（基础数学专业论文）变分不等式、变分包含组以及kkm定理.pdf

变分不等式、变分包含组以及k 删定理 基础数学专业 研究生邓方平指导教师丁协平 本文主要研究了变分不等式和变分包含组的解及迭代算法，并证明了算法 的收敛j 生，用计算机对算法的收敛出新亍了验证；给出了拓扑空间中的t n v l 型 定理。 首先，在有限维欧氏空间提出了一种解般变分不等式的超梯度算法。该 算法的搜索方向是最新的，其计算机数字验证结果较好，在适当的假设下证明 了该算法的收敛性，并进行了收敛率分析。 其次，利用新的单调算子即h 一单调算子，定义了该算子下的预解算子， 并讨论了一类广义集值变分包含组，进而给出了h 一单调算子下的新的迭代算 法，并证明了陔算法的强收敛肚。 最后，在f c 矗空间中引入r - 铷选择和r - 删映射，给出了非空交定理， 并利用所得到的结果证明了个极大极小不等式。 关键词：一般变分不等式：投影算法；超梯度；h 一单调算子；广义集值 变分包含组；迭代算法；强收敛性；f c - 空间：r 一锄；r - k 1 日v l 映射：非空交定 理；极3 v $ t i d , 不等式 v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，s y s t e mo fv a r i a t i o n a li n c l u s i o n a n dk k mt h e o r e m m a j o r b a s i cm a t h e m a t i c s p o s t g r a d u a t ed e n gf a n g p i n gs u p e r v i s o r d i n gx i e p i n g i n t h i sp a p e r , w em a i n l ys t u d yt h es o l u t i o n st ov a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa n da s y s t e mo fv a r i a t i o n a l i n c l u s i o na n dt h ei t e r a f i v e a l g o f i t h m st 。c o m p u t e t h e a p p r o x i m a t es o l u t i o n i ti sp r o v e dt h a tt h ei t e r a t i v ea l g o r i t h m sc o n v e r g es t r o n g l yt o t h e ks o l u t i o n s w ea l s oa n a l y z et h ec o n v e r g e n c eo ft h ei t e m f i v ea l g o r i t h m sb yu s ea c o m p u t e r t h er k k ms e l e c t i o n sa n d t h er - k k m m a p p i n g sa r ea l s oi n t r o d u c e & t h ef i r s t , a ne x t r a - g r a d i e n tp r o j e c t i o nm e t h o df o rg e n e r a lv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s o nr i sp r o p o s e d , w h i c hh a sab e t 【e rp e r f o r m a n c ei nc o m p u t a t i o n a le x p e r i e n c et h a n s o m 6k n o w ni nt h el i t e r a t u r e u n d e rs o m em i l da s s u m p t i o n s ，g l o b a lc o n v e r g e n c ei s p r o v e d a n dc o n v e r g e n c er o t ei sa n a l y z e d t h es e c o n d , b yu s i n gan e wd a s so fm o n o t o n eo p e r a t o rh - m o n o t o n eo p e r a t o r a n dt h er e s o l v e n to d e r a t o ra s s o c i a l e dw i t ht h i sh - m o n o t o n eo p e r a t o r , t h er e s o l v e n t t e c h n i q u ed e f i n e dw i t hh m o