ，v a p o ( 1 2 4 ) 取e 月苫( s2 ) ，使得f 蛔( e ) 0 ，- 7 以推断出 掣 掣 o ，y p 则 c ( 弘) 黼丘( ，y ( t ) ) c ( p ) + 警 令风= m a x t 【0 1 】厶f ( x ，y ( 亡) ) 出，那么当入 等，妾 a ( 妄一毛) 扎 ：一筹勺一沁 2 一瓦勺“e = 一( 曩+ 1 ) 旭 因此，警和c a 的左半连续性得证 用下面的引理估计戥在h - l , 2 ( q ) 中的范数1 1 1 l 。下对入的依赖性 引理1 2 2 存在c 0 ，使得 l | 丘( u ) 一i i c u ) l l c ( 1 + 1 1 2 , 1 1 p ) l p 一入i ，v 入，p 0 证由( 厶) 可以得到 i f ( z ，u ) i 厢2 n ( 8 + b l u l p ) 瓣2 n 2 器( 口丽2 n + 6 篇i 扎i 器) ：a + c 2 1 u ln 2 + 2 ， 比q ，v u r 其中g ，g 为大于零的常数，那么 。，让) i 硒2 n 如c 1 l a l + c 2 i 乱i 箍如 ，n - ，q d 1 + d 2 1 1 u l l n 2 + ：，v u 硪( q ) 其中d 1 ，d 2 为正常数，对协础( q ) ，l i v l i 1 ，我们有 ， l 丘( 缸) 移一以( 仳) 训= l 入一p l | ，( z ，u ) v d x i i a p i 【门，l 粥捌等 门u l 莉2 n 驯酉n 一2 - ，q js l 因此，存在c 0 ，使得 l l 兄( 牡) 一只( 乱) i i l = s u pl ( 丘( u ) 一只 ) ) i l a 一小i d l + d 2 删端l 等 c l a a u l ( 1 - ! - i l u l l p ) ， v 入，p 0 5 第一章没有( a r ) 增长条件的超线性问题 注1 2 2 我们给出映射b ：【a o ，p o 】_ 风，那么6 ( a ) = 警是单调递减的， b x ，以在几乎所有a 【a o ，脚】上是可微的 引理1 2 3 假设( ) ( ，4 ) 成立，则任意的( c ) c 序列都有界 证取 u n ) ce ，使得 厶( ) _ c ，( 1 + i i l i ) i i ( u n ) _ 0 当佗足够大时，我们有 a 她卜去酶n ) 让n = a 上瓢，让矗 由( ) 可知，对跏 0 ，q a p 0 ，使得 a p u 2 a f ( z ，t 正) ， 其中i 乱i p 令 q n ( 6 ) = z q ：i a n ( z ) i b ) ，b 0 从( 1 2 5 ) ，( 1 2 6 ) 可得 ( 1 2 5 ) ( 1 2 6 ) l 啦q = 鲁 ( 1 2 7 ) 反证，假设l i u n i l _ 。o ，取= 且i i - i ，则i i i i = 1 ，i i s a ，s 【2 ，2 + 】另外，利 用( 1 2 7 ) 式，我们有 l 记= 替品一o ， ( 1 2 8 ) 由h s l d e r 不等式，当8 【2 ，2 4 】时，有 、 厂i l s 蠢爹挚( 厂记) 眄2 * - - m _ o ，即 o ( 1 2 9 ) ，q n ( p )j q n ( 力 观察 i ( z ) i o 因 i t ( u 礼) 乱珏- i i u n i l 2 一a 上他，) 牡n = l i u i 1 2 ( 1 一a 上锭铲) ， 6 曲阜师范大学硕士学位论文 a 上锭铲乩 令 厶= x ef 2 ：型堑掣等，兹= q 厶 则对v n ，有 i 入厶瓮栌l 矧# o 2 1 因此 熙a 厶锭铲互1 + ( 1 2 加) 由( ) 中，( z ，钍) = o ( 1 u 1 ) 可知，存在p 0 ，使得当m p 时，有m ( z ，让) ” j 脚l “1 2 因此，对比兹有i ( z ) l p 对v b r ，3 c b 0 使得l ，( z ，t 正) l c b ， 其中i “i b 从而当n _ c o 时，根据( 1 2 8 ) 有 厂 ，( z ，u n ) 一厂 ，( z ，让n ) 札n 2 ， 一：= ， 一 如n 识( i l 乱竹1 1 2如n q 品( 6 ) u i 譬厶慨醒 譬l 醒硼 由( ) 一( 2 ) ，2 = 鲁 o ，以是厶的个临界点 7 第一章没有( a r ) 增长条件的超线性问题 1 3 主要结果 定理1 3 1 假设条件( ) 一( ，4 ) 成立，则对v a 0 ，问题( 1 1 1 ) 有个非 平凡弱解 证由前面可知，c 是左半连续的，对v 弘 0 ，我们有 u n ) ci - i o l ( q ) ，( k ) 兄，使得k _ p ，以。