（基础数学专业论文）抛物型偏微分方程的efg方法及其误差估计.pdf

东北大学硕士学住论文摘要 抛物型偏微分方程的e f g 方法及其误差估计 摘要 无网格方法是目前国内外数值分析研究的热点之，以移动最小二乘近似为基石出的 无单元伽辽金法( e f g ) 就是无网格法的一种它采用移动最小二乘近似构造近似函数， 利用g a l e r k i n 法得到等效的积分方程，并用相应的边界处理方案对本质边界条件进行处 理，从而得到微分方程的g a l e r k i n 弱形式 首先，本文系统介绍了无网格法的产生、发展及其优点并详细介绍j 无网格 g a l e r k i n 法的基本原理，这一部分主要介绍了移动最小二：乘近似的函数逼近方法、边界 条件的处理和积分方案 其次，由于无网格法的近似函数不是插值函数，所以无网格g a l e r k i n 法在处理边界 条件和对区域积分时是不同于有限元的，它有其独特的处理方法从加权残繁法一一， g a l e r k i n 出发，推导出抛物型偏微分方程无网格g a l e r k i n 法的基本方程，并对影h 向无网 格g a l e r k i n 法的主要因素进行探讨，给出了取得最佳效果的相应建议 再次，在“椭圆g a l e r k i n 投影”算子的误差估计的基础上，对用e f g 法解抛物型 偏微分方程的e f g 解与精确解之间作了半离散和全离散的误差估计半离散的误差估 计表明所给出的误差界限关于，的阶是与子空间s 。的逼近阶相一致的全离散的误差估 计表明所产生的误差不但与影响域半径r 有关，而且与离散时间变量的步长r 及其离散 方式有关 最后，给出数值算例且编制了相应的m a t l a b 程序，算例表明，该方法具有计算 精度高、前后处理方便等优点 关键词：无网格方法：无单元伽辽金法；移动最小二乘近似；误差估计；抛物型偏微分 方程；罚函数 i i 垄些垄茎塑主兰堡垒查 垒曼塑：! 垒曼7 1 ： e f gm e t h o do fp a r a b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n a n de r r o re s t i m a t e a b s t r a c t m e s h l e s sm e t h o di so n eo f t h eh o ts t u d i e si nn u m e r i c a la n a l y s i sb yf a rb o t ha th o m ea n d a b r o a d a n de l e m e n tf r e eg a l e r k i nm e t h o di so n eo fm e s h l e s sm e t h o d si ne f g mt h es h a p e f u n c t i o ni sc o n s t r u c t e db yt h em o v i n gl e a s ts q u a r e ( m l s ) a p p r o x i m a t i o n ，a n di tm a k e su s eo f t h eg a l e r k i nm e t h o dt o g e ti t se q u a li n t e g r a le q u a t i o n ，t h e nt h r o u g hd e a lw i t he s s e n t i a l b o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dg e t st h eg a l e r k i nw e a kf o r mo f d i f f e r e n t i a le q u m i o n f i r s t l y , t h ep a p e rs y s t e m a t i c a l l yi n t r o d u c e st h eb a c k g r o u n dk n o w l e d g ea n dp r e s e n t d e v e l o p m e n to fm e s h l e s sm e t h o da n di t sa d v a n t a g e s d e t a i l yi n t r o d u c e st h eb a s i ct h e o r yo f e f g m t h i sp a r tm a i n l yg i v eap r e s e n t a t i o no ft h em o v i n gl e a s ts q u a r ea p p r o x i m a t i o n ，t h e m e t h o d so fd e a l i n