n o t o n eo p e r a t o r , t h i sp a p e ri n t r o d u c e s as y s t e mo f s e t - v a l u e dv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s a ni t e r a t i v ea l g o r i t h mt oc o m p u t et h ea p p r o x i m a t e , s o l u t i o ni s p r o v i d e d i ti sp r o v e dt h a tt h ei t e r a t i v ea l g o r i t h mc o n v e n e ss t r o n 粤yt ot h e s o l u t i o no f 山es y s t e m so f g e n e r a l i z e ds e t v a i n e dv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s a tl a s t , w ei n t r o d u c et h er k k ms e l e c t i o n sa n dt h er k k mm a p p i n g si n f c - s p a c e an o n e m p t yi n t e r s e c t i o nt h e o r e mi sp r o v i d e d a st h e i ra p p l i c a t i o n , a m i n i m a xi n e q u a l i t yi sp r o v e d k e yw o r d s ：g e n e r a lv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ；p r o j e c t i o nm e t h o d ；e x t r a - g r a d i e n t ； h m o n o t o n e o p e r a t o r , as y s t e m o fs e t - v a l u e dv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s ；i t e m t i v e a l g o r i t h m s ；s t r o n g l yc o n v e r g e n c e ；f c - s p a c e ；r k k ms e l e c t i o n ；r _ k k mm a p p i n g ； n o n e m p t yi n t e r s e c t i o nt h e o r e m ；m i n i m a xi n e q u a l i t i e s 四川师范大学学位论文独创性及使用授权声蠛 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师工翅王越指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不分聃其 他个 或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的 个a 弄- i ：l 集体，均己在文中以明确方式标明。 本人承诺：己提交的学位论文电子版与论文纸本的内容致。如因不符而 引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授梗遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥 有学位论文自q 部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印刷 版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据庠进行 检索；2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位论文 作为资料在图书馆、资料室等场所或茌校园网上f j t 4 交1 8 师生阕读、浏览。 论文作者签名：邓方乎 2 0 0 6 年4 月1 1 臼 前言 本文讨论了h i l b e r t 空间中的一般变分不等式解的算法，并对变分不等式的 解的算法进行了计算机检验。最后讨论了一般拓扑空间中的k k m 选择和k k m 定理，并利用该结果证明了个极大极小不等式。 变分不等式是在本世纪6 0 年代由l i o n s ，b r o w d e r ，s t a m p a c c h i a ，k vf a n ， 等人提出和创建的一门新兴边缘性学科，它在力学、微分方程、控制论、数理 经济、对策理论、优化理论、非线性贼0 等理论和应用学科都有广泛的应用。 