（基础数学专业论文）不变randers度量的旗曲率.pdf

摘要 r a n d e r s 空间是一类最简单最重要且与r i e m a n n 流形关系最为密切 的f i n s l e r 流形它是1 9 4 1 年r a n d e r s 在研究4 维空间的广义相对论中的度 量问题是引入的讨论一个f i n s l e r 流形的旗曲率是f i n s l e r 几何的基本问 题本文给出了齐性r i e m a n n 流形上不变r a n d e r s 度量的旗曲率公式，并 发现空间铲xs 1 上某类r a n d e r s 度量具有恒正旗曲率，然后我们把这个 旗曲率公式推广到广义h e i s e n b e r g 群上本文的组织结构如下： 前言，主要介绍f i n s l e r 几何最近的发展情况和本文的研究方向及知 识结构 第一章：我们主要介绍一些基础知识，f i n s l e r 几何的一些基本定义， r a n d e r s 空间的构造及主要性质和广义h e i s e n b e r g 群的定义及性质 第二章：我们计算了齐性r i e m a n n 流形上不变r a n d e r s 度量的旗曲率 公式，并利用这个公式计算了铲s 1 上相应的r a n d e r s 度量的旗曲率，发 现这样的r a n d e r s 度量具有恒正旗曲率；然后，我们给出了广义h e i s e n b e r g 群上左不变r a n d e r s 度量的旗曲率，发现在某些特殊的旗上，p a n d e r s 度量 的旗曲率和相应的r i e m a n n 度量的截面曲率有一定的关系；最后，我们计 算了齐性r i e m a n n 流形上不变r a n d e r s 度量的c a r t a n 曲率 关键词旗，旗曲率，广义h e i s e n b e r g 代数，广义h e i s e n b e r g 群 a b s t r a c t o n ec l a s so ft h em o s ti m p o r t a n ta n dt h es i m p l e s tf i n s l e rs p a c e si st h e r a n d e r ss p a c e s t h e ya r em o r ec l o s e l yr e l a t e dt or i e m a n i a ns p a c e st h a na n y o t h e rf i n s l e rs p a c e s r a n d e r sm e t r i cw a sf i r s ti n t r o d u c e db yr a n d e r si n1 9 4 1 ， w h e nh es t u d i e dt h em e t r i cp r o b l e m si nt h e4 - s p a c eo fg e n e r a lr e l a t i v i t y t h e f l a gc u r v a t u r eo f f i n s l e rs p a c e si sab a s i cp r o b l e mi nf i n s l e rg e o m e t r y i nt h i s p a p e r , w ef i r s tg i v et h ef o r m u l ao f t h ef l a gc u r v a t u r eo f s o m e i n v a r i a n tr a n d e r s m e t r i co nh o m o g e n e o u sr i e m a n n i a nm a n i f o l d s ，a n dt h e nf i n dt h ef l a gc u r v a t u r e o fs o m er a n d e r sm e t r i co ns 2 s 1i sa l w a y sp o s i t i v e ；f i n a l l yw eg e n e r a l i z e t h ef o r m u l at og e n e r a l i z e dh e i s e n b e r gg r o u p s i nl h ep r e f a c e w ei n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n to ff i n s l e rg e o m e t r y , t h ed i - r e c t i o no f o u rr e s e a r c ha n dt h ec o n s t r u c t i o no f t h i sp a p e r i ne h a r p t e r l w eg i v es o m eb a s i cp r e l i m i n a r i e s ，d e f