（基础数学专业论文）沿特殊曲线的hilbert变换的交换子的有界性.pdf

沿特殊曲线的h i l h e r t 变换的交换子的有界性 摘要 本文主要研究沿立方抛物线( t ，t 3 ) 的h i l b e r t 变换的交换子的有界性，沿抛物 线( t ，f 2 ) 的h i l b e r t 变换生成的多线性交换子以及与l i p s c h i t z 函数生成的交换子的 有界性问题 第一章简要的介绍了沿曲线的h i l b e r t 变换的交换子的研究背景及意义以及 有界性问题研究的发展状况 第二章讨论了沿立方抛物线( t ，t 3 ) 的h i l b e r t 变换与b m 0 函数生成的交换子， 并证明了这类交换子以及极大算子为汐( 酞2 ) 空间上的有界算子 第三章主要研究了沿抛物线( ，t 2 ) 的h i l b e i r t 变换生成的多线性交换子的有界 性问题，证明了当i = ( 6 1 ，6 2 ，6 m ) ，阢曰m d ( r 2 ) ，i = 1 ，2 ，m 时，此类多线性 交换子以及极大算子是( r 2 ) 空间上的有界算子 第四章主要证明了沿抛物线( t ，2 ) 的h i l b e r t 变换与抛物型l i p s c h i t z 函数生成 的交换子为驴( f ) 到铲( r 2 ) 上的有界算子，其中 = ：一等，o p 蠢 关键词：沿曲线的h i l b e r t 变换；交换子；抛物型b m o 空间；抛物型l i p s c h i t z 空 间 i i 硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t l 】d yt h eb o l l n d e d n e s so fc o n 瑚1 l t a t o r sg e n e r a t e db yh i l b e r tt r a n s f o r m sa l o n gc l 】b i cp 盯a b o l a ( t ，t 3 ) ，删】l t i l i n e a u rc o m n l l l t a t o rg e n e r a t e db yh i l b e r tt r a n s f o n n sa l o n gp a r 出o l a ( t ，2 ) w i t hb m 0a n dl i p s c h i t zf l 】n c t i o n i nc h 印t e r1 ，w es i m p i yi n t r o d l l c et h eb a c k g r o u n da n dt h ed e v e l o p m e n ti nt h eb 0 1 1 n d e d n e s so f m m l l t a t o r sw i t hh i l b e r tt r 粕s f o 咖sa l o n gc l l n r e f ； i nc h a p t e r2 ，w ed i s c l l 8 st h ec o m m l l t a t o r so fh i l b e r tt r a n s f 6 咖sa l o n gc l l b i cp a u r a b o l a 3 ) w i t hab m of l j n c t i o nw h i c hi sa s s o c i a t e dw i t hc 1 1 b i cp a u r a b o l a w ep r o v et h a tt h e c o m n m t a t o r sa n dm a x i m a lo p e r a t o r sa r eb o m l d e do n 上户( r 2 ) s p a u c e ； i nc h a m e r3 ，w es t l l d yt h eb d l l n d e d n e s so f 锄l h m n e a rc o m m l l t a t o r so fh i l b e r tt r a n s f o 珊sa l o n gp a r a b o l a ( t ，t 2 ) w bp r o v et h a tt h ec o m 硼l t a t o r sa n dm a x i m a lo p e r a t o r sa r e b o l l