（工程力学专业论文）周期性多相材料热动力时空多尺度分析.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 在许多先进的工程应用领域中，如航空，航天、生物医疗和电子设备以及超导线圈 等，具有周期性微结构的多相材料得到了广泛使用，而此时材料设计需要微观和宏观层 次的相关信息，这对材料设计提出了一个很大的挑战。多尺度力学模拟技术提供了一个 非常有效的方法，来理解不同的微结构材料性质对非均匀材料整体和局部响应的影响， 这对材料设计具有重要的指导意义。 另外，对具有周期性微结构的多相材料中波的传播，以及由材料分界面上存在的反 射和折射作用引起的弥散、衰减现象的研究也是一个非常重要的问题，而此类问题具有 明显的时间和空间多尺度特征，其主要包括微波和脉冲激光技术等应用领域。但对该问 题的多尺度研究还不多见，因此对在具有周期性微结构的多相材料中的波传播进行多尺 度分析是一个值得进一步研究的问题。 本文的主要工作是采用时一空间多尺度高阶渐近均匀化分析方法，研究具有周期性 微结构的多相材料在热冲击和极端动力载荷作用下的非f o u r i e r 热传导及结构热动力响 应问题。为了更深入的说明问题，首先从解决一维问题入手，然后再向多维问题扩展， 具体内容如下： 通过建立一个广义的热动力波动函数场控制方程，描述一维具有周期性微结构的多 相材料中波传播的问题。采用时一空间多尺度高阶渐近均匀化分析方法，通过引入多个 空间和时间尺度，对波动函数场进行渐近展开，获得了不同阶次的时一空间多尺度波动 函数场控制方程。由高阶均匀化理论在空间和时间尺度上进行均匀化求解，并通过近似 合并整理，获得最高阶空间导数项为空间四阶导数的高阶非局部波动函数场控制方程。 为了避免其有限元离散过程中c 1 连续性和边界条件的要求，通过把空间四阶导数近似成 为一个时间二阶和空间二阶混合的导数项，使其有限元离散过程中只需要c o 连续和较 少的边界条件，最终得到了一个新的近似高阶非局部波动函数场控制方程。 基于高阶非局部波动函数场模型，建立了一维非f o u r i e r 热传导高阶非局部模型。 通过把精细的有限元解作为参考解，与本文提出的非f o u r i e r 热传导高阶非局部模型、 经典均匀化模型的解进行比较，并讨论了不同的参数和工况条件下对数值结果的影响， 指出了本文提出的非f o u r i e r 热传导高阶非局部模型能够很好地模拟在热冲击载荷作用 下的具有周期性微结构的多相材料中热波动以及弥敖现象，体现出内尺度参数的特征。 而经典均匀化模型只能处理脉冲激励波长大于材料特征长度的情况，且不能解决脉冲激 励波长接近或小于材料特征长度的问题，所以不能模拟该现象。 张盛：周期性多相材料热动力时空多尺度分析 根据高阶非局部波动函数场模型，建立了一维结构热动力高阶非局部模型。通过对 在热冲击和极端动力载荷作用下的具有周期性微结构的一维多相细长杆进行研究，数值 结果显示本文提出的结构热动力高阶非局部模型能够在花费较少的计算时间情况下模 拟出高频动力响应及动力波的弥散现象，并与精细的有限元参考解取得了很好的一致。 验证了本文所提出的结构热动力高阶非局部模型的正确性和有效性。 通过采用时一空间多尺度高阶渐近均匀化分析方法，对多维非f o u r i e r 热传导问题 进行研究。并以二维问题为例，对具有不同的单胞微结构形状的多相材料中非f o u r i e r 热传导问题进行数值模拟分析，结果进一步证明了由高阶多尺度均匀化理论获得的多维 高阶非局部模型的正确性和有效性。但这里的多维问题并不是一维问题的简单推广，其 主要区别在于，一维问题是通过解析方式获得等效均匀化系数，而二维问题需要采用数 值方法求解。 关键词：多尺度方法；高阶均匀化；热动力；非傅立叶热传导；高阶非局部模型 大连理工大学博士学位论文 t h e r m o d y n a m i ca n a l y s i so f p e r i o d i cm u l t i p h a s em a t e r i a l sb y s p a t i a la n dt e m p o r a lm u l t i s c a l em e t h o d a b s t r a c t c u r r e n t l y m u l t i p h a s em a t e r i a l sw l t hp e r i o d i cm i c r o s t r u c t u r e sh a v eb e e nw i d e l yu s e di n m a n ya d v a n c e de n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n ss u c ha sa e r o s p a c e ，a i r c r a f t , b i o m e d i c a l ，e l e c t r o n i c e q u i p m e n t s u p e r c o n d u c t i n gc o i la n ds of o r t h h o w e v e r , t