解变分不等式问题的算法较多，包括投影算法及其变形，松弛方法，退化法， 牛顿法和辅助原理技巧等等。 n o o r 等在文 1 】中采用了超梯度算法来解般变分不等式，并给出了该算法 的计算机校验结果。本文第章采取文 2 1 中的方法也给出了一种投影算法，并 给出了计算机结果，表明这种算法具有较好的表现。 在许多的广义混合变分不等式中，由于非线性项的出现，使得投影方法及 其变形不再适用。在h i l b e r t 空间中，君惘极大单调算子所生成的预解算子及其 性质来求解变分不等式，变分不等式组，变分包含，变分包含组的解的算法越 来越有效。为了解决更为广泛的问题，预解算子也需要进一步的改进和发展。 本文第二章在f a n g 掣1 1 所定义的h 一单调算子的基础上，给出了种新的预 解算子来讨论了一类新的变分包含组的解的算法，并证明了该算法的强收敛陛。 自从有限维空间中的经典f , 2 k m 定理诞生以来，由于它在非线陛泛函分析 的理论研究和应用方面的重要地位，很多学者已经从许多不同的方向对其进行 了推广和改进。p a r k 和m 嘶1 引入了广义凸( g 一凸) 空间，v e r m a z 7 也引 入了g h 一凸空间，d e n g 和x i a 瑚1 首次去掉了空间的凸性，d 耐捌给出了无 任何凸性结构的f c 一空间，本文第三章在此基础上引入r - k k m 选择和 r - k k m 映射，给出了非空交定理，并利用所得到的结果证明了一个极n t t d , 不等式。 第一章一般变分不等式的超梯度算法”。 1 1 概述 超梯度算法被广泛运用于解经典变分不等式，文 1 采用了超梯度算法来 解一般变分不等式：并给出了计算机检验的结果。这一章为了在超梯度算法的 每一步迭代中得到一个长的步长，采用了文 2 中的办法，计算机检验的结果说 明此算法较好。 设尺”是一个有限维的欧氏空间，其内积和范数分别记为( ，) ，。q 是尺“ 中的一个毕凸集。f ，g ：r ”一r ”是非线性连续算子，q g ( r “) 且占可逆的 固有映象。现在考虑一般变分不等式问题( g v i ( f ，g ，q ) ) ：寻找 “月”，g ( u ) q ，信隅对任意的占p ) q ，有 ( f ( u ) ，g ( v ) 一g ( h ) ) 0 ( 1 1 ) 若，是厘等映象，gs ，则( 1 1 ) 退化为经典变分不等式问题( w 旷，q ) ) ： 寻找“。q ，使得对任意的v q ，有 f f ( u ) ，v 一“0 。 ( 1 2 ) 记“到q 上的投影为尼m ) ，则： 咒o ) = a r g m i n t l y z y q 1 2 预备知识 定义1 2 1 g ：r “一r 8 ，占是一个固有映象：若g ( x ) 是r ”中的一个 有界集，则k 也是r ”中的一个有界集。 引理1 2 1 “q 是尺8 中的一个闭凸集，则对任意的z ，y e r 。和z q ， 有： ( i ) ( 岛0 ) - x ，z p o ( x ) ) 0 ： ( i i ) ( b 0 ) 一只( ) ，) ，工一y ) o ： ( i i i ) i i p o ( x ) 一晶( y ) 忙牡- y l l ； ( i v ) f i p o ( x ) 一zj | 2 s j k z i l 2 一i i e 。( x - x l l 2 。 引理1 2 2 四q 是r ”中的非空闭凸集，工，d 尺”且a 0 ，记 x ( a ) = 晶0 + a d ) ，则对任意口，o 有p ，z 一并 ) ) 是减函数。 引理1 2 3 。”q 是r ”中的一个闭凸集，x q ，d 尺“且o t20 ，记 妒( a ) = 1 防( a ) 一( x + c 耐) 扩，贝0 妒( a ) 的导数 妒( a ) ；2 ( d ，工+ c 耐一工( a ) ) 。 引理1 2 4 g 是一个可逆的连续固有映象，若t g ( x “) 收敛于括旺) ，则 k ” 收敛于i 。 证明： 若k o ”) 收敛于k ( i ) ) ，贝l j t g ( x ”) 在r ”中必有界。又因为g 是 固有映象，所以扛0 是r ”中的有界序列，必有收敛子列。设扛n 是七( ” 中任 一收敛子列且其极限为工? 。n n g 是连续的，所以诂o - ) 收敛于k ( 工? ) j 。 由极限的唯一畦可得占( i ) = g ( x l ) 。又因g 是可逆的，所以i = 工? 。由子列的 任意性可得k ” 收敛于f 。 在这一章中我们作如下假设： ( i ) 般变分不等式( g w ( f ，g ，q ) ) 的解集非空，记为q ： ( i t ) 若( ，0 ) ，g ( v ) 一g 1 ) ) 0 ，则对任意v 占。( q ) 有 ( f ( v ) ，9 0 ) 一g ( u ) ) z0 ； ( d g 是可逆的连续固有映象。 