n d e do n 妒( r 2 ) s p a u c e s ，i fi = ( 6 1 ，6 2 ，h ) ，6 t 引订o ( r 2 ) ，t = 1 ，2 ，m i nc h a p t e r4 ，w ec o n s i d e rt h eb o l 】n d e d n 幅so fc o m m u t a t o ro fh i l b e r tt r a n s f o 彻sa l o n g p a u r a b o l a ( ，t 2 ) w i t hal i p s c h i t zf l l n c t i o nw h i c h i sa s s o c i a t e dw i t hp a r a b o l a w bo b t a i nt h a t i f6 a 品( r 2 ) t h e nt h ec o m 硼l t a t o ri sab 0 1 】n d e do p e r a t o rf r o mp ( r 2 ) t 0 己2 ( r 2 ) w b e r e ；= ；一等，o o ，后= 1 ，2 ，n ) 时马 的口( r n ) 有界性，l p n 利，m v i e r e 和w 抽1 9 e r 在【3 0 】中证明了沿曲线( 厶铲) 的h n b e r t 变换的极大算子的估计问题，s t e i n 在【3 1 】【3 2 】中引入9 函数的技巧证明 了沿球面平均极大函数的p ( p ) 有界性，此后，s t e i n ，g e r 在【3 3 】中用类似的方 法证明了沿光滑曲线7 ( t ) 的极大算子的驴( p ) 有界性，1 p 关于沿曲线的 h n b e r t 变换生成的交换子的有界性的研究，2 0 0 5 年，鲁志波在1 3 4 】中研究了沿抛物 线( 亡，舌2 ) 的h i l b e r t 变换与抛物型b m r o ( r 2 ) 函数生成的七阶交换子的有界性，其 中抛物型b m d 赫口( r 2 ) 函数定义如下，对局部可积函数6 ，称6 b m 0 知m ( r 2 ) ，若 1， 1 1 6 i | 且肘。( r 2 ) 2s u p 南厶1 6 ( y ) 一啪( 6 ) i 咖 ， 其上确界取自所有的抛物形方体，这些抛物形方体的形状为 ，po q = q ，( o ，的= i 口一，n + 苦】一；，6 + 】 当曲线，y ( t ) 为立方抛物线时，沿7 ( t ) 的h n b e r t 变换与b m o 函数的交换子的 ? 性质，还没有研究，显然此时的b m o 函数应当是与，y ( ) 相关的 2 0 0 2 年，p e r 与m i i 盼g 伽z a k 在【3 5 】中推广交换子引入了一类多线性奇异 积分交换子，设石= ( 6 l ，6 2 ，6 m ) ，定义多线性交换子 ，! ! 匮卅，( z ) = 兀( 玩( z ) 一仇( 可) ) k ( z ，可) ，( 可) 由， ，酗酉 i 其中k 是c a l d e r 6 n - z y g 加u d d 奇异积分核，如果饥b m o ( p ) ，t = 1 ，2 ，仇则 匠邪是驴有界的( 1 p a f d 厂掣z 矿( e + 掣) 如 ，r n “ 随后，许多人研究了一些算子生成的多线性交换子的有界性关于更多最新的多线 j 性交换子的成果可参考文献f 3 6 】【3 7 】。那么沿抛物线( t ，亡2 ) 的h n b e r t 变换生成的多 线性交换子是否有界，又需要什么样的条件这是在文章第三部分解决的问题 除考虑算子与8 m o 函数的交换子的性质外，与“p s c 址t z 函数的交换子的有 ：界性问题同样得到了人们的关注j 删在【1 4 】中证明了标准的c 小e r 6 m z y g m u n d - 奇异积分算子与l i p 8 c h i t z 函数生成的交换子是汐( 舻) 到弘( 舻) 的有界算子，其 中1 p o o ，o p 1 ，p = n ( j 一：) 1 9 9 5 年，附u s 嘶s l 【i 在【1 5 】中证明了 p ，卅是从p ( r n ) 到留，( r n ) 有界的，其中l p ，o p 1 ，6 ( 础) ，这 里人卢( r n ) 是齐次l i p s c m t z 空间( 见【3 8 】) ，霹，( p ) 是齐次t h e b e l - l 让斌l 血空间( 