（基础数学专业论文）几类非线性二阶微分方程边值问题的解.pdf

曲单师范大学硕士学位论文 凡类菲线性三阶微分方程边值闻题的解 摘要 随着科学技术的不断发展，各种各样的非线性问题已日益引起人们 的广泛关注，非线性分析融成为现代数学中的重要研究方向之一而非 线性泛函分析是非线性分析中的一令重要分支，透其麓很好酶解释自然 界中的各种各样的自然褒象雨受裂了匿内外数学界和自然科学界的重 视非线性微分方程边值阍题源于应用数学、物理学、控制论等备种应 用学科中，是目前非线性泛鬣分析研究中最为活跃的领域之一 本文裂霜罪线性泛西分析的锥理论、不动点理论、极大僮原理、上 下解方法以及不动点指数理论并结合迭代方法等，讨论了几类非线性二 阶微分方程边值问题的解所得结果本质的改进、推广了一系列融知结 荣。 本文共分为三章。 在第一章中，我们讨论了一类二阶脉冲积分微分方程 f 一扩擘) = ，( 害，z 8 ) ，嚣茹害) ，( 丢) ；，。亡兹，丢歹= 渺，列， 加。茹矾o o o ) “) ia x 知) 端( z ( 如) ) ，k 一1 ，2 ，m ， 【名 罨) 一茹( ? ) ，姆；= 留) ， 的极值解的存在性，其中0 攀t o t l t 2 0 ，即允许，交号a 和多右连续予细，王) ，左连续予 = l ， 且在沁，1 】不减，且a ( o ) = 夕( o ) = o ；其中岔t ( 丁) 如( 丁) 和露让( r ) 帮指 r i e m a n n - s t i e l t j e s 积分以往的文献一般要求非线性项非负，而本章的正 解是在不要求非线性项菲负的情况下得到的( 3 l 页注2 3 1 ) 在第三章中，我们剩月锥上不动点定理讨论了带有参数的奇异二阶 三点边值问题 j u ( 。) 十a ( 。) ，( u ) = o ， 亡( o ，1 ) ! ， ( 3 1 1 ) l 毪( o ) 一( o ) ，缸( 王) 一口珏( ，7 ) = a ， 其中g 0 ，0 露 1 ，0 a 糍，口g ( ( o ，1 ) 一f o ，+ ) ) ，f c ( 扣，十o 。) _ 【0 ，+ o o ) ) 文【6 】成为本章a 一0 的情形且文 6 】不要求a 有奇异点，而本 章要求a 在君一0 ，舌= 1 处奇异。本章结论推广改进了文【6 】的主要结果 ( 3 9 页注3 2 王) 关键词：非线性；二阶；微分方程；边值问题；正解 堕皇燮堂堡主堂堡墼 a b s t r a c t a l o n gw l t hs c i e n c e 8a n dt e c h n o l o g y sd e v e l o p m e n t ，v a r i 。u s 麓藏。i 1 程e 觳p r o b l e mh a sa r o u s e dp e o p l e sw i d e s p r e a di n t e r e s td 辩b v d 坝a n ds ot h en o n l i n e a ra n a l y s i sh a sb e c o m eo n ei m p o r t a n t r e - 8 e a r c hd l r e c t i o n si nm o d e r n m a t h e m a t i c s t h en o n l i n e a rf u 粼t i o n a i 馘蛳1 s l sa ni m p o r t a n t b r a n c hi nn o n l i n e a r 鼹蛳遗，b e e 勰s e 巍e 趿 e x p i a l n 靴i iv a r i o u st h en a t u r a lp h e n o m e n o n t h e b o u n d a r yv a l u e p r o b l e mo fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o ns t e m sf t 。