（基础数学专业论文）（21）维色散长波系统的对称约化.pdf

吴加勇( 2 + 1 ) - 维色散长波系统的对称约化三 摘要 某些重要的物理问题可以用偏微分方程所组成的复杂系统来刻画对于这样 的复杂系统，能够找到任意形式的显式解都是非常有意义的显式解可以用来作 为物理实验的模型，可以看作是测试数值方法的基础，等等而且，显式解常常 反映出更一般类型解的渐近趋势或主导趋势作为寻找相似解这一著名技巧的推 广，寻找群不变解的方法提供了一个系统的、可计算的确定特殊解的途径所谓 群不变解，即它在系统的某个对称群作用下不变；群不变解的对称性越多，则它 就越容易构造粗略地讲，对于一个给定的系统，它的，参数对称群作用下的群 不变解可通过求解比原系统少了，个自变量的系统而得到这样，复杂的偏微分 方程组可以化成简单的偏微分方程组，甚至可以化成常微分方程组，并且有可能 对约化的方程组直接求解本文运用这种方法，研究了( 2 + 1 ) 一维色散长波系统当 前，已有许多直接有效的方法研究过该系统( 6 】， 7 】，【2 1 】， 2 4 2 5 ， 2 7 3 0 ) 但大 多数文章都是先假设该系统的解有某种特殊的形式，然后再确定所有的未知函 数我们用对称的方法求该系统的群不变解，从而避免了事先确定解的形式首 先，我们确定该系统的对称群，此对称群含有三个任意的光滑函数然后利用某 些子群，我们把系统约化为热传导方程和第二型p a i n l e v 6 方程在某些情形下， 我们给出了约化方程的显式解 关键词：( 2 + 1 ) 一维色散长波系统；对称群；群不变解 扬州大学硕士学位论文 2 a b s t r a c t w h e no n ei sc o n f r o n t e dw 曲ac o m p l i e a t e ds y s t e mo f p a n i a ld i 彘r c m i a le q u a t i o m 删s i n g 丘_ 0 m9 d m ep h y s i e a l l y 嘶r t a n tp r o b l e m s t h ed i s c o v e r yo fa n ye x p l i c i t l u f i o n w h a t s o e v 盯i so f 孕喇m t e r e s t e x p l i e i ts 0 1 o r ec s nb eu s e da sm o d e l sf o rp h y s i e a l e ) 【p c f i m e n t s ，鹪b e n e h m a r k sf b rt e s 血g 曲m e r i c a lm e t h o d s ，e t c ，a n do n e nr e f l e c t 舭 a s y m p t o t i co rd o m i n a n tb e h a v i o u ro f m o g e n e r a lt y p e so f s o l u f i o m t h em e t l l o d su s e d t 0 丘n d 鲫u p m v a r i a n ts o l m i o m ，g e r a l i z i n gt h ew e l l k n o 啪t e c h n i q u e sf o rf i n d i n g s i i n i l a i i t ys o l u t i o n s ，p r o v i d e sas y s t e m a f i ec o l n l m t a l i o n a lm e t h o df b rd e t e r m i n i n gl a r g e c l 硒so fs p e e i a ls o l l n i o m t h e s e 粤i l p i n 谢a n ts o l l n i o n sa 托c h a r a c t e r i z e db yt h e i r n 谢a n c e 岫d e rs o m es y m m e t r yg r o u po ft h es y s t e mo fp a r t i a ld i f f 盱e n t i a le q 嘶o n s ； t h em o 佗s y m m e t r i e a lt 鼍】屺s o l u l j o n ，t h ee 嬲i e ri ti st o 舢t r u e t r o u g h l ys p e a k i n g ，t h e l u t i o mw h i c ha r ci i l v a r i a mu n d 盯a 西v 坤a r 咖e t e rs y m m e t r yg r o u po ft 1 1 es y s t c m c a na l lb cf i ) u n db ys o l v i n gas y s t e mo fd i f j f e r e m i a le q u 撕o l i