见 【3 9 】) 2 0 0 2 年，陆善镇，吴强，杨大春在【4 0 】中证明了【6 ，卅是从舻( r n ) 到口( p ) 一3 一 沿特殊曲线的h i l b e r t 变换的交换子的有界性 的有界算子，如果b 砧( 舯) ，o p 1 ，南 p 1 ，；= ；一等2 0 0 6 年，刘丽霞， 马柏林在【4 l j 研究了乘子与l i p s c l l i t z 函数的交换子在三2 附近的有界性问题他们 得到当乘子在无穷远处满足一定的衰减条件时，交换子是从p 到印有界的，其中 渤p 南，：= ；一等而沿抛物线( t ，t 2 ) 的h 丑b e r t 变换与l i p s c l l i t z 函数生成 的交换子的尚未有人研究，于是在第四部分中研究了此类问题 1 3本文的主要工作 第一章简要介绍了问题研究的背景及意义，总结前人所作出的一些成果，并提 出问题第二章讨论了沿立方抛物线( ，垆) 的h i l b e r t 变换的七阶交换子，主要用稳 定位相法来估计b o r e i 测度的f o l l r i e r 变换的有界性，证明了此类交换子以及相应 的极大算子是驴有界的第三章研究了沿抛物线( 芒，t 2 ) 的h n b e r t 变换的多线性交 换子毋，对i = 仇，k ，k ) ， 昭( z ) = 日( ( 玩( z ) 一) 趴z ) 邓 r 佃疗( 阢o ) 一玩( z 一，y m 一，y ) ) 譬= p 肌( 阢o ) 一玩( z 一，y m 一，y ) ) 警 ，一= l 。 证明了当玩b m d 口( r 2 ) ，i = 1 ，2 ，m 时，嘞以及相应的极大算子是妒( r 2 ) 上 的有界算子第四章受【1 5 】、【3 4 】与【4 1 】的影响，很自然我们可以引入抛物型l i p s c l l i t z 空间，抛物型l i p 8 c t l i t z 空间由满足下列条件的函数6 组成：对0 p 1 ， a = 6 ：1 6 ( z ) 一6 ( 掣) is 印( z 一耖) ) ， 其中p ( z ) = ( z + z ；) ，且 l j 6 j i a 妒广瀑舻等拶 本章讨论了沿抛物线( ，护) 的h i l b e r t 变换与抛物型l i p s c k t z 函数生成的交换子为 护( r 2 ) 到铲( r 2 ) 上的有界算子，其中= ；一g ，o 蠢 一4 一 硕士学位论文 第2 章沿立方抛物线( 芒，亡3 ) 的h i l b e r t 变换的 交换子的汐( r 2 ) 有界性 2 1引言及主要定理 2 0 0 5 年，鲁志波在【3 4 】中研究了沿抛物线( t ，2 ) 的h n b e r t 变换耳与抛物型 b m o 函数生成的七阶交换子 儡，七，如) = 日；( ( 6 ( z ) 一6 ( ) ) 七厂) ( z ) ， 证明了当七为正整数，6 j e i m q 一( r 2 ) 时，对1 p ，风，七是妒( r 2 ) 上的有界 算子 沿抛物线( 屯t 2 ) 的h n b e r t 变换的自然推广为佗维曲线以及其他特殊的曲线 在这一章中，我们研究沿立方抛物线( t ，户) 的h i l b e r t 变换生成的交换子，当6 为立 方抛物型b m o 函数时，风，七是否仍为胪( r 2 ) 空间上的有界算子 用7 ( t ) 表示立方抛物线( t ，t 3 ) ，对，为s c h w a r t z 类函数，沿，y ( t ) 的h n b e r t 变换 定义如下 日弛。，现) 邓”厂佃m l 扩3 ) 譬 立方抛物型b m o 函数定义如下：对于局部可积函数6 ，若满足 l | 6 l l b 肋一僻) 。s u p 南厶1 6 ( ! ，) 一m q ( 6 ) i 咖 ， ( 2 1 ) 其上确界取自所有的立方抛物形方体，形状如下 q = q ，( n ，6 ) = f c l 一三，口+ 三】【6 一；，6 + 萼】 ( 2 2 ) 坝u 称6 为立方抛物型b m o 函数，记为6 b m d c 舭( 衅) 本文考虑皿与b m d 邮( r 2 ) 函数生成的七阶交换子皿徊 的有界性，其中 日净，七，( z ) = 6 ( z ) 皿西，( z ) 一皿；6 ，( 6 ，) ( z ) ，皿净，o ，( z ) = 珥，( z ) ( 2 3 ) 同时我们研究相应的极大算子 朋”，0 1 ，勋) = s u p 1 6 ( z 1 ，勋) 一6 0 1 一岛勋一t 3 ) ，忙l 一亡，z 2 一庐) i 疵 ( 2 4 ) 下面给出本文的结论，叙述如下： 定理2 1 1 设七是正整数 6 b m d 洮即( r 2 ) 则对1 p o 和 。