m t h ea p p l i e d m a t 焱e 磁8 专i c s t h ep h y s i c s ，t h ec y b e r n e t i c sa n d 谳妣d 硝印p 凄 c a t l o nd i s c i p l i n e i ti s o n eo fm o s ta c t i v ed o m a i n so ff u n c t i o n a l a n a l y s i ss t u d i e s i na tp r e s e n t 趣专蠹1 sp a p e r ，w e 醢s et h ec o n et h e o r y , t h ef i x e d p 蕊盛毫奠e 。瑕 t h em a x i m u m p r i n c i p l e ，l o w e ra n du p p e rs o l u t i o n sa sw e ua st h e 敝e dp o i n ti n d e xt h e o r ya n d c o m b i n e dw i t hai t e r a r i v et e c h n i a u e 觚ds 。o n , t oe 。鞋惑妇t h es o l u t i o n so fs e v e r a lk i n d so fb o u n d 懿v v a l u ep r o b l e m sf o rn o n l i n e a rs e c o n do r d e r d i t i e r n t i a le q u a t i o n t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e e c h a p t e r sa c c o r d i n gt 。c o 龇e 疵s 。 i ne h a p t e r1 ，w ec o n s i d e rt h e e x i s t e n c eo fe x t r e m es 。l u t i 。瓣f o r ac l a s so fs e c o n d - o r d e ri m p u l s i v e i n t e g r o - d i f f e r e n t i me q u a t i o n ， | 嘞( 雾) 黜f ( t ，茹，k x ( t ) ，量t k , t 歹= p ，刁， ja z ( t 知) 黧厶( z ( 玩) ) ， | 。7 ( 兹) 燃( 2 ( 颤) ) ，k = 1 ，2 ，。m ， 【。( o ) = 彩( r ) ，。7 ( o ) 端茹7 ( 卵， ( 1 1 1 ) 曲卑师范大学硕士学位论文 w h e r e0 = t o t 1 t 2 0 。i nt h ec a s ew h e r e c a nb ea l l o w e dt oc h a n g e s i g n 。a n d 罗a r er i g h tc o n t i n u o u so n 【0 ，1 ) ，l e f tc o n t i n u o u sa tt = l ， a n dn o n d e c r e a s i n go n 黪，1 1w i t h 譬( o ) 黼p ( o ) = o ；詹珏( 7 ；如( r ) a n d 詹札( 7 _ ) 帮( 丁) d e n o t et h er i e m a n n - s t i e l t j e si n t e g r a l so fuw i t hr e s p e c tt o 我a n d $ r e s p e c t i v e l y t h e r ea r er e q u i r e so ft h a tt h en o n - l i n e a rf u n c t i o ni s n o n n e g a t i v ei nt h ep a s tt h e s i s ，w e ，h o w e v e r ，c a n i n c l u d et h ec a s et h a tt h en o n l i n e a rf u n c t i o ni sn e g a t i v ea n dg e ta 右、，、一、 t 0 1 ( ( 珏 鬈 u ，j、l 曲阜师藏大学硕士学位论文 p o s i t i v es o l u t i o ni nt h i sc h a p t e r ( h o t e 2 。3 。