sm v o l v i n grf e w e r i n d e p e n d e n tv a r i a b l e st h a no r i g i n a ls y s t e m h lt l l i sw a y , o n er e d u c e s 觚r e t r a c t a b l es e to f p a r t i a ld i 僚獭l t i a le q u a t i o mt oas h p l e rs e to fp a r c i a ld 酊e 砌n t i a lc q u a l i o 璐，o re 、，e nt o as e to fo r d i n a r yd i f f e r e m i a l 以l u a t i o i l s ，w h i c ho n ei n i g l a ts t a n dae h a n c eo fs o l v m g 既p l i c i t l y ht l l i sp a p e r , b ya p p l y i n gt h i sm e t h o d , w es t u d yt l l e ( 2 + 1 ) - d i m e n s i o n a l d i s 湖i v el o n g w a v es y s 胁r e e e n n y ，m a n ys t r a i g l l f f o r w a r d 锄de 饪b c t i v em e t h o d s h a v eb e e nd e v o t c dt os t u d yo f t h i ss y s t c m ( 6 】，阴，【2 l 】，【2 4 - 2 5 ，【2 7 - 3 0 】) b u tn l o s t p a p e r si i lt h el i 钯m t u r ep r o p o s e m e 蛐n d so fa n s a t z ，t h a ti s ，f i r s t 勰s u m i n gt h a t 也e s o l u 虹o n sa f ei ns 伽es p e e i a lf o 咖s 缸dt h e nt r y i n gt od e t e r m i n ea i lt h eu n k n o w n f u n e t i o m w eg e tt h e 伊m p i m 谢粗ts o l 砸o n so ft l l i ss y s t e mv i as y m m e t r ym 劬o d ， a v o i d i n gt h es p e c i a l 白咖o fm c l 埘。船f i r s t , w ed e t e r m i n et h es y m m e t r yg r o u po f 也es y s t e m i tt u m $ o u tt h a tt h es y m m e t r y 伊唧c o n t a i l i st h l 优a r b i 缸a r ys m o o t h f u n e t i o m t h 锄b yu s i n gs o m es u b g r o u p s ，w er c d i | c et l l es y s t e mt 0t h eh e a te q 删o n 觚dt h es e c o i l dp a i n l e v 6e l u a t i o n i ns o m ec a s 嚣，w es o l v et h e 删l 妣de q u a t i o m 铭p l i c i t l y k e y w o r d s ：( 2 + 1 ) - d i l n e m i o n a ld i s p e r s i v el o n g w a v es y s t e m ；s y m m e t r yg r o l i p ； g r o u p - i n v 豳ts o l l i t i o n 吴加勇( 2 + 0 - 维色散长波系统的对称约化 1 引言 在1 9 世纪中期，常微分方程的求解仅限于一些特殊技巧，例如：分离变量法、 常数变易法、恰当因子法等，而没有一般的求解方法到了1 9 世纪七八十年代， 挪威数学家s l i e 发现可以利用方程的连续对称群对方程进行降阶，直至通过积 分求解，而不需要特别的技巧这个群就是我们今天熟知的李群e n o e t h e r i s 】 在1 9 1 8 年指出，变分对称群和e u l e r - l a g r a n g e 方程的守恒律存在一一对应的关 系后来，e c a r t a a 又将李群用于r i e m a a n 对称空间的研究，取得了非常突出的 成就之后过了近三十年，gb i r k h o f f 4 1 提出可以把李群运用到流体力学的微分 方程中去随后，l v o v s i a n n i k o v 2 0 