（基础数学专业论文）素数幂阶子群与有限群结构的研究.pdf

广西大学硕士学位论文素敷幂阶干拜与有限群结构的研究 i 素数幂阶子群与有限群结构的研究 摘要 讨论有限群g 的结构和性质时，我们常常借助于其子群的性质众所周 知，有限群的素数幂阶子群在有限群理论的研究中起着极其重要的作用本 文的主要目的，是研究f i t t i n g 子群，广义f i t t i n g 子群的极小子群及s y l o w 子 群的某些极大子群对群结构的影响 全文的主要部分分为两个部分，具体安排如下t 第一章，介绍本文的历史背景及发展状况 第= 章，回忆苗龙、郭文彬在文某些准素群矗和可补的有限群( c o m m i na l g e b r a ，2 0 0 5 ，v 0 1 3 3 ，n o 8 ，2 7 8 9 - - 2 8 0 0 ) 中首次引人的只p 可补概念- 定义l 设，是一个群类群g 的子群日在g 中称为y - s - 可补的，如果 存在g 的子群k ，使得g = i i k 且k ( g n h o ) ，其中h o = n g i l g 是包 含在日中的群g 的最大正规子群此时耳也称为日在g 中的一个矗8 - 补 特别地，日在g 中称为超可解- s - 补的，如果存在g 的子群耳，使得g = h k 且k ( k n h c ) 超可解类似的，日在g 中称为尹幂零8 - 补的，如果存在g 的子群髟，使得g = i t k 且对于某个素数p ，k ( k n 丑| g ) 是p 幂零的 我们知道超可解s - 补子群和补子群是不同的 一方面，超可解s 补子群不是补子群 例如，设g 是阶为矿的循环群，其中n 1 易知g 是超可解的，g 有唯 一的极小子群x 且x 在g 中是超可解8 - 补的但x 在g 中是不可补的 另一方面，补子群不是超可解s - 补子群 例如，设g = z 5 & 易知磊在g 可补但& 磊n & 型& 不是超可解的 本章讨论部分子群的极小子群超可解争可补的有限群的结构，主要是利 用f i t t i n g 子群f ( c ) 取代原来的g ，推广了原有的已知结果进而再用广义 f i t t i n g 子群f ( g ) 取代f i t t i n g 子群f ( c ) 的方法，将结论中的t 可解性的假 设去掉，于是得到一系列有限群结构的刻划，最后利用f o r m a t i o n 理论将上述 结果作进一步的推广得到如下新结果。， 广西大学明士学位论文 素敷幂阶干群与有限群结构的研究 i i “ 定理a 设，是包含“的饱和群系，g 是一有限群则下面结论等价t ( a ) g 芦 ( b ) 存在g 的可解正规子群( 或正规子群) 使得g ，且f ( ) ( 或 f ( ) ) 的所有素数阶子群在g 中均有超可解8 - 补 本章节的主要内容已刊登在广西科学并 第三章，我们给出如下定义： 定义2 设d 是一p 子群p 的极小生成元个数，令m d ( 尸) = p l ，局) 是 。由朋( p ) 中的元素构成的集合，且满足n d _ ，只= 西( p ) 一t t t 已知l m c p ) l = 一1 ) ( p 一1 ) ，i 朋d ( 尸) i = d 且有 l i m 一1 加一1 ) l d = o o ， 因此i m c p ) i i m d ( p ) i 。4 本章节主要利用m 一( p ) 研究有限群的结构，很大程度上改进了一些最近的 相关结果我们得到t 定理b 对一有限群g ，下面结论等价， 。 ， ( a ) g 是超可解的 ( b ) 存在g 的正规子群日使得g i h 是超可解的且对日的任意s y l o w p ，对 某个固定的朋d ( p ) ，该集合的任一元素在g 中是o - 正规( 或拟正规嵌人) 的 。 9 ： 本章节的部分内容以“o nn o r m a l l ye m b e d d e ds u b g r o u p so fp r i m ep o w e r o r d e ri nf i n i t eg r o u p s ”为题目将刊登在c o m m i na l g e b r a ( 待发) 关键词；矗s - 补f i t t i n g 子群o - 正规子群岛拟正规函拟正规嵌人 子群p 幂零群饱和群系 + 分类号：0 1 5 2 1 ， ， 4 j j ，7 ， 童叁兰塑圭兰竺篓塞： 童丝圣墼兰量皇童堡矍竺塑竺竺塞i i i t h ei n v e s t i g a t l 0 no f p r i m ep o w e ro r d e rs u b g r o u p s a n dt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s a b s t r a c t t h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es u b g r o u p so faf i n i t eg r o u pga n dt h eg r o u pgi t s e l fh a s b e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e di nt h el i t e r a t u r e i ti sw e l lk n o w nt h a tt h ep r i m ep o w e ro r d e r s u b g r o u p sp l a yac r u c i a lr o l ei nt h ei n v e s t i g a t i o no ff i n i t eg r o u pt h e o r y o u ri n v e s t i g a t i o n f o c u s e so nt h ei n