（应用数学专业论文）fredholm型积分微分方程的小波解法.pdf

摘要 小波分析是近年来国际上一个非常热门的前沿研究领域，是继f o u r i e r 分析之后的一个突破性 进展，它给许多相关领域带来了崭新的思想，提供了强有力的工具，在科技界引起了广泛的关注和 高度的重视小波变换克服了传统f o u r i e r 变换的不足，在时域和频域都具有良好的局部化特性小 波在数值分析、信号处理、图像处理等领域有重要的应用价值本文研究了小波方法在f r e d h o l m 型积分微分方程数值求解中的应用主要：i ：作如下： 1 - 利用l e g e n d r e 小波g a l e r k i n 方法将第一类f r e d h o l m 积分方程转化为线性方程组，对佗+ 1 个不同的正则化子分别利用t i k h o n o v 正则化方法求解，得到了n + 1 组不同的稳定解然后应用 n e w t o n 插值公式求得了正则化子为零时积分方程的最佳稳定解数值算例表明，我们方法是非常 有效的 2 介绍了l e g e n d r e 小波的性质，并运用它们将线性f r e d h o l m 积分微分方程组转化为代数方 程组来求解最后通过数值算例并与文献 4 1 】进行了比较，结果表明，我们给出的方法更有效 3 利用有理h a a r 小波求解了一般的佗阶f r e d h o l m 积分微分方程文中首先介绍了有理 h a a r 小波的性质，然后利用它们将方程转化为代数方程组求解最后给出了一些数值算例来验证 方法的有效性 关键词i 小波分析，积分方程，积分微分方程，g a l e r k i n 方法，积分算子 a b s t r a c t w a v e l e ta n a l y s i si so n eo ft h em o s tp o p u l a rf i e l d si ns c i e n c er e s e a r c hr e c e n d y , w h i c hh a so f f e r e d ap o w e r f u lt o o la n dh a sb r o u g h tt h en e wi d e a st os o m eo ft h ec o r r e l a t i v es u b j e c t s w a v e l e ta n a l y s i s i sab r e a k t h r o u g hp r o g r e s sa f t e rf o u r i e ra n a l y s i sa n dh a sc a u s e dt h ee x t e n s i v ec o n c e r ni ns c i e n c ea n d t e c h n o l o g y w a v e l e ta n a l y s i st h e o r yi saa r i s e ns c i e n c ew h i c hw a sa p p l i e de x t e n s i v e l yt oe v e r yd o m a i n w a v e l e tt r a n s f o r m sc o m p l e m e n tt h es h o r t c o m i n g so ff o u r i e r - b a s e dt e c h n i q u e sb e c a u s eo ft h e i rf l e x i b l e t i m e f r e q u e n c yw i n d o w s w a v e l e t sa l ew i d e l ya p p l i e di nn u m e r i c a la n a l y s i s ，s i g n a lp r o c e s s i n g ，i m a g e p r o c e s s i n ga n ds oo n i nt h i sp a p e r , t h ea p p l i c a t i o n so fw a v e l e t sm e t h o di ns o l v i n gf r e d h o l mt y p ei n t e g r a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r es t u d i e d t h em a i nw o r ko ft h i sp a p e ri sa sf o l l o w s 1 l e g e n d r ew a v e l e t sa r eu t i l i z e da sab a s i si ng a l e r k i