h ed e s i g na n du s eo fm a t e r i a l sw i t h m i c r o s t r u e m r e sn e c e s s a r i l yi n v o l v et h er e l a t e di n f o r m a t i o ni n c l u d i n gb o t hm i c r o s c o p i ca n d m a c r o s c o p i cs c a l e s t h i si sam a j o rc h a l l e n g ef o rt h em a t e r i a l sd e s i g n m u l t i s c a l em o d e l i n g t e c h n i q u e so f f e ra l le f f i c i e n ta p p r o a c hf o ru n d e r s t a n d i n go fh o wd i f f e r e n tm i e r o s t m c t u r a l p r o p e r t i e sa f f e c tt h ea v e r a g ea n dl o c a lr e s p o n s eo fm u l t i p h a s em a t e r i a l s t h e r e f o r e ，i ti s b e n e f i c i a lt ot h em a t e r i a l sd e s i g n m o r e o v e r ，i ti sv e r yi m p o r t a n ts u b j e c tt os t u d yd i s p e r s i o na n da t t e n u a t i o np h e n o m e n ao f w a v cp r o p a g a t i o ni np e r i o d i cm u l t i p h a s em a t e r i a l sd u et os u c c e s s i v er e f l e c t i o na n dr e f r a c t i o n w a v e sf r o mt h em a t e r i a li n t e r f a c e s ，w h i c hm a yo b v i o u s l yh a v em u l t i s c a l ec h a r a c t e r i s t i c si n b o t ht i m ea n ds p a c e p o s s i b l ea p p l i c a t i o n so ft h i sr e s e a r c hi n c l u d em a n yd o m a i n ss u c ha s m i c r o w a v e sa n dl a s e rw i t hv e r yh i g hf r e q u e n c ya n de x t r e m e l ys h o r td u r a t i o ne t c h o w e v e r , s e l d o mm u l t i s c a l em e t h o d sc a nb ef o u n df o rs t u d y i n gt h i sp r o b l e m , s oi ti sb e l i e v e dt h a tw a v e p r o p a g a t i o n i n m u l t i p h a s e m a t e r i a l sw i t h p e r i o d i c m i c r o s t r u c t u r e sd e s e r v e sf u r t h e r i n v e s t i g a t i o n s t h ep r i m a r yr e s e a r c hw o r ki nt h i st h e s i si st os t u d yn o n - f o u r i e rh e a tc o n d u c t i o na n d t h e r m a ld y n a m i cr e s p o n s ei nm u l t i p h a s em a t e r i a l sw i t hp e r i o d i cm i c r o m u e m r e su n d e r e x t l e m eh e a ti m p u l s ea n dd y n a m i ci m p a c tl o a d , w h i c hu s eas p a t i a la n dt e m p o r a lm u l t i s c a l e l l i g h - o r d e ra s y m p t o t i ch o m o g e n i z a t i o nm e t h o d t of u