（基础数学专业论文）四维minkowski空间中类时超曲面的de+sitter+gauss映射的奇点分类.pdf

摘要 在本文中，我们定义了四维m i n k o w s k i 空闻中类时超蓝面，类时超曲面的d e s i t t e r 高 斯映射并建立了d es i t t e r 高斯映射的奇点与在洛仑兹群作用下超曲面的几何不变量之 间的关系，并且运用l a g r a n g i a n 奇点理论的标准工具对该空间中类时超曲面的d es i t t e r 高斯映射的奇点进行分类 关键词t 类时超曲面，d es i t t e rg a u s s 映射，类时高度函数 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r w ed e f i n et h en o t i o no fd es i t t e rg a u s sm a po ft i m e l i k eh y p e r s u r f a c e i nm i n k o w s k i4 - s p a c ea n de s t a b l i s ht h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e n s i n g u l a r i t i e so ft h a to b j e c t a n dg e o m e t r i ci n v a r i a n t so fh y p e r s u r f a c eu n d e rt h ea c t i o no fl o r e n t zg r o u pa n da sa l l a p p f i c a t i o no fs t a n d a r dt e c h n i q u e so fl a g r a n g i a ns i n g u l a r i t yt h e o r y , w ec l a s s i f yt h e s i n g u l a r i t i e so fd es i t t e rg a u s sm a po ft i m e l i k eh y p e r s u r f a c ei nm i n k o w s k i4 - s p a e e k e y w o r d s ：t i m e l i k eh y p e r s u r f a e e ，d es i t t e rg a u s sm a p ，t i m e l i k eh e i g h tf u n c t i o n i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意 学位论文作者签名日期： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即；东北 师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文 被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印，缩印或其它复制手段保存，汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 日期 学位论文作者毕业后去向： 工作单位， 通讯地址， 指导教师签名 日期 电话 邮编 1引言 奇点理论是处在分析、微分拓扑，交换代数和李群等数学学科交汇处的一门新兴的 数学分支，它在诸多领域中有广泛的应用例如：奇点理论在物理学中有很高的应用价 值，它在几何光学与波动光学中很好地描述了焦散线和波阵面这两种物理现象；奇点理 论在微分几何方面也有广泛的应用，它对伪欧氏空间中的曲线，曲面和子流形按奇异性 迸行分类，得到与欧氏空间中不同的结果，而伪欧氏空间有很强的物理背景，所以对它 们进行研究是很有意义的随着理论的深入发展，奇点理论的应用将越来越广泛 自从奇点理论诞生以来，经过几代数学家几十年的不懈努力，奇点理论已经得到 蓬勃的发展。 1 9 5 5 年，h w h i t n e y 发表的论文平面到平面的映射奠定了奇点理 论的基础，他指出欧氏空间中平面到平面映射的奇点只有两种折叠和尖点，并证 明了这两类奇点都是稳定的1 在此之后，r t h o r n 在h w h i t n e y 工作的基础上提 高了映射空间的维数，给出了t h o r n 分类定理【2 】从此奇点理论又迈上了新的台阶， 在理论方面，奇点理论取得了重大进展，如j n m a t h e r 的关于稳定性方面的一系列工 作 3 j 6 】，v i a r n o l d 等人关于奇点分类方面的工作【7 】；在应用方面，许多学者也在不 同的领域作出了杰出的工作例如i p o r t e o u s ，j w b r u c e ，j ，a l i