nm e t h o dt or e d u c ef r e d h o l mi n t e g r a le q u a - t i o n so ft h ef i r s tk i n dt oas y s t e mo fl i n e a re q u a t i o n s ，a n dt h et i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o nm e t h o di sa p p l i e d r e s p e c t i v e l yo ns o l v i n gt h es y s t e mw i t hn + 1d i f f e r e n tr e g u l a r i z i n gf i l t e r s t h e nt h eb e s ts t a b i l i t ys o l u t i o n o ft h ei n t e g r a le q u a t i o ni so b t a i n e db yu s i n gn e w t o ni n t e r p o l a t i o nf o r m u l aw h e nt h er e g u l a r i z a t i o nf i l t e r e q u a l st oz e r o n u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h a tt h i sa p p r o a c hi sv e r ye f f e c t i v e 2 n ep r o p e r t i e so fl e g e n d r ew a v e l e t sa r ei n w o d u c e da n da r eu t i l i z e dt or e d u c es y s t e mo fl i n e a r f r e d h o l mi n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n st oas e to fa l g e b r a i ce q u a t i o n s ，w h i c hm a k i n gt h em a t r i xs p a r s e i nt h ee n d ，s o m en u m e r i c a le x a m p l e sa l eu s e dt ov e r i f ye f f i c i e n c yo ft h i sm e t h o dc o m p a r e dt oo t h e r m e t h o d s 3 r a t i o n a l i z e dh a a rw a v e l e t sa r eu s e dt os o l v eg e n e r a ln t h o r d e rf r e d h o l mi n t e g r o - d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h ep r o p e r t i e so fr a t i o n a l i z e dh a a rw a v e l e t sa r ei n t r o d u c e d a n da r eu t i l i z e dt or e d u c en t h - o r d e ri n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n st oas y s t e mo fa l g e b r a i ce q u a t i o n s f i n a l l y , s o m en u m e r i c a le x a m p l e s a r eg i v e n k e yw o r d s ：w a v e l e ta n a l y s i s ，i n t e g r a le q u a t i o n s ，i n t e g r a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，g a l e r k i nm e t h o d ， i n t e g r a lo p e r a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示了谢意 研究生签名：畦 i - i ：工| 9 年s 昆b 莱于学位论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存、汇编学位论文同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学 