（测试计量技术及仪器专业论文）环境激励下大型工程结构模型的模态识别方法研究.pdf

东南大学博士学位论文 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名： 聿血l 日 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论 文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查 阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名：聿嶂一一导师签名： 日 期：乃口， t 。， b 。取单调增加的时间点列 ，七= l ，k ，满足条件 ( 1 ) x ( 以) = x ， ( 2 ) 文( ) 0 ( 七= l ，3 ，) ；文( 气) 0 ，成立 l i mp ( 1i ( ，) 一x u ( f ) | 占) = 0 这就表明，随着k 的增大，估计值依概率收敛于结构自由振动的解。 i b r a h i m 在1 9 届国际模态会议上论文晗伽对此进行了详细论述，同时强调了该方 法仅用于白噪声激励。 2 3 经验模态分解法 e m d m l 方法假设任何信号或数据都由不同的固有简单振动模态组成，每一模态不 论是线性或是非线性的，都具有相同数量的极值点和零交叉点，在相邻的两个零交 叉点之间只有一个极值点，任何两个模态之间是相互独立的。这样任何一个信号就 可以被分解为有限个内在模态函数之和，其中任何一个内在模态函数( i m f ) 都满足以 下条件： ( 1 ) 整个数据段内，极值点的个数和零交叉点的个数必须相等或相差最多不能 超过一个； ( 2 ) 任何一点，由局部极大值点形成的包络线和由局部极小值点形成的包络线 的平均值为零。在实际运用时，其平均值的绝对值小于某一个很小的数即可。 和简单的单调函数相比，一个i m f 代表了一个简单的振动模态，运用i m f 可以 把任何信号x ( ，) 按如下步骤进行分解： ( 1 ) 确定信号所有的局部极值点，然后用3 次样条线将所有的局部极大值点连 接起来形成上包络线； ( 2 ) 用3 次样条线将所有的局部极小值点连接起来形成下包络线，上下包络线 应该包络所有的数据点： ( 3 ) 上下包络线的平均值记为m 。，求出h 。( f ) = x ( f ) 一m 。( f ) 。如果h ，是一个 i m f ， 那么h 就是x ( f ) 的第一个分量： 东南大学博士学位论文 ( 4 ) 如果h ，不满足i m f 的条件，把h 。作为原始数据，重复( 1 ) 一( 3 ) ，得到上下 包络线的平均值m 。再判断h = h 。一m 是否满足i m f 的条件，如不满足，则循环 七次，得到h 眦- i l m l = h 使得h l 女满足i m f 的条件。记c j = h l i ，则c i 为信号x ( r ) 的第一个满足i m f 条件的分量； ( 5 ) 把c ，从x ( ，) 中分离出来，得到( f ) = x ( f ) 一c l ( f ) ； ( 6 ) 将e 作为原始数据重复以上过程，得到x ( f ) 的第2 个满足i m f 条件的分量c 2 ， 重复循环刀次，得到信号x o ) 的”个满足i 肝条件的分量。当成为一个单调函数不 能再从中提取满足i m f 条件的分量时，循环结束。 因此，可以把任何一个信号x ( ，) 分解为珂个内在模态函数和一个残量之和。 其中，分量c 1 ，一，c 。分别包含了信号从高到低不同频率段的成分，每一频率段所包含 的频率成分是不同的，而且是随信号x ( f ) 变化而变化的，而l 则表示了信号x ( f ) 的 中心趋势。 e m d 能把非平稳的响应分解成准平稳的分量，因而为解决非平稳环境激励下的 模态参数识别提供了一条新途径。第4 章所提到的h h t 方法就是首先利用e m d 来提 取准平稳的信号，然后实现模态识别。 2 4n e x t 方法 n e x t 法n 剐3 的基本思想是白噪声环境激励下结构两点之间响应的互相关函数 和脉冲响应函数有相似的表达式，求得两点之间响应的互相关函数后，运用时域中 模态识别方法进行模态参数识别。 对自由度为拧的线性系统，当系统的七点受脉冲激励，f 点的脉冲响应矿( f ) 写 成下式 ( ，) = 群p 一厶s i n ( f )( 2 4 1 j 这里气、分别为系统的第聊阶阻尼比、圆频率和有阻尼圆频率。雒为一 常数。当系统在七点受白噪声激励，f 点的响应# ( f ) 与点响应x ；( f ) 的相关函数 勘( f ) 为 凡。( f ) = e ( # o + f ) 巧( ，) ) = 雏p 一厶s i n ( f + 巳) ( 2 4 2 ) 式中，e 、f 、以分别表示数学期望、采样间隔和肌阶相位角，醪也是一常数。 