i n i t i o n sa n db a s i cr e - s u i t si nf i n s l e ra n dr a n d e r ss p a c e s ，a n dg i v es o m ep r e l i m i n a r i e so f g e n e r a l i z e d h e i s e n b e r gg r o u p s i nc h a r p t e r 2 ，w ef i r s tg i v et h ef o r m u l ao f t h ef l a gc u r v a t u r eo f t h ei n v a r i a n t r a n d e r sm e t r i c so l lh o m o g e n e o u sr i e m a n i a ns p a c e s ，a n df i n dt h ef l a gc u r v a t u r e o fs o m er a n d e r sm e t r i co ns 2 s 1i sa l w a y sp o s i t i v e ；t h e nw eg e n e r a l i z ei t t og e n e r a l i z e dh e i s e n b e r gg r o u p s ，a n df i n do ns o m es p e c i a lf l a g s ，t h es e c t i o n a l c u r v a t u r ea n dt h ef l a gc u r v a t u r eh a v es o m es p e c i a lr e l a t i o n s h i p s ；f i n a l l y , w e g i v et h ef o r m u l ao ft h ec a l r t a nc u r v a t u r eo ft h ei n v a r i a n tr a n d e r sm e t r i c so i l h o m o g e n e o u sr i e m a n i a ns p a c e s k e y w o r d sf l a g ，f l a gc u r v a t u r e ，g e n e r a l i z e dh e i s e n b e r ga l g e b r a , g e n e r a l - i z e dh e i s e n b e r gg r o u p s 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表 或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名： 日期： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权 保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版； 有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查 阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索：有权将学位论文的标 题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名； 日期： 刖吾 粗略的说，f i n s l e r 几何是没有二次型限制的r i e m a n n 几何。它在广义 相对论，控制理论以及生物数学领域都有重要应用一个f i n s l e r 度量f 是定义在流形m 上的一族范数，即在每一个切空间已m 上都定义一个 范数，而且这些范数都是一阶正齐性的( 但在函数分析领域我们要求这 些范数是绝对齐性的) f 可看成定义在t m o ) 上的二元函数，当然， 如果f 是f i n s l e r 度量，我们仍需对它加以限制，即它必须是光滑的具有强 凸性质的二元函数 在r i e m a n n 几何中，我们有截面曲率的概念，它在f i n s l e r 几何中的推 广就是旗曲率旗曲率是f i n s l e r 几何的r i e m a n n 性质，在一些特殊情况 下，它可f l q s p r a y 曲率直接计算得到，具体情况参觏8 】 1 0 1 l 】具有特 殊曲率特征的f i n s l e r 空间是我们的主要研究对象，常旗曲率的f i n s l e r 流 形是f i n s l e r 几何的一个基础性课题b r y a n t 2 2 在铲上构造了一类常 旗曲率的f i n s l e r 度量而且，a k b a r - z a d e h 已经证明，如果对c a r t a n 张量 的增长速度加以一定的限制，那么具有常旗曲率零的f i n s l e r 流形为局 部m i