位论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生签名： 导师签名： 时 间：山辟多月1 日 时 间：咖年月f 日 宁夏大学硕 ：学位论文第一章绪论 1 1 小波分析的产生和发展 第一章绪论 小波分析( w a v e l e ta n a l y s i s ) 是近年来国际上一个非常热门的前沿研究领域，是继傅里叶 ( f o u r i e r ) 分析之后的一个突破性进展，它给许多相关领域带来了崭新的思想，提供了强有力的工 具，在科技界引起了广泛的关注和高度的重视从数学角度看，小波分析属丁调和分析的范畴，它是 泛函分析、调和分析、数值分析、函数逼近论和傅里叶分析等基础上发展起来的一种新的时频分 析方法【1 1 小波变换克服了传统f o u r i e r 变换的不足，在时域和频域都具有良好的局部化特性，而 且由于它对高频采取逐渐精细的时域步长，从而可以聚焦到被分析信号的任意细： 了，因此它被誉为 “数学显微镜”【2 ，3 1 随着小波理论的不断完善，它的应用领域也越来越广泛【4 1 1 1 1 小波分析的产生 长期以来，在各种信号数据的处理方面，特别是在频谱分析和各种滤波方法中，最基本的丁具 是f o u r i e r 分析【5 】对于信号，( t ) ，它的一个重要特征就是它的频率特性( 或谱) ，在数学上就是，( t ) 的f o u r i e r 变换 一、，+ ，( u ) = f ( t ) e 一龇d t 。 ，一o o 由f o u r i e r 逆变换公式 1 ，l + 一、 f ( t ) = 石j k ，( u ) e w 。d w l i t ，一o o 知道由一个信号的谱可以完全确定这个信号所谓频谱分析、滤波等信号处理方法，简单说来就 是对，) 的分析、加t 的种种技巧长期以来，这方面己发展了一套内容非常丰富、在许多实际 问题中行之有效的方法但是由于傅里叶变换，) 是将函数( t ) 按照函数系 e “ 。r 展开，而 l e 讪l = 1 ，所以，) 只能刻划f ( t ) 在整个时间域( 一0 0 ，+ o o ) 上的频谱特征，而不能反映出信号在 时间的局部域上的频率特征为了研究信号在局部范围的频率特征，d g a b o r 在1 9 4 6 年引进了“窗 口傅里叶变换”( w i n d o wf o u r i e r t r a n s f o r m ) 的概念他的工作是取定一个函数9 ( t ) ，称为窗e l 函 数，它在有限区间外恒等于零( 即紧支集) ，或很快趋于零用g ( t r ) 乘以，( t ) ，相当于在7 附近开 了一个“窗e l ”，称为信号f ( t ) 关于窗e l 函数夕( t ) 的窗e l 傅里叶变换或g a b o r 变换由定义可见 g a b o r 变换确实能反映出信号f ( t ) 在任意局部范围的频谱特性而且，由于有反演公式，这里的窗 口函数满足一定的标准化条件这是它比傅里叶变换的优越之处但是g a b o r 变换窗口的形状与大 小、频率无关，保持不变这不符合实际问题中变换窗口大小应随频率而变的要求而且不论如何 离散化均不可能使g a b o r 变换成为一组正交基由于上述缺点，g a b o r 变换朱能得到广泛应用与进 一步发展 小波变换则继承和发展了g a b o r 变换的局部化思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化、 缺乏离散正交基等缺点，是比较理想的对信号进行局部分析的数学工具比如地震法探矿的时候 关键一步就是看对收集来的信息是否有合适的信号分析方法，傅里叶分析在此不是一个好方法，它 仅能提供频率信息( 组成信号的弦波) ，而并没有给出某个正弦波发生的时间另外一个方法一短 时傅里叶分析还会好一些，然而由于用这一方法时时间间隔不可调，所以那些持续时间非常短的、 频率很高的脉冲信号的发生时刻难以监测到而此时用小波分析就好多了，小波可以跟踪时间和 频率信息，它可以“近看”前面所提到的短时脉冲，或者“远眺”以检测长时慢变波 1 1 2 小波分析的发展历程 小波分析的发展历史最早可追溯到1 9 1 0 年a l f r e dh a a r 利用伸缩平移思想构造了第一个规范 正交小波基，即h a a r 系【6 1 不过当时还没有“小波”这个概念1 9 4 6 年g a b o r 提出的加窗f o u r i e r 变换( 或称短时f o u r i e r 变换) 对弥补f o u r i e r 变换的不足起到了一定的作用，但并没有彻底解决这 个问题1 9 7 4 年，法国地球物理学家j