t t l e ，s i z u m i y a ，裴东 河，s a n o ，t a k e u c h i 等利用奇点理论的方法对微分几何进行一系列的研究【8 1 2 0 1 ；孙伟 志，李养成，邹建成等人对有限决定性及奇点理论在分歧理论中应用的研究【2 l 卜 2 s l ；姜 广峰，余建明等对超平面构形奇点理论及其应用方面的研究 2 9 】 删 奇点理论的最重要的结论之一是t h o r n 分类定理中的七种初等突变模型；折叠，尖 点、燕尾、蝴蝶，椭圆型脐点、抛物型脐点、双盐型脐点t h o r n 分类定理是奇点理论 在2 0 世纪7 0 年代最重要的成果之一 四维m i n k o w s k i 空间即碍作为时空模型受到物理学家的广泛关注，因此我们对其 子流形的奇点的研究具有重要的实际意义在参考文献 17 】，f 1 8 】中，s i z u m y a ，裴东河 等人已经研究了四维m i n k o w s k i 空间中的类空曲面和类光超曲面的奇点本文作为他们 工作的补充，建立了类时超曲面的局部微分几何理论，类时超曲面上的d es i t t e rg a u s s 映射1 2 工及类时高度函数然后利用v i a r n o l d 等入的l a g r a u g i a n 奇点理论来研究类时 超曲面的d es i t t e rg a u s s 映射的奇点 本文在第一节中介绍了四维m i n k o w s k i 空间中的一些基本概念，给出了类时超曲面 和类时超曲面的d es i t t e rg a u s s 映射的定义在第二节中，构造了类时高度函数，并通过 命题3 1 3 4 、推论3 5 证得此类时高度函数的分歧集恰好是d es i t t e rg a u s s 映射的临界 值再由a r n o l d l t 的l a g r a n g i a n 奇点理论的方法构造出l a g r a n g i a n 浸入，使得d es i t t e r g a u 映射的临界值恰是l a g r a n g i a n 浸入的焦散线在第三节中，应用m o n t a l d i 3 1 1 的切 触理论来研究类时超曲面与超平面的切触在第四节中，给出了类时超曲面的d es i t t e r g a u s s 映射的奇点分类 本文中所涉及的映射与子流形均为光滑的 2 2 基本概念 设r 4 = ( l ，2 ：2 ，$ 3 ，z t ) l r ( i = i ，2 ，3 ，4 ) l 是四维向量空问对于r 4 空间 中的任意两个向量z = ( l ，z 2 ，x 3 ，x 4 ) ，y = ( 玑，y z ，y 3 ，y 4 ) ，z 和y 的伪内积定义为， ( z ，y ) = 一x l y l + ：2x i y i 我们称( r 4 ，( ，) ) 为m i n k o w s k i 四维空间，并将( r 4 ，( ，) ) 简记为 皿4 在伪内积的运算下，对于非零向量z r 4 ，当( 毛z ) 0 ，( z ，z ) ；0 或扛，z ) 0 时， 分别称向量z 为类空向量，类光向量或类时向量 对于任意的z ，r 4 ，如果 = 0 ，我们称z 和y 是伪正交的 对于向量”r 4 和实数c ，我们定义一个以”为伪法向量的超平面： h p ( v ，c ) = z 酞 l ( z ，口) = c ) 当”为类空向量，类光向量或类时向量时，分别称h p ( v 。c ) 为类时超平面，类光超平 面或类空超平面 定义三维d es i t t e r 空间如下： s f = ( $ r i i 扛，) = l 对于任意的a 2 ，a 3 r 4 ，定义向量a l a a 2 a a 3 如下， n l 口2 0 3 = - e 1e 2e 3e 4 o ia in 研 畦磋霹 n 5碡o i 其中 e l ，e 2 ，e 3 ，e 4 为r 的伪标准正交基，a i = ( 咧1 ，n ，a ，) 由定义易得a laa 2aa 3 伪正交于啦a = 1 ，2 ，3 ) 设x ：u r 4 为浸入映射，其中u 为r i 中的开子集，记m = x ( 矿) 则在嵌入 映射x 意义下，可以将m 与u 等同对任意的点p m ，如果在点p 处的法空 间m 是类空的，那么就称m 是类时超曲砸在此情况下，m 在点p 处的切空间 弓m 为类时超平面设 e k p ) ，e 2 0 ) ，e 3 ( p ) 为切空间易m 的标准坐标架，e 4 0 ) 为法空 间m 的生成元，其中p = x ( u l ，抛，u 3 ) ，e 1 ( p ) 为类时向量，岛扫) 0 = 2 ，3 ，4 ) 为类空向 量，则 e l ，e 2 ，e z ( p ) ，e d p ) 显然是哦在p 点处的伪标准坐标架 我们称映射g ：u 一研，g ( t ) = e 4 p ) 为x ( u ) = m 在点p = x ( u ) 处的d e s