n k o w s k i 流形，具有常旗曲率一l 的流形是r i e m a n n 流形：到目前为止， 我们对旗曲率大于零的f i n s l e r 流形还知之甚少 f i n s l e r 空间中最重要的一类首选r a n d e r s 空间r a n d e r s 于1 9 4 1 年 在研究4 维空间的广义相对论中的度量问题时首先引入r a n d e r s 度量 的概念它无论是在光学还是在其他物理领域都有广泛应用在几何 上，r a n d e r s 空间提供给我们一类重要的既非r i e m a n n 又非m i n k o w s k i 的b e r w a l d 空间的例子r a n d e r s 度量是由一个r i e m a n n 度量和一个i 形 式构造而成，是f i n s l e r 度量中与r i e m a r m 度量关系最为密切的一类度量， 因此研究r a n d e r s 空间的几何性质具有重要意义前几年，d b a n 和z s h e n 2 3 】在s 。上构造了一类非射影平坦的具有常旗曲率k 1 的r a n d e r s 度 量；a u r e lb e j n c u 和h a n ir e d af a r r a n 2 4 】把这一结构推广到了更高维的 前占 空间，证明了对于任意常数k 0 ，在单位球面弘+ 1 上存在具有常旗曲 率k 的非射影平坦的f i n s l e r 度量；z s h e n 2 5 】构造了许多有意思的常旗 曲率的r a n d e r s 度量；b a o 和r o b l e s 2 7 1 找n r a n d e r s 流形有常旗曲率的 充要条件本文给出了齐性r i e m a n n 流形上的旗曲率表达式，并且给出 了一族旗曲率恒大于零的r a n d e r s 度量的例子，这些对于我们进一步研 究r a n d e r s 空间有重要作用 a k a p l a n 4 】在1 9 8 0 年研究椭圆型偏微分方程时引入广义h e i s e n b e r g 群的概念由二次型出发。他定义了一类有左不变r i e m a n n 度量的单连通 二步幂零李群，这是古典意义上的h e i s e n b e r g 群的推广由 5 本文作者 想到在广义h e i s e n b e r g 群上定义左不变p a n d e r s 度量，并且用同样的方法 得到了这类空间旗曲率的一般表达式 前言，主要介绍f i n s l e r 几何最近的发展情况和本文的研究方向及知 识结构第一章，我们主要介绍一些基础知识，f i n s l e r 几何的一些基本定 义，r a n d e r s 空间的构造及主要性质和广义h e i s e n b e r g 群的定义及性质 第二章，我们计算了齐性r i e m a n n 流形上不变r a n d e r s 度量的旗曲率公 式，并利用这个公式计算了s 口s 1 上相应的r a n d e r s 度量的旗曲率，发 现这样的r a n d e r s 度量具有恒正旗曲率：然后，我们给出了广义h e i s e n b e r g 群上左不变r a n d e r s 度量的旗曲率，发现在某些特殊的旗上，r a n d e r s 度量 的旗曲率和相应的r i e m a n n 度量的截面曲率有一定的关系：最后，我们计 算并给出了了齐性r i e m a n n 流形上不变r a n d e r s 度量的c a f t a n 曲率 笫t 章垫础知i i f ! 第1 章基础知识 本章我们给出了本文中要用到的一些基础知识：f i n s l e r 几何，h e i s e n b e r g 群和代数的一些基础知识，并给出了本文所需要的一些重要结 论 注：本文所出现的流形均指n 维光滑流形，出现的上下标i ，j ，k 等均 取自从1 到几的自然数，并且本文采用e i n s t a i n 的和式约定 1 1f i n s l e r 几何的基础知识 本节主要介绍本文需要的f i n s l e r 几何的基础知识 定义1 1 1 ( m i n k o w s k i 空间) 设y 为一向量空间，若y 上的函数f = f ( y ) 满足以下性质? 例f ( v ) 0 ，v yee 且f ( y ) = 0 当且仅当y = 0 j 忙p f ( a y ) = a f ( 可) ，v y ”v a o j 俐f 是定义在y o ) 上的光滑函数? 御定义在矿上的对称双线性函数 咖m = 互1 鑫i f 2 ( y + s u + 幻) 】| 蒯v 为一内积， 则称f 是向量空n v 上的- - m i n k o w s k i 范数，内积鲰称为沿y 方向的基本 形式，( vf ) 为- - m i n k o w s k i 空间 定义1 1 2 ( f i n s l e r 流形) 设m 为一流形，如果定义在t m = 乩m 瓦m 上的函数f = f ( z ，y ) 满足 倒f = f ( x ，y ) 为定义在t m o ) 上的光滑函数? 