m o r l e t 和a g r o s s m a n 第一次把“小波”用米分析地震数据， 并提出了小波分析的概念，但当时未能得到数学家的认可1 9 8 1 年，j s t r j m b e r g 对h a a r 系进行了 改进，构造了一组具有指数衰减且有限次连续可微的正交基【7 1 与此同时，计算机视觉专家d m a r r 在他的“零交差”理论中使刚了可按“尺度大小”变化的滤波器算子，即现在称为“墨两哥帽” 小波也是这一时期有名的一i ：作之一真正的小波热潮开始于1 9 8 6 年，y m e y e r 在怀疑小波基的存 在性时成功地构造了第一个真正的小波基之后，e l e m a r i e 和g b a t t l e 分别独立地构造出具有指 数衰减的光滑小波，其伸缩和平移产生的函数系构成了三2 ( r ) 的标准正交基再后来，s m a l i m 8 1 和y m e y e r 0 1 提出了多分辨分析( m r a ) 理论，统一了在此之前提出的各种具体的小波构造方法 同时。s m a l l a t 还在多分辨分析的基础上，给出了离散小波的数值算法，即现在的m a l l a t 分解和重 构算法【l o 】值得一提的是比利时数学家i d a u b e c h i e s 从离散滤波器迭代方法出发构造出具有有限 支撑的正交小波基和对称的双正交小波f l l l ，为以后正交小波的构造设定了框架其撰写的 t e n l e c t u r e so nw a v e l e t s ) ) 【1 2 】更是对小波的普及起了重要的推动作用1 9 9 0 年c k c h u i 和王建忠基 于样条函数构造出单正交小波函数，并讨论了具有良好局部化性质的尺度函数和小波函数的构 造方法【1 3 ，1 4 1 1 9 9 2 年3 月国际性综合杂志i e e e 信息论汇刊发表小波分析及其应用专刊，较全 面展现了当时小波分析理论和应用的发展情况从1 9 9 2 年开始，小波分析方法进入全面应用阶 段1 9 9 3 年，一份专门刊载小波理论和应用发展的国际刊物“a p p l i e da n dc o m p u t a t i o n a lh a r m o n i c a n a l y s i s ”在美国正式创刊，标志着小波分析理论研究进入到新的阶段在前一阶段的基础上，尤 其是s m a l l a t 分解和重构算法的简便可行，使小波分析迅速波及科学研究和工程技术应用的几乎 所有领域 现在，小波分析在各领域的应用可以说是日新月异，在许多领域已经取得了较好的成果，例如， 在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、方程求解、控制论等；在 信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等；在图像处理方面的图像压缩、分类、识别与诊断， 去污等；在医学成像方面的减少b 超、c t 、核磁共振成像的时间，提高分辨率等但是它仍然存在 许多不完善之处首先，一维小波理论比较完善，但高维小波理论的发展相对滞后其次，虽然小波 基的构造理论已经建立，但是实际构造小波基仍存在许多困难再次，如何选取最优小波基仍然没 有建立统一的规范【1 5 ，l6 1 最后，小波分析在数学方面已经取得了较好的成果，但是在数值分析、 构造快速数值算法、积分方程和微分方程的求解仍然有很人的发展空间和发展前景 2 1 2 积分微分方程 1 2 1 积分方程 积分方程作为数学科学的一个分支，是在十九世纪三、四十年代开始发展的，最初只是作为微 分方程的另一种阐述方式积分方程和微分方程一样，起源于物理问题积分方程的初次出现，是 在1 8 2 3 年n h a b e l 提出的一个关于在地球引力场中的质点下落问题，即a b e l 型积分方程 厂 些：t ( 危) 厶v 2 9 ( h - x ) u ”p 1 8 2 8 年，g g r e e n 在研究位势理论时得到了第一类积分方程，并且发现了某些微分方程的解可以通 过求解积分方程得剑而“积分方程”这个名称是由e d ubr e y m o n d 第一个提出的i f r e d h o l m 结 合积分方程的相关研究思想，系统地研究了积分方程理论他提出了如下形式的积分方程 ，1 1 秒( z ) + a 七( z ，t ) y ( t ) a t = ，( z ) ， 并且给出了f r e d h o l m 第一定理和f r e d h o l m 第二定理，与此同时v v o l t e r r a 在研究生态平衡问题时 提出并讨论了积分上限可变的积分方程，即v o l t e r r a 方程，这两类方程构成了积分方程理论的重要 基础 