i t t e r g a u s s 映射 3 设d x = ：1 u i e ，d e l = ；：l - e j ，其中d 为外微分，u 26 ( e d ( d x ，q ) = 6 ( e j ) ( d e i ，勺) 为1 - 形式， ( e i , e j ，= ，誊 6 c e ；，= c 嗡，龟，= ：，：；：3 ，4 ， 由于( 岛，e j ) = 如6 ( 唧) ( 掘，e j ) + ( e i ，d 勺) = 0 ， 6 ( ) 雌j + 6 ( 屯) 岣产o 因此有 w i j = 一j ( 岛) j ( e j ) 屿i ， 特殊有 ( d x ，e i ) = w | l ( e i ，e 1 ) = 讪6 ( 吼) ， 且2 - 形式护x = 0 ，d 2 e = 0 ，( i = l ，2 ，3 ，4 ) 所以 出“= 6 ( e ：) ( d 2 x ，q ) 一6 ( e i ) d xa 崛 = 一6 ( 龟) ( ；：1w j e jad e i ) = ；：1 一j ( 岛) ( 屿呵a 哟e j ) = ；：1 8 ( e i ) 5 ( e i ) w ia = ；：l6 慨) 6 ( q ) a 哟， 幽玎= 6 ( e j ) ( d 2 e i ，e j ) 一6 ( e j ) d e ad 呵 = 一6 ( e j ) d e ；a 嘞 = 一6 ) ( ：lo ；i k e ka i ：l 屿 e k ) = 一6 ( e j ) d ( e k ) ：= l d ( ) 6 ( e k ) u 讪 u 幻 = ：1 吣a 那么我们可以获得c o d a z z i 型方程t fd w i ；名l8 ( e i ) $ ( e j ) w i j 吣， l 峨= 盛：l 魄 。 因为 d x ，e 4 ) ；0 ，所以坝= 0 故有 o i l u 蛳 一 吨 孔 u u呲 4 1 i 屿 。洋 +u 札 “ 一 l i 妣 根据c a r t 8 引理，存在函数0 4 j = c ”( m ，r ) ( t ，j = 1 ，2 ，3 ) ，满足如下等式 0 j 1 42n l l u l4 - a 1 2 u 2 + a 1 3 w 3 ；0 ) 2 42a 2 1 u l - _ - a 2 2 u 2 + a 2 3 u 3 , u 3 42a 3 1 u l + a 3 2 u 2 + a 3 3 u 3 令( d 2 x ，e 4 ) = 一 d x ，d e 4 ) ，则 舻x ，e 4 ) = 一( d x ，d e 4 ) = 一笔1 w i e i ，名1 “1 4 j 唧) = 一和l e l + 峨e 2 + w 3 e 3 ，w 4 1 e l 十u 4 2 e 2 + u 4 3 e 3 ) ；一 ( u l e l ，w 4 1 e 1 ) + “崆e 2 ，u 4 2 e 2 ) + u s e s ，u 4 3 e 3 ) = - u l e l ，( ( 2 1 1 1 。1 + a 1 2 w 2 + ( 1 1 3 w 3 ) e 1 ) 一0 2 e 2 ，她1 卅l + g 2 2 u 2 + a z s u s ) e 2 ) 一( u s e s ，( ( 2 3 1 “，1 + a 3 2 u 2 + 0 3 3 “乜) e 2 ) ) ：8 1 l 碍+ 2 a 1 2 u l w 2 + 2 ( 1 3 w i u 34 - 8 2 2 遥+ 2 u 2 3 u 2 w 3 + ( 3 3 w 3 2 我们称 ( d 2 x ，e 4 ) = n u u + 2 a 1 2 “n u 2 + 2 a 1 3 u l 叫3 + ( 1 2 2 u 2 + 2 a 2 3 w 2 u 3 + n 3 3 w ； 为类时超曲面m 的第二基本形式 对于e 4 尬有 ( d e 4 ，e 1 ) = ( u 4 l e l + 4 2 8 2 + u 4 3 e 3 ，e 1 ) = - ( a l l w l + g 1 2 w 2 + a 1 3 u 3 ) ， 同理 ( d e 4 ，也) = ( w 4 1 e l + w 4 2 e 2 + w 4 3 e 3 ，e 2 ) = 一( 8 2 l 卅l + 口2 2 u 24 - n 2 3 u 3 ) ， ( d e 4 ，e 3 ) = 和4 l e l + d ) 4 2 e 2 + o j 4 3 e 3 ，e 3 ) = - - ( g 3 1 l l + 0 3 2 t d 2 + a 3 3 ”3 ) 所以有 ( d e 4 ，e 1 ) a ( d e 4 ，e 2 ) a d e 4 ，e 3 ) = l o ) u la u ) 2a w 3 i l l n l 2n 1 3 其中 c ( p ) = la 1 2 d 2 2 a 2 3l ， n s 。