f l u e n c eo f m i n i m a l s u b g r o u p so f f i t t i n gs u b g r o u pa n dg e n e r a l i z e df i 位i n g s u b g r o u p ，s o m em a x i m a ls u b g r o u p so fs y l o ws u b g r o u p so nt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s t h ew h o l et h e s i s ，d i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s ，c o n t a i n st w op a r t s f o rd e t a i l ，龉t h e f o l l o w i n g ： i nc h a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n d sa n dt h ep r e s e n ti n v e s t i g a t i o n so ft h i s p a p e r i nc h a p t e rt w o 。w er o c a l lt h a tm i a ol a n do u o w f i r s t l yi n t r o d u c e dt h ec o n c e p to f 只8 - s u p p l e m e n ti n 。f i n i t eg r o u p sw i t hs o m ep r i m a r ys u b g r o u p s 只8 s u p p l e m e n t e d ” ( c o m m i na l g e b r a , 2 0 0 5 ，v 0 1 3 3 ，n o 8 ，2 7 8 9 - 2 8 0 0 ) 。 d e f i n i t i o n1 1 】l e t ，把口c l a s so fg r o u p s as u b g r o u ph 口，gi sc a l l e d ，s s u p p l e m e n t e di ng ，矿t h e r ee x i s t sas u b g r o u p 耳o ，gs u c ht h a tg = h ka n dk ( 耳n h a ) ，i nt h i sc e ，k 妇c a l l e d 3 r s s u p p l e m e n to f 日讥g p a r t i c u l a r l y , w ec a l lt h a thi ss u p e r s o l v a b l e - s s u p p l e m e n t e di ng 。f ft h e r ee x i s t sa s u b g r o u pk o fgs u c ht h a tg = h ka n dk 扶kn h a 、i ss u p e r s o l v a b l e s i m i l a r l y , hi s p 。n i l p o t e n t - s s u p p l e m e n t e di ng ，i ft h e r ee x i s t sas u b g r o u pko fgs u c ht h a tg = 日k a n d k ( kn ) i sp - n i l p o t e n tf o rs o m ep r i m ep w ec a l ls e et h a ts u p e r s o l v a b l e - s - s u p p l e m e n t e ds u b g r o u pi sd i s t i n c tt oc o m p l e m e n t e d s u b g r o u p o n e s i d e , s u p e r s o l v a b l e - s - s u p p l e m e n t e ds u b g r o u pi sn o tc o m p l e m e n t e ds u b g r o u p e x e m p l e ：l e tg b eac y c l i cg r o u po f 矿o r d e ra n dn 1 w ek n o wt h a tg i s s u p e r s u l v a b l e ，gh a su n i q u em i n i m a ls u b g r o u pxa n dxi ss u p e r s o l v a b l e - s - s u p p l e m e n t e d 纽g b u txi sn o n - c o m p l e m e n t e di ng 。 