积分方程作为一种重要的数学工具，其具有三个特点：第一，在一定的初始条件和边界条件下 微分方程的初值和边值问题可以化为积分方程来求解，在讨论解的存在性和唯一性等问题中利用 积分方科形式十分简洁方便第二，积分方程或微分方程在大多数情况下都没有精确解，只能通过 数值解法来求其近似数值解，通常积分方程形式求解得到近似解的相对误差较小，能得到较好的 近似解第三，将一定区域上的微分方程转换为积分方程后可以降低方程的维数，从而提高计算效 率积分方程在许多t 程和科学领域都有广泛的应用，如机械力学、生物力学、流体力学、振动理 论、统计学、热力学等等 1 7 , 1 8 】，随着计算机科学的发展，积分方程的应用范围也越米越广泛 1 - 2 2 积分一微分方程 积分一微分方程是指既含有未知函数的导数又含有未知函数的积分的方程，它是继积分方程和 微分方程之后出现的义一个新的数学分支 由丁科学技术的不断发展，在生物学、生物医学、经济学、航空航天科学以及自然科学等领 域逐渐出现了大量的积分一微分方程较早出现的最典型的积分微分方程是 j 耖( z ) + 后e 2 扛卅) 7 ( t ) d t = e 缸， i 耖( o ) = 0 ，y ( o ) = 1 这方面较详细的：i ：作总结在1 9 6 0 年出版的专著【1 9 l 中随着小波分析理论的逐渐完善，越来越多的 人开始川小波基米求解各种形式的积分一微分方程的数值解，由于所选的小波具有正交性、紧支撑 性和对称性的特点，使得在求解它们的数值解时，收剑了良好的效果 3 1 3 小波在积分微分方程数值求解中的应用 在数学领域，小波分析是数值分析强有力的工具，由于正交小波基具有良好的性质，在函数逼 近方面符合泛函中最佳一致逼近，所以它在求解积分微分方程中得到了j “泛的应用小波数值法 的特点在于对一般的方程可以通过化积分微分方程为代数方程组来求解，同时由于小波具有正交 性、局部紧支撑性和矩消失性等良好性质 2 0 i ，用小波函数做基底将积分微分方程离散化所得方 程组的系数矩阵是稀疏的，这是应用小波求解积分微分方程的最大优点在这方面许多学者做了 大量的研究工作，如：km a l e k n e j a d ，s s o h r a b i 2 z 】给出了第一类f r e d h o l m 积分方程的l e g e n d r e 小 波方法m k m a l e k n e j a d ，em i r z a e e 应用有理h a a r 小波求解了线性积分方程【2 2 1 yo r d o k h a n i 也利用有理h a a r 小波求解了非线性v o l t e r r a - f r e d h o l m h a m m e r s t e i n 积分方程【2 3 1 c c a t t a n i ，a k u d r e y k o 应用h a r m o n i c 小波求解了第二类f r e d h o l m 积分方程【2 4 1 m r a z z a g h i ，yo r d o k h a n i 推 导了有理h a a r 小波的积分算子矩阵p ，并求解了微分方程的数值解【2 引d w p r a v i c a 在小波基下 研究了微分方程1 2 6 1 a a v u d a i n a y a g a m ，c v a n i 利用小波g a l e r k i n 方法求解了积分一微分方程【2 7 1 h a nd a n f u ，s h a n gx u f e n g 通过c a s 小波的积分算子矩阵求解了积分一微分方程【2 引l i ug u o j a n 等 研究了d 维连续多尺度小波与积分微分方程的关系【2 9 1 m t a v a s s o l ik a j a n i 应用s i n e - c o s i n e 小波 求解了线性积分一微分方程【删a r v a h i d i 等【3 l 】利用c a s 小波求解了f r e d h o l m 型积分微分方 程c c a t t a n i 研究了积分微分方程的s h a n n o n 小波方法【3 2 】等等 与此同时也产生了小波有限元方法 3 3 1 ( w a v e l e tf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) ，小波边界元方法【3 4 】 ( w a v e l e t e d g e e l e m e n t m e t h o d ) ，极人地丰富了数值分析方法的内容 1 4 本文的主要工作 本论文在详细论述了小波分析理论的基础上，研究了小波在f r e d h o l m 型积分微分方程数值求 解中的应用具体内容如下： 第一章绪论部分综述了小波产生的背景，小波研究和应用的现状及前景简要阐述了积分微分 