（基础数学专业论文）theta函数恒等式的证明及应用.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 利用经典分析方法及组合计算技巧，例如函数方程，l i o u v i l l e 定理，级数重排等， 本文着重研究t h e t a 函数中的乘积恒等式在对已有恒等式提供新的证明的基础上， 作者发现许多新的有趣的乘积恒等式，并详细讨论它们在组合计算，解析数论等方面 的应用其具体内容如下： 1 利用两种不同的方法，作者建立一个关于两个j a c o b i 三重积之乘积展开的广义 公式，它可以看作是五重积，六重积和七重积恒等式的统一形式作为它的主要 应用，作者推导出许多关于妒( 口) 与妒( 口) 乘积展开的恒等式，并重新证明许多由 c h e n 和h u a n g 得到的g 6 1 1 n i t z g o r d o n 函数恒等式 2 受c h a n 得到的( q ；q ) 罂的二重级数表示公式的启发，作者构造一个新的关于五 重积的差分公式，并澄清迄今为止所出现的四个对称差恒等式之间成对等价的 关系此外，作者重新证明其中另外两个对称差恒等式，并利用c h a n 的( g ；口) 罂 的二重级数表示公式重新确认r a m a n u j a n 的关于分拆函数的模1 1 同余性质 3 作者提出利用l i o u v i l l e 定理作为证明t h c t a 函数恒等式的基本方法，并以w a t s o n 五重积，h i r s c h h o r n 七重积恒等式，四个与分拆函数中r a m a n u j a n 的模1 1 同余有 关的对称差恒等式，以及两个与r o g c r s r a m a n u j a n 函数g ( q ) ，h ( q ) 有关的t h c t a 函数恒等式为范例，论证这种方法的有效性 4 利用j a c o b i 三重积恒等式及其线性组合，作者得到许多有趣的恒等式，其中包括 b a r u a h b e r n d t ( 1 2 ，1 3 】中的t h c t a 函数恒等式，w a t s o n s 2 ，r o b i n sf 7 5 】，b e r n d tc t a l 【1 4 】中的r o g e r s r a m a n u j a n 函数恒等式，以及r a m a n u j a n 9 ，t h m1 6 1 】中的 模函数公式等经典结果 关键词：t h e t a 函数；j a c o b i 三重积恒等式；五重积恒等式；w i n q u i s t 恒等式；r o g e r s - r a m a n u j a n 函数 p r o o f sa n da p p l i c a t i o n so ft h e t af u n c t i o ni d e n t i t i e s a b s t r a c t b yl l l e a n so fc l a s s i c a la n a l y t i cm e t h o da n dc o m b i n a t o r i a lc o m p u t a t i o n a lt e c h n i q u e ， s u c ha sf u n c t i o n a le q u a t i o n s ，l i o u v i l l ct h c o r c m ，s e r i e sr e a r r a n g e m e n t s ，t h i sd i s s e r t a t i o n i n v e s t i g a t e st h ep r o d u c ti d e n t i t i e so nt h c t af u n c t i o n s b e s i d e sg i v i n gn e wp r o o f so fk n o w n i d e n t i t i e s ，t h ea u t h o re s t a b l i s h e ss e v e r a li n t e r e s t i n gp r o d u c ti d e n t i t i e s ，a n dd i s c u s s e sb r i e f l y a p p l i c a t i o n st oc o m b i n a t o r i a lc o m p u t a t i o n s c o n t e n ti ss u m m a r i z e da sf o l l o w s ： a sw e l la sa n a l y t i ct h e o r yo fn u m b e r s 。