何对v z m ，尼( 可) = f ( x ，y ) 为冗m 上的一个m i n k o w s k i 范数， 则称f 为流形m 上的f i n s l e r 度量，( m ，f ) 称为一只邶如r 流形 设( m ，f ) 为一f i i l s l e r 流形，以为m 的局部标架场，为与其对偶的 局部余标架场则 e f = ( z ，y ，玩) 为矿t m 的局部标架场，：矿) 为 其对偶的矿p m 的局部余切标架场定义 鲫= ；【f 2 】删( 训) ， = 1 i f 2 】圹一矿( z ，剪) ， 我们就z 1 4 丁m 0 ， ( 1 1 ) 第1 章皋札b 自l 识 疡( 可) = 0 ， ( 1 2 ) 跏( j 0 ( 乱) ， ) = 约( u ，j 0 ( 钉) ) ，u ， 已m ( 1 3 ) 以上三个方程称为r i e m a n n 曲率r 的三个基本方程 定义1 1 3 ( 旗曲率) 设( m ，f ) 为一凡n s f e r 流y d , z m ，y 瓦m 对于包含向量y 的截 面p c 互m 令 妣沪而器警丽， 其中钍p ，p = s p a n y ，) 我们很容易看出，k ( p y ) 不依赖于p 中向 量乱的选取，( 尸y ) 称为( m ，f ) 在z 点沿切方向西的旗曲率若d i m m = 2 ， p = 足m 为m 在z 点处的切平面，因此旗曲率k = k ( z ，y ) 为? m o ) 上的数量函数，称其为( m ，f ) 上的g a u s s 曲率 性质：设f 为流形m 上的l s e m a n n 度量，则对于疋m 中的任意截面p ， 旗曲率k ( p ，y ) 不依赖于y p 的选取，这里的旗曲率就是r i e m a n n 几何 上的截面曲率 1 2r a n d e r s 度量的大范围表示 r a n d e r s 流形是f i n s l e r 流形中和r i e m a n n 流形关系最为密切的一类 流形，这类流形的研究在物理上有重要应用本节我们将介绍r a n d e r s 度 量的基本概念以及一些基本结果 定义1 2 1 ( r a n d e r s 度量1 设m 是一个n 维光滑流形，o l = a j ( x ) d x qd 为m 上的一个r i e m a n n 度 量，口= b i ( x ) d x i 为m 上的一个j 形式如果 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 一 i i 卢0 = 、c ( z ) 玩( z ) 幻( z ) 1 v x 峨( 1 4 ) 其d p ( a z j ) = ( ) ，我们定义f = o l + 屈则f 为m 上一只船衙度量，称 为m 上的r a n d e r s 度量 下面我们介绍一种在r i e m a n n 流形上表示r a n d e r s 度量的方法： 设z m ，那么流形m 上的r i e m a n n 度量g 在余切空间m 上诱导 了一个内积简单的计算我们就可以得n ( d z t ，d x j ) = ( z ) 相应 的，1 - 形式p 对应肜上一个光滑向量场矿，设矿= ( 6 + ) 鑫，因此我们 有( 扩) = i 扣1 幻= 驴对于任2 $ y t z m 我们有 ( 玑b + ) = ( 分，( 6 j ) 羔) = b i ( x ) y i = 盹可) 很显然，我们可以得出归0 = i i b + l l ，因此( 1 4 ) 式成立当且仅当l l b * l i 1 ，从 而下述引理成立 引理1 2 2 流形m 上的一个r 册如憎度量f 由一f r i e m a n n 度量n = o 玎( z ) 出od x j 和一个光滑向量场矿确定，f ( z ，y ) = 、可可瓦而+ n ( z ) ( 矿，封) ，v $ + ty t z m 且鲈= y i 鑫：j 毛d p b + 满足a ( z ) ( 扩，矿) 1 比m 1 3r a n d e r s 空间的联络 众所周知，联络是微分几何中最基本也是最重要的概念，联络就是使 我们得以对流形上的向量场进行”微分”的一种手段本文完全采用陈联 络，关于p a n d e r s 度量的陈联络我们有： 引理1 3 1 设f = 口+ p 为流形m 上的一+ r a n d e r s 度量，a ( 可) = 、( z ) 扩y j ，p ( 可) = 瓯( z ) 矿而且俐l p = s u p v 耳m 糍 1 ，如果p 相对 于r i e m a n n 度量o l 来说为平行的j 形式，那么f 就是, b e r w a l d 度量，而且f 的联络与o l 的联络保持一致，因此g a n d e r s 度量f 与r i e m a n n 度量o t 的曲 率张量保持一致 絷l 章毖础自l 氓 证明：定义魄h = d b i b 彰，其中疗= d z 且霞= 鼹出。