1 和他的学生系统地运用李群这个工具解决 了物理中的许多重要的问题上世纪八十年代，m g o l u b i t s k y ，i s t e w a r t 和d g s c h a e f f e r 【9 】运用李群处理分叉理论中的许多问题九十年代，p - a c l a r k s o n 8 】发 现了许多非经典的对称；p e h y d o n 1 2 - 1 3 3 又发现了许多离散的对称；n h i b r a g i m o v 【1 4 1 5 】运用对称群对微分方程进行分类等等另外，李群也可以用来约 化h a m i l t o n 系统，这方面的经典内容可参见e t w h i t t a k e r 的文献【2 6 】；后来， s s m a l e 【2 2 ，j m s o u r i a uf 2 3 ，k 1 lm e y e r 【1 7 ，j 。e m a r s d c n 和a w e i n s t e i n 【1 6 等人把这理论大大推进了，形成了今天的约化理论当前，李群在代数学、代数 拓扑、微分几何、分叉理论、数值分析、控制论、经典力学、量子力学、相对论 等都发挥了很大作用。 本文先扼要地介绍李群在非线性偏微分方程组中的运用，即用李群求得非线 性偏微分方程组的群不变解在一般情况下，我们很难得到非线性偏微分方程组 的精确解；然而，我们若能够找到该非线性偏微分方程组的对称群，则就可能得 到群不变解群不变解是一类很重要的解一方面，群不变解对描述非线性偏微 分方程组的一般解的渐进趋势起着很大的作用，例如；gi b a r o n b l a t t 【3 】用李群 方法详细讨论了双曲方程的渐进性态；另一方面，用群不变的结构可以分析完全 可积方程和p a i n l c v 6 类型的常微分方程的一般联系，这方面的内容可以查看m j a b l o w i t z ，a r a m a n i 和h s e g u r 的文章【1 - 2 用对称群求解非线性偏微分方程 扬州大学硕士学位论文 4 组的主要思想是先找出该方程组的对称群，然后运用对称群对该方程组进行约化， 使得自变量的个数减少，甚至约化成常微分方程组；通过求解约化方程组，我们 可以得到原方程组的解本文运用这种方法详细研究了( 2 + 1 ) 维色散长波系统 ( 见( 3 1 ) ) 当前，已有许多直接有效的方法研究过该系统( 【6 】，【7 】， 2 1 1 ， 2 4 - 2 s ， 2 7 3 0 】) 但大多数文章都是先假设该系统的解有某种特殊的形式，然后再确定所 有的未知函数我们用对称的方法求该系统的群不变解，从而避免了事先确定解 的形式本文先得到了此系统的一个无穷维对称群所构成的李代数再通过选取 某些对称群，得到了该系统的若干精确解，部分精确解带有两个任意的光滑函数； 同时我们说明了该系统可以约化为熟传导方程和第二型p a i n l e v 6 方程 吴加勇( 2 h ) 维色散长波系统的对称约化1 2 预备知识 i 非线性偏微分方程组的对称群 我们考虑具有m 个函数甜= ( i , 1 社2 ，) 和个独立的自变量 工= 0 1 ，) 的非线性偏微分方程组，并且设方程组具有如下形式： ；一w p ( x ，“) = o ，p = l ，m ( 2 1 ) 其中每个1 1 0 - p 是某个圹的“最高次导数”( 在某种意义下仅需坳中不含甜即或“即 的导数形式) ，“( 4 表示“关于x 的导数的次数不超过n 定义2 1 ：设光滑映射r ：r 限“x r “) 专r ”x r “， 记r 。 ，u ) = r p ；墨甜) = p ；墨摊) ，k ( s ；x ，杯) ) ，v ( 6 ；x ，) r x ”x r “) ，( 2 2 ) 如果映射r 。满足下列条件： ( 1 ) r 。 ，“) = o ，“) ， ( 2 ) r 电r 岛( “) = f 西+ 最( x ，“) v q ，乞r ， 则称r 。是r ”xr “上的单参数变换群 为了定义对称群，我们引入全导数： 2 t - a ，+ l a ，+ ， ( 2 3 ) 其中，反表示对求偏导数，以后不再一一说明 利用( 2 3 ) ，由 q 沪= q 童7 ( 2 4 ) 可求得a d , 定义2 2 ： 单参数变换群r 。称为系统( 2 1 ) 的对称群，如果当( 2 1 ) 成立 扬州大学硕士学位论文 时，下面的方程组也成立 左，；鸯。一 ，蠡o ) = o 我们要找的对称群具有如下形式： 量= x + 6 亭( x ，“) + 0 ( s 2 ) ， 番= u + e r k x ，“) + d ( 占2 ) ， 6 = 1 ，坛( 2 5 ) ( 2 6 ) 其中，f 、，7 是关于x 、“的光滑函数，s 是无穷小量 对称群对应的无穷小生成元为 z = r o ，u ) a e + ，“) a ， ( 2 7 ) 换一种说法，( 叠，番) 满足下面的微分方程组： 7 d , 2 = f ，) ，孚= 7 7 ( 主，蟊) ， ( 2 8 ) d4s 其初始条件为 五) i 。