广西大学硕士学位论文素数幂阶子群与有限群结构的研究 i v 0 o nt h eo t h e rs i d e ，c o m p l e m e n t e ds u b g r o u pi sn o ts u p e r s o l v a b l e - s - s u p p l e m e - n t e ds u b - g r o u p e x e m p l e ：l e tg = z s xs 如w ek n o wt h a tz si sc o m p l e m e n t e di ng b u ts 4 z s n & 皇i sn o ts u p e r s o l v a b l e w es t u d yt h es t r u c t u r eo ft h eg r o u pw i t hm i n i m a ls u b g r o u p so fs o m es u b g r o u p 8 s u p e r s o l v a b l e - s - s u p p l e m e n t e d t h em a i nr e s u l t sa r et h eg e n e r a l i z a t i o n so fs o m er e c e n t r e s u l t si nt h i sf i e l dm a i l l l yb yr e p l a c e i n ggw i t hf i t t i n gs u b g r o u p f u r t h e r m o r e w er e - p l a c ef i t t i n gs u b g r o u pf ( g ) b yg e n e r a l i z e df i t t i n gs u b g r o u pp ( g ) f o rt h ep u r p o s eo f d e l e t i n gt h eh y p o t h e s i so f s o l v a b i l i t y o ft h ea b o v er e s u l t s b a s e do i lt h e s e ，w ei m p r o v e a n de x t e n dt h er e s u l t st os a t u r a t e df o r m a t i o ni n c l u d i n gt h ec l a s so fa l ls u p e r s o l v a b l e g r o u p sa n dh a v et h ef o l l o w i n gn e wr e s u l t s ： t h e o r e mal e t 芦b eas a t u r a t e d 伽a t i o nc o n t a i n i n g “a n dl e tg6 ca f i n i t eg r o u p t h e nt h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sn r 8e q u i v a l e n t ： ( g ， ( 6 ) t h e r ee x i s t sas o l v a b l en o r m a ls u b g r o u p ( r e s p e c t i v e l ydn o r m a l 咖嘞nd ，g s u c ht h a tg n ，a n da l lp r i m eo r d e rs u b g r o u p s0 1 f ( ) ( r e s p e c t i v e l yf + ( ) ) a r e s u p e r s o l v a b l e s - s u p p l e m e n t e d 讥g t h em a i nc o n t e n to ft h i sc h a p t e rh a sb e e np u b l i s h e di ng u a n g x is c i e n c e s i nc h a p t e rt h r e e w ei n t r o d u c et h ef o u o w i n g d e f i n i t i o n2l e tdb et h es m a l l e s tg e n e r a t o rn u m b e ro fap - g r o u pp w ec o n s i d e rt h e s e t a 4 d ( p ) = p 1 ，p d ) o fa l le l e m e n t so fl c t ( p ) s u c ht h a tn 冬1 只= 圣( p ) w ek n o wt h a ti 。m ( p ) l = ( p 4 1 ) ( p 一1 ) ，i j d ( p ) l = da n d s ol m ( p ) i m d ( p ) 熟：一1 p 一1 ) d = o o ， t h em a i na i mo ft h i sc h a p t e ri st oi n v e s t i g a t et h es t r u c t u r eo fga n d u t m o s t l yi m p r o v e s o m el a t ei n t e r r e l a t e dr e s u l t sb yu s i n gt h es e t 朋d ( g ，) mp r o v et h a t t h e o r e mbf o ra f i n i t eg r o u pg ，t h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ： ( 口) gi ss u p e r s o l v a b l e ， l 砩t h e r ee x i s t san o r m a ls u 冶r o u pho fg s u c ht h a tg hi ss u p e r s o l v a b l ea n d ，o re a c hs y l o ws u b g r o u ppo fh ，e v e r ym e m b e r 讥8 0 m e 廊以朋d ( p ) 妇c n o r m a l ( s 埽 ， 广西大学硕士学位论文 。 素数幂阶子群与有限拜结构的研究 v 4 。 