王) i nc h a p t e r3 , w eu s et h ec o n et h e o r yc o n s i d e rt h ee x i s t e n c e o fp o s i t i v es o l u t i o nf o rs i n g u l a rs e c o n do r d e rt h r e e - p o i n tb o u n d a r y v a l u ep r o b l e mw i t hp a r a m e t e r ( 考) + a ( t ) f ( u ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ， 珏( 回= g u 7 ( ，4 ( 1 一黝= a ， 簿1 。i ； w h e r eg 0 ，0 叩 1 ，0 暾雨l + e ，a 联g ( ( o ，1 ) 。f 0 ，+ o 。) ) ，颤 o ( 瓣，+ ) _ 黔，+ ) ) d o c u m e n t 6 w i l lb et h e c a s eo fa = 0i nt h i s c h a p e r i ti sn o tn e c e s s a r yt h a t 绉i ss i n g u l a ri nd o c u m e n t 6 ，h o w e v e r t h i sc h a p t e rd e v o t e d t os o l v et h ec a s et h a tai ss i n g u l a rw i t ht 嚣 g ，t 篇1 t h i sc h a p t e ri m p r o v e dt h ed o c u m e n t 6 ( n o t e3 2 。王) 。 k e y w o r d s ：n o n l i n e a r ；s e c o n do r d e r ；d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ； b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；p o s i t i v es o l u t i o n s 。 l 王王 曲阜师范大学硕士学位论文原刨性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文几类菲线性二阶微分方程 边值闻题的解，是本人在导师指导下，在魏阜师范大学攻读硬学位 期间独立进行研究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人 已经发表或撰写的研究成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和 集体，均已在文中基明确的方式注明。本声讶的法律结果将完全壶本人 承担， 作老签b 乇碍强泸乡善 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 几类非线性二阶微分方程边值问题的鹪系本人在曲阜师范大学 攻读硕士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究 成果姆魏卑师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发 表，本人完全了簿髓阜师范大学关于保存、使靥学位论文的规定，同意 学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅 和借阕。本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制手段保存沦 文，可以公开发表论文的全部或部分态容， 储鹳：巍辩，嗍协7 “ 导师獬：勤切1 期：饥弘易 第一章一类二阶脉冲积分微分方程解的存在性 1 1 引富 在对科学技术进行些数学的模拟研究中，脉冲微分方程 常常作为一种很好的模型刚9 】因而以往有很多的文献都研 究了各种各样的脉 孛方程。铡如，文献【王黛- f 王篙考虑了一阶脉 冲微分方程解的存在性，并给出了一些比较深刻的结果，文献 【1 5 h 2 0 给出了一些二阶脉冲微分方程在一_ 定条件下解的存在 性。