对于占( x ) q ， 0 ，记 r ( x ，a ) = g ( x ) 一最( g ( x ) 一舒( z ) ) 】o ，r ( x ) = r ( x ，i ) ，则有如下引理。 引理l - 2 5 对于( g v i ( f ，g ，q ) ) 问题，g ( x 。) q 当且仅当对某些 a 0 有r ( x ，a ) = 0 。 1 3 主要结果 算法1 3 1 ( i ) 选取秽碓 盯，y ( o ，1 ) ，g ( “o ) q ，p n + m ) ，p 女p ，让k = 0 ； ( i i ) 算出，o ) 。若r ( x 。) = 0 ，停止；否则进行下一步； ( i i o 对于g ( x 。1 q ，计算 z 。= 最( g ( x 。) 一f ( x ) ) ， y = ( 1 一叩) g ) + 叩z 其中即= y “，m 。是使得m 在( 1 3 ) 式中成立的最小非负整数， p ( f o ) 一f ( 占一1 ( 占仁) 一y ”p ) ) ) ) ，r ) ) a p 。) 1 1 2 ， ( 1 3 ) ( 沁) 计算 d 。= 一( 7 7 。r ( x ) 一叩。f o ) + 学) 啦盟坠等塑型 选取d 女岂a ：，使得 ( r ( 工) ，r ( x 。) + p k f ( g 。( _ y ) ) 一f ( x k ) ) + ( g ( x + ) 一工。( 拉。) ，d 。) = 0 ( 1 4 ) 其中x ( a ) = 晶( g 。) + a d t ) ； ( v ) 搜寻x “1 ，使得占 “1 ) = b ( 占0 + ) + c t k d 女) ，让女= k + 1 且返回步 骤( i i ) 。 注若ge ，则搜寻方向退化为 d 。= 一( 叩。，o t ) 一叩。f 0 t ) + 旦幽) i fk 它不同于文 4 中所列出的搜寻方向。 从算法1 3 1 的迭代知对任意的k ，g ( x 。) ，z ，y 2 q ，因此 g ( x ) 一广( r ( x ) ) c q cg ( r ，故存在 y ? 使 得 占( y ? ) = g ( x ) 一y “o 取。) ) ，且当一。时，有g ( y ? ) 一g ( x ) 。由引理 1 2 ，4 知”一x ，在由f 的连续性知算法1 3 1 中的步骤( i i i ) 是可行的。由 1 3 式和( f o ) ，r o ) ) z8 r o ) 可得 ( f ( g 。( _ ) ，) ) ，r ) ) z ( ，( z 。) ，( x 。) ) 一号| 。) | 2z ( 1 - 号) i 。) | | 2 ( 1 5 ) 因此我们有 ( f ( ( y k ) ) 一f ( x ) + r ( x 。) ，r ( x ) ) z ( 1 一剽附2 = o 现在讨论步骤( i v ) 中的步长的可能性。由假设( i i ) 和q 的凸性，对任意的 g ( z ) q n - - j s ( 等( f ( g 。( y ) ) ，y 一g o ) ) 0 ， 即( f ( g “( y ) ) ，g ( x ) 一9 0 ) 一叩。r 0 ) ) 0 ， 故有( f ( g 。1 ( y ) ) ，g ( y ) 一g ( x ) ) ( f ( g 。1 ( y 。) ) ，? 7 k r ( z ) ) 。所以 4 p f ( g 一1 ) ) zp 。f ( g 一1 ( yk ) ) ，r ( x k ) ) ( 1 6 ) 由引理1 2 1 ( i ) 和q 的凸性司得 二 ( p q ( 占( z 。) 一f ( x ) ) 一g ( x ) + f 。) ，7 。g ( x ) + ( i - 0 。) g 狂。) 一( g ( x 。) 一f ( x 。) ) ) z 0 一( ，7 。( ，一o 。) 一f o ) ) ，g ( x 。) 一g “) ) z ( r o ) ，r ( x 。) 一f ( x 。) ) ( 1 7 ) ( 1 6 ) 加i - ( 1 7 ) 式可得 f 叩。，( x k ) 一f ( 。t ) + 旦i ! 墨迹，g ( 。t ) 一g o ) ) 7 ， z p o ) 一f ( x ) + p k f ( g 一1 ( y 。) ) ，r o ) ) z ( r o ) 一f ( x ) + p f ( g 一1 ( y 。) ) ，r ( x + ) ) z p ( f o ) ，1 。) ) 一口( r o 。) ，r 扛。) ) + ( r o ) 一f ( x 。) ，r ( 工) ) = ( p 一盯) 肛 。) ( 1 8 ) 其中第三个不等式由( 1 5 ) 式可得。对az0 ，由引理1 , 2 1 ( i v ) 和( 1 8 ) ，可得 口) 一g ( x ) 降陋) 一g ( x ) + 洲。卜j i g ( x 。) + 耐。一x ( 州 s l g ( x 。) 一g ( x ) 1 t 2 + a2 l l d 。2 2 a ( r ( z ) 一f ( x k ) + p 。