r t h 髓 i l l u s t r a t i o n , o n e d i m e n s i o n a lc a 8 e i ss t u d i e di nt h i st h e s i sf i r s t l y a n dt h ew o r ki se x t e n d e dt om u l t i - d i m e n s i o n a lc a s 嚣s p e c i f i c d e t a i l sa r ea sf 0 b o w s ： a g e n e r a lf i e l de q u a t i o no ft h e r m o - d y n a m i cw a v ep r o p a g a t i o ni sd e v e l o p e dt od e s c r i b e b o t ht h eh e a tt r a n s f e ra n dt h em e c h a n i c a lb e h a v i o u ri nt h ep e r i o d i cm u l t i p h a s em a t e r i a l su n d e r v a r i o u st e m p e r a t u r es h o c ka n di m p a c tl o a d a m p l i f i e ds p a t i a la n dr e d u c e dt e m p o r a ls c a l e sa r e ， r e s p e c t i v e l y , i n 订o d u c e db y as p a t i a l - t e m p o r a lm u l t i s c a l e h i g h o r d e ra s y m p t o t i c h o m o g e n i z a t i o nm e t h o d ，a n dam u l t i p l e s c a l e a s y m p t o t i ce x p a n s i o ni se m p l o y e dt o a p p r o x i m a t et h et r a n s i e n tf u n c t i o nf i e l d d i f f e r e n to r d e r so f f u n c f i o nf i e l de q u a t i o ni n c l u d i n g v a r i o u ss p a t i a la n dt e m p o r a lm u h i s c a l e sa r ed e r i v e d b yc o m b i n i n gd i f f e r e n to r d e r so f h o m o g e n i z e de q u a t i o n s ，t h eh i g l l o r d e rn o n l o c a lf u n c t i o nf i e l de q u a t i o nw i t ht h ef o u r t h - o r d e r s p a t i a ld e f t v a t i v et e r mi so b t a i n e d t oa v o i dt h er e q u i r e m e n to fc 1 一c o n t i n u o u sf i n i t ee l e m e n t i i i 张盛：周期性多相材料热动力时空多尺度分析 f o r m u l a t i o na n db o u n d a r yc o n d i t i o n si nn u m e f i c a li m p l e m e n t a t i o n , t h ef o u r t h - o r d e rs p a t i a l d e r i v a t i v et e r mc a nb ea p p r o x i m a t e db yam i x e ds e c o n d o r d e rd e r i v a t i v ei ns p a c ea n dt i m e ， s ot h ec o c o n t i n u o u sa n df e wb o u n d a r yc o n d i t i o n sa r eu s e do n l y f i n a l l y ，a na p p r o x i m a t e d h i g h e r - o r d e rn o n l o c a lf u n c t i o nf i e l de q u a t i o ni sf o r m u l a t e d b a s e do nt h eh i g h e r - o r d e rn o n l o c a lf u n c t i o nf i e l de q u a t i o n , o n e d i m e n s