（基础数学专业论文）幂正交多项式的christoffel函数.pdf

摘要 本硕士论文由三章组成 第一章我们介绍了后文需要用到的一些概念、符号以及简要说 明了研究背景，然后给出了本文的主要结果 第二章我们给出了本文依据的一些已知结果，特别是关于m - 正交 多项式的c h r i s t o f f e l 函数的性质及其满足的结论 第三章是本文的主要内容，即m 一正交多项式的c h r i s t o f f e l 函数到幂 正交多项式的c h r i s t o f f e l 函数的推广首先定义：对x 瓦冉，z r ，) ，0 j 仇一2 ，令关于t 的多项式 满足插值条件 a j ( x ，m ，m ，z ；t ) ：= a j ，n ( x ，m ，m ，z ；t ) = 刍( 亡一z ) j b j ( x ，m ，m ，z ；) l n ( x ，m ，z 硝( x ，m ，m ，z ；z ) = 瓯j ，i = 0 ，1 ，m 一2 ， 其中 岛( x ，m ，m ，z ；) p m - j 一2 ， 及 她叩：= 蒜器 令记号 & ( x ，m ，m ，z ；t ) ：= s g n 【( t z ) m l n ( x ，m ，z ；) 】，x j _ p ，口 给出了幂正交多项式上广义c h r i s t o f f e l 函数的定义：设舡是( 口，6 ) 上 的测度，且z r 那么关于咖的广义c h r i s t o f f e l 函数，竹+ 1 ( 咖，m ，m ；x ) 可定义如下：当歹m e ：- - - m 一2 p ：p = 1 ，【m 2 】) ， ，住+ 。( 如，m ，m ；z ) = y m x i n 。- ， 口6 如，n ( y ，m ，m ，z ；) & ( y ，m ，m ，z ；t ) 批( t ) ； ( 1 ) i 当j m 。：= m 一2 p 一1 ：p = 1 ，【( m 一1 ) 2 1 ， p a j ，n + 1 ( 批，m ，m ；z ) = a ，n ( x ，m ，m ，z ；t ) & ( x ，n l ，m ，。；亡) 毗( ) ， - ，o 其中x 是当j m e 时方程( 1 ) 的解在文中，我们论证了其存在性，还 给出并证明了其一些重要的性质与特征，接着得出了几个定理，特别 是证明了在给定条件下存在唯一的向量x x 御满足 一 ，n + l ( 舡，i n ，m ；z ) = i a j ，nx ，i n ，m ，z ；亡) l 咖( 亡) 关键词：幂正交多项式；c h r i s t o f f e l 函数；广义c h r i s t o f f e l 函数； 存在性；唯一性；高斯积分公式 i i a b s t r a c t t h i st h e s i sc o n t a i n st h r e ec h a p t e r s 。 i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c es o m eb a s i cc o n c e p t sa n d n o t a t i o n sn e e d e di n t h es e q u e l f u r t h e r m o r e ，t h eb a c k g r o u n do ft h i st h e s i si s d i s c u s s e db r i e f l y t h e nt h em a i nr e s u l t so ft h i st h e s i sa r es t a t e da sw e l l i nc h a p t e r2 ，w eg i v es o m ek n o w nr e s u l t sw h i c ha r et h e f o u n d a t i o n so ft h e r e s u l t so ft h i st h e s i s ，e s p e c i a l l y , t h ec h a r a c t e r i s t i c sa n dt h es t a t e m e n t sa b o u t c h r i s t o f f e lt y p ef u n c t i o nf o rm - o r t h o g o n a lp o l y n o m i a l s i nc h a p t e r3 ，t h i st h e s i sg i v e st h ee x t e n s i