= 阮”) 定义2 3 ： 令q _ ( q i 。q 0 ) ， 其中，幺# 钆一善：， o r = l ，m ( 2 9 ) 则称q 为系统( 2 1 ) 的对称群( 2 6 ) 的特征 无穷小生成元的延拓为： p “z 户r ，u ) 0 e + “) a ，+ 杉a 嘏， ( 2 1 0 ) 其中， 蟛= q 矿，= 见幺+ 孝q ， ( 2 1 1 ) d j = d d 耋d 3 ，( j 。+ j ：+ j n = j 、 具体参见文献【1 9 】中的定理2 3 6 ( 2 5 ) 对占进行微分，再令占= o ，即得到线性对称条件： 当a ，= o 时，有p r ( x ) a ，= o 成立 ( 2 1 2 ) ( 2 1 2 ) 是求非线性偏微分方程组对称的基本公式通过( 2 1 ) 能够消去( 2 1 2 ) 中 吴加勇( 2 + 1 ) - 维色散长波系统的对称约化! 的搿即，然后把剩余的项归类( 根据u a 关于，导数的相互独立性) ，就可以得到 关于孝和的一组决定方程，求解这组决定方程就可得到非线性偏微分方程组的 无穷小生成元所有的无穷小生成元构成一个李代数，它的维数可能是有限维的， 也可能是无限维的( 参见文献【1 1 】的第八章) 非线性偏微分方程组的群不变解 有了非线性偏微分方程组的对称群，就可能求得该方程组的群不变解 定义2 4 ：如果非线性偏微分方程组( 2 1 ) 的解“= 厂( 工) 在某一对称群r 。 作用下不变，即v g r 。，= g f ( 不妨设定义域相同) ，则称此解为这个对称 群的群不变解 例如；l a p l a c e 方程+ = o 的基本解u = i n ( x 2 + y 2 ) 在单参数旋转 s o ( 2 ) ：( x ， 甜) 专 c o s o - y s i n 只x s i n o + y c o s o ；u ) 作用下不变因此，“= l n ( x 2 + y 2 ) 是s 0 ( 2 ) 的群不变解 下面的定理对于求群不变解至关重要，其证明参见文献【l l 】 定理2 5 ：甜= ，( z ) 是非线性偏微分方程组( 2 1 ) 某一对称群的群不变解， 当且仅当此对称群在材= 厂 ) 上的特征为零 因此，我们可先求解方程q - - o ，找到非线性偏微分方程组( 2 1 ) 新的自变量， 并且得到约化方程组( 此方程组中自变量的个数少于原方程组中自变量的个 数) ；再求解约化方程组以得到原方程组的解( 一般情况下求解方程q = o 比求 解( 2 1 ) 容易得多) 具体的求解步骤可参见文献【1 1 】第九章 扬州大学硕士学位论文 3 ( 2 + 1 ) 一维色散长波系统的对称群 本节我们研究( 2 1 ) 维色散长波系统 饥+ j 1 ( “2 ) ，= 。， ( 3 1 ) h + ( 删+ “+ k = 0 的对称群该系统是由b o i t i 等人( 【5 】) 首先提出的，它是由一个弱l a x 对的相 容性条件而得到的 考虑系统( 3 1 ) 的对称群： ( 工，t ，y ) ，v ( x ，t ，y ) ) 专 ( 曼，力，口( 童，萝) ) ， ( 3 2 ) 其中， 曼= x + 嘭( 工，t ，) ，材，力+ d ( 占2 ) ， = f + 占_ f ( 石，t ，y ，“，v ) + d ( s 2 ) ， 夕= y + 品毛( x ，t ，y ，u ，v ) + 0 ( 占2 ) ， ( 3 3 ) 面= “+ 研( 墨t ，y ，u ，v ) + o ( e 2 ) ， 帚= v + 叨( x ，t ，y ，v ) + d ( 占2 ) 且s 是无穷小量，而孝，f ，五，r ，z 都是光滑的待定函数 ( 3 2 ) 式的意思是说：如果雄 ，t ，y ) ，“工，t ，y ) 是( 3 1 ) 的解，那么蠡( 毫f ，多) ，口 ，多) 也是( 3 1 ) 的解 设对称群( 3 2 ) 所对应的无穷小生成元为： x = 尝钆+ 移+ 肋，+ 研丸+ z a ， ( 3 4 ) 无穷小生成元的延拓为： p r ( x 户z + 矿a b + r y a 叶+ r f a + r 掣a + 矿矽 ( 3 5 ) 。 + z 8 + z 0 ，t + 矿0 v 。 由( 2 1 1 ) ，系数r 。，r y , 矿，r v ，矿9 ，矿，矿由下面的式子确定： 吴加勇( 2 - h ) _ 维色散长波系统的对称约化一9 矿= 皿( ，7 一乒一z r l , t a 吩) + 孝+ f z 0 + a ， q = d ，铆一专让。一r u , 一勉0 + 考越带七 牡辟+ 勉盯， q 笋= d 计铆一考u l f t 一加0 + 专牡聊+ f l l 州+ 地州， 矿2 铆一玩一q 一弛) + + + ， ( 3 6 ) ，7 ”= ( 玎一乳一弼一弛) + + 7 + 旯， z = d i 哂一 v 。