t h e 1 b ym e a l l so ft w od i f f e r e n tm e t h e d s ，t h ea u t h o rd e r i v e sag e n e r a le q u a t i o nf o r c x - p a n d i n gt h ep r o d u c to ft w oj a c o b i st r i p l ep r o d u c t s ，w h i c hc a nb cc o n _ s i d e r c da s t h ec o m n i o ng e n e r a l i z a t i o no ft h eq u i n t u p l e ，s c x t u p l ea n ds e p t u p l cp r o d u c ti d c n t i - t i e s 。a sm a i nc o n s e q u e n c e s ，t h ea u t h o re x p l o r e sb r i e f l yi t sa p p l i c a t i o n st oi d e n t i t i e s f o rc e r t a i np r o d u c t so ft h c t af u n c t i o n s 妒( f ) a n d 矽( q ) a n dm o d u l a rr e l a t i o n sf o rt h e g s u n i t z g o r d o nf u n c t i o n s 2 。i n s p i r e db yc h a n sd o u b l es e r i e sr e p r e s e n t a t i o nf o r m u l ao f 池餐) 鎏，t h ea u t h o rc o d - - s t r u c t san e wd i i f e r e n c ce q u a t i o no nq u i n t u p l ep r o d u c t s ，w h i c hl e a d st oc l a r i f i c a t i o no n t h ef o u rs y m m e t r i cd i f f e r e n c e st h a ta r ee q u i v a l e n ti np a i r s 。i na d d i t i o n ，n e wp r o o f sa t e p r e s e n t e df o rt w os y m m e t r i cd i f f e r e n c ei d e n t i t i e s a sw e l la sr a m a n u j a n sc o n g r u e n c e m o d u l o1 1o nt h ep a r t i t i o nf u n c t i o n 3 。l i o u v i l l e st h e o r e mo ne n t i r ef u n c t i o n si sp r o p o s e da sap r o v i n gm e t h o df o rt h e t a f i m c t i o ni d e n t i t i e s s e v e r a li d e n t i t i e sa r ee x e m p l i f i e d ，s u c ha st h eq u i n t u p l ea n ds c p t u p l ep r o d u c ti d e n t i t i e s ；f o u rs y m m e t r i cd i f f e r e n c ei d e n t i t i e sr e l a t e dt ot h er a m a n u - j a n sc o n g r u e n c cm o d u l o11o nt h ep a r t i t i o nf u n c t i o n ；嬲w e l la st w ot h c t af u n c t i o n i d e n t i t i e so nt h er o g e r s - r a m a n u j a nf u n c t i