同样，当系统有个点受白噪声激励，系统f 点的响应和j 点响应之间的相关 函数r ( f ) 为 毛( f ) = p 一厶掣s i n ( f + 氏) ( 2 4 3 ) ，”篇l 这里，色为第所阶相位角，为一常数。 从上面方程可以看出，线性系统在白噪声激励下两点的响应之间的互相关函数 和脉冲激励下的脉冲响应有相同的数学表达式，因此，就可将相关函数与传统的模 1 6 第二章模态识别基础及平稳环境激励下的识别方法 态识别方法结合起来进行环境激励下的参数识别。 n e x t 法识别模态参数的程序是：首先，进行采样；然后采样数据进行自相关和 互相关计算，需要选取测量点作为参考点；最后，将计算的相关函数作为脉冲响应 函数，利用传统的模态识别方法进行参数识别，对于单输入多输出采用i d t 法或单 参考点复指数法( s r c e ) ；对于多输入多输出可采用多参考点复指数法( p r c e ) 或特征 系统实现法。 n e x t 法是假设激励为自噪声，对输出的环境噪声有一定的抗干扰能力。目前， 该方法已广泛运用于桥梁、汽轮机、飞机和汽车的工作模态参数识别。 2 5 随机子空间法 随机子空间法是基于线性系统离散状态空间方程的识别方法，是一种时域模态 参数求解方法。它利用测试数据的相关函数构造h a n k e l 矩阵，然后通过对该矩阵进 行分解，从而能够识别受随机激励作用的结构模态参数。1 9 9 5 年由p e e t e r sb 等人 首次提出，文献瞳羽对该方法及其应用进行了详细描述。 考虑状态空间方程 y ( f + 1 ) = a y ( ，) + b u ( ) ( 2 5 1 ) x ( f ) = c y ( f ) + d u ( f ) 其中u ( f ) 表示，阶的系统输入向量，此处假定为平稳随机激励向量：x ( f ) 表示s 阶的 系统输出向量；y ( f ) 表示胛阶系统状态向量；a 表示系统状态传递矩阵：b 表示输 入传递矩阵；c 表示输出传递矩阵；d 表示状态传递矩阵。 定义被测量的序列x ( f ) 的自协方差函数序列为 r = e ( x x ；) ( 2 5 2 ) 以及状态变量和观测变量的一步协方差函数为 g = e ( y ，+ l x ；) ( 2 5 3 ) 相应的估计量记为 1 留 r 风2 而刍一 和 1一l g = 志y 川x ： r1 j 。 依据被估计的相关函数序列食。，构成一个h a n k e l 矩阵，并被表示为 h 朋= r ir 2 r 2r 3 r ，r p + i r q r q + 其中p 刀，g 刀。将式( 2 5 1 ) 代入式( 2 5 4 ) 得到 ( 2 5 4 ) 将上式分解为 其中 f ，c gc 庙c 圹1 6 、l 卟ic 掌c 紫：c 登i 仫s s ， 【c a p 一- g c a 户6c a p 岬2 ej o = h 月= o k c c a c a p 一1 ( 2 5 6 ) ( 2 5 7 ) k ：f ea e a 州6 1 ( 2 5 8 ) 从理论上讲，以维的动力系统有玎个正的特征值。对矩阵h 朋进行奇异值分解， 得到 卟( u l u 2 ) r 骥 亿蚋， 其中，为对角矩阵，由系统的特征值组成；u 。为。所对应的左特征向量矩阵；s - 为 所对应的右特征向量矩阵；：为对角矩阵，由噪声的特征值组成：u ：为z 所对 矗的左特征向量矩阵；s ：为：所对应的右特征向量矩阵；取h 朋的估计值，这样有 自w = u 。l s ； ( 2 5 1 0 ) 6 ：u 。：7 2 ( 2 5 1 1 ) k = ：，2 s i ( 2 5 1 2 ) 仑= e ：u ：7 2 ( 2 5 1 3 ) a = e e 1 6 i ( 2 5 1 4 ) 其中 e ：= ( i p ，o ，o p ) p p = ( o 口，i p ，o p ) 估计出状态空间的状态矩阵后，依据第2 1 节结构动力学模型和状态方程的相 互转筷关系就能够计算出结构的振动频率、阻尼和振型。具体方法如下： 对特征矩阵a 作特征值分解 a ：胖一l ( 2 5 1 5 ) a = 人y 厶u 1 u 7 其中人：以昭( ，九) 表示离散系统的特征值，它与振动系统的特征值 西昭( l ，一，以) 之间的关系为 丑：e 脾j 以= q + f q = l n ( 乃) ( 2 5 1 6 ) 第：章模态识别基础及平稳环境激励f 的识别方法 这里，仃，是阻尼因子，q 是第r 阶模态有阻尼固有频率，阻尼比鼻由下式给出 爵。赢 ( 2 5 1 7 ) 第，阶模态的振型，是矩阵，的系统特征向量办的可观部分，表示如下： 虬= c 谚 ( 2 5 1 8 ) 可见，只要求出a ，c 便可进行模态参数识别。 上述分析表明，随机子空间方法使用s v d 分解确定结构的阶和相关参数，所以， 随机子空间方法具有鲁棒性。同时，该方法利用测试数据的相关函数构造h a n k e l 矩阵，能够识别受平稳随机激励作用的结构模态参数，并具有抗噪性。