一w t n j + 和d + f v q + 抽h ， z = 见( ，7 一舅一q 一力b ) + f + f 0 + 兄0 ， z 麒= p 堪( ，7 一乒0 一q 一力匕) + 善v 】簦+ + a 匕科 另一方面，由( 2 1 2 ) ，r 。，1 7 ，矿，矿7 ，矿，7 ，矿，矿又满足下面的线性对称 条件： r v = - z 4 一矿哆一刁一叩够w 一矿“， ( 3 7 ) 7 = 矿v j j 虬一，7 k z “一彳。一，7 ”， 其中u ( x ，t ，力，v ( x ，t ，y ) 是系统0 1 ) 的解 将( 3 6 ) 代入( 3 7 ) 便得到一组关于善，f ，五，r ，z 的决定方程求解 这组方程我们得到f ，f ，旯，7 ，z 具有如下形式： 善= 妄4 ( f ) 工+ b ( f ) ，f = a ( t ) ，五= c ( 力， 玎一三似咖+ ( f ) h 耿d ， ( 3 8 ) z = 一去( 彳( f ) + 2 c ( ) ，) ) ( i ，+ 1 ) ， 其中4 ( f ) ，口( f ) 和c ( y ) 都是任意的光滑函数 对于两个无穷小生成元x 和】r ，定义它们的括号积，明= x y - y x ，则 所有的无穷小生成元在括号积【，】下构成一个李代数从( 3 8 ) 可以看出，系 统( 3 1 ) 的对称群所对应的李代数是无穷维的 扬州大学硕士学位论文 4 约化系统和群不变解 i o 在( 3 8 ) 中适当选取任意函数a ( t ) ，曰o ) 或c ( 力，则我们可以把( 3 1 ) 约化 成熟知的方程，如热传导方程( 见( 4 2 5 ) ) ，第二型的p a i n l e v 6 方程( 见( 4 3 3 ) ) ， r i c a t t i 方程( 见( 4 4 1 ) ) ，或给出约化方程的精确解 我们先来讨论一种简单的情形，即： 4 ( f ) = 2 t ，口( f ) = 0 ，c ( y ) = y 此时( 3 8 ) 成为： 善= x ，f = 2 t ，五= y ，玎= 一雄，z = - 2 ( v + 1 ) 相应的特征方程为： d xd t d y d ud v 石2 t y 2 ( v + 1 ) 因此，我们可以选取两个新的自变量： j p = f2 x ，q = t2 y ， 而“，v 取下面的形式： l 扯= t 一2 f ( p ，q ) ，v = t g ( p ，g ) 一l ， 其中厂，g 都是关于变量，和g 的光滑函数 由( 4 4 ) ，我们有： 3 吣= f 。乃，= r 1 ，= f2 厶， = q 4 一扩5 ( 弦+ 巩) ， ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) 吴加勇( 2 _ h ) - 维色散长波系统的对称约化旦 u = _ t - 2 9 _ 扩- - i ( x g p + 蛳叫 g ，v x t = f - 2 岛 + j 1 ( 畈+ 靠) = + ( 玩) ， g + l ( p g , + q g q ) = 0 窖) p + z 种 + i 1 ( 畈+ 叽) = ，删+ ( 反) ， 厂( p ，口) = f ( p ) ， p = p + 毋 f f + 毛p f = p + ( f f 3 1 f = j 1p f 一三f 2 ， f ：旦， 舾呼) d p + a ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) 扬州大学硕士学位论文 一 2 唧( 争 南 ， j 唧( 等) d p + 否 v = t 一1 1 2 雨p e x p ( - 譬) 一南r 1 3 舾c 和+ 。 细c 和+ 矿 其中p = t2 + 力，z 为积分常数 我们可以利用m a t h e m a t i c a 作出系统( 3 1 ) 精确解的图像图一显示了当 = o 时，t = 1 ( 第一列) 、4 ( 第二列) 、8 ( 第三列) 时群不变解( 4 1 3 ) 的形 状 图一 下面我们再讨论如下情形： 4 ( f ) ；1 ，b ( t ) f f l 】c ( y ) 是任意光滑函数 吴加勇( 2 + 1 ) - 维色散长波系统的对称约化 旦 此时，( 3 8 ) 成为： 孝= b ( f ) ，f = 1 ，z = c ( ) ，) ， r = b ( f ) z = - - c ( y ) ( v + 1 ) 相应的特征方程为： 旦：坐：旦：l ： 皇! 口( f ) 1c b o ) - c 7 ) ( v + 1 ) 因此，我们可以选取两个新的自变量 p = x - m 鼋2 舄一， 而甜，v 取下面的形式： 脚o 川圳，v 一掣- l ， 其中，g 都是关于变量p 和q 的光滑函数 由( 4 1 7 ) ，我们有： u 。= f ， 正 哆。