o n sg ( q ) a n d 国) 4 b ym e a n so fj a c o b i st r i p l ep r o d u c ti d e n t i t ya n di t sl i n e a rc o m b i n a t i o n ，t h ea u t h o r d e r i v e ss e v e r a li n t e r e s t i n gi d e n t i t i e s ，i n c l u d i n gt h e t af u n c t i o nf o r m u l a ed u et ob a r u a h b e r n d t 【1 2 ，1 3 弘i d e n t i t i e so fr o g c r s - r a m a n u j a nf u n c t i o n s 1 4 ，7 5 ，8 2 】a n dm o d u l a r e q u a t i o n sd u et or a m a n u j a nf 9 ，t h m1 6 1 】 k e y w o r d s ：t h e t af u n c t i o n ；j a c o b i st r i p l ep r o d u c ti d e n t i t y ；q u i n t u p l ep r o d u c t i d e n t i t y ；w i n q u i s t si d e n t i t y ；r o g e r s - r a m a n u j a nf u n c t i o n s i i i 独创性说明 作者郑重声叽本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工 大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料与我一同工作的同志对 本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 作者签各客肚一日期：迦星4 饵朋 大连理工大学博士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权 使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印 件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，也- - f 采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存和汇编学位论文 作者签名： 导师签名： 翔塞箍 沿支爹 殛狃蝴1 l _ 日 7 3 大连理工大学博士学位论文 0 绪论 t h c t a 函数为一种多复变特殊函数，是椭圆函数论【8 4 ，p 4 2 94 6 1 】中的基本课 题，与组合数学，解析数论，模形式等都有着密切的联系，在抛物型线性偏微分方程 的发展，r i c m a n n z c t a 函数的研究，以及自然数的甲方和表示等方面有着举足轻重的 地位f 9 ，1 5 ，1 6 ，s 4 例如：j a c o b i 利用一个t h c t a 函数恒等式证明了著名的l a g r a n g c 四甲方数和定理；r a m a n u j a n 利用t h c t a 函数理论得到了许多有关连分式的结果因 此，研究t h c t a 函数有着非常重要的意义，发现和证明t h c t a 函数恒等式也是组合数 学家和特殊函数学家非常感兴趣的问题 本文利用经典分析方法及组合计算技巧，如函数方程，l i o u v i l l c 定理，级数重排 等，发现和证明许多有趣的t h c t a 函数恒等武 我们回顾一下t h c t a 函数的定义及其发展历史首先，给出一些基本概念及记法： 对任意的q ，z ，定义以q 为基，z 的，。次升阶乘为 几一1 ( 钏) o ：= 1 ，( 础) 。：= n ( 1 一z q i ) ，其中n = 1 ，2 ，3 i = o 当i q l 0 ，z 为任意数下面以0 3 ( z ；口) 为例，说明这类函数的收敛性若 a 为任一正的常数，则当a 时，对于任意正整数n ，有 i q n ；e 2 i 2 q n 2 1 e 士2 n a 令凸。= f q n 2 l e 士2 吨，则对于级数巽一。n 。，由正项级数收敛性的比式判别法可知 竺型： q 2 n + l l e 2 a 一0 n _ 0 u n 所以，级数巽一o 。