i o n a lh i g h e r - o r d e r n o n l o c a le q u a t i o no fn o n f o u r i e rh c a tc o n d u c t i o ni sd e v e l o p e d 1 1 1 eh i g h e r - o r d e rn o n l o c a l m o d e la n dt h ec l a s s i c a lh o m o g e n i z a t i o nm o d e la r ec o m p a r e dw i t ht h ef i n ef i n i t ee l e m e n t s o l u t i o n 日他e f f e c t so fd i f f e r e n e tp a r a m e t e r sa n dc o n d i t i o n sa r ed i s c u s s e d 1 1 l er e s u l t ss h o w t h a tt h eh i g h e r - o r d e rn o n l u c a lm o d e lo fn o n f o u r i e rh e a tc o n d u c t i o nc a r lb eu s e dt os i m u l a t e t b ed i s p e r s i o na n da t t e n u a t i o np h e n o m e n ao fh e a tw a v ep r o p a g a t i o ni np e r i o d i cm u l t i p h a s e m a t e r i a l su n d e re x l r e m eh e a ti m p u l s e ，a n dw h i c hs h o w st h ei n f l u e n c eo ft h ei n t e r n a ll e n g t h s c a l ep a r a m e t e r h o w e v e r , t h ec l a s s i c a l h o m o g e n i z a t i o nm o d e li sv a l i do n l yw h e nt h e e x c i a t i o nw a v e l e n g t hi sl a r g e rt h a nt h ec h a r a c t e r i s t i cl e n g t h , w h i l ei ti si n v a l i dw h e nt h e c x c i a t i o nw a v e l e n g t hi ss m a l l e rt h a no rn e a rt h ec l l a r a c t e r i s t i cl e n g t h s ot h ec l a s s i c a l h o m o g e n i z a t i o nm o d e lc a nn o ts i m u l a t et h e s ep h e n o m e n 扎 a c c o r d i n g t ot h e h i g h e r - o r d e r n o n l o c a lf u n c t i o nf i e l d e q u a t i o n ，o n e d i m e n s i o n a l h i g h e r - o r d e rn o n l o c a lt h e r m o - d y n & m i ce q u a t i o ni sd e v e l o p e d ao n e d i m e n s i o n a ls l e n d e rb a r w i t hap e r i o d i cm i c r o s t r u c t u r eu n d e rh e a ti m p u l s ea n dd y n a m i ci m p a c t1 0 a di ss t u d i e d t h e n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h es o l u t i o n so b t a i n e db yt h ep r o p o s e dh i g h e r - o r d e rn o n l o c a lm o d e lo f t h e r m od y n a m i c sa r eg e n e r a l l yi nr e a s o n a b l ea g r e e m e n tw i t ht h ef i n ef i n i t ee l e m e n ts o l u t i o n a n dc a nb ea v a i l a b l ef o rl i t t l e c o m p u t a t i o n a lc o s tt os