而 ( 4 1 4 ) h 1 5 ) ( 4 1 6 ) ( 4 1 7 ) = 岛，一萨，= 岛， 伊警，k = 南，k = 岛 把( 4 1 8 ) 代入( 3 1 ) 得： 3 * 2 慧鼍 m 岛= ( 詹) ，+ 厂删 、7 首先我们假设函数厂和g 满足如下关系； g = ， ( 4 2 0 ) 扬州大学硕士学位论文 则( 4 1 9 ) 中的两个方程合为一个方程： f q q = l 七f j l 七li m ( 4 2 1 ) 关于q 积分一次，得到： 引入势函数： 爷，= ，p + 毛f 2 ， ，= f 则( 4 2 2 ) 是( 4 2 3 ) 的相容性条件 再令w = e x p 睁，则有 k = 三w ， = 吉孵+ 丢2 ，2 i 嘎+ i 彬， = 兰魄 从而w 适合热传导方程： k2 方程( 4 2 2 ) 和方程( 4 2 5 ) 之间的变换为： f ：2 w p w 这样，由热传导方程( 4 2 5 ) 的解w ，就可以得到系统( 3 1 ) 的解： ( 4 2 1 ) ( 4 2 2 ) ( 4 2 3 ) ( 4 2 4 ) ( 4 2 6 ) 吴加勇( 2 h ) 维色散长波系统的对称约化 一 ，8(0 “=+ 2 旦 v = 南c 鲁一争吐 其中洋一f s ( o q = 舄叱 下面我们来寻找( 4 1 9 ) 的行波解为此，令： ( 4 2 7 ) p = p + k q ，厂( p ，g ) = f ( p ) ，g ( p ，口) = g ( p ) ， ( 4 2 8 ) 其中k 是非零常数 则( 4 1 9 ) 变为 2 f 。= g 。+ 忌f 2 + k f f 。 船= ( 粥) ，+ 驴一 对( 4 2 9 ) 的第一个方程积分两次，得到； g = k 2 f - 考f 2 一q 户一乞， 其中q ，c 2 是积分常数 对( 4 2 9 ) 的第二个方程积分一次，结合( 4 3 0 ) 可得： 似2 9 ) ( 4 3 0 ) 肚护专n ( n 和+ p f - q p - ( 乞+ 詈) ， 其中岛也是积分常数 扬州大学硕士学位论文 1 6 适当选取常数k 以及积分常数q 、乞、岛，则方程( 4 3 1 ) 可化成第二型 p a m l e v 6 方程，或者可以直接求解下面我们分五种情形来讨论 情形1 ：七= 瓤，q = 瓤，巳= 一1 ，岛= 砸 则( 4 3 1 ) 变为 肚兰锄2 + ( 狐+ 期，+ 矿+ 锄 令世= 三( ，+ 扼) ，则( 4 3 2 ) 成为第二型p a m l e v 6 方程 1 0 1 ： = 2 k 3 + 一j 1 ( 4 3 3 ) 情形2 ： k = 1 ，c 1 = 0 ，c 2 = - 1 ，6 = 1 则( 4 3 1 ) 成为 f ，：三f ，一三，： 22 ( 4 3 4 ) 式两边同乘f ，再积分一次，我们有 f “：i f 一f 3 4 ( 4 3 5 ) 有解： f ：二l 1 一口2 再由( 4 1 7 ) ，( 4 2 8 ) ，( 4 3 0 ) 和( 4 3 0 ，我们可得到( 3 1 ) 的群不变解： ( 4 3 4 ) ( 4 3 5 ) ( 4 3 6 ) 吴加勇( 2 h ) 维色散长波系统的对称约化 旦 甜= b ( r ) + 而4 ， v - 南悻一南十，弘砑l 万一砑叫叫 其中p = x - t - m 叭南 r 4 3 7 ) 我们可以假设函数b ( t ) ，c ( 力是某种特殊的函数，同样利用m a t h e m a t i e a 作图图二显示了当b ( f ) = f 2 ，c ( ) ，) = 1 1 y 时，在f = 心( 第一列) 、o ( 第二 列) 、2 ( 第三列) 时群不变解( 4 3 7 ) 的形状 情形3 ：七：三，a ：0 ， 2 1 图二 11 c 2 2 i 巳2 一面。 与情形2 类似，我们有( 3 1 ) 的群不变解： 扬州大学硕士学位论文 4 = b ( f ) + 1 忙砑 4 唧( 忑p ) 4 唧( 忑p 2 - e x p ( _ + 、，r 2 p ) 其中p 一三一j b ( r ) 叭1 2 ，f c d ( y 万 ( 2 一唧( 西) ) 2 。 - 1 3 8 1 j - 1 ， 同样，图三显示了当b ( f ) = f 2 ，c 0 0 = 与时，在f = 艺( 第一列) 、0 ( 第 v 二列) 、2 ( 第三列) 时群不变解( 4 3 8 ) 的形状 图三 情形4 ： q = o ，q = o ，乞和t ( o ) 为任意常数 吴加勇( 2 + 1 ) - 维色散长波系统的对称约化 旦 则( 4 3 1 ) 变为 肚三2 n 孙2 + ( n 鱼k ) 心 l， 在( 4 3 9 ) 式两边同乘再积分一次，我们得到 ( 4 3 9 ) = f - k f 3 + ( n 刮c 2 r 2 ，r r i c 2 2 ( 4 4 0 ) ( 4 4 0 ) 可以改写成黜c a t t i 方程： ( 蹦) ，= 扣卅2 + 争卅 根据孕一k ：的正负性，( 4 4 1 ) 有如下解； 尤 ( a ) 当孕一k ： o ， 丘 乒t a n l 、匪2 k 4k j 脬c o t p 屏卜 “4 4 ) ( 4 4 5 ) 扬州大学硕士学位论文 ( c ) 当兰拿一七：0 ， 庀 f ：三+ 七， p 其中p = x - 1 日- m a r + 七尚 则再从( 4 1 7 ) ，( 4 2 8 ) 和( 4 3 0 ) ，我们也可写出系统( 3 1 ) 相应的群不变解： 或 后 v = ( 割志s 劬2 卜压卜 胯斗。