最近文献 2 1 2 2 1 考虑了下面的一阶泛函微分方程 2 ( 釜g ( t , u ) ，u p ”，亡如毒了删【0 ，列， ( 1 。1 ) 乏珏( o ) 絮嚣蛾 在这两篇文章中，作者引入了一种新的上下解受以上文献的 启发，我们在本章中弓 入了类似的上下解并考虑下面的二阶 脉冲积分微分方程 t t k ，t j = 【0 ，明， 娃，熏1 ) 其中0 = t o t 1 t 2 ， p c i ( z 固= 。p c ( j , 冀) ，z 7 0 ) c ( j 一，r ) ，z 7 ( 亡孝) ，z 7 ( 亡i ) 墨笋在， 并且z i ) 嚣( 哟，惫1 ，2 m ) p c 王( zr ) 是一个b a n a c h 空 间，范数 | | z | ! p o ：= m a x t l x ( t ) l l p c ，l | z 7 ( 0 l l p ) ， 其中 l i x ( t ) l l p c = s u pl x ( t ) 1 t j 令 e = p c i ( 了，r ) nc 2 ( j 一，r ) 2 曲皋师范大学硕士学位论文 一个函数x e ，如果它还满足方程( 1 1 1 ) ，则称为b v p ( 1 1 1 ) 的解在文献 1 5 中作者曾经研究了b v p ( 1 1 ，1 ) ，并给出了下 面的弓| 理 引理1 1 1 1 1 5 】假设e 满足 f 卅一尬一z 。碑 s ) 茹( s ) 幽- l z o t h s ) ) d s , tez 喇奄， j z ) l k x 庇) ， l 。船奄) 五缸( 如) ， k 慧1 ，2 ，肌， lz ( o ) - - z ( ? ) ，z 7 ( o ) 。7 ( ? ) ， 、 ( 1 1 2 ) 其中m 0 ，l 0 ，n 0 ，0 冬l k 1 ，0 三蠢1 ，k = 1 ，2 m ， 并且 ( e + 。( m + 1 ) ( m + n k o t + 己t ) 】 l k 十凸( m l 1 ) 】竖去， ( 1 1 。3 ) 那么 z ( 亡) 0 ，t 曩z 注1 1 。羔我们注意到，上面这个推断是不能成立的，经计 算知，条件x z ( t k ) l k x ) 应改成a z ( t k ) = l k w 知) 引理1 1 1 才能成立因而在这篇文章中引入的上下解是不能成立的。本 章的目的是通过引入一种新的上下解条件并给出一个新的比 较定理，从而给出b v p ( 1 1 1 ) 的极值解的存在性 3 第一章二类二阶脉冲积分微分方程解的存在性 1 ：2 预备知识 1 极大值原理 我们首先给出以下记号： j o = 【t o ，t 1 ，以= 【t l ，t 2 ，如= i t m ，亡m + 1 】，o = m a x t k + l t k ，k = 1 ，2 m ) 为了证明本章的主要结果，给出下面的定理是必要的 定理1 2 1 假设z e 满足 f ，一z ( 亡) 一m z ) 一f o o tk ( t , 8 ) z ( s ) 如一三f o t h ( t , 8 ) z ( s ) 幽一z 右如， ja x ( t 惫) = l a x 南) ， l a x 7 ( t k ) l * k x ( t a ) ，七= 1 ，2 m ， = z 丁m 呼一丁九 ( 厶) 苴审 ，、- m 0 ，l 0 ，n 0 ，l l , 0 ，己妻0 ，忌= 1 ，2 m ， 并且满足 l ：+ t ( m + n k o t + l h o t ) el 后+ 刁互i ， ( 1 2 2 ) 那么 。( z ) 0 ，t ， 证明：用反证法 假设存在t o j 满足z ( ) 0 ，只须考虑下面两种情况： ( i ) 存在一个i j 满足z ( - ) 0 并且x ( t ) 0 ，v t z 4 ( i i ) 存在右事，t 丰j ，满足z ( 亡幸) o ，z ( 蠢) 0 首先考虑情形( i ) 此时有 一( 舌) 0 ，z ) 0 ，t t k ，t z a x 7 ( t k ) l ：z ( 如) 0 因而z 似) 是不增的，从而 z ，( o ) z 7 ( t ) 然而由定理1 2 1 中的条件z ，( o ) z 7 ( t ) ， 可得z 7 ( o ) = z 7 口) ，z 俅) = c ( c 为常数) ，v t z 所以 0 = 一一m z 0 ，并且存在 t 幸五，i 1 ，2 m ) ， 满足z ( 亡奉) = 一b 或者z ( 亡荨1 ) = - b ，从而 卅一州旷z 。