z = p l ，z 2 ) ，五如下定义 况( z ) = ( z 1 ，垆z 2 ) ， 一5 一 沿特殊曲线的h i l b e r t 变换的交换子的有界性 j d 。( 钆z ：) ：- 产+ z 笋) 轰：( z 2 + z 跳j d 。如。，z ：) = ( z f + z 乒) 铀= 0 2 + z ；) ， 其中七l = l ，如= 3 ，葛= 七i 也= 3 ，易知p 1 ( 况z ) = t p l 0 ) 对z ，! ，r 2 ，令 户l ( z ，彭) = j d l 一剪) 下面引入与m 相关的b m o 空间这个空间很多人研究过，关 于此类空间的性质可参见【4 2 】【4 3 】 定义2 1 1 ( 见1 4 2 1 4 3 1 ) 设6 为r 2 上可测的局部可积函数，称6 属于空间j e 7 m 眇- ( r 2 ) ，若 8 u p 南上1 6 ( y ) 一m q ( 6 ) i 内c 0 0 ， 其中q 取自公式( 2 2 ) 所定义的立方抛物型方体， 咖( 6 ) = 高上咖 为证明定理2 1 1 ，我们需要下面的关于测度的一般性定理 定理2 。1 2 设1 【) j z 为一列b o r e l 测度，假定对某个正常数c 和a 满足 8 乃f i l gi 弓g ) f c m i i l p ，( 妨f ) 】a ，p ( 妨) 】- 口) ， i 豸( 如一，6 ) 一豸( 如一，已) isc k - 一巳l ， 其中而表示乃的f o u r i e r 变换对6 口m 伊z ( r 2 ) ，和正整数，定义算子磊，七和 g 6 七为 w 2 薹小”刊疗( 删蚓n g 彬= ( 薹“( 矿m 刊蚴秽， 则死，知和g 6 ，量都是l 2 ( 冗2 ) 上以c i l 6 i 瞎m 0 p l ( r 2 ) 为界的有界算子进一步，记心= l 乃i ， 假如对某个1 g ，极大算子 页刁，( z ) = s u p i ，( z 一! ，) i 巧如( 耖) ， 和 厩，2 七，( z ) = s u p ( 6 ( z ) 一6 ( z 一矽) ) 2 知l ，( z 一秒) l 谚蜥( 可) ， 都是l q ( r 2 ) 上的有界算子，则当l ；一 i 0 - ，p l ( 2 ，) r 其中石= 七l + 乜= 4 对1 8 0 ( 2 跗i z 2 1 ) 时，对，有估计， 娜印州孟+ 矽庐 s c 序叫舌出 c i z l i 。 第二种情形：当i z l l 8 0 ( 2 研i z 2 i ) 即可诱导出算子d 的转置算子 通过计算得 t d ，( 加一爰( 硒名南) d ( ( 缸1 + 2 3 j 户玉2 ) ) = e ( 缸l + 2 跗p 霉 ， 、即d 为e ( 缸- + 州护砣) 的不变微分算子，由振荡积分估计( 见【4 5 】一【4 7 】) = iz 4e “锄+ 2 3 j 如幻q c d 譬i = lz 4 - 。c e “2 ，红l + 2 3 j t 3 现，q o ，譬l = 睁引。( 华) 出i 分两种情况讨论第一种情形：当2 1 z l i 8 0 ( 2 旬l 现i ) 时，对j ，有估计， 肚睁m 删。( 华) 叫 c i z l i 】- 1 第二种情形：当i z l i 8 0 ( 捌l z 2 1 ) 时，对，j 我们有， = 盼陬l + 删嘲。( 半) 叫 肛概陋 ( 2 1 2 ) 其中a = 2 3 j i z 2 l ，( ) = 荟粕t + 8 夕仳2 垆，由于l 硝( t ) l = 6 ，由v - 趾d e rc o r p u t 引理 ( 见【4 5 】) 可知 睁概出b 喇户 9 一 ( 2 1 3 ) 沿特殊曲线的h i l b e r t 变换的交换子的有界性 由( 2 1 2 ) 与( 2 。