f ( g 。1 ( y ) ) ，r ( z 。) ) 一j k ( a ) 一( g ( x ) + a d 。) | | 。 记九( a ) = 一。2 1 2 + 2 a o o 。) 一f ( x ) + 户。f ( g 。1 ( y ) ) ，r ) ) + i i x 。( 口) 一( 占 ) + a d 。) o 口) 一g ( x ) 降怙o ) 一g ( x ) 卜以( a ) ( 1 9 ) 由引理1 2 3 ，可得 戎 ) = 2 ( r o 。) 一f ( x ) + p k f ( g 。( y 。) ) ，r o 。) ) + 2 ( g ( x ) 一x ) ，d t ) 由引理1 2 2 ，对任意。) 0 ，文陋) 是递减的。为了证明( 1 4 ) 式中a 。是存在的， 只需要证明存在口。z 口：使得以 ) = 0 。因为仁。 ) 一g ( x ) ，d 。) s o 忙。旷， 所以若口c 。：= ( ( ，( 工) ，r ( 工2 ) 一f ( x ) 一p 。f ( g 1 ( y 。) ) ) ) 州d 。1 1 2 ，则 丸缸) 0 。因此若瓦是以) = 0 的解必有瓦z a ：。下面考虑优化问题 m a x ( b 。 ) i 口z0 ) 因为氟 ) 是递减的且9 0 ) 不是( a v l ( f ，g ，q ) ) 的解，所以 氟( o ) 2 ( r o 。) 一v ( x ) + p 。f ( 9 4 ( y ) ) ，r o ) ) = 2 ( p 一口) p o 。) 1 1 。，o 所以若毹( 口) = 0 的解存在，则它的每个解也是优化问题m a x 协0 ) it 2 苫0 的解。所以丸 ) = 0 的每一解都使得第k 步迭代有长步长。下面证明 氟心) = 0 的解的存在i 睦，从而证明算法1 3 1 的可行陛。 引理1 3 i 存在a o 使得方程氟 ) ；0 成立。 证明：定义超平面 h 。= t 只”岍x ) 一f ( x k ) + p 。f ( g “( y 。) ) ，r ( x ) ) + ( g o 。) 喝d 。) ；o ， 因为丸 ) 是递减的且g 取) 不是( g w ( f ，g ，q ) ) 的解，所以由( 1 8 ) 式可得 g o ) 仁尺“i ( r 。) 一f ( x k ) + p 。，( g 。( y + ) ) ，o ) ) + ( g ( x k ) 一工，d 。) z0 j 且由1 5 式可得 z e 】, e r ”i ( r 。) 一f ( x 。) + 风f ( g 。( y ) ) ，r ( x 。) ) + ( 占( 工+ ) 一x ，d 。) s0 j 因为q 式凸集，所以h 。n q 中。易验证占 。) + , 4 a 。日。，所以对任意 。 。：，易证 g ( x 。) + 蒯。仁j r “i ( r ( x 。) 一，o ) + n f ( g 。( y ) ) ，r o ) ) + 0 ) 一x ，d 。) c0 j 显然d 。上。，故由文 5 引理3 1 知存在d 。，0 ，使得 工( d 。) = ，& ( g o 。) + a 。d 。) e l l tn q 所以存在口，o 使得方程“似) = 0 成立。 综e 所述算法1 3 1 是可行的。 引理t 3 2 若。：是( 1 4 ) 式的解， 则 x 。( 。t ) = b n h ，( g ( x ) + o ：d 女) 。 证明 ： 记 ( a ：) = b 。( g ( x 。) + a ：d 。) ，易证 j f k 。( g ( x ) ) = g ( x ) + a ：d 女，黼- g ( x ) + d ：d i t 。又因x 。( a i ) 日女， 所 以 工( a 女) r n h ( g ( x ) + a d ) ，。 因 为 ( g o ) + a 。d 。) 一( g o ) + 口：d 。) = 。一口；) d 。上h 。，由勾股定理可得： 恬o ) + 。础一尹( 口泖+ 敝一a ：) d 。卜i i g ( x ) + a 。d 。一尹( a 泖 ( 1 1o ) l i g ( x 。) + a ：d 。一x 。( & 。) 1 2 + ( a 。一a ：) d 。l 2 = l g ( x + ) + c t k d + 一x 。( a 。) 0 2 ， ( 1 1 1 ) 由( 1 1 0 ) 和( 1 1 1 ) 可得 0z l g ( x ) + a ：矗。一i ( a ；) i 2 一i i g ( x ) + 口：d 。一x 2 ( a 。) 0 2 = i l g ( z ) + 口。d 。一矿( 口琊一i l g ( x ) + 吒d 。一z ( ) 胆0 ( 1 1 2 ) 由投影的唯一陛知结论成立。 故算法1 3 1 可以写为以下形式。 算法1 3 2 ( i ) 选取初值口，y ( 0 ，1 ) ，g ( “”) q ，p e 1 ，+ * ) ，矶2p ，让= 0 ； ( i i ) 算出，( t ) 。