gw i t hb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，i n t e g r a ls c h e m e s s e c o n d l y , p o i n to u tt h a tm e s h l e s sm e t h o di sd i f f e r e n tf r o mf i n i t ee l e m e n tm e t h o di n h a n d l i n gb o u n d a r yc o n d i t i o na n dn u m e r i c a li n t e g r a lb e c a u s et h ea p p r o x i m a t i o nf u n c t i o no f m e s h l e s sm e t h o di sn o ti n s e r t e df u n c t i o n ，i th a v ei t s e l fs p e c i a lm e t h o d s d e d u c e sm e s h l e s s g a l e r k i ne s s e n t i a le q u a t i o no fp a r a b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t ht h em e t h o do f w e i g h t e dr e s i d u a l s - - g a l e r k i n f u r t h e r m o r e ，d i s c u s s e st h em a i nf a c t o r sw h i c hm a ye f l e c t t h ec a l c u l a t i o np r e c i s i o na n dg i v es o m es u g g e s t i o nw i t hw h i c hc a ng e tt h eb e s tr e s u l t t h i r d l y , o nt h eb a s eo ft h ee x i s t e n t e r r o re s t i m a t eo fe l l i p t i c a lg a l e r k i np r o j e c t i o n o p e r a t o r , o b t a i ns e m i - d i s c r e t ea n dc o m p l e t e d i s c r e t ee r r o re s t i m a t e sb e t w e n te f gs o l u t i o n a n de x a c ts o l u t i o no fp a r a b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s e m i - d i s c r e t ee r r o re s t i m a t es h o w t h a tt h er a n ko fri sa c c o r d a n c ew i t ht h e a p p r o x i m a t i o nr a n ko fs u b s p a c es c o m p l e t e d i s c r e t ee r r o re s t i m a t e ss h o wt h a ti tn o to n l yh a v er e l a t i o nw i t hr a d i u sro fd o m a i no f i n f l u e n c e ，b u ta l s oh a v er e l a t i o nw i mt h es t e pl e n g t ho f t i m ev a r i a b l ea n dt h ew a yo f d i s c r e t e l a s t l y , g i v et y p i c a le x a m p l e sa n dd r a wu pp r o c e d u r e so fm a t l a b t h ec a l c u l a t i o n s h o w se f gm e t h o dh a v em a n yv i r t u e s ，s u c ha s ，t h ec o r r e c t n e s sa n dh i g hp r e c i s i o n ，t h e d i s p o s a li sc o n v e n i e n tb e f o r ea n da f t e rs o l v ep r o b