1 3 ) 知 j j c 晡( 分oz ) 1 - 1 = c 【( 岔i z l i + ( 2 髟f z 2 f ) ) 】1 同理可得，的估计， j ，c 朊( oz ) 】1 = c 【( l z l l + ( 2 3 j l 现i ) ) 】 由式( 2 1 1 ) ，( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) 可知( 2 5 ) 成立下证( 2 6 ) 吲= i e 砘啪) j ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) = 1 2 - j 上e 硇州。q ( 刍) 叫 = le e 砘州吮出1 由于q ( t ) c 矿( r ) ，不妨假设s 唧q k ，6 】内，同上可证( 2 6 ) 成立下证( 2 7 ) i 豸( 2 一歹o 1 ) 一欲2 0o 已) l = 眨2 e 却叫，q ( 刍) 譬一f e 邓叫，q ( 刍) 譬l z 4 j e 一“2 - j 吒1 ) 1 ( 矽t ) 一e - ( 2 - j 吨) 似。j q ( 力譬 = 肛狮一e 嘶州t ) l 哮 c ( e 一婚1 ( ) ) 1 6 一巳i sc k l 一6 1 定义算子m 缸为 朋缸，( z ) = s u p 2 。， 1 6 l ，勋) 一6 ( z 1 一亡，z 2 一t 3 ) 门， l 二t ，勋一萨) i 出 要证明朋6 ，七的驴有界性，只须证明朋爱2 知的妒( r 2 ) 有界性取c 护( r 2 ) ，o ， 且当1 时，= l ，矗：( z ) 出= 丘q ( t ) 出，定义算子抽2 知和巧6 。弛分别为 巧；6 ，钴j f ( z l ，现) = f ( 6 ( 魏，勋) 一6 ( z l 一肌，现一妒耽) ) 2 七 ， l 一v l ，z 2 2 对抛) l ，耽) d 可1 d 抛 和 ；b ，2 七，( z l ，钇) ； ( 6 l ，勉) 一6 ( 万l 一t ，现一2 彰t 3 ) ) 始 一 ，( z l 一矽亡，现一乒t 3 ) 出 一1 0 硕士学位论文 可知 朋留( z ) 2 删) ( z ) + ( 陬瓠( 川z ) 一七( 川z ) 1 2 ) 5 c 删2 七m ) + ( 盼2 删) ( z ) 一2 七( z ) 1 2 ) 。 j z 利用引理2 2 1 和定理2 1 2 即得朋爱姥是三2 ( r 2 ) 上的有界算子，再由b o o t s t r 印讨 论，可得日6 和朋6 。七都是扩( r 2 ) 上的有界算子 一1 1 沿特殊曲线的h i l b e r t 变换的交换子的有界性 = = = = = = = = = = = = = = ! ! 竺! ! ! = ! ! ! ! ! ! 竺! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ，! ! ! ! _ 一一- _ - _ 第3 章沿抛物线的h i l b e r t 变换的多线性交换 子的汐( r 2 ) 有界性 3 1 基本概念及主要结论 扣0 2 年，p e r 铭和皿1 1 j i l l 伊g o n e 妇在【3 5 】中引入一类多线性交换子设若= ( 6 l ，6 2 ，k ) ，定义多线性交换子 搿( 加上垂( m 蜘 其中k ( z ，暑，) 是c a i d e r 6 n - z y g n m n d 奇异积分核如果6 口( 舭) ，i = l ，2 ，m ， p e r e z 和姗m g o n e 甜e e 在【3 5 j 中证明了是驴( 舻) ( 1 p ) 有界的2 0 0 5 年， 鲁志波在【叫中引入抛物型b m d ( r 2 ) 函数与巩生成的七阶交换子 正l ；k 七= 6 ( z ) 月i 6 ，知一l ，( z ) 一点；k 丘一l ( v ) ( z ) 并证明若6 ( z ) b m ( r 2 ) ，则q ；b ，知是口( r 2 ) ( 1 p ) 上的有界算子 受【3 4 】( 3 5 】的影响，本章引入沿抛物线( 亡，护) 的h i l b e f t 变换的多线性交换子 设i = ( 6 1 ，6 2 ，6 m ) ，定义i 和凰生成的多线性交换子为 w ( 加甄( 娶( m ( ) ) 帅 ( 3 1 ) 本文研究当6 b m q 脚8 ( 噼) ( i = l ，2 ，m ) 时，地是否为p ( r 2 ) ( 1 p o o ) 上 的有界算子，答案是肯定的桕! 应于算子皤，我们同时考虑极大算子 1，+ rm 朋o ) 。黜砉，rg 一玩p 7 ( 啪帅叫啪陋 ( 3 2 ) 在叙述我们的结果之前，我们先复述些定义： 定义3 1 1 ( 见【3 4 j ) 设6 是r 2 上可测的局部可积函数，称6 日m 0 ( r 2 ) ，若 | 1 6 m 。