若，0 “) = 0 ，停止；否则进行下一步： ( i i i ) 对于g ( x 。) q ，计算 z 。= 圪( g ( x 。) 一f ( x ) ) ， y = ( 1 一叩) g ( x ) + 叩z 。 其中叩= y n ，m 。是使得m 在( 1 1 3 ) 式中成立的最小非负整数， p ( f ( x ) 一f ( 占。( g ) 一y “( ，。x 。) ) ) ) ，r 。) ) s 盯p o ) ， ( 1 1 3 ) ( i v ) 计算 d 。；一( 叩。， t ) 一叩。f ( x t ) + i ! ：i 里业) 啦盟生等业型 月。= k r ”l ( r ( x ) 一f o2 ) + p 。f ( g 。o ) ) ，r o2 ) ) + ( 占 2 ) 一z ，d 。) = 0 j ( v ) 搜寻工“1 ，使得g ( x “1 ) = p o 。( 占0 。) + 口：d 。) ，让k = k + 1 且返回 步骤( i i ) 。 下面给出算法1 3 2 的收敛陛证明。 定理1 3 1 假设条件( i ) ，( i i ) ，( 1 i d 成立。若序列惦o 。) 是由算法 1 3 2 生成的，则k o + ) 收敛于( g 玎( ，g ，q ) ) 的一个解g ) ，且仁 收敛 于x 。 证明：由( 1 9 ) 和吒是忧化问题m a x 慨( a ) i 。z0 的解知 恬o “1 ) 一g ( x ) s 忙o ) 一g ( x ) | j a o 。) s 愀工) 一占( x ) 卜九( a ：) s 恬o ) 一g + ) | 2 2 a ：( r 伍) 一f o ) + p 。f ( g 一1 ( y ) ) ，r 缸) + ：) 2 肛。| 1 2 ) s j 占c 。t ，一g 2 一字 c ，q 所以k 红。) 是一个f e j e r 序列且有界，又由g 是固有映象可知序列扛。 也 是有界的，所以序列仁( x 。) i 仁。i b i 仁( g 。( y ) ) r o ) 也分别有界。故 必存在 o ，1 ，2 ，) 的无限于列。，n ：，使得 姚l i m l r ( z 2 ) 或者吼l i r a 卜：7 7 t ；o e 若。e l i 。r a _ 。忆z 。) 卜o ，由引理1 2 5 和序列k ) 的聚点的唯一性可知 k 扛。) i 女。 的聚点占是( g w ( f ，g ，q ) ) 的解且k o ) 收敛于占 ) ，且 扛 懒于孔 若l i r a 。7 20 ，姆3 ) 知 、 p ( 耶 ) - 地弋g o l 等( r o 呦) ) ，哪 ) ) 盯) | 1 2 ，因此 l i r n 舨z t ) 忙0 ，类似可以证明结论成立。 h ，i z i i i i 1 4 收敛率分析 定理1 4 ，1 在定理1 3 1 、中进一步假设f ，g 一1 是李普希兹连续的，李普 希兹常数分别是l ，o ，州，0 ，且存在正常数卢和6 ，使得对任意的x ，当 d i s t ( g ( x ) ，q ) ；t t l l r ( x ) i i ， 则存在正常数r ，o 使得对充分大的 ，有 d i 5 f ( g 讧) ，q + ) sp 厄i 。 其e 3 d i s t ( x ) ，q 1 是z 到q 的距离。 证明：对任意的七= 1 ，若帆1 ，由( 2 3 ) 式和f ，g “的李普希兹连续性可 得了l m 讪州删k 一等咄协卜渺幽1 | 2 因此，“z 譬，故玑是有下界的。由此可得 n 厶m 归川2 = 扣取卜吼+ 譬怿釉删砘奶懈 慨忙m 。 由( 2 1 4 ) 我们有 lgt“)一。(。，)l2g(。一)一。取)o一掣。 又因护 。) i ! 收敛于o ，故存在，0 ，当女zn 时有肛o + ) i ! s6 。设在解 集q 。e o g ( x ) 最接近9 0 ) ，则有 d i s t ( g ( x “) ，q ) 慨x ) 一g ( x ) 0 2 s f占(z2)一g。)2一!旦一=二!立：垡i：!掣 啦2 ( ) ，q i ) - 虹业鬻学业 其中第二个不等式由( 1 1 5 ) 可得。因此序列 d i s t ( g ( x * ) ，q ) 满足文 6 】中推 论6 的条件，故存在个正常数r ，0 使得对充分大的t ，有 d i s t ( g ( x ) ，q ) g 雨。 1 5 计算机检验 在这部分我们给出了算法1 - 3 2 的计算机检验结果，而理论上的方法不妨见 文【7 ，8 ，9 。通过和文 1 中的结果进行比较，我们的算法有较好的性质。 例1 5 1 在本例中所选的参数和文 1 中的参数样，即o r = 0 5 ， y = o 8 ，肛o ) 忙1 0 一，一下的结果都用m a t l a b 运行过，本例中 g ( z ) = a x + q ，f 0 ) = 工且 a = 42 i4 01 o0 0o 0 2 4 ： o o 0 0 0 驴l 有效域q = 扛月”1 0 x i 5 1 ，任意江1 ，2 ，n ) ，表1 1 给出了以初始点 ”- a q ， p = 1 和不同维数n 的计算机运行结果。 