l e ma n ds oo n k e yw o r d s ：m e s h l e s sm e t h o d ；e l e m e n tf r e eg a l e r k i nm e t h o d ：m o v i n gl e a s ts q u a r e a p p r o x i m a t i o n ；e r r o re s t i m a t e ；p a r a b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；p e n a l t yf u n c t i o n i i i 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中驿艾得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同上 作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签名：白硒镪 曰期：口口弓。弓 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北大学可以将学位论文的伞部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师不同意在网上交流，请在下方签名：否则视为同意。) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： 东北大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 近几十年来，有限元作为一种有效的数值方法得到了广泛应用，是目前数值分析的 有力工具，但有限元近似基于网格，因此必然难于处理与原始网格线不一致的= _ _ f i 连续性 和大变形，复杂三维结构的有限元网格生成也是极其挑战性的问题有限元法要以单冗 为单位进行积分方程的积分计算，当被研究对象产生较大的变形时，有限元网格可能会 产生严重扭盐，出于节点位置的变化导致的单元畸变而无法实现积分计算，不仅要考虑 网格重划和自适应方法，而且严重地影响解的精度鉴于有限元的这些缺陷，人们直 在寻找一种更为有效、简便的、不需要划分网格的数值方法，无网格法应运而生与 f e m 方法和f d m 方法一样，无网格方法也是求解微分方程最好的数值模拟方法之一， 但是，f d m 只能求解具有规则几何形状而且网格划分也比较规则的研究对象，采用无 网格方法则能够解决f d m 方法以及f e m 方法遇到的形状不规则问题，实际上，无列格 数值模拟方法是根据任意节点位置而不是使用明显的单元网格而使被研究对像离散化 的它采用基于点的近似，可以彻底或部分地消除网格，对节点或背景单元进行积分计 算，在大变形或变形畸变处简单地增加节点而不需要重划网格，不仅可以保证计算的精 度，而且可以减小计算的难度 无网格法与有限元的根本区别在于形成形函数的方法不同，有限元法的核心在于分 片插值，它是将所研究的连续场分割为有限个单元然后用比较简单的插值函数来表示每 个单元的解因此，有限元子空间的形函数取决于各单元的几何形状而无网格法只根 据节点信息和边界条件建立离散方程。采用节点来构造插值函数而不需要节点之间的联 系，因此，能方便准确的处理严重畸变，而且能够傈证在整个区域里近似函数的连续性 和各节点之间的连续性近年来，无网格法得到迅速发展，是目前科学和工程计算方法 研究的热点 1 2 无网格方法的产生与发展 从2 0 世纪7 0 年代开始无网格方法就已经出现，最早的无网格方法概念可追溯到 1 9 7 0 年由l u c y 1 1 提出的光滑粒子法( s r n o o t h e dp a r t i c l eh y d r o d y n a m i c s ，即s p h ) ，用以模 查些查主墅主芏堡垒塞釜= 芏鲨堡 拟天体物理现象星球旋转及尘云( d u s tc l o u d s ) ，并且成功地应用于天体物理领域 中：近几年来，我国的学者也开始关注s p h 法，张锁春【2 l 对s p h 法进行了综述，贝新 源l j j 等将s p h 法用于高速碰撞问题 采用移动最小二乘法( m o v i n gl e a s ts q u a r e ，m l s ) 来进行近似是构造无网格方法的另 途径它是通过在互不相关的节点上的值进行插值得到一个函数，该函数光滑性好且 导数连续n a y r o l e s 4 1 1 5 1 于1 9 9 2 年最早将移动最小二乘近似引入g a l e r k i n 法中，提出了 漫射元法( d e m ) ，它只用分配节点和定义边界来构造g a l e r k i n 方程b e t y t s c h k 0 1 6 j 等在 1 9 9 4 年对d e m 