一，n o o 厶。( u n ) = 呶。， ( 1 + 0 也竹i i ) 只。( 钆n ) = 0 下面证明是有界的，反之l l 6 一o o ，令= 赫由文【5 】可知，在 y + 1 ( q ) 中，当n _ o o 时，有_ 0 ，不失一般性我们假设五嘲( q ) ，h 2 + 1 ( q ) ，使得 ( z ) 一u ( z ) ，在q 中几乎处处成立，他一o o ， i ( z ) i 九( z ) ，对在q 中几乎处处成立， _ u ，在1 ( a ) e e ，且n _ o o ， 令q = z q ：u ( z ) o ) 如果z q ，则 挚铲帅) 2 _ o o 利用f a t o u 引理和极限 u m z掣铲271,去 ，nz 上=二i 上 可以推出l q i = 0 且u = 0 在q 上几乎处处成立 取t n 【0 ，l 】使得 k ( “住) 2 黜】厶n ( 亡) 因为以。( n ) ( 如) = 0 ，由( ) 可知当t 【0 ，1 】，it n u n i p 时，有 2 厶。( t u 住) 2 厶。( k u n ) 一以。( t n 让n ) ( k 让n ) = 入n ，( z ，t n 让n ) 一2 f ( x ，t n u n ) 】如 ( 1 3 1 ) ，n 2 k a p p 2 8 9 第二章一类超线性薛定谔方程的多解问题 2 1 引言 竺嚣划 一) 蜒 亿， 的多解的存在性其中a c ( r n ，r ) ，g c ( r n r ，兄) ，问题( 2 1 1 ) 的解的存 在性近年来已被广泛研究在文【2 】中利用局部环绕定理研究了问题 ，一u + 。( z ) u = ，( z ，缸) ， z q ， lu = 0 ，z 御， 在q 空间上非平凡解的存在性，其中q 是j ( 3 ) 上的有界区域， n 妒( q ) ，p 譬，g c ( _ r ，冗) 文 7 】利用新喷泉定理证明了该问题在q 空间上 存在多个非平凡解本文则利用喷泉定理在r 空间中来讨论问题( 2 1 1 ) 多解 的存在性 2 2 预备知识 为了陈述和证明本文的主要结果，首先我们给出以下假设。 ( 上 ) a c ( r ，r ) 满足i n f z r na ( x ) a l 0 ，其中n 1 0 是个常数对 v m 0 ，m e a s ( x r ：a ( x ) m ) ) 2 使得g ( z ，让) c 1 i u p ，1 9 ( z ，u ) i c 1 ( 1 + i 让i p ) 其中c 1 0 ，若 n = 1 ，2 贝0p 2 ，若n 3 贝0p ( 2 ，2 ) ( h 4 ) g ( z ，t 1 ) 0 ，其中钆0 ，并且 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 ( 1 ) a ( z ，乱) c 2 u 2 ，l u l r ， ( 2 ) ( 旦( ：) 6 c 3 否0 ，u ) ，l u l r ， 其中g ( x ，u ) = 9 ( z ，u ) 钍一g ( z ，让) ，r ，c 2 ，c 3 0 ，并且当n = 1 时， 6 l ；当 n 2 时，6 譬 下面介绍一下本章需要用到的一些基本知识，首先定义函数空间 h 1 ( ) ：= 缸p ( r ) ：v u l 2 ( ) ) ， 相应的范数为 删日。：= ( ( i w l 2 + 乱2 ) 如) p ( r ) 中u 的范数为 呲= ( 如) 令 e = 乱h 1 ( ) ：( i v u l 2 + o ( z ) 牡2 ) 如 0 使得 ( 厶) a k ：= m ( t 圪，i i u i i ：m ，( t 正) 0 ， ( 如) b k ：- - - i n f u 磊，i i i i ：他，( u ) _ ，k _ o o ， ( j 1 3 ) 对v c 0 ，若v u n ) cx ，满足，( u n ) _ c 0 ，( 钆n ) _ 0 ，则 u n ) 有 收敛子列 那么称j 有无界的临界值序列 令玛：- - s p a n e j ，j n ，为了得到本文的主要结果，我们需要以下引理： 引理2 2 1 ( 2 5 】，l e m m a 3 4 ) 在假设( 皿) 下，对y s 【2 ，2 + ) ，eq ( ) 是紧的 引理2 2 2 存在p k ，使得当p k 足够大时有a k _ m a x u e v 。