表i i 算法1 3 2 ( _ i 。= 1 ) 和文【1 中算法的比较 d i r n e n s i o nn c o ：3 2 p t = 1 p = 1 2p 二1 3 _ | 。 = 1 5_ ；。 = 2 n = l o4 9 26 6 6 6 6 66 6 6 6 n ：2 04 8 96 56 5 6 5 6 5 6 5 n = 5 04 8 46 46 46 46 46 5 n = 8 04 8 1 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 n = 1 0 04 8 06 36 3 6 36 3 6 3 e l = 2 0 04 7 66 36 36 36 36 3 1 0 第二章 h 一单调算子与广义集值变分包含组 2 1 概述 近年来，变分不等式问题的研究已经得n t 广泛的发展。丁等1 1 1 , 1 2 1 在局部 凸拓扑矢量空间中，对广义拟变分不等式的解的存在性进行了讨论。邓3 j 分别 在眦b e n 及自反b a n a c h 空间中讨论了类混合似变分不等式的迭代算法。李【1 4 1 对一类新的非线性1 以变分不等式的灵敏性进行了分析。同时，变分不等式组的 研究也得- n t 极大的发展，但变分包含组的研究则比较少。最近，犁1 1 利用极 大单调算子讨论了一类广义集值变分包含组的逼近解的迭代算法。郑【1 q 给出了 一类广义混合拟- 似变分不等式组的，7 一逼近算法。y p f a n g 等1 1 7 峰惘h 一单 调算子的预解算子讨论了一类变分包含的解的迭代算法。文f 1 8 1 给出了h 一单 调算子下广义集值变分包含的迭代算法。 本章在 1 5 ，1 7 ，1 8 的基础上，利用h 一单调算予讨论了类广义集值变分包 含组，引入了类h 一单调算子，给出了新的迭代算法，证明了由该算法得出 的迭代序列强收敛于该变分包含组的解。 2 2 预备知识 设厅是一实砌b e n 空间，其内积和范数分别记为( ，) ，洲，记c b ) 为 日的切非空有界闭子集的簇。 定义2 2 1 称集值映象m ：b b 一2 。关于第一变元是 ( j ) 单调的，如果对每一个w 口有 扛一y ，“一v ) 苫ov u ，v b ，工m ，w ) ，y m p ，w ) ； ( 2 ) 极大单调的，如果m 关于第一变元是单调的，且对每一个w 占a ，0 有 ( ，+ a m ( ，w ) ) ( 露) = b ，其中，表示8 上的单位映象。 定义2 2 2 设，：bx b b ，爿：曰一2 。，h ：口一b ( 1 ) 称，关于第一变元口一a 一强单调，如果存在常数口) o 使得 ( f ( u 】，v ) 一f ( u 2 ，v ) ，x 1 一x 2 口j k l 一x 28 2 ， v v b ，工b ，“，爿o f ) ，i = 1 ，2 c t 与v 无关； ( 2 ) 称，关于第一变元口一a 一一强单调，如果存在常数。，0 使得 ( ， ，v ) 一厂( “：，v ) ，h ( x ，) 一t f ( x ：) ) 口f k ，一z ：j j ， v v b ，x ，b ，“，4 0 ，) ，i = 1 ，2 a 与v 无关： ( 3 ) 称，关于第一变元口一l i p s c h i t z 连续，如果存在常数卢 0 使得 i i f ( u 、，v ) 一，0 ：，p ) 8s 卢，- - 128 ，v v b ，。b ，i = 1 , 2 卢与v 无 关； 同样可以定义r 关于第二变元口一a 一一强单调，关于第二变元 口一l i p s c h i t z 连续。 ( 4 ) 称a 为盯一强单调，如果存在常数口 0 使得讥，x 2 e b ( “i 一“2 ，z j z 2 ) 2c ，i 汪l z 2 i l = ，v u ，爿( j 。) ，i = 1 , 2 注2 2 1 由【1 7 中定义1 1 ( 5 圾例1 1 知，关于第变元口一a 日一强 单调弱于，关于第变元口一a 一强单调。 定义2 2 3 设z ：b c a ( b ) ，称t 为y 一由一l i p s c h i t z 连续，如果存 在常数y ，0 使得 中( 丁( z 】) ，z ( z 2 ) ) sy 降。一x 20 ，执，b ，i = 1 , 2 其中中( ，- ) 为c 口( b ) 上的h a u s d o r f f 度量。 2 3 h 一单调算子 下面定义的h 一单调算子是由f a n g 和h u a n g 在【1 7 】中引入的。 定义2 3 p 1 设限b b 是单值映象，m ：bx b 一2 。是集值映象。称 m 关于第一变元h 一单调，如果m 关于第一变元单调且对每一个 w b ，a 0 有( h 十a m ( ，w ) ) ( b ) 。b 。 