妒2 i e 士2 吨是收敛的，则在2 的任意有界区域内，0 3 ( z ；q ) 都是解析 且一致收敛的 j a c o b i 是第一位系统研究t h e t a 函数的数学家，他从椭圆函数的基本理论出发， 运用纯代数的方法，得到了许多关于t h c t a 函数的漂亮且不平凡的公式例如著名的 j a c o b i 三重积恒等式【1 4 ，p 3 5 ，e n t r y1 9 】【6 1 】： 定理0 1 ： + o o 【q z ，q 训】。= ( 一1 ) ng ( 譬) x n 2 +nn + 一 枷脚 = + 一 佃一 = 口 珏d 卜 佃脚 = + + 佃一 = g 大连理_ 工大学博士学位论文 利用j a c o b i 三重积恒等式，我们可以把上述四种定义裘示为如下的无穷乘积形 口l ( 名：q ) = 2 q i l ( iz ) ”q 2 e 2 z iq 2 e 咄i ；嗣。； 如( 2 ；擘) = 2 9 ”一q 2 e 2 z i 一鼙2 e - 2 z i ；q 2 】。； 0 3 ( z ；q ) = 【q 2 ，- q e 2 “，- q e q 新；口2 ； 0 4 ( z ；q ) = q 2 , q e 2 z i , q e 以；譬2 】 经过计算，不难得到如下的一些相互关系： o l ( z + 琴；q ) = 0 2 ( z ；q ) ， 0 3 ( z + 考；q ) _ 0 4 ( z ；q ) ， o i ( z + 7 r ；q ) = 一9 l ( z ；口) ， 如( 。+ t o ；q ) = 0 3 ( 。；譬) ， 0 1 ( z + 警；i ；) = i b 0 4 ( z ；q ) ， 0 3 ( z + 等；q ) = s 0 2 ( z ；q ) ， 0 1 ( z + 竽；q ) = b 0 3 ( z ；q ) ， 如( z + 字；q ) = i b o l ( z ；q ) ， 0 1 ( z + 7 r 7 - ；q ) 一- q 一1 e - 2 z r 0 1 ( z ；口) ， 0 3 ( z + n - ；q ) 一q - 1 p 一如如( z ；g ) ， 0 2 ( z + 兰；q ) = 一拶l 2 ；窜) ， 0 4 ( z + 鲁；q ) = 0 3 ( z ；q ) ； 如( z 十丌；q ) = 一如( z ；g ) ， 如( 。+ 符；q ) = 如( z ；窜) ； 0 2 ( z + i 7 y t ；q ) = b 0 3 ( z ；q ) ， 如( 。+ 等；譬) = i b o l z ；g ) ； 0 2 ( z 十2 竽；口) ：一i b 0 4 ( 训) ， 0 4 ( ：+ 至= 矣! ；窜) ：b 0 2 ( 2 ；垡) ； 0 2 ( 2 + n t ；g ) = 一q - - 1 e - 2 z i 0 2 ( z ；g ) ， 学4 ( z + 7 c t ；q ) = q - 1 8 2 靠0 4 ( 名；g ) ； 其中b 一譬一 e 吨。 而从以上这些相互关系式可以看出，j a c o c it h c t a 函数的这四种定义是相互等 价的，任何一种函数都可以由具有相同参数的其它三种函数单独表出! 关于j a c o b i t h e t a 函数豹更详细的发展羼变和结果，请参考w h i t t a k e r 释w a t s o ni s 4 ，p 。4 6 2 4 9 0 。 关于这类函数的最新进展为：1 9 9 3 年，利用留数定理，f a r k a s 和k o p c l i o v i c h 4 5 ， 4 翻得到了许多t h c t a 函数慑等式他f 强基本思路是：首先利用具有有理特征的 t h c t a 函数来构造椭圆函数；然后通过对这些椭瞒函数应用留数定理，即可获得含有 待定常数的t h c t a 函数恒等式；最后通过取特殊值就可以求出待定常数他们的工作 表明留数定理是获得t h c t a 曝数恒等式的一种行之有效的工具。