，u ：风i ( u ) 0 证令牡k ，由( 风) 中g ( z ，u ) c l l u l , ，我们有 m ) = 1 1 鲁1 2 一厶，u ) 半_ c 1 i u 一 2 1 一 因d i m y k o o ，又因有限维空间上所有范数等价，从而 讹) 1 1 钍2 1 , _ 2 一c 。i i u i i p 所以，当i l u 0 = p j c ( p k 足够大) 时，j ( 乱) 0 引理2 2 3 若2 p 0 ，b k _ 。，使得b k ：- - i n f u z k 删i ：，( u ) k 证令凤：- - s u p u 磊，：1i 牡i 舛1 _ 0 ，则当k o 。时，雠- 0 ( 见引理 2 2 3 ) 由( 凰) 可知，对垤 0 ，3 a 0 ，使得当z r ，m 盯时，有 夕( z ，u ) l 0 ，3 a p 0 ，使得 a p l , 2 否( z ，缸) ，l i t , l p ( 2 3 2 ) 令 q n ( 6 ) = z r j r ：l u n ( z ) i 6 ) ，b 0 从( 2 3 1 ) ，( 2 3 2 ) 可得 z 。p ) q = 鱼a p ( 2 3 3 ) 我们用反证法来证明 u n ) 有界假设l i u n l i _ ，令= 1 孙，则l l v 1 l = l ，i v n i 。g ，8 2 ，2 。】另外，由( 2 3 3 ) 式，可知 l 磋= 错品一o ， 当s 【2 ，2 】时，令p = 哥，口= 再2 * - - 2 ，由h o l d e r 不等式，我们有 m 8 = 2 吖p 彬q ，q n 【刃，q n 【力 【( 伽) p 】1 励 ( 诏口) q p ，q n ( p )，( ? n ( p ) = , 2 2 。p 【 】1 q - ，q n ( p ) 壤加【 硼1 q _ 0 1 4 ( 2 3 4 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 观察 因 从而 令 贝d x 寸v n ，有 i v - ( z ) l 。 j u n ) = i i u n i l 2 一，f r n 夕( z ，u n ) u n = i l u 1 1 2 ( 1 一厶喘栌) ， j 厂r n 嗥栌乩 l l t 正n l l 2 厶邛：鼍糍铲譬) ，露= 叭厶 f 厶锴i f 厶掣笋i 虿z o i , 1 2 2 互1 因此 l i r a ， 始 喘栌专1 ( 2 3 5 ) 由( 飓) 中g ( x ，“) = o ( 1 u 1 ) 可知，存在p 0 ，使得当l 乱i p 时，有夕( z ，u ) 乱 弘o l u l 2 因此，对比以有i ( z ) i p ：g - j v b r ，| g 0 使得i f ( x ，u ) l q ， 其中i 牡i b 从而当m o o 时，根据( 2 3 4 ) 有 厂 夕( z ，乱nu n 一厂夕( z ，u n ) u n v 2 n - 一= ， 一 n q c n ( b ) 帆| 1 2几n 锯( 6 ) u ： 譬厶憾碟 譬l 瑗加 1 5 1 6 第三章一类渐进线性薛定谔方程解的存在性 3 1 引言 本文考察渐近线性薛定谔方程 牡- 。z a ，u 一+ 。v ，( z ) ui _ 兰三! z 冗 ( 3 1 1 ) 解的存在性问题其中可c ( r ，r ) ，夕c ( r n r ，r ) 近年来问题( 3 1 1 ) 解 的存在性问题越来越引起人们的广泛关注，在文 3 4 】中，f ( x ，让) 是严格凸的 在文【1 5 】及文【1 8 】中作者去掉了凸性条件，通过构造一个新的度理论得到该问题 的一个非平凡解在这种情况下，变分泛函是不定的甚至是强不定的，从而存在 一个有限维的环绕结构或无限维的环绕结构 因为日1 ( j ) q 胪( 兄) 是非紧的，所以很多文章大都考虑周期问题或径向 对称问题对于前者周期性可以用来控制紧性，对于后者，我们研究包含紧嵌入 的径向对称函数空间研( 尉v ) 本文利用变分法及环绕定理在r n 上研究非周期 薛定谔方程( 3 1 1 ) 非平凡解的存在性问题，并且得到了较好的结果 3 2 预备知识 为了陈述和证明本文的主要结果，我们先给出下面的假设t ( 凰) 钞c ( r n ，r ) 且满足i n f z r nv ( x ) a l 0 ，其中a l 0 是个常数 对v m o ，m e a s x r ：v ( x ) m ) 0 使得对v ( x ，乱) r l v r 有b l l u l 占t r ( x ，u ) ，r ( x ，0 ) 三 0 ，i 风( z ，缸) i 6 2 l u i 而一1 ， 1 7 第三章一类渐进线性薛定谔方程解的存在性 ( 玩) 0 a ( - z + ) 下面介绍一下本文用到的一些基本知识，首先定义函数空间。 