舯，。畔) = s 字高z 阪爹) 一m q ( 6 ) f 匆 o 和z = 0 l ，z 2 ) ，定义伸缩变换况与半模j d ) 为 况( z ) = ( 拓l ，2 勋) ， 硕士学位论文 p ( z ) ：( z + z 笋) 轰：( z + 。；) ，p ( z ) = ( z f + z 乒) 铀= ( z + 。；) ， 尼l = 1 ，乜= 2 ，后= 忌l = 2 ，显然有p ( 况z ) = t i i d ( z ) ，对任意z ，矽r 2 ，令 p ( z ，可) = p ( z 一可) 定义3 1 3 ( 见【3 4 j ) 设6 是r 2 上可测的局部可积函数，称6 属于空间b m o p ( r 2 ) ， 如果 8 挚高上1 6 ( 秒) 一m 日( 6 ) l 劫c o o ， 其中上确界取自所有的联系于p 的抛物形方体，其形状如( 3 3 ) 所示 定义3 1 4 ( 见阻】) 令1 p o 。，u 是r 2 上的非负局部可积函数，称u 群( r 2 ) ， 假如 s 字高上岫) 咖( 高z 础) 孚叼川 ， 其中上确界取自所有由( 3 3 ) 定义的抛物型方体 下面是我们的主要结果： 定理3 1 1 设云= ( 6 l ，6 2 ，6 仇) ，玩曰m 俨( 职) ，t = 1 ，2 ，仇对任意 1 p ，由( 3 1 ) 所定义的算子彤( z ) 以及由( 3 2 ) 所定义的算子朋扩 ) 都是 扩假2 ) 上以f f 酣口m o 一( r 。) 为界的有界算子 为了证明定理3 1 1 ，我们将证明一个更一般的结果定理3 1 1 可由这个结果 和b 0 0 t s t r 印讨论得到 定理3 1 2 设 b e z 是一列b o r e l 测度，假定对某个正常数c 和口 l i i l - gi 囝( f ) i cm i n 【j d ( 如) 】口，p ( 妨f ) 】一a ) ， i 喀( 如一，6 ) 一喀( 如一，已) f 1 6 6 l ， 其中吗是的f 0 u r i e r 变换，对云= ( 6 1 ，6 2 ，k ) ，玩b m d p ( r 2 ) ，l = 1 ，2 ，仇， 定义算子码和g i 为 彤p ) = 薹上。县慨p ) - 坂一们扣们奶( 珐 钳= ( 薹i 上。垂( m ( w ( 州掣彬， 1 则和g j 都是三2 ( r 2 ) 上以e 悯f b f 伊( r ，) 为界的有界算子，进一步，设吩篁f i ， 假若对某个l 口 o o ，极大算子 朋，( z ) = 8 u p i ，p g ，) l 毗( 可) ， 和 砜z m ) 2 泌上。婴( 玩( z ) 一玩 一们) 2 似z 一洲毗( n 一1 3 沿特殊曲线的h i l b e r t 变换的交换子的有界性 都是口( r 2 ) 上的有界算子，则当j ；一；i o 函 定义乘子算子& 为 & ，g ) = 妒( 2 一p g ) ) ，德) ， 霹为砰，缸) = & 慨，) 0 ) ，则对任意l p 和。雒( r 2 ) ，估计式 唾晰) 钆+ 峰) 毗蚓b 成立，且常数c 仅依赖于p 和u 的雒( r 2 ) 常数 引理3 2 2 设l p o o ，e 是范数为l e 的b 衄础空间，假若对任何u 心( r 2 ) ； 线性算子? ：c 铲( r 2 ) h 朋( e ) ( r 2 上可测的e 值函数的集合) 满足加权估计 0 2 7 p ) | i 刍u 0 ) d z b l i ，0 ) i i 铷 ) a b 而且常数b 依赖于权u 的心( r 2 ) 性质而不依赖于这个权本身，则对i = ( 6 1 ，6 2 ， ，。