o no fc h r i s t o f f e l 凡n c t i o n 舶m m - o r t h o g o n a lp o l y n o m i a l st op o w e ro r t h o g o n a lp o l y n o m i a l s f i r s t ，w ed e f t n e ： f o rx x p ，叮，z r 却，z 口) ，0 j m 一2 ，l e tp o l y n o m i a li nt s a t i s f i e sc o n d i t i o n ： w i t h a jx ，m ，m ，z ；t ) ：= 如，n ( x ，m ，m ，z ；t ) = 嘉 一z ) j 岛( x ，m ，眈，z ；) l n ( x ，m ，z ；) a j ( i ) ( x ，m ，m ，z ；z ) = 6 i j ，i ：o ，1 ，仇一2 ， 岛( x ，m ，m ，。；) p m - j 一2 ， 地叩：= 嬲， & ( x ，m ，m ，z ；t ) ：= s g n 【 一。) m l n ( x ，i n ，z ；t ) 】，x 不，口 t h e n r ed e f i n et h eg e n e r a l i z e dc h r i s t o f f e lf u n c t i o nf o rp o w e r o r t h o g o n a lp o l y - n o m i a l s ：l e t 咖b eam e a s u r eo n ( o ，6 ) a n dz r t h eg e n e r a l i z e dc h r i s t o f f e l f u n c t i o na j ，t l + 1 ( 舡，m ，r e ；x ) w i t hr e s p e c tt od pi sd e f i n e db y ，行+ l ( 舡，m ，m ；x ) = m i _ _ n y e x “z 6 如疗( y ，m ，m ，力最( y ，m ，m ，) 咖( 1 ) i l l f o rj m 。：= m 一2 p ：p = 1 ，【m 2 】) ，a n db y 屯n + 。( 咖，m ，m ；z ) = z 6 山一x ，m ，m 弼亡) & ( x ，m ，m t ) 咖( t ) f o r j m 口：= m 一劬一1 ：p = 1 ，【( m 一1 ) 2 1 ，r e s p e c t i v e l y , w h e r e xi st h e s o l u t i o no f ( 1 ) w h e nj m e t h e nt h ee x i s t e n c eo ft h i sg e n e r a l i z ec h r i s t o f f e l f u n c t i o ni sp r o v e d i na d d i t i o n ，i t si m p o r t a n ta n di n t e r e s t i n gc h a r a c t e r i s t i c s a r eg i v e n m o r e o v e r ，s o m et h e o r i e sc o n c e r n e dw i t ht h i sg e n e r a l i z ec h r i s t o f f e l f u n c t i o na r eg i v e na n dp r o v e d ，p a r t i c u l a r l y , w es h o wt h a tu n d e rs o m ep r o v i d e d c a s e st h e r ei sau n i q u ev e c t o rx x p 口s a t i s f i e s a j , n - i - 1 ( 中，m ，m ；z ) = 6 f 4 一x ，m ，m ，z ；) i d a ( 班 k e yw o r d s ：p o w e ro r t h o g o n a lp o l y n o m i a l s ； c h r i s t o f f e lt y p ef u n c - t i o n s ；g e n e r a l i z e dc h r i s t o f f e lf u n c t i o n s ；e x i s t e n c e ；u n i q u e n e s s ；g a u s s i a n q u a d r a t u r ef o r m u l a i v 附录三湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：谢诲 弘泸掣f 月与j 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密 ( 请在以上相应方框内打 ，) 作者签名：两寸涛弘矽年f 月易日 l 导师签名。