进行了两点改进，在计算形函数导数时保留了被n a y r o l e s 忽略的所有项， 提出了无单元g a l e r k i n 法( t h ee l e m e n t f r e eg a l e r k i nm e t h o d ，e f g ) 掀起了无网格法的研究 热潮这些改进包括：( 1 ) 对形函数的导数考虑的更全面用m l s 可以较容易的构造具 有c 1 连续性的函数( 2 ) 采用离阶高斯积分进行区域积分( 3 ) 引入挝格朗| = 乘子法引 入本质边界条件这些改进使得d e m 求解精度更高，且具有较好的稳定性，更具发展 前途但该方法需要使用辅助的背景网格所以比s p h 方法计算费用高b e l y t s c h k o t 7 1 【8 l 对e f g 法中的数值积分方案以及近似函数的计算方法进行了深入研究，给出了e f g 的 误差估计，并将e f g 法用于动念裂纹扩展的数值模拟l i u 9 1 等将e f g 和边界元法相耦 合，用于固体的应力分析b e l y t s c h k o 和h e g e n f f o l 等将e f g 方法和有限元方法耦合以发 挥各自的优势研究表明，e f g 法精度和收敛速度都高于有限元法而且没有体积锁死 现象，但e f g 法计算量大，并且需要借助积分网格进行数值积分，为了避免使用背景 网格b e i s s e l “1 等提出了节点积分方案，但计算稳定性较差 l “眩”3 1 等根据函数积分变换的思想，在再生核函数和小波理论基础上基于 g a l e r k i n 法提出了重构核质点法( r k p m ) ，并构造了多尺度熏构核质点法该方法允许使 用形函数通过核函数变换方法从而达到积分的目的。r k p m 方法后来已经被研究者们发 展为移动最小二乘再生核函数方法，在这一方法中，形函数是通过移动最小二乘方法产 生的，近似计算则包含再生核函数 o n a t e 等利用移动最小二乘法束构造近似函数，并采用配点格式进行离散，提出 了有限点法，该方法不需要背景网格，效率高，主要应用于流体动力学领域o h s l l ”用 重构核函数近似和配点法，提出了无网格配点法 基于g a l e r k i n 法的无网格法精度离，但它需要进行数值积分，不但计算量大，而且 要引入背景网格基于配点法的无网格法计算效率高但其精度低，稳定性差，张雄6 j 等基于最小二乘法提出了最小二乘配点无网格法和加权最小二乘无网格法，很好的解决 2 东北大学硕士学位论文第一章绪论 了这个问题移动最小二乘配点法是一种有限点法，与原来经典的配点法的不同是：构 造试函数时不仅有配点信息，同时也配有一些辅助点的信息，这就使得平衡条件不仅在 配点上满足，同时在辅助点上也满足，这样大大提高了精度然而，由最小二乘变分原 理得到的欧拉方程不再是原问题的微分方程，而是其高阶导数，因此采用该类方法时， 若边界条件处理不当则可能会得到虚假的结果潘小飞【1 7 i 将g a l e r k i n 法和最d x _ 2 乘法有 机结合，建立了g a l e r k i n 最小二乘无网格法，该方法计算精度远高于配点法，而计算摄 远小于g a l e r k i n 法，兼有g a l e r k i n 法和配点法的优点，完全消除了最小：乘无网格法产 生虚假解的可能 与有限元法不同，无网格法中使用的近似函数大都不具有插值特性，因此在基于 g a l e r k i n 法的无网格法中对本质边界的处理具有一定的困难，基于这一困难，近年来发 展了多种耦合方法，如有限元和无单元伽辽金法耦合，无单元和伽辽合法边界元法耦合， 无单元伽辽金法和杂交边界元法耦合，无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法和有限元、边界元 耦台等 在过去的2 0 年中，经过逐步的改进和提高，无网格数值模拟方法有了很快的发展， 极大的丰富了该数值计算方法无网格方法已经成为一种功能性较强、稳定性离的种 计算方法 1 3 无网格方法的优点 建立近似函数时不借助网格，基于函数逼近近似而非插值是无网格法与有限7 i 的主 要区别，采用定义在离散节点上具有紧致特性的函数来构造近似函数，两不用定义在全 域上的级数展开形式是无网格法与经典加权残量法的主要区别无网格法具有以下优 点： 1 无网格法的近似函数没有网格依赖型减少了因网格畸变而引起的困难，适应 于处理高速碰撞、动态断裂、塑性流动、流固耦合等涉及大变形和需要动态调整节点位 置( 网格) 的各类应用问题 2 无网格法的前处理只要节点位置信息，不需要网格信息，比有限元简单而且 无网格法的场函数近似解连续可导计算的结果是光滑连续的，从而极大的简化了后处 理工作 3 计算精度高移动最小二乘法的基函数为k 阶完备多项式，相当于有限元中高 阶插值函数 弓 