k ) ，玩日m ( r 2 ) ，t = l ，2 ，m 算子t 和i 生成的多线性交换子 彤( z ) = t ( n ( 魄( z ) 一6 ( - ) ) ，) ( z ) ， ，c 矿( r 2 ) 可以延拓为扩( r 2 ) 上且其界不超过c 悯i 胃m 0 p ( 舻) 的有界算子 引理3 2 3 设 岛) j z 是定义如引理3 2 ，l 的一列乘子算子，对5 = ( 6 1 ，幻，6 仇) ， 玩b m o p ( 酞2 ) ，i = l ，2 ，竹l ，定义s l 韵多线性交换子为 w ( z ) = 岛( ( 玩( z ) 一) ，) ( 互) 砰的多线性交换子也类似定义对l p o o 有 j i ( 吾f 岛，f 2 ) 5 | f p + f f ( 篆f 移f 2 ) 5 f f p 硎翮口渺| j ，j i p ， 嵫岛础鲴i 司b 峪 ( 3 4 ) ( 3 5 ) 硕士学位论文 引理3 2 2 与引理3 2 3 的证明同【3 4 】中引理2 2 以及引理2 3 类似 引理3 2 4 设i = 仇，6 2 ，k ) ，玩b m d p ( p ) ，l = l ，2 ，m 定义与p 相关 的h 吣l i t t l e w c h d d 极大算子的多线性交换子为 w = 骝r 乓乙 ，卦( 垆训i ，( z 刊 其中i = 忌l + = 3 对所有的1 p o ，p ( 霉) r 对任意的1 p 和u 雒( r 2 ) ，m 是伊( r 2 ，u 0 ) 出) 上的有界算子，其界与u 无 关( 见【4 9 】) 利用h 猊d e r 不等式，即得 = 哿r 毒l 0 ，p ( 霉，) r ( l o ，p ( z ，f ) r ( 骝r 毒l ，舢( 扩圳2 l 句) 。 因此只须考虑唣的p ( r 2 ) 有界性，其中蚝定义为 嚷2 m ) 2 骝2 蕊l 刎婴( m ) - 6 厅咖 注意映射 h p l o ) 是一族乘子，满足s 卿m | c ：j d ( z ) 4 s ) 假 定对某些正常数c 和口有， 0 m sm i n 矿，s 呻 ， l m 。( 6 ) 一m 。( 已) l c ( 悖- 一i + i 从) 一p ( 已) ) 记z 为乘子算子牙( f ) = ( f ) 永) ，对i = ( 6 1 ，k ，k ) ，玩b m 僻2 ) ，i = l ，2 ，m 。我们记互若为l 多线性交换子，对任何固定的o l ， l ，存在正 常数c ，使得 0 互扩0 2 cm i n 【s 删，5 一删) 1 1 6j i 且肘d 户( r 2 ) i i 川2 证明为方便计算，不妨假定悯i b m d 一( r 。) = 1 取函数和妒满足 ( 口) s 聊c z ：s2 ) ，咖在单位圆盘扛：h 2 ，o p 1 ， l 正j ，| i q c ( 2 一j ( 1 - 口) m i i l s 甜，8 一酣) ；s _ ( 1 一：i i 川口， ( 3 6 ) 其中矿表示g 的共轭数，即；+ ；= l 现在考虑正j 的多线性交换子t 五i 的口( r 2 ) 有界性令r 2 = u 钆，其中q 是抛物型方体，即对某个( 砰，) r 2 ， 钆：阿一孕，+ 譬】留一譬，趔+ 譬】， 其中七l = 1 ，物= 2 ，这些抛物型方体内部不相交令 ( z ) = ，( z ) 。( ) ，则 ，( z ) = 五( z ) ， d 对每一个d ，z “的支集包含在2 0 铂1 内，且乏灏的支集是有限交，从而 上。l t j ( 刮2 如c 莓上i t j ，加( 硎2 如 一1 6 一 硕士学位论文 假足s 蛔p ，包笛在采个抛物型万体 ， 2 七l j 2 知1 j ， 2 幻j 2 蚴， q = k 一等，z - + 等】k 2 一等，勋+ 等】- 拈卜半m + 半悱2 一半心+ 半， 九= ( 6 i ) q ，t = 1 ，2 ，m 以及a = ( 入l ，a 2 ，k ) 则 i z j ，扩( 圳5 厶兀j 。一们，( 们i 珥( 玩( z ) 一饥( 州i 咖 厶k j ( z 一) ，( 可) i ( 饥( z ) 一九+ 九一玩( ) ) i 匆 ，驴 酉 = 厶k j ( z 一可) m ) l ( 玩( z ) 一九) + ( 一1 ) m ( 玩( 秒) 一九) ，口：二i：二i + 删z ) - - a ) 叮( 6 ( 可) 一入) 一阿 = lj ( 甲 取2 口1 ，啦 ，使得；= 击+ 击，对满足盯c p 的固定的t ，有 8 聊瓦j ( ( 6 ( z ) 一入h ，) c2 0 qcq 由估计式( 3 6 ) 和h 况d e r 不等式知 ( 上。i z j ，扩( 划2 如) 5 c ( 上垂( 坼) 叫2 他) 1 2 如) 三 一+ c ( 厶瞰知垆栅，) 阿 + c 喜三( 胁h 瑚酬圹啪他) | 2 如) 5 丁口( z 匦叫云( 上m 训驰哟去 幢防i 古( 南上。瞰z ) 一九i 嘞如) 赤忆州l 口l c 2 警( 2 。