a 3 3l 称( p ) 为类时超曲面m 在点p 处的d es i t t e r g a u s s 曲率 命题2 1设x ：u + 畸为r 中的类时超曲面如果d e s i t t e rg a u s s 映射g 为常 值，则类时超曲面m = x ( ( ，) 包含在某一类时超平面中 证明t 因为g ( “) = 如为常值，所以d 伍( “) ，e 4 ) = ( d x ( u ) ，e 4 ) = 0 ，即伍( u ) ，e 4 ) = c ， 其中c 为常值而对于任意的t 以集合v = 扫嘶i ( y ，e 4 ) ；c ) 为类时超平面且 x ( u 、c 矿 口 5 3 类时高度函数 在本节中，我们定义了类时超曲面上的类时高度函数，它对于研究d es i t t e r g a u s s 映射的奇点非常有效 设x ：u tr 4 为r 中的类时超曲面，我们称函数 h ：u s 一豫，日( u ， ) = ( x ) ，u ) 为x ：u - + r 4 的类时高度函数对于任意固定的w 醴，记( “) = h ( u ，”) ，则有如下 命题： 命题3 1 设h ：u 8 r 为x ：u r 4 的类时高度函数，p = x ( “) ，记咒( k ( u ) ) 为( u ) 的h e s s i o n 矩阵，则： ( 1 ) ( 。k a 啦) ( u ) = 0 ( i = l ，2 ，3 ) 当且仅当 = e 4 ( p ) ( 2 ) ( o h d o u l ) ( u ) = d e t ，_ ( h 。) ( “) = 0 ( i = 1 ，2 ，3 ) 当且仅当口= e 4 ( p ) 且k ) = 0 证明：通过直接计算，( a h 。a 地) ( ) = 0 ( i = l ，2 ，3 ) 当巨仅当d x ，u ) = 0 ，所以口辑m 又因为口s t ，所以口= e 4 ( p ) 另一方面，通过l o r c n z i a n 变换，可以将p 变换为r 中的原点，再适当的选取局部坐 标，使得x 的m o n g e 形式如下：x ( u 1 ，“2 ，u 3 ) = ( “1 ，u 2 ，u 3 ，f ( u l ，“2 ，”3 ) ) 且 。( o ，0 ) = 丘。( o ，0 ) = 丘。( o ，0 ) = 0 ，e 4 ( p ) = ( o ，0 ，0 ，1 ) 从而凡= 一。玎所以 i ( 孔，。，口) ( 托。”) ( 凡，”) i d e t ? - ( h v ) ( p ) = l ( j 毛m ， ) ( 墨：，口) ( 五n 。， i = i c ( p ) = 0 i ( 托一，”) ( 扎一，”) ( 托m ，。) i 口 定理3 2 设m c r 为类时超曲面，嚣为m 的类时高度函数，就( k ( “) ) 为( “) 的 h c s s i o n 矩阵，g 为m 的d es i t t e rg a u s s 映射且p = x ( “) 则下列条件等价 ( 1 ) 对任意固定的口醴，p 为h 。的退化临界点； ( 2 ) p 为m 的d es i t t e rg a u s s 映射的奇点且口= g ( “) 研； ( 3 ) c ( p ) = 0 证明：我们考察子集( 日) = ( ”) ，研i 瓣( u ) = 躲( u ) = 舞( “) = o ) 根据命题 3 1 ( 1 ) ，( 日) 亦可表达为( 日) = ( u ，”) u s t i ”= e 4 ( p ) ) ”：u s 一s 为标准 投影，则”f ( f = r ) 可等同于d es i t t e rg a u s s 映射g 因此( 1 ) 等价于( 2 ) 又因为p 为k 的退化临界点，由命题3 1 ( 2 ) 知d e t l - ( h 。( “) ) = 0 ，所以= 0 ， 因此( 1 ) 等价于( 3 ) 口 6 为研究d es i t t e rg a u s s 映射，我们轭要的介绍 7 】中的l a g r a n g i a n 奇点理论详细的概 念和结论可参考吲我们考察研上的余切丛口：r 研s 设 ( t ，p ) = ( u 1 ，u 2 ，u 3 ，p l ，p 2 ，p 3 ) 为p 研的标准坐标，则p 研上的辛结构由标准二形式 ，= 薹l 觑a 龇来定义设 ：l t 研为浸入映射，如果d i m l = 3 且i = 0 ， 则称t 为l a 孕g i 浸入w0 的临界值称为 ：工t + 研的焦散线，记为c 1 设 i ：( l ，z ) + ( t + r r , p ) 和矿：( 工，一) + ( r r r ，p ，) 为l a g r a n 西a n 浸入芽，如果存在微 分同胚芽口：( l ，z ) + ( 玑z ) ，辛微分同胚芽r ：( t + ，p ) + ( p r r ，) 及微分同胚芽 亍：( ，丌) ) + ( r ，丌) ) 满足r o i = l o f t 和7 l o t = 亍。