最近，耧蔫这种方法， l i u 发表了一系列的文章，得到了大量的有关t h e t a 函数和椭圆函数的恒等式，具体 情况可以参考【6 6 ，6 7 】等 3 t h c t a 函数恒等式的证明及应用 印度天才数学家r a m a n u j a n 在t h e t a 函数方面做出了非常重要的贡献没有受 j a c o b i 等其他作者的影响，甚至没有利用椭圆积分的标准符号和经典椭圆函数的理 论，他利用独特的理论体系，不仅推广了t h e t a 函数的理论，给出了一种看起来更一般 的定义，还得到了有关它更多的性质，而这些性质中包括了很多经典结果特别地，他 重新获得了j a c o b i 代表作“f u n d a m c n t an o v at h e o r i a cf u n c t i o n u me l l i p t i c a r u m ”【61 1 中的许多公式r a m a n u j a n 的这些结果大都记录在他的遗稿里，但是其中并没有给 出相应的证明现在，这些重要公式的证明已经由b e r n d t 及其合作者基本完成，并收 集在r a m a n u j a n sn o t e b o o k s 五本巨著以及正在出版的r a m a n u j a n sl o s tn o t e b o o k s 的四卷本专著中 r a m a n u j a ng e n e r a lt h e t a 函数( a ，b ) 定义如下【1 4 ，c h a p t e r1 6 】： + o o ( a ，6 ) = a n ( n + 1 ) 2 b n 州胆， l n 6 | 0 ) ， 又有l ( a ，b ) = 0 3 ( z ；口) 从以上两个关系式可知，t h c t a 函数的这三种定义是相互等价 的，然而它们都有着不可替代的作用，针对不同的研究目标，它们所使用的技巧不同 例如，对于j a c o b it h c t a 函数，需要利用许多的代数与分析技巧，显得比较深奥；对于 r a m a n u j a ng e n e r a lt h e t a 函数符号，利用了更多的组合计算技巧，显得简单易懂，更受 r a m a n u j a n 及其研究者们的欢迎在本文中，为了书写的方便，我们主要使用f ( a ，b ) 和( z ；g ) 。两种记法 在t h c t a 函数的发展过程中，数学家们得到了许多重要的t h e t a 函数恒等式，它 们在组合计算，解析数论等方面起着非常重要的作用其中最简单也是最著名的一个 4 大连理工大学博士学位论文 就是前面所说的j a c o b i 三重积恒等式【1 4 ，p 3 5 ，e n t r y1 9 】【6 1 l ： + k z ，q x ；q 一( 一l 誓) z 对于这个恒等式，a n d r e w s 障c h uf 3 4 j ，e w c l lf 黝】，l e w i sf 6 5 ，m o l d e l lf 6 9 ，w r i g h t 【8 7 】 等给出了许多有趣的证明和推广。下一个就是著名的w a t s o n 五重积恒等式： 定理j 2 ： ，譬剐】够霉屈2 ；譬2 】。一( q 2 ；q 2 ) 。譬3 洳1 - - x p 。 五重积恒等式最晕以为是由w a t s o n 8 1 发现的，后来却在r a m a n u j a n 的遗穗中也发 现了它，这一点已经由b c r n d t 在 1 4 ，p 8 3 1 中澄清到目前为止，关于孤重积恒等式， 人靠】陆续我到了龄多种不商酶谖瞪及推广，龙其值得一楗的是由c h c n - c h u g u 溶2 ， g u o - z e n g 【5 4 ，m af 6 s ，p a u l c 【7 0 】等给出的几种有限形式表达式，这些工作表明五重 积恒等式可以由一些j 常简单的代数等式直接得到。关于它嬲的最详缀的文献可参 考c o o p e r 【3 7 1 9 6 9 年，w i n q u i s t 8 6 】发现了一个有趣的对称差恒等式： 定理o 。3 ：对于双变量丞数u ( x 。y ) p ，) 一v ( q 3 ；q a ) 圣 协3 ，口3 ；矿) 。o 一剪p 3 ，q 2 y 3 ；口3 ) 。) + o o + = y ( 一1 ) q 3 ( ；) z 3 i ( - 1 ) y 3 j 一剪卜巧) q 3 ( ；) 钾， z = 一 j 一。l 存在如下的对称差恒等式： u ( x ，y ) 一钍( 软) = 爹( 譬；譬) 釜p ，y ，x y ，：r y ；晕。 这个公式在证明关于分拆函数r a m a n u j a n 的模l l 同余性质中起了非常重要的作用 随薏 c a r l i t z - s u b b a r a o 2 6 】霹h i r s c h h o r n 【5 7 】分剐给毒了这个式子含有匿个参数的推 广形式后来，通过巧妙地合并两对五重积恒等式，k a n g 【6 2 】又给出了这个式子一个 耨鼢筒单 罨明1 9 9 5 年，e w c l l 4 1 ，t h m1 1 l 发现了一个漂亮的六重积憾等式： 定理o 4 ： + o 。 + o o ( q 2 ；q 2 ) 鹜一q 善y ，一q x y ；q 2 o 。= 譬籍2 z 鬈窖2 箩搿 i = - o o j = 一o o 5 + 萝 g巧 枷一 +豁 髫 + 程 佃一 + t h e t a 函数恒等式的证明及应用 并把它应用于证明有关分拆函数的同余性质，具体细节可参考e w c l l 【4 1 ，4 2 ，4 3 ，4 4 】 1 9 8 3 年，t l i r s c h h o r nf 5 6 1 发现了七重积恒等式： 定理( ) 5 ： ( q 2 ；q 2 ) 琵( 郴2 ；q 2 ) 。= ( 一v 1 。) 。( q 弋q 1 。) 。( 一1 ) 叮班3 i1 + v 6 i p t = 一o c 一( g l o iq l 。) 。( 譬2 ；牮1 。) 。( 一1 ) i 譬5 以 1t q 2 i x p + 1 ， 但这个公式当时没有引起人们的注意i 9 9 9 年，f a r k a s 和k r a 4 7 】重新发现了它，并给 出了其一个组合解释后来，c h a p m a n 2 9 ，f o a t a - h a n 【4 8 1 ，g a r v a n 【5 0 ，k o n g s i r w o n g - l i u 【6 4 】等又给出了多种不同的证明和推广此外，1 9 9 2 年，c h u 在美国数学月刊【3 3 上提出了八重积恒等式： 定理o 6 ：对于满足a 2 = b o d e 的a ，b ，- d ，p ，存在如下的等式： ( a b ，a c ，a d ，a e ；q ) 。一b ，c ，d ，e ；g 。= b a ，a b e ，a b d ，a b e ；譬) 利用这个公式，c h uf 3 5 ，3 6 】发现并证明了很多t h e t a 函数恒等式，其中最重要的是成 功地找到了两个类似于w i n q u i s t 恒等式的对称差公式，而它们的直接应用便是给出 了关于分拆函数r a m a n u j a n 的模l l 同余性质的新证明 另外，我们简单介绍两种与t h c t a 函数有关的重要的函数恒等式首先就是利用 r o g e r s - r a m a n u j a n 恒等式 t 1 2 g ( q ) 1 2 三赫2 丽厮1 丽， o 。 n 2 4 n 龇) ：= 三赫2 而丽1 定义的r o g c r s - r a m a n u j a n 函数恒等式r o g e r s r a m a n u j a n 恒等式首先是由r o g e r s 7 6 】在1 8 9 4 年利用一个变换公式和j a c o b i 三重积恒等式导出的，当时没有引起人们 的注意，而后在1 9 1 3 年又由r a m a n u j a n 【7 1 1 独立发现后来，利用g ( q ) 与h ( q ) 之 间的特殊关系，r a m a n u j a n 给出了4 0 个有趣的关于a ( q ) 与h ( q ) 的代数关系的恒等 式【1 9 ，2 1 】目前，这些等式的证明已经由b i a g i o l i 2 0 ，b r e s s o u d 2 2 ，2 3 ，r o g e r s 7 7 ， w a t s o n 8 2 】等基本完成 类似地，利用b r e s s o u d ，r o g e r s ，w a t s o n 等证明r o g e r s - r a m a n u j a n 函数恒等式的 技巧，c h e n 和h u a n g 【3 1 ，5 9 1 得到了许多有关g 6 1 1 n i t z - g o r d o n 函数的模关系恒等式 6 大连理工大学博士学位论文 其中，g s l l u i t z - g o r d o n 函数是由g s l l n i t z 【5 1 】与g o r d o nf 5 2 】给出的： l ( q ；口8 ) 。；矿) o o ( q 7 ；q s ) 。