方程研究的概括，介绍了小波在积分微分方程数值求解中的应用 第二章介绍了小波分析的基本理论包括小波的定义、小波变换的不同形式、多分辨分析理 论及m a l l a t 算法为后面使用它奠定了理论基础 第三章利用l e g e n d r e 小波g a l e r k i n 方法将积分方程转化为线性方程组，对礼+ 1 个不同的正 则化子分别利用t i k h o n o v 正则化方法求解，得到了佗+ 1 组不同的稳定解然后应用n e w t o n 插值 公式求得了正则化子为零时积分方程的最佳稳定解数值算例表明，给出的方法是非常有效的 第四章介绍了l e g e n d r e 小波的性质，并运用它们将线性f r e d h o l m 积分微分方程组转化为代 数方程组来求解最后通过数值算例并与文献【4 1 】进行了比较，结果表明，我们给出的方法更有效 第五章利用有理h a a r 小波求解了一般的佗阶f r e d h o l m 积分一微分方程文中首先介绍了有理 h a a r 小波的性质，然后利j h j 它们将方程转化为代数方程组求解最后给出了一些数值算例米验证 方法的有效性 文章最后是结论与展望对本文j f ：作进行总结的基础上，对尚待研究的问题进行了展望 另外，文中所给数值算例采用m a t l a b 7 1 进行编程计算 4 宁夏大学硕 ：学位论文第- 二章小波分析的基本理论 第二章小波分析的基本理论 2 1 小波与小波变换 本节先介绍小波的定义，然后给出了小波的不同变换形式，即连续小波变换、离散小波变换和 二进小波变换 2 1 1 小波的定义 顾名思义，“小波”就是小的波形所谓“小”，是指它的衰减性，比如局部是非零的；而称之 为“波”，是指它的波动性，即其振幅呈正负相同的振荡形式 小波有各种不同的定义【l 一其一般定义为：若一个小波是l 2 ( r ) 中的一个函数妒，它的 + o o f o u r i e r 变换芗) 几乎处处满足条件i 万( 2 一u ) 1 2 = 1 j = - o o 从短时f o u r i e r 变换给出小波变换的定义式取窗口函数为妒d 加( t ) = l a l 一圭妒( 警) ，假定 ，i + o o 、 砂( z ) 如= 0 ，则定义 和 ( 唰6 ) 计圭e 巾) 稻t - b 出 ( 2 一1 ) ( 雠) ( 口6 ) ：_ l 知i _ 卫c 巾) 瓦a o m t - n b o ) d t o n b o ) d t ( 2 _ 2 ) ( 雠，。，) ( 口，6 ) ：= 一号 巾) 妒 ( 2 2 ) ，一 此外还存在着许多不同类型的小波变换，但都是由( 2 1 ) 和( 2 2 ) 得来的 2 1 2 连续小波变换及其性质 定义2 1 【1 j 设妒l 2nl 1 ，且矿( o ) = 0 ，则按如下方式生成的函数族 c a , b ) c a , b ( 垆i n i 嘞( 等) ，n r _ 0 ”r ，( 2 - 3 ) 叫分析小波或连续小波，则妒( z ) n q 基本小波或母小波 定义2 2 1 1 】设妒是基本小波， c a , 6 ) 是按( 2 3 ) 给出的连续小波，对，l 2 ，信号，的连续小 波变换( 6 ，a ) 定义为 慨n ) - = i 口i 一言上m ) 妒( 譬) 妞 ( 2 4 ) 5 宁夏人学硕j ：学位论文 第二章小波分析的基本理论 定义2 3 【1 1 设妒三2 n l l 且满足 郇：厂巡业础 0 ) ，整数倍离散化 b ，b = n b o n 舻，m ，几z ，a o 1 ，b o 0 是固定的，则连续小波离散化为 ，。( z ) = 口i 詈妒( 学) = 口i 号砂( n i m z 一咖) ( 2 8 ) 6 宁夏人学硕j ：学位论文 第二章小波分析的基本理论 当基小波n ：m ，佗z 构成一个框架，即存在0 a b + o o ，使得 a l l ：l l ；i 1 2sb i i ：i i ；，( 2 - 9 ) m n 对所有的，l 2 ( r ) 均成立，才能由 得到，的一个数值稳定的重构算法 其中妒m ，竹( z ) 是妒m ，n ) 的对偶 2 1 4 二进小波变换 ，( z ) = 死，。( z ) ， m n ( 2 一1 0 ) 定义2 4 【1 l 设函数奶，k ( t ) l 2 ( r ) ，如果存在两个正常数a 与b ，且0 a b 0 是一个固定常数，称为抽样速率，则 妒6 0 j ，七( z ) = 2 ：z 砂( 2 j x k b o ) ( 2 11 ) 被称为离散化小波变换，而函数序列 - ，) 七z 被称为，的二进小波变换，其中- ，( z ) = ，宰妒。