匦42 k k j 七等) 南c s 斗、匦4 2 k k j 当争搿 o ， 妣弦协l v 匣2 k 4 k j v = ( 等一c ： 南s 2 p - 1 ； ( 4 4 6 ) ( 4 4 7 ) “4 8 ) “4 9 ) 隔 暮 虿。f o ， 8 0 ： 甜 弛丁 当 吴加勇( 2 _ h ) 维色散长波系统的对称约化 型 或 脚m 事c o t 卜再卜 v ：扣露f _ ，； 5 ( c ) 当_ 2 c 2 一k 2 ：0 ， 席 “：b o ) 呈+ 七 p v = 一瓦2 痧k 一1c ) 其中p = x - k t - m 七尚 ( 4 5 1 ) 同样，图四显示了当占o ) ：f 2 ，c ：i l ，k 2 _ 孕：1 ，后：3 时，在f ：- 2 y 托 ( 第一列) 、o ( 第二列) 、2 ( 第三列) 时群不变解( 4 4 7 ) ( 不妨对 “，取，+ ，) 的形状；图五显示了当b ( f ) ：f 2 ，c ( ) ，) ：1 了，k ：一2 ，c 2 ：一1 ，后：3 y 片 时，在t = - 2 ( 第一列) 、0 ( 第二列) 、2 ( 第三列) 时群不变解( 4 4 9 ) ( 不妨 对t 土，取，+ ，) 的形状；图六显示了当口( r ) ：f ：，c o ) ：1 三，k 2 _ 2 ，c 2 ：0 ，七：3 y k 时在f = - 2 ( 第一列) 、0 ( 第二列) 、2 ( 第三列) 时群不变解( 4 5 1 ) ( 不妨对 扬州大学硕士学位论文 图四 图五 吴加勇c 2 + 1 ) - 维色散长波系统的对称约化 图六 情形5 ： 七= 三，q = o ，c 2 = 一面9 ，q = o 则( 4 3 1 ) 为 f 一：三，一三f ：一三，+ 三 2481 6 ( 4 5 2 ) 两边同乘，积分一次，我们有 ( 4 5 3 ) 可改写成 f “= 丢( f 一主 4 一言( f 一三 2 + t r 1 、，f 一引2土豚再牙万 此时，是j a c o b i a n 椭圆函数。 s n ( 岛三 + _ ，1 其中p i t p ( f ) d f + 1 2j f c d ( y ) ，) ( 4 5 2 ) ( 4 5 3 ) ( 4 5 4 ) ( 4 5 5 ) 扬州大学硕士学位论文 再根据( 4 1 7 ) ，( 4 2 8 ) ，( 4 3 0 ) 和( 4 5 5 ) ，可得系统( 3 1 ) 相应的群不变解： “= b o ，蛐( p ，三) + i 1 ， v = 斟批驴扣 其中p i t i b ( r ) d h l 2 f c d ( y _ ，- ( 4 5 6 ) 同样，图七显示了当b ( f ) = f 2 ，c ( 力= 7 1 ，女2 一争= 1 ，i = 3 时，在f = _ 2 ( 第一列) 、0 ( 第二列) 、2 ( 第三列) 时群不变解( 4 ，5 6 ) ( 不妨对“”取 + ) 的形状 圈七 吴加勇( 2 + 0 - 维色散长波系统的对称约化 参考文献 【1 】m j a b l o w i t z ，a r a m a n ia n dl ls e g u r , n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sa n d o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fp a i n l e v dt y p e , l e t t n o o v o c i m 2 3 ( 1 9 7 8 ) 3 3 3 3 7 8 【2 】 【3 】 【4 】 【5 】 m j a b l o w i t z , a r a m a n ia n dh s e g u r , ac o n n e c t i o nb e t w e e nn o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n sa n do r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so f p - t y p e , i j m a t h p h y s 2 1 ( 1 9 8 0 17 1 5 7 2 1 gi b a r e n b l a t t s i m i l a r i t y , s e l f - s i m i l a r i o , c o n s u l t a n tb u r e a u ，n e wy o r k , 1 9 7 9 g b i r k h o f f , h y d r o d y n a m i c s - - as t u a yi nl o g i c , p r i n c e t o nu n i v e r s i t yp r e s s ，p r i n c e t o n ，1 9 5 0 m b o i t i ，j j p l e o na n df - p e m p i n e l l i ，s p e c t r a lt r a n s f o r mf a rat w os p a t i a l d i m e n s i o ne x t e n s i o no ft h e d i s p e r s i v el o n gw a v ee q u a t i o n , i n v e r s ep r o b l e m s 3 ( 1 9 8 7 ) 3 7 1 - 3 8 7 【6 】 yc h e na n dq w a n g , an e w g e n e r a la l g e b r a i cm e t h o d w i t hs y m b o l i cc o m p u t a t i o n t oc o n s t r u c t 俐d o u b l y - p e r i o d i cs o l u t i o n so ft h e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a ld i s p e r s i v e l o n gw a v ee q u a t i o n , a p p l m a t h c o m p u t 1 6 7 ( 2 0 0 5 ) 9 1 9 - 9 2 9 【7 】 yc h e na n dq w a n g , as e r i e so fn e ws o h t o n - l i k es o l u t i o n sa n dd o u b l e - l i k e p e r i o d i cs o l u t i o n so f a 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a ld i s p e r s i v el o n gw a v ee q u a t i o n , c h a o s ， s o l i t o n s & f r a e t a l s2 3 ( 2 0 0 5 ) 8 0 1 8 0 7 【8 】ea c l a r k o n ，n o n - c l a s s i c a ls y m m e t r yr e d u c t i o n so f t h eb o u s s i n e s qe q u a t i o n , c h a o s s o l i t o n s & f r a c t a l s5 ( 1 9 9 5 ) 2 2 6 1 2 3 0 1 扬州大学硕士学位论文堑 【9 】m g o l u b i t s k y , i s t e w a r ta n dd gs c h a e f f e r , s i n g u l a r i t i e s a n dg r o u pi n b i f u r c a t i o nt h e o r y , v 0 1 2 ，n e wy o r l ( ，s p r i n g e r - v e r l a g 【i o vi g r o m a k , i l a i n ea n ds s h i m o m u r a , p a i n l e v gd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nt h e c o m p l e x , d eg r u y t e rs t u d i e si nm a t h e m a t i c s ，v 0 1 2 8 ，w a l t e rd eg r u y t e r , b e r l i n , 2 0 0 2 【1 1 】p e h y d o n ，s y m m e t r ym e t h o & 加d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s , c a m b r i d g et e x t si n a p p l i e dm a t h e m a t i c s ，c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，2 0 0 0 【1 2 】p e h y d o n ，d i s c r e t ep o m ts y m m e t r i e so fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，p r o e r o y s o e l o n d a 4 5 4 ( 1 9 9 8 ) 1