宅弘机【讣7 ) 口归年f 月孑j 日 3 9 幂正交多项式的c h r i s t o f f e l 函数 1绪论 1 1 基本概念与定义 本文中，我们用符号n 与r 分别表示正整数集与实数集 用符号p 表示最高次数不超过的多项式集合 令p ：= p ( ) = c ( t y t ) ( t - y ，) ，c ，y z ，孤l ：t ，7 他 ，令p ：( z ) = 尸p n ：p ( x ) = 1 ) ，z r 我们约定昂= p o 用符号d e gp 表示多项式p 0 的确切次数 设弘是r 上的一非负不减函数，且批的所有矩量总是有界的，则 称中是一个测度若p 恰好还是绝对连续的，则可用w ( t ) d t 替代( t ) d t ， 并称w 为权 我们用符号s u p p ( 批) 表示p 的支撑集，即p 的所有递增点的集合如 果s u p p ( 舡) 是有界的，我们则可用( 咖) 表示包含s u p p ( 咖) 的最小闭包 同样，用( 舡) = ( n ，6 ) 表示包含s u p p ( 舡) 的最小区间，其中 i 【0 ，6 】，一o 。 n b + o o ， ( 口 驴 ( - o o , 6 】，- c o = a , b o 是任意实数，令m = ( m l ，m 2 ，) ， 以及 y = y = ( 3 ，1 ，蜘) ：口 x n ；2 ：1 ，z ，l r ) n q n ( z ) = q n ( m ，y ；。) = l i ( x - 纨) 讥，y 一y ， k = l 圣n ( y ) = 圣n ( 缸，m ；y ) = bq n ( m ，y ；z ) 舡( z ) ， 硕士学位论文 其中y 是y 的闭包 令 m e ：= 仇一砌：p = 1 ，【仇2 】) 和 m 。：= m 一2 p l ：p = 1 ，【( m 一1 ) 2 ) 定义1 1 1 1 2 5 1 如果向量x = x ( 咖，x ) 是极值问题： 圣n ( x ) = i n f _ 亚n ( y ) ( 1 1 2 ) y y 。 的解，则称相应的多项式 w n ( x ，z ) = ( 咖，m ；x ) = ( z z 1 ) ( x 一。2 ) ( z z n ) 是关于舡的n 次幂正交多项式 定义1 1 2 f 2 5 】c h r i s t o f f e l 函数k ( 咖；z ) 定义为 k ( 咖；z ) 2p 器2 ) - 1 上p ( t ) 2 舡( ) ( 1 1 3 ) 定义1 1 3 2 5 1 称数 a 七n ( 毗) = a n ( d z ；x 七n ( 咖) ) ( 1 1 4 ) 为c h r i s t o f f e l 数 定义1 1 4 m 关于批的广义c h r i s t o f f e l 函数定义为 k ( 咖；z ) 2 尸掣2 ) = 1 上i p ( 亡) i m 舡( t ) ， o 0 ，f f 、7 ，、7 4 幂正交多项式 c h r i s t o f f e l 函数 引理3 2 5 设缸是( 口，6 ) 上的测度，当i n i n l 蜒住m k = 1 时，p c ( a ，6 ) ， j m 。固定，x 孓加且z r 昂，如) 若x 满足方程( 3 2 1 3 ) 当z 。= 一o o ，则 厂6必型掣咖(t)oja t z 。、7 一 成立； 当z n = + ，则 厂6 必型蝴舡( t ) o j 8 t 一互 一j 一 成立 定理3 2 1 设中是( 口，6 ) 上的测度，当m i n l 知仃m k = 1 时，p c ( a ，6 ) ， j m 。固定，x 墨，。，且z r ( 唧，z q 则有 ( a ) z l 一o 。