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 4 采用紧支函数的无网格法和有限元法一样，具有带状稀疏系数矩阵的特点适 用于求解大型科学与工程问题 5 无网格法的基函数可以包含能够反映待隶问题特性的函数系列，适应于分析各 类具有高梯度、奇异性等特殊性质的应用问题 6 无网格法的自适应性很强，在自适应分析中不需要重新划分网格，若引进小波 函数还具有多尺度分析功能 7 无网格法的前处理只需要节点信息和边界条件，不需要网格信息，容易分析复 杂三维结构 由于无网格法所具有的优点，它可以解决的领域不断拓宽，无网格方法现在已经应 用于结构力学、断裂力学、流体力学、热传导问题、电磁学、岩石力学和非线性动力学 问题等研究领域，同时还可以解决振动以及接触等复杂问题 1 4 本文研究的主要内容 1 从加权残量法g a l e f k i n 出发，推导出抛物型偏微分方程无网格g a l e r k i n 法的 基本方程并用e f g 法给出了微分方程的数值解 2 在已有的误差估计的基础上，对用e f g 法解抛物型偏微分方程的半离散以及全 离散分别给出误差估计 3 编制m a t l a b 程序，用具体算例验证了无单元伽辽金法具有计算精度高、阿后 处理方便等优点 4 - 东北大学硕士学位论文 第二章无网格法的基本原理 第二章无网格法的基本原理 无网格法必须解决以下几个问题：无网格的近似方案，用于数值计算时的离散方案 和对基本边界条件的处理方案以及对域q 及其边界的积分方案目前已提出了十余种无 网格方法，所有无网格方法的一个挺同特点是使用有紧支域的权函数，也就是说，这个 函数在紧支域上非零，而在紧支域外为零。如果试探函数采用紧支函数，就得到紧支试 函数加权残量法紧支试函数加权残量法可以作为无网格法的基础，由它硒建立所有的 无网格方法而不同无网格方法之间的区别主要在于所使用的试探函数和微分方程的等 效形式不同，例如，试探函数使用移动最小二乘近似，微分方程的等效形式采用g a l e r k i n 法则可得到著名的无网格方法一e f g 法 2 1 加权残量法 加权残量法【1 8 l 是求解偏微分方程的一种有效方法许多问题往往归结为一给定 边界条件与初始条件的微分方程求解问题，即未知函数u ( x ) 应满足微分方程组 和边界条件 4 【“( 叫= 口【”( x ) 】_ 4 【”( x ) 】 4 【“( z ) 】 a m ，【“( x ) 】 置【”( x ) 】 b 2 【“( x ) 】 = o在q 内21 1 = o在fe，(1221 其中r 是域q 的边界，x 【x ，y ，= r 表示空间点待求函数“( x ) 司4 以是标量场( 例如温度) ， 也可以是几个变量组成的向量场( 例如位移、应变、应力等) 微分方程可以是单个方程， 也可以是联立方程组4 和皿是独立变量( 如空间坐标、时间坐标等) 的微分算子。 由于式( 2 1 ) 在域q 内任意点都满足，式( 2 2 ) 在边界r 上都满足，因此对任意函数v 和 可都有： v 7 4 【“( 工) 】d q + f f 7 b 【“( x ) 】d r = 0 ， ( 2 - 3 ) 5 查i ! 垄主题主堂堡垒查 箜三主垄堕整鲞塑叁查堡堡 函数v 和9 - 称为检验函数式( 2 3 ) 称为微分方程( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的等效积分形式 对复杂问题而言，式( 2 1 ) 和( 2 2 ) 无法精确求解，只能近似求解，设( x ) 为( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的一个近似解，称为试探函数它可以表示为一组已知函数m ( x ) 的线性组合，即 “( x ) m ( x ) = m ( x ) “，= n ( x ) u i = l 其中“= 强7 ，“。7 7 ，( x ) = l ( x ) ，n 2 ( x ) ，( x ) 】，“，是待定参数试探函数的 项数越多，近似解的精度就越高，当项数趋于无穷大时，近似解将收敛于精确解 显然，近似解( x ) 一般不能精确满足微分方程( 2 1 ) 和边界条件( 2 2 ) g f i 3 将产生残量 r 和豆： r ( x ) = 彳 “( x ) ，页( z ) = b u x x ) 为得到未知场函数u ( x ) 的最佳近似解，应以某种方式使残量r 和豆为零由式( 2 3 ) 可知，如果对任意检验函数v 和矿，式 v 月( z ) 艘+ p 趸( x ) 硝= o ( 2 4 ) 都成立，则残量r 在域n 中的任意点必定为零，且残量再在边晃r 上任意点必定为零 实际上，不可能也不需要在式( 2 4 ) 中取无穷多个检验函数，而是一般将检验函数v 和 可取为一组基函数的线性组合，即 v = 6 ，w j ，可= 6 ， ( 2 5 ) 其中r n 将式( 2 5 ) 代入式( 2 4 ) 中，并考虑到系数以的任意性。