t ( z ) = 去上，( t ) 妒( 可x - t ) 出任给一，l 2 ( r ) ，其小波变换用 ( v ，) ( 幻，七，a j ) - - - - - ( 2 1 2 ) 给出，则 其中 ，( z ) = ，七( z ) ， ( 2 1 3 ) j ，k e z ，”( z ) = m ，喇，七舭( z ) ，埘，嘶，七= j ，k 二进小波不同于连续小波和离散小波，它只是对尺度参数进行了离散化，而对时间域上的平移 参量保持连续变化，所以不破坏信号在时间域上的平移不变量因此，若信号，( z ) 具有某种性质， 对应的- ，( z ) 也具有这种性质 2 2 多分辨分析及m a l l a t 算法 7 b 一 一砂 董一 一 a 宁夏人学硕l ：学位论文第一二章小波分析的基本理论 2 2 1 多分辨分析( m r a ) 多分辨分析是m a l l a t 和m e y e r 提出的，它的主要思想是将l 2 ( r ) 按分解率为 2 一j ) 分解为 一串嵌套子空间序列 v j ，再通过正交补的塔式分解，将l 2 ( r ) 分解成一串正交小波子空问序列 然后将l 2 ( r ) 中的函数，( t ) 表示成一系列近似函数的逼近，其中每一近似函数都是，( t ) 在不同分辨率子空间上的投影，通过这些投影来研究和分析( t ) 在不同子空间上的性态及特征 正因为用这种方法来分析和研究函数，所以把它称为多分辨分析 定义2 5 【2 】厶2 ( r ) 的一个多分辨分析是指满足下列条件的l 2 ( r ) 空间的一列子空间 v j b z ( 1 ) 一致单调性：cu lcv oc c ： ( 2 ) 渐近完全性：u 巧= l 2 ( r ) ，nv j = o ) ； j e zj e z ( 3 ) 伸缩规则性：，( z ) 巧铮( 2 z ) 巧+ 1 ，v j z ； ( 4 ) r i e s z 基存在性：存在函数 p ( z 一佗) ) 。z 构成的r i e s z 基，即存在0 a ，b + 。o ， 使得对v ，均能唯一地分解为 其中 + 0 0 ，( z ) = 口( z 一礼) ， + ( 3 0 a 川2 i 一。 一 若是存在( z ) v o ，使得 一七) ) 膏z 构成v o 的标准正交基，即存在使得 几乎处处成立，则称为正交尺度- m 数，相应地，称咖生成l 2 ( r ) 的一个正交多分辨分析 定理2 2 司设 ) j z 是由尺度函数生成的多分辨分析，则对任意歹z ，函数集 九七( z ) = 2 j 2 妒( 2 j z 一七) ) 七z 是巧的标准正交基 定理2 3 3 1 设 巧) j z 是由尺度函数咖生成的一个多分辨分析，则下述两尺度方程成立 咖( z ) = 以h k ( 2 x 一七) ， ( 2 1 4 ) k 6 z 冥中 ，+ 0 0 h 七= 以( z ) ( 2 z - k ) d x ( 2 1 5 ) - ，一o o 在实际应用中，常把两尺度方程( 2 1 4 ) 中的系数 h k k z 称为滤波器系数实际上，在信号滤 波中， 忘) 七z 是一个低通滤波器系数，即让低频信号通过 在多分辨分析 巧) j z 中，尺度函数砂生成每个逼近空间巧的一组标准正交基 九七( z ) = 2 佃一 b 一 2 n z国 岛 佃一 l = 2 丌佗2 + 认 佃一 2 j 2 ( 2 j z 一) ) 七z 由于巧c 巧+ 1 ，即这些空间v j 不是彼此正交的，它们的基底 咖m j e z ，k e z 不能作为l 2 ( r ) 的一组正交基为了寻找l 2 ( r ) 的一组正交基，我们讨论巧在巧+ 1 中的正交补 空间w j 及小波函数妒的构造由两尺度方程( 2 1 4 ) ，即 定义小波函数为 其中 ( z ) = 扼h k ( 2 x 一七) ， ( 2 1 6 ) k e z 妒( z ) = 讵g k ( 2 x 一七) ， 七z g k = ( 一1 ) 七瓦1 一七 在实际应用中，常把鲰称为高通滤波器系数 记 奶( z ) = 2 j 1 2 妒( 2 j x 一七) ，k z ， 令是由 咖七) 七z 张成的线性空间，则有如下结论 定理2 4 3 1 是巧在+ 1 中的正交补空间，即 巧+ l = 巧。嵋，j z ， 且 奶七( z ) ) 知z 是w j 的标准正交基 由此我们可以得到 巧= 嵋一t0 巧一- = 一t0 一z 一。 = 一t 一2 0 一3 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 一1 9 ) 由于当j 一+ o 。时，b _ l 2 ( r ) ，所以可以得到如下定理 定理2 5 【3 】设 巧b z 是由尺度函数生成的多分辨分析，是巧在巧+ l 中的正交补空间， 则有 l 2 ( r ) = 0 肌。