但是由上述 分析过程可以看出，该方法对于阶数的确定具有一定的丰观性，对低阶模态估计的 精度不是很高，同时注意可能出现虚假模态，而且该方法计算量大，这些都需要进 一步加强和改进。 2 6i b 剐m i m 方法 i b r a h i m 方法是1 9 7 3 年i b r a h i m 提出来的，这个方法是基于自由振动系统方程 识别结构动力参数的识别方法。1 9 9 7 年后他本人对该方法作了重要改进，引起人们 的注意，被称为i t d 方法馏训。 从结构动力学的基本理论，作自由振动的动力系统的解是由结构的振动模态的 线性组合构成的。i t d 方法基于自由振动的解是由振动模态构成的基本特性，由系 统响应的采样数据构造一个特征矩阵，然后通过求解特征值问题得到系统的模态参 数。依据结构动力学理论，作自由振动的玎维结构动力学方程为 m 重+ c 文+ k x = o ( 2 6 1 ) 相应的解为 x ( f ) = 。扩 t = i 其中从= f 嘶+ 依。假定信号中包含了p 2 阶模态信息， 时刻，的自由振动响应为 薯( o ) = 止e 嘶 七= l 对于p 个测点和s 个时刻，组成响应矩阵为 z = r 其中 zo ( 2 6 2 ) 则在结构的第f 个测点和 五( f 。)五( f 2 ) 而( f f ) 而( f 。) 而( 乞) 而( ) x p ( ) ( 乞) ( t ) 1 9 ( 2 6 3 ) ( 2 6 4 ) 东南大学博士学位论文 f 。 吧： 。p 1 吣ko 刊 p m鲋，2e m r = 1 i p 脚1 附p 邱i 在上述j 个时刻的滞后办的时刻上再取得同一测点的自由振动响应为 再q + 乃) = 吼扩q 相应对于这p 个测点和占个时刻，仍可组成响应矩阵为 主= 八r 其中 ( 2 6 5 ) ( 2 6 6 ) f p 肿 o o1 人_ 卜| ioo p 舻i 令a = 缸( z z ) 一，由式( 2 6 4 ) 和式( 2 6 6 ) 得 a 中= a ( 2 6 7 ) 假设a 的特征向量为屈+ f v l ，岛+ 加p ，由式( 2 6 7 ) 可得 p 肿= 层+ 以 ( 2 6 8 ) 因此，结构振动系统的复特征值可根据a 的特征值求出 仍2 去1 n 群+ 怕 ( 2 6 9 ) q = a r c t a i l 一( v 馅)q 。了a r c t a i l 。髟) 有了复特征值人，由式( 2 6 7 ) 可得到复值特征向量。 上述分析表明，由结构系统输出信号构造矩阵z 及主，通过求解a 的特征值和 特征向量便可获得系统的复特征值和特征向量。 2 7e r a 方法 e r a 方法是利用结构的自由振动响应数据或脉冲激励响应数据识别结构振动模 态的识别方法，这个方法通过估计状态方程的系数矩阵来识别结构的模态参数。考 虑状态方程 y ( f + 1 ) = a y ( f ) + b u ( ，) ，o 叮1 、 厶工， x ( f ) = c y ( f ) + d u ( ，) 其中u ( f ) 表示，阶的系统输入向量，此处假定为平稳随机激励向量；x ( f ) 表示s 阶的 系统输出向量；y ( f ) 表示胛阶系统状态向量；a 表示系统状态传递矩阵；b 表示输 第二章模态识别基础及平稳环境激励f 的识别方法 入传递矩阵；c 表示输出传递矩阵：d 表示状态传递矩阵。 假设x ( 0 ) ，x ( 一1 ) 是系统的被测试的m a r k o v 参数，其中x ( f ) ( p ，) 具有下列 形式 x ( ，) = ( x 1 ( f ) ，x 7 ( ，) ) ( 2 7 2 ) 其中x 砸) 表示在时间f 时，在结构上f 点处的脉冲激励产生的系统响应。 依据m a r k o v 参数构成一个口p _ r 阶h a n k e l 矩阵，并被表示为 h 一1 ) = x ( f )x o + 1 ) x o + 一1 ) x o + 1 )x ( ，+ 2 ) x o + 历 x o + 口一1 )x o + 口) x o + 口+ 一2 ) ( 2 7 3 ) 其中口门，刀。 对矩阵h ( o ) ( 口p 矽) 进行奇异值分解，得到 h ( o ) = r s 7 ( 2 7 4 ) 其中r 是口p 阶正交矩阵；s 是矽阶正交矩阵。 事实上，列矩阵r 和s 是矩阵h ( 0 ) s v d 分解的左右特征向量，矩阵( 口p 矽) 含 有系统的特征值元。从理论上讲，以维的动力系统有有刀个非零的特征值，即 丑厶无， 这样矩阵、r 和s 能够被重新写成 = ( i ： ，r = ( r 。，良) ，s = ( s 。，季) ( 2 7 5 ) 其中。= 访昭( 矗，乃) ，r 。和s 。是由r 和s 中相应于。的刀列组成。 这样，当d = y 。时，状态空间矩阵就能够被估计为 a = ：2 r ：h ( 1 ) s 。：2 ( 2 7 6 ) 丘= ：“2 s ：e ， ( 2 7 7 ) e = e ：r 。