与z 住 1 ， 【2 l z z k i m 一1n ，kl 警三孑l 脚p 7 ( z ) ， z = 詹，m 七21 硕士学位论文 定理3 3 1 设咖是( o ，6 ) 上的测度，弘c ( a ，6 ) 当m i n l 彪 0 若向量x 满足正交关系 厂垮麓嬲稚) 醐) _ 0 q p 州， 厶 如( x ，z ；t ) ( 一z ) y p 7 “p ”，一u qcn 一1 则向量x 满足 ，6 a 加+ 1 ( 毗，m ，m ；x ) = f 4 ，nx ，m ，m ，z ；t ) l 批( t ) 定理3 3 2 设咖是( o ，b ) _ k 揪f j 度，肛c ( a ，6 ) 当m i n l 七 0 令z r ，歹m 。固定，则存在唯一向量x ： x ( 舡，1 1 1 ，m ，z ) x 口 zg = 佻从从触 = = d 。1 p 鬻 誊一 黧 硕士学位论文 定理2 1 1 【2 5 】设批是r 上的测度当m i n l 七 nm 七= 1 b e ，p c 1 ( n ，6 ) 则存在向量x y 满足方程( 1 1 2 ) 定理2 1 2 嘲设批是r 上的测度满足t c ( a ，6 ) 若m i n l _ k 0 ，z ( o ，6 ) 则存在唯一的向量x y 满足方 程( 1 1 2 ) ，且如下结论等价： ( a ) 向量x 满足方程( 1 1 2 ) ； ( b ) 向量x 是正规方程组( 2 1 3 ) 的解； ( c ) 向量x 满足正交关系( 2 1 4 ) 注2 1 1 【2 5 】如果m i n l 0 ， t l ：t 成立 注2 2 1 【2 5 】由此引理最后一个结论知对所有j m 。有 如( p z ；) s 夕n 【( t x ) p ( t ) l m = 1 4 ( p z ；t ) 1 ( 2 2 1 ) 引理2 2 2 2 5 1 设缸是r 上的测度对一给定的点z r 和某固定 的指蜘m 。，令多项式p p ：一。( z ) 满足方程 如( p z ；t ) s 阴【( t z ) p ( t ) 】m 毗( t ) = ，n ( 批，r e ；x ) ( 2 2 2 ) ，r r lo = d 霉 ”i i m一 、l ， ，f p 1 一引 = 、l ， z 只 ，i 玩 = 有 h 旬m 对 中 外 其 此 幂正交多项式白t j c h r i s t o f f e l 函数 如果多项式r = p ( t ) + a ( t z ) q ( z ) 满足条件：若存在正数6 ，使得对每 个入【0 ，6 】，p ( 入) p 二一1 ，贝i j 有 【( 亡一。) p ( t ) 】m - 1 q ( t ) s g n 【 一z ) 尸 ) 】m d t t ( t ) 0 ， 其中 q ( t ) = ( t x ) j 一仇+ 1 以( o ；t ) p ( t ) + m ( t z ) 夕( o ；) q ) 】， 且g p m 联( d e g p 一1 ，d e g q ) 引理2 2 3 1 2 5 】设批是r 上的测度对一给定的点z r 和某固定 指数歹m e ，令多项式p p 二一1 ( z ) 满足方程( 2 2 2 ) ，则有 ( a ) 多项式p 的零点为单零点； ( b ) d e g p o ； ( c ) 多项式满足正交关系： 【( 一z ) p ( ) 】m - - 1 q ( t ) s g n 【( 一z ) p ( ) 】m 咖( t ) = 0 ，v q p n 一2 ( 2 2 3 ) 定理2 2 1 2 5 1 设咖是r 上的测度对一给定的点z r 则有 ( a ) 存在唯一的多项式p ( x ) p ：一l 使得方程( 2 2 2 ) 对所有指鳓 m 。成立； ( b ) d e g p n 一2 ，且尸的零点均为单零点； ( c ) 方程( 2 2 2 ) 成立当且仅当正交关系( 2 2 3 ) 成立； ( d ) d 我们有 k ：，n ( d p ，叩) = q 剐而bf r i q ( 驯邛刊一2 榔) ( 2 2 4 ) 定理2 2 2 1 冽 设咖是r 上的测度若多项式p p ：一。( z ) 满足方 程( 2 2 2 ) r 有形式 d e g p p ( ) = cn ( t 一如) ，亡1 t 2 妣p ( 2 2 5 ) i - - - - i 则有如下结论等价： 9 硕士学位论父 ( a ) 多项式p 对每个j m 。满足方程( 2 2 2 ) ； ( b ) 多项式满足正交关系( 2 2 3 ) ； ( c ) 对所有，p ( 一1 ) ( d e g p + 1 ) 押2 ，我们有高斯积分公式 degpm-2 y c t ) s g i l 【( 一z ) p ( t ) 】m 础( t ) = ，o ( t 七) ， ( 2 2 6 ) d r k - - - - - 0j = o 其中t o = z ，且= n ( 咖，m ，z ) 定理2 2 3 2 5 1 设舡是r 上的测度对一给定的点z 1 1 ，设p ( z ；) p ：一。