忌( 矗) d s - lf o th s ) z s ( m + n k o t + l h o t ) b ， a x 7 ( 故) l * k x ( t k ) 一b l * k 我们仅考虑z ( 亡幸) = 一b 当x ( t t + 1 ) ：b 时证明类似 5 第一章一类二阶脉冲积分微分方程解的存在性 如果? 协) 0 ，v t z 那么a x ( t 孟) 0 这说明z ( 舌) 在j 上 是严格增的，这与z ( o ) = z ( 丁) 矛盾。因而存在一个j 满足 z 7 ( _ ) 0 设 丢厶，佗 1 ，2 ，m ) ， 由平均值定理得： z 7 ( 亡二) 一b l * 一z 7 ( 刁z 7 ( 亡：) 一z 7 ( - ) = 一( 鼠) ( 云一亡去) b ( m + n k o t + l h o t ) ( t 一亡去) ，s n ( t 1 7 , 7t - ) j z ( t l l ) 一6 三三一l z 7 ( 如) z 7 ( 囊1 ) 一x t ( t n ) = 一( 品一1 ) ( 如一古0 ：) b ( m + n k o t + l h o t ) ( t n 一，亡甚1 ) ，s n - 1 ( t n - 1 ，t n ) ， z 7 ( 亡f ) 一6 乞；一z 7 ( 右2 ) z 7 p ) 一z 7 ( 舌2 ) = 一z ( 岛) ( 易一亡产) ， b ( m + n k o t + l h o t ) ( t 2 一右；- ) ，s 1 ( t l ，亡2 ) ， z 7 ( o ) 一。7 1 ) = 一z ( s o ) 亡1 b ( m + n k o t + l h o t ) t l ，8 0 ( 0 ，亡1 ) ， 6 曲阜师范大学硕士学位论文 将上面的不等式加起来，我们可以得到 m z 7 ( o ) z 7 ( 刁+ 6 三；+ 6 ( m + n k o t + l h o t ) t k = l 协 6 匹+ t ( m + n k o t + l h o t ) k = l 类似的可以得到 m z 印) z 伸) + 6 e + t ( m + n k o t + l h o t ) k = 1 m z 7 ( o ) + 6 己乏+ t ( m + n k o t + l h o t ) k = l m 2 h i l ：+ t ( m + n k o t + l h o t ) 七= 1 设t 幸易，首先假设t 砉， 凳= lk = l 一 这与条件( 1 2 2 ) 矛盾 当t 掌 t + ，证明类似，我们省去 至此定理1 2 1 我们全部证完 注1 2 1 通过计算可知，当( 1 1 3 ) 成立时必有( 1 2 2 ) 式 成立，因而定理1 2 1 推广了引理1 1 1 定理1 2 2 令m 0 ，n 0 ，l 0 ，三；0 ，( k = l ，2 ，m ) ， 假设z e 满足 一厂t z ( 丁) + m x ( t ) + z 忌( t ，s ) z ( s ) 幽+ 厶上h ( t ，s ) z ( s ) d s 十o ，oo t 氓，t z n印 a x ( t 七) = 三i z 7 ( 如) + l k 【一亭( 如一 ) 1 i x 7 ( t ) 一z 7 ( o ) ， 11 12个 a z 7 ( 芒七) l ；x ( t k ) + 三 一亭( 如一告) ) + 云】印7 ( t ) 一x i ( o ) 】，k = 1 ，2 m ， z ( o ) = z ( t ) ，z 7 ( o ) z 7 ( t ) ， f 1 2 3 1 8 曲阜师范大学硕士学位论文 刊一n 3 t k o ( 卜孔孚右一可m 卜吾卜2 可t 2 n k o + t t 2 l h o + t m t 一亍2 】 f z 他) 一牙，( o ) 】 并且条件( 1 2 2 ) 成立，那么 z ( 亡) 0 证明：令 9 ( t ) ： 一亍1 ( z 一吾) 2 + 吾 p 7 ( t ) 一z 7 ( 。) 