，酲表示r i e m a n n 度量口的l e v i c i v i t a 联络形式令 = ；( 阮b + i ；) ，吼h = ；( 玩b b j 。) ，审= a i s 幻， s j = 玩苗，e i j = + 玩勺+ b 魂 ， 那么 g = g - 十万e o o s o 矿+ 口s 6 ， 其中e 0 0 = e i j y i y j ，8 0 = s l y ， s 5 = 弓矿因此如果p 是相对于a 平行 的l 形式，也就是说玩d = 0 ，则分= 昏，因此f 的联络与n 的联络保持一 致又因为 磁= z 篆一矿器+ z 磊一雾等， 故死n s e r 度量的曲率张量由唯一确定，硫= 磁，f 与a 的曲率张量 相同 1 4 广义h e i s e n b e r g 代数和群 本节介绍广义h e i s e n b e r g 代数和群的基本概念和性质 ( 一) 广义h e i s e n b e r g 代数和群的定义 设p 和a 分别为n ，9 7 , 维的实向量空间。其中佗，m lp ：p p 一3 为 一个反对称的双线性映射令i i = p0 3 ，我们在n 上定义一个内积( ，) ，使 得p 和5 是正交的，而且通过下列方式我们可以定义一个品代数的微分同 胚 ，： 5 - - - - t 日砌( p ) ，z _ j zv v , v p ，z 3 ( j 矾v ) = ( 阢y ) ，z ) ， 第l 章基础丧汉 我们在n 上定义一个李代数结构v 以v p ，x ，y a ： 【u + x ，y + 明= 卢( u y ) ， 如果 v z 3 ，兄= - ( z ，z ) i d j ， 则李代数( n ，( ，) ) 称为是一个广j g r - l e i s e n b e r g 数j 相应的单连通李群， 连同其上诱导的左不 3 芝r i e m a n n 度量弘称为广义胁i s e n b e r g 群 ( 二) h e i s e n b e r g 代数的一些性质 设( n ，( ，) ) 为一个广义的h e i s e n b e r g 代数，由定义3 1 我们立即可以 看出5 为n 的中心，而且满足【n ，- 1 = a ，b ，n 】= o ，因此是n 二步幂零李代 数，从而我们有 性质：任何一个广义h e i s e n b e r g 代数都是以3 为中心的二步幂零李代数 以后我们用以v 表示p 中向量，x ，z 表示a 中向量，u + x 表 示n 中向量，我们定必 j 。 - 。- 。 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。 _ _ _ _ _ _ _ _ - 。_ _ _ _ _ _ 一 i u + x i = v w + ：厶吲一身阢矗吲一；喊龙明+ ；帜y ) 五 ( 1 1 6 ) 更进一步，如果u + x ，v + y n 是相互正交的单位向量场，盯是由u + x 和y + y 张成的截面，那么( ，g ) 关手截面盯的截面曲率k p ) 为 ( 盯) = ；( 嗍y j 2 + m x l 2 ) + ( x ，y ) ( 以y ) 一i l v , v l l 2 一； a x v , s r v ) 从f 式我们看出截曲摩可诈百t 债 0 一 第2 章齐性r i e m a n n 流形f 币蹙r a n d e r s 度帚的船曲率 第2 章齐性r i e m a n n 流形上不变r a n d e r s 度量的 旗曲率 2 1 齐性r i e m a n n 流形上不变r a n d e r s 度量的旗曲率 设( a u , g ) 为约化齐性i o e m a n n 流形，g 为g h 上的不变r i e m a n n 度 量g = l i e ( g ) ，b = 乜e ( 日) 固定g 的分解g = b o m ( 子空间的直和) 其中m 为g 的子空间而且满足= a d ( t t ) mcm ，v h h ( 5 】) 设f 是 由e a e m a m 度量g 和a d ( h ) 不变的向量场x 确定的不变r a n d e r s 度量 f ( y ) = 、页i 两+ 夕( x ，y ) ，v y m ， ( 2 1 ) 其中x 满足9 ( x ，x ) 1 ，本节我们给出计算p a n d e r s 空间( g 日，f ) 的旗 曲率公式 定理2 1设y 是m 中一非零向量，盯是m 中包含y 的一个平面， 则t o ( g h ) 中旗( 吼y ) 的旗曲率由下式给出： 砷= 盟盟捌生臀装带巡趔幽趔 其中，u 为关j = r i e m a n n 度量度量9 与y 正交的单位向量场，盯= 印帆 玑y ) 证明：由 6 】，f 的曲率张量为 r ( 以y ) w = _ 盼明b ，吲， 因此 地y ，= 丽锷器 n f ( y + s u + t v ) = 怕谚干瓦耳面了干丽丽+ 9 ( x ，y + s u + t v ) ， 则对于任意s ，t r f 2 ( y + s u + t y ) = g ( y + s u + t k y + s u + t v ) + 9 2 ( x ，y + s u + t v ) + 2 、9 ( 1 ，+ s u + t v , y + s u + t v ) g ( x ，y + s u + t v ) 孵( 以y ) = ；0 2 f z ( y u + 。