得 r o ) d n + f 彰7 面 ) d f = 0 j = l 2 一，( 26 ) 式的意义是透过选择合适的待定参数“，强迫残量r 和豆在某种平均意义上等于 零在极限情况下，残量r 和页在整个求解域内及其边界上趋于零 常用的加权残量法有：g a l e r k i n 法、配点法、子域法、最小二乘法、p e t r o v g a l e r k i n 法等，其中o a l e r k i n 法是试探函数和检验函数取自同一函数空间，且，= ，即 彬= m ，盯= 一，j = 1 ，2 ，n ( 27 ) 将检验函数( 2 7 ) 代入式( 2 6 ) 中，得 l n 1 。c x ，坼 d q f ，7 b 喜，c x ，“， d r = 。，= ，。 查i ! 查主塑主鲎堡丝墨 簦三皇垄璺垫鲞塑盘查堡堡 在许多情况下，由g a l e r k i n 法得到的求解方程的系数矩阵是对称的在基于g a l e r k i n 法的无网格法中，需要借助于背景网格计算域内积分许多无网格法都采用g a l e r k i n 法 来建立求解方程，如无单元伽辽金法( e f g ) 、重构核点法、h p 云团法、单位分解法 2 1 】等 2 2 紧支近似函数 紧致试函数m 】是无网格法的重要组成部分，它与拉格朗日插值不同，它的基本思想 是在计算域上用一些离散的点由移动最小二乘法来拟和场函数，从而摆脱了单元的限 制如果使用近似方法按照有限数量的节点构造插值计算进行分类，则无网格数值方法 主要可以分为两类：最小二乘方法和再生核函数方法目前在无网格法中使用的近似函 数主要有：移动最小二乘近似、核函数近似、重构核近似、单位分解函数、点插值和径 向基函数等下面对本文采用的移动最小二乘法给予详细阐述 2 2 1 移动最小二乘近似( m l s ) 设u ( x ) 是待求函数并假定求解域q 中的个节点x ，处的函数值 “( ) = “，( ，；1 ，2 ，) 是已知的我们的目的是在域q 内构造待求函数u ( x ) 的全局近 似函数( x ) 待求函数u ( x ) 在计算点x ( 在g a l e r k i n 型无网格法中为高额点，而在配点 型无网格法中为节点) 的邻域n ，内可以局部近似为 ( x ，i ) = 只( i ) 口，( x ) ：p r ( i ) n ( x ) ， j = i 其中i = 【z ，y ，z r 是计算点j 的邻域q ，内备点的空间坐标， p 。( i ) = 【p ( i ) ，p ：( 亨) ，以( i ) 】，只暖) 是基函数，m 是基函数的个数，a ，( x ) 是待定系 数基函数麒( i ) 应满足以下条件： p 。( i ) = 1 ， 只( 习c ( q ) ，i = l ，2 ，m ， 其中c ( q ) 表示域q 内具有直到k 阶连续导数的函数空间通常使用单项式作为綦函 数，也可以使用任何其它函数，如奇异函数和三角函数等二维窆间中单项式基函数为： 线性基：p 7 ( i ) = 【l ，x 、纠，m = 3 ， 二次基。p r ( i ) = 1 ，x ，y ，z 2x y ，y2 ，m ：6 东北犬学硕士学位论文 第二章无网格法的基本原理 基函数的个数聊和基函数所包含的最高阶完备多项式的阶数p 以及待求问题的维 数n 之间的关系为 。：! 旦! ! ! 旦1 2 ：! 星丝2 嘞! 在移动最小二乘近似( m l s ) 中，系数q ( x ) 的选取使得近似函数“。( x ) 在计算点x 的 邻域n ，内是待求函数u ( x ) 在某种最小二乘意义下的最佳近似计算点x 的邻域q 称为 m l s 近似函数在该计算点处的定义域，简称为计算点x 的定义域 将求解域q 用个节点离散，在每个节点x ，( ，= 1 , 2 ，) 处定义一个权函数 w ，( x ) = w ( x x ，) 权函数w ，( x ) 只在节点x ，周围的一个有限区域q ，中大于零，而在该 邻域外为零，即该函数是紧支的区域q ，称为权函数w ，( x ) 的支撑域，也称为节点x ，的 支撑域或节点x ，的影响域，设计算点z 的邻域q ，包括个节点，近似函数( x ，f ) 在这 些节点芽= x ，处的误差的加权平方和为 令j 取最小 由此得 臣口 m ( x ) 【( z ，_ ) 一“( _ ) 】2 ，= 1 r z i ，( x ) l p ，( x ，) 口，( x ) 一“， j = 1 ，2 ，一一，m ml n l o ( x ) 只( _ ) p ，( _ ) l q ( x ) = l ( x ) p ，( x ，) 1 “， ? f f i ll ，= l jl = 1 1 a ( 曲日( x ) = b ( x ) u 彳( x ) ；w ，( x ) p ( x ，) p 7 ( x ，) ， ，= 1 b ( x ) = w l ( x ) p ( x 1 ) w 2 ( x ) p ( x 2 ) - - w ( x ) p ( x ) 】 所以可得待定系数向量a ( x ) ： 故 d ( x ) = 一一( x ) b ( x ) 啊 。 