口“口鲥n o 竹口l 如e m b e d d e d ) 讥g a p a r tc o n t e n to ft h i sc h a p t e rw i l lb ep u b l i s h e di nc o m m i na l g e b r a ( t oa p p e a r ) b y t h et i t l e 。o nn o r m a l l ye m b e d d e ds u b g r o u p so fp r i m ep o w e ro r d e ri nf i n i t eg r o u p s ” k e y w o r d s ：f - s - s u p p l e m e n t ；f i t t i n gs u b g r o u p ；c - n o r m a ls u b g r o u p ；s - q u a s i n o r - m a ls u b g r o u p ；s - q u a s i n o r m a l l ye m b e d d e ds u b g r o u p ；p - n i l p o t e n ts u b g r o u p ；s a t u r a t e d f o r m a t i o n 皇叁童塑圭耋堡篁圭 童丝垂堕窒兰垡塑坠垒丝竺竺丝! 塑! 啊 n o t a 七i o n g 日， ，“ 以g a ，= 1 ，南= 2 ， 【车，南 2 如i st h es m a l l e s tg e n e r a t o rn u m b e ro ，sa n d 唪= ls 西( s ) 1 i n1 8 8 7 ，z m c h e r t 3 1 】g e n e r a l i s e dt h em a i nr e s u l ti n 2 8 1a n dp r o v e dt h a t t h e o r e m1 1 1 9f i n i t eg r o u pg 妇s u p e r s o l v a b l e ，谚e v e r ym a x i m a ls u b g r o u pd ， e v e r ys y l o ms u b g r o u po | gi ss s e m i p e r m u t a b l e 讥g t ? t h e o r e m1 1 2 0f i n i t eg r o u pg | l ss u p e r s o l v a b l e , 订e v e r ys y l o wp s u b g r o u pso j gh a sr n pm a x i m a ls u b g r o u p sw h i c hd ”s q u a s i n o r m a l 讯g ，w h e r e 坼 每，描 南i s 琉e s m a l l e s t g e n e r a t o r n u m b e rd ，占a n d 砂= ls 垂( 回1 i nt h ef o l l o w i n gy e a r ，s ux i a n g y i n g ，b yu s i n gt h ec o n c e p to fs e m i - n o r m a l i t yi n 【9 】 p r o v e dt h a t t h e o r e m1 1 2 1g 妇s u p e r s o l v a b l ep r o v i d e dt h a te v e r ym e m b e ro f ( p ) i ss e m i - n o r m a l 讯gf o ra n y s y l o ws u b g r o u p po lg 、 ，i n1 9 9 2 ，m 1 h m a d a n 【3 2 】g e n e r a l l e e dt h em a i nr e s u l ti n b yi n d u c i n gt h en u m b 盯 o fn o r m a ln m 口d l a js u b g r o u p sa n dh a dt h a t t h e o r e mi i 2 2a s s u m et h a tgi ss o l v a b l ea n de v e r ym a x i m a ls u b o r o u p 巧t h e s y l a ws u b g r o u p so lf ( g 、妇n o r m a li ng t h e ng 妇s u p e r s o l v a b l e t h e o r e m1 1 2 3a s s u m et h a tg h 妇s u p e r s o l v a b l ea n da l lm a x i m a ls u b g r o u p so l 童叁竺塑圭兰竺篁塞 童丝兰墼重至童童堡童竺垫丝塑塞6 玑e 勖l a ws u b g r o u p so fh 帆n o r m a li ng t h e ng 妇s u p e r s o l v a b l e i n1 9 9 5 ，a b a l l e s t e r - b o l i n c h e s 【z 4 ，b yu s eo ft h ec o n c e p t ，p e r m u t a b l ye m b e d d i n g i n t r o d u c e db y 【3 3 】，w e a k e rt h a nn o r m a le m b e d d i n g ，g a v ea ne x t e n s i o no ft h er e s u l ti n 【2 8 】 i ts t a t e st h a t t h e o r e m1 1 2 4l e tgb e 口g r o u p fe a c hm a m