饥s u + t v ) 脚= 0 = 9 ( e v ) + g ( x ，v ) g ( x ，v ) ，g ( x ，矿) g ( y u ) 。g ( x ，u ) g ( k v ) 。以研饷i 耵y + ( 揣一错m 聊。、j ；同、i i ( 聊9 、。1 7 由上面的等式，我们很容易看出钟( 以v ) 与y 的长度无关，故旗曲 率h y ) 也与y 的长度无关为方便起见，我们选取y 为单位向量 场，此时有 g y ( v , v ) = 9 ( 阢v ) + g ( x ，u ) g ( x ，v ) + 9 ( 五y 冶( v u ) + 夕( 五u ) g ( kv ) + b ( 以v ) 一夕( kc ，b ( v ) l a ( x ，y ) 如果我们选u 为与y 正交的向量场( a o g ( u , y ) = o ) ，直接计算就可以 得到 鲫( 【y ；卅b ，y 】，u ) = 9 ( 阢硼自，y 】，u ) 【1 一g ( x ，y ) 】 + 夕( x ，u ) g ( x + i f , 叨o ，y 】) 一1 2 g r ( y , y ) = 1 + 9 2 ( x ，y ) + 2 9 ( x ，y ) = 【9 ( x ，y ) + 1 】2 ， g r ( u , u ) = 9 ( 以u ) + 9 2 ( x ，u ) + 夕( u b ( x ，y ) ， 卵( y u ) = g ( x ，u ) b ( x ，y ) + 1 1 因此 k ( 盯，y ) ：2 1 【l 兰塑：塑! 里! ! ! 二望! 茎! 兰2 1 里! 茎! 竺! g ! 茎兰【兰塑91 蛩! 9 ( 以u ) 【1 + g ( x ，y ) 】3 。 注意到k ( 盯，y ) 仍与u 的长度无关，我们选u 为单位向量场，定理得证 注l ：若以y 是关于g 正交的向量场，以y 不一定关于卵正交即 若9 ( 以v ) = 0 ，不一定有g y ( 阢v ) = 0 反之亦然 注2 ：南j 于r i e m a n n 对称空间来说，我们有【y b = 【y ，因此我们 得到 砷y ) = 盟业幽等端矫婴幽 2 2s 2 s 1 上不变r a n d e r s 度量的旗曲率 本节将利用定理2 1 给出铲s 1 上不变r a n d e r s 度量的旗曲率的具体 公式首先，我们介绍一个基本事实： 引理2 2 ：s o ( n + 1 ) 上自约m m n g 型为b ( x ，y ) = 一1 ) t r ( x y ) ，其 中五y s o ( n + 1 ) 证明：我们知道，酽对应的正交对称李代数为( s d + 1 ) ，s ) ，其中s 为 s ( x ) = 。x 1 1 。 于是3 d + 1 ) 的对8 的分解为s o ( n + i ) = t + p ， 第2 牵齐性r i e m a n n 瀛形j4 、立r a n d e r s 度早的旗曲率 e = d i a g ( o ，b ) i b s d ( n ) ) h ( 羔。) 瞰舻， 下面我们求s o ( n + 1 ) 的k i l l i n g 型b 注意到， 互b 一易t 1 1 i js 竹+ l 为s d m + 1 ) 的一组基( 五0 表 示第i 行，第j 列的元素为l ，其余元素为零的+ 1 ) m + 1 ) 矩阵) x s o ( n + 1 ) 当且仅当x = 一x ，故( x 2 ) 2 = x 2 ，即有 ( x 2 ) ：= x k x = 五x = ( x 2 ) 对于x s o ( n + 1 ) ，我们有 ( a d x ) 2 ( 一易t ) = x 2 t e 钮一e j 0 + e i j e i i x 2 2 x ( e q e j t ) x = n 一- b l 、y 2 ) i 。e 酊一罂；( x 2 ) 岛i 一譬i ( x 2 ) f e k j + 2 。p n k 1 + ：1 1 ( x ) f 对e t 一2 ；拦l ) 玛e k t + y _ f t 。；+ tr 、y 2 ) ；蜀k = ( e k j 一易i ) 鐾 ( x 2 ) l + ( e 矗一最e ) 譬i 僻2 ) ； + 2 ( 局一。e 巧k j j 。r m + f - l l ( x ) ；( x ) ? = f ( x 2 ) i + ( x 2 ) ；+ 2 ( x ) j , ( x ) f l ( e , j e j i ) + ( 注：( x ) ；表示矩阵x 的第z 行，第歹列的元素，( x ) k 表示第七个行向量， ( x ) 。