b 。 丽 查些叁茎堡主堂堡垒圭整三主垄堕整盔塑垄查墨些 “ ( x ，i ) = p ( 覃) 4 。1 ( x ) b ( 工) “= n ( x ，z ) u ， 其中n ( x ，i ) 为形函数，对求解域n 中的所有点x 都可以在其邻域n ，内建立待求函数 u ( x ) 的局部最佳近似，这些局部近似函数( x ，i ) 在点i = x 处的值的集合就构成了待求 函数u ( x ) 在求解域q 内的全局近似函数“。( x ) ，即 “( x ) 材 ( z ) = n ( x ) u ， 其中，形函数n ( x ) 为 ( x ) = p 1 x ) a “( x ) a ( x ) ， 无网格法中的形函数具有如下性质： n n i = 1 t 1 = l 即移动最小二乘近似函数是单位分解函数 还可以求出形函数的一阶和二阶导数，令 r = a p ， 则 n ，= r ，7b + 尺7 曰， n = r r , j b 七斑j b j t + r r j b j + rt b ；j 式中”，一表示对空间坐标x 。的导数，即哆，表示导数d b d x | , 哆。表示导数d 2 b d x d x 7 r ，= a - i ( p ，一a 。1 0 ， r ，= 。( p 。一a ，r ，一a j r 一a 。凡) 2 2 2 权函数 由近似函数的构造我们可以看到权函数在m l s 近似中具有很重要的作用因此将 直接影响无网格法的计算精度和计算的复杂性为生成系列离散公式，权函数应该在 节点处的值撮大，且在节点的影响支域的附近是非零的，这就是说，权函数具有紧支结 构此外，几乎所有权函数通常都规定为正，而且随着忙一x 川的减少而单调增加，并期 望权函数是平滑的，即如果是连续的，则对于多项式基来讲，形函数也是连续的 权函数及其参数对拟和的效果影响很大，选取时应遵循以下原则： 1 半正定性，即在紧支子域内满足o j ( x - - x ，) 0 ； 蔓苎苎曼罢譬尝兰塑望一 整三主垄塑整鎏箜塞查墨里 2 - 紧支性，即在紧支予域外满足“z x j ) = 0 ： 3 归一性，即( x - - _ ) 搠。= l ： 4 o ( x _ ) 是距离d = i i x - x ， | 的单调递减函数 其中条件2 使得近似是局部的，即( x ) 仅仅取决于那些位于权函数甜( x z ，) 不为零的 区域中的节点 有许多函数可以定义为权函数，通常最常用的有指数权函数、g a u s s 权函数、= ：角 权函数、样条权函数等 常见的权函数有： 指数型 酢，_ f 等三 三次样条 o ( z 、= 四次样条 一4 冉4 z 3 z 必 砘+ 4 = 2 彰必 0 一p 2 # 3 2 4 篓 其中卢为参数，= ：i i x - 。形，为影晌域半径如果对于二维问题将。定义为 2 ：再丽j 则节点x ，的影响域为圆 样条权函数是最常见的，这是由于样条权函数可以设定成具有需要的特性和紧支结 构 在二维问题中，节点的影响域相互交叠，域形状韵选择是任意的然而，最常采用 圆形域和方形域 2 2 3 计算点的定义域 只有支撑域覆盖了计算点x 的那些节点( 即o z ( x ) 0 ) 才对m l s 近似函数有贡献，因 此m l s 近似函数( x ) 在计算点x 处的定义域q 。为这些节点的支撑域的并集，在二：维问 1 0 - 查些垄茎塑主茎堡垒墨整三童垂婴整生塑墨查壁墨 题中，节点x ，的支撑域一般取为半径为r ，的圆形域或边长分别为。和的矩形区域， 而m l s 近似函数( x ) 在计算点x 处的定义域q ，的形状比较复杂如果节点的支撑域是 圆形域且所有节点的支撑域半径都相等，则m l s 近似函数o ) 在计算点x 处的定义 域也为半径为0 ，的圆形域 2 3 边界条件的处理 有限元的近似函数一般均为插值函数，其形函数满足，( x ，) = 6 l 很容易处理边界条, 件与有限元法不同，无网格法中使用的近似函数大都不具有插值特性，即不满足 n ，( x ，) = 占。，在无网格法中，试探函数一般不能预先满足边界条件，因此在基于o a l e r k i n 法的无网格法中处理本质边界条件具有一定的困难需要用其它方法引入试探函数的约 束条件目前，已提出的对边界条件的处理方法有直接配点法、拉格朗日乘子法、修f 变分原理、罚函数法、变换法、和位移约束方程法等 2 3 1 拉格朗日乘子法 以p o s s i o n 方程为例介绍拉格朗日乘子法 一a u = f x q ，r 2 ，8 、 “= 万x f 。，( 2 9 ) 罢= 虿x f 。