i m u l a t et h eh i g hf r e q u e n c yd y n a m i c r e s p o n s ea n dd i s p e r s i o np h e n o m e n ao f d y n a m i cw a v ep r o p a g a t i o n i ti sd e m o n s t r a t e dt h a tt h e t b en o n l o c a lm o d e lp r o p o s e di sc i t e c t i v ea n dv a l i d m u f t i - d i m e n s i o n a lp r o b l e mo fn o n - f o u r i e rh e a tc o n d u c t i o ni ss t u d i e db yas p a t i a la n d t e m p o r a lm u t i s c a l eh i g h - o r d e ra s y m p t o t i ch o m o g e n i z a t i o nm e t h o d t h et w o d i m e n s i o n a l n u m e r i c a le x a m p l e sa r ec o m p u t e dt oa n a l y s en o n f o u r i e rb e a tc o n d u c t i o ni nt h ed i f f e r e n t m i c r o s t r u c t u r eo f m u l t i p h a s e m a t e r i a l s t h er e s u l t sf u r t h e rd e m o n s t r a t et h a t m u t l i - d i m a n s i o n a l h i g h e r - o r d e r n o n l u c a lm o d e lo b t a i n e d h i g h e r - o r d e rm a t h e m a t i c a l h o m o g e n i z a t i o nt h e o r yi sv a l i da n de f f e c t i v e h o w e v e r ，i nt h i sw o r kt h eh i g h e r - o r d e rn o u l o c a l m o d e li sn o ts i m p l ye x t e n d e df r o mo n e d i m e n s i o n a lc a s et om u t l i d i m e n s i o n a lc a s e 1 1 1 em a i n d i f f e r e n c ei st h a tt h eh o m o g e n i z e a lc o e f f i c i e n t sa r eo b t a i n e db yt h ea n a l y t i c a la p p r o a c hi n o n e - d i m e u s i o u a lp r o b l e m ，w h i l ea sf o rt w o - d i m e n s i o n a lp r o b l e mt h e s ec o e f f i c i e n t sa r es o l v e d b yt h en u m e r i c a lm e t h o d k e yw o r d s ：m u l t i p l es c a l em e t h o d ；h i g h - o r d e rh o m o g e n i z a t i o n ：t h e r m o d ) r n a m i c s ； n o n - f o u r i e rh e a te o n d u c t i o mh i i g h - o r d e rn o n - l o c a lm o d e l i v 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：日期： 大连理工大学博+ 研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名：擞 导师签名： 2 竺2 年卫月上日 大连理工大学博士学位论文 1 绪论 1 1 引言 多尺度科学是一个学科高度交叉和复杂的领域，很多自然科学和工程科学问题包含 了各类不同空间尺度、时间尺度、或者其他物理量尺度的相互耦合，诸如数学、计算机 科学、物理学、化学、生物学、气象学、地质学、宏微观力学、非线性科学、以及材料 工程，环境工程、过程工程等各类工程学。在自然界和工程实践中，许多现象或过程都 具有多尺度特征或多尺度效应i i 川。同时，人们对现象或过程的观察及测量往往也是在 不同尺度上进行的，因此用多尺度系统理论来分析、描述这些现象或过程是十分自然的， 它能够很好地体现这些现象或过程的本质特征。 