：2 ( 2 7 8 ) 其中e ：= ( i ，o ，o ) ，e ：= ( i ，o ，o ) 。 估计出状态空间的状态矩阵后，依据第二章结构动力学模型和状态方程的相瓦 转换关系阶能够计算出结构的振动频率、阻尼和振型。上述分析表明，e r a 方法使 用s v d 分解确定结构的阶和相关参数，所以，e r a 方法具有鲁棒性。但是，该方法 仅仅能利用结构的脉冲响应或自由振动响应数据识别结构参数，同时，不能使用受 噪声侵蚀的数据识别结构参数。 2 8 本章小结 结构模态识别是结构动力学建模的主要内容之一，结构模态识别的过程本质上 是结构建模的过程，这一章节从结构动力学建模的高度讨论结构动力学模型以及相 关问题。首先讨论了结构动力学有限元模型，给出了结构振动模态以及模态参数的 东南大学博士学位论文 摹本定义，利用状态方程讨论了作自由振动的结构的解的基本构成。然后介绍了从 振动信号中提取自由衰减响应的随机减量技术，把多成分信号分解为单成分信号的 e m d 方法，基于平稳激励下( 特别是白噪声激励) 识别模态参数的n e x t 方法，随机 子空间法，以及基于自由响应的i t d 法和e r a 方法，这些都为随后的非平稳随机激 励下模态参数的识别方法以及我们所提出的新的识别方法奠定了基础。 第二章模态参数识别的时域分析方法 第三章模态参数识别的时域分析方法 非平稳随机激励下模态参数的识别是土木工程领域的一个热门话题。方法主要 集中在时域、频域和时频分析三个方面，其中以时域和时频分析方法为主。时域方 法丰要借助于时间序列、状态空间模型等已有的方法进行建模，目前已经有一些比 较成熟的算法，比如反演算法、a 对m a 模型以及时变a r m a 方法等。本章首先对 这些方法进行了介绍。但这些方法计算量都很大，而且后两种方法需要在连续和离 散模型之间进行转化进而提取模态参数。因此本章在对这些传统识别方法进行分析 的基础上，提出了一种新的非平稳随机激励下模态参数识别的方法，它从很大程度 上克服了上述方法的不足之处。 3 1 系统参数和输入的复合反演算法 传统的结构动态参数识别方法一般要求已知系统的输入和完备的输出，或者采 用模态扩阶的方法来构造完备的模态。而对于工程结构的动态响应测试来说，一般 得不到它的全部输出响应，而采用模态扩界的方法必须有结构的数学模型。因此， 在不完备的测量信息和未知输入的条件下如何准确地识别结构的物理参数，反演出 系统输入是复杂环境条件下的结构设计以及损伤诊断的关键技术。 由于实时记录结构荷载及测量结构的全部响应相当困难，因此现阶段研究大体 出现以下两个方面的研究方向，即输出信息不完备【9 3 】、输入信息未知【9 4 习5 】来进行 参数识别。主要方法如下： 3 1 1 统计平均算法 统计平均算法的核心是将基底作用的力学性质转化成一类关于估计输入的修正 条件，因此可以成功地解决基底输入未知时的参数识别问题。 一般多自由度结构体系在随机激励下结构的动力方程为 m 薰( r ) + c 文o ) + k x ( f ) = f ( ，) ( 3 1 1 ) 其中f = ( 石，左，z ) 7 为外部随机激励向量，可以是平稳或非平稳的；行为结构结点 数。根据基于有限元列式的动力系统参数表示方法，( 3 1 1 ) 式可改写为 h 口= f( 3 1 2 ) 式中h 是由结构响应组成的矩阵，口为结构参数向量。 将( 3 1 1 ) 式中的刀个z 划分为脚组，并记s = ( 1 ，：，。) 。在第，个组，上， 假设f = b 。甜，其中b 。已知，“，是一个随机过程。这就意味着在任一组内荷 载是完全相关的。于是有 东南大学博士学位论文 “= ( ，- ，= l ，2 ，m ) ( 3 l 3 ) 显然， 由于一组的荷载是同一过程，因而( 3 1 3 ) 式给出了相关尺度范围内的归一化 结构输入。在此基础上，构造了一类识别算法，其计算步骤为： 1 任意设定参数初值否。，由( 3 1 2 ) 式给出输入荷载初值为 亘。= h 百。 2 设向量帚。中的荷载估计值为( 五( r ) ，五。( ，) ) ，则在( 3 1 3 ) 式表示的各相关 集合，中引用统计平均的思想，即得到材，的估计值 渺古茎等俨啦，川巩( f ) 2 玄荟等( ，- l ，2 朋) 3 引用( 3 1 3 ) 式变换的逆变换，即可得到修正估计荷载为 们= 鲁考掣队川 2 ，( 7 ) 。菩善等k ，j f 卅，2 ，所) 经过步骤2 ，3 可得修正后的输入荷载向量帚。 4 由( 3 1 2 ) 式求出新的参数估计值 痧。= 【h 7 h 】一1 h7 氐 5 判断参数是否收敛，判据为 | | 痧，一痧hl f 占 式中f 为给定的识别精度。若上式满足则计算结束，取此时的结果为最终识别结果； 若不满足，取当前结果为初值重复步骤1 5 。 可以看出，上述方法的核心是利用输入的性质构造关于估计输入的修正条件， 并将其引入到以最小二乘为识别准则的迭代计算格式中，从而达到识别结构参数的 目的。