丌，其中7 r ：( t + r r , p ) + ( r r , 7 r ( p ) ) 为标准投影，则称i 和i 是l a g r a n g i a n 等价这里，辛微分同胚芽就是保持t 。r r 上的辛结 构的微分同胚芽那么易证焦散线吼同构于吼，我们称在一点处到丁+ r r 的l a g r a n g i a n 浸入芽是l a g r a n g i a n 稳定的，如果对给定芽的任一映射，在l a g r a n g i m ：t 浸入映射空间 中存在某一邻域和原点附近的某一邻域，对于前邻域中的任意l a g r a n g i a , n 浸入，存在 第二邻域中的一点，使得在这一点的芽l a g r a n g i a n 等价于原点处的芽l a g r a n g i a n 奇 点理论是利用函数芽族来研究l a g r a n g i a n 浸入芽设f ：( 舻舻，( 0 ，o ) ) ( r ，0 ) 为 一函数芽的3 - 参数开折我们称 c ( f ) = 沁啦( r n r 3 , ( 0 1 0 ) ) l 而o f ( 刎) 一= 差( 刚) = 。) 为f 的突变集， 踟= 卜( r a 0 ) 卜m 删f ) j 使得啪( 怒( 刚) ) n ) 为f 的分歧集 设研：( r “xr 3 ，0 ) + ( r 3 ，0 ) 为标准投影，易知f 的分歧集为脚l c ( f ) 的临界值 如果映射芽 a f = ( 矿o f 差) ：( 舻x r a , 0 ) 一( r n , 0 ) 是非奇异的，则称f 为m o r s e 族其中( ) = ( 1 ，v l ，吨， 0 3 ) ( r ”x r a ，0 ) 在此假 设下，我们得到一光滑流形芽c ( f ) c ( 舻xr 3 ，0 ) 和一映射芽l ( f ) ：( e ( f ) ，0 ) + t + r 3 工c 列刚，= ( ”，筹，篆，筹) 则易证l ( f ) 为l a g r a n 舀a n 浸入并且根据 7 】有如下命题。 命题3 3t r 3 中的所有子流形芽都可以通过如上的构造方法得到 我们称f 为l ( f ) 的生成族对于类时超曲面m 考察其上的类时高度函数 日( 参见3 ) ，则有如下命题 命题3 4m 上的类时高度函数h ：u 研+ r 为m o r s e 族 7 证明：对任意的”研，则一。 + 谚+ 诏+ 嵋= 1 ，不失一般性，假设。4 0 则 0 4 = 士狐了玎j 网，因此 h ( u ，u ) = 一x 1 ( “) 口1 + 配( ) 2 + x 3 ( t 上) v 3 士x 4 ( u ) 1 + 一。一嵋 我们只需证明 日= ( 筹，篆，筹) 非奇异即可日的j a c o b i a n 矩阵如下； 。，”) ( 蕾。，。”) l ( 。， ) ( 五。：， ) 、( 墨。，u ) ( x 。，u ) ( x u t ”a ，口) 一x l u 。+ 甄“z 畿x 2 u ，一托u 。嚣 ( j 【m ，口) 一x l u z + 甄“2 卺x 2 一x “z 鲁 ( 托3 ，u ) 一x 1 u 。+ 尥“3 嚣q x 4 “3 酱 膏隹筵巨u l - 竞x 4 ：u l 蓁 的秩为3 即可，以下证明1 贾1 0 由于x 为浸入映射且( u ，u ) g ( 日) ，所以 d e t x = 蛆 t q x 1 u l x l 地 x l 蛳 盟 x 2 “l 恐u 2 x 加 盟 蛳 凰u 1 x 3 ”2 ” 1 凰“l 施t 2 函 0 通过由m o r s c 族构造l a g r a n g i a n 浸入芽的方法，我佛构造一l a g r a n g i a n 浸入芽且 其生成族为m = x ( u ) 上的类时高度函数，构造过程如下： 对于类时超曲面x ：u - - 4 , r ，x ( u ) = ( x l ( u ) ，托( ) ，弱( u ) ，托( “) ) ，考察子集合 巩= 扣= ( ”l ，啦，v 3 ，v 4 ) 蹬j 优o ) 由于r 研l 以是平凡丛，我们定义一映射 厶( 日) ：c ( h ) - r 研l 矾( i = l ，2 。