( z ) 满足正交关系( 2 2 3 ) ，则有 a 巧n ( d p ，m ) = 【s g nr ( d 肛，m ) n ( d p ，m ；z h ) ， k = 1 ，2 ，n ；j = 0 ，1 ，m 一2 1 0 幂正交多项式的c h r i s t o f f e l 函数 3 幂正交多项式的c h r i s t o f e l l 函数 3 1基本定义及说明 设m ，m k n ，k = 1 ，2 ，竹，仇2 ，令= 翟lm k 一1 ，m = ( m 1 ，) ，以及 k = x = ( 2 7 1 ，x n ) ：z l x n ；x l ，x n r 】i 我们还需要符号 x p ，口= x = ( x p ，) ： 0 ，t r ， 如， ( x ，m ，m ，z ；) & x ，m ，m ，z ；t ) = 证明：由于 我们可写 ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 1 4 ，n ( x ，m ，m ，z ；t ) l ，t r ( 3 2 4 ) a ，n ( x ，m ，m ，z ；t ) = 磊j ，i = 0 ，1 ，m 一2 ， 4 ，n ( x ，m ，m ，z ；亡) = 夏1 一z ) j l n ( x ，m ，z ；t ) 接下来证 又 m - j - 2 玩( 一z ) i = 0 b i = b i ( x ，m ，z ) = 丽1 厶( x ，m ，z ；) 一1 蝗，江o ，1 一 ( 3 - 2 5 ) 如( x ，m ，m ，x ；t ) l n ( x ，m ，。；t ) 一= 击 一z ) 歹b , ( t - z ) ， ， m j i 一2 j i = 0 酏焉删x 圹1 艘= 0 ，6 m o 一2 0 1 4 等 l i 1j叫j 幂正交多项式a 勺c h r i s t o f f e l 函数 故 如，n ( x ，m ，仇，z ；) & ( x ，l n ，仇，z ；t ) = i 如n ( x ，m ，m ，z ；t ) l ，t r 成立 口 注3 2 1 关系( 3 2 5 ) 表明系数b ；( x ，m ，z ) 与仇无关 引理3 2 2 设妣是( 口，6 ) 上的测度，且当m i n l 坯n m k = 1 时，p c ( a ，6 ) ，某个指数j m 。固定，x 写，g ，且z r ( ，l 则有 i ( a ，t ) = l n ( x ( a ) ，z ；) r ( 入，) ( t z )( 3 2 6 ) 以及 以( o ，亡) 5 兰蚁( a ，) = 厶( x ，z ；t ) r ( o ，亡) ( t z ) ， ( 3 - 2 7 ) 其中 m = 毫再 ( 3 2 8 ) 证明：我们有 以( a ，t ) = 旦o ak 卉= p ( 糍) m = 砉 击( 黜) 佻 爨( 黜) 鹏 = 争( 端) m 。1 群崭娶( 黜) 佻 = l n ( x ( a ) ，z ；) ，( a ，t ) ( t z ) 这就证明了关系式( 3 2 6 ) 关系式( 3 2 7 ) 直接由关系式( 3 2 6 ) 可得 口 引理3 2 3 设中是( o ，6 ) 上的测度，_ 且当m i n l o 足够小，则有 秀( a + a a ，z ) = 蠢( 入，z ) = 0 ，i = 0 ，1 ，m 一2 这说明关于t 的多项式f ( a + a a ，) 一，( 入，t ) 与以( 入，) 均含有因子( 亡一z ) 一1 ， 所以关系式( 3 2 9 ) 和( 3 2 1 0 ) 成立而关系式( 3 2 i i ) 与( 3 2 1 2 ) 直接由关 系式( 3 2 9 ) 和( 3 2 1 0 ) 可得最后一个结论直接从关系式( 3 2 1 1 ) ，( 3 2 1 2 ) 与( 3 2 8 ) 中推出 口 引理3 2 4 设舡是( o ，6 ) 上的测度，且当m i n i 一 k 一 nm k = 1 时，p c ( 口，6 ) ，某个指数歹m 。固定设x 不，口满足 ，o ，n + l ( d t ，m ，m ；x ) = i 如，n ( x ，m ，m ，x ；t ) l d t u ( t ) ( 3 2 1 3 ) 则 厂6 幽坐必 亡) 咖( 亡) o ， ( 3 2 1 4 ) 厶t z ”一 、 其中q ( o ，亡) 为关系式( 3 2 1 2 ) d 尸所示 证明：由关系式( 3 2 1 3 ) l i m mi n + f 天1 6 i f ( ) 3 ( ) 一们s ( 0 m 蛇。 