1 1 一可河瓦评孑西矿矛焉 ( 0 0 2 a ) ( 0 0 2 b ) 由于r o g c r s - r a m a n u j a n 恒等式在数论，代数学，组合分拆理论以及统计物理中 有着非常广泛的应用 2 ，4 ，5 ，6 ，7 ，1 0 ，1 1 ，2 4 ，4 9 ，7 8 ，s o ，因此，研究r o g c r s - r a m a n u j a n 函数恒等式及g s l l n i t z g o r d o n 函数恒等式不仅是数学家们感兴趣的一个课题，而且 也是物理及应用科学家们非常关注的领域 7 i l 协 2 2 矿 矿 魏而a 而也h 等脚 d d 双 职 大连理工大学博士学位论文 1 两个三重积的乘积展开公式 仔细观察五重积，六重积，七重积恒等式的形式，我们可以发现，其实它们都是 两个特殊j a c o b i 三重积的乘积在这一章中，我们得到一个关于两个三重积之乘积 展开的广义公式，并考虑它在研究组合恒等式，特别是t h c t a 函数恒等式方面的应用， 进而推出许多有趣的结果，其中包括c h c n 和h u a n g 的两个一般性公式 l1 五重积，六重积，七重积恒等式的统一形式 这一节我们将给出并证明上面所说的广义公式，它可以看作是五重积，六重积， 七重积恒等式的共同推广 定理1 1 ：令a ，p ，1 为满足g c d ( a ：1 ) = 1 ，入= 1 + q 俨1 的三个自然数，则对任意的 z 0 ，y 0 ，存在如下的等式： ( 譬q ；母o ) 。( z ；q a ) o 。( q 7 ；9 1 ) ( z 1 萝；q 7 ) o o n f l 2 1 = ( 一1 ) 。q ( i ) n z 。( 口1 口；口 a ) 。( ( 一1 ) 叩夕口p g ( 7 ) 7 + z 口；q a 。) 。 = 0 ( q a 7 ；g 1 ) 。( ( 一1 ) 融可芎1 ) q 一q p 7 ；一) 。 证明：定义双变量函数f ( z ，y ) = ( n 矿) o o ( z ；矿) 。( q 7 ；q 1 ) ( z ，7 y ；，) o o 不难看出f ( z ，y ) 在0 。一z ( 口2 ；口2 ) 乙( 一y ，一q x 2 可；口2 ) 。o 作代换q q 2 ，z _ 一q x y ，y 一1 y 2 ，上式可以转化为e w c l l 所发现的六重积恒等式 4 1 ，t h i n1 1 】： ( q 2 ；q 2 ) 毛( 一q x y ，一q x y ；q 2 ) = q 2 护z 瓤q 2 j 2 y 巧 i = 一 = 一“ + 0 0+ o o +f2 i ( ) z 2 fq 2j(j+1)y2jq qy+1 + 2 一p ”场“l ” 由于上述六重积恒等式有着非常漂亮的对称形式，所以，e w c l l 找到了许多在分拆函 数的同余性质方面的有趣应用，具体情况可以参考【4 1 ，4 2 ，4 3 ，4 4 1 1 3 h i r s c h h o r n 七重积恒等式 在定理1 1 中取p = 2 ，我们可以得到下面的等式 命题1 7 ： ( 口。；q “) 。伍；口。) 。( ，；9 7 ) 。x 2 7 可；矿) 4 口一y ：( 一1 ) 2 q ( ：) a ( 口1 ( i + 4 a 7 ) ；口1 ( 1 他1 ) 。( yq ( 2 譬1 ) a 一1 ；口7 ( 1 + 4 0 ) 。 x ( q a ( 1 + a n 7 ) ；q a ( 1 + 4 。7 ) ) 扛l + 4 a l y 2 。口( 弩) ，y + 融；g d ( 1 + 4 n 1 ) ) 在上述命题中令“= 7 = 1 ，q q 2 ，便得到如下形式的七重积恒等式的推广 推论1 8 ( 推广的七重积恒等式) ： + o o ( q 2 ；q 2 ) 色( z ，z 2 y ；q 2 ) o o = ( q 1 0 ；q l o ) 。( q 6 y ；q l o ) o 。( 一1 ) q 5 i 2 - 3 i z 5 i y 2 t = 一o 。 1 2 一( q l o ；q o ) ( q 2 y ；q o 。o ) i q 5 i 2 - i 茁褂1 沪 i = 一o 。 + 。o 一( q i o ；q 1 0 ) 。( 窜8 y ；q “) 。( 一1 ) q s i 2 + i 。5 y 班“ = 一 + + ( q 1 0 ；q l o ) ( q 4 y ；q l o ) o o ( 一1 ) i q 5 i 2 + 3 i z 5 汁3 y 2 件1 ：= - o o + 一( q m ；q l o ) 。( 粥1 0 ) ( 一1 ) q 舻娟+ 2 2 5 州y 2 则对应的两种特殊的七重积恒等式分别为： 例1 9 ( h i r s c h h o r n 七重积恒等式：在推论1 8 中令y 一1 ) 2 22 ( 舻) 。：( q l o ；q l o 蹦q 4 ；q l o ) 。