日1 ( ) ：= t 正l 2 ( r ) ：v u l 2 ( r ) 】， 相应的范数为 i l u l l “= ( ( i v u l 2 + u 2 ) 出) 妒( ) 中u 的范数为 l u l p = ( 出) ； 令 e = u h 1 ( ) ：( 1 v 训2 + 口( z ) 让2 ) d x 0 0 一 则e 是一个h i l b e r t 空间，对应的内积为 ( u ，u ) e = ( i v u ll w i + v ( x ) u v ) d x 其范数为i l u l l e = ( u ，让) ￥2 ，以下分别简记为( 乱，可) ，i l u l l 显然对v s 2 ，2 】，eq 口( 冗) 是连续的 问题( 3 1 1 ) 对应的泛函为 讹) = 百1 上( i w l 2 + 巾) 奶一上f ( 删) = 丢( i i 缸+ 1 1 2 一i i u 1 1 2 ) 一f r nf ，缸) ， u e 其中f ( x ，让) = j ：；，( z ，8 ) d s ，缸= u 一+ “o + 矿，牡一e - , 护e o ，u + e + 并且 e 一，e o ，e + 分别表示由负，零，正的特征值所对应的特征函数生成的空间 根据前面的假设我们知道i c 1 ( e ，r ) ，并且 ( j 协) ， ) = ( v u v v + u ( z ) u u ) 一，( z ，u ) 口 ，r - ，r = ( 仳+ 一u 一， ) 一，( z ，u ) 移， v u ，u e 因此，j 的临界点对应着问题( 3 1 1 ) 的解 s 是一个薛定谔算子，且s ：= 一+ 口下面我们给出s 在( 0 ，p ) 中的全部特 1 8 曲阜师范大学硕士学位论文 征值，并且0 p 1 p 2 触 0 ，z z ，使得i = r ，定义 m ：= 牡= y + a z ：i i t 正0 p ，入0 ，y y ) m o ：= t = y + a z ：y ri l u l i = p ，入0 ，或者i i u | i p ，入= o ) ， n ：= u z ：l l u l i = r 假设妒c 1 ( x ，r ) 使得 若妒满足( p s ) 。条件，其中 6 ：= 1 n f 妒 a 净m a x 妒 c ：= i n fm a x i j o ( 7 ( u ) ) r e pu e m p ：= ，y c ( m ，x ) ：，y i 梳= i d 则c 为妒的临界值 引理3 2 1 ( 【2 5 1 ，l e m m a 3 4 ) 在假设( 日1 ) 下，对v s 【2 ，2 。) ，eq 口( r ) 是紧的 引理3 2 2 假设( 吼) 一( 凰) 成立，则存在p 0 使得 那么 七：= i n f ( o b pne + ) 0 证当p 2 时，由( 飓) 一( 凰) 知，对垤 0 ，存在岛 0 使得 ( x ，让) e f “i + l 乱l p ， f ( x ，让) s 2 + l u l p ， 1 9 第三章一类渐进线性薛定谔方程解的存在性 从而 ， f ( z ，u ) l l u l l l + i l u 昭 j r ( 1 2 + c 。l l u l l p ) 当i l u l l _ 0 时，我们有厶nf ( x ，u ) = o ( 1 l u l l 2 ) 因此 ，u ) = 扣1 1 2 _ f a n f ( 掣) 。， 故 k ：= i n f 咖( o b pn 矿) 0 引理3 2 3 假设( 凰) ，( 凰) 成立，p o ( 见引理3 2 2 ) ，则对v wcy o ，有 s u p i ( e w ) 0 ，使得s u p i ( e w b r w ) 一o o ，其中u e w 否则， 3 m 0 ， 哟) ce w ，当i i 吻0 _ o o 时有i ( u j ) 一m ，歹n 定义：= 吻1 1 i i ，则不妨假设其子序列仍为，那么有 j 移，哼j 移一，谚_ u o ，哼一矿 知酽_ i i m 龆1 27 一厶等 2 = 器蒜， 卜。 