】， 并定义 u ( 亡) = z ( 亡) + 9 ( z ) = z ( 亡) + 卜亍1 ( z 一吾) 2 + 丢】p 7 ( t ) - - x t ( 。) 】， 勇器么，“ ) e ：并且耽_ 有锃( 君) z ( 右) 事实上，u ( t ) 满足定理2 2 1 的条件 一( t ) 一m z ( 亡) 一z 。庇( 右，s ) z ( s ) 如一己 r h ( 古，s ) z ( s ) 如 因为 f tf t 一位( 亡) + m u ( 芒) + 是 ，s ) u ( s ) d s + 三j h ( t ，s ) 饥( s ) d s j 0j o = z ，( 古) + m z ( t ) + n 厂。奄 ，s ) z ( s ) d s + l 厂th ( t ，s ) z ( s ) d s 一9 ，( 亡)= z ( 古) +) +奄 ， + ，s ) z ( s ) d s 一9 ( 亡) j 0 j 0 + m g ( t ) + n + n 。k ( t ，s ) 9 ( 二) 幽+ l r th ( t ，s ) 翻d s + + + ，s ) 9 ( s ) 幽+，s ) 9 ( s ) d s j oj o 一( 亡) + +厂tmz(t n k ( t ，s ) z ( s ) d s + l 厂zh ( t ，；) z ( s ) d s + 0 j o d o 一z ( 亡) + + ，s ) z ( s ) d s +，s ) z ( s ) d s + 仇 知 9 第一章一类二阶脉冲积分微分方程解的存在性 并且 u ( o ) = z ( o ) + 9 ( o ) = x ( t ) + g ( t ) = u ( t ) ， 钆7 ( o ) = z 7 ( o ) + 夕7 ( o ) = x t ( o ) + p 7 ( ? ) 一( o ) 】= z 7 ( 丁) ， 乱7 ( r ) - - - - z 7 ( t ) + 9 ，( ) = z 7 ( t ) 一p 7 ( t ) 一z 7 ( o ) = z 7 ( o ) 因而 u ，( o ) u 7 ( t ) ， a u ( t 惫) = a z ( t 豇) + g ( t k ) = l k x ( 如) 一擎( ”( 丁) ( o ) 】 f )个 = l k x 7 恕) 一睾( 亡忌一去) ( u 7 ( t ) 一乱7 ( o ) 】 = l k x 7 ( t k ) + 9 亿后) = l k u 7 ( 故) ， k = 1 ，2 仇， u 印忌) = a x 7 ( t k ) + a 9 7 ( t k ) 三妻z ( 之) + l 之z ( 如) + l ；【一；( 如一孝) + 吾】心7 ( t ) 一乱7 ( 。) 叫仆扣叫t2 + 扣( 刃。( o ) 】 = l ： x ( t k ) + 9 ( ) = l ；u ( t k ) ，k = 1 ，2 m 从而，定理1 2 1 的条件成立，由定理1 2 1 知 u ( 亡) 0 ，v t z 、，一 从而 z ( t ) 0 ，z 曲阜师范大学硕士学位论文 因而我们完成了定理1 2 2 的证明 2 上下解与极值解 定义1 2 1 我们称函数q o e 是b v v i 2 1 1 ) 的一个下 解，如果存在 巨攀嚣o a o l , r ) 二) - a m ( r ) ， ( 1 2 4 ) l ，0 ， q q ：( t ) ) = 扛等卜扩t3 丁t n k o 亡一等( t 习t 乙可t 2 n k o + 孚+ 【丁m t 一亍2 扭) 一献o ) 】， 鳅o ) 咄t ) 砜= i 一擎习tf ( 丁h ，( o ) 】，a 扪) 们) ， l 0 ，儡( o ) 瞄( 丁) ， 峨= i 一擎一知( 0 ) 二一卵) 】脚) 卯) ， 1 0 ，儡( o ) 瞄( t ) ，。 砭3 1 三；卜；( 亡后一虿x ) 2 + 虿t 】【瞄( 。) 儡( t ) 】，儡( 。) 