幂正交多项式的c h r i s t o f f e l 函数 找们友土见若 m i n ( i t 一“i ，i z x k l ，则s 【a ，t ) = s ( o ，让所以词0 0 将上式代入关系式( 3 2 1 4 ) 得 z 6c 耻掣眦) o ， 由此得 厂6 必型掣咖( 亡) o j 8 t z 一。一 下证关系式( 3 2 t t ) 同理可选z q + 1 ( 入) = 去，z ( 入) = x k ，p k q 让a _ 0 ，则z g + l = z n _ + 。o ，故有 r ( 0 ，t ) = 一m 什l 0 1 8 幂正交多项式的c h r i s t o f f e l 函数 同样可得 q ( o ，亡) = 一云m 口+ 1 6 m o 一2 = 一c 0 ， 即得 z 6 啦掣眦) 一。o 与z n + o 。必有其一成立，即p = 1 或g = 几成立； ( b ) 我们有 z 6 等等眦) _ 0 ，谢细( 3 2 1 s ) ( c ) x x p ，口 】9 硕士学位论文 证明：( a ) 假设结论不成立令2 p 口几一1 ，即有昂一，= 一o o ， m z 口+ 1 = + o 。】连 h ( a ，t ) = l n ( z ；) 【1 + m q + 1 a 1 2 一z ) 】唧一1 【1 一m p 一1 入1 2 ( 一z ) 】m 口+ 1 这里表示我们增加了两个零点 昂一1 q ) = z m 署1 a - 1 2 ， 和 z g + 1 ( 入) = z + m y - 一1 1 a 一1 2 则知 从( a ，t ) = 堕塑掣 1 郦习一五面1 2 a 1 1 a 而习 12 1 2 ( 一z )1 一m p 一12 ( 一z ) j 一赤嚣甥若群警i 黼a 禹2 【l + m 口+ 1 入12 ( t z ) 】【1 一m p 一12 ( 亡一z ) 】。 所以 以( o ，亡) = 一主嘶一t m 口+ ( 一+ 仇口+ ) k ( z ；t ) ( 亡一z ) 2 这说明由关系式( 3 2 7 ) 有 r ( o ，t ) = 一三m p l m 口+ 1 ( 嘶一l + m 州) ( 亡一z ) 且由关系式( 3 2 1 2 ) ，知 q ( 叭) = 刁1 ( 一一+ 1b ( 叭) 一互1 唯t m 口+ 1 ( 啦一+ + 1 ) 9 ( 叭) ( t 一妒 同时又由引理3 2 3 可知，q ( o ，t ) 是关于的多项式，故不难得出d e g q 1 因此可写q ( o ，t ) = c l ( t z ) + c 2 这时由关系式( 3 2 3 ) 有 g = 舰墨= 一刍嘶一。咻。( 呤- + m 口+ ) 6 m 十2 o 厶( 一z 七) 一z ) “r r 7 二- 一 同理，可选( a ) = 钆一a ，研( a ) = ，k ，我们有 ( 6 t 辫醐) 0 ，以( 一z ) ( 一z ) ”p r 7 ：v 故关系式( 3 2 1 8 ) 成立故结论( b ) 得证 硕士学位论文 i i i ( c ) 反设此结论不成立令z 七一1 z 七= = x r z 件l ，p k r g ( 一z o = z n + 1 = o o ) 这时令e = s g n 一x k ) ，且 ( 入，t ) = l n ( z ；t ) 1 - c 删2 ( 羞) r 此即有两零点分别为 z 知( a ) = t x k - - 石e m 两r ) 、矿l 2 x ， 1 + e 叫2 ( 等x k ) r 珥( a ) = 。r + e m 七a 1 2 z 1 + e m 七a 1 2 容易验证当入足够小时，有z 七( a ) 珥( 入) 设m a x ( m r 入1 2 , m 七a 1 2 ) x k 时有 z 知( 入) = z r = x 丽- - x k z 一赫= 当z x k 时有 z 奄( 入) = z + 赫 z + 南= 故z 知( a ) z ，( 爻) 又 所以 研( 入) ， 孙( 入) 以( 入，t ) = 扣m r a - l 2 h ( ) t - x ：) ”酬2 ( 鼍) - l - 1 e 叫2 ( 鼍) 1 ) = - - m 1m ( 咐吣t ) ( 兰) 2 1 + e m k a l 2 ( 鼍) 1 _ c 卅2 ( 鼍) 帆归一p 1 m r ( 佻+ m r ) 她) ( 鼍) 2 2 2 幂