，4 ) ， l i ( h ) ( u , v ) = v , - x - ( u ) + 置( n ) 嚣，知( u ) 一墨( u ) 薏，x 4 ( “) 一再( u ) 卷) ， 其中t j = m ，v 2 ，蜥，”4 ) 研且( 弱，茏，x 4 ) 是将第i 坐标移除后的三维空间中 的点当i j 时，矾n 吩吼可以通过研上的局部坐标变换以及相应的提升得到 l i ( i - i ) 和岛( 日) 是l a 母 a n g i a n 等价的事实上，定义s 上的局部坐标变换l p o ，当t j 时，：阢定义如下： 妒i j ( l t ，谚，蛳) = ( u 1 ，v l ，岛，蛳) ， 8 、j 强仉譬i营i 毗 睨 吣 托托施 一 一 一 、i，g i q 盟眦监m 毗 撕 懈 拍甄托 一 一 一 l 2 3 轧 乩 乩 x x x 其中q = 了虿j f _ 二哥= _ i ，：r 骈一t + 钾，( ) = ( ：) f 为蛳 的l a g r a n g i a n 提升，则是辛微分同胚芽再定义微分同胚芽：u x 阢+ u ， 幻， ) = ( t ，( ) ) 以及= l c ( 日) ，则o 厶( 日) = 易) o 且= 因此可 以在整体上定义l a g r a n g i a n 浸入映射l ( h ) ：c ( h ) + r 研根据定义，有如下推论t 推论3 , 5 在上述条件下，如果l ( h ) 为l a g r a n g i a n 浸入，则m 上的类时高度函数 h ：ux 簧r 为l ( h ) 的生成族 因此，l a g r a n g i a n 浸入l ( h ) 的焦散线为m 的d es i t t e rg a u s s 映射的l 缶界值，并 称l ( h ) 为m 的d e s i t t e rg a u s s 映射的临界值的提升 4类时超曲面与超平面的切触 在研究类时超曲面与超平面的切触之前，我们先简要介绍【3 1 】的流形之间的切 触理论设置a = 1 ，2 ) 为舻的子流形且d i m x l ；d i m x 2 ，令吼：( 托，戤) + ( r n ，y ) 为浸入芽， ：( r ”，y ) + ( r ，0 ) 为淹没芽设，：( r “，0 ) + ( r ，0 ) 为浸入芽，令 乃= f ，_ 1 ( c ) ic ( r ，o ) 为由，定义的叶层结构如果存在微分同胚芽 圣：( r ”，y 1 ) ( 舯，y 2 ) 满足：对任意的c ( r ，o ) ，垂( x 1 ) = x 2 和圣( y 1 ( c ) ) = b ( c ) ， 其中y d c ) = 仃1 ( c ) 则称x 1 与乃。在点y l 的切触类型和砀与乃j 在点y 2 的切触类 型相同，简记为g ( x l ，乃。；y 1 ) = k ( x 2 ，乃。；抛) 可以将r ”替换为任意的子流形如果 将g o r y u n o v 3 3 】的方法应用到函数芽之间的冗+ 等价，则有； 命题4 1 设置o = 1 ，2 ) 为舻的子流形且d i m x l = d i m x 2 = 一1 ( 即超曲面) ， g i ：( 墨，) ，( 舻，挑) 为浸入芽， ：( r ”，y i ) + ( r ，0 ) 为淹没芽若q 为函数芽 o 吼：( 孔，。i ) - - - - - 4 ，o ) 的奇点则k ( x l ，乃。；y t ) = k ( 恐，乃j ；y 2 ) 当且仅当，1o g l 和 ，2o 虫是冗+ - 等价 g o l u b i t s k y 和g u i l l e m i n 【3 4 】还给出了7 矿一等价的代数描述记镒。( x ) 为形如 僻，0 ) + r 的函数芽的集合设乃为，在c 矿( x ) 中的j a c o b i a n 理想，即 乃= ( o i o z l ，o i o x ) c 矿( x ) 吼( ，) = g 酽) 砖，为f 在此局部环中的像如 果d i m a 冗l ( f ) 3 的导网z = ，( 0 ) 生成的亿轨道的并当取充分大的 时，z o ( 3 ，1 ) 是余维大于7 的j e ( 3 ，1 ) 的半代数层因此，我们得到( j r ( 3 ，1 ) 5 ( 3 ，1 ) ) 1 1 中有有限的砧轨道生成的层( ( ( 3 ，1 ) 5 ( 3 ，1 ) ) u 5 ( 3 ，1 ) ) 和余维大于7 的5 ( 3 ，1 ) 的 半代数层，由以上命题和冗+ 一通用开折的特征值( 详见 7 】) ，我们得到以下定理 定理5 2存在开的稠密子集oce m b 噼) ，使得对任意的x 0 ，相应的d cs i t t e r g a u s s 映射的临界值的l a g r a n g i a n 提升在任意一点处都是l a g r a n g i a n 稳定的 定理5 3设oce m b 噼) 是由定理5 2 给出的开的稠密子集对于任意的x o 相应的d cs i t t e rg a u s s 映射同构于如下映射之一： ( a 2 ) f ( u l ，u 2 ，u 3 ) = ( 一3 u ，u 2 ，u 3 ) ( f o l d ) ； ( a 3 ) ，( “1 ，w e ，u 3 ) = ( 千4 u , 3 2 u l u 2 ，”2 ，u 3 ) ( c u s p i d a l e 由e ) ； ( a 4 ) f ( u l ，u 2 ，u 3 ) = ( 一5 一3 u 2 u + 2 u 3 u l ，z t 2 ，u 3 ) ( s w a i l t a i l ) ； ( d ) f ( u