m a ls u b g r o u po fs y l o ws “b g r o u p s d ，g 妇p e r m u t e b l ye m b e d d e d 讥g ，t h e ng 缸s u p e r s o l v a b l e d e f i n i t i o n1 0as u b g r o u p 日o fag r o u pg 妇s a z dt ob ep e r m u t a b l y ( r e s p e c t w e l y n o r m a l e m b e d d e d 讯g ，i ，e v e r ys y l o ws u b g r o u po fh 妇a l s o 口s y t a ws u b g r o u po f4 p e r m u t a b l e ( r e s p e c t i v e l yn o r m a l ) j t 幻r o u pd ，g i n1 9 9 6 ，y w a n g 【1 4 1 ，b yu s i n gt h ec o n c e p to fe - n o r m a l i t y , p r o v e dt h a t t h e o r e m1 1 2 5l e tgb edg r o u p i fe a c hm a x i m a ls u b g r o u pd ，s y l o ws u b g r o u p 8 o ，g 妇c n o r m a l 讯g ，t h e ng 诂s u p e r s o l v a b l e i n1 9 9 8 ，a b a l l e s t e r - b o l i n c h e aa n dm c p e d r a z aa g u i l e r a 【3 5 】i n t r o d u c e dt h e c o n c e p to fs - q u a s i n o r m a l l ye m b e d d i n gw h i c hi sw e a k e rt h a np e r m u t a b l ye m b e d d i n ga n d h 8 d t h a t t h e o r e m1 1 2 6l e tgb edf i n i t eg r o u p 可e a c hm a x i m a ls u b g r o u po s y l o w s u b g r o u p so fg 妇s q u a s i n o r m a l l ye m b e d d e d 讥g ，t h e ng i ss u p e r s o l v a b l e 一 - 1 t h e o r e mi 1 2 7l e tgb e 口s o l u b l eg r o u pw i t han o r m a ls u b g r o u p 订s u c ht h a t g | hi ss u p e r s o l v a b l e 1 | a l lm a x i m a ls u b g r o u p so ft h es y l o ws u b g r o u p so yf ( h 、叭 s q u a s i n o r m a l l ye m b e d d e d 讥g t h e ng 妇s u p e r s o l v a b l e d e f i n i t i o n1 1a s u b g r o u pho dg r o u pg 扫s a i d 幻b es - q u a s i n o r m a l l ye m b e d d e d 饥gi fe v e r ys y l o ws u b g r o u po f 日i sa l s oab y l a ws u b g r o u p0 1 a ns q u a s i n o r m a ls u b g r o u p o lg 4 i n2 0 0 0 ，y w a n g1 3 0 b yp u t t i n gt h ec - s u p p l e m e n t e dh y p o t h e s e so ne v e r ym a x i m a l s u b g r o u po fas y l o ws u b g r o u po fg ，p r o v e dt h a t t h e o r e m1 1 2 8l e tgb e 伍觚i r eg r o u pw i t h 伍n o r m a ls u b g r o u phs u c ht h a t g i h 妇s u p e r s o l v a b l e f 耐jm a x i m a ls u b g r o u p so ft h es y l o ws u b g r o u p so f1 t a , r ec s u p p l e m e n t e d 轨g t h e ng 妇s u p e r s u l v a b l e i nr e c e n ty e a r s ，m a n ya u t h o r s 【1 9 1 ，1 2 l 】，【2 2 】，【3 7 】，【3 8 】，1 3 9 1 ， 4 0 1h a v ea l s od o n eal o to f w o r ba b o u tt h i st a s k 塞皇叁童塑圭兰篁篁圭 ：童墨至墼至篓童童堡垒竺丝竺丝兰7 m o s t l yr e c e n t l y , l is h i r o n g ，b yu s i n gt h e8 e tm d ( p ) ，p r o v e dt h a t t h e o r e m1 