表示第1 个列向量) 因而有 b ( x ，x ) = t r ( a d x ) 2 = ( x 2 ) i + ( x 2 ) 翻一2 ( x ) i ( x ) ； i j i 旬 = ；【( x 2 ) i + ( x 2 ) ；】一y , ；n 。4 - ：1 1 ( x ) ；( x ) ； 一 判 = ；姥，f ( x 2 ) i + ( x 2 ) 翻 1n + 1 一；【( x 2 ) i + ( x 2 巧】一t r ( x 2 ) i = j = i = mq - 1 ) t r ( x 2 ) 一t r ( x 2 ) 一t r ( x 2 ) = 一1 ) ! ( x 2 ) 又对x ，y s o ( n + 1 ) 有 b ( x ，y ) = ； b ( x + y ，x + y ) 一b ( x ，x ) 一b ( y ；y ) 】 = 孚 僻+ y ) 2 曲( x ) 2 _ t r ( y ) 2 】 = 一1 ) t r ( x y ) 由于b 在p 上是负定的，故一b 在p 上的限制可取为p 的内积 下面我们利用定理2 1 计算流形m = 妒s 1 上的不变r a n d e r s 度量 的旗曲率 设底流形为m = 铲xs 1 ，r i e m a n n 度量q 为铲和s 1 上标准r i e m a n n 度量的乘积，设m 和卯分别表示s 2 和_ s 1 上的标准r i e m a n n 度量，利用s 1 上通常的球坐标系，即用t 参数化s 1 为( c o s t ，s i n t ，o ) 令p = e d t ，0 e 。 其中p = s _ p 岱佗 以y ) 、 2 3 广义h e i s e n b e r g 群上左不变r a n d e r s 度量的旗曲率 同样的，广义h e i s e n b e r g 群( ，g ) 上的每一个左不变r a n d e r s 度量都 由一个左不变的r i e m a n n 度量g 和一个长度小于l 的左不变向量场a 决 定 更进一步的，如果a 是( ，g ) 上关于g 平行的向量场，那_ , f 的联络 与g 的联络保持一致因此，用与上面同样的方法，我们计算出f 的旗曲率 如下： 命题2 3 ：广义胁i s e n b e r g 群上由左不变r i e m a n n 度量g 和左不变向量 场a c i i a i l 1 ) 决定的左不 - 变r a n d e r s 度量的旗曲率为 k ( 盯，w + z ) g ( a ，u + x ) g ( a ，凰w + z ) ( 矿+ x ) ) + 【1 + g ( a ，w + z ) 】( 盯) 【9 ( a ，w + z ) + 1 】3 其中矿是由单位正交向量场+ z 和u + x 张成的截面，r 是( 夕) 关 于左不变c r i e m a n n 度量9 的曲率张量 证明： _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ 一 f ( w + z ) = 、g ( w + z ，w + z ) + 9 ( a ，+ z ) 与( 2 1 ) 节的计算过程相同，我们可以得到 9 ( w + z ) ( u + x ，v + y ) = 9 ( u + x ，v + y ) + g ( a ，u + x ) g ( a ，v + y ) + g ( a ，v + y ) g ( w + z ，u - 4 - x ) g ( a ，u - t - x ) g ( w + z ，v + y ) 4 9 ( w + z ，wq - z j怕( + z ，w 十z ) + 了考吕占揣9 c a ，+ z ， 一里坚! 二凳；嘉岳；笔；g 等铲9 ( a ，+ z )匀( w 7 + z ，w 7 + z ) 3 上述公式与缈+ z 的长度无关，故我们取它为单位向量场，因此有 故 9 ( + z ) ( u4 - x ，v + y ) = 9 ( u 4 - x ，v 4 - y ) q - g ( a ，u + x ) g ( a ，v + y ) + 夕( a ，v + y ) g ( w + z ，u + x ) + 9 ( a ，u + x ) g ( w + z ，v + y ) + g ( u + x ，v + y ) g ( a ，w + z ) 一g ( w + z ，u + x ) g ( w - 4 - z ，v4 - y ) g ( a ，w + z ) 耿+ z ) ( u + x ，r ( + z ) ( u + x ) ) = i + g ( a ，w + z ) 】夕( u - 1 - x ，r ( w 斗z ) ( u + x ) ) + 夕( a ，u + x ) g ( a ，r ( w + z ) ( u + x ) ) = 【1 + g ( a ，w + z ) 】k ( 仃) + g ( a ，u + x ) g ( a ，最+ z ) ( u + y ) ) ， 一2 0 9 ( + z ) ( w 7 + z ，7 + z ) = 【1 + g ( a ，w + z ) 】2 ， g ( w + z ) ( c 厂+ x ，c 厂+ x ) = 1 + 夕2 ( a ，u + x ) + g ( a ，w + z ) ， g ( w + z 1 ( u + x ，w + z ) = 【1 + g ( a ，w + z ) 】g ( a ，u + y ) 从而我们可以得到 k ( 盯，w + z ) g ( a ，u + x ) g ( a ，r ( w + a ( u + x ) ) + 【1 + g ( a ，w + z ) i k ( a ) 2 飞丽万了万订r 一 其中盯= s p a n u + x ，w + z ) 是由单位正交向量场u + x ，w + z 张成 的平面若a = a ( u + x ) ，则 g ( o ，w + z ) = ( 1 + a 2 ) k ( 盯) 从而在这样的截面上有k ( 盯) ( 盯，w + z ) 2 k ( 盯) 注：由于广义h e i s e n b e r g 群( ，g ) 上左不变r i e m a n n 度量的曲率 张量己由( i 1 6 ) 式给出，故我们可以把( ，f ) 的旗曲率表达式具体写出 来另，对于一般李群来说，只要它上面存在左不变r i e m a n n 度量和模小 于l 的左不变向量场，上述公式都成立 2 4 齐性r i e m a n n 流形上不变r a n d e r s 度量的c a r t a n 曲率 f i n s l e r 流形上有很多重要的几何不变量，其中有些不变量在r i e m a n n 流形上为零，因此称为非鼬e n l 孤n 性质，c a n a n 张量就是这种张量下面 我们先介绍c a r t a n 曲率的一些性质： 性质：设( 尬f ) 为一f i 船l e r 流形，则 1 ) c i j k 全对称，即c = g 让= g 幻， 2 ) y 。c = 0 ， 第2 苹并性r i e m a n n 浼j 髟l 小蹙r a n d e r s 使昂豹旗曲车 3 ) ( m ，f ) 是r i e m a n n 流形当且仅当c = 0 由上述性质可戋l ：i f i n s l e r 流形的c a r t a n 曲率反映了流形的非础e m 籼 性质，故而对于f i n s l e r 流形来说，计算它的c a f t a n 曲率是非常必要的下 面我们给出齐性r i e m a n n 流形上不变r a n d e r s 度量的c a f t a n 曲率公式 c p ( 矾v w ) = ：彘f 2 ( y + r + s u + t v ) l 一 = ；导【；磊f 2 ( y + r 瑚例儿剁删 = ；妄9 y 押( 配叼i ，= o = ；茅d ( u y ) + 9 ( x ，u 冶( x ，y ) g ( x ，v ) g ( y + r 彬u ) g ( x ，u ) g ( y + r 仉j y ) 。 夕( y + r 彬y + r w ) 、9 ( y + r 彬y + r ) + 丽器岳丽邪y + 嗍 一g ( 7 y 孑+ 萨r w i , i u 万) g 弓( y + i r 丽w 丽, v 一) 夕( x ，y + r 彬) ) l ，：。 9 ( y + r 彬y + r ) 3 。、 “”一” ：三f 旦! 茎! 1 2 堕( 兰里2 ! 旦! 堡竺2 1 望! 茎! 坚2 鲤! 兰1 2 ! 望! 堡1 2 l 2 。 、历形了7 形丫干而两 9 似v ) b ( x ，y ) + r g ( x ，彬) 】 。 否( y + r w , y + r w ) k ( y 7v ) + r 夕( 彬y ) 】酱( y u ) + r g ( 仰ju ) 1 囟( x ，y ) + r g ( x ，1 p 矿) 】、。 一丽矿再面艿帚霈广一仆一0 ：三j 旦( 茎! ! ! 望! 堡里! 旦! 茎! 坚2 旦! 堡1 2 里! 坠! 塑( 茎! 堡1 2 。 9 ( y ) 2 2 g ( y w 7 ) b ( x ，y ) g ( y u ) + g ( x ，u ) 夕( kv ) + 9 ( v ) g ( x ，y ) 】 以弼 3 9 ( y u ) g ( vy ) 9 ( y w ) g ( x ，y ) 石研 参考文献 【1 r a n d e r s g ，o na na s y m m e t r i ci nt h ef o u rs p a c eo fg e n e r a lr e l a t i v i t y , p h y s i c s r e v 5 9 ( 1 9 4 1 ) ：1 9 5 1 9 9 【2 】a n t o n e l l ip l ，i n g a r d e nr sa n dm a t s u m a t om ，t h et h e o r yo f s p r a y sa n d f i n