称此算法为荷载归一化统计平均方法，对此方法的收敛性及唯一性在文献1 9 2 】 中给予了证明。 应用1 ：风荷载激励下高层建筑的参数识别 距地面z 高度处任一瞬时的风速v ( z ，f ) 可以表示为【1 3 5 1 1 ，( z ，f ) = 矿( z ) + v ，( z f ) ( 3 1 4 ) 式中矿( z ) 为平均风速，v ，( z ，f ) 为脉动风速。根据风速与风压的关系，作用于结构物 z 高度处的风压w ( z ，f ) 为 1 w ( z ，) = 似( z ) 1 ，2 ( z ，) ( 3 1 5 ) 上式中从( z ) 为高度z 处结构体型系数，p 为空气密度。将( 3 1 4 ) 式代入( 3 1 5 ) 式， 展开后将二阶微量，；( z ，f ) 略去，可得 2 4 第三章模态参数识别的时域分析方法 w ( z ，f ) = 去触( z ) ，2 ( z ) + 鹏( z ) 矿( z ) ，( z ，f ) 叫小2 等卜撇，( 1 + 2 等卜 l 式中为1 0 米高度处的标准风压，：( z ) 为风压高度变化系数。在( 3 1 6 ) 式两端乘 以z 处的迎风面积彳，可得结构物在z 高度处的风力荷载表达式 脚h 俐( 1 + 2 等卜叫铊等 w o 慨 设脉动风的幅值与平均风速矿( z ) 的比值为，则可将脉动风表示为 1 ，( z ，f ) = 历( z ) 1 ，r ( ，) ( 3 1 8 ) 此处， ，( ，) 为与高度无关的规格化( 幅值为1 ) 的平稳过程，可称为标准脉动风。于 是，可将( 3 1 7 ) 式进一步写成 尸( z ，f ) = b ( z ) 【l + 2 少，( ，) 】 ( 3 1 9 ) 上式作为结构物上的风荷载模型。式中b ( z ) 中诸系数的可计算或可测量性构成了下 文建议方法的应用基础。 为了进一步在计算中考虑脉动风空间相关性的影响，可以引入脉动风风速时程 的概念，定义为p ，。例如岛= 3 表示任意3 层处的脉动风作用是完全相关的，因而 采用( 3 1 7 ) 式形成风载值时可对相邻3 层采用相同的风速时程。 一般 自由度结构体系在风荷载作用下结构的动力学方程为 m x ( f ) + c 】i 【( ，) + k x ( ，) = p ( ，) ( 3 1 1 0 ) 式中p = ( n ，仍，见) 7 ，只值由( 3 1 9 ) 式确定，刀为结构结点数。根据基于有限元 列式的动力系统参数表示方法，( 3 1 1 0 ) 式可改写为 h 目= p( 3 1 1 1 ) 式中h 是由结构响应组成的矩阵，口为结构参数向量。 按照前述脉动风相关长度的假定，将( 3 1 1 0 ) 式中的刀个所划分为朋组，并记 s = ( l ，：，k ) ，在任一组荷载中的脉动风时程是完全相关的。于是，可以引入 映射函数 兀2 焘( ，_ ，= 1 ，2 ，朋) ( 3 1 1 2 ) 将p ( 乙，) 变化为规格化空间中的归一化输入集合 _ z ，p ( 互，f ) = 【l + 2 伽，o ) 】( ，f ，= l ，2 ，柳) ( 3 1 1 3 ) 式中 表示变换空间的函数。显然，由于在一组荷载中的v ，o ) 是同一过程。在 此基础上，构造了一类识别算法，其计算步骤为： 1 任意设定参数初值酿，由( 3 1 1 1 ) 式给出输入荷载初值为 p q = h e o 2 设向量戌中的荷载估计值为户d ( f ) ，则引入( 3 1 1 3 ) 式所示的变换可得 东南大学博士学位论文 - z ，户d o ) ( z ，歹= l ，2 ，彤) 3 在各相关集合中引用统计平均的思想，即由 给出 的估 计值 一寺 ( j = l ，2 ，朋) 4 引用( 3 1 1 2 ) 式所示变换的逆变换，即可得到修正估计荷载为 峨圳= 号竽= 掣荟篇泸啦，川 经过步骤3 、4 可得修正后的输入荷载向量户。 5 由( 3 1 1 1 ) 式求出新的参数估计值 百。= 【日。日】- 1 日。昂 6 判断参数是否收敛，判据为 i l 痧，一痧，一l l i 占 式中占为给定的识别精度。若上式满足则计算结束，取此时的结果为最终识别结果； 若不满足，取当前结果为初值重复步骤l - 6 。 应用2 ；地震激励下系统的参数识别 地震动作用下系统的运动方程为 m i + c 文+ k x = 一m i o ( 3 1 1 4 ) 式中j i 。为地震动加速度，m ，c ，k 分别为结构质量、阻尼和刚度矩阵。 结构质量矩阵通常认为是已知的，( 3 1 1 4 ) 式可写为： c j i 【+ k x = 一m 一m i ( 3 1 1 5 ) 根据上式，结构参数识别方程可写为 豆口= f( 3 1 1 6 ) 其中，系统响应矩阵为h = 晤。，i 。r ，i ，= 【文( f ，) ，x ( r ) 】( = l ，刀) ，系统输入外荷载 f = f l ，一，f 。】