随着纳米材料、半导体器件、复合材料等先进材料加工、制备工艺不断改进以及计 算机技术的飞速发展，对高性能先进复合材料的研究和分析也变得更为迫切。然而，在 实际应用中却常常忽略多尺度特征而采用经验模型。这些模型在应用中取得很大的成 功，但经验模型也存在本身的局限性。如何建立一套有效的多个空间和时间尺度关联的 力学分析方法求解从宏观到微观问题是值得探讨的课题。同时合理表征和处理多尺度问 题的跨尺度耦合以及跨尺度敏感性是解决多尺度问题的关键，这对现有的力学概念和理 论是一个需要和机遇【5 叫。 传统的传热学研究主要针对宏观物理过程，即在较大的空间和时间尺度上研究传热 现象。随着航空航天新材料的出现和微电子机械系统( m i c r o e l e c t r om e c h a n i c a ls y s t e m , m e m s ) 朝着高集成、高功率方向发展，传热所研究对象的空间尺度不断减小，小到毫 米、微米、亚微米量级，材料本身的力学、物理性质发生显著变化，会出现强烈的尺寸 效应、表面效应等。而且由于特征尺寸的减小，材料内部的缺陷、多层复合结构的接触 界面、材料的不均匀性在材料内部导热阻力中所占比例加大，往往不能忽略，在某些情 况下甚至占主要地位。伴随着空间尺度的减小，研究对象的动态响应变快，在时间尺度 上，所研究的物理过程的特征时间也日益缩短，已达到纳秒、皮秒甚至飞秒量级，接近 材料微观粒子进行能量交换达到局部热平衡的驰豫时间1 1 0 - 1 3 1 。由于传统的傅立叶 ( f o u r i e r ) 导热定律对热作用时间较长的稳态传热过程以及热传播速度较快的非稳态常 规传热过程是正确的，但对微空问和微时间热传导条件下的非稳态传热过程，会出现一 些不同于常规传热过程的物理现象，这种热传导效应称为非傅立时( n o n - f o u r i e r ) 热传 导效应。因此近十几年来许多研究工作都对空间、时间微尺度条件下传热及其引起的结 构响应问题进行了探讨，并正在逐步形成微尺度传热学的一个新的分支学科。 张盛：周期性多相材料热动力时空多尺度分析 由此可见，建立时空间跨尺度祸合方法来研究复合材料在热动力冲击下的动态响应 问题，对航空航天、国防工业，微电子等领域都具有重大的意义。 1 2 连续介质力学多尺度计算方法概述 随着多尺度问题在工程中的应用越来越广泛，许多复杂问题用一般的连续介质力学 方法，往往需要作网格密化或节点加密处理，但这样势必会增大计算量，使问题难以解 决。基于多尺度问题求解的复杂性，国内外学者提出了一些连续介质力学的多尺度计算 方法，包括多尺度均匀化方法( m u l t i s c a l eh o m o g e n i z a t i o nm e t h o d ) 、多尺度有限元法 ( m u l t i s c a l ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 、多尺度有限体积法( m u l t i s c a l ef i n i t ev o l u m e m e t h o d ) 、非均匀化多尺度方法( h e t e r o g e n e o u sm u l t i s c a l em e t h o d ) 、以及多尺度再生 核质点法( m u l t i s c a l er e p r o d u c i n gk e r n e lp a r t i c l em e t h o d ) 等。这些方法采用对整体求解 域局部密化或尺度关联的小尺度计算，使上述问题的求解得到了较好的实现。 ( 1 ) 多尺度均匀化方法( m u l t i s c a l eh o m o g e n i z a t i o nm e t h o d ) 基于微结构的信息来寻找宏观均匀材料的性能，或整体材料性能，或有效材料性能 的方法称为均匀化( h o m o g e n i z a t i o n ) 。这里均匀化是指统计平均的意思。 经典均匀化方法【1 4 】是考虑微分方程( 1 1 ) 边界值问题 t “。= ，i nq ( 1 1 ) 其中s 是个小量。对于任意的s ，方程( 1 1 ) 都具有适当的边界条件，且存在于s o b o l o v 空间。i 是均匀化的解，当e 趋于零时，虬趋于历。均匀化问题的目的是获得历满足微 分方程( 1 1 ) ，并构建相应的微分算子。 近半个世纪以来，在现代计算机技术的迅速发展和帮助下，均匀化方法已在许多力 学、物理及工程问题中得到广泛的应用，它具有理论严谨、适用范围广的特点，是解决 非均匀系统的一个十分有效的方法【1 5 - 7 1 。渐近均匀化理论是自7 0 年代初期发展起来的 一套严格的数学理论，一直是现代应用数学领域的研究课题之一。随着新复合材料不断 出现，材料的多尺度计算和分析愈来愈受到广泛的重视。近年来，多尺度渐近均匀化方 法( m u l t i s c a l e a s y m p t o t i c h o m o g e n i z a t i o n m e t h o d ) 在复合材料力学的研究中得到了广泛 的应用【1 4 8 - 2 3 1 。