( 1 却) m i n 一，s 一甜) ) 杀，( 1 一杀0 ，i i 乱， c 庐( 1 啦+ l q - ( 2 q 1 ) ( 2 j ( 1 一口) l i n s 甜，s 一。毋) ) 杀s ( 1 一杀i i ，0 2 一1 7 沿特殊曲线的h i l b e r t 变换的交换子的有界性 胚( 胁j ( 酗小帅，) 俐 c q 古缈( 垆w ( 圳口， 瞄( 2 训) 血n ，嘲静1 - 音崎m 地， 古( 2 。( 1 卅m i i l s 胡，8 一胡) 云8 - ( 1 一云) m ( 玩( z ) 一圳州2 m ，m i q + 1 9 l ( 2 口l ) 7o ( 以( z ) 一九) 0 呻，( 2 口1 ，) ，o 川2 i = 1 c 2 习( 吉+ 1 叮l ( 2 口t ) ( 2 歹( 1 一口) m i n s 胡，占一胡 ) 音s - ( 1 一音0 ，1 1 2 i i l 曼c c c ，n 一1 ( 上。| 6 ( z ) 一入i 字如) 击( 上。i l j ( 6 ( z ) 一入b ，( z ) l 驰如) 者 2 器( 2 。( 1 一一) m i n s 甜，s 一。毋) ) 杀s - ( 1 一云0 ( 6 ( z ) 一入) 一，( z ) i k 。 2 警( 2 。( 1 一口) 血n s 甜，8 一胡) ) 杀 讧1 口c ：，i s - ( 1 一杀i i ( 6 ( z ) 一a ) 一0 q 。，( 2 口。，) ，i i ，1 1 2 c 2 砀( 古+ 1 口l ( 2 q t ) ( 2 j ( 1 一口) m i n s 硼，s 一口口) ) 暑s - ( 1 一音0 ，1 1 2 电i 。1 1 重l l 弧 l t j 扩0 2 c 2 动去+ 1 7 口l 2 7 口1 丁( 2 一歹( 1 一m i n s 甜，s 一甜 ) 杀s i 1 一暑) j l 川2 对固定的0 ， l ，取0 无( 壶+ l ( 2 口1 ，) ，) ，2 a - - ( 1 一三) q t ， 存在一个与j 无关的常数七 o ，使得 0 t j ，扩0 2 优幻m i n 3 胡，s 一胡i l 川2 对所有的j 之0 求和，即可得到引理3 2 5 的结果 3 3定理的证明 定理3 1 2 的证明取径向函数妒卯( r 2 ) ，o 妒l ，跳印妒c m 4 ) ，且 矿( 2 一f ) = l 蚓o 一1 8 一 卿畔三三 硕士学位论文 定义乘子算子岛为蔚( f ) = 妒( 2 一j d ( ) ) 氕) 记叻( ) = 巧( ) ，m ；( 专) = 叻( ) 妒( 一p ( ) ) 定义乘子算子 币( ) = 呓( ) 氕) 记 阢，o ) = ( ( s i 。巧& 一j ) 扩) ( z ) j z 对 九c 铲( r 2 ) 有下列式子成立， 厶) 彤( z ) 如。厶) ；町( z ) 缸 ，r 2 j 1 2 事实上，令b = b ( o ，r ) 为中心在圆点，半径冗足够大，使得s 唧，s 聊 cb ( o ，冗) ， b 为函数6 在方体口上的平均，定义算子t 为 玎( z ) = 吩宰，( z ) ， 上：) 彤( 班c 2 萎暑小司也b m 司趴( 6 一“) h ，) 扛 2 要荟j 上。( 6 扛) _ 以扛薹吩“( ”) ( 功如 2 萎暑j 上( ) “如三吻，i ( 篆岛一6 ( 胁，) ( 功如 2 蕃丢j 二( 6 ( z ) 一b 协( z ) 吾薹( & 。巧& 叫6 ( ) ) 一烈功如 。小z ) 吾薹( ( 岛叫霉s l _ 洲拙 2 上：) 军町( 枇 要证明搿( z ) 的三2 ( r 2 ) 有界性，我们只须证存在某个正常数p ，使得 0 阢刘2 c i l 两i b f 沙( r 2 ) m i i l 2 一们，妒) l | 川2 z z 在上一估计对f z 求和即得 。搿i | 2 c | | 两1 日m o ，( i l 。) f f 刑2 血n 2 一钟，矿) l z c 0 两l 口 f o ，( 舻) 8 ，| 1 2 一1 9 一 事实上， ，n m ( 玩( z ) 一玩( 掣) ) = n ( 饥( z ) i = l t ；l m = ( 6 ( z ) 6 0 ) + 6 ( z ) 一6 i ) ) 仇 玩( z ) ) + ( 一1 r ( 蛐) 一玩( z ) ) = 1 + c 知( 6 ) 一6 ( z ) ) 口( 6 )