r ， f ，= 一m ( ，) 一m i ( f ，) ( _ ，= l ，刀) ，待识别的结构参数为 占= c ，髟】7 。 则统计平均算法可归纳为： 1 假设参数向量初始值否，代入式( 3 1 1 6 ) ，求出每个时刻f ，的输入f ，； 2 根据( 3 1 1 5 ) 式，由f ，得到f l ，= 一m ( f ，) 。将_ 1 ，中的每个元素除以相对应 的质点质量聊，得到对应于每一质点的地面加速度向量( f ，) ： 3 因为地面加速度是唯一的，因此将( ，) 中所有的值平均后，得到地面加速 度向量的修正值氯( r ，) ； 4 将氟( ，) 作为地震动输入代入方程( 3 1 1 3 ) ，通过最小二乘优化求得新的参数 值占2 ： 5 判断收敛，设第七次迭代得到参数估计值为蚕。，第七+ 1 次迭代得到参数估计 第二章模态参数识别的时域分析方法 值为舀川如果它们满足( 占为给定的收敛精度) 占 则认为参数已经收敛，计算结束。若不满足，以莎川为新的初值，重复步骤l - 4 ； 6 将得到的结构参数代入式( 3 1 1 6 ) ，就可以求出地面加速度时程。 3 1 2 多个未知输入下的复合反演方法 从上面的算法中可以看到，在地震动输入未知的反演算法中，地震动输入加速 度对各个结点来说是相同的；在风荷载作用未知的识别算法中，在同一组内脉动风 的时程也是假定相关的，这是算法的共同点，也是算法的关键。所有算法都必须满 足反演未知输入所建立的独立的方程数大于未知输入的个数。但研究发现，当结构 上的未知输入为多个时( 例如地震动和风荷载同时作用) ，上面的算法就不适用。 3 1 2 1 复合识别算法 设在某时刻f 任意质点f 上作用的外力以( f ) 可以表示为 b ( ，) = ( f ) 乃( f ) ( 3 1 1 7 ) = i 其中，( f ) ( ，= l ，聊) 表示作用于结构上的未知输入，朋表示未知输入的个数，( ，) 表示在节点f 上未知输入( f ) 的作用系数。设共有疗个节点上作用了这些力，定义 未知输入系数矩阵为 f 口l i ( f ) q 2 ( f ) 口l 。( f ) 1 踯) = 卜i ( 3 1 1 8 ) i 、吼( f ) 2 ( ，) ( f ) ，j 设矩阵b ( f ) 任意坍行子矩阵的秩等于所，则可以识别出系统的未知输入和结构参 数。 利用参数识别方程疗曰= f ，根据( 3 1 1 4 ) 式有 p ( f ) = b ( f ) f ( ，) ( 3 1 1 9 ) 其中f ( f ) = z ( f ) ，厶( f ) 】7 ，p ( f ) = 乒( f ) + m j i ( ，) 。从而可建立反演识别过程如下： 1 假定参数初始值a ，代入式( 3 1 1 6 ) 求出f ( f ) ； 2 由最小二乘法优化求得f ( ，) ，将i ( f ) 作为已知，可得到修正的f ( f ) ： 3 根据式( 3 1 1 6 ) ，采用优化方法可由f ( f ) 得到新的系统参数估计值龟； 4 当相邻两步求出的参数估计值满足收敛条件时，计算结束；否则，以新的参 数估计值作为初始值，重复步骤1 3 。 由于矩阵b 满足上述条件，因此最小二乘的结果，相当于对其中由任意川个方 程求出的结果进行了一定意义下的平均。因此本算法和统计平均算法具有共同的特 点，即都是基于”平均”这一特性。 东南大学博士学位论文 3 1 3 部分输入未知条件下结构参数识别法研究 上述的分析是对输入信息未知而输出信息完全已知的情况下提出的参数识别方 法。许多情况下，输入信息可能部分未知而输出己知，这时有许多学者提出了识别 系统参数的方法全量补偿法。全量补偿法不需对荷载类型做任何假定，对于实际 应用很有价值。 3 1 3 1 部分输入未知条件下的全量补偿法 对于多自由度系统的运动方程，全量补偿算法的基本思想如下【9 7 】 m 曼+ c 文+ k 盅= p o ) ( 3 1 2 0 ) 式中m ，c 和k 分别为对称正定的系统质量、阻尼和刚度矩阵。根据所讨论问题的 性质，可设外力向量p 由两部分组成 p ：f r ，p 1 r ( 3 1 2 1 ) 式中七和甜分别代表时程信息为已知和未知的部分。可得识别方程 h 目= p 如( 3 1 1 1 ) 式。 从式( 3 1 1 1 ) 出发，结合最小二乘识别准则，可得到补偿算法的计算步骤如下( 描 述中，符号”表示估计值，” 表示修正值) ： 1 给定结构参数的初值皖； 2 利用式( 3 1 1 1 ) 计算p ，：h 痧。，其中帚= f 或，或 7 ： 3 用真实的联替代其估计值p ：，得到修正后的p = 【联，p ：】7 ； 4 由争计算结构参数新的估计值，痧件1 = ( h7 h ) - 1 h7 p ； 5 比较舀和舀件1 ，若满足收敛条件，则取本步的参数估计值争7 和痧为最终计算 结果：否则，以步骤4 的识别结果否h 1 为新的初值，重复步骤2 - 5 至收敛。 3 1 3 2 全量补偿法的收敛性分析 定义真值为p ，则估计误差虚，修正后误差窟和修正误差豆。