董( - 1 ) ；q 5 i 2 - 3 i l + 矿i x 3 p + 一( q l o ；q l 。) 。窜2 ；口l 。) ( 一蝻5 乳l1 + q 2 i x p q 。 例1 1 0 ( k o n g s i r i w o n g - l i u 6 4 ，e q7 3 6 】：在推论1 8 中令z _ 彬，y q - 1 ) ： + o o ( 窜2 ；2 ) 蝥孽2 ：譬z 2 ；矿。= ( q l o ；q 1 。) 。矿；9 1 0 ) 。( 一1 ) i 举瓤2 2 5 一( q 1 0 ； 1 0 o 。q ；q l o 。 一( q 1 0 ；q 1 0 ) 。( q 3 ；q l o ) 。4 - o o ( - 1 1 i i q s i 2 + 4 i + 1 1 - q 2 i + l x 髫褂。 1 1 4 其它的t h e t a 函数恒等式 由于定理1 1 中的五个参数盼任意性，则对它们取一定盼特殊值，就可以从中得 到更多的t h c t a 函数恒等式在这一部分中，我们将列举四个含有符号变量的恒等式 以及四个出现在k o n g s i r i w o n g - l i u 【6 4 】中的有趣公式 例1 1 1 ( s t a n t o n 7 9 1 ：在推论l 3 中4 - z 一一孵，蓼一一q - i ) ： + 0 0 ( g ；哼) ( 一q x ；q ) ( 鼋2 ；9 2 ) 。一譬卫2 ；霉2 = ( q 6 ；q 6 ) 。( 一1 ；q 6 。窜3 ( i ) + 3 件1 2 3 讳1 z = = 一0 0 十 + ( 口6 ；矿) 。( 一q 2 ；口6 ) 。9 3 ( 扣1 + q 2 i + 1 x 2 ) 。瓢 1 3 彗 t h c t a 函数恒等式的证明及应用 例1 1 2 ( 在推论1 3 中令z 一一q x ，y _ 一q - 2 ) ： ( ( f ；q ) 。o ( 一q x ；口) 。( q 2 ；q 2 ) 。( 一z2 9q 2 o 。= ( 口6 ；q ) 。( 一q 3 ；q ) o 。 t = 一o o 科卅“j ：3 i + 2 + o o + ( q 6 ；口6 ) 。( 叫口6 ) 。p 3i ) + 1 + q i z p 例1 1 3 ( 在推论1 3 中令z 一一口，：，”一- q 1 ) ： l = 一。c + o 。 ( 口2 ；口2 ) 蛩( 一q x ，- - q x 2 ；q 2 ) 。= ( q l o ；q l o ) ( 一q 5 ；q l o ) 。口5 2 2 2 5 i i = 一o u + ( q l o ；q l o ) o o ( 一口；q l o ) o o t = 一 q 5 i 2 + 2 i + 1i + q 6 i + 3 t , 3p + 1 + + ( 口1 0 - 口l 。) 。( 一口3 ；口1 。) 。q 5 i 2 + 4 i + 11 + q 2 i + l x p + 2 例1 1 4 ( 在推论1 ，3 中令z 一一q x ，y 一- q 一2 ) ： ( q 2 ；f 2 ) 蛩( 一q z ，一x 2 ；q 2 ) o o = ( q l o ；q l o ) 。( 一1 ；q l o ) 。 + ( q 1 0 ；q l o ) o o ( 一矿；q l o ) 。 + ( q l o ；q 1 0 ) o o ( 一q 2 ；q l o ) + l = 一 + 。o l = 一 q 5 i 2 - 2 i 1 + q 4 i x 2 p q 5 i 2 + 4 i + 1 1 + q 2 i + l x p + 3 例1 1 5 ( l i uc ta l 【6 4 ，t h m6 】：在推论1 1 中令a = p = 1 ，q q 2 ，z q x ，y q 一1 ) ： ( 9 2 ；q 2 ) o o ( q x ；q 2 ) o o ( 9 2 1 ；口2 1 ) ( z 1 ；q 2 - y ) 。 =扣，tqe2妻帆刊以饿+1)啊 o o ( 口2 7 ；q 铆) o o ( g r z 7 ；口2 1 ) = 扣，e q e 2 鹰，( - r + 1 ) i q ( - r 2 + - r ) i 2 - 2 1 y i ) = ( 一1 ) ( 一1 ) = o 、i = 一 7、 + ，2 一q n + 1 2 + 2 巧z c l + ”，+ 2 ) 例1 1 7 ( l i ue ta l 6 4 ，t h ms l ：在推论1 1 中令n = 1 ，= 2 ，