0 肌ow o 肌= 0 j e z 即，对任意函数，l 2 ( r ) ，有惟一分解 ，= 魄帆， b z 且 = 0 ，k 1 或等价地， 仍七) j ，七z 是l 2 ( r ) 的标准正交基 9 宁夏人学硕j j 学位论文 第二章小波分析的摹本理论 2 2 2m a l l a t 算法 由前面的分析知，假设，是要处理的实际信号，可看作，三2 ( r ) ，但我们测得的信号厶只是 实际信号，的一个近似，设乃y j 由于 e j k ( = ) k e z 是的标准正交基，故有 用奶七- q 上式两端作内积，得 办( z ) = 勺砌七( z ) ( 2 2 0 ) k 6 z c s k = ( 2 - 2 1 ) 由于巧= 巧一1o 一1 ，且巧一l 上一1 ，所以 奶一1 ，七( z ) ) 知zu 如一1 ，七扛) ) 七z 也是巧的 标准正交基，故有 j ( z ) = 勺一1 ，七奶一1 ，七扛) + 嘭一l ，七奶一l ，七 ) ( 2 2 2 ) k e z七z 再分别用呜一l ，七和奶一1 ，七与上式两端作内积，得 及 勺一1 ，七= ， 呜一1 ，七= 一般称勺七为尺度系数，称嘭七为小波系数 下面找出尺度系数勺七和勺一1 ，知之间的关系 将两尺度方程( 2 1 6 ) 式写成一般形式 将( 2 2 5 ) 式代入( 2 2 3 ) 式，得 由( 2 2 1 ) 式，得 奶- l ，七( z ) = n 诎幻。( z ) ， n 6 z c j l ，奄= ( 厶，h n - 2 k 砂j n ) = 瓦一2 知 ， n zn e z 勺- 1 七= 瓦抛勺n n e z 类似地，将( 2 1 7 ) 式写成一股形式 奶一l ，七( z ) = 鲰一2 知咖n ( z ) ， n 6 z l o ( 2 - 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 宁夏人学硕l 学位论文第二章小波分析的基本理论 代入( 2 2 4 ) 式，并利用( 2 2 1 ) 式，可得 嘭- l 七= 瓦磁勺n n e z ( 2 - 2 8 ) 公式( 2 2 6 ) 和( 2 2 8 ) 就是著名的m a l l a t 分解算法 下面考虑相反的过程，即由( 2 2 2 ) 式求出( 2 2 0 ) 式将两尺度方程的一般形式( 2 2 5 ) 式和 ( 2 - 2 7 ) 代入( 2 2 2 ) 式，得 乃( z ) = 勺_ l 七九n 诎奶。( z ) + 奶_ l 七鲰锄九。( z ) 七zn e g k e z= e z 将上式两端与奶。( z ) 作内积，并注意 咖七( z ) ) 七z 是标准正交的以及( 2 2 1 ) 式，得 c j n = h n - 2 k c j - l 七+ 鼽埘吗_ l 詹 k e zk e z ( 2 - 2 9 ) ( 2 2 9 ) 式就是m a l l a t 重构算法 在实际计算中，只有有限个饥非零，不妨设h o ，h l ，h m l 非零，其它h 七都为零，并且由 ( 2 1 8 ) 式知，只有9 2 一m ，仍一m ，9 0 ，9 l 非零，其它鲰都为零从而m a l l a t 算法可写为如下形式 分解公式： ，2 k + m - - 1 i 勺- l 七= 瓦一2 k c j 。， ”- - - 2 k 2 k + l ( 2 3 一u ) 、 ； l l d j “知=瓦- 2 k c j n 重构公式： 【= 2 j【( n + m 1 ) 2 j c j n = h , , - z k c j _ l 知+ 9 n 地呜1 七 ( 2 3 1 ) 七= r ( n m + 1 ) 2 1七= r n 2 1 这里，用l z j 表示不超过z 的最大整数，用f z l 表示不小于z 的最小整数 2 - 2 3 紧支集小波 若咖( z ) 是m r a q ，紧支集的母函数，则由此构成的正交小波基的母函数亦将是紧支集的此时 只需作适当的平移变换即可将两尺度方程写成 _ ( t ) = ( 2 t 一佗) ( 2 3 2 ) n - - - 0 方程有解，且其解成为正交母函数的条件很重要，关于这一问题有如下定理 n n 定理2 6 【2 】设有两尺度方程( t ) = ( 2 t 一佗) ，设m ( z ) = 吉c n z ”，若m ( z ) 可写成 n = 0n - - - 0 宁夏人学硕十学位论文 第一二章小波分析的基本理论 m ( 名) ：( 生箬) l q ( z ) ，这里q ( z ) ：壹矿( 8 - - - - n l ) 且满足 。 j = o ( 1 ) 彩= 1 ， j = 1 ( 2 ) s u p l z l = l i q ( z ) i 0 ，它的选择明显影响到最终解的误差水平或求解的稳定性 当q 尽可能大时，求解越稳定但精确性越差；当口充分小时，求解越趋于精确但稳定性越著；