， ( 2 1 ( ) ) 铆 其中f 。和f 。分别为区域的本质边界条件和自然边界条件，n 为边界外法线单位向量， 由o a l e r k i n 加权残量法可得到偏微分方程( 2 8 ) 和边界条件( 2 1 0 ) 的等效积分形式： ( - a u - 删q + f ，( 詈一虿 v _ 。v v 圳( q ) 利用g r e e n 公式可得到其g a l e r k i n 弱形式 舭心f 。触。一l 肿_ o ， 2 1 1 用拉格朗日乘子法将本质边界条件引入到上式得 上v 帆m f 。拟。一f v d d + f 。觑( 一i - ) d f 。+ f 。翻2 d f 。= o 式中兄( x ) 为拉格朗日乘子向量可以离散为 东北大学硕士学位论文 第二章无网格法的基本原理 五( z ) = m ( s ) ， 其中n i ( 5 ) 为拉格朗日插值函数， 为待定系数，一是边界弧长， 为边界上节点总数 用拉格朗f = l 乘子法最大的缺点是它引入了新的未知量，它增加了未知量的总数，使 得离散方程的系数矩阵规模大并且也不再是带状和正定的，而且拉格朗日乘子法的精度 随着影响半径的不同选取有很大的差别但它施加边界条件的精度高因此对于规模较 小的问题，这种方法是非常适用的 2 3 2 罚函数法 仍以p o s s i o n 方程为例，将约束条件式( 2 ，9 ) 用罚函数法引入到像辽盒( 2 1 1 ) 中得 l v “v v 棚一- 。州r ，一l f v d n + 岱f 。v ( “一百) = 0 ， 式中口为罚函数，可取为1 0 3 1 0 7 罚函数法比较简单，可以方便的进行实施，但是罚因子不容易选取，偏大导致方程 组病态，偏小则边界条件满足不好虽然罚函数的计算精度没有拉格朗日乘子法的计算 精度高，但计算结果的好坏随影响半经的变化小，因此在最优半径没有得到确定之前采 用罚函数方法施加边界条件效果更好一些 2 3 3 耦合有限元法 有限元在处理边界上比较成熟，可以在区域中分区，内部用无网格法，边界用有限 元法，在交界区上引入混合函数 “= r “脚u ( x ) + ( 1 一足) “ m ( 工) ， 式中 r 。= f ( r ) 这种方法具有相当的发展前途，但交界面上函数比较复杂，对于积分方案采用有限 元背景网格的无网格法，与有限元耦合就更便利，因为这是已经存在有限元网格，只不 过在无网格近似区域，它仅仅用于积分运算而在有限元区域用于场函数的近似，这样就 可以方便的施加边界了 2 3 ，4 直接修改元素法 直接修改元素法是借鉴有限单元法，通过直接修改基本方程的个别元素来引入边界 - 1 2 东北大学硕士学位论文第二章无网格法的基本原理 条件的方法该方法较简单，但是无网格法不具有有限单元法插值的特点冈而不能够很 好的反映真实的边界条件，因此，该方法只适应于边界距我们所关心的区域较远的情况， 这时边界对计算结果影响较小 2 4 积分方案 在有限元法中，域q 被离散成一系列单元，对域q 的积分可以转化为对各单元积分 的和在各单元中，有限元法的被积函数是多项式，可以用高斯积分精确计算在无网 格法中，域q 是用节点离散的，不存在网格，而且无网格法的近似函数一般也不再是多 项式，难以用高斯积分精确计算因此在伽辽金无网格法中需要采用特殊的方案计算积 分例如：背景网格积分、有限元网格积分、节点积分、移动最小二乘积分等 2 ，4 1 背景网格积分 用规则网格覆盖域q ，将对域q 的积分转化为对各规则格子的积分之和，然后在每 个格子中使用高斯积分，每个格子可能有三种情况：完全位于域q 内、完全位于域q 外 或部分位于域q 内以刚度矩阵k = 7 m q 的计算为例进行说明，积分流程如下： 1 k = 0 ： 2 对所有格子循环： ( 1 ) 对该格子中的所有高斯点( 7 _ 1 ，2 ，) 循环： i 判断高斯点x ，是否位于域q 外如是，则忽略该高斯点，处理下一个商斯 点： i i 如高斯点吒位于域q 内，计算7 ( ) ( 吒) t 并将其组装到矩阵k 中， 其中q 为高斯点毛的权系数 ( 2 ) 结束对高斯点的循环 3 结束对格子的循环 用上面给出的方案计算那些与域q 的边界相交的格子的积分时，将会产生较大的误 差k a l j e v i e 等人采用计算几何的方法，判断格子是否竞全位于域q 内如果某个子格 子完全位于域q 内，则采用上述方法计算积分如果某个格子只有部分位于域q 内，则 将位于域q 内的部分重新分成若干个四边形子格子，然后在每个子格子中使用高斯积 分背景网格是用来计算积分的，因此一般均使用比较规则韵背景网格与有限元法相 1 3 查些查芏塑圭芏垒笙叁 茎三主垄塑整鲞盟叁查璺墨 比，背景网格的生成比有限元网格的生成要容易得多刚度矩阵k 中的元素为k ，因 为无网格法的形函数，( z ) 只在节点，的影响域q ，内不等于零，因此在计算k 中元素时 只需在某一个局部区域中积分在计算时k