儡( t ) ， 忌= 1 ，2 ，3 m 注1 2 2 定义1 2 1 和定义1 2 2 中的上下解是经典的上下 解定义的推广，经典的上下解对应于定义中的q 6 ( o ) 及：( t ) ，届( o ) 儡( ? ) 曲阜师范大学硕士学位论文 定义1 2 3 我们称z 宰( 孟) ，z 唪( 亡) 分别是方程( 1 1 1 ) 的极 小解和极大解如果z 宰( 亡) ，z 牛( 亡) 分别是方程( 1 1 1 ) 韵解，而且 对于方程( 1 1 1 ) 的任一解x ( t ) 都满足z 事( 亡) x ( t ) z 辜( 亡) ，t t k ，t ， 注1 2 3方程( 1 1 1 ) 的极小解和极大解都称为方程 ( 1 1 1 ) 的极值解 3 线性问题 对于如下的b v p ， 一j + 讹( 亡) + z 。尼( 右，s ) z ( s ) d s + l t h ( 巧s ) z ( s ) 如= ( 味 t t k ，t z a x ( t k ) = l k x 7 g 鬼) + 厶0 ( 颤) ) 一三七7 7 7 ( 如) ， 叠7 ( 亡屉) = l * k z ( t k ) + 露( 如) ) 一己；7 7 ( 如) ， x ( o ) = z ( 丁) ，z 7 ( o ) = z 7 ( 刁 ( 1 2 6 ) 文【1 5 曾给出了下面的结果 引理1 2 1 1 1 5 】z e 是方程( 2 2 6 ) 的一个解当且仅当 z p c i 4 1 是下面脉冲积分方程的解， z ( 亡) = 铲g 1 ( 亡，s ) p ( s ) 一nf ok ( s ，7 ) z ( 丁) 打一l 铲九( s ，7 _ ) z ( 7 ) 打】d s + 【- c 】( t ，如) ( l ：z ( 如) ) + 露( 7 7 ( 如) ) 一己；7 7 ( 如) 】 + g 2 ( t ，z 后) ( l 奄z 7 ( 亡惫) + 疋( 刀( 亡惫) ) 一l 南7 7 7 ( 如) ，t z 1 3 第一章一类二阶脉冲积分微分方程解的存在性 其中 毗s ) 2 丽赫 】 g 2 s ) = 南 么iev 一上j 若 f ( e 何( n + s ) + e 何( 汹) ，0 s 亡t ， i ( e 圻汀( t + t - s ) + e v - 砑( 8 一t ) ，0 t s t ， f ( e 何( 晡+ s ) 一e 何( 阳) ，0 s 亡t ， i ( 一e 、砑( t + t s ) + e 、砑( 8 一。) ，0 亡s t 引理1 2 2 【1 5 】- 令 m 0 ，n 0 ，l 0 ，l 詹0 ，三；0 ，k = 1 ，2 ，仇， 磊未 ( l h o t 2 + n k o t 2 ) + 妻硼+ 丢妻尔1 ，痈简 ) + k = l 硼+ 壹蚤饥“ 丢( l h o t 2 + n k o t 2 ) + 互1 静+ 等 那么方程( 1 2 6 ) 有唯一解z e 1 3 主要结果 ( 2 2 7 ) 有了上面两节的预备工作，下面给出b v p ( i 1 1 ) 的极值解 的存在性方法是利用上下解并结合单调迭代技巧 对a o ，z o e ，若c z o ( t ) ， 尾( 亡) ) 在e 中收敛于b v p ( 1 1 1 ) 的极值解 证明：对任给的7 7 【a o ，z o ，考虑b v p ( 1 2 6 ) 在如下情 形 盯( 亡) ：厂( 亡，7 7 ( 亡) ，k 方( 亡) ，s v ( 古) ) + 砀( 亡) + f tk ，s ) 7 7 ( s ) d s + 己j f o t h ( 右，s ) 叼( s ) d s 的解 由引理1 2 2 知方程1 2 6 有唯一解z e ，+ 记z ( t ) = 伽( t ) ， 那么a 是一个映，风】到e 的算子我们分三步来完成定理 的证明 1 首先证明0 f o ( 亡) a a o ( t ) ，a 风风我们仅证明( z 0 a a o ，a 风凤的证明类似 令q l = a a o ，p = 0 1 1 一伽，那么a 1 满足 二a ! ( 亡) + m a 。( 舌) + o 。七( t ，s ) q ，( s ) d s + lj s o t 九( 亡，s ) q i ( s ) d s = 弛，0 f 。( 亡) ，k 0 幻( 亡) ，s q 。( t ) ) + m a 。( t ： ) + 上惫( 如) q 。