1 2 9l e tgb eaf i n i t eg r o u pa n dpt h es m a l l e s tp r i m ed i v i d i n gt h e o r d e ro ig a n da l s ol e tpb eas y l o wp s u b g r o u po fg t h e nt h ef o l l o 伽n gs t a t e m e n t s a r ce q u i v a l e n t ： ( 1 ) gi sp n i l p o t e n t ( 2 ) e v e r ym e m b e ri n m d ( p ) i ss q u a s z n o r r n a l l ye m b e d d e di ng a n dg e n e r l i s e dt h er e s u l to fm a s a a di n 【4 1 】 b a a e do nt h ea b o v er e s u l t ，w ei n v e s t i g a t et h es t r u c t u r eo fg ，u n d e rt h es a s u m p t a t i o n s t h a tm a x i m a ls u b g r o u p so f 朋d ( p ) a r ec - n o r m a lo rs - q u a a i n o r m a l l ye m d e d d e di ng ，w e i m p r o v ea n de x t e n dt h ep r e v i o u sr e s u l t s r e c a l lt h a tac l a s s ，o fg r o u p si sc a l l e daf o r m a t i o ni fg ，a n dn 旦gt h e n g n 只a n d i f o n ，i = 1 ，2 ，t h e n g l n 飓，i f , i na d d i t i o n ，g 垂( o ) 芦 i m p l i e s g ，w e c a l l ，t o b e s a t u r a t e d a n i n t e r e s t i n g e x a m p l e o f a s a t u r a t e d f o r m a t i o n i st h ec l a s s “o fa l ls u p e r s o l v a b l eg r o u p s1 4 2 1 1 2p r e l i m i n a r i e s i nt h i ss e c t i o n w ep r e s e n t8 0 l n eu s e f u ll e m m o sa n dt h e ya r ev e r yh e l p f u li no u rl a c e r p r o o f s l e m m a 1 2 1 【11 】l e t ，b eaq u o t i e n tg r o u p s c l o s e da n ds u b g r o u p s - c l o s e dc l a s so f g r o u p sa n dh as u b g r o u po fg t h e nt h ef o l l o w i n 9s t a t e m e t n sh o l d ： ( a ) 可ki s 口n ，8 一s u p p l e m e n t0 1 日讥ga n dn 璺g ，t h e nk n ni sa n ，一8 s u p p l e m e n to fh n nmc n ( b ) i f h d ga n d ki sa n ，- s - s u p p l e m e n to f 日讯g ，t h e nk n d i sa n 孑一8 一s u p p l e m e n to fhi n d l e m m a1 2 2 【g a s e h i i t z l e tgb eag r o u p s u p p o s et h a tna n dda r en o r m a l s u b g r o u p so fg ，a n da l s odsn ，d 圣( g ) t h e nn di sn i l p o t e n t 毛，a n do n l y 矿ni s n i l p o t e n t l e m m a1 2 3 4 3 】l e tgb e 口j 讯甜eg r o u pa n d 圣( g ) = 1 t h e nf ( c ) i sa b e l i a n 皇叁量丝圭童竺竺耋童塾墨墼重量皇童堡量竺垫丝竺苎8 a n df ( g ) = ( n in i ss o l v a b l em i n i m a ln o r m a ls u b g r o u po g ) l e m m a1 2 4 4 4 1l e tgb eas o l v a b l eg r o u p s u p p o s et h a tf ( g 1h a san o r m d f s e r i e s0 , 8 f o u o w s 西( g ) = 硒凰鲍= f ( 6 3 ，s u c ht h a tk 璺ga n d i j “l 甄li sop r i m en u m b e r , t h e ng i ss u p e r s o l v a b l e f l e m m a 1 2 5 【4 5 】l e t nb e a n o n t r i v i a l n o r m a l s u b g r o u po l d g r o u p g 可n n 西( g ) = 1 ，t h e nt h ef i t t i n 9s u b g r o u pf ( ) o ni st h ed i r e c tp r o d u c to fm i n i m a ln o r m a ls u b g r o u p sd ，gw h i c hi sc o n t a i n e d 舌nf ( ) l e m r r m1 2 6 4 3 ll e tgb e 口伽讹g r o u pa n dp 舭s m a l l e s tp r i m ed i v i s o ro li g i 可h ga n d i g ：1 t i = p ，t h e n 日司g 。