注2 3 1 若h ，则，一单调算子就是极大单调算子。由【1 7 的例2 1 知， 极大单调算子不必是h 一单调算子。 引理2 3 r 1 设日：b b 是一严格单调映象，m ：b x b 一2 8 关于第 变元是一h 一单调映象，则对每一个w 口，a ，0 ，算子( 日+ m ( ，w ) ) - 1 是 单值的。 定义2 3 2 设h ：b b 是一严格单调映象m tb b 一2 8 关于第一 变元是一日一单调映琢。对每- - w b ，定义预解算子尺”小，z ：b 一日为： 尺“m ( 。) 0 ) 暑( h + 九m ( j w ) ) _ ( “) v u b 。 引理2 3 砂”设日：b b 是- - r 强单调映象，m ：b 占一2 s 关于第 变元是一单调映象，则预解算子r h “以i 是1 y l i p s c h t i z 连续的。 2 4 变分包含组问题 设占是一实h i l b e r t 空间，其内积和范数分别记为( ，) ，| | r j | ，记c b ) 为b 的一切非空有界闭子集的簇。设4 ，丁：b c b ( b ) ，h ，q ，q ，：b b ， f ，g ， ：b x b 一占为三单值映象，m ，m ，：曰占一2 8 均关于第变元是 日一单调映象，b 。q ，( b ) n d o m m ，( ，) 驴( f = 1 , 2 ) 。考虑如下广义集值变分 包含组：求工，y 。b ，“彳0 ) ，v 丁( y ) ，使 这n p ，t 为二正常数。 问题( 2 1 ) 的特殊隋况： ( 1 塔圩= ，m 。，：b b 一2 8 关于第一交元是极大单调算子，则问 题( 2 1 ) 等价于：求z + ，y b ，“+ a a ( x ) ，v 丁( y ) ，使 其中p ，t 为二正常数。 问题( 2 2 ) 正是文【1 5 】研究的问题。 ( 2 h ，殳妒，：b 口一r u + 。 ，f ；1 ，2 ，对固定的z b ，锻( t ，z ) o ；l 2 ) 为 二真凸- v * k g 续泛函，如果m ，( ，z ) = a 孵( - ，o ( i ；1 ，2 ) 其中a 够( ，z ) 为 ( ，z ) o = 1 , 2 ) 的次微分，则问题( 2 2 ) 等价于：求 工+ ，y 。口，“。爿 ) ，v 7 1 ( y + ) 使 o 川 0 扛 田 m o 、 m n g 。， + ， 、 q 吼 舡 眠 。坷 + y ， 文 y m m + ， 0 以 p h 0 0 f y ( 厂( “+ ，v 。) + p g ( x ，y 。) ，工一工+ ) + p 妒l ，q ，( y ) 一p 妒1 ( 石，q 。( y ) ) 芑o ，v x b i ( y 一t h ( u ，z ) ，z 一+ f 伊2x ，q 2 ( 工) ) 一t c , v 2 ( y ，q 2 ) ) o ，v x e b ( 2 3 ) 其中p ，f 为二正常数c 由问题( 2 3 ) 可以得出许多特殊情况，它们都是问题( 2 1 ) 的特殊睛况； 适当选取厂，g ，h ，m ，m ：q l , q ：，a ，t 的映象形式，可以得到许多研究过的变分 不等式组问题f 1 9 2 2 ，所以问题( 2 1 ) 是一个比较普遍的问题。 假设2 4 1 设日：b b ，h ：b b 是单值映象，m ，：b 口一2 。关 于第一变元是h 一单调映象，假设存在常数r 。，0 满足 ”删a ( z ) 一月”似舭( z ) 忙r i 忙一y l f ，v x ，y ，z e b ，扣0 ，i = 1 , 2 。 i l 里2 4 1 设z ，y + b ，“爿 ) ，v + e t ( y ) ， ，y ，“，v + ) 是问题 ( 2 1 ) 的一个解，当且仅当 f 工= r h m i ( q l ( y ) x p h ( x ) 一f ( u ，v + ) 一p g ( x ，y ) 1 y + = r “蚓，州，- ) 】，【t h ( u ，z + ) 其中月“m ：( n ( ，- ) ) ，p ( 2 ) = ( h + p m ( 。，q 。( y ) ) ) 。1 0 ) ， r “m - ( 州，) ”( z ) = ( 1 4 + t m ( ，q 2 ) ) ) 。1 ( z ) 对问题( 2 1 ) ，我们提出如下算法： 算法2 4 1 设a ，丁：b c b ( 8 ) ，h ，q 。，q 2 ：b b ， ，g ，h ：bx b b ，m ，m ：b x b 一2 。关于第一变元是h 一单调映象， b q ，( b ) n d o m mr ( ，) ；( i = l 2 ) 。 任意给定初始值工。，y 。b ，“。4 0 。) ，丁( y 。) ，由文【2 3 的思想，可 得到迭代序列k 。l y 。l 讧。l h ) 的如下形式： k + ，= ( 1 一z ) x 。+ 俎”帆( 州h 帅 4 ( x ) 一f ( u 。，v 。) 一m ( x 。，y 。) 】 l y 。