哕s + l 危( 亡，s ) a o ( 5 ) 如，t t k ，t z a a l 忌) = 己惫口i ( 如) + 厶( a o ( 芘) ) 一l 忌口：( 如) ， q ： 惫) = l b l ( t k ) + e ( q o 屉) ) 一己；理o 七) ，k = 1 ，2 m ， o c l ( o ) = q 1 ( t ) ，：( o ) = 口i ( t ) ( 1 3 1 ) ( 1 ) 若a 6 ( o ) q 6 ( t ) 这说明q ( 亡) = 0 ，一口g ( 舌) f ( t ，q o ( 亡) ， k 0 幻( 亡) ，s q o ( 亡) ) 。因为q o 是b v p ( 1 1 1 ) 的一个下解，那么 t t k ，t z p ， ) + m p ( 亡) + o 。克( 亡，s ) p ( s ) d s + lj o t 九( 古，s ) p ( s ) d s 一积卅讹以) + n ：k s ) 州s ) d s + l 上r t 酢，s o ( s 矽s ，t 十a y ( 亡) 一a 1 ( 亡) 一z 庇( t ，s ) 衄( s ) d s - l t以- t 以t is ) 吼( s ) d s 一 1 6 曲阜师范大学硕士学位论文 f ( t ，a o ( 右) ，0 f o ) ，s q o ( 亡) ) + m a o ( t ) + n k ( t ，s ) o c o ( s ) d s f t + l h ( t ，s ) o l o ( s ) d s f ( t ，q o ) ，k a o ) ，s q j ( 亡) ) 一m o l o ( t ) j 0 一z 。七( 亡，s ) q 。( s ) 幽一l o t 允( t ，s ) a 。( s ) 如 = 0 a p ( t 府) = a a o ( t 南) 一a a l ( t k ) 厶( a o ( 亡后) 一l k a i ( t k ) ) 一厶( a o ( 亡七) ) + l ko ( t k ) = l k ( o o ( t k ) 一a ：( t | c ) ) = l k p l ( t k ) ， p 7 ( 亡南) = q ：( 如) 一a i ( 如) 露( a o ( 如) 一己；q 1 七) ) 一露( a o ( 如) ) + l i q o ( t k ) = e ( a o ( 亡七) 一q 1 ( z 南) ) = l i p ( t k ) ， k = 1 ，2 ，仇， f ( o ) = a o ( o ) 一a 1 ( o ) = a o ( t ) 一q 1 ( 丁) - - - - 尸( ? ) ， 尸7 ( o ) - - - - q ：( o ) 一q j ( o ) q ；( t ) 一q i ( t ) = p ( t ) ， 那么由定理1 2 1 知 p ( t ) 0 ， 即 a o ( t ) a q o ( 亡) ，o c o a a o ( 2 ) 若a o ( t ) q 6 ( ? ) 这说明 h n 3 丁k o ( 卜乳丁t n k o 亡一争吾) _ 2 可t 2 n k o + 丁t 2 l h o 十 等_ 孙( 亡) 一删 1 7 第一章1 一类二阶脉冲积分微分方程解的存在性 凼面， 一 ) + m p ( 舌) o 。忍( 亡，s ) 尸( s ) d s + lf o o t 危( 亡，s ) p ( s ) 幽+ 。( 亡) = 一q g ( 亡) +) + 。，s ) q 。( s ) d s + 1h(tmao(t n k ( t l h ( t ，s ) a 。( s ) d s = 一q g ( 亡) +) + ，s ) q o ( s ) d s +，s ) a o ( s ) d s d o j 0 f t，t 十q 一m q ，( t ) 一上忍( 如) a ，( s ) d s l h ( t ，s ) q ，( s ) d s + a d 0 ( 亡) t ，0 f ( t ，a o ( 亡) ，k a o ) ，s a o ( 亡) ) + m a o ( t ) + n ，k ( t ，s ) a o ( s ) d s t t d 0 ，t + l 忍( 亡，s ) a o ( s ) 如一f ( t ，a o ( 亡) ，k q o ( 亡) ，s a o ( 亡)