崔俊芝和曹礼群 2 4 - 2 6 1 采用双尺度渐近分析方法研究了具有小周期系数的 椭圆型边值问题和整周期复合材料弹性结构。a r l d r i a n o v 等【2 日对力学问题中场渐近方法 进行了回顾和讨论。g a m b i n 等2 8 1 、s c h r e f l e r 等【2 9 】和b o u t i n 3 0 1 对采用包含高阶项的渐近 均匀化方法分析的静力问题进行了研究。b o u t i n 等【3 1 1 指出了在弹性动力问题中采用包含 高阶项的渐近均匀化方法能够模拟极化、散射和衰减现象。g a l v a n e t t o 等3 2 1 给出了采用 大连理工大学博士学位论文 渐近均匀化方法分析周期性复合材料弹塑性问题的详细推导过程。对于非均匀介质中波 传播问题，k e v o r k i a n 等1 3 3 】在多尺度均匀化中假设存在一个时间相关单频波。f i s h 和c h e r t 等 3 4 - 3 乃建立离阶时一空间多尺度渐近均匀化方法研究周期性非均匀介质中的波传播及 初始边值问题。f i s h 等p 8 1 采用时一空间多尺度渐近均匀化方法研究一维原子链和b b c 晶体。c h e n 等f 硎利用渐近扩展方法模拟应力晶粒增长，并获得多尺度晶粒结构演变方 程和均匀化的材料性质。 多尺度渐近均匀化方法是假设非均匀材料具有周期性的微观结构，从构成材料微观 结构的单胞开始，假定单胞具有空间可重复性，即假设微结构里周期性或准周期性，通 过同时引入宏观尺度和微观尺度变量，从而可以详尽地考虑材料微结构的影响。它既能 从微观尺度分析材料的等效模量和变形，又能从宏观尺度分析结构的响应。假设的周期 性非均匀材料相应的几何性质和物理特性( 包括力学性质、热力性质等) 具有如下性质： ，0 + y ) = f g )( 1 2 ) 其中工= 如，而，x 3 f 是物理点的位置向量，是一个3 3 的对角阵， 阳oo n = 10 啦0 ( 1 3 ) 1 00 传1 只 只只 。 只只马 。 图1 1 周期性函数在点p j ，n ，风具有相等的值 f i g 1 1p e r i o d i c i t yr e q u i r e s t h a t t h e f u n c t i o n s h a v e e q u a l v a l u e s a t p o i n t s 尹i ，p 2 一，p 6 张盛：周期性多相材料热动力时空多尺度分析 嵋，也和玛是任意的整数；l ，= 佤，k ，e ) 7 是一个常数向量，表示结构的周期；f 是 关于位置向量工的函数，可以是标量、向量甚至张量。比如对于一个周期复合材料胞元 y ，其力学性能可以表示为= ，其中就是一个关于位置向量x 的周期函数 ( 如图1 1 ) ，且为张量因此满足关系式： e g h b + n y 、= e 郴如由 或者写成 ( 1 4 a ) 而+ 吩墨，屯+ 恐艺，为+ 吩与j = b ，恐，玛) ( 1 ，4 ” 这里的盯。和。分别是应力和应变张量。具有式( 1 2 ) 性质的函数称为y 周期函数。 多尺度渐近均匀化方法不同于一些微观力学方法，它不需要人为地假定胞元的边界 条件，而是采取摄动解的形式，将宏观结构中一点的位移和应力等物理量展开为与微观 结构尺度相关的小参数的渐近级数，并用摄动技术建立一系列控制方程，依据这些方程 可求解出平均化的材料参数、微观位移和应力等物理量。 图1 2 高频振荡函数 f i g 1 2ah i g h l yo s c i l l a t i n gf u n c t i o n 具体来说，在多尺度渐近均匀化方法中，非均匀介质的微观结构可看成是非均质胞 元在空间上周期性重复排列，且周期l ，与宏观尺寸相比是很小的。一些非均匀介质的特 性函数，如图1 2 所示，在点x 很小的邻域内将快速地变化。这个事实启发大家用两个 尺度去表述所有的性能：一个是宏观或者整体空间尺度工，它变化很缓慢；另一个是微 观或者局部空间尺度j ，它变化很剧烈。在微观尺度坐标上的单位向量的真实长度与在 大连理工大学博士学位论文 宏观尺度上的单位向量之比是个小量s ，则j = 咖，或者z y = x ，s 是远小于1 的正数。 从数学角度讲，假如西是一个非均匀介质物理量的特性函数，则 多= 疹( 而咖) = 函伍，y ) 。从图1 2 中看到，在宏观尺度上颤曲具有振荡性。采用双尺度 展开来研究这种振荡性，则如图1 3 中所示，在微观尺度上特性函数在微区间被放大。 从结构角度看，如图1 4 中所示，尺度空间结构可以分解为宏观空间尺度x 上的均质 体和微观空间尺度v 上的代表胞元。 