l ，2 ，3 ) = ( 一3 u i 一“i 一2 u 3 u l ，一2 u 1 2 ，u 3 ) ( p t s e ) ； ( d i ) f ( u l ，“2 ，u 3 ) = ( 3 u + “；一2 u a u l ，2 u i u 2 ，u a ) ( p y r a m i d ) 参考文献 f 1 】w h i t n e yh o ns i n g u l a r i t i e so m a p p i n go e u c l i d e a ns p a c e s j i ，a n n o fm a t h ，1 9 5 5 ( 6 2 ) ：3 7 4 4 1 0 2 】m a r t i n e tjs i n g u l a r i t i e s 矿s m i t hf u n c t i o n sa n dm a p s m p r e s ss y n d i c a t eo ft h eu n i v e r s i t yo f c a n b r i d g e ，1 9 8 2 【3 1m a t h e rjns t a b i l i t yo fc am a p p i n g s ，肌l n f i m t e s i m a ls t a b d i t yi m p l i e ss t a b i l i t 讲j a n n a l so f m a t h ，1 9 6 8 ：2 5 4 - 2 9 1 【4 1m a t h e rjn s t a b i l i t yd ，伊m a p p i n 俨，i i i ：f i n i t e l yd e t e r m i n e dm a p9 e r i j 】p u b lm a t hi h e s ， 【5 1m a t h e rjns t a b i l i t yo fe 。一m a p p i n g si v ：c l a s s 讲c a t i o no ys t a b l eg e r m sb yr 啦e b a s j p u b l i m a t hi h e s 1 9 7 0 ( 3 7 ) ：2 2 3 2 4 8 l 6 1m a t h e rjn s t a b i l i t yo fc 。m a p p i n g s ，v l ：孙en i c ed i m e u s i o n s j p r o c e e d i n g so fl i v e r p o o l s y m p o s i u mi ，s p r i n g e rl e c t ，1 9 7 0 ：2 0 7 - 2 5 3 ， 【7 i a r n o l dvi ，g u s e i a - z a d esm ，v a r e h e n k oan 疗i n g u l a r i t i e so fd i f f e m n t m b l em a p sv o l , m i b i r k h g u s e r 1 9 8 6 p o r t e o u si t h en o r m a ls i n g u l a r i t i e so fs u b m a n f 0 1 4 j 】j d i f f e r e n t i a lg e o m ，1 9 7 1 ( 5 ) ：5 4 3 - 5 6 4 b r u c ejw ，g i b l i npj ，c u r v e sa n d 砌w 缸 f 锄p 竹正缸，西田，c a m b r i d g eu n i v p r e s s ，1 9 9 2 b r u c ejw t h ed u a lo fg e n e r i ch y p e r s u r f a c e j m a t h s e a n d ，1 9 7 8 ( 4 9 ) ：2 7 9 - 2 8 9 b r u c ejw ，g i b l i npj g e n e r i cc u r v e sa n ds , , q a c e s 【j 】l o n d o nm a t h ，s o c ，1 9 8 1 ( 2 4 ) ：5 5 5 - 5 6 1 l i t t l eja o ns i n g u l a r i t i e so fs u b m a n i o l d s0 ，h i g hd i m e n t i o n a le a t e l i d e a n 印【j 1a n n a l i m a t p u r ae ta p p l ，1 9 6 9 ( 8 3 ) ：2 6 1 3 3 6 【1 3 】i z u m i y as ，p e id h ，s a n ot t h el i g h t c o n eg a u s sm a pa n dt h el i g h