下面我们证明矿o 不然由( 3 2 1 ) 矢1 1i i 口；i i o ，从而- - 4v 0 ，厶罨帮一 0 令r ( x ，t ) ：= f ( x ，乱) 一言p 缸2 ，则当l u l _ 0 0 时，r ( x ，u ) u 2 0 ，那么 邮，= 上n 智 2 黧z l u j 乏一t ，却学似2 2 ， 三肛厶警警型一k 訾产 = 扣吻i ；一。( 1 ) ， 曲阜师范大学硕士学位论文 由( 3 2 2 ) 可知，i 暖_ 0 ，从而l i i l - o ；这与1 1 l | = 1 矛盾，故矿0 得 证 因 。口+ 1 1 2 一l l u 1 1 2 一 卢u 2 = l i 秽+ 1 1 2 一l l u 1 1 2 一p l 口i ； i l u + 1 1 2 一p i 可层 i i u + 1 1 2 一p ( 1 + i ；+ i o l ；+ l 口一l ；) l i 口+ 1 1 2 一p i u + l i p 知i v + i ；一p 阿+ l ； = 一( p p 知) 1 秒+ i ； 0 。 则存在冗 0 ，使得 l l 钞+ 1 1 2 一l l 钞一1 1 2 一 p 口2 0 使得引8 口冬k ，其中 q ：= u = t , 一- i - t 正o + 8 e l ：u 一十u o e oe o ，8 0 ，i l u l l r l 2 1 ， 第三章一类渐进线性薛定谔方程解的存在性 3 3 主要结果 定理3 3 1 假设( 日1 ) 一( 日5 ) 成立，则问题( 3 1 1 ) 有一个非平凡解 证由前面的预备知识可知，满足环绕结构，下面我们只需验证任意的( p s ) c 序列都有界即可 取 ) ce 使得 i ( u n ) _ c ，7 ( u n ) _ o 下面用反证法来证明 u n ) 有界 若【牡n ) 无界，则有l i u n i i _ 0 0 首先定义w n7 - - | i u n i i ，则i i i l = 1 不 妨假设其子序列仍为，那么有 j 叫，砖jw 士，破j 叫o 对v 妒钳( 尉) ，我们有 ( 牡：，妒) 一( 乱二，妒) 一卢妒一冗u ( z ，乱n ) 妒_ 0 ， ( 3 3 1 ) j r n- ，兄 由( 4 ) 和h 6 1 d e r 不等式，我们可以得到 志上n 脚川妒志上i 计i 。i 妒i - t o t i c a l l yl i n e a rn o n l i n e a r i t y j ，c a l c v a r p a r t i a ld i f f e q ，2 0 0 4 ，2 0 ：4 3 1 4 5 5 【2 3 】t b a r t s c h ，z l i u ，t w e t h ，s i g n - c h a n g i n gs o l u t i o n so fs u p e r l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a - t i o n s j ，c o m m p a r t i a ld i f f e q ，2 0 0 4 ，2 9 ：2 5 - 4 2 【2 4 】t b a r t s c h ，y d i n g ，o nan o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o nw i t hp e r i o d i cp o t e n t i a l j ， m a t h a n n ，1 9 9 9 ，3 1 3 ：1 5 - 3 7 【2 5 】w z o u ，m s c h e c h t e r ，c r i t i c a lp o i n tt h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o n s m ，s p r i n g e r ，n e wy o r k 2 0 0 6 【2 6 】t b a r t s c h ，c r i t i c a lp o i n tt h e o r yo np a r t i a l l yo r d e r e dh i l b e r ts p a c e s j ，j f u n c t a n a l ， 2 0 0 1 ，1 8 6 ：1 1 1 5 2 【2 7 f a v 孤h e e r d e n ，z w a n g ，s c h r s d i n g e rt y p ee q u a t i o n sw i t ha s y m p t o t i c a l l yl i n e a rn o n - l i n e a r i t i e s j ，d i f f i n t e g r a le