如下 窟= 户一尸，雷= 户一尸，豆= 户一户 ( 3 1 2 2 ) 估计误差 虏。= 一尸= 云7 + 应 ( 3 1 2 3 ) 根据式( 3 1 2 1 ) ，有 萨惜 m 4 ， 弘一= 5 ， 第三章模态参数识别的时域分析方法 弘鼢刳 ( 3 1 2 6 ) 定义彳= 日7 1 日，则以上迭代过程可以写为 户= 日痧7 ，户= 户一豆，痧h 1 = 彳- 1 7 声 ( 3 1 2 7 ) 定义 弘瞬剌肌眨乏 ( 3 m 8 ) 其中，上标f 代表迭代次数，下标，代表在已知力的平衡方程中出现的结构参数，j 代表在已知力的自由度平衡方程中没有但在未知力的平衡方程中出现的结构参数， 为结构参数的系数。设结构参数真解为秒，定义 e ( 痧。) = 痧一目，e ( 痧”1 ) = 痧件1 一秒 ( 3 1 2 9 ) 则分析如下： 1 荷载修正后， l | 应刮丘l i i 全量补偿法关于估计输入的修正原则是在已知输入点处用真实输入罡代替估 计输入户。则根据式( 3 1 2 4 ) - ( 3 1 2 7 ) 可知 l | 占7l b = j i 应i l l + 0 豆7i i 。 ( 3 1 3 0 ) 因此对全部采样过程必有 0 雪峪l l 豆j | 。 ( 3 1 3 1 ) 当虚：为零时，有i | 童1m = l i 豆f i i 。，此时，不能再通过修正已知项来减小误差。 2 经过迭代后， i i 雪”1m 刮啻| l l o 根据式( 3 1 2 2 ) ，荷载估计误差可表示为 f 云：1 f璺e ( 痧p，1 ( 3 1 3 2 ) i 丘：l 见，e ( 痧：) + 月0 e ( 痧：) 根据式( 3 1 2 2 ) 及式( 3 1 2 3 ) 可得 痧“1 = 彳一日7 户= 彳_ 日7 ( h 莎。一云) ( 3 1 3 3 ) 由式( 3 1 2 6 ) 及式( 3 1 2 9 ) ，得 潞：；) = ( 嬲卜降 融4 ， i e ( ) i e ( 痧：) 一io 由上式可见，经过一次迭代后，结构参数痧：和痧：的误差取决于磁莎：；在磁反不 为零的条件下，要满足在迭代过程中髟和最的误差不断减小，矩阵么必须满足方 程解的适定性条件，这一点从数学上证明是满足的。 式( 3 1 3 4 ) 可写为如下形式 ( 磁巩甏眷磁甜1 = ( 磁巩翟蔓磁或 - ( 磊 c 3 3 5 ， l磁豆，1厂l磁丘：厂l o j u h 一驯 其中啻：= 吼，e ( 痧：) + 也e ( 痧：) 。 由式( 3 1 2 2 ) 及式( 3 1 3 4 ) ，得 2 9 东南大学博士学位论文 户h 1 = 删。1 7 ( 户7 一雷7 ) 则两边左乘h 丁，并根据式( 3 1 2 7 ) ，可得 f ，磁+ 磁虏，1 1 一f ，磁或1 i磁前1j 磁虏：j 由式( 3 1 3 2 ) ，式( 3 1 3 5 ) 和式( 3 1 3 7 ) 可得到以下关系 月三日打e ( 百? 1 ) = 一日二( 豆，1 一e ：) 磁虏? 1 = 一磁( 豆，1 一雷：) 磁( 豆一豆：) = o ( 3 1 3 6 ) ( 3 1 3 7 ) ( 3 1 3 8 ) ( 3 1 3 9 ) ( 3 1 4 0 ) 这里根据以下情况进行分析： ( a ) 只= 0 ，巩= o ，即没有结构参数不包含在对应已知力自由度的方程中，因此 下式恒等 磁雷1 = 以后：兰o ( 3 1 4 1 ) ( a - 1 ) 若只。，= 0 ，则没有未知外力，问题变为已知激励下的结构参数识别问题， 从而由式( 3 1 3 8 ) 可得 磁e ( 矿1 ) = o ( 3 1 4 2 ) 即经过迭代后舀? 1 的误差在最小二乘意义下为零，结构参数收敛到真解。 ( a - 2 ) 若鼠，o ，式( 3 1 3 9 ) 意味着经过迭代后，未知力在痧：所对应位移上所做 功的减少等于已知力误差在其上所做的功。随着已知力误差的减小，未知力的增量 趋于零，误差逐渐趋于定值，即当已知力达到真值后，未知力不再发生变化，做功 为零。由式( 3 1 3 8 ) 可见，结构参数每? 1 的误差在最小二乘意义下为零，收敛到真解。 从式( 3 1 3 2 ) 可知，未知力的误差也趋于零，从而收敛到真值。从而有 | i e ( 矿1 ) l i l | ie ( 痧) l i l ( 3 1 4 3 ) ( b ) 痧：o ，则式( 3 1 4 0 ) 从物理意义上意味着在迭代过程中，未知力的增量在皖所 对应位移上做功为零。这就意味着经过迭代，未知力的变化不能起到减小谚的误差 的作用。 ( b 1 ) 见，= o 时，式( 3 1 4 2 ) 恒成立，意味着经过迭代后，对已知力平衡方程起 作用的结构参数p 在最小二乘意义下收敛到真解。由式( 3 1 3 2 ) ，有 雷：= 也e ( 否：) ( 3 1 4 4 ) 从而未知力的误差决定于结构参数鼠，见不能收敛，则未知力也不能收敛。 ( b 2 ) 吼，0 ，情况同( a - 2 ) ，经迭代后，随着已知力误差的减小，未知力的增 量趋于零，误差逐渐趋于定值，即当已知力达到真值后，未知力不再发生变化，做 功为零。由式( 3 1 2 0 ) 可见，结构参数q 收敛到真解。但从式( 3 1 3 2 ) 和式( 3 1 3 5 ) 可 知 磁乩e ( 痧：) = 或雷：一磁曰。e ( 舀：) ( 3 1 4 5 ) p 收敛后，未知力误差恒定，鼠误差也恒定，收敛不到真值。从而 0 e ( 矿) | l l = i | e ( 痧。) i i 。 ( 3 1 4 6 ) 第三章模态参数识别的时域分析方法 见及的迭代结果将依赖于初值。 显然，任何一个与未知力有关的结构参数，都必须在已知力的平衡方程中出现， 才能收敛到真解。这也就是为什么剪切型结构未知力的位置不能相邻的原因。因为 对于剪切型结构，未知力位置相邻意味着至少有一层的结构参数不能出现在已知力 的平衡方程中，从而问题不收敛。 3 2 时间序列分析法 大型结构模态识别方法的研究有两个途径，一是从离散型的差分方程出发建立 动力学模型；二是直接从连续型的动力学方程建立结构有限元模型。因而，总体上 来说，大型结构模态识别方法可分为离散模型识别方法和连续模型识别方法。依附 于差分方程的时间序列识别方法是结构模态识别的一个主要的方法，这个方法的最 大的优点是具有成熟的算法，而且算法具有稳定性、鲁棒性等。 本节首先讨论时间序列分析模型，然后讨论模型参数的识别方法和在结构模态 识别中的应用。 3 2 1 时间序列模型 时序分析起源于预测，特别是市场经济预测。这就是说，时序分析本来的目的 是为了预测。但是，随着对时序分析的理论和应用这两方面的深入研究，时序分析 应用的范围日益扩大。目前，它已涉及信号处理，振动控制等领域。从广义上讲， 对有序的随机数据的处理方法都可以说是时序分析。传统的周期图分析与相关分析 是直接从时序计算其自协方差( 或自相关函数) 或其功率谱，即获得时序的这些非参 数模型。但是，直接从时序中计算出的自协方差函数和功率谱，不是它们的真实值， 而是它们的估计，并往往是劣估计，偏离真值较远。时序模型从非参数模型发展到 参数模型是广义时序分析发展中的一个突破，即出现目前所讲的时序分析。1 9 2 7 年， g u y u l e 提出了时序的a r 模型，并用于预测。g w r a l k e r 在1 9 3 1 年也用a r 模型进 行预测。此后，逐步发展了a r m a 模型、多维a r m a 模型、非平稳时序模型、非 线性时序模型等等。 3 2 2 平稳时间序列模型 3 2 2 1a r m a ( p ，q ) 模型 在这一节，直接给出a m ( p ，q ) 模型的定义，然后由a i 洲a ( p ，q ) 模型导出a r ( p ) 模型和m a ( q ) ，并讨论它们的相关性质。 规定：如果信号x ( f ) 是与时间，有关的随机信号，办为采样时间间隔，定义 x ( 七) = x ( 砌) ，其中七= o ，l ，是正数。在下文中，用五表示坼这里的f = 0 ，l ，2 ，是 整数。 东南大学博士学位论文 对于平稳、正态、零均值的时序如 ，若的取值不仅与其前p 个小，薯一芦有 关，而且还与前日步的各个干扰q ，口，一。有关。则按照多元线性回归的思想，可得 到最一般的a r m a ( p ，q ) 模型 薯= 仍薯一i + 仍薯一2 + + 伊p 薯一p + 口，+ 幺q i + + 巴口f g ( 3 2 1 ) 其中口，为均值为o ，方差为仃2 的正态白噪声；仍( f = l ，p ) ，2 ( f - l ，g ) 为模型参 数； 职q 为正整数，表示模型的阶数。 在模型( 3 2 1 ) 中，当系数只= o ( ，= 1 ，g ) 时，模型中没有滑动平均部分，称为 p 阶自回归模型，记为a r ( p ) 模型。其形式为 = 仍一i + 仍一2 + + 绵一p + 口， ( 3 2 2 ) 其中q ( 0 ，盯2 ) 。 在模型( 3 2 1 ) 中，当伊，= 0 ( = l ，p ) 系数时，模型中没有自回归部分，称为口 阶滑动平均模型，记为m a ( q ) 模型。其形式为 = 口f + q q l + + 岛口| 一。 ( 3 2 3 ) 其中口，( 0 ，仃2 ) 。 3 2 2 2a r m a 模型的两种等价形式 为了方便起见，引进后移算子艿，即戤= 一。相应a r m a 模型可表示为 ( 1 一仍b 7 ) = ( 1 一口b 7 ) 口， ( 3 2 4 ) 令9 ( b ) = l 一：，仍，9 ( b ) = l 一：。e ，则式( 3 2 4 ) 可表示为 妒( b ) 薯= 口( b ) 口， ( 3 2 5 ) 后移算子多项式伊( b ) 、目( b ) 分别包含系统和外部激励的全部信息，目( b ) 伊( b ) 即为 系统的脉冲响应函数，其拉氏变换即为传递函数。传递函数反映了系统的动力