图1 3 在微观或者局部尺度上单个周期高频振荡函数 f i g 1 3o n eo f t h eo s c i l l a t i o n si nt h ee x p a n d e ds c a l e 圈= + 图 ， ( a )c o ) 图1 4 具有细观结构的非均匀材料体：( a ) 宏观结构；c o ) e 尺度空问结构表述 f i g 1 鼻t h eh e t e r o g e n e o u sb o d yw h hm i c r o s t m c t l r r e ： ( a ) m a c r o s c o p i cs t r t m t t l r e ；( b ) t h er e a l i s t i cr e p r e s e n t a t i o no fs - s p a c e 张盛：周期性多相材料热动力时空多尺度分析 因此采用渐近形式展开的均匀化方法，在材料全局域口上定义胄3 坐标系 x = g ，x 2 ，x 3 ) 。根据材料的周期性，可知整个材料域可以看作是一系列平行排列相同胞 元的集合x ，s k ，s 五。其中k ，e ，墨是局部坐标j ，= “，y ：，y 3 ) = 叫s 上的边长。对 于宏观尺度上的一个固定的x 点，任何依赖于j ，的函数可以看作i ，周期函数。此外假设 基本胞元的形成和构成随宏观尺度坐标x 光滑地变化，这意味着对于不同的点，材料的 结构可能是变化的，可是如果在微观看工点，可以发现周期性结构。基于以上条件，基 本胞元在局部坐标系物理场西( 如温度场、位移场、应力场等) 的渐近展开式表示为： 庐扛，) = 瓯x ，j ，) + 鸸b ，j ，) + 2 幺杠，力+ ( 1 5 ) 这里e 一0 ，函数吼b ，y ) ，呜g ，j ，) 关于坐标x 是光滑的，在j ，上是】，- 周期函 数，这意味着在平行的基本胞元的对边取相同的值。 近来，在许多实际工程问题数值分析中，多尺度渐近均匀化方法已经得到广泛的采 用。【肋e 【加】使用具有多尺度特征的渐近均匀化方法估计纤维复合材料的界面损伤。c h u n g 等【4 1 1 使用渐近均匀化方法和显式时间积分相一致的数值形式，分析短时间载荷作用下周 期性非均匀介质的动力弹塑性响应。t e r a d a 等 4 2 1 采用多尺度渐近均匀化方法处理了流固 相互作用问题。k y o y a 等1 4 3 根据多尺度渐近均匀化方法分析极限载荷作用下弹一理想塑 性岩石材料，通过均匀化过程用等效连续介质代替具有裂纹的岩石。r o h a n “1 采用多尺 度渐近均匀化方法模拟生物组织，描述了宏观遗传蠕变与微观流体饱和双重多孔介质中 微流体流动之间的关系。 此外，一些基于物理平均场理论的多尺度均匀化方法也是分析非均匀材料结构的常 用手段。该类方法采用双尺度的分析模式，即宏观尺度和微观尺度。通过在更小的空间 尺度上均匀化微观尺度上的代表性体积单元r v e ( r e p r e s e n t a t i v ev o l u m ee l e m e n t ) ，以 获得与材料关联的宏观尺度上的等效性能。这类多尺度均匀化方法方法包括，分别假设 应变和应力为常数的v o i g t l 4 5 】和r e u s s 4 6 l 模型，同轴组合模型【4 7 ，删，自洽方法【4 9 5 2 1 ， m o r i t a n a k a 平均应力理论f 船硼，广义胞元方法1 5 6 1 ，多级分析方法【5 7 - 6 2 1 ，多水平模型脚侧， g o a l s 算法1 6 6 “j 等。 小波分析也是多尺度分析方法。d o r o b a n t u 等提出了基于小波的多分辨分析的小 波数值均匀化方法( w a v e l e t - b a s e dn u m e r i c a lh o m o g e n i z a t i o n ) 。该方法利用小波映射把 小尺度的信息反映到大尺度上，这样只需在大尺度空间上求解就能捕捉到小尺度的特 征。m e h r a e e n 等【7 0 】提出小波多尺度投影方法对高度非均匀介质进行多尺度均匀化分析。 ( 2 ) 多尺度有限元法( m u l t i 一鬣7 , a l ef i f l i t ee l e m e n tm e t h o d ) 一6 大连理工大学博士学位论文 多尺度有限单元法与传统有限单元法的本质区别在于基函数。传统有限单元法仅依 据单元节点坐标值来构造基函数，基函数不能反映单元内介质的非均匀性，同一单元内 所有点的参数值相同。而多尺度有限单元法通过在单元上求解简化的椭圆型边值问题来 构造基函数，基函数能反映单元内介质的非均匀性，同一单元内不同点的参数值可以不 同。所以对于研究具有高度非均匀介质问题来说，应用传统有限单元法时需要在较小尺 度上求解，即需要通过加密网格剖分来反映介质的非均匀性，需要的计算量大，而应用 多尺度有限单元法时就可以在较大尺度上求解，较粗的网格剖分仍能反映出介质的非均 匀性，计算量要小得多。 多尺度有限元法首先是由h o u 和w u 等1 7 1 , 7 2 1 提出的，用来解决复合材料、多孔介质 和高雷诺数流动中湍流问题。崔俊芝和c h e n 等【7 3 ，7 4 提出了基于双尺度渐近分析的有限 元法，并给出了详细的计算步骤，用于解决在局部区域内间断且跳跃性很大、区域内含 有周期性洞穴或裂纹且周期很小的复合材料和高摄动系数的偏微分方程问题。薛禹群和 叶淑等【7 5 7 6 】应用多尺度有限元法对在非均匀多孔介质地下水流中的二维稳定与非稳定 流和三维问题进行了分析。h e 掣7 7 1 通