， l e m m a 1 2 7 4 6 】l e tgb e 口g r o u pa n dnas u b g r o u po f g ( o ) t i n 司g ，t h e n f ( ) f ( g ) ； ( 6 ) 可f ( g ) i ss o l v a b l e ，t h e np ( g ) = f ( 6 3 l e m m a1 2 8 4 3 1l e tgb e 口f i n i t es o l v a b l eg r o u p ，t h e nc a ( f ( 6 3 ) sf ( g ) l e m m a1 2 9f 2 4 l e t ，b e 口s a t u r a t e df o r m a t i o nc o n t a i n i n g “a n dl e tgb ea g r o u p s u p p o s et h a tt h e r ei s 口c y c l i cn o r m a l 肌6 9 r o u pqo lg s u c ht h a tg q ，t h e n g ， 9 t 4 l e m r r m1 2 1 0w i l l ，t h e o r e m 3 4 ，4 3 】m i n i m a ln o n - p - n i l p o t e n tg r o u pi sm i n i m a l n o n n i l p o t e n t l e m m a1 2 1 1 1 1 4 】l e t x h ga n d n 望g t h e n 1 ( 1 ) 可xi se - n o r m a l 讥g ，t h e n xi sa l s oe - n o r m a l 伽日； ( 2 ) 可xi se - n o r m a l 讥ga n d n x ，t h e n x ni sc n o r m a l 讥a n l e m m a l 2 1 2 4 3 】l e t a ，b ，cb e s u b g r o u p sd ，a g r o u p ga n d a b f a n c = b n ca n da c = b c ，t h e n a = b l e m m a1 2 1 3 4 3 1l e tnb e 口n o r m a ls u b g r o u po fag r o u pga n dh g t i n 西( 日) ，t h e n n 西( g ) l e m m a1 2 1 4 ( b a l l e s t e r - b o l i n c h e sa n dp e d r a z a - a g u i l e r a 3 5 1 ) s u p p o s et h a t 广西大学硕士学位论文 素数幂阶子群与有限群结构的研究 9 ui ss q u a s i n o r m a l l ye m b e d d e d 协ag r o u pg ，hsga n dki san o r m a ls u b g r o u po ig ， t h e n ： ( o ) 巧us1 t ，t h e nu 妇s q u a s i n o r m a l l ye m b e d d e d 轨日； ( b ) u ki ss - q u a s m o r m a l l ye m b e d d e di ng a n du k ki ss - q u a s m o r m a u ye m b e d d e d i n g i k l e m m a1 2 1 5 ( d e s k i n s 【4 7 】) 可日i sa ns q u a s i o n o r m a ls u b g r o u p 巧ag r o u pg ， t h e nh h ai sn i l p o t e 僦1w h e r eh gi st h ec o r eo 1 - ii ng l e m m a 1 2 1 6 ( k e g e lf 2 】) ( a ) a ns - q u a s i n o r m a ls u b g r o u p 巧gi ss u b n o r m a l ； ( 6 ) t h k ga n d h i s s q u a s i n o r m a l 讥g ，t h e n h 妇s q u a s i n o r m a l 讥k l e m m a1 2 1 7 ( a s a a da n dh e l i e l 4 1 1 ) l e t1 1 6 ean i l p o t e n ts u b g r o u po ，口g r o u p g t h e nt h ef o l l o w i n gt w os t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ： ( 口) hi s i ns q u a s i n o r m a ls u b