t c o n ed e v e l o p a b l eo as p a c e l i k e r w 瓴m i u k o w s k i3 - # p # f j 】g l a s g o w m a t h j ，2 9 0 0 ( 4 2 ) ：7 5 - 8 9 【1 4 】i z u m i y as ，p e id t h es l 霹一v a l u e dl i g h t c o n eg a u s sm a po ，al o r e n t z i a n3 - s u b m a n i l o l di n s e m i e u c l i d e a n5 - s r u c e j h o k k a i d ou n i v e r s i t yt e c h n i c a lr e p o r ts e r i e si nm a t h e m a t i c s ，2 0 0 3 ( 7 8 ) ： 1 6 3 - 1 6 6 睁p m n 心 1 1 5 1i z u m i y as ，p e id - h s a n ot s i n g u ! a t i t i e so fh y p e r b o l i cg a u s sm a p , i j p r o c e e d i n g so ft h el o n d o n m a t hs a c ，2 ( 0 3 ( 8 0 ) ：4 8 3 - 5 1 2 【1 6 】 m l m i y as ，p e id ，r o m e r o - f u s t e rmc ，e ta lo nt h eh o r o s p h e r i c a ll f d e 8o fs u b m a n i f o l d so fc o d i m e n t i o n2i nh y p e r b o h cn - s p a c e j b u l l o fb r a z i l i a nm a t h s o c ，n e ws e r i e s ，2 0 0 4 ( 3 5 ) ：1 7 7 - 1 9 8 【l r li z u m i y as ，p e id - h ，r o m e r o - f h s t e rmc t h el i g h t c o n eg a u s sm a po fas p a c e l i k es u r f a c ei n m i n k o w s k i4 一彤m j 】a s i a nj m a t h ，2 0 0 4 ( 8 ) ：5 1 1 - 5 3 0 【1 8 i z u m i y as ，k o s s o w s k im ，p e id - h ，e ta 1 s i n g u l a r i t i e sd ，l i g h t l i k eh y p e r s u r f a c e s 机m i n k o w s k i 4 - s t y j 1 t o h o k um a t h e m a t i c a lj o u r n a l ，2 0 0 6 ( 5 8 ) ：7 1 - 8 8 【19 】裴东河，孙伟志，近晶液晶相变的突变模型 j 】液晶通讯，1 9 9 2 ：2 3 - 2 6 2 0 1 裴东河，李向彤，孙伟志，近晶型液晶相变的尖点突破模型【j 】液晶与显示，1 9 9 8 ，1 3 ( 2 ) ：8 6 - 9 1 1 2 1 js u nw e i z h i ，s h a d w so fm a m n g8 “咖o 【j 】h o k k a i d om a t h e m a t i c a lj o u r n a l ，1 9 9 0 ，2 5 ：4 0 7 4 3 1 【2 2 】孙伟志，金应龙，可微影射芽的一v e r s a l 形变与横截i j 】东北师大学报( 自然科学版) ，1 9 9 8 ( 2 ) ：4 7 【2 3 】李养成，邹建成，蒂有多个分歧参敷的等变分歧问题的万有开折口数学学报，1 9 9 9 ，4 6 ( 6 ) ：1 0 7 1 1 0 7 6 2 4 】胡凡努，李养成， 关于两状态变量组的等变分歧问题的通用开折肼数学理论与应用， 2 0 0 0 ，2 0 ( 3 ) ：5 0 - 5 7 【2 5 】高守平，李养成，多参数等变分歧问题关于左右等价的开折，数学年刊，a 辑，2 0 0 3 ，2 4 ( 3 ) ：3 4 1 3 4 8 2 6 1 李养成，光滑映射的奇点理论【m 】北京；科学出版杜，2 0 0 2 ，1 5 9 - 1 9 7 【2 _ 7 】崔登兰，李养成， 等变奇点理论中的一类有限生成模【j 】湖南师范大学t l 然科学学报， 1 9 9 6 ，1 9 ( 4 ) ：i i - 1 4 2 8 】李兵，钱祥征，等变两参敷分歧问题的开折【j